常微分方程的初等解法
常微分方程的初等解法
1．常微分方程的基本概况
1.1.定义：
自变量﹑未知函数及函数的导数（或微分）组成的关系式，得到的便是微分方程，通过求解微分方程求出未知函数，自变量只有一个的微分方程称为常微分方程。
1.2.研究对象：
常微分方程是研究自然科学和社会科学中的事物、物体和现象运动﹑演化和变化规律的最为基本的数学理论和方法。物理﹑化学﹑生物﹑工程﹑航空﹑航天﹑医学﹑经济和金融领域中的许多原理和规律都可以描述成适当的常微分方程。如牛顿运动规律、万有引力﹑能量守恒﹑人口发展规律﹑生态总群竞争﹑疾病传染﹑遗传基因变异﹑股票的涨伏趋势﹑利率的浮动﹑市场均衡价格的变化等。对这些规律的描述﹑认识和分析就归结为对相应的常微分方程的理论和方法不仅广泛应用于自然科学，而且越来越多的应用于社会科学各个领域。
1.3.特点：
常微分方程的概念、解法、和其它理论很多，比如，方程和方程组的种类及解法、解的存在性和唯一性、奇解、定性理论等等。下面就方程解的有关几点简述一下，以了解常微分方程的特点。求通解在历史上曾作为微分方程的主要目标，一旦求出通解的表达式，就容易从中得到问题所需要的特解。也可以由通解的表达式，了解对某些参数的依赖情况，便于参数取值适宜，使它对应的解具有所需要的性能，还有助于进行关于解的其他研究。
1.4.应用：
现在，常微分方程在很多学科领域内有着重要的应用，自动控制、各种电子学装置的设计、弹道的计算、飞机和导弹飞行的稳定性的研究、化学反应过程稳定性的研究等。这些问题都可以化为求常微分方程的解，或者化为研究解的性质的问题。应该说，应用常微分方程理论已经取得了很大的成就，但是，它的现有理论也还远远不能满足需要，还有待于进一步的发展，使这门学科的理论更加完善。
2.一阶的常微分方程的初等解法
一阶常微分的初等解法包括变量分离方程与变量变换﹑可以化为变量分离方程的类型﹑线性微分方程与常数变易法﹑恰当微分方程与积分因子，下面我们就具体分析一阶常微分方程的初等解法。
2.1、变量分离方程法
形如
)()(y x f dx
dy
?=，
（2.1）的方程，称为变量分离方程，这里的)(x f ，)(y ?分别是x ，y 的连续函数。如果0)(≠y ?，我们可将（2.1）改写成
dx x f y dy
)()
(=?，这样变量就“分离”开来了。两边积分得到?
?
+c dx x f y dy
)()(?，（2.2）。 例1：方程
y
x
dx dy -=就可以用变量分离法求解方程 解： 变量分离，得到 xdx ydy -=，
两边积分，即得 2
2222c
x y +-=， 因而，通解为 c y x =+22，（c 为任意常数）
2.2、可化为变量分离方程的类型
(1) 形如
)(x
y
g dx dy =，（2.3）的方程，称为齐次微分方程，这里)(u g 是u 的连续函数。作变量变换x y u =，（2.4）即ux y =，于是u dx
du
x dx dy +=，（2.5）.将（2.4），（2.5）代入
（2.3），则原方程变为)(u g u dx du x =+，整理后，得到x u u g dx du -=)(,(2.6).方程（2.6）是一个变量分离方程，这就所为的可以化为变量分离的方程。
例2方程
x
y
x y dx dy tan += 就是一个可以化为变量分离的方程。
解 这是齐次微分方程，以u x y = 及u dx du x dx dy +=代入，则原方程变为u u u dx
du
x tan +=+。
即
x
u
dx du tan =
。 将上式分离变量，既有 x
dx
udu =
cot ， 两边积分，得到 c x u +=ln sin ln ，（c 为任意常数）
整理，得到 x e u c ?±=sin ，
令c e c =±，得到 cx u =sin
将x y u =
代入上式，得到方程的通解为 cx x
y
=sin (2)形如
2
221
11c y b x a c y b x a dx dy ++++=,(2.7)的方程也可以经变量变换化为变量分离方程，1a ，2a ，1b ，2b ，1c ，2c 均为常数。
我们分三种情况来讨论：
①
k c c b b a a ===212121(常数)情形。这时方程化为k dx
dy =，有通解c kx y +=，其中c 为任意常数。
②
212121c c k b b a a ≠==情形。令y b x a u 22+=，这时有2
12222c u c ku b a dx dy b a dx du +++=+=是变量分离方程。
③
2
1
21b b a a ≠情形。如果方程(2.7)中1c ，2c 不全为零，方程右端分子﹑分母都是x ，y 的一次多项式，因此???=++=++﹐0﹐0
222
111c y b x a c y b x a （2.8）.代表Oxy 平面上两条相交的直线，设交点
为)﹐(βα。若令???-=-=﹐
﹐
βαy Y x X （2.9）。则（2.8）化为???=+=+﹐0﹐02211Y b X a Y b X a 从而（2.7）变为
)(2211Y
X
g Y b X a Y b X a dX dY =++=，（2.10）。因此，求解上述变量分离方程，最后代回原变量即可得原方程（2.7）的解。如果方程（2.7）中021==c c ，可不必求解（2.8），直接取变换x
y
u =即可。
上述解题的方法和步骤也适用于比方程（2.7）更一般的方程类型
)(2
22111c y b x a c y b x a f dx dy
++++=。 例3 方程
3
1
-++-=y x y x dx dy 就可以用上述方法来求解。 解 解方程组 ???=-+=+-﹐03﹐0
1y x y x
得x=1，y=2.令 ???+=+=﹐2﹐
1Y y X x
代入原方程，则有
Y
X Y
X dX dY +-=
, 再令X Y u =
,即uX Y =,则上式化为du u u u X dX 2
211--+=， 两边积分，得 c u u X +-+-=12ln ln 22，
因此 c e u u X ±=-+)12(22，
记1c e c =±，并代回原变量，得1222c X XY Y =-+，
把???-=-=2
1
y Y x X 代入上式 得122)1()2)(1(2)2(c x y x y =----+-
整理，得c x y x xy y =---+26222 (c 为任意常数)
2.3、线性微分方程与常数变易法
一阶线性微分方程
)()(x Q y x P dx
dy
+=，
（2.9）。其中P （x ），Q （x ）在考虑的区间上是x 的连续函数。若Q （x ）=0，（2.9）变为
y x P dy
dx
)(=，（2.10），(2.10)称为一阶其次线性微分方程。若0)(≠x Q ，（2.9）称为一阶非其次线性微分方程。（2.10）是变量分离方程它的解为?
=dx
x p ce y )(，（2.11）这里的c 为任意常数。
现在讨论非奇次线性微分方程（2.9）通解的求法。
不难看出，（2.10）是（2.9）的特殊情形，可以设想（2.11）中将常数c 变易为x 的待定函数
c(x).令
?
=dx
x p e x c y )()(，（ 2.12）微分之，得到
?
+?=dx x p dx
x p e x p x c e dx
x dc dx dy )()()()()(，（2.13）.将（2.12）,(2.13)代入（2.9），得到)()()()()()()()()(x Q e x c x P e x P x c e dx
x dc dx x p dx x p dx
x p +?=?+?。 即
?
=-dx x p e x Q dx
x dc )()()
(，积分后得到?+?=-c dx e x Q x c dx x p )()()(，这里的c 是任意常数。将上式代入（2.12），得到方程（2.9）的通解?+??
=-))(()()(c dx e x Q e y dx
x p dx
x p ，（2.14）。
这种将常数变易为待定函数的方法，我们通称为常数变易法。常数变易法实际上也是一种变量变换的方法，通过变换（2.12）可将方程（2.9）化为变量分离方程。
若方程不能化为（2.9）形式，可将x 看作y 的函数，再看是否为（2.9）形式。 例4 方程1)1()
1(++=-+n x x e ny dx
dy
x （n 为常数）就可以用常数变易法求解。 解 将方程改写为
n x x e y x n dx dy )1(1
+=+-，① 首先，求齐次线性微分方程
01
=+-y x n dx dy 的通解
从
dx x n y dy 1
+=，得到齐次线性微分方程的通解n x c y )1(+= 其次，应用常数变易法求非齐次线性微分方程的通解。为此，在上式中把c 看成为x 的待定函数c （x ）,即n x x c y )1)((+=，②
微分之，得到
)()1()1()
(1x c x n x dx
x dc dx dy n n ++++=，③ 把②，③代入①，得到
x e dx
x dc =)
(， 积分之，求得 c e x c x +=)(
因此，以所求的c （x ）代入②，即得原方程的通解
)()1(c e x y x n ++=， （c 为任意常数）
2.4、恰当微分方程与积分因子
2.4.1恰当微分方程
如果方程0﹐y)dy (﹐y)dx (=+x N x M ，
的左端恰好是某个二元函数﹐y)(x u 的全微分，即﹐y)dx (x M +﹐y)dy (x N =dy y
u
dx x du ??+??=
x u ﹐y)(则称原式为恰当微分方程。容易验证恰当微分方程的通解就是c ﹐y)(=x u ,这里的c 为任意常数。
如果方程是恰当微分方程时，函数﹐y)﹐N (x ﹐y)(x M 应该具有以下性质。
M x
u
=??和N y u =??分别对y ，x 求偏导，得到y M x y u ??=???2，x M y x u ??=???2，由x N ﹐????y M 得连续性，可得y x u x y u ???=???22，故x
N
y M ??=??,这就是恰当微分方程的必要条件。 如果是恰当微分方程我们可以利用“分项组合”的办法来求解。利用公式
???
???
??
?
???
?
????+-=--=+=-=+==+﹐)(ln 21﹐)(arctan x xdy -ydx ﹐)
(ln ﹐)(xdy ydx -﹐)(xdy -ydx ﹐
)(2
22222
y x y
x d y x xdy ydx y x d y y x d xy xdy ydx x y d x y x d y xy d xdy ydx （2.15） 例5 方程0)46()63(3222=+++dy y y x dx xy x 就可以用“分项组合” 方法来求解。
解 把方程重新“分项组合”得到066432232=+++ydy x dx xy dy y dx x
即 033222243=+++dy x dx y dy dx
或者写成 0)3(2243=++y x y x d
于是，方程的通解为 c y x y x =++22433，（c 为任意）
2.4.2、积分因子
如果存在连续可微的函数
0﹐y)(≠=x μμ，使得
﹐y)M(x ﹐y)d (x μx+y)dy ﹐y)N (x,(x μ=0为一恰当微分方程，即存在函数ν，使
νμμd Ndy Mdx ≡+，则称﹐y)(x μ为方程0y)dy ﹐(x )﹐(=+N dx y x M 的积分因子，而积分因子不是唯一的。这时c y x =)﹐(ν是方程νμμd Ndy Mdx =+的通解，因而也就是0)﹐()﹐(=+dy y x N dx y x M 的通解。
由（2.15）看到，同一方程0=-xdy ydx 可以有不同的积分因子
2
1
x
，21y ，xy 1，
2
21
y
x ±。可以证明，只要方程有解存在，则必有积分因子存在，并且不是唯一的。因此，在具体解题过程中，由于求出的积分因子不同从而通解可能具有不同的形式。
根据上述可知，函数)﹐(y x μ为方程的积分因子的充要条件是
x
N y M ??=??)
()(μμ，即μμμ)(x
N
y M y M x N
??-??=??-??。 对于方程0y)dy ﹐(x )﹐(=+N dx y x M ，如果存在只与x 有关的积分因子
)(x μμ=，则
0=??y μ，这时方程μμμ)(x
N
y M y M x N ??-??=??-??变成μμ)(x
N
y M dx d N
??-??=，即dx N
x
N
y M d ??-
??=μμ，由此可知，方程
0y)dy ﹐(x )﹐(=+N dx y x M 有只与x 有关的积分因子的充要条件是
)(x N x N y M ?=??-??，这里)(x ?仅为x 的函数。假如条件)(x N x
N y M ?=??-??成立，则根据方程dx N
x
N
y M d ??-
??=μμ，可知求得方程0y)dy ﹐(x )﹐(=+N dx y x M 的一个积分因子是?
=dx
x e )(?μ。同样，0y)dy ﹐(x )﹐(=+N dx y x M 有只与y 有关的积分因子的充要条件
是
)(y M x
N y M ?=-??-??，这里的)(y ?仅为y 的函数。从而求得方程0y)dy ﹐(x )﹐(=+N dx y x M 的一个积分因子?
=dy
y e )(?μ。
例6 求解方程0)(=-+dy x y ydx
解： y M =，x y N -=，
1=??y M ，1-=??x
N
，方程不是恰当的 因为
y
M x
N
y M 2-=-??-
??只与y 有关故方程有只与y 有关的积分因子2ln 2)2
(1
y
e
e
y
dy
y =
=?=--μ 以21y =
μ乘方程两边，得到 0112
=-+y xdy
dy y dx y 或者写成
02
=+-y dy
y xdy ydx 因而，通解为
c y y
x
=+ln (c 为任意常数) 例7 求方程0)(2223=+++ydy x dx y x x 的通解。
解： 经判断
xy x
N
y y M 2,2=??=??，所以该方程不是恰当方程。 分组得
0)(2223=+++dx y x ydy x dx x
显然前两项具有积分因子
2
1
x ，相应的全微分为 )(2
1
22y x d ydy xdx +=
+， 要使得
)(1)(1222
22x y
x y x x ψ?+=+ 成立。只需取22221)(y x y x +=
+?，2
1
)(x x =
ψ即可，这样就找到了一个积分因子)
(1
2
22y x x +=
μ。
原方程两边同乘)
(1
2
22y x x +=
μ，可得 01
ln 22=-+x d
y x d ， 所以通解为 C x
y x =-+1
ln 22。
例8 解方程 0)84()2(3423=+++++dy y xy x dx x y x y 。
解： 方程各项重新组合为
()()()08243243=+++++dy y dx x dy xy ydx x xdy ydx ，
()()0324433
2
=???
? ??++++y x d dy y dx x xy xy d ， ()03234343=???
? ??++???? ??++y x d y x xyd xy d ，
此时，可令xy v y x u =+=,3
43
，上方程化为 02=++du vdu dv ， 解之得
C v u =++2ln ，
3.常微分方程的多种解法
在常微分方程中，每一道题都有多种解法，不同的解法答案是相同的，在社会中的应
用大致也是相同的，下面就让我们看看一道常微分方程到底有多少种解法。 例1 求0)46()63(3222=+++dy y y x dx xy x 的通解。
解: 解法1 不定积分法。
令2263),(xy x y x M +=,3246),(y y x y x N +=， 则
xy y
N
xy y M 12,12=??=??，所以该方程为恰当方程。 2263),(xy x y x M x
U
+==??， 关于x 积分，得
)(3223y y x x U ?++=，
32246),()(6y y x y x N y y x y
U
+=='+=???， 34)(y y ='?，4)(y y =?，
所以通解为C y y x x y x U =++=42233),(。 解法2 公式法
利用恰当方程求解方法3中公式得方程通积分为
C y x x y dy y dx xy x y x U x
y
=++=++=??22340
32234)63(),(
解法3 分组法 去括号重新分组可得
066432232=+++ydy x dx xy dy y dx x 0)(3)(222243=+++dy x dx y y x d
积分，得原方程的通解为 C y y x x =++42233。 例2 求方程0)(=-+dy x y ydx 的通解。 解: 由于
1,1-=??=??x
N
y M ，所以原方程不是恰当方程。 解法1 可将原方程改写为
ydy xdy ydx -=-，
左端有积分因子2
1
),(x
y x =μ或 ,1),(2y y x =μ，但考虑到右端只与变量y 有 关，故取
21
),(y
y x =
μ 为方程的积分因子，因此有
y dy
y
xdy ydx -=-2
，
两边积分可得通解
C y y
x
=+ln ，易见0=y 也是原方程的解。 解法2 也可将原方程改写为
y
x y dx dy -=， 这是齐次方程。
令ux y =，即可进行求解。
解法3 将x 看作未知函数，原方程可化为线性方程
11
-=x y
dy dx ， 从而可就x 进行求解。 解法4
由于
y
M x
N
y M 2-=-??-
??，只与y 有关，所以存在关于y 的积分因子 2ln 22
1
),(y
e
e
y x y
dy y
=
==-?-μ， 以2
1
),(y y x =
μ乘以方程两端，得到 0112=-+dy y
x
dy y dx y ， 为恰当方程，即
02
=+-y dy
y
xdy ydx ， 因而通解为
C y y
x
=+ln ，另外，易见0=y 也是原方程的解。 4.二阶线性方程的幂级数解法
二阶变系数齐线性方程的求解问题归结为寻求它的一个非零解。由于方程的系数是自变量的函数，我们不能象常系数线性方程的解法那样利用代数方法去求解。但是，从微积分学中知道，在满足某些条件下，可以用幂级数来表示一个函数。因此，我们自然会想到，能否用幂级数来表示微分方程的解呢？所以我们接下来就来讨论这一问题。
例1 求方程的满足初始条件的解。
解: 设(1) 是方程的解，这里
是待定常数，由此我们有
将的表达式代入方程，并比较的同次幂的系数，得到：
，，，
由，得，，，利用
数学归纳法可以推得，一般地，代
入(1)得
这就是所求的解。事实上，方程是一阶线性的，容易求得它的通解为，
而由条件
可以确定常数
，即得方程的解为
。
例2 求解方程， 。
解: 同例1一样，以
(1)形式上代入方
程并比较的同次幂的系数，这时将有
，
，
，
因为不可能找到有限的，故方程没有形如(1)的解，事实上，直接解方程，可得通解为
。
但若令，那么就将上述的初值问题化为，
这时仿照例1的做法，就可求得，
于是，这就是所求原方程的特解，相当于通
解中取
。
5、高阶常微分方程的初等解法
高阶常微分方程的初等解法主要包括齐次线性微分方程、非齐次线性微分方程与常数
变易法、常系数线性微分方程的解法。这三种解法是主要的也是简单的初等解法。
5.1﹑齐次线性微分方程
方程)()()()(11
11t f x t a dt dx
t a dt
x d t a dt x d n n n n n n =++++--- ，（ 5.1）其中
)﹐2﹐1)((n i t a i =及f （t ）都是区间b t a ≤≤上的连续函数。如果0)(≡t f 则方程（5.1）
变为0)()()(1111=++++---x t a dt dx
t a dt
x d t a dt x d n n n n n n ，
（5.2）。我们称它为n 阶齐次线性微分方程，简称齐次线性微分方程。
例1 求方程
的通解
解：设
代入原方程可得：分离变量
则有
即：
得：y=C 1ln|x|+C 2 为原方程之通解(C 1,C 2为任意实数)
例2 求方程 满足初始条件
的特解 解：设
则
所以原方程可写成：分离变量
则有：两边积分
即：
由初始条件：y |x=0=3得C 1＝3 有y ＝3（x 2+1） 积分得y=x 3+3x+c 2
再由初始条件y |x=0=1得C 2＝1 故所求特解为y=x 3
+3x+1
5.2、非齐次线性微分方程与常数变易法
考虑n 阶非齐次线性微分方程)()()()(1111t f x t a dt dx
t a dt
x d t a dt x d n n n n n n =++++--- ，（5.1）易见方
程（5.2）是它的特殊情形，我们指出两者之间解的性质和结构有着十分密切的联系。首先容易直接验证如下两个简单性质：
性质1：如果)(t x 是方程（5.1）的解，而x(t)是方程（5.2）的解，则)()(t x t x +也是方程（4.1）的解。即非+齐=非。
性质2：方程（5.1）的任意两个解之差必为方程（5.2）的解。 例3 方程t
x x cos 1
"=
+的通解（cos t ，sin t 是方程对应齐次线性微分方程的基本解组） 解 应用常数变易法，令t t c t t c x sin )(cos )(21+=
将它代入方程，则可得决定)(1't c 和)(2't c 的两个方程0)(sin )(cos 2'1'=+t tc t tc 及
t
t tc t tc cos 1)(cos )(sin 2'1'=
+- 解得 t
t
t c cos sin )(1'-
= ，1)(2'=t c 由此 11cos ln )(γ+=t t c ，22)(γ+=t t c
原方程的解 t t t t t t x sin cos ln cos sin cos 21+++=γγ
5.3、常系数线性微分方程的解法
5.3.1﹑特征根是单根的情形
设1λ，2λ，…，n λ是特征方程0)(111=++++=--n n n n a a a F λλλλ 的n 个彼此不相等的
根，则相应的方程[]01
111=++++≡---x a dt dx
a dt
x d a dt x d x L n n n n n n 有如下解：t e 1λ，t e 2λ，…，t n e λ。我们指出这n 个解在区间b t a ≤≤上线性无关，从而组成方程的基本解组。
例4 方程044=-x dt
x
d 就是单根的情况
解 特征方程014=-λ的根为i =-==321﹐1﹐1λλλ，i -=4λ。有两个实根 和两个复根，
均是单根，故方程的通解为t c t c e c e c x t t sin cos 4321+++=-（1c ，2c ，3c ，4c 为任意常数）。
5.3.2﹑特征根有重根的情行
当特征根为重根实方程有如下解法。
例5 方程033=+x dt
x
d 的通解。
解 特征方程013=+λ有根11-=λ，2
32132i ±=
=λλ 因此，方程的通解为 ???
?
??++=-t c t c e e c x t t
23sin 23cos 322
11，其中 1c ，2c ，3c 为任意常数。以上这些就是我所了解的常微分方程的初等解法。
6常微分在社会中的应用及模型
常微分方程在社会中的应用很广，例如RLC 电路和数学摆等等都利用了常微分方程的解法。
6.1﹑RLC 电路
包含电阻R ﹑电感L ﹑电容C 及电源电路称为RLC 电路，RLC 电路是电子电路多的基础。根据电学知识，电流I 经过R,L,C 的电压降分别为RI,dt dI L 和C
Q
，其中Q 为电量，它与电流的关系为dt
dQ
I =
,根据基尔霍夫（kirchhoff ）第二定律：在闭合回路中，所有支路上的电压代数和等于零。
设R,L 及电源电压E 为常数，当开关S 和上后，存在关系式0=--RI dt
dI
L
E ，即L E
I L R dt dI =+,(1.1)这便是RL 电路的常微分方程。
其中电流I 是自变量t 的函数)(t I I =，在方程（1）中是未知函数。当开关S 刚合上即0=t 时有0=I ,即0)0(=I ,(1.2)称此条件为方程（1.1）的初值条件。
如果当0t t =时有0I I =，而电源突然短路，即E=0且保持不变，此时方程（1.1）变为
0=+I L
R
dt dI ,(1.3)初值条件为00)(I t I =（1.4）
。 假设R,L,C 为常数，电源电压)(t e 是时间t 的已知函数。当开关S 合上时有关系式
C Q RI dt dI L
t e ++=)(,微分上式，代入dt
dQ
I =
，便得到以时间t 为自变量﹑电流I 为未知函数的常微分方程dt t de L LC I dt dI L R dt I d )
(122=++，（1.5）当电源电压是常数E t e =)(时，上述微分方程变为022=++
LC I
dt dI L R dt I d ,(1.6)如还有R=0，微分方程进一步化简为02
2=+LC I
dt
I d . 6.2﹑数学摆
数学摆是系于一根长度为l 的线上而质量为m 的质点M ，在重力作用下，他在垂直的地面
的平面上沿圆周运动，我们来确定摆的运动方程。
设取反时针运动的方向作为计算摆与铅垂线所成的角Φ的正方向。质（1.7）。这样，就得
到微小振动时摆的方程0Φdt
Φ22=+l g
d ，（1.8）如果我们假设摆在一个粘性的介质中摆动，那么，
沿着摆的运动方向就存在一个与速度v 成比例的阻力。如果阻力系数是μ，则摆的运动方程变
为0Φdt Φm μdt Φ22=++l g
d d ，（1.9）。如果沿着摆的运动方向恒有一个外力F （t ）作用于它，这是摆的运动称为强迫微小振动，其方程为)(m l 1
Φdt Φm μdt
Φ22t F l g d d =++，（1.10）。当要确定摆的某一个特定的运动时，我们应该给出摆的初始状态：当t=0时，0ΦΦ=，0ωdt
Φ
=d ，
（1.11）。这里的0Φ代表摆的初始位置，0ω代表摆的初始角速度的大小。
参考文献
一阶常微分方程解法总结
第 一 章 一阶微分方程的解法的小结 ⑴、可分离变量的方程： ①、形如 )()(y g x f dx dy = 当0)(≠y g 时，得到 dx x f y g dy )() (=，两边积分即可得到结果； 当0)(0=ηg 时，则0)(η=x y 也是方程的解。 例1.1、 xy dx dy = 解：当0≠y 时，有 xdx y dy =，两边积分得到)(2ln 2为常数C C x y += 所以)(112 12 C x e C C e C y ±==为非零常数且 0=y 显然是原方程的解； 综上所述，原方程的解为)(12 12 为常数C e C y x = ②、形如0)()()()(=+dy y Q x P dx y N x M 当0)()(≠y N x P 时，可有 dy y N y Q dx x P x M ) () ()()(=，两边积分可得结果； 当0)(0=y N 时，0y y =为原方程的解，当0(0=） x P 时，0x x =为原方程的解。 例1.2、0)1()1(2 2 =-+-dy x y dx y x 解：当0)1)(1(2 2 ≠--y x 时，有 dx x x dy y y 1 122-=-两边积分得到 )0(ln 1ln 1ln 22≠=-+-C C y x ，所以有)0()1)(1(22≠=--C C y x ； 当0)1)(1(2 2 =--y x 时，也是原方程的解； 综上所述，原方程的解为)()1)(1(2 2 为常数C C y x =--。 ⑵可化为变量可分离方程的方程： ①、形如 )(x y g dx dy = 解法：令x y u =，则udx xdu dy +=，代入得到)(u g u dx du x =+为变量可分离方程，得到
常微分方程解题方法总结.doc
常微分方程解题方法总结 来源：文都教育 复习过半， 课本上的知识点相信大部分考生已经学习过一遍 . 接下来， 如何将零散的知 识点有机地结合起来， 而不容易遗忘是大多数考生面临的问题 . 为了加强记忆， 使知识自成 体系，建议将知识点进行分类系统总结 . 著名数学家华罗庚的读书方法值得借鉴， 他强调读 书要“由薄到厚、由厚到薄”，对同学们的复习尤为重要 . 以常微分方程为例， 本部分内容涉及可分离变量、 一阶齐次、 一阶非齐次、 全微分方程、 高阶线性微分方程等内容， 在看完这部分内容会发现要掌握的解题方法太多， 遇到具体的题 目不知该如何下手， 这种情况往往是因为没有很好地总结和归纳解题方法 . 下面以表格的形 式将常微分方程中的解题方法加以总结，一目了然，便于记忆和查询 . 常微分方程 通解公式或解法 ( 名称、形式 ) 当 g( y) 0 时，得到 dy f (x)dx ， g( y) 可分离变量的方程 dy f ( x) g( y) 两边积分即可得到结果； dx 当 g( 0 ) 0 时，则 y( x) 0 也是方程的 解 . 解法：令 u y xdu udx ，代入 ，则 dy 齐次微分方程 dy g( y ) x dx x u g (u) 化为可分离变量方程 得到 x du dx 一 阶 线 性 微 分 方 程 P ( x)dx P ( x) dx dy Q(x) y ( e Q( x)dx C )e P( x) y dx
伯努利方程 解法：令 u y1 n，有 du (1 n) y n dy ， dy P( x) y Q( x) y n（n≠0,1）代入得到du (1 n) P(x)u (1 n)Q(x) dx dx 求解特征方程：2 pq 三种情况： 二阶常系数齐次线性微分方程 y p x y q x y0 二阶常系数非齐次线性微分方程 y p x y q x y f ( x) (1)两个不等实根：1, 2 通解： y c1 e 1x c2 e 2x (2) 两个相等实根：1 2 通解： y c1 c2 x e x (3) 一对共轭复根：i , 通解： y e x c1 cos x c2 sin x 通解为 y p x y q x y 0 的通解与 y p x y q x y f ( x) 的特解之和. 常见的 f (x) 有两种情况： x （ 1）f ( x)e P m ( x) 若不是特征方程的根，令特解 y Q m ( x)e x；若是特征方程的单根，令特 解 y xQ m ( x)e x；若是特征方程的重根， 令特解 y*x2Q m (x)e x； （2）f (x) e x[ P m ( x) cos x p n ( x)sin x]
常微分方程数值解法的误差分析教材
淮北师范大学 2013届学士学位论文 常微分方程数值解法的误差分析 学院、专业数学科学学院数学与应用数学 研究方向计算数学 学生姓名李娜 学号 20091101070 指导教师姓名陈昊 指导教师职称讲师 年月日
常微分方程数值解法的误差分析 李娜 （淮北师范大学数学科学学院，淮北，235000） 摘要 自然界与工程技术中的很多现象，往往归结为常微分方程定解问题。许多偏微分方程问题也可以化为常微分方程问题来近似求解。因此，研究常微分方程的数值解法是有实际应用意义的。数值解法是一种离散化的数学方法，可以求出函数的精确解在自变量一系列离散点处的近似值。随着计算机计算能力的增强以及数值计算方法的发展，常微分方程的数值求解方法越来越多，比较成熟的有Euler 法、后退Euler法、梯形方法、Runge—Kutta方法、投影法和多步法，等等．本文将对这些解的误差进行分析,以求能够得到求解常微分数值解的精度更好的方法。 关键词：常微分方程, 数值解法, 单步法, 线性多步法, 局部截断误差
Error Analysis of Numerical Method for Solving the Ordinary Differential Equation Li Na (School of Mathematical Science, Huaibei Normal University, Huaibei, 235000) Abstract In nature and engineering have many phenomena , definite solution of the problem often boils down to ordinary differential equations. So study the numerical solution of ordinary differential equations is practical significance. The numerical method is a discrete mathematical methods, and exact solution of the function can be obtained in the approximation of a series of discrete points of the argument.With the enhanced computing power and the development of numerical methods,ordinary differential equations have more and more numerical solution,there are some mature methods. Such as Euler method, backward Euler method, trapezoidal method, Runge-Kutta method, projection method and multi-step method and so on.Therefore, numerical solution of differential equation is of great practical significance. Through this paper, error of these solutions will be analyzed in order to get a the accuracy better way to solve the numerical solution of ordinary differential. Keywords:Ordinary differential equations, numerical solution methods, s ingle ste p methods, l inear multi-step methods, local truncation error
常微分方程数值解法
i.常微分方程初值问题数值解法 常微分方程初值问题的真解可以看成是从给定初始点出发的一条连续曲线。差分法是常微分方程初值问题的主要数值解法，其目的是得到若干个离散点来逼近这条解曲线。有两个基本途径。一个是用离散点上的差商近似替代微商。另一个是先对微分方程积分得到积分方程，再利用离散点作数值积分。 i.1 常微分方程差分法 考虑常微分方程初值问题：求函数()u t 满足 (,), 0du f t u t T dt =<≤ （i.1a ） 0(0)u u = (i.1b) 其中(,)f t u 是定义在区域G : 0t T ≤≤, u <∞上的连续函数，0u 和T 是给定的常数。我们假设(,)f t u 对u 满足Lipschitz 条件，即存在常数L 使得 121212(,)(,), [0,]; ,(,)f t u f t u L u u t T u u -≤-?∈∈-∞∞ （i.2） 这一条件保证了（i.1）的解是适定的，即存在，唯一，而且连续依赖于初值0u 。 通常情况下，（i.1）的精确解不可能用简单的解析表达式给出，只能求近似解。本章讨论常微分方程最常用的近似数值解法-差分方法。先来讨论最简单的Euler 法。为此，首先将求解区域[0,]T 离散化为若干个离散点： 0110N N t t t t T -=<< <<= （i.3） 其中n t hn =，0h >称为步长。 在微积分课程中我们熟知，微商（即导数）是差商的极限。反过来，差商就是微商的近似。在0t t =处，在（i.1a ）中用向前差商 10()()u t u t h -代替微商du dt ，便得 10000()()(,())u t u t hf t u t ε=++ 如果忽略误差项0ε，再换个记号，用i u 代替()i u t 便得到 1000(,)u u hf t u -= 一般地，我们有 1Euler (,), 0,1, ,1n n n n u u hf t u n N +=+=-方法： （i.4） 从(i.1b) 给出的初始值0u 出发，由上式可以依次算出1,,N t t 上的差分解1,,N u u 。
各类微分方程的解法大全
各类微分方程的解法 1.可分离变量的微分方程解法 一般形式:g(y)dy=f(x)dx 直接解得∫g(y)dy=∫f(x)dx 设g(y)及f(x)的原函数依次为G(y)及F(x),则G(y)=F(x)+C为微分方程的隐式通解 2.齐次方程解法 一般形式:dy/dx=φ(y/x) 令u=y/x则y=xu,dy/dx=u+xdu/dx,所以u+xdu/dx=φ(u),即du/［φ(u)-u］=dx/x 两端积分,得∫du/［φ(u)-u］=∫dx/x 最后用y/x代替u,便得所给齐次方程的通解 3.一阶线性微分方程解法 一般形式:dy/dx+P(x)y=Q(x) 先令Q(x)=0则dy/dx+P(x)y=0解得y=Ce－ ∫P(x)dx,再令y=u e－∫P(x)dx代入原方程解得u=∫Q(x) e∫P(x)dx dx+C,所以y=e－∫P(x)dx［∫Q(x)e∫P(x)dx dx+C］ 即y=Ce－∫P(x)dx +e－ ∫P(x)dx∫Q(x)e∫P(x)dx dx为一阶线性微分方程的通解 4.可降阶的高阶微分方程解法 ①y(n)=f(x)型的微分方程 y(n)=f(x) y(n-1)= ∫f(x)dx+C1 y(n-2)= ∫［∫f(x)dx+C1］dx+C2 依次类推,接连积分n次,便得方程y(n)=f(x)的含有n个任意常数的通解②y”=f(x,y’) 型的微分方程 令y’=p则y”=p’,所以p’=f(x,p),再求解得p=φ(x,C1) 即dy/dx=φ(x,C1),所以y=∫φ(x,C1)dx+C2 ③y”=f(y,y’) 型的微分方程
令y ’=p 则y ”=pdp/dy,所以pdp/dy=f(y,p),再求解得p=φ(y,C 1) 即dy/dx=φ(y,C 1),即dy/φ(y,C 1)=dx,所以∫dy/φ(y,C 1)=x+C 2 5.二阶常系数齐次线性微分方程解法 一般形式:y ”+py ’+qy=0,特征方程r 2+pr+q=0 6.二阶常系数非齐次线性微分方程解法 一般形式: y ”+py ’+qy=f(x) 先求y ”+py ’+qy=0的通解y 0(x),再求y ”+py ’+qy=f(x)的一个特解y*(x) 则y(x)=y 0(x)+y*(x)即为微分方程y ”+py ’+qy=f(x)的通解 求y ”+py ’+qy=f(x)特解的方法: ① f(x)=P m (x)e λx 型 令y*=x k Q m (x)e λx ［k 按λ不是特征方程的根,是特征方程的单根或特征方程的重根依次取0,1或2］再代入原方程,确定Q m (x)的m+1个系数 ② f(x)=e λx ［P ｌ(x)cos ωx+P n (x)sin ωx ］型 令y*=x k e λx ［Q m (x)cos ωx+R m (x)sin ωx ］［m=max ﹛ｌ,n ﹜,k 按λ+i ω不是特征方程的根或是特征方程的单根依次取0或1］再代入原方程,分别确定Q m (x)和R m (x)的m+1个系数
常微分方程数值解法
第八章 常微分方程的数值解法 一．内容要点 考虑一阶常微分方程初值问题:?????==0 0)() ,(y x y y x f dx dy 微分方程的数值解：设微分方程的解y (x )的存在区间是[a,b ]，在[a,b ]内取一系列节 点a= x 0< x 1<…< x n =b ,其中h k =x k+1-x k ；(一般采用等距节点，h=(b-a)/n 称为步长)。在每个节点x k 求解函数y(x)的近似值:y k ≈y(x k )，这样y 0 , y 1 ,...,y n 称为微分方程的数值解。 用数值方法，求得f(x k )的近似值y k ，再用插值或拟合方法就求得y(x)的近似函数。 (一)常微分方程处置问题解得存在唯一性定理 对于常微分方程初值问题:?????==0 0)() ,(y x y y x f dx dy 如果： (1) 在B y y A x x 00≤-≤≤,的矩形内),(y x f 是一个二元连续函数。 (2) ),(y x f 对于y 满足利普希茨条件，即 2121y y L y x f y x f -≤-),(),(则在C x x 0≤≤上方程?????==0 0)() ,(y x y y x f dx dy 的解存在且唯一，这里C=min((A-x 0),x 0+B/L),L 是利普希茨常数。 定义：任何一个一步方法可以写为),,(h y x h y y k k k 1k Φ+=+，其中),,(h y x k k Φ称为算法的增量函数。 收敛性定理：若一步方法满足： (1)是p 解的. (2) 增量函数),,(h y x k k Φ对于y 满足利普希茨条件. (3) 初始值y 0是精确的。则),()()(p h O x y kh y =-kh =x -x 0,也就是有 0x y y lim k x x kh 0h 0 =--=→)( (一)、主要算法 1．局部截断误差 局部截断误差：当y(x k )是精确解时，由y(x k )按照数值方法计算出来的1~ +k y 的误差y (x k+1)- 1~ +k y 称为局部截断误差。 注意：y k+1和1~ +k y 的区别。因而局部截断误差与误差e k +1=y (x k +1) -y k +1不同。 如果局部截断误差是O (h p+1),我们就说该数值方法具有p 阶精度。
常微分方程数值解法
常微分方程数值解法 【作用】微分方程建模是数学建模的重要方法，因为许多实际问题的数学描述将导致求解微分方程的定解问题。把形形色色的实际问题化成微分方程的定解问题，大体上可以按以下几步： 1. 根据实际要求确定要研究的量(自变量、未知函数、必要的参数等)并确定坐标系。 2. 找出这些量所满足的基本规律(物理的、几何的、化学的或生物学的等等)。 3. 运用这些规律列出方程和定解条件。基本模型 1. 发射卫星为什么用三级火箭 2. 人口模型 3. 战争模型 4. 放射性废料的处理通常需要求出方程的解来说明实际现象，并加以检验。如果能得到解析形式的解固然是便于分析和应用的，但是我们知道，只有线性常系数微分方程，并且自由项是某些特殊类型的函数时，才可以得到这样的解，而绝大多数变系数方程、非线性方程都是所谓“解不出来” 的于是对于用微分方程解决实际问题来说，数值解法就是一个十分重要的手段。 1. 改进Euler 法： 2. 龙格—库塔( Runge—Kutta )方法： 【源程序】 1. 改进Euler 法： function [x,y]=eulerpro(fun,x0,x1,y0,n);%fun 为函数，(xO, x1)为x 区间，yO 为初始值，n 为子 区间个数 if nargin<5,n=5O;end h=(x1-xO)/n; x(1)=xO;y(1)=yO; for i=1:n x(i+1)=x(i)+h; y1=y(i)+h*feval(fun,x(i),y(i)); y2=y(i)+h*feval(fun,x(i+1),y1); y(i+1)=(y1+y2)/2; end 调用command 窗口 f=i nlin e('-2*y+2*x A2+2*x') [x,y]=eulerpro(f,O,,1,1O) 2 x +2x , (0 < x < , y(0) = 1 求解函数y'=-2y+2 2. 龙格—库塔( Runge—Kutta )方法： [t,y]=solver('F',tspan ，y0) 这里solver为ode45, ode23, ode113，输入参数F是用M文件定义的微分方程y'= f (x, y)右端的函数。tspan=[t0,tfinal]是求解区间，y0是初值。 注：ode45和ode23变步长的，采用Runge-Kutta算法。 ode45表示采用四阶-五阶Runge-Kutta算法，它用4阶方法提供候选解，5阶方法控制误差，是一种自适应步长(变步长)的常微分方程数值解法，其整体截断误差为(△ 口人5解 决的是Nonstiff(非刚性)常微分方程。
15第十五章 常微分方程的解法
-293- 第十五章 常微分方程的解法 建立微分方程只是解决问题的第一步，通常需要求出方程的解来说明实际现象，并加以检验。如果能得到解析形式的解固然是便于分析和应用的，但是我们知道，只有线性常系数微分方程，并且自由项是某些特殊类型的函数时，才可以得到这样的解，而绝大多数变系数方程、非线性方程都是所谓“解不出来”的，即使看起来非常简单的方程如 22x y dx dy +=。于是对于用微分方程解决实际问题来说，数值解法就是一个十分重要的手段。 §1 常微分方程的离散化 下面主要讨论一阶常微分方程的初值问题，其一般形式是 ?????=≤≤=0 )() ,(y a y b x a y x f dx dy （1） 在下面的讨论中，我们总假定函数),(y x f 连续，且关于y 满足李普希兹(Lipschitz)条 件，即存在常数L ，使得 |||),(),(|y y L y x f y x f ?≤? 这样，由常微分方程理论知，初值问题(1)的解必定存在唯一。 所谓数值解法，就是求问题（1）的解)(x y 在若干点 b x x x x a N =<<<<=L 210 处的近似值),,2,1(N n y n L =的方法，),,2,1(N n y n L =称为问题（1）的数值解， n n n x x h ?=+1称为由n x 到1+n x 的步长。今后如无特别说明，我们总取步长为常量h 。 建立数值解法，首先要将微分方程离散化，一般采用以下几种方法： （i ）用差商近似导数 若用向前差商h x y x y n n ) ()(1?+代替)('n x y 代入（1）中的微分方程，则得 )1,,1,0())(,() ()(1?=≈?+N n x y x f h x y x y n n n n L 化简得 ))(,()()(1n n n n x y x hf x y x y +≈+ 如果用)(n x y 的近似值n y 代入上式右端，所得结果作为)(1+n x y 的近似值，记为1+n y ， 则有 )1,,1,0() ,(1?=+=+N n y x hf y y n n n n L （2） 这样，问题（1）的近似解可通过求解下述问题 ?? ?=?=+=+) () 1,,1,0(),(01a y y N n y x hf y y n n n n L （3） 得到，按式（3）由初值0y 可逐次算出N y y y ,,,21L 。式（3）是个离散化的问题，称为差分方程初值问题。
(整理)常微分方程数值解法
i.常微分方程初值问题数值解法 i.1 常微分方程差分法 考虑常微分方程初值问题：求函数()u t 满足 (,), 0du f t u t T dt =<≤ （i.1a ） 0(0)u u = (i.1b) 其中(,)f t u 是定义在区域G : 0t T ≤≤, u <∞上的函数，0u 和T 是给定的常数。我们假设(,)f t u 对u 满足Lipschitz 条件，即存在常数L 使得 121212(,)(,), [0,]; ,(,)f t u f t u L u u t T u u -≤-?∈∈-∞∞ （i.2） 这一条件保证了（i.1）的解是适定的，即存在，唯一，而且连续依赖于初值0u 。 通常情况下，（i.1）的精确解不可能用简单的解析表达式给出，只能求近似解。本章讨论常微分方程最常用的近似数值解法--差分方法。先来讨论最简单的Euler 法。为此，首先将求解区域[0,]T 离散化为若干个离散点： 0110N N t t t t T -=<<<<=L （i.3） 其中n t hn =，0h >称为步长。 在微积分课程中我们熟知，微商（即导数）是差商的极限。反过来，差商就是微商的近似。在0t t =处，在（i.1a ）中用向前差商 10()()u t u t h -代替微商du dt ，便得 10000()()(,())u t u t hf t u t ε=++ 如果忽略误差项0ε，再换个记号，用i u 代替()i u t 便得到 1000(,)u u hf t u -= 一般地，我们有 1Euler (,), 0,1,,1n n n n u u hf t u n N +=+=-L 方法： （i.4） 从(i.1b) 给出的初始值0u 出发，由上式可以依次算出1,,N t t L 上的差分解1,,N u u L 。
(完整版)专题一(二阶常微分方程解法)
二阶微分方程： 时为非齐次 时为齐次，0)(0)()()()(22≠≡=++x f x f x f y x Q dx dy x P dx y d 二阶常系数齐次线性微分方程及其解法： 2 122,)(2,,(*)0)(1,0(*)r r y y y r r q pr r q p qy y p y 式的两个根、求出的系数； 式中的系数及常数项恰好是，，其中、写出特征方程：求解步骤： 为常数； ，其中?'''=++?=+'+''式的通解：出的不同情况，按下表写、根据(*),321r r 二阶常系数非齐次线性微分方程 型 为常数； 型，为常数 ，]sin )(cos )([)()()(,)(x x P x x P e x f x P e x f q p x f qy y p y n l x m x ωωλλλ+===+'+'' 二阶常系数非齐次线性微分方程的一般形式是 ''+'+=y py qy f x () （1） 其中p q ,是常数。 方程（1）的通解为对应的齐次方程 0=+'+''qy y p y （2） 的通解Y 和方程（1）的一个特解*y 之和。即 *y Y y +=.我们已解决了求二阶常系数齐 次线性方程通解的问题，所以，我们只需讨论求二阶常系数非齐次线性微分方程的特解* y 的方法。 下面我们只介绍当方程（1）中的)(x f 为如下两种常见形式时求其特解*y 的方法。 一、 f x e P x x m ()()=?λ型 由于方程（1）右端函数f x ()是指数函数e x λ?与m 次多项式P x m ()的乘积，而指数
函数与多项式的乘积的导数仍是这类函数，因此，我们推测： 方程（1）的特解应为 y e Q x x *?=λ()( Q x ()是某个次数待定的多项式 ) y e Q x e Q x x x *??'=+'λλλ()() y e Q x Q x Q x x *?"=?+'+''λλλ[()()()]22 代入方程（1），得 e Q x p Q x p q Q x e P x x x m λλλλλ???''++'+++≡?[()()()()()]()22 消去e x λ?，得 ''++'+++≡Q x p Q x p q Q x P x m ()()()()()()22λλλ （3） 讨论 01、如果λ不是特征方程 r pr q 20++=的根。 即 02≠++q p λλ 由于P x m ()是一个m 次的多项式，欲使（3）的两端恒等，那未Q x ()必为一个m 次多项式，设为 Q x b x b x b x b m m m m m ()=++++--0111Λ 将之代入（3），比较恒等式两端x 的同次幂的系数，就得到以b b b b m m 01 1,,,,Λ-为未知数的m +1个线性方程的联立方程组，解此方程组可得到这m +1个待定的系数，并得到特解 y e Q x x m *?=λ() 02、如果λ是特征方程 r pr q 20++=的单根。 即 λλ20++=p q ，但 20λ+≠p 欲使（3）式的两端恒等，那么'Q x ()必是一个m 次多项式。 因此，可令 Q x x Q x m ()()=? 并且用同样的方法来确定)(x Q 的系数b b b b m m 0 11,,,,Λ-。 03、如果λ是特征方程 r pr q 20++=的二重根。 即 λλ20++=p q ，且 20λ+=p 。 欲使（3）式的两端恒等，那么''Q x ()必是一个m 次多项式 因此， 可令 Q x x Q x m ()()=?2 并且用同样的方法来确定)(x Q 的系数b b b b m m 011,,,,Λ-。
二阶常微分方程的解法及其应用
目录 1 引言 (1) 2 二阶常系数常微分方程的几种解法 (1) 2.1 特征方程法 (1) 2.1.1 特征根是两个实根的情形 (2) 2.1.2 特征根有重根的情形 (2) 2.2 常数变异法 (4) 2.3 拉普拉斯变化法 (5) 3 常微分方程的简单应用 (6) 3.1 特征方程法 (7) 3.2 常数变异法 (9) 3.3 拉普拉斯变化法 (10) 4 总结及意义 (11) 参考文献 (12)
二阶常微分方程的解法及其应用 摘要：本文通过对特征方程法、常数变易法、拉普拉斯变换法这三种二阶常系数常微分方程解法进行介绍，特别是其中的特征方程法分为特征根是两个实根的情形和特征根有重根的情形这两种情况，分别使用特征值法、常数变异法以及拉普拉斯变换法来求动力学方程，现今对于二阶常微分方程解法的研究已经取得了不少成就，尤其在二阶常系数线性微分方程的求解问题方面卓有成效。应用常微分方程理论已经取得了很大的成就，但是，它的现有理论也还远远不能满足需要，还有待于进一步的发展，使这门学科的理论更加完善。 关键词：二阶常微分方程;特征分析法；常数变异法；拉普拉斯变换
METHODS FOR TWO ORDER ORDINARY DIFFERENTIAL EQUATION AND ITS APPLICATION Abstract:This paper introduces the solution of the characteristic equation method, the method of variation of parameters, the Laplasse transform method the three kind of two order ordinary differential equations with constant coefficients, especially the characteristic equation method which is characteristic of the root is the two of two real roots and characteristics of root root, branch and don't use eigenvalue method, method of variation of constants and Laplasse transform method to obtain the dynamic equation, the current studies on solution of ordinary differential equations of order two has made many achievements, especially in the aspect of solving the problem of two order linear differential equation with constant coefficients very fruitful. Application of the theory of ordinary differential equations has made great achievements, however, the existing theory it is still far from meeting the need, needs further development, to make the discipline theory more perfect. Keywords:second ord er ordinary differential equation; Characteristic analysis; constant variation method; Laplasse transform 1 引言 数学发展的历史告诉我们，300年来数学分析是数学的首要分支，而微分方程
常微分方程常用数值解法.
第一章绪论 1.1 引言 常微分方程是现代数学的一个重要分支，是人们解决各种实际问题的有效工具。微分方程的理论和方法从17世纪末开始发展起来，很快成了研究自然现象的强有力工具，在17到18世纪，在力学、天文、科学技术、物理中，就已借助微分方程取得了巨大的成就。1864年Leverrer根据这个方程预见了海王星的存在，并确定出海王星在天空中的位置。现在，常微分方程在许多方面获得了日新月异的应用。这些应用也为常微分方程的进一步发展提供了新的问题，促使人们对微分方程进行更深入的研究，以便适应科学技术飞速发展的需要。 研究常微分方程常用数值解是数学工作者的一项基本的且重要的工作。在国内外众多数学家的不懈努力，使此学科基本上形成了一套完美的体系。微分方程的首要问题是如何求一个给定方程的通解或特解。到目前为止，人们已经对许多微分方程得出了求解的一般方法。由于在生产实际和科学研究中所遇到的微分方程问题比较复杂，使这些问题的解即使能求出解析表达式，也往往因计算量太大而难于求出，而对于一些典型的微分方程则可以运用基本方法求出其解析解，并可以根据初值问题的条件把其中的任意常数确定下来。 由于求通解存在许多困难，人们就开始研究带某种定解条件的特解。首先是Cauchy对微分方程初始解的存在惟一性进行了研究。目前解的存在惟一性、延拓性、大范围的存在性以及解对初始解和参数的延续性和可微性等理论问题都已发展成熟。与此同时，人们开始采取各种近似方法来求微分方程的特解，例如求微分方程数值解的Euler折线法、Runge-Kutta法等，可以求得若干个点上微分方程的近似解。最后，由于当代高科技的发展为数学的广泛应用和深入研究提供了更好的手段。用计算机结合Matlab软件求方程的精确解、近似解，对解的性态进行图示和定性、稳定性研究都十分方便有效。 本章先介绍常微分的一般概念、导出微分方程的一些典型例子及求解微分方程的思路分析。从而得到常微分方程的常用数值解法。
常微分方程的初等解法与求解技巧
师大学本科毕业论文（设计） 常微分方程的初等解法与求解技巧 姓名娟 院系数学与计算机科学学院 专业信息与计算科学 班级12510201 学号1251020126 指导教师王晓锋 答辩日期 成绩
常微分方程的初等解法与求解技巧 容摘要 常微分方程在数学中发挥着举足轻重的作用，同时它的应用在日常生活里随处可见，因此掌握常微分方程的初等解法与求解技巧是非常必要的.本论文主要论述了其发展、初等解法与求解技巧，前者主要有变量分离、积分因子、一阶隐式微分方程的参数表示，通过举例从中总结出其求解技巧，目的是掌握其求解技巧. 【关键词】变量分离一阶隐式微分方程积分因子求解技巧
Elementary Solution and Solving Skills of Ordinary Differential Equation Abstract Ordinary differential equations take up significant position in mathematics, and at the same time, the application of it can be seen everywhere in our daily life, therefore, it’s necessary to grasp the elementary solution of ordinary differential equations and solving skills. This paper mainly introduced the definition of ordinary differential equations, elementary solution method and solving skills, the former mainly included the separation of variables, integral factor, a parameter-order differential equations implicit representation, by way of examples to sum up their solving skills, the purpose is to master the skills to solve. 【Key Words】the separation of variables the first order implicit differential equation integrating factor solution techniques
各类微分方程的解法大全
各类微分方程的解法大 全 TTA standardization office【TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C】
各类微分方程的解法1.可分离变量的微分方程解法 一般形式:g(y)dy=f(x)dx 直接解得∫g(y)dy=∫f(x)dx 设g(y)及f(x)的原函数依次为G(y)及F(x),则G(y)=F(x)+C为微分方程的隐式通解 2.齐次方程解法 一般形式:dy/dx=φ(y/x) 令u=y/x则y=xu,dy/dx=u+xdu/dx,所以u+xdu/dx=φ(u),即du/［φ(u)-u］=dx/x两端积分,得∫du/［φ(u)-u］=∫dx/x 最后用y/x代替u,便得所给齐次方程的通解 3.一阶线性微分方程解法 一般形式:dy/dx+P(x)y=Q(x) 先令Q(x)=0则dy/dx+P(x)y=0解得y=Ce－ ∫P(x)dx,再令y=u e－∫P(x)dx代入原方程 解得u=∫Q(x) e∫P(x)dx dx+C,所以y=e－∫P(x)dx［∫Q(x)e∫P(x)dx dx+C］ 即y=Ce－∫P(x)dx +e－∫P(x)dx∫Q(x)e∫P(x)dx dx为一阶线性微分方程的通解 4.可降阶的高阶微分方程解法 ①y(n)=f(x)型的微分方程 y(n)=f(x) y(n-1)= ∫f(x)dx+C1 y(n-2)= ∫［∫f(x)dx+C1］dx+C2 依次类推,接连积分n次,便得方程y(n)=f(x)的含有n个任意常数的通解②y”=f(x,y’) 型的微分方程
令y’=p则y”=p’,所以p’=f(x,p),再求解得p=φ(x,C1) 即dy/dx=φ(x,C1),所以y=∫φ(x,C1)dx+C2 ③y”=f(y,y’) 型的微分方程 令y’=p则y”=pdp/dy,所以pdp/dy=f(y,p),再求解得p=φ(y,C1) 即dy/dx=φ(y,C1),即dy/φ(y,C1)=dx,所以∫dy/φ(y,C1)=x+C2 5.二阶常系数齐次线性微分方程解法 一般形式:y”+py’+qy=0,特征方程r2+pr+q=0 6.二阶常系数非齐次线性微分方程解法 一般形式: y”+py’+qy=f(x) 先求y”+py’+qy=0的通解y0(x),再求y”+py’+qy=f(x)的一个特解y*(x) 则y(x)=y0(x)+y*(x)即为微分方程y”+py’+qy=f(x)的通解 求y”+py’+qy=f(x)特解的方法: ①f(x)=P m(x)eλx型 令y*=x k Q m(x)eλx［k按λ不是特征方程的根,是特征方程的单根或特征方程的重根依次取0,1或2］再代入原方程,确定Q m(x)的m+1个系数 ②f(x)=eλx［Pｌ(x)cosωx+P n(x)sinωx］型 令y*=x k eλx［Q m(x)cosωx+R m(x)sinωx］［m=max﹛ｌ,n﹜,k按λ+iω不是特征方程的根或是特征方程的单根依次取0或1］再代入原方程,分别确定Q m(x)和R m(x)的m+1个系数