三角形 专题训练 用方程思想求角的度数
第十一章三角形专题训练用方程思想求角的度数
方法规律：先设未知数，再利用三角形内角和定理或图形中各内、外角的关系列出方程（组）求解。在情况不明时，往往还需要分类讨论。
一、方程的思想。
1、已知△ABC中，∠A = 1/2∠B =1/3∠C，试判断三角形的形状。
2、已知三角形的第一个角是第二个角的3/2倍，第三个角比这两个角的和大300，求这三个角的度数。
3、已知三角形的一个外角等于与它相邻内角的4倍，等于与它不相邻内角的2倍，试求三角形各内角的度数。
4、如右图，在△ABC中，D是BC上一点，∠1 = ∠2，∠3 = ∠4，∠BACA = 630，求∠
DAC的度数。
5、如右图，∠A = 100，∠ABC = 900，∠ACB = ∠DCE，∠ADC = ∠EDF，∠CED = ∠FEG，求∠F的度数。
6、如果一个三角形中最大角是最小角的2倍。
（1）确定最小角α的取值范围；
（2）若α的最大值为m0，最小值为n0，试求m + n的值。
二、分类讨论的思想。
7、在△ABC中，∠ABC = ∠C，BD是AC边上的高，∠ABD = 400，求∠C的度数。
8、已知非直角△ABC中，∠A = 400，高BD和CE所在直线交于点H，求∠BHC的度数。
总结：角度关系复杂时，可考虑方程，涉及高时，常考虑分类讨论。
三、练习。
9、在△ABC中，∠A = ∠B = 300，∠C = 4∠B。求∠A、∠B、∠C 的度数。
10、在△ABC中，∠A －∠B = 150，∠C = 750。求∠A的度数。
11、如图。∠B = ∠C ，∠ADE = ∠AED，∠1 = 400，求∠EDC的度数。
人教版初二数学与三角形有关的角教案
第十一章三角形 第一节：与三角形有关的角 1．三角形内角和定理 (1)定理：三角形三个内角的和等于180°. (2)证明方法：证法多样，主要是运用平行线知识把三个角转移成一个平角，从而得到内角和是180°.如图所示，过C作CM∥AB，将求∠A＋∠B＋∠ACB转化为求∠1＋∠2＋∠ACB，或过A点作DE∥BC，把求∠BAC＋∠B＋∠C转化为求∠BAC＋∠DAB＋∠EAC. (3)理解与延伸： 因为三角形内角和为180°，所以延伸出三角形中很多的角的特定关系如：①一个三角形中最多只有一个钝角或直角；②一个三角形中最少有一个角不小于60°；③直角三角形两锐角互余；④等边三角形每个角都是60°等． (4)作用：已知两角求第三角或已知三角关系求角的度数． 谈重点三角形内角和定理的理解三角形内角和定理是最重要的定理之一，是求角的度数问题中最基础的定理，应用非常广泛． 【例1】填空： (1)在△AB C中，若∠A＝80°，∠C＝20°，则∠B＝__________°； (2)若∠A＝80°，∠B＝∠C，则∠C＝__________°； (3)已知△ABC的三个内角的度数之比∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶5，则∠B＝__________°，
∠C＝__________°. 2．直角三角形的性质与判定 (1)直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余． 如图所示，在Rt△ABC中，如果∠C＝90°，那么∠A＋∠B＝90°. 【例2－1】将一个直角三角板和一把直尺如图放置，如果∠α＝43°，则∠β的度数是()． A．43°B．47°C．30°D．60° (2)直角三角形的判定：有两个角互余的三角形是直角三角形． 如图所示，在△ABC中，如果∠A+∠B=90°，那么∠C=90°，即△ABC是直角三角形．提示：由三角形的内角和定理可知，三角形的三个内角之和为180°，如果有两个角的和为90°，那么第三个角自然是直角．由直角三角形定义可知，该三角形为直角三角形． 【例2－2】如图所示，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F，∠BEF的平分线与∠DFE的平分线相交于点P，求证：△EPF是直角三角形． 3．三角形的外角 (1)定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．如图，∠ACD就是△ABC其中的一个外角．
三角形角度的计算专题
三角形角度的计算专题 一、 选择题 1. 等腰三角形的一个外角是80°，则其底角是（ ） A ．100° B ．100°或40° C ．40° D ．80° 2. 等腰三角形的顶角是80°，则一腰上的高与底边的夹角是（ ） A ．40° B ．50° C ．60° D ．30° 3.等腰三角形的一个外角是80°，则其底角是（ ） A ．100° B ．100°或40° C ．40° D ．80° 4．如图2，△ABC 中，∠ABC 与∠ACB 的平分线交于点F ，过点F 作DE ∥BC 交AB 于点D ，交AC 于点E ，那么下列结论：①△BDF 和△CEF 都是等腰三角形；②DE=BD+CE ；③△ADE 的周长等于AB 与AC 的和；④BF=CF ．其中正确的有（ ） A ．①②③ B ．①②③④ C ．①② D ．① E D C B H F E D C A B H F G 4题 5题 5.如图，C 、E 和B 、D 、F 分别在∠GAH 的两边上，且AB=BC=CD=DE=EF ，若∠A=18°，则∠GEF 的度数是（ ） A ．80° B ．90° C ．100° D ．108° 二、填空题 6．已知等腰三角形一个内角的度数为30°，那么它的底角的度数是_________． 7.等腰三角形的顶角的度数是底角的4倍，则它的顶角是________． 8.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，求底角的度数 9.已知：△ABC 中，AB=AC ，BD 是AC 上的高，且∠CBD=35°，则∠A= . 10.如图，△ABC 中AB=AC ，EB=FC BD =CE ，∠A=52°，则∠DEF 的度数是____ 11.如图，D 、E 在BC 上，AD=BD ，AE=CE ，若∠ADE=45°，∠AED=110°， 则∠B= ，∠C= ； 若∠ADE=40°，则∠BAC= ； 若∠BAC=120°，则∠DAE= . 12. 如图，∠B=∠D=90°，C 是BD 的中点，MC 平分∠AMD ，∠DCM=35°，∠CAB 是 第10题 第11题 A B C D E F 12 D A C B M 第12题
三角形内角和练习
三角形内角和 一、先估一估下图中各角的度数，然后量一量。 二、量出下图中∠1、∠2、∠3、∠4的度数，你有什么发现 三、在下面的三角形中，∠A的度数是多少 四、填空题。 1、一个三角形具有（）条边，（）个角，（）个顶点。 2、锐角三角形的三个角都是（）角。 3、等腰三角形的两腰（），两个底角（）。 4、（）条边都相等的三角形叫等边三角形，又叫（）三角形。 5、一个三角形的两个内角分别是45°和90°,另一个内角是（），这是一个 （）三角形。 五、判断题。（对的在括号里打“√”，错的打“×”。） 1、钝角三角形的内角和大于锐角三角形的内角和。（） 2、所有的三角形都是轴对称图形。（） 3、直角三角形中的两个锐角和正好等于90°。（） 4、所有的等边三角形都是等腰三角形。（） 5、将一个三角形剪成两个三角形，那么这两个三角形的内角和都是90°。（） 六、我们学过的图形中哪些是轴对称图形你能画出它们的对称轴吗 七、求下面各图中∠1的度数。
八、如下图，∠1 = 55°，求∠2、∠3、∠4的度数。 九、∠1、∠2、∠3分别是一个三角形的三个内角，已知∠3比一个周角少300度，∠3 的度数是∠2的3倍，求∠1的度数。（提示：一个周角是360°。） 十、如下图，已知∠1 = 90°，∠4 = 75°，求∠3的度数。 部分答案：
三、∠A = 56°∠A = 25°∠A = 69° 四、1、3 3 3 2、锐 3、相等相等 4、三正 5、45°等腰直角 五、1、× 2、× 3、√ 4、√ 5、× 六、长方形、正方形、等腰三角形、等边三角形、等腰梯形、角、圆 七、110° 110° 八、∠2 = 90°－ 55°= 35°∠3 = 180°－ 35°= 145°∠4 = 35° 九、∠3 ：360°－ 300°= 60° ∠2 ：60°÷3 = 20° ∠1 ：180°－60°－20°= 100° 十、∠2 = 90°－ 75°= 15° ∠3 = 180°－90°－ 15°= 75°
三角形 专题训练 用方程思想求角的度数
第十一章三角形专题训练用方程思想求角的度数 方法规律：先设未知数，再利用三角形内角和定理或图形中各内、外角的关系列出方程（组）求解。在情况不明时，往往还需要分类讨论。 一、方程的思想。 1、已知△ABC中，∠A = 1/2∠B =1/3∠C，试判断三角形的形状。 2、已知三角形的第一个角是第二个角的3/2倍，第三个角比这两个角的和大300，求这三个角的度数。 3、已知三角形的一个外角等于与它相邻内角的4倍，等于与它不相邻内角的2倍，试求三角形各内角的度数。 4、如右图，在△ABC中，D是BC上一点，∠1 = ∠2，∠3 = ∠4，∠BACA = 630，求∠ DAC的度数。 5、如右图，∠A = 100，∠ABC = 900，∠ACB = ∠DCE，∠ADC = ∠EDF，∠CED = ∠FEG，求∠F的度数。 6、如果一个三角形中最大角是最小角的2倍。 （1）确定最小角α的取值范围； （2）若α的最大值为m0，最小值为n0，试求m + n的值。 二、分类讨论的思想。 7、在△ABC中，∠ABC = ∠C，BD是AC边上的高，∠ABD = 400，求∠C的度数。 8、已知非直角△ABC中，∠A = 400，高BD和CE所在直线交于点H，求∠BHC的度数。 总结：角度关系复杂时，可考虑方程，涉及高时，常考虑分类讨论。 三、练习。 9、在△ABC中，∠A = ∠B = 300，∠C = 4∠B。求∠A、∠B、∠C 的度数。 10、在△ABC中，∠A －∠B = 150，∠C = 750。求∠A的度数。 11、如图。∠B = ∠C ，∠ADE = ∠AED，∠1 = 400，求∠EDC的度数。
三角形中相关角度的计算规律及应用
1 三角形中相关角度的计算规律及应用 淮南市谢家集区杨公中学 夏明海 三角形是最简单的多边形，初中几何教学中常通过对角线或添加辅助线把复杂的图形转化为三角形来研究和讨论，使问题简化后得以解决，可见三角形是初中几何的最基础的内容，在几何教学中尤显重要。三角形内角和定理与角平分线、高线是探索和研究三角形问题的重要知识点。在教学实践中把他们巧妙的结合起来，使得解决问题更为方便。 以素质教育为标准的新课标，对教材内容的深度、广度和难度都做了适当的调整，目前形势下，众多的教辅材料进入了学生的书包。其深度和难度明显超出了新课标的要求，如果学生不能很好的灵活应用基础知识，是很难完成作业的。为此对教师的课堂教学提出了新的要求。除要使学生对基础内容理解和掌握外，还要求教师把基本知识进行升华，教会学生准确、灵活的运用所学知识解决相应问题，同时要把基本内容进行归纳总结，抽象出规律性的东西。同时也培养了学生的综合分析能力和逻辑思维能力。 由于我在课堂教学中摸索出点滴的教学经验——三角形中相关角度的计算规律及其应用。愿和同行们进行交流，共同分享这份快乐，共同进步。 一、三角形内角和定理与角平分线规律及应用 例1：在△ABC 中，BO 与CO 分别是∠ABC 和∠ACB 的平分线，且相交于点O ，探究∠O 与∠A 是否有关系？若有关系，试分析有怎样的关系？ 研究分析：∠O =180°- (∠1+∠2) 而∠1+∠2= 1 2 (180°-∠A) =90°- 1 2 ∠A ∴∠O=180°- (90°- 1 2 ∠A) =90°+ 1 2 ∠A 由例1总结出规律：三角形的两个内角平分线交 于一点，所形成角的度数等于90°加上第三角的一半，即为∠O = 90°+ 1 2 ∠A 。 例2:已知如图：在△ABC 中，BO 、CO 分别平分∠CBE 和∠BCF ，且交于点O ，则∠O 与 ∠A 的关系又如何呢? 分析：∠O = 180°-（∠1+∠2） 而∠1+∠2 = 1 2 (180°+ ∠A) ∴∠O =180°- [ 1 2 (180°+ ∠A)] = 180°- 90°- 1 2 ∠A = 90°- 1 2 ∠A B A O C 1 2 例1 E F
三角形中的角度计算
三角形中的角度计算 要进行三角形的角度计算，首先要搞清楚三角形角度之间的关系变化。 1、内角和定理 在△ABC 中，∠A+∠B+∠C=180° 2、外角定理 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 3、直角三角形的两锐角 直角三角形的两个锐角之和等于90° 4、等腰三角形的三角的关系 已知等腰三角形的顶角为n °，则两底角为2 1(180°－n °);已知等腰三角形的一个底角为 n °，则另一个底角也是n °,顶角为180°－2n °. 三角形中的角度计算主要分以下三种形式： 1、方程法， 2、推理代换法， 3、特殊值法 1、方程法 例1、在△ABC 中，AB=AC ，CD 平分∠C ，∠ADC=150°，求∠B [分析] (1)所求的∠B 在△DBC 内，已知的∠ADC 是△DBC 的外角，所以有∠ADC=∠B+∠BCD 。∠B 是等腰△ABC 的顶角，∠BCD 是底角的一半，可以用∠B 表示，所以可利用方程式求∠B 。 (2)因为∠A 是底角，∠ACD 是底角的一半， ∠ADC 是已知角，所以可以先求出∠A 。 解法1、设∠B=x ，则∠ACB=21(180°－x),∠BCD=4 1(180°－x),由三角形的内角和定理，可得∠B+∠BCD=∠ADC ，即 x+4 1(180°－x)=150° 所以x=140° 解法2、设∠A=x ，则∠ACB=x,∠ACD= 21x 。因为∠A+∠ACD+∠ADC=180°， 所以 x+2 1x+150°=180° 解得x=20°,即∠A=20° ∴∠B=180°－2×20°=140° 例2、在△ABC 中，∠A ：∠B=5：7，∠C 比∠A 大10°，求∠C 解：设∠C=x,则∠A=x －10°,∠B= 57(x-10°),所以有 x+(x －10°)+5 7(x －10°)=180° 解得x=60°,即∠C=60° 例3、D 是△ABC 的BC 边上一点，AD=BD ，AB=AC=CD ，求∠BAC [分析]因为AD=BD ，AB=AC=CD ，所以有∠B=∠BAD=∠C ， C B A
解三角形中有关图形的计算
解三角形的有关计算： 方法归纳：对于解三角形图形的相关问题，是涉及到2个或多个三角形的解三角形问题，关键是找到这些三角形之间的具有特殊关系的量，作为把不同三角形中的条件联系在一起的“桥梁”“纽带”，从而达到解三角形的综合问题。 一、解三角形有关图形的计算： 1、如图，ACD △是等边三角形，ABC △是等腰直角三角形， 90ACB = ∠，BD 交AC 于E ，2AB =． （Ⅰ）求cos CAE ∠的值； （Ⅱ）求AE ． 2、在△ABC 中，B ＝π4，BC 边上的高等于1 3BC ，则cos A ＝( ) A ．310 10 B ．1010 C ．－ 1010 D ．－31010 3、如图所示，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝3，BC ＝1，P 为△ABC 内一点，∠BPC ＝90°. (1)若PB ＝1 2 ，求P A ； (2)若∠APB ＝150°，求tan ∠PBA . 4、如图，ABC ?中，2,3 3 2sin ==∠AB ABC ，点D 在线段AC 上，且3 34,2= =BD DC AD . (1)求BC 的长；（2）求DBC ?的面积. 5、如图，△ABC 中，AB=AC=2 ，BC= D 在BC 边上，∠ADC=45°， 则AD 的长度等于______。 6、在ΔABC 中， AD AB ⊥，BC = BD ，1AD = ，则AC AD ? = 7、ABC ?中，D 为边BC 上的一点，33BD =，5 sin 13B = ，3cos 5 ADC ∠=，求AD ． 8、在△ABC 中，已知B=45°,D 是BC 边上的一点，AD=10,AC=14,DC=6，求AB 的长. 9、如图所示，在△ ABC ，已知AB = ,cos B = ，AC 边上的中线BD =求：（1）BC 的长度； （2）sin A 的值。 B A C D E A D C B
小专题一——有三角形有关的角度的计算
模型一：两个角的角平分线的夹角 例题1：如图1，在?ABC 中，P 点是∠ABC 和∠ACB 的角平分线的交点，若∠A=50o ，则∠P= 。 如图2，在?ABC 中，P 点是∠ABC 和∠ACE 的角平分线的交点，若∠A=50o ，则∠P= 。 如图2，在?ABC 中，P 点是∠CBF 和∠BCE 的角平分线的交点，若∠A=50o ，则∠P= 。 例题2：如图，在?ABC 的三条内角平分线交于点I ，AI 的延长线与BC 交于点D ， BC IH ⊥于H ，试比较∠CIH 和∠BID 的大小 例题3：如图，在?ABC 中，角A=m o ，∠ABC 和∠ACD 的平分线交于点A 1，得∠A 1，∠A 1BC 和∠A 1CD 的平分线交于点A 2，得2A ∠， BC A 2014∠和CD A 2014∠的平分线交于点2015A ，求2015A ∠的度数 = 。
模型二：“8”字形图案的两条角平分线的夹角 例题4：已知线段AB 、CD 相交于点O ，连接AD ，CB ，∠DAB 和∠BCD 的平分线AP 和CP 相交于点P ，并且与CD ，AB 分别相交于点M ，N 如图2，试回答下列问题： （1）在图1中，直接写出D C B A ∠∠∠∠,,,之间的数量关系 （2）在图2中，D ∠与B ∠为任意角，试探究P ∠与D ∠、B ∠之间是否存在一定的数量关系，若存在，写出它们之间的关系并证明，若不存在，说明理由。 模型三：角平分线与高线的夹角 例题5：如图，在?ABC 中，∠C=70o ，∠B=30o ，AE 平分∠BAC ，AD 垂直于BC ，垂足为D ，则∠DAE 为 。 例题6：如图1，?ABC 中，AE 平分∠BAC （∠C 大于∠B ），F 为AE 上的一点，且FD ⊥BC 于点D （1）试推导EFD ∠与C B ∠∠,之间的数量关系 （2）如图2，当点F 在AE 的延长线上，其余的条件都不变，判断在（1）中推导出的结论是否成立？
计算角的度数
计算角的度数 在计算角的度数时常常用到以下知识：平角的度数是180°；周角的度数是360°；直角的度数是90°；三角形的内角和等于180°；等腰三角形的两个底角相等；直角三角形中两个锐角的和等于90°；等边三角形的每个内角等于60°． 下面我们学习如何计算角的度数． 例1如图6—1，求∠1，∠2，∠3的度数． 分析：因为∠1与130°的和 是一个平角，用180°减去130°就是∠1的度数；利用直角三角形中两个锐角和等于90°，再由前面得出的∠1的度数，可以求出∠2的度数；∠2与∠3的和是180°，由此得到∠3的度数． 解：∠1=180°-130°=50° ∠2=90°-∠1=90°-50°=40° ∠3=180°-∠2=180°-40°=140° 例2如图6—2，已知∠C=25°，AD=DB=BC，求∠ADE的度数. 分析：要求∠ADE的度数，只须求∠ADC的度数，因为BD=BC，所以∠BDC=∠C，根据三角形内角和等于180°，可以求出∠DBC的度数，由于∠DBC与∠ABD的和是180°，所以∠ABD的度数可以求出，又因为AD=DB，所以∠BAD=∠ABD，再利用三角形内角和等于180°，得到∠ADB的度数，最终求出∠ADE的度数．
解：因为DB=BC 所以∠BDC=∠C=25° 在△BDC中， ∠DBC=180°-∠C-∠BDC=180°-25°-25°=130° 又因为∠ABD+∠DBC=180° 所以∠ABD=180°-∠DBC=180°-130°=50° 因为AD=DB 所以∠DAB=∠ABD=50° 在△ADB中 ∠ADB=180°-∠DAB-∠ABD=180°-50°-50°=80° 所以∠ADC=ADB+∠BDC=80°+25°=105° ∠ADE=180°-∠ADC=180°-105°=75° 说明：∠ADE=∠DAB+∠C，这并不是偶然的巧合，而是因为∠ADE与∠ADC的和是180°，∠ADC与∠C及∠DAB的和也是180°，所以∠ADE等于∠C+∠DAB．∠ADE叫做△ADC 的一个外角，由此得出一个重要的结论：三角形的任意一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．如图6—3中，∠DAC、∠ABE、∠ACF都分别叫三角形ABC的外角，而
三角形中有关角度的计算
三角形中有关角度的计算 一.直接求角度 1.如图， 在锐角△ABC 中，CD 、BE 分别是AB 、AC 上的高，? 且CD 、BE 交于一 点P ， 若∠A=50°，求∠BPC 的度数。 2.所示，在△ABC 中，∠BAC=90°，AD ⊥BC 于D ，∠ACB 的平分线交AD 于E ，?交AB 于F ，请猜测∠AEF 与∠AFE 之间有怎样的数量关系，并说明理由． 3.把一副三角板按如图方式放置，则两条斜边所形成的钝角α=_______度． 4.如图，在△ABC 中，∠B=66°，∠C=54°，AD 是∠BAC 的平分线，DE 平分∠ADC 交AC 于E ，则∠BDE=_________． 5.如图,△ABC 中,∠ABC=∠C=72°,BD 平分∠ABC,求∠ADB 的度数. C B 45 α 30 D C B A
6.如图,△ABC 中,∠A=80°,∠B 、∠C 的角平分线相交于点O,∠ACD=30°,?求∠ DOB 的度数. 7.△ABC 的两条高AD ，CE 相交于点M ，已知∠A=30°，∠C=75°，求∠AMC 8.（1）在△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=100°，ME 和NF 分别垂直平分AB 和AC ，求∠MAN?的度数． （2）在（1）中，若无AB=AC 的条件，你还能求出∠MAN 的度数吗？若能，请求出；?若不能，请说明理由． 9.如图，在△ABC 中，∠ABC 的角平分线BE 和 ∠ACD 的角平分线CE 相交于点E ， (1)如果∠A =60°，∠ABC =50°，求∠E 的大小． (2)如果∠A =70°，∠ABC =40°，求∠E 的大小． (3)根据（1）和（2）的结论，试猜测一般情况下，∠E 和∠A 的大小关系，并简要说明理由． O D C B A C A E C B A
初一数学三角形角度的相关计算
[适用年级]：华师七年级 [期 别]：39期 [栏 目]：一点就通 三角形中的角度计算 河南安阳市十六中学 牛书堂 455000 要进行三角形的角度计算，首先要搞清楚三角形角度之间的关系变化。 1、内角和定理 在△ABC 中，∠A+∠B+∠C=180° 2、外角定理 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 3、直角三角形的两锐角 直角三角形的两个锐角之和等于90° 4、等腰三角形的三角的关系 已知等腰三角形的顶角为n °，则两底角为2 1(180°－n °);已知等腰三角形的一个底角为 n °，则另一个底角也是n °,顶角为180°－2n °. 三角形中的角度计算主要分以下三种形式： 1、方程法， 2、推理代换法， 3、特殊值法 1、方程法 例1、在△ABC 中，AB=AC ，CD 平分∠C ，∠ADC=150°，求∠B [分析] (1)所求的∠B 在△DBC 内，已知的∠ADC 是△DBC 的外角，所以有∠ADC=∠B+∠BCD 。∠B 是等腰△ABC 的顶角，∠BCD 是底角的一半，可以用∠B 表示，所以可利用方程式求∠B 。 (2)因为∠A 是底角，∠ACD 是底角的一半， ∠ADC 是已知角，所以可以先求出∠A 。 解法1、设∠B=x ，则∠ACB=21(180°－x),∠BCD=4 1(180°－x),由三角形的内角和定理，可得∠B+∠BCD=∠ADC ，即 x+4 1(180°－x)=150° 所以x=140° 解法2、设∠A=x ，则∠ACB=x,∠ACD= 21x 。因为∠A+∠ACD+∠ADC=180°， 所以 x+2 1x+150°=180° 解得x=20°,即∠A=20° ∴∠B=180°－2×20°=140° 例2、在△ABC 中，∠A ：∠B=5：7，∠C 比∠A 大10°，求∠C 解：设∠C=x,则∠A=x －10°,∠B=5 7(x-10°),所以有 C B A
有关三角形知识点
一、有关角的： 知识点1、三角形内角和定理：三角形的内角和等于180 知识点2：三角形外角性质：1）. 三角形的外角与它相邻的内角互补。 2）. 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。 3）. 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。 4）. 三角形的外角和等于360°。 二、重要的线 1.三角形的角平分线：一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和对边中点（角平分 线上的点到角两边的距离相等）； 2.三角形的中线：连接一个顶点和它对边的中点的线段； 3.三角形的高：从三角形的一个顶点向它对边所在的直线做垂线。 4、锐角三角形的三条高在三角形的内部，垂足在相应顶点的对边上。直角三角形的直角边上的高分别与另一条 直角边重合，垂足都是直角的顶点。而在钝角三角形中，夹钝角两边上的高都在三角形的外部，它们的垂足都在相应顶点的对边的延长线上。 5.线段的垂直平分线： 6、角平分线的的性质： 7、中位线： 8、直角三角形斜边上的中线： 三：重要的三角形的角与线 1、直角三角形： 2、等腰三角形：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合 3、等边三角形： 四：重要的定理 1、重心定理三角形的三条中线交于一点，这点到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍．上述交点叫做三角形的重心. 2、外心定理三角形的三边的垂直平分线交于一点．这点叫做三角形的外心.
3、垂心定理三角形的三条高交于一点．这点叫做三角形的垂心. 4、内心定理三角形的三内角平分线交于一点．这点叫做三角形的内心. 5、旁心定理三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点．这点叫做三角形的旁心． 三角形有三个旁心．三角形的重心、外心、垂心、内心、旁心称为三角形的五心．它们都是三角形的重要相关点． 6、中位线定理三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半． 7、三边关系定理三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 8、三角形面积计算公式S(面积)=a(边长)h(高)/2---三角形面积等于一边与这边上的高的积的一半 9、勾股定理： 10、在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半； 11、等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边） （注：文档可能无法思考全面，请浏览后下载，供参考。可复制、编制，期待你的好评与关注）
八年级数学上册：三角形中角的关系练习(含答案)
八年级数学上册:三角形中角的关系练习(含答案) 一、选择题 1．一个三角形的两个内角和小于第三个内角,这个三角形是（ ）三角形． A ．锐角 B ．钝角 C ．直角 D ．等腰 2．三角形的三个内角（ ） A ．至少有两个锐角 B ．至少有一个直角 C ．至多有两个钝角 D ．至少有一个钝角 3．一个三角形的一个内角等于另外两个内角的和,这个三角形是（ ） A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形 D ．何类三角形不能确定 4．一个三角形的两个内角之和小于第三个内角,那么该三角形是（ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．都有可能 5．一个三角形的三个内角的度数比是1:2:1,这个三角形是（ ）． A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰直角三角形 6．一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示,若∠3=50°,则∠1+∠2=（ ） A ．90° B ．100° C ．130° D ．180° 7．如图,在△ABC 中,∠ABC 的平分线与∠ACB 的外角平分线相交于D 点,∠A=50°,则∠D=（ ） A ．15° B ．20° C ．25° D ．30° 8．如图,直线l1∥l2,∠1=40°,∠2=65°,则∠3=（ ） A ．65° B ．70° C ．75° D ．85° 二、填空题 （第6题） （第7题） （第8题） （第9题）
9.如图,AE 是△ABC 的角平分线,AD⊥B C 于点D,若∠BAC=128°,∠C=36°,则∠DAE 的度数是_______ 10.如图,将三角尺的直角顶点放在直线a 上,a∥b ,∠1=50°,∠2=60°,则∠3的度数为_______11.（2008?沈阳）已知△ABC 中,∠A=60°,∠AB C 、∠ACB 的平分线交于点O,则∠BOC 的度数为________度． 12.如图所示,在折纸活动中,小明制作了一张△ABC 纸片,点D 、E 分别是边AB 、AC 上,将△ABC 沿着DE 折叠压平,A 与A'重合,若∠A=70°,则∠1+∠2=____________. 13.一个角是80°的等腰三角形的另两个角为____________. 14.如图,已知,AB∥CD ,直线EF 分别交AB,CD 于E 、F,点G 在直线EF 上,GH⊥AB ,若∠EGH=32°,则∠DFE 的度数为____________. 15.如图,将∠BAC 沿DE 向∠BAC 内折叠,使AD 与A′D 重合,A′E 与AE 重合,若∠A=30°,则∠1+∠2=________． 16.如图,已知点P 是射线ON 上一动点（即P 可在射线ON 上运动）,∠AON=30°, （第10题） （第12题） （第14题） （第15题） （第16题） （第17题）
11.2 与三角形有关的角
第2讲与三角形有关的角（11.2） 一、知识重点 1．三角形内角和定理 (1)定理：三角形三个内角的和等于180°. (2)证明方法：证法多样，主要是运用平行线知识把三个角转移成一个平角，从而得到内角和是180°.如图所示，过C作CM∥AB，将求∠A＋∠B＋∠ACB转化为求∠1＋∠2＋∠ACB，或过A点作DE∥BC，把求∠BAC＋∠B＋∠C转化为求∠BAC＋∠DAB＋∠EAC. (3)理解与延伸： 因为三角形内角和为180°，所以延伸出三角形中很多的角的特定关系如：①一个三角形中最多只有一个钝角或直角；②一个三角形中最少有一个角不小于60°；③直角三角形两锐角互余；④等边三角形每个角都是60°等． (4)作用：已知两角求第三角或已知三角关系求角的度数． 谈重点三角形内角和定理的理解三角形内角和定理是最重要的定理之一，是求角的度数问题中最基础的定理，应用非常广泛． 【例1】填空： (1)在△AB C中，若∠A＝80°，∠C＝20°，则∠B＝__________°； (2)若∠A＝80°，∠B＝∠C，则∠C＝__________°； (3)已知△ABC的三个内角的度数之比∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶5，则∠B＝__________°，∠C＝__________°. 解析：(1)三角形内角和为180°，已知两角求第三角； (2)可设∠C＝x°，那么x＋x＋80＝180，求出x＝50.所以∠C＝50°； (3)设每一份为x，得2x＋3x＋5x＝180，求得x＝18，所以∠B＝54°，∠C＝90°. 答案：(1)80(2)50(3)5490 2．直角三角形的性质与判定 (1)直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余． 如图所示，在Rt△ABC中，如果∠C＝90°，那么∠A＋∠B＝90°. 【例2－1】将一个直角三角板和一把直尺如图放置，如果∠α＝43°，则∠β的度数是()．
三角形求度数练习
.. 1.如图6—10，已知△abc 中，∠a=58°，∠1=∠2，∠3=∠4，求∠boc 的度 数． 2．如图6—11，已知∠c=90°，∠1=∠2，∠3=∠4，求∠d 的度数． 3．如图6—12，已知六边形有六个角，求它们的和是多少度？ 4．如图6—13，△abc 是等腰三角形，ab=ac ，求∠a 的度数． 6．如图6—15，已知正方形abcd 的边bc 上有一点e ，边cd 上有一点f ，且∠1=∠2=15°，证明△aef 是等边三角形．
.. 7．如图6—16，d 在△abc 的边bc 上，且bd=da=ac ，∠bac=63°，求∠dac 的度数． 3、在一个三角形中，∠1＝65°，∠2＝40°∠3＝（）度，这是 （）三角形。在一个直角三角形中，其中一个锐角是40，另一个 锐角是（ ）度。 4、把56.05的小数点先向右移动两位,再向左移动三位,结果是（ ）。 二、选择题。 1、大于4.9而小于5.2的小数有（）。一位小数呢？ A 、0个 B 、1个 C 、3个 D 、无数个 2、与7.8大小相等的三位小数是（）。
.. A 、7.800 B 、78.8 C 、7.080 3、在60米跑步比赛中，小刚成绩是7.7秒，小强的成绩是8.8秒。他们的成绩（）。 A 、小刚好 B 、小强好 C 、无法判断 4、用38个百分之一组成的小数是（）。 A 、0.038 B 、3.8 C 、0.38 5、用一个5倍的放大镜看15度的角，这个角成了（）的角。 A 、75度 B 、15度 C 、3度 6、下面三组小棒，不能围成三角形的是（ ）。
人教版八年级数学上册专题与三角形有关的角度的计算
人教版八年级数学上册专题与三角形有关的角度的计算 模型1：两个内角平分线的夹角 1.如图，在△ABC中，P点是∠ABC和∠ACB的角平分线的交点，若∠A=50°，则∠P=______. 2.如图，已知△ABC的三条内角平分线交于点I，AI的延长线与BC交于D点，IH⊥BC 于H，试比较∠CIH和∠BID的大小. 模型2：一个内角平分线和一个外角平分线 3.如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线交于点D，∠A=50°，则∠D=______. 4.如图，在平面直角坐标系中，A，B分别是x，y轴上的两个动点，∠BAO的角平分线与∠ABO的外角平分线相交于点C，在A，B的运动过程中，∠C的度数是一个定值，这个定值为______. 5.(达州中考改编)如图，在△ABC中，∠A=m°，∠ABC和∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC和∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2；…∠A2 014BC和∠A2 014CD 的平分线交于点A2 015，求∠A2 015的度数. 模型3：两个外角平分线 6.如图，在△ABC中，P点是∠BCE和∠CBF的角平分线的交点，若∠A=60°，则∠P=______. 7.一个三角形的三条外角平分线围成的三角形一定是______三角形.(填“锐角”“钝角”或“直角”) 模型4：“8”字形图案的两条角平分线的夹角 8.已知，如图1，线段AB，CD相交于点O，连接AD，CB，∠DAB和∠BCD的平分线AP
和CP 相交于点P ，并且与CD ，AB 分别相交于M ，N ，如图2.试解答下列问题： (1)在图1中，直接写出∠A ，∠B ，∠C ，∠D 之间的数量关系; (2)在图2中，∠D 与∠B 为任意角，试探究∠P 与∠D ，∠B 之间是否存在一定的数量 关系，若存在，写出它们之间的关系并证明；若不存在，说明理由. 模型5：角平分线与高线的夹角 9.已知：如图，在△ABC 中，∠C=70°，∠B=30°，AD 平分∠BAC ，AE ⊥BC ，垂足为E ，则∠DAE=______. 10.如图1，在△ABC 中，AE 平分∠BAC(∠C>∠B)，F 为AE 上的一点，且FD ⊥BC 于点 D. (1)试推导∠EFD 与∠B ，∠C 之间的数量关系. (2)如图2，当点F 在AE 的延长线上时，其余的条件都不变，判断在(1)中推导出的结论是否还成立？ 参考答案 1.115° 2.∵AI 、BI 、CI 为△ABC 的三条内角平分线，∴∠BAD=∠BAC ，∠ABI=∠ABC ，∠HCI=∠ACB.∴∠BAD ＋∠ABI+∠HCI=∠BAC+∠ABC+∠ACB ＝(∠BAC+∠ABC+∠ACB)＝ ×180°＝90°.∴∠BAD ＋∠ABI ＝90°-∠HCI.又∵∠BAD ＋∠ABI ＝∠BID ，90°-∠ HCI ＝∠CIH ，∴∠BID ＝∠CIH.∴∠BID 和∠CIH 是相等的关系.2121212121212121 3.25°4.45°5.∵A1B 平分∠ABC ，A1C 平分∠ACD ，∴∠A1=∠A ，∠A2=∠A1=∠A ，… ∴∠A2 015=∠A=. 6.60°7.锐角 8.(1)∠A+∠D=∠B+∠C.(2)∠D+∠B=2∠ P.由(1)得：∠D+∠1=∠P+∠3,∠B+∠4=∠P+∠2.∴∠D+∠1+∠B+∠4=∠P+∠3+∠P+ ∠2,又∵AP,CP 是∠DAB 和∠BCD 的平分线，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠D+∠B=2∠P.21212212015212015 2m 9.20°10.(1)过点A 作BC 边上的高AG ，则∠EAG=(∠C-∠B).∵FD ⊥BC ，∴FD ∥AG.∴ ∠EFD=∠EAG=(∠C-∠B).(2)(1)中结论仍然成立，方法同(1).212 1
求三角形中的角(几何计算)
几何计算与代数应用题一样，在解之前要明确题中的相等关系。设出恰当的未知数后，用其中的一些关系把相关的未知量表达出来，再用另一些相等关系列出方程即可 例1、在等腰△ABC中，AB=AC，D是AC上一点，且AD=BD=BC，求△ABC各角的度数． 分析：本题中的等量关系有：∠A=∠ABD，∠BDC=∠C，∠BDC=∠A+∠ABD， ∠ABC=∠C，∠A+∠C+∠ABC=180°。 方法一：设∠A=x°，用∠A=∠ABD， ∠BDC=∠C，∠BDC=∠A+∠ABD，∠ABC=∠C这些关系把相关的未知量表达出来：∠ABD= x°，∠BDC=∠C =2x°，∠ABC=∠C =3x°；用∠A+∠C+∠ABC=180°列出方程：x+3 x+ 3x=180°。 方法二：设∠C= x°则由∠ABC=∠C，∠A+∠C+∠ABC=180°，∠BDC=∠C，∠A=∠ABD 得∠A=∠ABD =180°- 2x°，∠BDC=∠C= x°；用∠BDC=∠A+∠ABD列方程 2（180°- 2x）= x° 变式1、在等腰△ABC中，AB=AC，D是AC上一点，且AD=BD，∠DBC=30°，求△ABC 各角的度数． 变式2、在等腰△ABC中，AB=AC，D是AC上一点，且BC=BD，∠DBA=30°，求△ABC 各角的度数． 例2、在△ABC中，AB=AC，BD=CD，AD=AE，∠BAD=40°。求∠CDE的度数。 变式1、如图,在△ABC中AB=AC.AD=AE,∠BAD=20°,∠AED+∠EDC=70°,则∠DAE的度数为多少? 变式2、在△ABC中，AB=AC，AD=AE，∠BAD=40°。求∠CDE的度数。 分析：本题中的相等关系：∠B=∠C，∠ADE=∠AED，∠ADC=∠B+∠BAD，∠AED=∠ADE，设∠B=∠C=x°，∠ADE=∠AED=y°，由∠ADC=∠B+∠BAD，∠AED=∠ADE列方程 X+40= y+∠EDC；X+∠EDC= y
三角形的内角(含答案)
7．2 与三角形有关的角 7．2．1 三角形的内角 基础过关作业 1．△ABC中，∠A=50°，∠B=60°，则∠C=________． 2．已知三角形的三个内角的度数之比为1：2：3，则这个三角形是（） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定3．△ABC中，∠A=∠B+∠C，则∠A=______度． 4．根据下列条件，能确定三角形形状的是（） （1）最小内角是20°；（2）最大内角是100°； （3）最大内角是89°；（4）三个内角都是60°； （5）有两个内角都是80°． A．（1）、（2）、（3）、（4） B．（1）、（3）、（4）、（5） C．（2）、（3）、（4）、（5） D．（1）、（2）、（4）、（5） 5．如图1，∠1+∠2+∠3+∠4=______度． (1) (2) (3) 6．三角形中最大的内角不能小于_______度，最小的内角不能大于______度．7．△ABC中，∠A是最小的角，∠B是最大的角，且∠B=4∠A，求∠B的取值范围．8．如图2，在△ABC中，∠BAC=4∠ABC=4∠C，BD⊥AC于D，求∠ABD的度数． 综合创新作业 9．（综合题）如图3，在△ABC中，∠B=66°，∠C=54°，AD是∠BAC的平分线，DE 平分∠ADC交AC于E，则∠BDE=_________． 10．（应用题）如图7-2-1-4是一个大型模板，设计要求BA与CD相交成30°角，DA与CB相交成20°角，怎样通过测量∠A，∠B，∠C，∠D的度数，来检验模板是否合格？
11．（创新题）如图，△ABC中，AD是BC上的高，AE平分∠BAC，∠B=75°，?∠C=45°，求∠DAE与∠AEC的度数． 12．（2005年，福建厦门）如图，已知，在直角△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC 且交AC于D． （1）若∠BAC=30°，求证：AD=BD；（2）若AP平分∠BAC且交BD于P，求∠BPA的度数． 13．（易错题）在△ABC中，已知∠A=1 3 ∠B= 1 5 ∠C，求∠A、∠B、∠C的度数．
专题训练(四) 与三角形有关的角度计算的四种方法-学习文档
专题训练(四)与三角形有关的角度计算的四种方法? 方法一根据三角形的内角和定理及其推论直接计算角度 1．如图4－ZT－1，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝40°，AD是角平分线，则∠ADC 的度数为() 图4－ZT－1 A．25°B．50°C．65°D．70° 2．如图4－ZT－2，已知∠A＝32°，∠B＝45°，∠C＝38°，则∠DFE的度数为() 图4－ZT－2 A．120°B．115°C．110°D．105° 3．2019·枣庄如图4－ZT－3，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，E为BC延长线上一点，∠ABC与∠ACE的平分线相交于点D，则∠D等于() 图4－ZT－3 A．15°B．17.5° C．20°D．22.5° 4．2019·岳西期中如图4－ZT－4，AB∥CD，∠C＝65°，CE⊥BE，垂足为E，则∠B 的度数为________． 图4－ZT－4 5．2019·安徽绩溪期中如图4－ZT－5，已知a∥b，∠1＝70°，∠2＝40°，则∠3＝________°. 图4－ZT－5 6．2019·安徽舒城月考如图4－ZT－6，直线l1∥l2，AB⊥CD，∠1＝34°，那么∠2＝________°. 图4－ZT－6 7．2019·淅川县期末如图4－ZT－7，在△ABC中，D是BC边上的一点，∠B＝50°，∠BAD＝30°，将△ABD沿AD折叠得到△AED，AE与BC交于点F. (1)填空：∠AFC＝________°； (2)求∠EDF的度数．
8．探索与发现：在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线． (1)在图4－ZT－8①中，若∠B＝20°，∠C＝50°，求∠EAD的度数； (2)在图②中，当∠ACB为钝角时，设∠B＝α，∠ACB＝β，请用含α，β的式子表示∠EAD，并说明理由． 图4－ZT－8 ?方法二三角尺或直尺的组合放置中的角度计算 9．将一副三角尺如图4－ZT－9放置，若∠AOD＝20°，则∠BOC的度数为() A．140°B．160° C．170°D．150° 图4－ZT－9 10．2019·营口如图4－ZT－10，将一副三角尺叠放在一起，使直角顶点重合于点O，AB∥OC，DC与OB交于点E，则∠DEO的度数为() 图4－ZT－10 A．85°B．70°C．75°D．60° 11．将一把直尺与一块三角尺如图4－ZT－11放置．若∠1＝40°，则∠2的度数为() 图4－ZT－11 A．125°B．120°C．140°D．130° 12．2019·枣庄将一副三角尺和一张对边平行的纸条按图4－ZT－12所示方式摆放，两个三角尺的一直角边重合，含30°角的三角尺的斜边与纸条一边重合，含45°角的三角尺的一个顶点在纸条的另一边上，则∠1的度数是() 图4－ZT－12 A．15°B．22.5°C．30°D．45° ?方法三与截取或折叠有关的角度计算 13．如图4－ZT－13，小明将一张三角形纸片(△ABC)沿着DE折叠(点D，E分别在边AB，AC上)，并使点A与点A′重合，若∠A＝70°，则∠1＋∠2的度数为()
三角形度数练习
三角形练习题 一、填空 1.等腰三角形的两条边( ),它是( )图形,有( )条对称轴;等边三角形的( )相等,每个角都是( )度,它是( )图形,有( )条对称轴。 2.两条边相等的三角形叫( )三角形,已知它的底角为75°,那么顶角是( )度。 3.一个等腰三角形的一个底角是45°,顶角是( )度,它又叫( )三角形。 4.任何一个三角形三个内角的和是( )度。 5.三角形的一个内角为45°,另一个内角是它的2倍,第三个内角是( )度,这个三角形叫( )三角形。 二、判断,对的打“√”,错的打“×” 1.∠1=75°,∠2=20°,∠3=85°,能组成三角形。( ) 2.∠1=65°,∠2=76°,∠3=40°,不能组成三角形。( ) 3.三条边分别为15厘米、7厘米、8厘米。能组成三角形。( ) 4.三条边分别为2.5厘米、4.5厘米、8厘米。不能组成三角形。( ) 5.一个三角形三条边的长度分别是6厘米、5厘米、6厘米,这个三角形是等腰三角形。( ) 三、选择,把正确答案的序号填在括号内 1.做房屋的屋架是运用了三角形的( )
①有三条边的特性②易变形的特性③稳定不变形的特性 2.有一个三角形,从它的一个顶点起,用一条直线把它分成两个三角形,每个三角形的内角和是( )。 ①90°②180°③360° 3.所有的等边三角形都是( )三角形 ①锐角②直角③钝角 4.等腰三角形中,有一个内角是40°,另外两个内角是( )。 ①必定是40°和100°。②必定都是70°。 ③必定是40°和100°或都是70°。 5.有( )个角是钝角的三角形叫做钝角三角形。 ①1个②2个③3个 6.一个三角形最少有( )个锐角。 ①3个②2个③1个 四、画出下面三角形底边上的高。 五、已知∠1和∠2是直角三角形中的两个锐角,已知其中一个角的度数,求另一个角的度数。 1.∠1=15°,∠2=( )。