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数学建模 DVD租赁在线租赁问题

DVD 租赁问题

摘要

我们通过分析题目可知，在租赁过程中，网络经营者主要关注DVD 的购买和分配。根据题目所提出的要求，本文针对在线DVD 租赁问题中的订购、分配等问题进行了研究，建立了DVD 的购买和分配0-1规划模型，给出了该问题的优化方案。

问题一：通过对调查问卷的整理分析，我们得到了1000个会员对于其中5种DVD 愿意观看的频数。因此我们认为愿意观看各种DVD 的人数服从二项分布，从而计算出在多种可靠度下应该购买DVD 的数量，见表一。

问题二：题目要求如何进行分配，使会员获得最大满意度。所以我们以会员的标准

最大满意度∑∑==?10001100

1000116

i j ij ij b x 为目标函数，建立一个0—1规划模型，得到分配方案，并使用软件LINGO 编程求解。得到最大满意度89.13%，和前30位会员的分配方案（见表五）。

问题三：我们以会员的最大满意度和网站的最小购买量建立双目标函数。考虑到60%的会员在一个月内由于两次租赁，而致使一部分DVD 可被重复利用，因而，我们采用了分两个阶段购买的方案，在每个购买阶段都建立了双目标整数规划模型，利用lingo 求得应购买3066张。从而使实际购买量比网站原来的拥有量小，并且使会员的满意度达到了99.38%。

问题四：我们对新出的DVD 进行市场需求预测；利用市场预测选取购买方案，最后按会员在线的订单进行合理分配。在这个过程中，我们追求获得最大收益。因而一方面减少购买DVD 所需的成本，另一方面最大化满足各会员的需求。关键词：二项分布、0-1规划、双目标规划、满意度

一、问题重述

许多网站利用其强大的资源和知名度，面向其会员群提供日益专业化和便捷化的服务。音像制品的在线租赁就是一种可行的服务。这项服务充分发挥了网络的诸多优势，包括传播范围广泛、直达核，为顾客提供更为周到的服务。

顾客缴纳一定数量的月费成为会员，订购DVD租赁服务。会员提交的订单包括多张DVD，这些DVD是基于其偏爱程度排序的。网站会根据手头现有的DVD数量和会员的订单进行分发。每个会员每个月租赁次数不得超过2次，每次获得3张DVD。会员看完3张DVD之后，只需要将DVD放进网站提供的信封里寄回（邮费由网站承担），就可以继续下次租赁。请考虑以下问题：

1）网站正准备购买一些新的DVD，通过问卷调查1000个会员，得到了愿意观看这些DVD的人数。此外，60%的会员每月租赁DVD两次，而另外的40%只租一次。假设网站现有10万个会员，对表1中的每种DVD来说，应该至少准备多少张，才能保证希望看到该DVD的会员中至少50%在一个月内能够看到该DVD？如果要求保证在三个月内至少95%的会员能够看到该DVD呢？

2）表2中列出了网站手上100种DVD的现有张数和当前需要处理的1000位会员的在线订单（表2的数据格式示例如下表2，具体数据请从，如何对这些DVD进行分配，才能使会员获得最大的满意度？请具体列出前30位会员分别获得哪些DVD。

3）假设表2中DVD的现有数量全部为0。经营管理人员应如何决定每种DVD的购买量，以及如何对这些DVD进行分配，才能使一个月内95%的会员得到他想看的DVD，并且满意度最大？

4）如果你是网站经营管理人员，你觉得在DVD的需求预测、购买和分配中还有哪些重要问题值得研究？请明确提出你的问题，并尝试建立相应的数学模型。

二、模型假设

1、忽略DVD租赁过程中的磨损；

2、假设以一个月为一个周期，考虑在一个周期内DVD的租赁情况；

3、假设一个会员在一个月内租赁到想看的DVD的时间不影响其满意度；

4、假设会员只有将第一次租赁的DVD返还网站才能进行第二次租赁；

5、假设一个周期结束，所有的DVD全部归还网站，不影响下一个周期的租赁；

6、假设每一个会员同一种DVD只租赁一次。

三、符号说明

n：购买j种DVD光盘的数量

p：租赁j种DVD光盘的频率

x：第i人是否租赁j种DVD光盘

：第i人是否租赁到j种DVD光盘的满意度

ij β：第i 人对j 种光碟的偏爱程度

四、问题分析

题目中主要研究的是：网站对DVD 的购买和分配问题，因此我们通过预测，建立模型，最后求解可以帮助网站进行合理购买以及对DVD 的分配方案。使得会员得到最大的满意度。

问题一：该网站会员中至少50%的人在一个月内能够看到该DVD ，为了尽可能使商家购入少的DVD 以满足需求，本文先假设在一个周期内网站内的会员对光碟都进行一次性租赁，根据可靠度的不同，求出各个可靠度下的结果。然后再根据有60%的会员每月租赁DVD 两次，将所得结果按一定比例减小。

问题二：这是一个最优分配的问题。根据各个会员的偏爱程度不同，网站对DVD 进行分配，建立以满意度为目标的函数，在DVD 数量一定的前提下，使其合理的分配，使目标函数达到最大值。

问题三：问题三是一个多目标函数，有两个目标：要有95%的会员得到他想看的DVD ；满意度要达到最大。我们以会员的最大满意度和网站的最小购买量建立双目标函数。同样利用软件LINGO 进行求解。

问题四：题目要求我们自己提出问题并给与解答。所以我们关注对新出DVD 的购买与分配。

五、模型建立与求解

问题一：

针对问题一我们建立如下模型并求解。

通过题目中的表二我们可以都得到会员租赁5种DVD 的概率。

设随机变量???=，种个会员不租赁第表示第种个会员租赁第

表示第DVD 0DVD,1j i j i ij ξ其中i=1,2,…,100000,显然随机

变量ij ξ服从两点分布，即j ij p p ==}1{ξ , j ij p p -==1}0{ξ，其中j p 通过上表一得到。

设随机变量,5....,2,1,000,1001

∑=j i ij

j ξ

η即j η表示100000个会员中租赁第i 张DVD 的总

数，由于会员之间是否租赁该张DVD 是相互独立的，因而),,000,100(~j j p B η如果网站

准备了)%50(j E η张DVD 是有数的，则满足至少50%的会员看到该DVD 的概率是

{}??

???????-≤-=≤)%50()%50()%50()%50()%50(%50)%50(%50j j j j j j j j D E E D E P E P ηηηηηηηη

=()2100)%50()%50(%50=Φ≈??

???????≤-j j j D E P ηηη

其中约等式是由中心极限定理得到。为了提高至少满足50%的人看到该片的可靠度（即概率），我们需要改变提供的数量。设可以保证至少50%的人看到该片的可靠度为99%，即%99)(=Φt ，由此可以得到t=2.33,则

)1.(000,1033.2000,50)%50(33.2)%50(%50j j j j j j p p p D E -+=+≤ηηη

同时，由于60%的会员每个月会租赁DVD 两次，40%的会员每个月会租赁DVD 一次，所以租赁两次的会员会将第一次租赁的DVD 归还，这样就可以满足其他会员租赁的要求，但是因为该张DVD 是被会员第一次租赁，还是被会员第二次租赁的情况是随机的。我们假设这两种情况是等可能的，所以该张DVD 被再次利用的期望值为：

%3002

%6021=?+? 由此我们可以得出：只需要准备所需量的70%就可以满足题目中的要求。

综上所述，我们以99%的可靠度满足可少50%的租赁会员能够看到某种DVD 所需要准备的该种DVD 的数量为：

???-??+?)1(000,1002133.2000,50%70j j j p p p

代入相关数据，我们可以得到保证至少50%的人在一个月内看到该种DVD ，网站

需要准备该DVD 的张数。我们还计算了在可靠度为50%的情况下，网站需要准备DVD 的张数。共同结果如下表三。

为了保证在三个月内使得95%的会员看到其所想要租赁的DVD ，只需要提供一个

月内使得95%的会员看到其想要租赁的DVD 的总量的3

，因为每个月为一个周期，所

以3个月内DVD 的流通量相当于一个月内DVD 流通了三个周期的量。因而以99%的可靠度使得三个月内95%的会员看得到该DVD ，网站应准备的张数为

[]

)1(000,10095.033.2%95000,100%703

j j j p p p -??+????

带入相关数据，可以得到保证这少95%的会员三个月内看到该DVD ，网站需要准备该DVD 的张数。同样我们还计算了在可靠度为50%的情况下，网站需要准备DVD 的张数。共同结果如下表四。

问题二：

本问题要求如何把网站手上现有的100张DVD ，和在线的1000为会员的需求进行合理的分配，以达到每位会员的最大满意度。因为我们要求的是最优化问题所以我们使用LINGO ，通过分析我们建立如下模型：

设：

则对会员的分配矩阵为，种个会员没有分到第

表示第，种个会员分到了第

表示第???=DVD 0DVD 1j i j i x ij ???

???

=???????????????????

=100021

100,1000100

,2100

,12,10002,22

,11,10001,21

,1X X X x x x x x x x x x X

其中i X 为一维行向量，表示对第i 个会员的DVD 的分配情况。

设ij a 表示第i 个会员对第j 张DVD 的偏爱程度，由于ij a 的数字越大，表示其偏爱程度越小，同时会员得到该DVD 的满意度越小，因而我们定义第i 个会员分配到第j 张DVD 的满意度为ij b 则

?????=≠=0,00,1

ij ij ij a a a b

则会员的满意度矩阵为

???

=???????????????????

?=100021

100,1000100

,2100

,12,10002,22

,11,10001,21

,1B B B b b b b b b b b b B

其中i B 为一维行向量，表示第i 个会员分配到各类DVD 的满意度。因而，第i 个会员对该方案的满意度为：

ij j ij T i

i b x B X ?=?∑=100

当第i 个会员得到其偏爱度为1，2，3，的三张DVD 时，他是最满意的，其满意度为++2116

31=，由此可以得到第i 个会员的标准化满意度为：

.1000,...,2,1,1166

116

11100

100

=?=?=?∑∑==i b x b x

B X j ij ij j ij

i i 为了会员获得最大的满意度，可以是他们的满意度和达到最大，由此得到目标函数为：

max ∑∑==??100

1000

1000116

j ij ij

i b x

在分配的过程中，每种DVD 分配给会员的总数不超过网站准备的总数，即

100,...,2,1,10001

=≤∑=j n x

i j ij

再一次分配中，每个会员获得3张DVD ；如果不够3张就视为分给该会员0张DVD ，即:

∑==≤≤1000

11000,...,2,1,30i ij i x

综合上述分析，可以得到该问题的模型为

max ∑∑==??100

1000

1000116

j ij ij

i b x

..t s ..100,...,2,1,1000,...,2,1101000,...,2,1,30100,...,

2,1,1000

11000

1====≤≤=≤∑=∑=?

???

????????j i x i x j n x ij i ij i j ij 或根据上述模型，我们使用LINGO 软件进行求解（附录1），

结果如下：目标函数的最大值为89.13%; 会员所得光盘的张数和相对应的人数，以及比率见表五。

前30位会员获得DVD 的情况见表六，

通过计算，前30位会员的标准满意度为92%，获得3张DVD 的比率为93.3%，也就是说有93.3%的会员能够看到他想看的DVD 。这个满意度及分配方法还是合适及可行的。问题三：

我们考虑到60%的会员在一个月内由于两次租赁，而致使一部分DVD 可被重复利用，因而，我们采用了分两个阶段购买的方案，在每个购买阶段都建立了双目标整数规划，从而使实际购买量比网站原来的拥有量小，并且使会员的满意度达到了最大。同样这依然是一个优化问题，所以我们还是使用LINDGO 进行计算求解。通过对问题三的分析，我们建立如下模型：第一阶段的购买方案：

设),...,,(100,2,1,i i i i y y y Y = 表示针对第i 个会员的需求所选取的购买方案，其中

?=，种个会员购买第表示不为第，种个会员购买第

表示针对第DVD 0DVD 1j i j i y ij ，以为有60%的会员会每个月租赁两次，而另外40%的会员会每个月租赁一次，因此我们假设每个月会有两次订单，其中题目中所给

出的表二作为第一次订单，首先利用表二的数据给出第一阶段的购买方案。在购买中，保证50%的会员得到他想看的DVD ，即95%的会员得到他订单中的三张，同时要是他们的满意度最大，另外网站希望购买的DVD 张数越少越好，所以建立如下模型：

min

∑∑==100

1000

j ij

i y

max ∑∑==?100

1000

1000116

j ij

i y

100,...,2,1,1000,...,2,1,10,

3%9510001000,....,2,1,2,11000,...,2,1,3010001100

11001100

1100

1..===??≥-≠≠=≤≤∑=∑=∑=∑=∑=?

???????

???j i y y i y y i y ij

i j ij j j ij ij j ij t s 或

有上述目标函数及约束条件可以看到，这个整数规划有多个可行解，这个解是从1000个人中任意抽取950人，对于950个人中每一个人选取其偏爱程度分别为1，2，3，的3张DVD 。最后统计一下每张DVD 被950人选为偏爱程度为1，2，3，的总数，则可得到该张DVD 购买的数目。通过LINGO 实现编程，程序及结果见（附录2）第二阶段购买方案：

网站为了满足95%的会员的需求，根据60%的人本月内的第二次租赁订单，进行第二次购买。题中没有给出60%的会员第二次租赁的订单，我们将利用题目中的表二，随机选取600(1000?60%)为会员的在线订单，作为第二次租赁订单。为了便于数学符号上的处理，不失一般性，我们不妨选择1000位会员前600个会员的订单作为第二次订单。因为这600个会员在第一阶段购买方案中已经满足了他们偏爱度为1，2，3，的DVD 需求应记为0（否则，因为目标函数是满意度最大，所以最后得出的还是偏爱度为1，2，3，的DVD 需求），则第二次订单中各会员的相应满意度为

),100,...,2,1,600,...,2,1(1,00,==?????===j i y y b d ij

ij ij ij 也就是说，如果第i 个会员在第一次租赁中

得到第j 张DVD 时，则在第二次租赁中，第i 个会员对第j 张DVD 满意度为0. 设),...,,(10021i i i i Z Z Z Z =表示根据第二次租赁订单第i 个人的需求网站采购DVD 碟片的方案。在第二次分配中，当第i 个会员得到其偏爱度为4，5，6，的三张DVD 时，

他是最满意的，其满意度为：60

37615141=++，由此可以得到第i 个会员的标准满意度为：

600,...,2,1,376060

371001

100

=?=?∑∑==i d z d z

j ij ij j ij

为了会员获得比较大的满意度，可以是他们的满意度和达到最大，由此可以得到目

标函数为：

∑∑∑∑====?=??6001100

600110013701max 6003760max i j ij ij i j ij ij d z d z 网站在第二次确定购买方案时，一方面需要考虑第一部采购时所有的相关问题，同

时还需要考虑第一次租赁后还回来的DVD 再次利用，因而可以得到如下模型：

∑∑==6001100

min i j ij z

∑∑==?6001100

3701max i j ij ij d z 100

...21600...21i 10,

3%95600600,...,2,1,2,1306001100

1001100

1100

...，，，，，，，，或===∑∑??≥=≠≠≤≤==∑=∑=∑=???????

???????

=j z z i z z z ij i j ij j j ij ij j ij t s

此模型的解法类似于第一阶段购买方案模型的解法。

综上所述两部，则可以得到网站购买DVD 数量的方案为：

∑=∑=∑=∑=∑=∑=∑=∑=?????

?<>-+1000

16001600110001

6001600160016001,),(i i i ij

ij ij i i i i i ij ij ij ij ij y z y y

z y z y j ? 其中j ω表示网站购买第j 张DVD 的数量，j=1，2，…，100

根据我们所建立的模型，可以得到网站购买DVD 的数量，在此基础上，利用问题二

中的分配DVD 的模型，可以得到相应的分配方案网站的购买量.见表七

通过LINGO 编程实现，并运行出结果。（附录3）

问题四：

如果你是网站经营管理人员，你觉得在DVD 的需求预测、购买和分配中还有哪些重要问题值得研究？请明确提出你的问题，并尝试建立相应的数学模型

题目要求我们自己提出问题，并进行建模求解。

作为一名网络的经营者，在经营过程中，主要考虑下面几个方面的问题：对新出的DVD 进行市场需求预测；利用市场预测选取购买方案，最后按会员在线的订单进行合理分配。在这个过程中，我们追求获得最大收益。因而一方面减少购买DVD 所需的成本，另一方面最大化满足各会员的需求。下面是模型的建立与求解：

在市场需求预测方面，可以通过市场调查和以往的租赁经验，采取简单随机抽样，分类预测，关联预测等多种方法，以便得到较为准确的市场信息。

利用市场需求预测的相关信息对购买方案进行指导。一方面减少DVD 的购买量

另一方面最大化满足个会员的租赁要求。在这个过程中，除了题目中所考虑的约束问题之外，我们还需要关注DVD 的价格，DVD 的重复利用率，新加入会员人群的潜在性影响等。

根据第一步的市场需求分析，我们可以得到该张DVD 可能被租赁的概率为p 。类似于问题一的分析，只需要总量的70%就可以满足要求。

k 30，因而该DVD 在这样的概率分布下，可以重复利用次数的数学期望为：∑=?30

130k k p k

设在线会员人数为n ，在一个月内，新加入会员的潜在可能行为α，同时网站需要以β的概率保证是的a%的会员看到想看的DVD ，那么网站应该购买的DVD 数量为：

,30]

)1()1(%%)1[(%7030

1∑=?-???+?+???+?k k p k

p p n a t a p n αα其中β=Φ)(t

在分配过程中，可以充分考虑会员在一个月内换回来的DVD 重复利用率，依据上述分析可知，每张DVD 的可以重复利用次数为：∑

=?30

k k p k ，该网站拥有第j 张DVD 的数量为j n ，在分配中，该DVD 的数量可以被认定为：∑=?30

130

k k j p k

n ，其中j=1，2，…，m 。

综上所述，得如下模型：

∑∑==L i m

j ij ij b x L 11

116max ???

????====≤≤=??≤∑∑∑===m j L i x L i x m j p k n x t s ij m

j ij L

i k k j ij

,...,2,1,,...,2,1,10,...,2,1,30,...,2,1,30..11

或

，

，张个会员没有分到第表示第，张个会员分到了第

表示第???=DVD ,0DVD ,1j i j i x ij

的满意度。

张个会员对分配到第表示第DV D j i b ij 通过以上分析，我们依然使用LINGO 软件进行求解运算。程序见(附录4)

此模型的求解与模型二的求解类似。

六、模型的评价及误差分析

1、对于满意度的表示，我们采用表二中偏爱程度的倒数来表示，使得会员满意度的描述有依据，避免了线性取值带来的较大误差，显得比较合理。

2、本模型在随机分布的基础上，建立关于DVD 分配情况的矩阵，以及各会员的满意度矩阵，使得问题的描述比较清晰。

3、在进行问题三的求解时，我们仅选取前600名会员作为分析对象，这样虽然避免大的计算量，但是使结果的误差变大。

4、表二所给出的仅仅是一个网站某一次会员订单的数据，由于数据量不够充足，使得我们所求的数学期望就显得有些粗略。

5、在实际中，租赁分配又是一个复杂的数学问题，存在着大量的不确定性，例如：网站会员数目、会员对不同DVD 的偏爱程度、会员的租赁时间、租赁的DVD 的数目以及归还时间等等，所以我们的模型会有一定程度的偏差。

七、参考文献

[1]麻志毅（译），《C语言解析教程》，北京：机械工业出版社， 2000年；

[2]姜启源谢金星叶俊，《数学模型》，北京：高等教育出版社， 2004年；

[3]杨荣郑文瑞《概率论》，北京：清华大学出版社， 2007年；

附录

附录1：

model:

sets:

var1/1..1000/:i;

var2/1..100/:j,n;

links(var1,var2):x,b;

endsets

data:

n=@ole(111.xls,DVD数量）;

b=@ole(111.xls,需求量）;

enddata

max=6/(11*100)*@sum(var2(j):@sum(var1(i):x(i,j)*b(i,j)));

@for(var1(i):@sum(var2(j):x(i,j))

@for(var1(i):@sum(var2(j):x(i,j))<3);

@for(var1(i):@sum(var2(j):x(i,j))>0);

@for(links:@bin(x));

end

附录2：

model:

sets:

var1/1..100/;

var2/1..1000/;

links(var2,var1):y,b;

endsets

min=@sum(var2(j):@sum(var1(i):y(i,j)));

max=6/(11*1000)*@sum(var2(j):@sum(var1(i):y(i,j)*b(i,j)));

@bnd(0,@sum(var1(i):y(i,j)),3);

@for(links:@bin(y));

@sum(var1(i):@sum(var2(j):y(i,j)))>=1000*0.95*3;

@sum(var1(i):y(i,j))>1+0.01;

@sum(var1(i):y(i,j))>2+0.01;

data:

b=@ole(222.xls,需求量);

enddata

end

附录3：

model:

sets:

var1/1..600/;

var2/1..100/;

links(var1,var2):z,d;

endsets

max=1/370*@sum(var1(i):@sum(var2(j):z(i,j)*d(i,j))); @sum(var2(j):z(i,j))>=0;

@sum(var2(j):z(i,j))<=3;

@sum(var2(j):z(i,j))>1+0.01;

@sum(var2(j):z(i,j))>2+0.01;

@sum(var1(i):@sum(var2(j):z(i,j)))>=1800*0.95;

@for(links:@bin(z));

data:

enddata

end

2005年DVD在线租赁DVD在线租赁__数学建模

DVD在线租赁一、问题重述随着信息时代的到来，网络成为人们生活中越来越不可或缺的元素之一。许多网站利用其强大的资源和知名度，面向其会员群提供日益专业化和便捷化的服务。例如，音像制品的在线租赁就是一种可行的服务。这项服务充分发挥了网络的诸多优势，包括传播范围广泛、直达核心消费群、强烈的互动性、感官性强、成本相对低廉等，为顾客提供更为周到的服务。考虑如下的在线DVD租赁问题。顾客缴纳一定数量的月费成为会员，订购DVD租赁服务。会员对哪些DVD有兴趣，只要在线提交订单，网站就会通过快递的方式尽可能满足要求。会员提交的订单包括多张DVD，这些DVD是基于其偏爱程度排序的。网站会根据手头现有的DVD数量和会员的订单进行分发。每个会员每个月租赁次数不得超过2次，每次获得3张DVD。会员看完3张DVD 之后，只需要将DVD放进网站提供的信封里寄回（邮费由网站承担），就可以继续下次租赁。请考虑以下问题： 1）网站正准备购买一些新的DVD，通过问卷调查1000个会员，得到了愿意观看这些DVD的人数（表1给出了其中5种DVD的数据）。此外，历史数据显示，60%的会员每月租赁DVD两次，而另外的40%只租一次。假设网站现有10万个会员，对表1中的每种DVD来说，应该至少准备多少张，才能保证希望看到该DVD的会员中至少50%在一个月内能够看到该DVD？如果要求保证在三个月内至少95%的会员能够看到该DVD呢？ 2）表2中列出了网站手上100种DVD的现有张数和当前需要处理的1000位会员的在线订单（表2的数据格式示例如下表2，具体数据请从.asp下载），如何对这些DVD进行分配，才能使会员获得最大的满意度？请具体列出前30位会员（即C0001~C0030）分别获得哪些DVD。 3）继续考虑表2，并假设表2中DVD的现有数量全部为0。如果你是网站经营管理人员，你如何决定每种DVD的购买量，以及如何对这些DVD进行分配，才能使一个月内95%的会员得到他想看的DVD，并且满意度最大？ 4）如果你是网站经营管理人员，你觉得在DVD的需求预测、购买和分配中还有哪些重要问题值得研究？请明确提出你的问题，并尝试建立相应的数学模型。二、模型假设 1.一个月的天数按30天计算； 2.1000名会员的样本足以反映10万名会员的特点； 3.严格按照60%的会员每月租赁两次DVD，40%会员每月租赁一次，且对DVD 没有损坏； 4.会员提交的订单的时间是随机的； 5.会员连续两次借的DVD没有重复的； 6.会员每个月必须至少租赁一次； 7.会员对他所偏爱的DVD的偏爱度不会改变。三、符号说明

关于DVD在线租赁问题的数学建模的研究(家家) 2

关于DVD在线租赁问题的数学建模的研究年级：2011级学院：计算机信息与工程专业：计算机科学与技术姓名：陈志超（1108114022计科二班）王俊美（1108114014计科二班）焦标标(1108114科一班)

关于DVD 在线租赁问题的数学建模的研究摘要本文考虑的是DVD 在线租赁的问题，我们从历史统计数据出发把会员分为两类，A 类：（占60%）一个月内可以租碟两次，B 类：（占40%）一个月内只可以租碟一次。基本假设出发，第一问我们根据实际情况以及基本假设，A 类：一个月内第一次租碟看了半个月就还回来，可以提供本月下一次再出租，B 类：租一次就看了一个月这个，我们通过推理的出了满足假设的结果，其结果基本上是合理的，第二问我们可以把它归结为（0，1）整数规划，把会员的满意度作为目标函数进行决策，首先我们把代表会员偏爱程度用层次分析的方法（即通过取倒数的方法）转化为顾客满意程度，由于我们建立的模型是一个（0，1）整数规划的模型，它是一个NP-难的问题，基于问题复杂性，我们只能提供贪婪算法这种启发式算法，通过逐步寻优得出一个近似解后，我们再对解进行改进，使之得到更具实际意义的解，第三问也可以把它归结为（0，1）整数规划，我们首先确定1000个会员中A 类会员与B 类会员，我们的作法是在（1-1000）中随机产生600数我们令会员编号属于这600个数是属于A 类的，其余的属于B 类。然后初步确定每种DVD 数量，我们开始取的DVD 总的数量为应该有的下界（即3*950=2850），则第j 种DVD 的数量为：满意度之和所有客户对所有的满意度之和种所有客户对第DVD DVD j * 2850 然后与第二问类似的算法的出初始解，然后对解进行进一步优化与改进，使满足95%的会员在一个月内能够看到他想看到的DVD 。最后我们提及了模型的改进以及算法的改进建议。关键字整数规划贪婪算法满意度在线租碟一﹑问题的重述及研究背景随着信息时代的到来，网络成为人们生活中越来越不可或缺的元素之一。许多网站利用其强大的资源和知名度，面向其会员群提供日益专业化和便捷化的服务。例如，教育资源的光盘制品在线租赁就是一种可行的服务。这项服务充分发挥了网络的诸多优势，包括传播范围广泛、直达核心消费群、强烈的互动性、感官性强、成本相对低廉等，为顾客提供更为周到的服务。在为顾客提供方便的同时，为了追求利润的最大化，租赁服务将面临以下决策问题： 1．在知道愿意观看的顾客的数量的情况下，如何对准备DVD 的数量，使愿意观看的人数达到某种程度？ 2．在知道每个顾客的定单、偏爱程度以及现有的DVD 的数量的情况下，如何分配才能使会员获得最大的满意度？ 3．在知道顾客的定单、偏爱的程度的情况下，如何决定DVD 的购买量以及分配，使满足一定的顾客得到他想要的情况下使满意度最大 4．如何预测顾客的需求，使准备的DVD 利用率最高以及使顾客的满意度最大。以上问题的解决将使在线租赁服务的决策者对需求、购买量、分配进行决策使顾客的满意度以及服务的利润最大。二﹑问题假设（1）每个会员每个月租赁次数不得超过2次，每次获得3张DVD 会员看完3张DVD 之后，需将DVD 寄回，才可以继续下次租赁。

数学建模——DVD在线租赁

DVD在线租赁问题优化方案（田密万国）摘要本文依托现实网站DVD在线租赁预测、购买和分配方式，抽象简化出主要以网站购置量少、分配方式好以及会员满意度高为目标的数学模型，并通过合理简化假设进行需求预测，并建立优化模型。问题一：我们建立DVD利用率数学模型，得到了至少50%在一个月内能够看到各种DVD至少需要的DVD张数分别为6250,3125,1563,782,313，以及三个月内能保证至95%的会员能够看到各种DVD至少需要的每种DVD的张数分别为3959,1980,990,495,198。（具体见表一）问题二：首先通过对数据的分析定义了关系式：满意度=11－偏爱度，建立整数规划模型。用Lingo解得最大满意度为24746,以及前三十名会员的分配方案（见表一），全部会员的分配方式（见附表DVDc.xls）。问题三：要求DVD购置量最小与满意度最高是决策问题的关键，平衡DVD购置量和会员满意度，找到较好的购置方式及分配方案。于是有两个目标：DVD购买总量最少，总满意度最大。采用分层序列法将多目标规划转换为单目标规划，用Lingo编程解得DVD 购买总量2850张, 最大满意度为25650,以及分配方式（见附表DVD3c.xls）。问题四：我们的想法是从网站最大化客户满意度与最大利润双目标的具体实现入手，可以考虑设立不同等级优先度的策略，以及减少DVD人为或运输破损等造成的损失，来共同提高会员整体满意度和实现效益最优。关键词：整数规划模型，满意度，0-1规划，多目标规划，Lingo

一、问题重述信息时代，网络发挥越来越重要的作用，许多网站利用强大资源和知名度为消费者提供专业便捷的服务。音像制品的在线租赁即为其中一项，充分发挥了网络诸多优势，为顾客提供了周到的服务。考虑在线DVD租赁问题。顾客缴纳一定数量的月费成为会员，订购DVD租赁服务。会员提交订单，网站根据现有的DVD数量和会员的订单进行分发，并基于其偏爱程度排序。每个会员每月租赁次数和张数有限制。会员在看完之后，将DVD寄回网站，就可以进行下次租赁。考虑以下问题： 1、网站预购新DVD，问卷调查得到愿意观看人数记录，并由历史数据得到租赁两次与租赁一次的人数之比。考虑至少应准备多少张，能保证希望看到该DVD的会员中至少50%在一个月内能够看到该DVD；类似的，考虑在三个月内能保证至95%的会员能够看到该DVD至少需要的DVD张数。 2、根据网站现有DVD张数以及所需处理的会员订单，思考如何分配这些DVD，使会员得到最大满意度，并列出前三十位会员分别获得哪些DVD。 3、考虑表2（假设DVD数量为0），确定DVD的购买量以及分配方式，使一个月内95%的会员得到想看的DVD，并达到最大满意度。 4、针对问题四，我们从网站最大化客户满意度与最大利润双目标的具体实现入手，可以考虑设立不同等级优先度的策略，以及减少DVD人为或运输破损等造成的损失，来共同提高会员整体满意度和实现效益最优。二、模型假设、的比例分配； 1、只存在每月租借一次和每月租借两次两类会员，且符合40%60% 2、会员每月至少租借一次DVD，每次只能租借三张DVD，且三张不同； 3、一个月借两次的人必须在第一次借的DVD归还之后才能再接第二次； 4、每月只借一次的会员在月末才归还所借的DVD，所以这部分DVD不能再借给其他会员； 5、不同DVD的需求与分配独立，之间没有关联性； 6、某张DVD被会员还回后，可在当天配送给其他需要的会员； 7、DVD的分配量决定其购置量； 8、会员满意度与其在一个分配周期内租借到其想看DVD的具体时间无关；三、符号说明 1、为第j(j=1,2…5)种DVD应准备的数量； 2、为希望看到第j种DVD的人数; 3、等于1表示分配给会员i第j种DVD,反之不分配(i=1,2,…,1000，j=1,2,3…100)； 4、表示会员i对第j种DVD的偏爱度(i=1,2,3…1000，j=1,2,…,100)；

数学建模论文格式官方要求

二、论文格式规范 (一)“论文首页”编写竞赛论文首页为“编号页”，只包含队号、队员姓名、学校名信息，第二页起为摘要页和正文页。参赛队有关信息不得出现于首页以外的任何一页，包括摘要页，否则视为违规。 (二)“论文摘要页”编写竞赛使用“统一摘要面”。为了保证评审质量，提请参赛研究生注意摘要一定要将论文创新点、主要想法、做法、结果、分析结论表达清楚，如果一页纸不够，摘要可以写成两页。

(三)“论文文本”要求————“全国研究生数学建模竞赛论文格式规范” ●每个参赛队可以从A、B、C、D、E题中任选一题完成论文。（赛题类型以比赛下载为准） ●论文用白色A4版面；上下左右各留出至少2.5厘米的页边距;从左侧装订。 ●论文题目和摘要写在论文封面上，封面页的下一页开始论文正文。 ●论文从编号页开始编写页码，页码必须位于每页页脚中部，用阿拉伯数字从 “1 ”开始连续编号。 ●论文不能有页眉，论文中不能有任何可能显示答题人身份的标志。 ●论文题目用三号黑体字、一级标题用四号黑体字，并居中。论文中其他汉字一律采用小四号宋体字，行距用单倍行距。程序执行文件，和源程序一起附在电子版论文中以备检查。 ●请大家注意：摘要应该是一份简明扼要的详细摘要（包括关键词），请认真书写（注意篇幅一般不超过两页，且无需译成英文）。全国评阅时对摘要和论文都会审阅。 ●引用别人的成果或其他公开的资料(包括网上甚至在“博客”上查到的资料) 必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。正文引用处用方括号标示参考文献的编号，如[1][3]等；引用书籍还必须指出页码。参考文献按正文中的引用次序列出，其中书籍的表述方式为：[编号] 作者，书名，出版地：出版社，出版年。参考文献中期刊杂志论文的表述方式为： [编号] 作者，论文名，杂志名，卷期号：起止页码，出版年。参考文献中网上资源的表述方式为： [编号] 作者，资源标题，网址，访问时间（年月日）。全国研究生数学建模竞赛评审委员会 2011年9月20日修订

数学建模-DVD租赁在线租赁问题

DVD 租赁问题摘要我们通过分析题目可知，在租赁过程中，网络经营者主要关注DVD 的购买和分配。根据题目所提出的要求，本文针对在线DVD 租赁问题中的订购、分配等问题进行了研究，建立了DVD 的购买和分配0-1规划模型，给出了该问题的优化方案。问题一：通过对调查问卷的整理分析，我们得到了1000个会员对于其中5种DVD 愿意观看的频数。因此我们认为愿意观看各种DVD 的人数服从二项分布，从而计算出在多种可靠度下应该购买DVD 的数量，见表一。问题二：题目要求如何进行分配，使会员获得最大满意度。所以我们以会员的标准最大满意度 ∑∑==?10001100 1 1000 116i j ij ij b x 为目标函数，建立一个0—1规划模型，得到分配方案，并使用软件LINGO 编程求解。得到最大满意度%，和前30位会员的分配方案（见表五）。问题三：我们以会员的最大满意度和网站的最小购买量建立双目标函数。考虑到60%的会员在一个月内由于两次租赁，而致使一部分DVD 可被重复利用，因而，我们采用了分两个阶段购买的方案，在每个购买阶段都建立了双目标整数规划模型，利用lingo 求得应购买3066张。从而使实际购买量比网站原来的拥有量小，并且使会员的满意度达到了%。问题四：我们对新出的DVD 进行市场需求预测；利用市场预测选取购买方案，最后按会员在线的订单进行合理分配。在这个过程中，我们追求获得最大收益。因而一方面减少购买DVD 所需的成本，另一方面最大化满足各会员的需求。关键词：二项分布、0-1规划、双目标规划、满意度

一、问题重述许多网站利用其强大的资源和知名度，面向其会员群提供日益专业化和便捷化的服务。音像制品的在线租赁就是一种可行的服务。这项服务充分发挥了网络的诸多优势，包括传播范围广泛、直达核，为顾客提供更为周到的服务。顾客缴纳一定数量的月费成为会员，订购DVD租赁服务。会员提交的订单包括多张DVD，这些DVD是基于其偏爱程度排序的。网站会根据手头现有的DVD数量和会员的订单进行分发。每个会员每个月租赁次数不得超过2次，每次获得3张DVD。会员看完3张DVD之后，只需要将DVD放进网站提供的信封里寄回（邮费由网站承担），就可以继续下次租赁。请考虑以下问题： 1）网站正准备购买一些新的DVD，通过问卷调查1000个会员，得到了愿意观看这些DVD 的人数。此外，60%的会员每月租赁DVD两次，而另外的40%只租一次。假设网站现有10万个会员，对表1中的每种DVD来说，应该至少准备多少张，才能保证希望看到该DVD的会员中至少50%在一个月内能够看到该DVD如果要求保证在三个月内至少95%的会员能够看到该DVD呢 2）表2中列出了网站手上100种DVD的现有张数和当前需要处理的1000位会员的在线订单（表2的数据格式示例如下表2，具体数据请从，如何对这些DVD进行分配，才能使会员获得最大的满意度请具体列出前30位会员分别获得哪些DVD。 3）假设表2中DVD的现有数量全部为0。经营管理人员应如何决定每种DVD的购买量，

DVD在线租赁(一等奖)

DVD 在线租赁摘要本文以DVD 在线租赁方案为研究对象，在题目中所给出的调查数据的基础上，根据不同会员的需要，建立优化模型，探讨在不同情况下如何分配各种DVD 数量使得会员的满意度最大。对于问题一，基于各种DVD 的需求数量是一个随机变量，满足二项分布，并趋于正态分布，由此建立基于二项分布的随机模拟模型，利用中心极限定理，得出想看该DVD 最多的会员人数，再结合每张DVD 的平均利用率，得出在不同置信水平下，网站应准备的DVD 的张数。在置信水平为50%时，一个月内：15DVD DVD ~的张数为：6260，3133,1568,785,315；三个月：15DVD DVD ~的张数为：3965,1984,993,497,199。对于问题二，建立0-1规划数学模型，将100种DVD 合理地分配给1000位在线订单的会员，以使会员的满意度最大。首先，采用倒数形式将会员对各种DVD 的偏爱程度转化为满意度，由此建立目标函数： 1000100 11 max ij ij i j b x ==?∑∑ 及列出其相应的约束条件，运用Lingo 软件求出DVD 的最优分配方案，并列出了其中前30位会员希望看到的DVD 具体分配情况。对于问题三，运用多目标规划模型，求解每种DVD 的购买数量及对DVD 的分配方案。由于有60%的会员每月会租赁DVD 两次，而另外40%的会员每月只租赁一次，所以分阶段进行求解。第一次租赁时，建立满意度函数，得出第一目标满意度最大为1741；第二目标DVD 的购买数量为2850张；第二次租赁时，在第一次租赁的基础上考虑了月中时DVD 归还的情况，得出100种DVD 的购买总数量为3111张，并列出了部分会员的分配情况。对于问题四，在DVD 的需求预测时，采用多种预测方法相结合，例如简单随机抽样、分类预测和灰色预测等，得出最终需要的信息；在DVD 的购买与分配时，在预测市场需求的基础上，结合会员满意度，运用多目标规划模型确定DVD 购买及分配方案。关键词满意度 0-1规划多目标规划模型最优分配方案

2018全国大学生数学建模大赛模板

全国大学生数学建模竞赛论文格式规范（全国大学生数学建模竞赛组委会，2018年修订稿）为了保证竞赛的公平、公正性，便于竞赛活动的标准化管理，根据评阅工作的实际需要，竞赛要求参赛队分别提交纸质版和电子版论文，特制定本规范。一、纸质版论文格式规范第一条，论文用白色A4纸打印(单面、双面均可)；上下左右各留出至少2.5厘米的页边距；从左侧装订。第二条，论文第一页为承诺书，第二页为编号专用页，具体内容见本规范第3、4页。第三条，论文第三页为摘要专用页（含标题和关键词，但不需要翻译成英文），从此页开始编写页码；页码必须位于每页页脚中部，用阿拉伯数字从“1”开始连续编号。摘要专用页必须单独一页，且篇幅不能超过一页。第四条，从第四页开始是论文正文（不要目录，尽量控制在20页以内）；正文之后是论文附录（页数不限）。第五条，论文附录至少应包括参赛论文的所有源程序代码，如实际使用的软件名称、命令和编写的全部可运行的源程序（含EXCEL、SPSS等软件的交互命令）；通常还应包括自主查阅使用的数据等资料。赛题中提供的数据不要放在附录。如果缺少必要的源程序或程序不能运行（或者运行结果与正文不符），可能会被取消评奖资格。论文附录必须打印装订在论文纸质版中。如果确实没有源程序，也应在论文附录中明确说明“本论文没有源程序”。第六条，论文正文和附录不能有任何可能显示答题人身份和所在学校及赛区的信息。第七条，引用别人的成果或其他公开的资料(包括网上资料)必须按照科技论文写作的规范格式列出参考文献，并在正文引用处予以标注。第八条，本规范中未作规定的，如排版格式（字号、字体、行距、颜色等）不做统一要求，可由赛区自行决定。在不违反本规范的前提下，各赛区可以对论文增加其他要求。二、电子版论文格式规范第九条，参赛队应按照《全国大学生数学建模竞赛报名和参赛须知》的要求命名和

DVD在线租赁

DVD在线租赁摘要在科学技术高速发展的今天，特别是因特网建立后,网络更是成为我们传播信息的主渠道以及一种莫大的经济资源。许多网站利用其强大的资源和知名度，面向其会员群提供日益专业化和便捷化的服务，如：DVD在线租赁。本文解决的是一个DVD在线租赁问题，模型主要涉及到DVD的数量，一个月中租用的次数以及会员对各DVD的满意度。模型中运用了0-1型整数规划，并采用LINGO数学软件来求解模型。在处理第一问时，对于一个月满足50%的情况，分析完后用了一个简易包络图来描述。并依照分析建立了一个以调查表中各DVD 愿意观看的人数为参数的数学模型。得出对于各种DVD分别需要准备的张数为：6250、3125、1563、782、313；在该模型的基础上，增加了对一个月租两次的会员优先考虑的条件，而建立了一个新的模型，同时解得各种DVD需要分别准备5000张、2500张、1250张、625张、250张。由此比较得出第二个模型更优。对于三个月满足95%的情况，在模型的建立的过程把三个月分成6个阶段，用包络图直观的表述出来，同时根据包络图建立出数学模型。根据模型可解得各种DVD应准备的量，分别为：4260张、2130张、1065张、533张、213张。也在此基础上，给一个月租两次的会员优先权时，又可建立一个模型。模型求解得：各种DVD分别需要准备3800张、1900张、950张、475张、190张。同样也得出了一个更优的方案。在第二问的模型建立的时候，本文是用会员们的在线定单上所显示出来的意愿顺序数的倒数，来表示会员对该DVD的满意度。以满意度最大为目标函数。同时根据题目列出其约束条件，运用LINGO 8.0编程、并计算得出了所有DVD的分配情况（附录一）。在解决问题三的时候，也以满意度最大为目标函数。改变三个约束条件，也同样运用LINGO 8.0编程、并计算得出分配情况（附录二），在本文中运用了表格的形式表述出了各种DVD的购买量。并把所有的会员租得DVD的情况罗列出来，其中100名会员的第68、69、70、71、72五位会员不能租到DVD。本文把问题三所得出的分配情况与表二的各会员的第一、二、三选择相比较得出其相同率超过90%。以此检验出模型的优越性。最后就模型租用周期、租用期间所存在一定的损失率等几个方面进行了改进，并把模型推广到其他的租赁服务业、生产产品费用问题及加工产品方面。关键词：满意度、0—1型整数规划、DVD在线租赁

11560-数学建模-2005年BD题《DVD在线租赁》题目、论文、点评

2005年B\D题《DVD在线租赁》题目、论文、点评 DVD租赁优化方案王颖高德宏... 在线租赁是信息时代发展的必然趋势。在租赁过程中，网络经营者主要关注DVD 的预测、购买和分配。本文提出了简单随机抽样、分类预测和关联预测等三种方法进行需求预测。针对问题一，利用需求预测得到观霜DVD的人数服从二项分布，并计算出多种可靠度下购买DVD的数量。以会员的最大满意度为目标函数，建立一个整数规划模型，得到问题二的分配方案。并计算出前30位会员的分配结果。在问题三中，我们考虑到60％的会员由于两次租赁而导致DVD可重复利用，因而，采用了两阶段购买的策略，在每个购买阶段都建立了双目标整数规划，从而得到的购买量比原来网站拥有量小，并且会员的满意度达到99．38％，本文最后还给出了考虑归还DVD周期的情形下购买与分配的模型。 DVD租赁优化方案.pdf (388.78 KB) DVD在线租赁系统的优化设计李蓬蓬朱小满... 本文在DVD在线租赁背景下，对DVD的租赁与归还，网方的购买与分配以及需求预测等相关问题进行了建模和研究。首先，对题中给出的表示会员对各DVD的偏爱程度的偏好指数进行修正，提出了绝对满意度和相对满意度的合理定义。在模型的建盘和求解上，本文首先建立了基于DVD租用次数限制的通用模型和以Pois8ion过程模拟DVD归还过程的随机服务模型解决了在预知市场需求的情况下，各DVD采购量的问题。随后，建立0-1整数线性规划模型并结合Lingo软件进行求解，很好地回答了现有碟的一次性分配问题。结合抽样统计的知识，建立0-1规划模型用以解答第三问的多目标规划问题。在双目标规划的求解处理上，采取以满意度为限制条件，以碟的总量最小为目标进行规划的方式寻优求解。针对第四问，本文引入VIP机制，分别建立并求解了VIP会员与普通会员的权重不同时的加权规划模型、VIP会员有优先权的分层规划模型。还简单讨论了会员的信用度、邮递时间、租赁规则、DVD价格因素等实际问题 DVD在线租赁系统的优化设计.pdf (315.72 KB)

DVD在线租赁问题研究

客户缴纳一定数量的月费成为会员，通过在线提交订单，订购DVD租赁服务，会员提交的订单包括多张DVD，这些DVD是基于其偏爱程度排序的。网站会根据手头现有的DVD数量和会员的订单进行分发。每个会员每个月租赁次数不得超过2次，每次获得3张DVD。在已知会员订单情况下，如何购买、分配这些DVD，使会员满意度最大且成本最低就成了自然而然的问题。另外，在DVD的需求预测、购买和分配中还存在很多其他问题值得研究。（三）重述问题考虑如下DVD租赁问题：顾客缴纳一定数量的月费成为会员，订购DVD租赁服务。会员对哪些DVD有兴趣，只要在线提交订单，网站就会通过快递的方式尽可能满足要求。会员提交的订单包括多张DVD，这些DVD是基于其偏爱程度排序的。网站会根据手头现有的DVD数量和会员的订单进行分发。其中网站有如下几个约定：①每个会员每个月租赁次数不得超过2次。②每次获得3张DVD。③会员看完3张DVD之后，只需要将DVD放进网站提供的信封里寄回（邮费由网站承担），就可以继续下次租赁。现在需要解决以下几个问题： 1.若网站准备购买一些新的DVD，通过问卷调查1000个会员，得到了愿意观看这些DVD的人数（表1给出了其中5种DVD的数据）。另外根据经验有，60%的会员每月租赁DVD两次，而另外的40%只租一次。网站现有10万个会员，用表1中的数据进行推广，计算出应该至少准备多少张，才能保证希望看到该DVD的会员中至少50%在一个月内能够看到该DVD？如果要保证在三个月内至少95%的会员能够看到该DVD该如何准备？

DVD在线租赁

DVD 在线租赁摘要本文主要是为DVD 在线租赁网站解决如何对DVD 碟片进行需求预测、购买和分配等问题，通过建立数学规划模型并求解，从而实现让会员在获得较大利益的同时使DVD 在线租赁网站赢利最大化。在解决通过问卷调查1000个会员，决定至少需要准备各种DVD 多少张才能满足一定比例的会员在一定时间内可以观看到自己喜欢的DVD 的问题时，我们首先引入了市场上货币流通模型与之相比较，找出他们之间的共同点----流通量，并建立了新的单位----张次，从而利用对DVD 在一个月内租给会员时流通次数的假设，很容易地计算出每种DVD 需要准备的数量，再按比例推广到有10万个会员的情况。在解决第二和第三个问题时，我们首先定义了会员满意度的概念，并建立平均满意度的表达式，并要求其取最大值： []100010011(9(,))(,)1000(1098)i j MAX PRFDU i j ISGET i j ==?? =-?÷?++???? ∑∑ 然后根据(,)ISGET i j 是个特殊集合（只包括0和1两个元素）的性质，和所要解决的问题的其他内在约束列出所有相关的约束条件，通过建立0-1整数规划模型并结合大量的数据求解此模型。在处理10万个数据时，我们先使用excel 的内部命令对其中的数据进行相应的处理（主要是替换并调整偏爱度的数据，但并不失去数据的原始涵义），接着将数据复制到WINDOWS 自带的记事本中并保存（在选择数学软件时，因为LINGO 在解决规划问题时拥有的强大优势，所以我们选择了LINGO 作为我们的主要工具），然后利用LINGO 软件的函数@file 将处理过的数据导入，最后通过对LINGO 的编程解决该0-1整数规划模型。对于第四问，我们在对各个阶段的重要问题进行了合理的分析，然后在前三问基础上，把第四问的各个阶段看为一个整体，进行整体分析，建立了可行赢利最优模型。

数学建模竞赛论文封面模板

参赛密码（由组委会填写）第十二届“中关村青联杯”全国研究生数学建模竞赛学校上海电力学院参赛队号10256084 队员姓名1.王亚楠 2.李浩然 3.吴正阳

参赛密码（由组委会填写）第十二届“中关村青联杯”全国研究生数学建模竞赛题目面向节能的单/多列车优化决策问题摘要：

关键词：列车；节能优化；惰性控制；巡航控制

一问题重述轨道交通系统的能耗是指列车牵引、通风空调、电梯、照明、给排水、弱电等设备产生的能耗。根据统计数据，列车牵引能耗占轨道交通系统总能耗40%以上。在低碳环保、节能减排日益受到关注的情况下，针对减少列车牵引能耗的列车运行优化控制近年来成为轨道交通领域的重要研究方向。请研究以下问题：一、单列车节能运行优化控制问题（1）请建立计算速度距离曲线的数学模型，计算寻找一条列车从A6站出发到达A7站的最节能运行的速度距离曲线，其中两车站间的运行时间为110秒，列车参数和线路参数详见文件“列车参数.xlsx”和“线路参数.xlsx”。（2）请建立新的计算速度距离曲线的数学模型，计算寻找一条列车从A6站出发到达A8站的最节能运行的速度距离曲线，其中要求列车在A7车站停站45 秒，A6站和A8站间总运行时间规定为220秒（不包括停站时间），列车参数和线路参数详见文件“列车参数.xlsx”和“线路参数.xlsx”。二、多列车节能运行优化控制问题（1）当100列列车以间隔H={h1,…,h99}从A1站出发，追踪运行，依次经过A2，A3，……到达A14站，中间在各个车站停站最少D min秒，最多D max秒。间隔H各分量的变化范围是H min秒至H max秒。请建立优化模型并寻找使所有列车运行总能耗最低的间隔H。要求第一列列车发车时间和最后一列列车的发车时间之间间隔为T0=63900秒，且从A1站到A14站的总运行时间不变，均为2086s（包括停站时间）。假设所有列车处于同一供电区段，各个车站间线路参数详见文件“列车参数.xlsx”和“线路参数.xlsx”。补充说明：列车追踪运行时，为保证安全，跟踪列车（后车）速度不能超过限制速度，以免后车无法及时制动停车，发生追尾事故。其计算方式可简化如下：其中是列车当前位置的线路限速（km/h），是当前时刻前后车之间的距离(m)，是列车制动的最大减速度(m/s2) （2）接上问，如果高峰时间（早高峰7200秒至12600秒，晚高峰43200至50400秒）发车间隔不大于2.5分钟且不小于2分钟，其余时间发车间隔不小于 5分钟，每天240列。请重新为它们制定运行图和相应的速度距离曲线。三、列车延误后运行优化控制问题接上问，若列车i在车站A j延误（10秒）发车，请建立控制模型，找出在确保安全的前提下，首先使所有后续列车尽快恢复正点运行，其次恢复期间耗能最少的列车运行曲线。假设为随机变量，普通延误（0<<10s）概率为20%，严重延误（>10s）概率为10%（超过120s，接近下一班，不考虑调整），无延误（0）概率为70%。若允许列车在各站到、发时间与原时间相比提前不超过10秒，根据上述统计数据，如何对第二问的控制方案进行调整？

DVD在线租赁问题

B题：DVD在线租赁第十三组执笔人：侯慧慧

B 题：DVD 在线租赁摘要在线租赁是信息时代发展的必然趋势。在租赁过程中，网络经营者主要关注的预测、购买和分配。针对问题一，利用需求预测得到观看DVD 的人数服从二项分布，并计算出多种可靠度下购买DVD 的数量 (见文中表2、表3)。问题二中，使会员的满意度和达到最大，由此可以得到目标函数为： 1000100 11 1 max ,271000ij ij i j a c === ?∑∑ （其中ij a 表示第i 个会员是否分配到了第j 种DVD ，ij c 表示第i 个会员得到第j 种DVD 的满意度）。建立一个线性规划模型，得到问题二的分配方案，并计算出前 30位会员的分配结果（见文中表4）。而对于问题三，。假设每种DVD 的购买数量和其会员总偏爱程度成正比，于是对于某个需购买DVD 总数，可以按照偏爱程度的比例确定每种DVD 需要购买的数量，目标函数为： 1000100 11 max ij ij i j Z C x ===?∑∑ （其中ij C 表示修正偏爱指数矩阵，ij x 是01-变量，表示是否把第i 种DVD 分配给第j 个会员）。然后按照0—1规划模型进行第一次分配。接着用数值模拟的方法随机取60％的会员一个月租赁两次 DVD ，并把归还后的DVD 用0—1规划模型进行第二次分配，最终计算得到会员相应的满意度，从而给出了网站准备的DVD 总数和会员在一个月的满意度之间的关系，并建议网站准备2300张左右的DVD ，使得会员一个月的满意度达到0.8左右。；问题四是设计出一种DVD 的需求预测、购买和分配的数学模型使得网站能够持续发展，即满意度尽可能大，同时利润也尽可能大，模型如下： ()()()() ()()()11101m n ij ij t t t t i j Max f x p m t a b k λλλ==?? =?+-?-?<< ??? ∑∑ （其中，ij p 表示第i 个会员对j 种DVD 选择与否；ij a 表示会员i 对j 种DVD 的偏爱度；a 表示会员月会费；b 表示每一张DVD 的价格；m 表示会员人数；n 表示DVD 数量）。最后，本文还对模型进行了恰当的评价。关键字：简单随机抽样 0-1规划数值模拟

数学建模竞赛论文格式规范和规则

东北大学数学建模竞赛论文格式规范和规则参赛队从A、B题中任选一题。１.论文用白色A4纸单面打印；上下左右各留出至少2.5厘米的页边距；从左侧装订。２.论文的第一页为封面页（本文档最后一页），根据中心安排的参赛编号填写参赛编号和选择题目，保留你选择的题目前的√号即可。３.论文题目和摘要写在论文第二页上，从第三页开始是论文正文。４.论文从第三页开始编写页码，页码必须位于每页页脚中部，用阿拉伯数字从“1”开始连续编号。５.论文不能有页眉，论文中不能有任何可能显示答题人身份的标志。６.论文题目用三号黑体字、一级标题用四号黑体字，并居中。论文中其他汉字一律采用小四号宋体字，行距用单倍行距，打印时应尽量避免彩色打印。７.提请大家注意：摘要应该是一份简明扼要的详细摘要（包括关键词），在整篇论文评阅中占有重要权重，请认真书写（注意篇幅不能超过一页，且无需译成英文）。评阅时将首先根据摘要和论文整体结构及概貌对论文优劣进行初步筛选。８.引用别人的成果或其他公开的资料(包括网上查到的资料) 必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中均明确列出。正文引用处用方括号标示参考文献的编号，如[1][3]等；引用书籍还必须指出页码。解答过程中使用的数据不得引用文献类型（１）（２）（３）（４）中出现的数据，引用数据必须表明出处。各类文献的表述格式如下（其它类型文献不得引用）：（1）专著格式：序号. 编著者1，编著者2，编著者3等. 书名[M]. 出版地：出版社，年代：页码. （2）期刊论文格式：序号. 编著者1，编著者2，编著者3等. 论文名称[J]. 期刊名称，年度，卷（期）：起止页码. （3）会议论文格式：序号. 编著者1，编著者2，编著者3等. 论文名称[C]//会议名称，会议举办地，年度，起止页码. （4）学位论文格式：序号. 编著者1，编著者2，编著者3等. 学位论文名称[D]. 发表地：学位授予单位，年度：页码. （5）电子文献格式：序号. 作者. 电子文献题名(电子文献及载体类型标识). 电子文献的出处或可获得地址,发表或更新日期/引用日期。只考虑两种电子文献：［DB/OL］—联机网上数据库(database online) ［EB/OL］—网上电子公告(electronic bulletin board online) 样例： [1]Peitgen H O, Jurgens H, Saupe D. Chaos and fractals[M]. Berlin: Springer-Verlag, 1992:202-213. [2]Zhao Shi, Wang Yi-ding, Wang Yun-hong. Extracting hand vein patterns from low-quality images: a new biometric technique using low-cost devices[C]// Fourth International Conference on Image and Graphics. Sichuan, 2007:667-671.

数学建模—DVD在线租凭的优化设计修订稿

数学建模—D V D在线租凭的优化设计 WEIHUA system office room 【WEIHUA 16H-WEIHUA WEIHUA8Q8-

2013年大学生数学建模题目：DVD在线租赁的优化设计学院班级组号姓名姓名姓名姓名姓名 DVD在线租赁的优化设计摘要本文在满足会员DVD租赁需求的约束条件下，以DVD购买量最小和会员满意度最大为目标，求得最优的DVD购买与分配方案。通过查找资料确定每张DVD从网站租出到返回网站的服务周期为15天，从而得到每张DVD在一个月内最多可租赁2次。根据问卷调查结果，运用大数定律，得到10万个会员中想观看每种DVD的人数。会员决定观看DVD的时间服从正态分布，由此确定一个月中每天愿意观看此DVD的人数，根据需要满足的会员数量得到网站的最小购买量。会员的满意度由会员收到DVD的等待时间以及对该DVD的偏爱程度共同决定。为了使满意度与偏爱程度数值上成正比关系，将偏爱程度反序定义。 DVD现有数量已知时，以满意度最大为目标，DVD数量有限等为约束建立0-1整数规划模型。DVD现有数量全部为0时，从网站管理人员的角度，以最小购买量为目标，以95%的会员得到想看的DVD为约束条件求得最小购买量时的购买方案，在此方案的基础上以总的满意度最大为目标进行DVD的优化分配。

通过计算，在服务周期为15天，网站有10万个会员的情况下，为保证希望看到该DVD的会员中至少50%在一个月内能看到该DVD，应购买的DVD1-5的数量分别为5000,2500,1250,625,250张；为保证在三个月内至少95%的会员能看到该DVD，应准备的数量分别为3167，1584,792,396,158张。运用lingo软件求解，得到DVD现有数量已知时会员满意度最大的分配，总满意度为24746（理想最大满意度为27000）.当DVD的数量全部为0时，得到最优购买和分配方案，使一个月95%的会员得到想看的DVD，求得最小购买量为1425张，在最小购买量的基础上实现满意度最大，总满意度为19396. 从网站经营管理员的角度考虑会员的需求及分配，网站根据会员的分布情况，建立一定数量的配送中心可以减少开支，增加收入。关键字DVD 最优方案lingo

DVD在线租赁问题研究

DVD在线租赁问题研究摘要本文解决的是DVD在线租赁网站在DVD的需求预测、购买和分配中的重要问题。首先我们通过随机概率模型分析了要满足会员要求的DVD的最少采购量，其中主要利用了0-1分布和二项分布的理论，即认为会员是否一个月租赁两次是一个随机事件，服从0-1分布，因此分配到自己想要DVD 的会员中租赁两次的人数就服从二项分布，具体计算时(由于是大样本场合)用标准正态分布逼近二项分布得到最后的结果。在解决最大满意度原则下的DVD分配时，我们建立的是以最大期望满意度为目标，含有随机变量的规划模型。出于计算规模和效率方面的考虑，文中采用类似贪婪算法的处理方法，将DVD的分配分成两个阶段来处理，这两个阶段分别的最优解之和作为最终要得到的最优目标。最后我们基于现实基础提出了以最大满意度和最小邮费为目标的规划方程，并对上述几个模型进行了评价和推广价值讨论。关键字最优解0-1规划满意度分配方案一、问题重述（一）提出背景随着信息时代的到来，网络成为人们生活中越来越不可或缺的元素之一。许多网站利用其强大的资源和知名度，面向其会员群提供日益专业化和便捷化的服务。例如，音像制品的在线租赁就是一种可行的服务。在线DVD租赁就是这样一种传播范围广泛、直达核心消费群、强烈的互动性、感官性强、成本相对低廉的服务。（二）提出问题客户缴纳一定数量的月费成为会员，通过在线提交订单，订购DVD租赁服务，会员提交的订单包括多张DVD，这些DVD是基于其偏爱程度排序的。网站会根据手头现有的DVD数量和会员的订单进行分发。每个会员每个月租赁次数不得超过2次，每次获得3张DVD。在已知会员订单情况下，如何购买、分配这些DVD，使会员满意度最大且成本最低就成了自然而然的问题。另外，在DVD的需求预测、购买和分配中还存在很多其他问题值得研究。（三）重述问题考虑如下DVD租赁问题：顾客缴纳一定数量的月费成为会员，订购DVD租赁服务。会员对哪些DVD有兴趣，只要在线提交订单，网站就会通过快递的方式尽可能满足要求。会员提交的订单包括多张DVD，这些DVD是基于其偏爱程度排序的。网站会根据手头现有的DVD数量和会员的订单进行

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