《创新设计》高考数学人教A版(理)一轮复习：第十篇 第3讲 二项式定理

第3讲 二项式定理

A 级 基础演练(时间：30分钟 满分：55分)

一、选择题(每小题5分，共20分)

1．(2013·蚌埠模拟)在? ???

??x ＋13x 24的展开式中，x 的幂指数是整数的项共有( )． A ．3项

B ．4项

C ．5项

D ．6项

解析 T r ＋1＝C r 24(x )24－r ? ?????

13x r ＝C r 24x 12－5r 6，故当r ＝0,6,12,18,24时，幂指数为整数，共5项． 答案 C

2．设?

????5x －1x n 的展开式的各项系数之和为M ，二项式系数之和为N ，若M －N ＝240，则展开式中x 的系数为

( )．

A ．－150

B ．150

C ．300

D ．－300

解析 由已知条件4n －2n ＝240，解得n ＝4，

T r ＋1＝C r 4(5x )

4－r ?

??

??－1x r ＝(－1)r 54－r C r 4x 4－3r

2， 令4－3r

2＝1，得r ＝2，T 3＝150x . 答案 B

3．(2013·兰州模拟)已知? ????

x －a x 8展开式中常数项为1 120，其中实数a 是常数，则

展开式中各项系数的和是

( )．

A ．28

B ．38

C ．1或38

D ．1或28

解析 由题意知C 48·(－a )4＝1 120，解得a ＝±2，令x ＝1，得展开式各项系数和为(1－a )8＝1或38. 答案 C

4．(2012·天津)在? ????2x 2－1x 5

的二项展开式中，x 的系数为

( )．

A ．10

B ．－10

C ．40

D ．－40

解析 因为T r ＋1＝C r 5(2x 2)5－r ? ??

??－1x r ＝C r 525－r ·(－1)r x 10－3r

，所以10－3r ＝1，所以r ＝3，所以x 的系数为C 3525－3

(－1)3＝－40.

答案 D

二、填空题(每小题5分，共10分)

5．(2011·湖北)

? ?

???x －13x 18的展开式中含x 15的项的系数为________(结果用数值表示)． 解析

T r ＋1＝C r 18x

18－r ?

??

??－13x r ＝(－1)r C r 18? ????13r

x 18－32r ，令18－32r ＝15，解得r ＝2.所以所求系数为(－1)2·C 218? ??

??132

＝17. 答案 17

6．(2012·浙江)若将函数f (x )＝x 5表示为f (x )＝a 0＋a 1(1＋x )＋a 2(1＋x )2＋…＋a 5(1＋x )5，其中a 0，a 1，a 2，…，a 5为实数，则a 3＝________.

解析 f (x )＝x 5＝(1＋x －1)5，它的通项为T r ＋1＝C r 5(1＋x )5－r

·(－1)r ，T 3＝C 25(1＋

x )3(－1)2＝10(1＋x )3，∴a 3＝10. 答案 10 三、解答题(共25分)

7．(12分)已知二项式? ????3x ＋1x n

的展开式中各项的系数和为256.

(1)求n ；(2)求展开式中的常数项．

解 (1)由题意，得C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝256，即2n

＝256，解得n ＝8.

(2)该二项展开式中的第r ＋1项为T r ＋1＝C r 8(3x )8－r ·? ????1x r ＝C r 8

·x 8－4r 3，令8－4r 3＝0，得r ＝2，此时，常数项为T 3＝C 28＝28.

8．(13分)在杨辉三角形中，每一行除首末两个数之外，其余每个数都等于它肩上的两数之和．

(1)试用组合数表示这个一般规律：

(2)在数表中试求第n 行(含第n 行)之前所有数之和；

(3)试探究在杨辉三角形的某一行能否出现三个连续的数，使它们的比是3∶4∶5，并证明你的结论． 第0行 1 第1行 1 1 第2行 1 2 1 第3行 1 3 3 1 第4行 1 4 6 4 1 第5行 1 5 10 10 5 1 第6行 1 6 15 20 15 6 1 … …

解 (1)C r n ＋1＝C r n ＋C r －1

n .

(2)1＋2＋22＋…＋2n ＝2n ＋1－1.

(3)设C r －1n ∶C r n ∶C r ＋1n ＝3∶4∶5， 由C r －1n

C r n

＝34，得r n －r ＋1＝34，

即3n －7r ＋3＝0. ①

由C r n

C r ＋1n ＝45，得r ＋1n －r ＝45， 即4n －9r －5＝0.

②

解①②联立方程组，得n ＝62，r ＝27，

即C 2662∶C 2762∶C 2862＝3∶4∶5.

B 级 能力突破(时间：30分钟 满分：45分)

一、选择题(每小题5分，共10分)

1．已知0

( )．

A ．－10

B ．9

C ．11

D ．－12

解析 作出y ＝a |x |(a >0)与y ＝|log a x |的大致图象如图所示，所以n ＝2.故(x ＋1)n ＋(x ＋1)11＝(x ＋2－1)2＋(x ＋2－1)11，所以a 1＝－2＋C 1011＝－2＋11＝9. 答案 B

2．(2012·湖北)设a ∈Z ，且0≤a <13，若512 012＋a 能被13整除，则a ＝( )． A ．0

B ．1

C ．11

D ．12

解析 512 012＋a ＝(13×4－1)2 012＋a 被13整除余1＋a ，结合选项可得a ＝12时，512 012＋a 能被13整除． 答案 D

二、填空题(每小题5分，共10分)

3．若x 4(x ＋3)8＝a 0＋a 1(x ＋2)＋a 2(x ＋2)2＋…＋a 12(x ＋2)12，则log 2(a 1＋a 3＋…＋a 11)＝________.

解析 令x ＝－1，∴28＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 11＋a 12.令x ＝－3，∴0＝a 0－a 1＋a 2－…－a 11＋a 12∴28＝2(a 1＋a 3＋…＋a 11)，∴a 1＋a 3＋…＋a 11＝27，∴log 2(a 1＋a 3＋…＋a 11)＝log 227＝7. 答案 7

4．(2011·浙江)设二项式? ????x －a x 6(a ＞0)的展开式中x 3的系数为A ，常数项为B .若

B ＝4A ，则a 的值是________．

解析 由T r ＋1＝C r 6x 6－r ? ??

???

－a x 12r ＝C r 6(－a )r x 6－32r ， 得B ＝C 46(－a )4，A ＝C 26(－a )2

，∵B ＝4A ，a ＞0，∴a ＝2.

答案 2

三、解答题(共25分)

5．(12分)已知(a 2＋1)n 展开式中的各项系数之和等于? ????

165x 2＋1x 5的展开式的常数

项，而(a 2＋1)n 的展开式的系数最大的项等于54，求a 的值．

解 ? ????165

x 2＋1x 5的展开式的通项为T r ＋1＝C r 5? ????165x 25－r ·? ??

??1x r ＝? ????1655－r C r 5

x 20－5r 2，令20－5r ＝0，得r ＝4，故常数项T 5＝C 45

×165＝16.又(a 2＋1)n 展开式的各项系数之和等于2n ，由题意知2n ＝16，得n ＝4.由二项式系数的性质知，

(a 2＋1)n 展开式中系数最大的项是中间项T 3，故有C 24a 4

＝54，解得a ＝±3.

6．(13分)已知? ??

??12＋2x n ，

(1)若展开式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大项的系数；

(2)若展开式前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项．

解 (1)∵C 4n ＋C 6n ＝2C 5n ，∴n 2

－21n ＋98＝0.

∴n ＝7或n ＝14，

当n ＝7时，展开式中二项式系数最大的项是T 4和T 5. ∴T 4的系数为C 37? ????12423＝352， T 5的系数为C 47? ??

??12324＝70， 当n ＝14时，展开式中二项式系数最大的项是T 8. ∴T 8的系数为C 714? ??

??12727＝3 432. (2)∵C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＝79，∴n 2＋n －156＝0.

∴n ＝12或n ＝－13(舍去)．设T k ＋1项的系数最大， ∵? ????12＋2x 12＝? ??

??1212

(1＋4x )12， ∴???

C k 124k ≥C k －1124k －1，C k 124k ≥C k ＋1124k ＋1.

∴9.4≤k ≤10.4，∴k ＝10. ∴展开式中系数最大的项为T 11， T 11＝C 1012·? ??

??122·210·x 10

＝16 896x 10.