定义域和值域
定义域、解析式、值域方法总结
（一）定义域：
1. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？
（定义域、对应法则、值域） 相同函数的判断方法：①表达式相同；②定义域一致 (两点必须同时具备)
2. 求函数的定义域有哪些常见类型？
()
()例：函数的定义域是
y x x x =--432lg ()()()（答：，，，）022334
函数定义域求法：
● 分式中的分母不为零；
● 偶次方根下的数（或式）大于或等于零；
● 指数式的底数大于零且不等于一；
对数式的底数大于零且不等于一，真数大于零。
●
正切函数x y tan = ??? ??∈+≠∈Z ππk k x R x ,2,且 ●
反三角函数的定义域 ● 函数y ＝arcsinx 的定义域是 [－1, 1] ，值域是，
函数y ＝arccosx 的定义域是 [－1, 1] ，值域是 [0, π] ，函数y ＝
arctgx 的定义域是 R ，值域是.，函数y ＝arcctgx 的定义域是
R ，值域是 (0, π) .
当以上几个方面有两个或两个以上同时出现时，先分别求出满足每一个条
件的自变量的范围，再取他们的交集，就得到函数的定义域。
3. 如何求复合函数的定义域？
[]的定，则函数，，的定义域是如：函数)()()(0)(x f x f x F a b b a x f -+=>-> 义域是_____________。 []
（答：，）a a -
复合函数定义域的求法：已知)(x f y =的定义域为[]n m ,，求[])(x g f y =的
定义域，可由n x g m ≤≤)(解出x 的范围，即为[])(x g f y =的定义域。
例 若函数)(x f y =的定义域为??????2,21，则)(log 2x f 的定义域为 。
分析：由函数)(x f y =的定义域为??
????2,21可知：221≤≤x ；所以)(log 2x f y =中有2log 2
12≤≤x 。 解：依题意知： 2log 2
12≤≤x 解之，得 42≤≤x
∴ )(log 2x f 的定义域为{}
42|≤≤x x 二．函数解析式求法
一、 待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法。
例1 设)(x f 是一次函数，且34)]([+=x x f f ，求)(x f
解：设b ax x f +=)( )0(≠a ，则
b ab x a b b ax a b x af x f f ++=++=+=2)()()]([
∴???=+=342b ab a ∴??????=-===321
2b a b a 或 32)(12)(+-=+=∴x x f x x f 或
二、 配凑法：已知复合函数[()]f g x 的表达式，求()f x 的解析式，[()]f g x 的表达式容易配成()g x 的运算形式时，常用配凑法。但要注意所求函数()f x 的定义域不是原复合函数的定义域，而是()g x 的值域。
例2 已知2
21)1(x x x
x f +=+ )0(>x ，求 ()f x 的解析式 解：2)1()1(2-+=+x x x x f ， 21≥+x x 2)(2-=∴x x f )2(≥x
三、换元法：已知复合函数[()]f g x 的表达式时，还可以用换元法求()f x 的解析式。与配凑法一样，要注意所换元的定义域的变化。
例3 已知x x x f 2)1(+=+，求)1(+x f
解：令1+=x t ，则1≥t ，2)1(-=t x
x
x
x
f2
)1
(+
=
+
∴,1
)1
(2
)1
(
)(2
2-
=
-
+
-
=t
t
t
t
f
1
)
(2-
=
∴x
x
f)1
(≥
x
x
x
x
x
f2
1
)1
(
)1
(2
2+
=
-
+
=
+
∴)0
(≥
x
四、代入法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法。
例4已知：函数)
(
2x
g
y
x
x
y=
+
=与的图象关于点)3,2
(-对称，求)
(x
g的解析式
解：设)
,
(y
x
M为)
(x
g
y=上任一点，且)
,
(y
x
M'
'
'为)
,
(y
x
M关于点)3,2
(-的对称点
则
?
?
?
?
?
=
+'
-
=
+'
3
2
2
2
y
y
x
x
，解得：
?
?
?
-
='
-
-
='
y
y
x
x
6
4
，
点)
,
(y
x
M'
'
'在)
(x
g
y=上
x
x
y'
+
'
='
∴2
把
?
?
?
-
='
-
-
='
y
y
x
x
6
4
代入得：
)4
(
)4
(
62-
-
+
-
-
=
-x
x
y
整理得6
7
2-
-
-
=x
x
y
∴6
7
)
(2-
-
-
=x
x
x
g
五、构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过解方程组求得函数解析式。
例5设,
)
1
(
2
)
(
)
(x
x
f
x
f
x
f=
-
满足求)
(x
f
解 x
x
f
x
f=
-)
1
(
2
)
(①
显然,0
≠
x将x换成
x
1
，得：
x
x
f
x
f
1
)
(
2
)
1
(=
-②
解①②联立的方程组，得：
x
x
x
f
3
2
3
)
(-
-
=
例6 设)(x f 为偶函数，)(x g 为奇函数，又,1
1)()(-=
+x x g x f 试求)()(x g x f 和的解析式
解 )(x f 为偶函数，)(x g 为奇函数， )()(),()(x g x g x f x f -=-=-∴
又1
1)()(-=+x x g x f ① ， 用x -替换x 得：11)()(+-
=-+-x x g x f 即1
1)()(+-=-x x g x f ② 解① ②联立的方程组，得
11)(2-=x x f ， x
x x g -=21)( 六、赋值法：当题中所给变量较多，且含有“任意”等条件时，往往可以对具有“任意性”的变量进行赋值，使问题具体化、简单化，从而求得解析式。
例7 已知：1)0(=f ，对于任意实数x 、y ，等式)12()()(+--=-y x y x f y x f 恒成立，
求)(x f 解对于任意实数x 、y ，等式)12()()(+--=-y x y x f y x f 恒成立，
不妨令0x =，则有1)1(1)1()0()(2
+-=-+=+--=-y y y y y y f y f
再令 x y =- 得函数解析式为：1)(2++=x x x f 七、递推法：若题中所给条件含有某种递进关系，则可以递推得出系列关系式，然后通过
迭加、迭乘或者迭代等运算求得函数解析式。
例8 设)(x f 是定义在+N 上的函数，满足1)1(=f ，对任意的自然数b a , 都有ab b a f b f a f -+=+)()()(，求)(x f
解 +∈-+=+N b a ab b a f b f a f ,)()()(，，
∴不妨令1,==b x a ，得：x x f f x f -+=+)1()1()(，
又1)()1(,1)1(+=-+=x x f x f f 故 ①
分别令①式中的1,21x n =- 得：
(2)(1)2,(3)(2)3,
()(1),f f f f f n f n n -=-=--
=
将上述各式相加得：n f n f ++=-32)1()(，
2)1(321)(+=
+++=∴n n n n f +∈+=∴N x x x x f ,2
121)(2 （二）：函数值域的求法
1、直接观察法
对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。
例 求函数y=x
1的值域 y=3+√(2－3x) 的值域 2、配方法
配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。
例、求函数y=2x -2x+5，x ∈[-1，2]的值域。
求函数y=√(－2x +x+2)的值域
3、判别式法
对二次函数或者分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以用其他方法进行化简，不必拘泥在判别式上面
点拨：将原函数转化为自变量的二次方程，应用二次方程根的判别式，从而确定出原函数的值域
下面，我把这一类型的详细写出来，希望你能够看懂
.112..2
22
22222b a y 型：直接用不等式性质k+x bx b. y 型,先化简，再用均值不等式x mx n
x 1 例：y 1+x x+x
x m x n c y 型 通常用判别式x mx n
x mx n d. y 型 x n
法一：用判别式 法二：用换元法，把分母替换掉
x x 1（x+1）（x+1）+1 1 例：y （x+1）1211x 1x 1x 1=
=++==≤''++=++++=+++-===+-≥-=+++
4、反函数法
直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定
原函数的值域。
例 求函数y=6
543++x x 值域。 5、函数单调性法
通常和导数结合，是最近高考考的较多的一个内容
例求函数y=+-2
5x log 31-x （2≤x ≤10）的值域 求函数y=4x －√1-3x(x≤1/3)的值域
6、换元法 通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角 。以新变量代替函数式中的某些量，使函数转化为以新变量为自变量的函数形式，进而求出值域。
函数公式模型。换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数值域中同样发挥作用。
例 求函数y=x+1-x 的值域。
y=x-3+√2x+1
7 、不等式法
利用基本不等式a+b ≥2ab ，a+b+c ≥3abc 3（a ，b ，c ∈R +），求
函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧。
例：
33(
)13
()32x (3-2x)(0 x x+3-2x =x x (3-2x) (应用公式abc 时，应注意使3者之和变成常数）a b c +??≤=++≤ 多种方法综合运用 总之，在具体求某个函数的值域时，首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰当的方法，一般优先考虑直接法，函数单调性法和基本不等式法，然后才考虑用其他各种特殊方法。 2(0)113322x =x (应用公式a+b+c 者的乘积变成常数） x x x x +>++≥=≥