函数的奇偶性与周期性1

第七讲 函数的奇偶性与周期性

一、选择题：(本大题共6小题，每小题6分，共36分，将正确答案的代号填在题后的括号内．)

1．定义在R 上的函数f (x )满足：f (x )·f (x ＋2)＝13，f (1)＝2，则f (99)＝( )

A ．13

B ．2

C.132

D.213

解析：由f (x )·f (x ＋2)＝13，知f (x ＋2)·f (x ＋4)＝13，所以f (x ＋4)＝f (x )，即f (x )是周期函数，周期为4.所以f (99)＝f (3＋4×24)＝f (3)＝13f (1)＝132

. 答案：C

2．(2010·郑州)定义在R 上的函数f (x )满足：对于任意α，β∈R ，总有f (α＋β)－[f (α)＋f (β)]＝2010，则下列说法正确的是( )

A ．f (x )－1是奇函数

B ．f (x )＋1是奇函数

C ．f (x )－2010是奇函数

D ．f (x )＋2010是奇函数

解析：依题意，取α＝β＝0，得f (0)＝－2010；取α＝x ，β＝－x ，得f (0)－f (x )－f (－x )＝2010，f (－x )＋2010＝－[f (x )－f (0)]＝－[f (x )＋2010]，因此函数f (x )＋2010是奇函数，选D.

答案：D

3．设f (x )是定义在R 上以2为周期的偶函数，已知x ∈(0,1)时，f (x )＝log 12

－x )，则函数f (x )在(1,2)上( )

A ．是增函数，且f (x )<0

B ．是增函数，且f (x )>0

C ．是减函数，且f (x )<0

D ．是减函数，且f (x )>0

解析：由题意得当x ∈(1,2)时，0<2－x <1,0

(x －1)>0，则可知当x ∈(1,2)时，f (x )

是减函数，选D.

答案：D

4.(2011·石家庄质检二)定义在R 上的偶函数f(x)满足

f(x)=f(x+2),当x∈[3,4]时,f(x)=x-2,则( )

1

4.331

4

.334

1.321

1.32A f f B f f C f f D f f ????

-> ? ?????

??

??

-< ? ?????

??

??

> ? ?????

????

-< ? ?????

答案:A

5．已知奇函数f (x )在区间[3,7]上是增函数，且最小值为5，那么函数f (x )在区间[－7,－3]上( )

A ．是增函数且最小值为－5

B ．是增函数且最大值为－5

C ．是减函数且最小值为－5

D ．是减函数且最大值为－5

解析：∵f (x )为奇函数，∴f (x )的图象关于原点对称．

∵f (x )在[3,7]上是增函数，

∴f (x )在[－7,－3]上也是增函数．

∵f (x )在[3,7]上的最小值为5，

∴由图可知函数f (x )在[－7,－3]上有最大值－5.

答案：B

评析：本题既涉及到函数的奇偶性，又涉及到函数的单调性，还涉及到函数的最值，是一道综合性较强的题目，由于所给的函数没有具体的解析式，因此我们画出函数f (x )在区间[3,7]上的示意图，由图形易得结论．

6．(2010·新课标全国)设偶函数f (x )满足f (x )＝x 3－8(x ≥0)，则{x |f (x －2)>0}＝( )

A ．{x |x <－2或x >4}

B ．{x |x <0或x >4}

C ．{x |x <0或x >6}

D ．{x |x <－2或x >2}

解析：当x <0时，－x >0，

∴f (－x )＝(－x )3－8＝－x 3－8，

又f (x )是偶函数，

∴f (x )＝f (－x )＝－x 3－8，

∴f (x )＝?????

x 3－8，x ≥0－x 3－8，x <0.

∴f (x －2)＝?????

(x －2)3－8，x ≥2－(x －2)3－8，x <2， ????? x ≥2(x －2)3－8>0或???

x <2－(x －2)3－8>0， 解得x >4或x <0.故选B.

答案：B

二、填空题：(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上．)

7．(2010·江苏)设函数f (x )＝x (e x ＋a e －x )(x ∈R )是偶函数，则实数a 的值为________．

解析：设g (x )＝x ，h (x )＝e x ＋a e －x ，因为函数g (x )＝x 是奇函数，则由题意知，函数h (x )＝e x ＋a e －x 为奇函数，又函数f (x )的定义域为R ，∴h (0)＝0，解得a ＝－1.

答案：－1

8．已知函数f (x ＋1)是奇函数，f (x －1)是偶函数，且f (0)＝2，则f (4)＝________.

解析：依题意有f (－x ＋1)＝－f (x ＋1)，f (－x －1)＝f (x －1)，所以f (4)＝f (－(－3)＋1)＝－f (－2)＝－f (－1－1)＝－f (0)＝－2.

答案：－2

9．(2010·湖北八校)设函数f (x )的定义域、值域分别为A 、B ，且A ∩B 是单元集，下列命题

①若A ∩B ＝{a }，则f (a )＝a ；

②若B 不是单元集，则满足f [f (x )]＝f (x )的x 值可能不存在；

③若f (x )具有奇偶性，则f (x )可能为偶函数；

④若f (x )不是常数函数，则f (x )不可能为周期函数．

其中，正确命题的序号为________．

解析：如f(x)＝x＋1，A＝[－1,0]，B＝[0,1]满足A∩B＝{0}，但f(0)≠0，且满足f[f(x)]＝f(x)的x可能不存在，①错，②正确；如，f(x)＝1，A＝R，B＝{1}，则f(x)＝1，A＝R是偶函数，③正确；如f(x)＝x－2k＋1，A＝[2k－1,2k]，B＝[0,1]，k∈Z，f(x)是周期函数，但不是常数函数，所以④错误．

答案：②③

10．对于定义在R上的函数f(x)，有下述四个命题，其中正确命题的序号为________．

①若f(x)是奇函数，则f(x－1)的图象关于点A(1,0)对称；

②若对x∈R，有f(x＋1)＝f(x－1)，则y＝f(x)的图象关于直线x ＝1对称；

③若函数f(x－1)的图象关于直线x＝1对称，则f(x)为偶函数；

④函数y＝f(1＋x)与函数y＝f(1－x)的图象关于直线x＝1对称．

解析：f(x－1)的图象是由f(x)的图象向右平移一个单位而得到，又f(x)是奇函数，其图象关于原点对称，所以f(x－1)的图象关于点A(1,0)对称，故①正确；

由f(x＋1)＝f(x－1)可知f(x)的周期为2，无法判断其对称轴，故②错误；

f(x－1)的图象关于直线x＝1对称，则f(x)关于y轴对称，故f(x)为偶函数，③正确；

y＝f(1＋x)的图象是由y＝f(x)的图象向左平移一个单位后得到，y ＝f(1－x)是由y＝f(x)的图象关于y轴对称后再向右平移一个单位而得到，两者图象关于y轴对称，故④错误．

答案：①③

三、解答题：(本大题共3小题，11、12题13分，13题14分，写出证明过程或推演步骤．)

11．已知定义域为R 的函数f (x )＝－2x ＋b 2x ＋1＋a

是奇函数． (1)求a 、b 的值；

(2)若对任意的t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0恒成立，求k 的取值范围．

分析：(1)由f (0)＝0可求得b ，再由特殊值或奇函数定义求得a ；

(2)先分析函数f (x )的单调性，根据单调性去掉函数符号f ，然后用判别式解决恒成立问题．

解：(1)因为f (x )是定义在R 上的奇函数，

所以f (0)＝0，

即b －1a ＋2

＝0?b ＝1， 所以f (x )＝1－2x

a ＋2

x ＋1， 又由f (1)＝－f (－1)

知1－2a ＋4＝－1－12a ＋1

?a ＝2. (2)由(1)知f (x )＝1－2x 2＋2x ＋1

＝－12＋12x ＋1， 易知f (x )在(－∞,＋∞)上为减函数．

又因f (x )是奇函数，从而不等式：

f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0等价于

f (t 2－2t )<－f (2t 2－k )＝f (k －2t 2)，

因f (x )为减函数，由上式推得：t 2－2t >k －2t 2，

即对t ∈R 有：

3t 2

－2t －k >0，从而Δ＝4＋12k <0?k <－13. 12．设函数f (x )的定义域为R ，对于任意的实数x ，y ，都有f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，当x ＞0时，f (x )＜0，求证：(1)f (x )为奇函数；(2)f (x )在(－∞,＋∞)上是减函数．

证明：(1)令x ＝y ＝0，得f (0)＝f (0)＋f (0)，

∴f (0)＝0.

再令y ＝－x ，得f (0)＝f (x )＋f (－x )，

∴f (－x )＝－f (x )，∴f (x )为奇函数．

(2)设x 1、x 2∈(－∞,＋∞)且x 1＜x 2，则x 2－x 1＞0，

∵当x ＞0时，f (x )＜0，∴f (x 2－x 1)＜0.

又∵对于任意的实数x ，y 都有f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )且f (x )为奇函数， ∴f (x 2－x 1)＝f [x 2＋(－x 1)]＝f (x 2)＋f (－x 1)＝f (x 2)－f (x 1)．

∴f (x 2)－f (x 1)＜0，

∴f (x )在(－∞,＋∞)上是减函数．

13．设函数f (x )的定义域关于原点对称，且满足

①f (x 1－x 2)＝f (x 1)f (x 2)＋1f (x 2)－f (x 1)

； ②存在正常数a ，使f (a )＝1.

求证：(1)f (x )是奇函数；

(2)f (x )是周期函数，并且有一个周期为4a .

证明：(1)不妨令x ＝x 1－x 2，则

f (－x )＝f (x 2－x 1)＝f (x 2)f (x 1)＋1f (x 1)－f (x 2)

＝－f (x 1)f (x 2)＋1f (x 2)－f (x 1)

＝－f (x 1－x 2)＝－f (x )．

∴f (x )是奇函数．

(2)要证f (x ＋4a )＝f (x )，

可先计算f (x ＋a )，f (x ＋2a )，

∵f (x ＋a )＝f [x －(－a )]＝f (－a )f (x )＋1f (－a )－f (x )

＝－f (a )f (x )＋1－f (a )－f (x )＝f (x )－1f (x )＋1

，(f (a )＝1)． ∴f (x ＋2a )＝f [(x ＋a )＋a ]＝f (x ＋a )－1f (x ＋a )＋1＝f (x )－1f (x )＋1－1f (x )－1f (x )＋1

＋1＝－1f (x ). ∴f (x ＋4a )＝f [(x ＋2a )＋2a ]＝1－f (x ＋2a )

f (x ) 故f (x )是以4a 为周期的周期函数．