八年级上轴对称及最短路线问题分析

第十三章轴对称

知识结构

知识归纳

轴对称图形

如果一个图形沿某一条直线折叠，两旁的部分能够互相重合， 这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的．

例题：画出下列图形的对称轴。

轴对称

有一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与重合， 那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做．两个图形关于直线对称也叫做轴对称．

图形轴对称的性质

如果两个图形成轴对称， 那么是任何一对对应点所

连线段的垂直平分线；轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线

段的．

轴对称是指“两个图形”

例题：如图，最大圆直径为4cm，则图中阴影部分的面积之和为（）。

(A) 8πcm (B) 4πcm

(C) 2πcm(D) πcm

轴对称与轴对称图形的区别

轴对称是指图形之间的形状与位置关系， 成轴对称的两个图形是全等形；轴对称图形是个具有特殊形状的图形，把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形是全等形，并且成轴对称．

线段的垂直平分线

（1）经过线段的并且于这条线段的直线， 叫做这条线段的垂直平分线（或线段的中垂线）．

（2）线段的垂直平分线上的点与这条线段两个的距离相等；

反过来， 与一条线段两个端点的点在这条线段的垂直平分线上．因此线段的垂直平分线可以看成与线段两个端点距离相等的所有点的集合．

练一练：1.用直尺和圆规作已知线段AB的中垂线。

2.如图，在直线CD上求作一点H，点H使点H到点A和点B的距离相等.

轴对称变换

由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换．

成轴对称的两个图形中的任何一个可以看着由另一个图形经过轴对称变换后得到．

轴对称变换的性质

（1）经过轴对称变换得到的图形与原图形的、完全一样

（2） 经过轴对称变换得到的图形上的每一点都是原图形上的某一点关于对称轴的．

（3）连接任意一对对应点的线段被对称轴．

作一个图形关于某条直线的轴对称图形

（1）作出一些关键点或特殊点的对称点．

（2）按原图形的连接方式连接所得到的对称点，即得到原图形的轴对称图形．

例题．开放与探究：（1）观察图中①－④中阴影部分所构成的图案，请写出这四个图案都具有的两个特征；（2）借助图中⑤的网格，请你设计一个新图案，使该图案同时具有你解答（1）中所写的两个共同的特征．

用坐标表示轴对称

关于坐标轴对称

点P（x，y）关于x轴对称的点的坐标是

点P（x，y）关于y轴对称的点的坐标是

关于原点对称

点P（x，y）关于原点对称的点的坐标是

例题．1.如图所示，每个小方格都是边长为1的正方形，以O点为坐标原点建立平面直角坐标系.

画出四边形OABC关于y轴对称的四边形OA1B1C1，并写出点B1的坐标是.

2.如图，在方格纸上建立平面直角坐标系，线段AB的两个端点都在格点上，直线MN经过坐标原点。

（1）写出点A的坐标, B的坐标.

（2）利用尺规作出线段AB关于直线MN的对称图形（保留作图痕迹，不写作法）。

等腰三角形

有两条边相等的三角形是等腰三角形．相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边．两腰所夹的角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角．

三角形按边分类

⑤

②

三角形()????????

不等边三角形底边和腰不相等的等腰三角形等腰三角形等边三角形正三角形

等腰三角形的性质

性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）

性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合．

特别的：（1）等腰三角形是轴对称图形.

（2）等腰三角形两腰上的中线、角平分线、高线对应相等.

等腰三角形的判定定理

如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）．

特别的：

（1）有一边上的角平分线、中线、高线互相重合的三角形是等腰三角形．

（2）有两边上的角平分线对应相等的三角形是等腰三角形．

（3）有两边上的中线对应相等的三角形是等腰三角形．

（4）有两边上的高线对应相等的三角形是等腰三角形．

等边三角形

三条边都相等的三角形叫做等边三角形，也叫做正三角形．

等边三角形的性质

等边三角形的三个内角都相等， 并且每一个内角都等于60°

等边三角形的判定方法

（1）三条边都相等的三角形是等边三角形；

（2）三个角都相等的三角形是等边三角形；

（3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．

直角三角形的性质

在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．

三角形中的边角不等关系

（1）在一个三角形中，如果两条边不等，那么它们所对的角也不等，大边所对的角较

大.（简称为：大边对大角）

（2）在一个三角形中，如果两个角不等，那么它们所对的边也不等，大角所对的边较

大.（简称为：大角对大边）

课堂练习：

1．如图：在中，AB＝AC，D为AC边上一点，

且BD=BC=AD，则A等于________________

2．等腰三角形两边长为5cm和9cm，周长为______________；等腰三角形两边长为4cm和9cm 时，周长为_______________；若等腰三角形周长为40cm，一边长为14cm，其他两边长为_______________。

3.等腰三角形中一个角为40°，则另外两个角为_________,如果一个角为100°，那另外两个角为________.

4．（1）等腰三角形两内角之比为2：1，求三个角的大小。

（2）等腰三角形一个外角为80，求三个内角的度数。

5.如图所示：在△ABC 中，BD=DE=EC=AD=AE，

求BAC的度数。

最短路线问题

在直线L上的同侧有两个点A、B，在直线L上有到A、B的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L的对称点，对称点与另一点的连线与直线L 的交点就是所要找的点．

2.如图，已知A、B两村分别距公路l的距离AA’=10km，BB’=40km，且A’B’=50km．在公路l上建一中转站P使AP+BP的最小，则AP+BP的最小值为（）

A 100km

B 80km

C 60km

km

3.如图，点P为∠AOB内一点，分别作点P关于OA，OB的对称点P1，P2，连接P1，P2交OA于M，交OB于N，若P1P2=6，则△PMN周长为（）

A 4

B 5

C 6

D 7

4.如图，∠AOB=30°，∠AOB内有一定点P，且OP=10．在OA上有一点Q，OB上有一点R．若△PQR周长最小，则最小周长是（）

A 10

B 15

C 20

D 30

5.如图，E是正方形ABCD边BC上一点，CE=2，BE=6，P是对角线BD上的一动点，则AP+PE的最小值是（）

A B.8 C .10 D 以上答案都

不对

6．如图，一牧童在A处牧马，牧童家在B处，A、B处距河岸的距离AC、BD的长分别为500m和700m，且C、D两地的距离为500m，天黑前牧童从A点将马牵引到河边去饮水后，再赶回家，那么牧童至少要走（）

A 100 B.1200 C .1300

D 1700

7．.已知∠MON=40°，P为∠MON内一定点P，OM上有一点A，ON上有一B，当△PAB 的周长取最小值时，

∠APB的度数是（）

A．40° B ．100°C140°D 50°

8．（1）画出 ABC关于y轴对称的图形 A，B，C，；

（2）在x轴上找出点P，使得点P到点A、点B的距离之和最短（保留作图痕迹）

利用轴对称求最短距离问题

利用轴对称求最短距离问题 基本题引入:如图（1),要在公路道a上修建一个加油站，有A,B两人要去加油站加油。加油站修在公路道的什么地方，可使两人到加油站的总路程最短？ 你可以在a上找几个点试一试,能发现什么规律? 思路分析:如图２,我们可以把公路a近似看成一条直线，问题就是要在a上找一点Ｍ，使AM与BＭ的和最小。设A′是Ａ的对称点,本问题也就是要使A′Ｍ与BＭ的和最小。在连接Ａ′Ｂ的线中,线段Ａ′B最短。因此,线段A′B与直线a的交点C的位置即为所求。 如图3，为了证明点Ｃ的位置即为所求，我们不妨在直线a上另外任取一点N,连接ＡN、BN、Ａ′N。 因为直线ａ是Ａ,A′的对称轴,点M，N在a上，所以AＭ= A′M,AＮ= A′N。 ∴ＡM+BＭ= A′M+ＢM＝ A′Ｂ 在△A′BＮ中, ∵Ａ′Ｂ

考点13 轴对称-最短路径问题(解析版)

考点13 轴对称——最短路径问题 一．选择题（共12小题） 1．（2020·四川成都）如图，30AOB ∠=?，M ，N 分别是边,OA OB 上的定点，P ，Q 分别是边,OB OA 上的动点，记,OPM OQN αβ∠=∠=，当MP PQ QN ++的值最小时，关于α，β的数量关系正确的是（ ） A ．60βα-=? B ．210βα+=? C ．230βα-=? D ．2240βα+=? 【答案】B 【解析】 如图，作M 关于OB 的对称点M '，N 关于OA 的对称点N '，连接M N ''交OA 于Q ， 交OB 于P ，则此时MP PQ QN ++的值最小．

易知'∠=∠=∠OPM OPM NPQ ，'∠=∠=∠OQP AQN AQN ． ∵18030∠=?-?-∠OQN ONQ ，30∠=∠=?+∠OPM NPQ OQP 30∠=∠=?+∠OQP AQN ONQ ， ∵303018030210+=?+?+∠+?-?-∠=?ONQ ONQ αβ． 故选：B. 【点睛】 本题考查轴对称-最短问题、三角形的内角和定理．三角形的外角的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 2．（2020·银川）如图，直线m 表示一条河，M ，N 表示两个村庄，欲在m 上的某处修建一个给水站，向两个村庄供水，现有如图所示的四种铺设管道的方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的方案是（ ） A ． B ． C ． D ． 【答案】D 【解析】

作点M 关于直线m 的对称点M '，连接NM '交直线m 于P ，则P 处即为给水站位置．根据“两点之间，线段最短”可排除A 、B 、C 选项，可知D 选项管道最短． 故选：D ． 3．（2020·河北武安期末）如图，∵ABC 中，AB=AC=10，BC=16，AD 是BC 边上的中线且AD=6，F 是AD 上的动点，E 是AC 边上的动点，则CF EF +的最小值是（ ）. A ．485 B ．16 C ．6 D ．10 【答案】A 【解析】 解：如下图所示，作BG∵AM 于M ，交AD 于F ， ∵∵ABC 中，AB=AC=10，AD 是BC 边上的中线， ∵∵ABC 是等腰三角形，AD BC ⊥，BD=DC ， ∵ AD 是BC 的垂直平分线， ∵ BF=CF ． 则BF EF +有最小值时，CF EF +有相同的最小值． 根据垂线段最短可得出CF EF +=BF EF +≥=BF FM BM +，则CF EF +取最小值时，=CF EF BM +． 根据三角形的面积公式，可得： 11==22 ABC S AD BC AC BM ??△，

八年级上轴对称及最短路线问题分析

第十三章轴对称 知识结构 知识归纳 轴对称图形 如果一个图形沿某一条直线折叠，两旁的部分能够互相重合， 这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的． 例题：画出下列图形的对称轴。 轴对称 有一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与重合， 那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做．两个图形关于直线对称也叫做轴对称． 图形轴对称的性质 如果两个图形成轴对称， 那么是任何一对对应点所 连线段的垂直平分线；轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线 段的． 轴对称是指“两个图形”

例题：如图，最大圆直径为4cm，则图中阴影部分的面积之和为（）。 (A) 8πcm (B) 4πcm (C) 2πcm(D) πcm 轴对称与轴对称图形的区别 轴对称是指图形之间的形状与位置关系， 成轴对称的两个图形是全等形；轴对称图形是个具有特殊形状的图形，把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形是全等形，并且成轴对称． 线段的垂直平分线 （1）经过线段的并且于这条线段的直线， 叫做这条线段的垂直平分线（或线段的中垂线）． （2）线段的垂直平分线上的点与这条线段两个的距离相等； 反过来， 与一条线段两个端点的点在这条线段的垂直平分线上．因此线段的垂直平分线可以看成与线段两个端点距离相等的所有点的集合． 练一练：1.用直尺和圆规作已知线段AB的中垂线。 2.如图，在直线CD上求作一点H，点H使点H到点A和点B的距离相等. 轴对称变换 由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换． 成轴对称的两个图形中的任何一个可以看着由另一个图形经过轴对称变换后得到． 轴对称变换的性质 （1）经过轴对称变换得到的图形与原图形的、完全一样 （2） 经过轴对称变换得到的图形上的每一点都是原图形上的某一点关于对称轴的． （3）连接任意一对对应点的线段被对称轴． 作一个图形关于某条直线的轴对称图形

第4讲利用轴对称破解最短路径问题

第一章平移、对称与旋转 第4讲利用轴对称破解最短路径问题 一、学习目标 1. 理解“直线上同一侧两点与此直线上一动点距离和最小”问题通过轴对称的性质与作图转化为“两点之间，线段最短”问题求解。 2.能将实际问题或几何问题（对称背景图）中有关最短路径（线段之差最大值）问题借助轴对称转化为两点之间，线段最短问题分析与求解。 二、基础知识·轻松学 与轴对称有关的最短路径问题 关于最短距离，我们有下面几个相应的结论： （1）在连接两点的所有线中，线段最短（两点之间，线段最短）； （2）三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边； （3）在三角形中，大角对大边，小角对小边。 （4）垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等； 【精讲】一般说来，线段和最短的问题，往往把几条线段连接成一条线段，利用“两点之间线段最短”或者“三角形两边之和大于第三边”加以证明，关键是找相关点关于直线的对称点实现“折”转“直”。另外，在平移线段的时候，一般要用到平行四边形的判定和性质。（判定：如果一个四边形的一组对边平行且相等，那么这个四边形是平行四边形；性质：平行四边形的对边相等。） 三、重难疑点·轻松破 最短路径问题 在平面图形中要解决最短路径问题，自然离不开构建与转化“两点之间，线段最短”的数学公理，通常将涉及到的两点中的任一点作出关于直线的对称点，从而运用两点之间，线段最短解决实际问题．在日常生活、工作中，经常会遇到有关行程路线的问题。“最短路径问题”的原型来自于“饮马问题”、“造桥选址问题”，出题通常以直线、角、等腰（边）三角形、长方形、正方形、坐标轴等对称图形为背景。 （1）“一线同侧两点”问题 例1 如图，点A、B在直线m的同侧，点B′是点B关于m的对称点，AB′交m于点P．（1）AB′与AP+PB相等吗？为什么？ （2）在m上再取一点N，并连接AN与NB，比较AN+NB与AP+PB的大小，并说明理由．

八年级最短路径问题

最短路径问题 1、如图，在△ABC 中，DE 是AC 的垂直平分线，AE=5cm ，△ABD 的周长为15cm ，则△ABC 的周长是 （第1题） （第2题） 2、如图，△ABC 中，AB=BC ，D 是BC 边上一点，点A 在线段CD 的垂直平分线上，连接AD ，若∠B=50°，则∠BAD= 度。 3、如图，设△ABC 和△CDE 都是正三角形，且∠EBD = 62°，则∠AEB 的度数是为_________。 知识点一、最短路径 【知识梳理】 1、两定一动 （1）如图，点A 、B 在直线l 的两侧，在l 上求一点P ，使得PA ＋PB 最小。 （2）如图，点A 、B 在直线l 的同侧，在l 上求一点P ，使得PA ＋PB 最小。 第9题图D A B E C

2、三定一动 平面直角坐标系中有三点A（6，4）、B（4，6）、C（0，2），在x轴上找一点D，使得四边形ABCD的周长最小，则点D的坐标应该是。 3、一定两动型 如上图，点A是∠MON内部一点，在∠MON的两边OM、ON上各取一点B、C，与点A组成三角形，使△ABC的周长最小。 【例题精讲】 1、在平面直角坐标系中，点A(1，－2)与点B关于x轴对称，则点B的坐标是___________。 2、如图，∠AOB＝30°，点P为∠AOB内一点，OP＝8。点M、N分别在OA、OB上，则△PMN周长的最小值为__________。 （第2题）（第3题） 3、如图，在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（1，4）和（3，0），点C是y轴上的一个动点，且 A、B、C三点不在同一条直线上，当△ABC的周长最小时，点C的坐标是。 4、平面直角坐标系中，已知A(4，3)、B(2，1)，x轴上有一点P，要使PA－PB最大，则P点坐标_____。

轴对称,最短路线问题

2.如图，已知A、B两村分别距公路l的距离AA’=10km，BB’=40km，且A’B’=50km．在公路l上建一中转站P使AP+BP的最小，则AP+BP的最小值为（） A 100km B 80km C 60km D50km 3．如图，矩形ABCD中，AD=5，AB=12，点M在AC上，点N在AB上，则BM+MN的最小值为（） A 9 B12 C 120 13 D 1440 169

4.如图，点P为∠AOB内一点，分别作点P关于OA，OB的对称点P1，P2，连接P1，P2交OA于M，交OB于N，若P1P2=6，则△PMN周长为（） A 4 B 5 C 6 D 7 5.如图，∠AOB=30°，∠AOB内有一定点P，且OP=10．在OA上有一点Q，OB上有一点R．若△PQR 周长最小，则最小周长是（） A 10 B 15 C 20 D 30 6.如图，E是正方形ABCD边BC上一点，CE=2，BE=6，P是对角线BD上的一动点，则AP+PE的最小值是（） A B.8 C .10 D 以上答案都不对 7．如图，一牧童在A处牧马，牧童家在B处，A、B处距河岸的距离AC、BD的长分别为500m和700m，且C、D两地的距离为500m，天黑前牧童从A点将马牵引到河边去饮水后，再赶回家，那么牧童至少要走（） B.1200 C .1300 D 1700 8．如图，矩形ABCD中，AB=20，BC=10，若在AB、AC上各取一点N、M，使得BM+MN的值最小，这个最小值为（） A 12 C 16 D 20 9.已知∠MON=40°，P为∠MON内一定点，OM上有一点A，ON上有一B，当△PAB的周长取最小值时，∠APB的度数是（） A．40° B ．100°C140° D 50°

第十三章轴对称13.4最短路径问题(练习)

第十三章轴对称 13.4 最短路径问题（练习） 精选练习 一、单选题（共10小题） 1．如图所示，某工厂有三个住宅区，A，B，C各区分别住有职工30人，15人，10人，且这三点在一条大道上（A，B，C三点在同一直线上），已知AB＝300米，BC＝600米．为了方便职工上下班，该厂的接送车打算在此路段只设一个停靠点，为使所有的人步行到停 靠点的路程之和最小，那么该停靠点的位置应设在（） A．点A B．点B C．AB之间D．BC之间

【答案】A 【解析】此题为数学知识的应用，由题意设一个停靠点，为使所有的人步行到停靠点的路程 之和最小，肯定要尽量缩短两地之间的里程，就用到两点间线段最短定理． 【详解】解：①以点A为停靠点，则所有人的路程的和=15×300+10×900=13500（米）， ②以点B为停靠点，则所有人的路程的和=30×300+10×600=15000（米）， ③以点C为停靠点，则所有人的路程的和=30×900+15×600=36000（米）， ④当在AB之间停靠时，设停靠点到A的距离是m，则（0＜m＜300），则所有人的路程的 和是：30m+15（300-m）+10（900-m）=13500+5m＞13500， ⑤当在BC之间停靠时，设停靠点到B的距离为n，则（0＜n＜600），则总路程为30（300+n）+15n+10（600-n）=15000+35n＞13500． ∴该停靠点的位置应设在点A； 故选：A． 【点睛】考查了比较线段的长短，此题为数学知识的应用，考查知识点为两点之间线段最短．2．已知村庄A和B分别在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN(假定河的两岸彼此平行，且桥与河岸互相垂直)，下列示意图中，桥的建造位置能使从村庄A经桥过河到村庄B 的路程最短的是( ) A．

八年级数学上册 第十三章 轴对称 13.4 课题学习 最短路径问题同步训练 (新版)新人教版

13.4 课题学习最短路径问题 [学生用书P63] 1．如图13-4-6，已知∠MON＝40°，P为∠MON内一定点，OM上有一点A，ON上有一点B，当△PAB的周长取最小值时，∠APB的度数是( ) A．40° B．100° C．140° D．50° 图13-4-6 2．如图13-4-7所示，四边形EFGH是一个矩形的台球桌面，有黑白两球分别位于A，B 两点，试说明怎样撞击B，才能使白球先撞击台球桌边EF，反弹后又能击中黑球A? 图13-4-7 3．如图13-4-8，点A，B在直线m的同侧，点B′是点B关于m的对称点，AB′交m 于点P. (1)AB′与AP＋BP相等吗？为什么？ (2)在m上再取一点N，并连接AN与BN，比较AN＋BN与AP＋BP的大小，并说明理由． 图13-4-8

4．[xx·鄂尔多斯]如图13-4-9，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，使从A到B的路径AMMNNB最短的是(假定河的两岸是平行直线，桥要与河岸垂直)( D ) 图13-4-9 A B

C D 5．[xx·营口改编]如图13-4-10，点P是∠AOB内任意一点，OP＝5 cm，点M和点N 分别是射线OA和射线OB上的动点，△PMN周长的最小值是5 cm，求∠AOB的度数． 图13-4-10

6．[xx·百色]如图13-4-11，等边△ABC的边长为2，过点B的直线l⊥AB，且△ABC 与△A′BC′关于直线l对称，D为线段BC′上一动点，则AD＋CD的最小值是( A ) 图13-4-11 A．4 B．32 C．2 D．2＋3 参考答案 【归类探究】 例1略例2略 【当堂测评】 1．B 2.D 3.略

八年级数学轴对称最短路径题专题难点训练

八年级数学轴对称最短路径题专题难点训练 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．如图，从A 到B 最短的路线是（ ） A ．A G E B --- B ．A C E B --- C ．A F E B --- D ．A D G E B ---- 2．如图，点A ，B 在直线l 的同侧，若要用尺规在直线l 上确定一点P ，使得AP+BP 最短，则下列作图正确的是（ ） A ． B ． C ． D ． 3．已知30AOB ∠=?，点P 在AOB ∠的内部，8OP =，在OA 、OB 上分别取点M 、N ，使OMN ?的周长最短，则PMN ?周长的最小值为（ ） A ．4 B ．8 C ．16 D ．32 4．如图，点P 是直线a 外一点，PB ⊥a ，点A ，B ，C ，D 都在直线a 上，下列线段中最短的是( )

A ．PA B ．PB C ．PC D ．PD 5．已知M （3，2），N （1，－1），点P 在 轴上，且PM ＋PN 最短，则点P 的坐标是（ ） A ．（0，12） B ．（0，0） C ．（0，116） D ．（0，14 -） 二、填空题 6．如图，要从村庄P 修一条连接公路l 的最短的小道，应选择沿线段________修建，理由是________． 7．如图，等腰△ABC 的底边BC 的长为2cm ，面积是6cm 2，腰AB 的垂直平分线EF 交AB 于点E ，交AC 于点F ．若D 为BC 边上的中点，M 为线段EF 上一动点，则△BDM 的周长最短为____________cm ． 8．若ABC △中，::1:2:3A B C ∠∠∠=，且最长边为10cm ，则最短边长为______cm . 三、解答题 9．如图，已知ABC ，请你用尺规在AB 边上找一点D ，使得CD 的长度最短． 10．在△ABC 中，已知∠A= 12∠B=13 ∠C，它的最长边是8 cm ，求它的最短边的长. 11．如图

轴对称最短路径问题

优学小班——提分更快、针对更强、时效更高 名师堂学校优学小班讲义 轴对称——最短路径问题 现在的数学教学遵循《标准》的理念，以“生活? 数学”, “活动? 思考”为主线展开课程内容，注 重体现生活与数学的联系，其中最短路径问题就是这一方面知识与能力的综合运用，其原型来自于“饮马 问题”、“造桥选址问题”，出题背景有角、三角形、平行四边形、坐标轴、抛物线等。下面就对上述类型 做一个简单的归纳。 例1．如图，牧童在A处放马，其家在B处，A、B到河岸的距离分别为AC和BD，且AC=BD，若 点A到河岸CD的中点的距离为500米，则牧童从A处把马牵到河边饮水再回家，最短距离是多少米？ 分析：根据轴对称的性质和“两点之间线段最短”，连接 A′B，得到最短距离为A′B，再根据全等三角形的性质和 A到河岸CD的中点的距离为500米，即可求出A'B的值． A′B=1000米． 故最短距离是1000米． 例2．如图，正方形ABCD，AB边上有一点E，AE=3，EB=1，在AC上有一点P，使EP+BP为最短．求： 最短距离EP+BP． 分析：此题中，点E、B的位置就相当于例1中的点A、B，动点P所在有直线作为对称轴相当于例1 中的小河。故根据正方形沿对角线的对称性，可得无论P在什么位置，都有PD=PB；故均有EP+BP=PE+PD 成立；所以原题可以转化为求PE+PD的最小值问题，分析易得连接DE与AC，求得交点就是要求的点的位 置 例3．如图，∠XOY内有一点P，在射线OX上找出一点M，在射线 OY上找出一点N，使PM+MN+NP最短． 名师堂校区地址：南充咨询电话：

分析：此题的出题背景就是角。本题主要利用了两点之间线段最短的性质通过轴对称图形的性质确定三角形的另两点． 分别以直线OX、OY为对称轴，作点P的对应点P1与P2，连接P1P2交OX于M，交OY于N，则PM+MN+NP最短． 例４．如图，荆州古城河在CC′处直角转弯，河宽均为5米，从A处到达B处，须经两座桥：DD′，EE′（桥宽不计），设护城河以及两座桥都是东西、南北方向的，A、B在东西方向上相距65米，南北方向上相距85米，恰当地架桥可使ADD′E′EB的路程最短，这个最短路程是多少米？ 分析：由于含有固定线段“桥”，导致不能将ADD′E′EB通过轴对称直接 转化为线段，常用的方法是构造平行四边形，将问题转化为平行四边形的问 题解答． 这就是“造桥选址问题” 解：作AF⊥CD，且AF=河宽， 作BG⊥CE，且BG=河宽， 连接GF，与河岸相交于E′、D′． 作DD′、EE′即为桥． 证明：由作图法可知，AF∥DD′，AF=DD′， 则四边形AFD′D为平行四边形， 于是AD=FD′， 同理，BE=GE′， 由两点之间线段最短可知，GF最小； 即当桥建于如图所示位置时，ADD′E′EB最短． 例５．（2008?内江）如图，当四边形PABN的周长最小时，a= 。。 分析：因为AB，PN的长度都是固定的，所以求出PA+NB的长度就行了．问题就是PA+NB什么时候最短．把B点向左平移2个单位到B′点；作B′关于x轴的对称点B″，连接AB″，交x轴于P，从而确定N点位置，此时PA+NB最短．再求a的值． 此题中的PN就相当于“造桥选址问题”中的桥，其思路与上题是一样的。通过构造平行四边形和轴对称将折线转之和最短转化为两点之间线段最短．

第4讲--利用轴对称破解最短路径问题

第4讲--利用轴对称破解最短路径问题

第一章平移、对称与旋转 第4讲利用轴对称破解最短路径问题 一、学习目标 1. 理解“直线上同一侧两点与此直线上一动点距离和最小”问题通过轴对称的性质与作图转化为“两点之间，线段最短”问题求解。 2.能将实际问题或几何问题（对称背景图）中有关最短路径（线段之差最大值）问题借助轴对称转化为两点之间，线段最短问题分析与求解。 二、基础知识·轻松学 与轴对称有关的最短路径问题 关于最短距离，我们有下面几个相应的结论： （1）在连接两点的所有线中，线段最短（两点之间，线段最短）； （2）三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边； （3）在三角形中，大角对大边，小角对小边。

（4）垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等； 【精讲】一般说来，线段和最短的问题，往往把几条线段连接成一条线段，利用“两点之间线段最短”或者“三角形两边之和大于第三边”加以证明，关键是找相关点关于直线的对称点实现“折”转“直”。另外，在平移线段的时候，一般要用到平行四边形的判定和性质。（判定：如果一个四边形的一组对边平行且相等，那么这个四边形是平行四边形；性质：平行四边形的对边相等。） 三、重难疑点·轻松破 最短路径问题 在平面图形中要解决最短路径问题，自然离不开构建与转化“两点之间，线段最短”的数学公理，通常将涉及到的两点中的任一点作出关于直线的对称点，从而运用两点之间，线段最短解决实际问题．在日常生活、工作中，经常会遇到

有关行程路线的问题。“最短路径问题”的原型来自于“饮马问题”、“造桥选址问题”，出题通常以直线、角、等腰（边）三角形、长方形、正方形、坐标轴等对称图形为背景。 （1）“一线同侧两点”问题 例1 如图，点A、B在直线m的同侧，点B′是点B关于m的对称点，AB′交m于点P．（1）AB′与AP+PB相等吗？为什么？ （2）在m上再取一点N，并连接AN与NB，比较AN+NB与AP+PB的大小，并说明理由．解析：（1）∵点B′是点B关于m的对称点， ∴PB=PB′，∵AB′ =AP+PB′， ∴AB′=AP+PB． （2）如图：连接AN，BN， B′N， ∵AB′=AP+PB， ∴AN+NB=AN+NB′＞AB′， ∴AN+NB＞AP+PB．

人教版八年级数学讲义最短路径问题(含解析)(2020年最新)

第6讲最短路径问题 知识定位 讲解用时：5分钟 A、适用范围：人教版初二，基础较好； B、知识点概述：本讲义主要用于人教版初二新课，本节课我们要学习最短路径 问题，现实生活中经常涉及到选择最短路径问题，最值问题不仅使学生难以理解，也是中考中的一个高频考点。本节将利用轴对称知识探究数学史上著名的“将军饮马问题”。 知识梳理 讲解用时：20分钟 两点之间线段最短 C D A B E A地到B地有3条路线A-C-D-B，A-B，A-E-B，那么选哪条路线最近呢？ 选A-B，因为两点之间，直线最短 垂线段最短 如图，点P是直线L外一点，点P与直线上各 点的所有连线中，哪条最短？ PC最短，因为垂线段最短

两点在一条直线异侧 A P L B 如图，已知A点、B点在直线L异侧，在L上选一点P，使PA+PB最短. 连接AB交直线L于点P，则PA+PB 最短. 依据：两点之间：线段最短 两点在一条直线同侧 相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位 久负盛名的学者，名叫海伦.有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不 得其解的问题： 从图中的A地出发，到一条笔直的河边 l饮马，然后到B地.到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？ 作法： 1、作B点关于直线L的对称点B’； 2、连接AB’交直线L于点C； 3、点C即为所求. 证明：在直线L上任意选一点C’（点C’不与C重合），连接AC’、BC’、B’C’. 在△AB’C’中， AC’+B’C’＞AB’ ∴AC’+BC’＞AC+BC 所以AC+BC最短.

课堂精讲精练 【例题1】 已知点A，点B都在直线l的上方，试用尺规作图在直线l上求作一点P，使得PA+PB的值最小，则下列作法正确的是（） A．B． C．D． 【答案】D 【解析】根据作图的方法即可得到结论． 解：作B关于直线l的对称点，连接这个对称点和A交直线l于P，则PA+PB的值最小， ∴D的作法正确， 故选：D． 讲解用时：3分钟 解题思路：本题考查了轴对称﹣最短距离问题，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． 教学建议：学会处理两点在直线同侧的最短距离问题. 难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018 【练习1.1】 如图，直线L是一条河，P，Q是两个村庄．欲在L上的某处修建一个水泵站，向P，Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需

轴对称最值问题专项提升附答案

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授课教案 学员姓名：________________ 学员年级： ________________ 授课教师：_________________ 所授科目：_________ 上课时间：______年____月____ 日（～）；共_____课时 （以上信息请老师用正楷字手写） 轴对称最值问题专项提升 【知识点】最短路径 两点之间，线段最短 例：四边形ABCD中，∠BAD=0 120，∠B=∠D=090,在 BC，CD上分别找一点M，N，使?AMN周长最小， 则∠AMN+∠ANM的度数是（） A.0 110 120 C.0 130 B.0 D.0 100 例：如图，P，Q分别为?ABC的边AB，AC上的定点,在BC 上求作一点M，使?PQM周长最小。 一．解答题（共6小题） 1．已知：如图所示，M（3，2），N（1，﹣1）．点P在y 轴上使PM+PN最短，求P点坐标．

2．如图，△ABC的边AB、AC上分别有定点M、N，请在BC边上找一点P，使得△PMN的周长最短．保留作图痕迹） 3．如图△ABC是边长为2的等边三角形，D是AB边的中点，P是BC边上的动点，Q是AC边上的动点，当P、Q 的位置在何处时，才能使△DPQ的周长最小？并求出这个最值．

4．如图，∠AOB=30°，∠AOB内有一定点P，且OP=10，OA上有一点Q，OB上有一定点R．若△PQR周长最小，求它的最小值． 5．如图，已知A、B是锐角α的OM边上的两个定点，P 在ON边上运动．问P点在什么位置时，PA2+PB2的值最小？

6．如图，两个生物制药厂A与B座落于运河河岸的同一侧．工厂A和B距离河岸l分别为4千米和2千米，两个工厂的距离为6千米．现要在运河的工厂一侧造一点C，在C处拟设立一个货物运输中转站，并建设直线输送带分别到两个工厂和河岸，使直线运送带总长最小．如图建立直角坐标系． （1）如果要求货物运动中转站C距离河岸l为a千米（a 为一个给定的数，0≤a≤2），求C点设在何处时，直线输送带总长S最小，并给出S关于a的表达式． （2）在0≤a≤2范围内，a取何值时直线输送带总长最小，并求其最小值．

利用轴对称破解最短路径问题

第一章平移、对称与旋转 第4 讲利用轴对称破解最短路径问题 一、学习目标 1.理解“直线上同一侧两点与此直线上一动点距离和最小”问题通过轴对称的性质与作图转化为“两点之间，线段最短”问题求解。 2.能将实际问题或几何问题（对称背景图）中有关最短路径（线段之差最大值）问题借助轴对称转化为两点之间，线段最短问题分析与求解。 二、基础知识?轻松学 与轴对称有关的最短路径问题关于最短距离，我们有下面几个相应的结论： （1）在连接两点的所有线中，线段最短（两点之间，线段最短）； （2）三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边； （3）在三角形中，大角对大边，小角对小边。 （4）垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等； 【精讲】一般说来，线段和最短的问题，往往把几条线段连接成一条线段，利用“两点之间线段最短” 或者“三角形两边之和大于第三边”加以证明，关键是找相关点关于直线的对称点实现“折”转“直” 。另外，在平移线段的时候，一般要用到平行四边形的判定和性质。（判定：如果一个四边形的一组对边平行且相等，那么这个四边形是平行四边形；性质：平行四边形的对边相等。） 三、重难疑点?轻松破 最短路径问题 在平面图形中要解决最短路径问题，自然离不开构建与转化“两点之间，线段最短”的数学公理，通常将涉及到的两点中的任一点作出关于直线的对称点，从而运用两点之间，线段最短解决实际问题．在日常生活、工作中，经常会遇到有关行程路线的问题。“最短路径问题”的原型来自于“饮马问题” 、“造桥选址问题” ，出题通常以直线、角、等腰（边）三角形、长方形、正方形、坐标轴等对称图形为背景。 （1）“一线同侧两点”问题 例1如图，点A B在直线m的同侧，点B'是点B关于m的对称点，AB'交m于点P. （1）AB与AP+PB相等吗为什么 （2）在m上再取一点N,并连接AN与NB比较AN+N有AP+PB的大小，并说明理由.

八年级数学上册-13.4最短路径问题 教案

第十三章轴对称 13.4 课题学习最短路径问题【教材分析】 教学目标知识 技能 能利用轴对称解决简单的最短路径问题,体会图形的变化在解决最值问题中的作用. 过程 方法 在将实际问题抽象成几何图形的过程中,提高分析问题、解决问题的能力及渗透感悟转化思想. 情感 态度 通过有趣的问题提高学习数学的兴趣.在解决实际问题的过程中,体验数学学习的实用性. 重点利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题 难点如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题 【教学流程】 环节导学问题师生活动二次备课 情境引入如图所示，从A地到B地有三条路可供选择， 走哪条路最近？你的理由是什么？ 前面我们研究过一些关于“两点的所有连 线中，线段最短”、“连接直线外一点与直线上 各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题， 我们称它们为最短路径问题．现实生活中经常 涉及到选择最短路径的问题，本节将利用数学 知识探究数学史中著名的“将军饮马问题”． 教师出示问题，引导学生思 考、回答，引入课题。 自主探究 探究点一探索最短路径问题 活动一：相传，古希腊亚历山大里亚城里 有一位久负盛名的学者，名叫海伦．有一天， 一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其 解的问题： 从图中的A地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然后到B地．到河边什么地方饮马可 使他所走的路线全程最短？ 精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用 教师出示问题情境，激发学生 学习兴趣和探究欲望.

合 作 交 流 自 主 探 究 合 作 交 流 轴对称的知识回答了这个问题．这个问题后 来被称为“将军饮马问题”． 你能将这个问题抽象为数学问题吗？ 追问1这是一个实际问题，你打算首先 做什么？ 答：将A，B两地抽象为两个点，将河l抽 象为一条直线． 追问2你能用自己的语言说明这个问 题的意思，并把它抽象为数学问题吗？ 答：(1)从A地出发，到河边l饮马，然 后到B地；(2)在河边饮马的地点有无穷多 处，把这些地点与A，B连接起来的两条线段 的长度之和，就是从A地到饮马地，再回到 B地的路程之和；(3)现在的问题是怎样找出 使两条线段长度之和为最短的直线l上的 点．设C为直线上的一个动点，上面的问题 就转化为：当点C在l的什么位置时，AC与 CB的和最小(如图)． 问题2：如图，点A，B在直线l的同侧， 点C是直线上的一个动点，当点C在l的什 么位置时，AC与CB的和最小？ 追问3：对于问题2，如何将点B“移”到l 的另一侧B′处，满足直线l上的任意一点C， 都保持CB与CB′的长度相等？ 追问4：你能利用轴对称的有关知识，找 到上问中符合条件的点B′吗？ 展示点评：作法： (1)作点B关于直线l的对称点B′； (2)连接AB′，与直线l交于点C. 则点C即为所求． 追问5、你能用所学的知识证明AC＋ BC最短吗？ 让学生将实际问题抽象为数 学问题，即将最短路径问题抽 象为“线段和最小问题” 学生尝试回答, 并互相补 充,最后达成共识: 教师引导学生，联想轴对 称知识解决，尝试作法，师生 共同矫正， 教师引导学生通过合作 交流完成证明；

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初中数学人教版八年级上册第十三章《轴对称》练习册(含答案)13.4 课题学习 最短路径问题

初中数学人教版八年级上册实用资料 13.4课题学习最短路径问题 基础巩固 1.（知识点1）已知直线l是一条河，P，Q是两个村庄.欲在l上的某处修建一个水泵站，向P，Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是（） 2.（知识点1）已知在平面直角坐标系中有A，B两点，要在y轴上找一点C，使得它到A，B的距离之和最小，现有如下四种方案，其中正确的是（） 3.（题型二）如图13-4-1，正方形ABCD的边长为8，△ABE是等边三角形，点E在正方形内，在对角线AC上有一点P，使得PD+PE的值最小，则这个最小值为（） 图13-4-1 A.4 B.6 C.8 D.10 4.（题型二）已知MN是正方形ABCD的一条对称轴（A，D是一组对称点，B，C是一组 对称点），P是直线MN上的一个动点，当PC+PD最小时，∠PCD= °. 5.（题型三）如图13-4-2，为了做好国庆期间的交通安全工作，某交警执勤小队从A处出

发，首先到公路l1上设卡检查，然后到公路l2上设卡检查，最后再到达B地执行任务，他们如何走才能使总路程最短？ 图13-4-2 6.（题型二）如图13-4-3，点A，B在直线m的同侧，点B′是点B关于直线m的对称点，AB′交m于点P. （1）AB′与AP+PB相等吗？为什么？ （2）在m上取一点N，并连接AN与NB，比较AN+NB与AP+PB的大小，并说明理由. 图13-4-3 7.（题型一）如图13-4-4，△ABC是等边三角形，D是AB边上的一点，P是BC边上的动点，Q是AC边上的动点，当P，Q的位置在何处时，才能使△DPQ的周长最小？ 图13-4-4 能力提升 8.（题型二）如图13-4-5，钝角三角形ABC的面积为15，最长边AB=10，BD平分∠ABC，点M，N分别是BD，BC上的动点，则CM+MN的最小值为. 图13-4-5 9.（题型一）如图13-4-6，∠AOB=30°，∠AOB内有一定点P，且OP=10.在OA上有一点Q，OB上有一点R.当△PQR的周长最小时，求它的周长. 图13-4-6 10.（题型三）两艘军舰A，B在某海港中的位置如图13-4-7，在Ox和Oy两岸上各有一个军需所，A舰舰长乘小艇从A舰出发，首先到Oy边的军需所，然后到Ox边的军需所各取一些物资，最后一起送到B舰上，要使舰长所走的水路最近，他应分别在Ox，Oy岸边的何处上岸？

八年级数学上培优专题七最短路径问题

精品文档 专题七最短路径问题 1．最短路径问题 (1)求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要连接这两点，与直线的交点即为所求． ABllCCA，使如图所示，点异侧的两个点，在，上找一个点分别是直线CBClAB 的交点．与是直线＋最短，这时点 (2)求直线同侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要找到其中一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，则与该直线的交点即为所求． ABllCCA，使，同侧的两个点，在如图所示，点分别是直线上找一个点CBBlBClAB′的关于直线是直线的对称点＋与最短，这时先作点′，则点交 点．

CC′，连接为了证明点的位置即为所求，我们不妨在直线上另外任取一点ACBCBCACCBACCB.如下：′，′，＜′′′，证明′＋＋ BBl对称，证明：由作图可知，点′关于直线和 lBB′的垂直平分线．是线段所以直线 CCl上，因为点′在直线与 BCBCBCBC′所以. ＝′＝′′，ABCABACBC′，′＋′中，′＜′在△′ACBCACBC′，＜′所以′＋＋′ACBCACCB. ＜′所以′＋＋lMAB两点的距离和最小．，使它到 1】在图中直线上找到一点，【例 l然后连接对称点和另一个点，先确定其中一个点关于直线的对称点，分析：Ml与直线为所求的点．的交点即BlB(1)作点关于直线′；的对称点如图所示：解：MABl. (2)连接′交直线于点精品文档． 精品文档 M即为所求的点．则点 (3)点拨：运用轴对称变换及性质将不在一条直线上的两条线段转化到一条直线上，然后用“两点之间线段最短”解决问题. 2.运用轴对称解决距离最短问题 运用轴对称及两点之间线段最短的性质，将所求线段之和转化为一条线段的长，是解决距离之和最小问题的基本思路，不论题目如何变化，运用时要抓住直线同

最短路径问题专项练习题

最短路径问题专项练习 共13页，全面复习与联系最短路径问题 一、具体内容包括： 蚂蚁沿正方体、长方体、圆柱、圆锥外侧面吃食问题； 线段（之和）最短问题； 二、原理： 两点之间，线段最短；垂线段最短。（构建“对称模型”实现转化） 1．最短路径问题 (1)求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要连接这两点，与直线的交点即为所求． 如图所示，点A ，B 分别是直线l 异侧的两个点，在l 上找一个点C ，使CA ＋CB 最短，这时点C 是直线l 与AB 的交点． (2)求直线同侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要找到其中一个点关于 这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，则与该直线的交点即为所求． 如图所示，点A ，B 分别是直线l 同侧的两个点，在l 上找一个点C ，使CA ＋CB 最短，这时先作点B 关于直线l 的对称点B ′，则点C 是直线l 与AB ′的交点． 为了证明点C 的位置即为所求，我们不妨在直线上另外任取一点C ′，连接AC ′，BC ′， B ′ C ′，证明AC ＋CB ＜AC ′＋C ′B .如下： 证明：由作图可知，点B 和B ′关于直线l 对称， 所以直线l 是线段BB ′的垂直平分线． 因为点C 与C ′在直线l 上， 所以BC ＝B ′C ，BC ′＝B ′C ′. 在△AB ′C ′中，AB ′＜AC ′＋B ′C ′， 所以AC ＋B ′C ＜AC ′＋B ′C ′， 所以AC ＋BC ＜AC ′＋C ′B . 【例1】 在图中直线l 上找到一点M ，使它到A ，B 两点的距离和最小． 分析：先确定其中一个点关于直线l 的对称点，然后连接对称点和另一个点，与直线l 的交点M 即为所求的点． 解：如图所示：(1)作点B 关于直线l 的对称点B ′； (2)连接AB ′交直线l 于点M . (3)则点M 即为所求的点． 点拨：运用轴对称变换及性质将不在一条直线上的两条线段转化到一条直线上，然后用“两点之间线段最短”解决问题.

轴对称——最短路径问题

正方形ABCDAB 边上有一点E , 名师堂校区地址：南充咨询电话: 优学 小班——提分更快、针对更强、时效更高 名师堂学校优学小班讲义 轴对称一一最短路径问题 现在的数学教学遵循《标准》的理念，以“生活 ？数学”，“活动？思考”为主线 展开课程内容，注重体现生活与数学的联系，其中最短路径问题就是这一方面知识 与能力的综合运用，其原型来自于“饮马问题”、“造桥选址问题”，出题背景有角、 三角形、平行四边形、坐标轴、抛物线等。下面就对上述类型做一个简单的归纳。 例1.如图，牧童在A 处放马，其家在B 处，A B 到河岸的距离分别为AC 和BD 且AC=BD 若点A 到河岸CD 的中点的距离为500米，则牧童从A 处把马牵到河边饮 水再回家，最短距离是多少米? 分析：根据轴对称的性质和“两点之间线段最短”，连接 A B,得到最短距离为A B,再根据全等三角形的性质和 A 到河岸CD 的中点的距离为500米，即可求出A' B 的值. A B=1000米. 故最短距离是1000米. M ■ ? * ■k 1 k & 例 2.如图,

AE=3 EB=1,在AC上有一点P,使EP+BF为最短.求：最短距离EP+BP 分析：此题中，点E、B的位置就相当于例1中的点A、B,动点P所在有直线作为对称轴相当于例1中的小河。故根据正方形沿对角线的对称性，可得无论P在什么位置，都有PD=PB故均有EP+BP=PE+P成立；所以原题可以转化为求PE+PD勺最小值问题，分析易得连接DE与AC求得交点就是要求的点的位置 例3.如图，/ XOY内有一点P,在射线0X上找出一点M在射线0Y上找出一点N,使PM+MN+Nt短. 分析：此题的出题背景就是角。本题主要利用了两点之间线段最短的性质通过轴对 称图形的性质确定三角形的另两点. 分别以直线OX 0Y为对称轴，作点P的对应点P i与R,连接P1P2交0X于M交0Y 于N,贝卩PM+MN+NR短. 例4 .如图，荆州古城河在CC处直角转弯，河宽均为5米，从A处到达B处, 须经两座桥：DD , EE （桥宽不计），设护城河以及两座桥都是东西、南北方向的，A、B在东西方向上相距65米，南北方向上相距85米，恰当地架桥可使ADD E EB 的路程最短，这个最短路程是多少米? 分析：由于含有固定线段“桥”，导致不能将ADD E' EB通过轴对 称直接转化为线段，常用的方法是构造平行四边形，将问题转化为 平行四边形的问题解答. 这就是“造桥选址问题” 解：作AF丄CD且AF= 可宽, 作BGL CE且BG河宽， 连接GF,与河岸相交于E'、D 作DD、EE即为桥.