当前位置：文档库 › 历年考研数学三真题及答案解析(2004-2012)

历年考研数学三真题及答案解析(2004-2012)

2012年全国硕士研究生入学统一考试

数学三试题

选择题：1~8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.

（1）曲线

x x

-渐近线的条数为（）

（A）0 （B）1 （C）2 （D）3

（2）设函数

()(1)(2)

x x nx

f x e e e n

=--…（-）

，其中n为正整数，则

(0)

（）

（A）

(1)(1)!

n n

（B）

(1)(1)!

n n

（C）

(1)!

n n

（D）

(1)!

n n

（3）设函数

()

f t

连续，则二次积分

02cos

()

d f r rdr

=（）

（A

）

222

() dx x y dy

（B

）

222

()

dx f x y dy

（C

）

222

() dx x y dy

（D

）

222

() dx x y dy

（4

）已知级数1

(1)n

nα

∞

∑

绝对收敛，

(1)n

nα

∞

∑

条件收敛，则

α范围为

（）

（A）0<α

≤

（B）

2< α≤1

（C ）1<α≤3

（D ）3

2<α<2

（5）设

1234123400110,1,1,1c c c c αααα-????????

? ? ? ?===-= ? ? ? ? ? ? ? ?????????其中1234c c c c ，，，为任意常数，则下列向量组线性相关的是（

）

（A ）1

23ααα，，

（B ）1

24ααα，，（C ）1

34ααα，，

（D ）

234ααα，，

（6）设A 为3阶矩阵，P 为3阶可逆矩阵，且P-1AP=112?? ? ? ??

?， 123=P ααα（，，），1223=Q αααα（+，，）则1

=Q AQ -（）

（A ）121??

? ? ??

（B ）112??

? ? ??

? （C ）

212?? ? ? ???

（D ）

221?? ? ? ??? （7）设随机变量X 与Y 相互独立，且都服从区间（0，1）上的均匀分布，则

+P X Y ≤22｛1｝（

）

（A ）1

（B ）1

（C ）8

（D ）4

（8）设1234X X X X ，，，为来自总体N σσ>2

（1，）（0）的简单随机样

本，则统计量12

4|+-2|X X X X -的分布（

）（A ）N （0，1）

（B ）

(1)t

（C ）

(1)χ （D ）

(1,1)F

二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.

（9）

cos sin 4

lim(tan )x x

x x π

-→

（10

）设函数

ln 1(),(()),21,1

x dy x f x y f f x dx x x =?≥?=?-

___________.

（11）函数

(,)

z f x y =满

足

x y →→=则

(0,1)dz =

_______.

（12）由曲线4

y x =

和直线y x =及4y x =在第一象限中所围图形的面积为

_______.

（13）设A 为3阶矩阵，|A|=3，A*为A 的伴随矩阵，若交换A 的第一行与第二行得到矩阵B ，则|BA*|=________.

（14）设A,B,C 是随机事件，A,C

互不相容，

(),(),

23P AB P C ==则C P AB （）=_________.

解答题：15~23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

（15）（本题满分10分）

计算

22cos 40lim x x

x e e x -→-

（16）（本题满分10分）

计算二重积分x

D e xydxdy

??，其中D

为由曲线

y y ==

所围区域.

（17）（本题满分10分）某企业为生产甲、乙两种型号的产品，投入的固定成本为10000（万元），设该企业生产甲、乙两种产品的产量分别为x(件)和y(件)，且固定两种产品的

边际成本分别为20+2

（万元/件）与6+y（万元/件）.

1）求生产甲乙两种产品的总成本函数

(,)

C x y

（万元）

2）当总产量为50件时，甲乙两种的产量各为多少时可以使总成本最小？求最小的成本.

3）求总产量为50件时且总成本最小时甲产品的边际成本，并解释其经济意义. （18）（本题满分10分）

证明：

ln cos1,1 1.

x x

x x x

+≥+-<< -

（19）（本题满分10分）已知函数

()

f x

满足方程

()()2()0

f x f x f x

+-=

及

()()2x

f x f x e

'+=

1）求表达式

()

f x

2）求曲线的拐点

()()

y f x f t dt

（20）（本题满分10分）

设

1001

0101

0010

A b

????

? ?

????

，

（I）求|A|

（II）已知线性方程组

Ax b

=有无穷多解，求a，并求Ax b

=的通解.

(21)（本题满分10分）

已知

101

011

，

二次型123

(,,)()

f x x x x x

T T

=A A

的秩为2，

求实数a的值；

求正交变换x=Qy将f化为标准型.

（22）（本题满分10分）

已知随机变量X,Y以及XY的分布律如下表所示：

求（1）P(X=2Y);

（2）cov(,)

X Y Y

-ρ

与

（23）（本题满分10分）

设随机变量X和Y相互独立，且均服从参数为1的指数分布，min(,),=max(,).

V X Y U X Y

求（1）随机变量V的概率密度；

（2）

() E U V

2011年全国硕士研究生入学统一考试

数学三试题

一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上。

(1) 已知当0x →时，函数()3sin sin3f x x x =-与是k cx 等价无穷小，则

(A) 1,4k c == (B) 1,4k c ==- (C) 3,4k c == (D) 3,4k c ==-

(2) 已知()f x 在0x =处可导，且(0)0f =,则2330()2()

lim x x f x f x x

→-= (A) '

2(0)f - (B) '

(0)f - (C) '

(0)f (D) 0 (3) 设{}n u 是数列，则下列命题正确的是

(A) 若

n u

∞

=∑收敛，则

()n n n u

u ∞

-=+∑收敛

(B) 若

21()n n n u

u ∞

-=+∑收敛，则1

n n u ∞

=∑收敛

n u

∞

=∑收敛，则

()n n n u

u ∞

-=-∑收敛

(D) 若

()n n n u

u ∞

-=-∑收敛，则1

n n u ∞

=∑收敛

(4) 设40

ln(sin )I x dx π=?

ln(cot )J x dx π

=?,40

ln(cos )K x dx π

=? 则I ,J ,K 的大

小关系是

(A) I J K << (B) I K J << (C) J I K << (D) K J I << (5) 设A 为3阶矩阵，将A 的第2列加到第1列得矩阵B ，再交换B 的第2行与第3

行得单位矩阵记为11001

10001P ?? ?= ? ???，2100001010P ?? ?

= ? ???

，则A = (A)12P P (B)112P P - (C)21P P (D) 1

21P P -

(6) 设A 为43?矩阵,1η, 2η , 3η 是非齐次线性方程组Ax β=的3个线性无关的解，1k ,2k 为任意常数，则Ax β=的通解为

(A)

121()2k ηηηη++-

(B) 23

221()2k ηηηη-+-

131221()()2k k ηηηηηη++-+-

(D) 23

221331()()2

k k ηηηηηη-+-+-

(7) 设1()F x ,2()F x 为两个分布函数，其相应的概率密度1()f x , 1()f x 是连续函数，则必为概率密度的是

(A) 12()()f x f x (B)212()()f x F x

(8) 设总体X 服从参数λ(0)λ>的泊松分布，11,,(2)n X X X n ≥ 为来自总体的简

单随即样本，则对应的统计量11

1n i i T X n ==∑，12111

1n i

n i T X X n n -==+-∑ (A)1212,ET ET DT DT >> (B)1212,ET ET DT DT >< (C)1212,ET ET DT DT <> (D) 1212,ET ET DT DT <<

二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. (9) 设0

()lim (13)x

t f x x t →=+，则'

()f x =______.

(10) 设函数(1)x

y x

z y

=+，则(1,1)|dz =______.

(11) 曲线tan()4

y x y e π

++=在点(0,0)处的切线方程为______.

(12)

曲线y =2x =及x 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转所成的旋转体

的体积______.

(13) 设二次型123(,,)T f X X X x Ax =的秩为1，A 中行元素之和为3，则f 在正交变换下x Qy =的标准型为______.

(14) 设二维随机变量(,)X Y 服从22(,;,;0)N μμσσ，则2

()E XY =______. 三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

(15) (本题满分10分)

求极限0

x →.

(16) (本题满分10分)

已知函数(,)f u v 具有连续的二阶偏导数，(1,1)2f =是(,)f u v 的极值，

[](),(,)z f x y f x y =+。求2(1,1)|z

x y

???.

(17) (本题满分10分)

求

? (18) (本题满分10分)

证明44arctan 03

x x π

=恰有2实根。 (19) (本题满分10分)

()f x 在[]0,1有连续的导数，(0)1f =，且

'()()

D D f x y dxdy f t dxdy +=??

??，{(,)|0,0,0}(01)t D x y x t y t x y t t =≤≤≤≤≤+≤<≤，求()f x 的表达式。

(20) (本题满分11分)

设3维向量组11,0,1T α=（），20,1,1T α=（），31,3,5T α=（）不能由11,,1T

a β=（），21,2,3T β=（），31,3,5T

β=（）

线性标出。求：(Ⅰ)求a ；

(Ⅱ)将1β，2β，3β由1α，2α，3α线性表出. (21) (本题满分11分)

已知A 为三阶实矩阵，()2R A =，且111100001111A -????

? ?

= ? ? ? ?-????

，

求：(Ⅰ) 求A 的特征值与特征向量；

(Ⅱ) 求A (22) (本题满分11分) 已知X ，Y 的概率分布如下：

且2

P()1X Y ==，

求：(Ⅰ)()X Y ，的分布；

(Ⅱ)Z XY =的分布； (Ⅲ)XY ρ. (23) (本题满分11分)

设(,)X Y 在G 上服从均匀分布，G 由0x y -=，2x y +=与0y =围成。

求：(Ⅰ)边缘密度

()X f x ；

(Ⅱ)

|(|)X Y f x y 。

2010年全国硕士研究生入学统一考试

数学三试题

一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请把所选项前的字母填在答题纸指定位置上.

(1) 若01

lim ()1x x a e x x

→??--=???

，则a 等于

（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3

(2) 设1y ，2y 是一阶线性非齐次微分方程'

()()y p x y q x x +=的两个特解，若常数λ，

u 使12y uy λ+是该方程的解，12y uy λ-是该方程对应的齐次方程的解，则（）

（A ）1122λμ=

=，（B ）1122λμ=-=-，（C ）2133λμ==，（D ）22

λμ==，

(3) 设函数()f x ,()g x 具有二阶导数，且"

()0g x <。若0()=g x a 是()g x 的极值，则

[]()f g x 在0x 取极大值的一个充分条件是（）

（A ）'

()0f a < （B ）'

()0f a > （C ）"

()0f a < （D ）"

()0f a >

(4) 设10

()ln f x x =，()g x x =,10

()x

h x e =,则当x 充分大时有（）（A ）()()()g x h x f x << （B ）()()()h x g x f x << （C ）()()()f x g x h x << （D ）()()()g x f x h x <<

(5) 设向量组Ⅰ：12r ααα ，，

可由向量组Ⅱ：12s βββ ，，线性表示，下列命题正确的是

（A ）若向量组Ⅰ线性无关，则r s ≤ （B ）若向量组Ⅰ线性相关，则r s > （C ）若向量组Ⅱ线性无关，则r s ≤ （D ）若向量组Ⅱ线性相关，则r s > (6) 设A 为4阶实对称矩阵，且20A A +=,若A 的秩为3，则A 相似于

（A ）1110?????

??????? （B ）1110????

????-??

?? （C ）1110????-????-???? （D ）1110-??

??-????-??

?? (7) 设随机变量的分布函数0

1()01211

x x F x x e

x -

=≤

?-≥??，则{}1P X == （A ）0 （B ）

（C ）11

2e -- （D ）11e --

(8) 设1()f x 为标准正态分布的概率密度，2()f x 为[]1,3-上的均匀分布的概率密度，

若12()

0()(0,0)()

af x x f x a b bf x x ≤?=>>?

>?为概率密度，则,a b 应满足

（A ）234a b += （B ）324a b += （C ）1a b += （D ）2a b +=

二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. (9) 设可导函数()y y x =由方程

sin x y

t e dt x t dt +-=?

?确定，则

x dy dx

==______.

(10)

设位于曲线)y e x =

≤<+∞下方，x 轴上方的无界区域为G ,则G

绕x 轴旋转一周所得空间区域的体积是______.

(11) 设某商品的收益函数为()R p ，收益弹性为3

1p +，其中p 为价格，且(1)1R =，则()R p =______.

(12) 若曲线3

1y x ax bx =+++有拐点(1,0)-,则b =______.

(13) 设A ，B 为3阶矩阵，且3A =，2B =，12A B -+=，则1A B -+=______.

(14) 设1x ，2x ，n x 为来自整体2

(,)(0)N μσσ>的简单随机样本，记统计量

1n i i T X n ==∑，则ET =______.

三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

(15) (本题满分10分) 求极限11ln lim (1)

x x →+∞

(16) (本题满分10分) 计算二重积分

()D

x y dxdy +??，其中D

由曲线x =

与直线0x =

及

0x -=围成。

(17) (本题满分10分)

求函数2u xy yz =+在约束条件2

10x y z ++=下的最大值和最小值 (18) (本题满分10分) （Ⅰ）比较

[]1

ln ln(1)n

t t dt +?

与1

ln n t t dt ?(1,2,)n = 的大小，说明理由

（Ⅱ）设[]1

ln ln(1)n

n u t t dt =

(1,2,)n = ，求极限lim n n u →∞

(19) (本题满分10分) 设函数()f x 在

[]

0,3上连续，在(0,3)内存在二阶导数，且

2(0)()(2)+(3)f f x dx f f ==?，

（Ⅰ）证明：存在(0,2)η∈，使()(0)f f η= （Ⅱ）证明：存在(0,3)ξ∈，使"

()0f ξ= (20) (本题满分11分)

设1101011A λλλ????=-??????，11a b ????=??????

已知线性方程组Ax b =存在2个不同的解（Ⅰ）求λ，a

（Ⅱ）求方程组Ax b

=的通解(21) (本题满分11分)

设

014

A a

=-??

，正交矩阵Q使得T

Q AQ为对角矩阵，若Q的第1列

为2,1)T,求a，Q

(22) (本题满分11分)

设二维随机变量()

X Y

，的概率密度为22

()x xy y

f x y Ae-+-

，，x

-∞<<+∞,y

-∞<<+∞,求常数A及条件概率密度()

Y X

f y x

(23) (本题满分11分)

箱内有6个球，其中红，白，黑球的个数分别为1，2，3，现在从箱中随机的取出2个球，设X为取出的红球个数，Y为取出的白球个数，

（Ⅰ）求随机变量()

X Y

，的概率分布

（Ⅱ）求()

Cov X Y

，

2009年全国硕士研究生入学统一考试

数学三试题

（1）函数3

()sin x x f x x

π-=的可去间断点的个数为

(A)1. (B)2.

(D)无穷多个.

（2）当0x →时，()sin f x x ax =-与2

()ln(1)g x x bx =-是等价无穷小，则 (A)1a =，16

b =-. （B ）1a =，1

6b =

. (C)1a =-，16b =-. （D ）1a =-，1

b =.

（3）使不等式1sin ln x t

dt x t

>?成立的x 的范围是

(A)(0,1).

(B)(1,

)2π

. (C)(,)2

π.

(D)(,)π+∞.

（4）设函数()y f x =在区间[]1,3-上的图形为

则函数()()0

F x f t dt =

?的图形为

(A)

(B)

(C)

(D)

（5）设,A B 均为2阶矩阵，*

,A B *

分别为,A B 的伴随矩阵，若||2,||3A B ==，则分

块矩阵O A B O ?? ???

的伴随矩阵为

(A)**

32O B A O ??

???. (B)**

23O

B A

O ??

???. (C)**

32O A B

O ??

???

(D)**

23O

A B

O ??

???

. （6）设,A P 均为3阶矩阵，T P 为P 的转置矩阵，且100010002T

P AP ?? ?= ? ???

，

若1231223(,,),(,,)P Q ααααααα==+，则T

Q AQ 为

(A)210110002??

? ? ???.

(B)110120002??

? ???.

(D)100020002?? ?

? ???

（7）设事件A 与事件B 互不相容，则 (A)()0P AB =.

(B)()()()P AB P A P B =.

(C)()1()P A P B =-.

(D)()1P A B ?=.

（8）设随机变量X 与Y 相互独立，且X 服从标准正态分布(0,1)N ，Y 的概率分布为

{0}{1}2

P Y P Y ====

，记()z F Z 为随机变量Z XY =的分布函数，则函数()Z F z 的间断点个数为

(A) 0.

(B)1. (C)2. (D)3.

二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. （9

）cos 0x x →= .

（10）设()y x

z x e =+，则

(1,0)

x ?=? . （11）幂级数2

(1)n n n

n e x n ∞

=--∑的收敛半径为 . （12）设某产品的需求函数为()Q Q P =,其对应价格P 的弹性0.2p ξ=，则当需求量为10000件时，价格增加1元会使产品收益增加元.

（13）设(1,1,1)T α=,(1,0,)T

k β=，若矩阵T αβ相似于300000000??

? ? ???

，则k = .

(14) 设1X ，2X ,…,m X 为来自二项分布总体(,)B n p 的简单随机样本，X 和2

S 分别为样本均值和样本方差，记统计量2

T X S =-，则ET = .

三、解答题：15～23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

（15）（本题满分9分）

求二元函数()

22(,)2ln f x y x y y y =++的极值. （16）（本题满分10 分）

计算不定积分ln(1dx +

(0)x >. （17）（本题满分10 分）计算二重积分

()D

x y dxdy -??

，其中22

{(,)(1)(1)2,}D x y x y y x =-+-≤≥. （18）（本题满分11 分）

（Ⅰ）证明拉格朗日中值定理，若函数()f x 在[],a b 上连续，在(),a b 上可导，则

(),a b ξ∈，得证()'()()()f b f a f b a ξ-=-.

（Ⅱ）证明：若函数()f x 在0x =处连续，在()0,,(0)σσ

>内可导，且

l i m ()x f x A +

→=，则'(0)f +存在，且'

(0)f A +=. （19）（本题满分10 分）

设曲线()y f x =，其中()f x 是可导函数，且()0f x >.已知曲线()y f x =与直线

0,1y x ==及(1)x t t =>所围成的曲边梯形绕x 轴旋转一周所得的立体体积值是该曲边梯

形面积值的t π倍，求该曲线的方程.

（20）（本题满分11 分）设

111A=111042--?? ?- ? ?--??,1112ξ-??

?= ? ?-??

（Ⅰ）求满足21A ξξ=，231A ξξ=的所有向量2ξ，3ξ. （Ⅱ）对（Ⅰ）中的任意向量2ξ,3ξ，证明1ξ,2ξ,3ξ线性无关. （21）（本题满分11 分）设二次型

2221231231323(,,)(1)22f x x x ax ax a x x x x x =++-+-.

（Ⅰ）求二次型f 的矩阵的所有特征值.

（Ⅱ）若二次型f 的规范形为2212y y +，求a 的值. （22）（本题满分11 分）

设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为

0(,)0

x e y x f x y -?<<=?

?其他

（Ⅰ）求条件概率密度()Y X f y x ；

（Ⅱ）求条件概率{}

11P X Y ≤≤. （23）（本题满分11分）

袋中有一个红球，两个黑球，三个白球，现在放回的从袋中取两次，每次取一个，求以X 、Y 、Z 分别表示两次取球所取得的红、黑与白球的个数.

（Ⅰ）求{}

10P X Z ==；

（Ⅱ）求二维随机变量(,)X Y 的概率分布.

2008年全国硕士研究生入学统一考试

数学三试题

一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.

（1）设函数()f x 在区间[1,1]-上连续，则0x =是函数0

()()x

f t dt

g x x

?的（）

（A ）跳跃间断点. （B ）可去间断点.

（C ）无穷间断点.

（D ）振荡间断点.

（2）如图，曲线段方程为()y f x =，函数()f x 在区间[0,]a 上有连续的导数，则定积分

()a

t xf x dx ?

等于（）

（A ）曲边梯形ABOD 面积.

（B ）梯形ABOD 面积.

（C ）曲边三角形ACD 面积.

（D ）三角形ACD 面积.

（3）已知(,)f x y =，则

（A ）(0,0)x f '，(0,0)y f '都存在（B ）(0,0)x f '不存在，(0,0)y f '存在（C ）(0,0)x f '存在，(0,0)y f '不存在（D ）(0,0)x f '，(0,0)y f '都不存在

（4）设函数f

连续，若22(,)uv

D F u v =

，其中uv D 为图中阴影部分，则

?=?（）

（A ）2

()vf u （B ）

2()v f u u （C ）()vf u （D ）()v

f u u

（5）设A 为阶非0矩阵，E 为n 阶单位矩阵，若30A =，则（）

（A ）E A -不可逆，E A +不可逆.

（B ）E A -不可逆，E A +可逆. （C ）E A -可逆，E A +可逆.

（D ）E A -可逆，E A +不可逆.

（6）设1221A ??

???

则在实数域上域与A 合同的矩阵为（）（A ）2112-?? ?-??

（B ）2112-??

?-??

（C ）2112??

???

（D ）1221-??

?-??

（7）随机变量,X Y 独立同分布，且X 分布函数为()F x ，则{}max ,Z X Y =分布函数为（）

（A ）()2

x .

（B ）()()F x F y .

（C ）()2

11F x --????.

（D ）()()11F x F y --????????.

（8）随机变量()~0,1X N ，()~1,4Y N 且相关系数1XY ρ=，则（）

（A ）{}211P Y X =--=.

（B ）{}211P Y X =-=.

（C ）{}211P Y X =-+=.

（D ）{}211P Y X =+=.