水溶液中的电离平衡知识点讲解及例题解析

水溶液中的电离平衡

一、电解质和非电解质 1、概念

⑴电解质：在水溶液里或熔融状态下能导电的化合物 非电解质：在水溶液里和熔融状态下都不能导电的化合物

①电解质和非电解质均指化合物，单质和混合物既不属于电解质也不属于非电解质。 ②电解质必须是自身能直接电离出自由移动的离子的化合物。

③对于电解质来说，只须满足一个条件即可，而对非电解质则必须同时满足两个条件。 例如：H 2SO 4、NaHCO 3、NH 4Cl 、Na 2O 、Na 2O 2、Al 2O 3 ⑵强电解质：溶于水或熔融状态下几乎完全电离的电解质 弱电解质：溶于水或熔融状态下只有部分电离的电解质

①电解质的强弱与化学键有关，但不由化学键类型决定。强电解质含有离子键或强极性键，但含有强极性键的不一定都是强电解质，如H 2O 、HF 等都是弱电解质。 ②电解质的强弱与溶解度无关。如BaSO 4、CaCO 3等 ③电解质的强弱与溶液的导电能力没有必然联系。 2、判断

（1）物质类别判断：

强电解质：强酸、强碱、多数盐、部分金属氧化物 弱电解质：弱酸、弱碱、少数盐和水

非电解质：非金属氧化物、氢化物（酸除外）、多数有机物 单质和混合物（不是电解质也不是非电解质） （2）性质判断：

熔融导电：强电解质（离子化合物） 均不导电：非电解质（必须是化合物） （3）实验判断：

①测一定浓度溶液pH

②测对应盐溶液pH

③一定pH 溶液稀释测pH 变化 ④同等条件下测导电性

3、电解质溶液的导电性和导电能力

⑴电解质不一定导电(如NaCl 晶体、无水醋酸)，导电物质不一定是电解质(如石墨)，非电解质不导电，但不导电的物质不一定是非电解质。

⑵强电解质溶液导电性不一定比弱电解质强。饱和强电解质溶液导电性不一定比弱电解质强。 例1：(上海高考题)下列物质的水溶液能导电，但属于非电解质的是（ ）。

A ．CH 3COOH

B ．Cl 2

C ．NH 4HCO 3

D ．SO 2

例2：（1）有下列物质：①硫酸②固体KCl ③氨④食盐水⑤CO 2⑥Cl 2⑦CaCO 3⑧Na 2O ⑨铜丝⑩氯化氢气体11氨水12浓硫酸13盐酸14碘化氢15硫酸钡。其中属于电解质的是 ；属于非电解质的是 ；属于强电解质的是 ；属于弱电解质的是 。

例3：(全国高考题)甲酸的下列性质中，可以证明它是弱电解质的是（ ）。

A ．1mol/L 甲酸溶液的c(H +)=10-2mol/L

B ．甲酸以任意比与水互溶

导电性强弱

离子浓度 离子所带电荷

溶液浓度

电离程度

C．10mL 1mol/L甲酸恰好与10mL 1mol/L NaOH溶液完全反应

D．在相同条件下，甲酸溶液的导电性比一元强酸溶液的弱

二、弱电解质的电离平衡

1、定义和特征

⑴电离平衡的含义

在一定条件(如温度、浓度)下，弱电解质分子电离成离子的速率与离子结合成分子的速率相等，溶液中各分子和离子的浓度都保持不变的状态叫电离平衡状态。

任何弱电解质在水溶液中都存在电离平衡，达到平衡时，弱电解质具有该条件下的最大电离程度。

⑵电离平衡的特征

①逆：弱电解质的电离过程是可逆的，存在电离平衡。

②等：弱电解质电离成离子的速率和离子结合成分子的速率相等。

③动：弱电解质电离成离子和离子结合成分子的速率相等，不等于零，是动态平衡。

④定：弱电解质在溶液中达到电离平衡时，溶液里离子的浓度、分子的浓度都不再改变。

⑤变：外界条件改变时，平衡被破坏，电离平衡发生移动。

2、影响电离平衡的因素

⑴浓度：越稀越电离

在醋酸的电离平衡CH3COOH CH3COO-+H+

加水稀释，平衡向右移动，电离程度变大，但c(CH3COOH)、c(H+)、c(CH3COO-)变小

加入少量冰醋酸，平衡向右移动，c(CH3COOH)、c(H+)、c(CH3COO-)增大，但电离程度变小

⑵温度：T越高，电离程度越大

⑶同离子效应

加入与弱电解质具有相同离子的电解质时，使电离平衡向逆反应方向移动。

⑷化学反应

加入能与弱电解质电离出的离子反应的物质时，可使平衡向电离方向移动。

以电离平衡CH3COOH CH3COO-+H+为例，各种因素对平衡的影响可归纳为下表：

例1：（南昌测试题）在CH3COOH CH3COO+H的电离平衡中，要使电离平衡右移，且氢离子浓度增大，应采取的措施是（）。

A．加NaOH(s) B．加浓盐酸C．加水D．加热

例2：(全国高考题)用水稀释0.1mol/L氨水时，溶液中随着水量的增加而减小的是（）。

A．c(OH-)/c(NH3·H2O) B．c(NH3·H2O)/c(OH-) C．c(OH-) D．n(OH-)

3、电离方程式的书写

⑴强电解质用=，弱电解质用

⑵多元弱酸分步电离，多元弱碱一步到位。

H2CO3H++HCO3-，HCO3-H++CO32-，以第一步电离为主。

⑶弱酸的酸式盐完全电离成阳离子和酸根阴离子，但酸根是部分电离。

NaHCO3=Na++HCO3-，HCO3-H++CO32-

⑷强酸的酸式盐如NaHSO4完全电离，但在熔融状态和水溶液里的电离是不相同的。

熔融状态时：NaHSO4=Na++HSO4—

溶于水时：NaHSO4=Na++H++SO42—

例3：在一定温度下，无水醋酸加水稀释的过程中，溶液的导电能力I随加入水的体积V变化的曲线如图所示。请回答：

（1）“O”点导电能力为0的理由是_________________。

（2）a、b、c三点处，溶液的c(H+)由小到大的顺序为___________。

（3）a、b、c三点处，电离程度最大的是____________。

（4）若要使c点溶液中c(Ac-)增大，溶液c(H+)减小，可采取的措施是：

①，②，③。

三、水的电离及溶液的pH

1、水的电离

⑴电离平衡和电离程度

水是极弱的电解质，能微弱电离

H2O+H2O H3O++OH-，通常简写为H2O H++OH-；ΔH>0

25℃时，纯水中c(H+)=c(OH-)=1×10-7mol/L

⑵影响水的电离平衡的因素

①温度：温度越高电离程度越大

c(H+)和c(OH-)同时增大，K W增大，但c(H+)和c(OH-)始终保持相等，仍显中性。

纯水由25℃升到100℃，c(H+)和c(OH-)从1×10-7mol/L增大到1×10-6mol/L(pH变为6)。

②酸、碱

向纯水中加酸、碱平衡向左移动，水的电离程度变小，但K W不变。

③加入易水解的盐

由于盐的离子结合H+或OH-而促进水的电离，使水的电离程度增大。温度不变时，K W 不变。

⑶水的离子积

在一定温度时，c(H+)与c(OH-)的乘积是一个常数，称为水的离子积常数，简称水的离子积。

K W=c(H+)·c(OH-)，25℃时，K W=1×10-14(无单位)。

①K W只受温度影响，水的电离吸热过程，温度升高，水的电离程度增大，K W增大。

25℃时K W=1×10-14，100℃时K W约为1×10-12。

②水的离子积不仅适用于纯水，也适用于其他稀溶液。不论是纯水还是稀酸、碱、盐溶液，

只要温度不变，K W就不变。

⑷水电离的离子浓度计算

例1：在25°C时，浓度为1×10-5mol/L的NaOH溶液中，由水电离产生的C(OH-)是多少？

酸：C(OH—)溶液= C(OH—)水

碱：C(H+)溶液= C(H+)水

盐：酸性C(H+)溶液= C(H+)水

碱性C(OH—)溶液= C(OH—)水

例2：(西安测试题)在25℃时，某溶液中，由水电离出的c(H+)=1×10-12mol/L，则该溶液的pH 可能是（）。

A．12 B．7 C．6 D．2

例3：常温某无色溶液中，由水的电离产生的C（H+）=1×10-12 mol/l，则下列肯定能共存的离子组是

A、Cu2+NO3-SO42-Fe3+

B、Cl-S2-Na+K+

C、SO32-NH4+K+Mg2+

D、Cl-Na+NO3-SO42-

+)比值是：

例4：在25°C时，pH=5的HCl和NH4Cl溶液中，水电离出的

．．．．c(H

2、溶液的酸碱性

溶液的酸碱性取决于溶液中的c(H+)与c(OH-)的相对大小。

在常温下，中性溶液：c(H+)=c(OH-)=1×10-7mol/L；

酸性溶液：c(H+)>c(OH-), c(H+)>1×10-7mol/L；

碱性溶液：c(H+)

思考：c(H+)>1×10-7mol/L （pH<7）的溶液是否一定成酸性？

3、溶液的pH

⑴表示方法

pH=-lgc(H+) c(H+)=10-pH

pOH=-lgc(OH-) c(OH-)=10-pOH

常温下，pH+pOH=-lgc(H+)-lgc(OH-)=-lgc(H+)·c(OH-)=14。

⑵溶液的酸碱性与pH的关系(常温时)

①中性溶液：c(H+)=c(OH-)=1×10-7mol·L-1，pH=7。

②酸性溶液：c(H+)>1×10-7mol·L-1>c(OH-), pH<7，酸性越强，pH越小。

③碱性溶液：c(H+)<1×10-7mol·L-1>c(OH-), pH>7，碱性越强，pH越大。

思考：1、甲溶液的pH是乙溶液的2倍，则两者的c(H+)是什么关系？

2、pH<7的溶液是否一定成酸性？（注意：pH=0的溶液c(H+)=1mol/L。）

⑶pH的适用范围

c(H+)的大小范围为：1.0×10-14mol·L-1

当c(H+)≥1mol·L-1或c(OH-)≥1mol·L-1时，用物质的量浓度直接表示更方便。

⑷溶液pH的测定方法

①酸碱指示剂法：只能测出pH的范围，一般不能准确测定pH。

②pH试纸法：粗略测定溶液的pH。

pH试纸的使用方法：取一小块pH试纸放在玻璃片(或表面皿)上，用洁净的玻璃棒蘸取待测液滴在试纸的中部，随即(30s内)与标准比色卡比色对照，确定溶液的pH。

测定溶液pH时，pH试剂不能用蒸馏水润湿(否则相当于将溶液稀释，使非中性溶液的pH 测定产生误差)；不能将pH试纸伸入待测试液中，以免污染试剂。

标准比色卡的颜色按pH从小到大依次是：红(酸性)，蓝(碱性)。

③pH计法：精确测定溶液pH。

4、有关pH的计算

基本原则：

一看常温，二看强弱（无强无弱，无法判断），三看浓度（pH or c）

酸性先算c(H+)，碱性先算c(OH—)

⑴单一溶液的pH计算

①由强酸强碱浓度求pH

②已知pH求强酸强碱浓度

例5：同浓度同体积的HCl、H2SO4、HAc中c(H+)、中和NaOH量及与Zn反应快慢和H2产量比较？同pH同体积的HCl、H2SO4、HAc中c(H+)、中和NaOH量及与Zn反应快慢和H2产量比较？

⑵加水稀释计算

①强酸pH=a，加水稀释10n倍，则pH=a+n。

②弱酸pH=a，加水稀释10n倍，则pH

③强碱pH=b，加水稀释10n倍，则pH=b-n。

④弱碱pH=b，加水稀释10n倍，则pH>b-n。

⑤酸、碱溶液无限稀释时，pH只能约等于或接近于7，酸的pH不能大于7，碱的pH不能

小于7。

⑥对于浓度（或pH）相同的强酸和弱酸，稀释相同倍数，强酸的pH变化幅度大。

例6：PH=2的两种一元酸HX，HY各1ml,分别加水稀释至100ml，其PH值分别变为a,b,且a>b,则下列说法不正确的是

A．酸的相对强弱是：HX>HY

B ．相同温度，相同浓度的NaX ，NaY 溶液，其PH 值前者大。

C ．与足量锌粉反应产生氢气的体积在相同条件下HY 比HX 多。

D ．若a=4，则为HX 强酸，HY 为弱酸。 ⑶酸碱混合计算 ①两种强酸混合

c(H +

)混=

②两种强碱混合 c(OH -)混=

③酸碱混合，一者过量时

c(OH -

)混或c(H +

)混=

若酸过量，则求出c(H +)，再得出pH ；

若碱适量，则先求c(OH -)，再由K W 得出c(H +)，进而求得pH ，或由c(OH -)得出pOH

再得pH 。

例7：把pH=13的NaOH 溶液与pH=2的硫酸溶液混合后，所得溶液的pH=11，则NaOH 溶液

和硫酸溶液的体积之比为？

例8：25℃时，将某强酸和某强碱溶液按1∶10的体积比混合后溶液恰好中性，则混合前此强

酸与强碱溶液的pH 之和是 A.12 B.13 C.14 D.15 四、盐的水解 1、盐的分类

⑴按组成分：正盐、酸式盐和碱式盐。

⑵按生成盐的酸和碱的强弱分：强酸强碱盐(如Na 2SO 4、NaCl)、弱酸弱碱盐(如NH 4HCO 3)、强酸弱碱盐(如NH 4Cl)、强碱弱酸盐(如CH 3COONa)。

⑶按溶解性分：易溶性盐(如Na 2CO 3)、微溶性盐(如CaSO 4)和难溶性盐(如BaSO 4)。 2、盐类水解的定义和实质 ⑴定义

盐电离出的一种或多种离子跟水电离出的H +或OH -结合生成弱电解质的反应，叫做盐类的水解。 ⑵实质

盐电离出的离子(弱碱阳离子或弱酸根阴离子)跟水电离出的OH -或H +结合生成弱电解质(弱碱或弱酸)并建立电离平衡，从而促进水的电离。 ⑶盐类水解的特点

①可逆的，其逆反应是中和反应； ②微弱的； ③动态的，水解达到平衡时v(水解)=v(中和)≠0；④吸热的，因中和反应是放热反应，故其逆反应是吸热反应。 3、盐类水解的规律

⑴有弱才水解：含有弱酸根阴离子或弱碱阳离子的盐才发生水解。

⑵无弱不水解：不含有弱酸根阴离子或弱碱阳离子的盐即强酸强碱盐不水解。 ⑶谁弱谁水解：发生水解的是弱酸根阴离子和弱碱阳离子。 ⑷谁强显谁性：弱酸弱碱盐看水解生成的酸和碱的强弱。

⑸越弱越水解：弱酸根阴离子所对应的酸越弱，则越容易水解，水解程度越大。

若酸性HA>HB>HC ，则相同浓度的NaA 、NaB 、NaC 溶液的碱性逐渐增强，pH 逐渐增

2

12

211V V V )c(H V )c(H ++++2

12

211V V V )c(OH V )c(OH ++--碱

酸碱碱酸酸V V |

V )c(OH V )c(H |+--+

大。

CO32-和HCO3-所对应的弱酸分别是HCO3- 和H2CO3，HCO3-比H2CO3的电离程度小得多，相同浓度时Na2CO3溶液的pH比NaHCO3的大。

⑹都弱双水解：当溶液中同时存在弱酸根阴离子和弱碱阳离子时，离子水解所生成的OH-和H+相互结合生成水而使其水解相互促进，称为“双水解”。

①NH4+与S2-、HCO3-、CO32-、CH3COO-等虽然相互促进，水解程度仍然很小，离子间能大量共存。

②彻底双水解离子间不能大量共存。

Al3+与S2—、HS—、AlO2—、CO32—、HCO3—

Fe3+与AlO2—、CO32—、HCO3—

NH4+与AlO2—、SiO32—

如：2Al3++3S2-+6H2O=2Al(OH)3↓+3H2S↑

Al3++3HCO3-=Al(OH)3↓+3CO2↑(泡沫灭火器原理)

③特殊情况下的反应

FeCl3和Na2S溶液发生氧化还原反应(生成Fe2+、S)

Na2S和CuSO4溶液发生复分解反应(Na2S+CuSO4=CuS↓+Na2SO4) 生成更难溶物

FeCl3和KSCN溶液发生络合反应[FeCl3+3KSCN=Fe(SCN)3+3KCl]

4、影响盐类水解的因素

主要因素：是盐本身的性质(对应的酸碱越弱，水解程度就越大)。

外界条件：

（1）温度：盐的水解是吸热反应，因此升高温度，水解程度增大。

（2）浓度：稀释盐溶液，可以促进水解，盐的浓度越小，水解程度越大。

（3）外加酸碱盐：外加酸碱能促进或抑制盐的水解。

下面分析不同条件对FeCl3水解平衡的影响情况：

Fe3++3H O Fe(OH)+3H+(正反应为吸热反应)

5、盐类水解离子方程式的书写

⑴一般水解程度很小，用可逆符号，不标“↓”或“↑”，不写分解产物形式(如H2CO3等)。

NH4++H2O NH3·H2O+H+

HCO3-+H2O H2CO3+OH-

NH4++CH3COO-+H2O NH3·H2O+CH3COOH

⑵多元弱酸根分步水解，弱碱阳离子一步到位。

⑶能进行完全的双水解反应写总的离子方程式，用“=”且标注“↓”和“↑”。

2Al3++3CO3-+3H2O=2Al(OH)3↓+3CO2↑

注意区别酸式盐的阴离子的电离和水解

HS-+H2O H3O++S2-即HS-HS-+H2O H2S+OH-

6、离子浓度比较

⑴守恒关系

①电荷守恒：电解质溶液中所有阳离子所带有的正电荷数与所有的阴离子所带的负电荷数

相等。

如NaHCO3溶液中：c (Na+)＋c (H+)＝c (HCO3-)＋2c (CO32-)＋c(OH-)

Na2CO3溶液中：c(Na＋) ＋c(H＋)＝2c(CO32－)＋c(OH－)＋c(HCO3－)

②物料守恒：离子或分子中某种特定元素的原子的总数是不会改变的。

如，0.1mol/L CH3COONa和0.1mol/L CH3COOH混合溶液，

c(CH3COO-)+c(CH3COOH)=0.2mol/L

Na2S溶液中，c(S2-)+c(HS-)+c(H2S)= 1/2c(Na+)；

在NaHS溶液中，c(HS-)+c(S2-)+c(H2S)=c(Na+)。

③水的电离守恒（也称质子守恒）：是指溶液中，由水所电离的H＋与OH－量相等。

如：0.1mol·L－1的Na2S溶液中：c(OH－)＝c(H＋)＋c(HS－)＋2c(H2S)

例1：(四川高考题)25℃时，将稀氨水逐滴加入到稀硫酸中，当溶液的pH=7时，下列关系正确的是（）。

A．c(NH4+)=c(SO42-) B．c(NH4+)>c(SO42-)

A．c(NH4+)

⑵单一溶质溶液

①酸或碱0.1mol/L H2S溶液中，各离子浓度大小关系？

②正盐0.1mol/L的CH3COONa微粒中浓度大小关系？

方法：a.盐的粒子> H2O的离子；b.浓度大小决定于水解程度；c.OH－和H+决定于酸碱性

练：0.1mol/L的Na2CO3中微粒浓度大小关系？0.1mol/L的(NH4)2SO4中微粒浓度大小关系？

③弱酸酸式盐溶液

［例题］0.1mol/L的NaHSO3微粒中浓度大小关系

电离＞水解，则电离产生离子＞水解产生的离子

［练习］0.1mol/L的NaHCO3中微粒浓度大小关系

电离＜水解，则电离产生离子＜水解产生的离子

例2：已知某温度下0.1mol·L－1的NaHB(强电解质)溶液中c(H＋)＞c(OH－)，则下列有关说法或关系式一定正确的是（)

①HB－的水解程度小于HB－的电离程度；②c(Na+)=0.1mol·L－1≥ c(B2－)；

③溶液的pH=1；④c(Na+)= c(HB－)+2 c(B2－)+ c(OH－)、

A、①②

B、②③

C、②④

D、①②③

例3：已知某酸的酸式盐NaHY的水溶液的pH=8，则下列说法中正确的是（)

A、在Na2Y、NaHY、H2Y的溶液中，阴离子的种类不同

B、NaHY的溶液中，离子浓度大小顺序为：c(Na+)＞c(Y－)＞c(HY－)＞c(OH－)＞c(H＋)

C、HY－的水解离子方程式为：HY－+H2O Y－+H3O+

D、相同物质的量浓度的Na2Y和NaHY溶液，前者的pH大于后者

⑶两种溶液混合

①分析反应，判断过量，确定溶质。

②“两个微弱”：弱酸(碱)溶液中分子是主要的，盐溶液中盐电离产生的离子是主要的。

③主要离子和少量的离子分别结合溶质物质的量、电离水解程度和溶液的酸碱性分析。

例4：用物质的量都是0.1 mol的CH3COOH与CH3COONa配成1 L混合溶液，已知其中c(CH3COO-)大于c(Na+),对该混合溶液下列判断正确的是( )

A、c(H+)＞c(OH-)

B、c(CH3COOH)＋c(CH3COO-)＝0.2 mol·L-1

C、c(CH3COOH)＞c(CH3COO-)

D、c(CH3COO-)＋c(OH-)＝0.1 mol·L-1

例5：CH3COOH与CH3COONa等物质的量混合配制成稀溶液，pH值为4.7，下列说法错误的( )

A、CH3COOH的电离作用大于CH3COONa的水解作用

B、CH3COOH的存在抑制了CH3COONa的水解

C、CH3COONa的水解作用大于CH3COOH的电离作用

D、CH3COONa的存在抑制了CH3COOH的电离

例6：等体积等浓度的醋酸与NaOH溶液相混合,所得溶液中离子浓度由大到小的顺序是( )

A、c(Na+)＞c(Ac-)＞c(OH-)＞c(H+)

B、c(Na+)＝c(Ac-)＞c(OH-)＞c(H+)

C、c(Na+)＞c(OH-)＞c(Ac-)＞c(H+)

D、c(Na+)＞c(OH-)＞c(H+)＞c(Ac-)

如果一定量的醋酸和氢氧化钠混合后，溶液的pH=7，则各离子浓度的关系为（）

A、c(Na+)＞c(Ac-)

B、c(Na+)＝c(Ac-)

C、c(Na+)

D、c(OH-)＞c(H+)

例7：将0.2 mol·L-1 CH3COOK 与0.1 mol·L-1盐酸等体积混合后，溶液的pH＜7，则溶液中下列微粒的物质的量浓度的关系正确的是( )

A、c(CH3COO-)＝c(Cl-)＝c(H+)＞c(CH3COOH)

B、c(CH3COO-)＝c(Cl-)＞c(CH3COOH)＞c(H+)

C、c(CH3COO-)＞c(Cl-)＞c(H+)＞c(CH3COOH)

D、c(CH3COO-)＞c(Cl-)＞c(CH3COOH)＞c(H+)

例8：将pH=2的盐酸与pH=12的氨水等体积混合，在所得的混合溶液中，下列关系式正确的是（)

A、c(Cl-)＞c(NH4+)＞c(OH-)＞c(H+)

B、c(NH4+)＞c(Cl-)＞c(OH-)＞c(H+)

C、c(Cl-)＝c(NH4+)＞c(H+)＝c(OH-)

D、c(NH4+)＞c(Cl-)＞c(H+)＞c(OH-)

⑷不同溶液中同一离子的比较

例9：物质的量浓度相同的下列溶液①(NH4)2CO3 ②(NH4)2SO4 ③NH4HCO3④NH4HSO4⑤NH4Cl ⑥NH3·H2O ⑦CH3COONH4；按c(NH4+)由小到大的排列顺序正确的是（)

A.③⑦⑤④⑥①②③

B.⑥③⑦⑤④①②

C.⑥⑦⑤③④①②

D.⑥⑦③⑤④②①

1B 2A 3D 4AB 5C 6A B 7D 8B 9B

7、盐类水解的应用

⑴溶液酸碱性的判断

①等浓度不同类型物质溶液pH：

多元强碱＞一元强碱＞弱碱＞强碱弱酸盐＞水＞强酸弱碱盐＞弱酸＞一元强酸＞多元强酸

②对应酸(碱)越弱，水解程度越大，碱(酸)性越强。

常见酸的强弱：H2SO3>H3PO4>HF>HAc >H2CO3 >H2S >HClO > HCN>HCO3—>HS—

③弱酸酸式盐溶液

当电离程度大于水解程度时，溶液成酸性，如HSO 3—、、H 2PO 4—

（一般只此两种）

当水解程度大于电离程度时，溶液成碱性，如HCO 3—

、HPO 32—

、HS —

等

④同pH 溶液浓度比较

相同条件下，测得：①NaHCO 3②CH 3COONa ③NaClO ④Na 2CO 3四种盐溶液pH 相同，那么它们的物质的量浓度由大到小顺序为 。 ⑵盐溶液蒸干所得到的固体

①将挥发性酸对应的盐(AlCl 3、FeBr 3、Fe(NO 3)3等)的溶液加热蒸干，得不到盐本身。

AlCl 3溶液中，AlCl 3+3H 2O Al(OH)3+3HCl 2Al(OH)3 Al 2O 3+ 3H 2O ②如果水解生成的酸难挥发，则可以得到原固体，如Al 2(SO 4)3、Fe 2(SO 4)3等。 ③强碱弱酸盐的溶液蒸干可以得到原固体，如K 2CO 3、Na 2CO 3等 ④不稳定的盐的溶液：发生分解，如Ba(HCO 3)2溶液蒸干得到BaCO 3。 ⑤具有强还原性盐的溶液：发生氧化反应，如2Na 2SO 3+O 2=2Na 2SO 4。

⑥由易水解变质的盐的结晶水合物得到无水物，应在抑制其水解的氛围中加热脱水。

MgCl 2·6H 2O 加热：MgCl 2·6H 2O Mg(OH)Cl+HCl↑+5H 2O

MgCl 2·6H 2O MgO+2HCl↑+5H 2O)

在干燥的HCl 气流中加热便能得到无水MgCl 2。

⑶配制盐溶液，需考虑抑制盐的水解。

如配制FeCl 3、SnCl 2等溶液，可滴入几滴盐酸或直接将固体溶解在盐酸中再稀释到所需浓度。

⑷试剂的贮存要考虑盐的水解。

如Na 2CO 3、NaHCO 3溶液不能用带玻璃塞的试剂瓶贮存，必须用带橡皮塞的试剂瓶保存。 ⑸化肥的合理使用，有时要考虑盐类水解。 ①铵态氮肥与草木灰不能混合使用 ②过磷酸钙不能与草木灰混合使用

⑹Mg 、Zn 等较活泼金属溶于强酸弱碱盐(如NH 4Cl 、AlCl 3、FeCl 3等)溶液中，产生H 2。 ⑺某些盐的分离除杂要考虑盐类的水解。

如为了除去氯化镁酸性溶液中的Fe 3+可在加热搅拌条件下加入氧化镁 ⑻判断离子共存时要考虑盐的水解。

Al 3+与CO 32-、HCO 3-、S 2-、HS -、AlO 2-等， Fe 3+与CO 32-、HCO 3-、AlO 2-等。

无法在溶液中制取Al 2S 3，只能由单质直接反应制取。 ⑼分析溶液中粒子的种数要考虑盐的水解。 ⑽工农业生产、日常生活中，常利用盐的水解知识。

①泡沫灭火器产生泡沫是利用了Al 2(SO 4)3和NaHCO 3相混合发生双水解反应：

Al 3++3HCO

3=Al(OH)3↓+3CO 2↑。

②日常生活中用热碱液洗涤油污物品比冷碱液效果好。

③水垢的主要成分是CaCO 3和Mg(OH)2，基本上不会生成MgCO 3，是因为MgCO 3微溶于水，受热时水解生成更难溶的Mg(OH)2。

④用盐(铁盐、铝盐等)作净水剂时需考虑盐类的水解。 （一）典型例题

【例2】室温下，在pH=12的某溶液中，由水电离生成的c (OH －

)为（ ）

△

△

△

A.1.0×10－7 mol·Ｌ－1

B.1.0×10－6 mol·Ｌ－1

C.1.0×10－2 mol·Ｌ－1

D.1.0×10－12 mol·Ｌ－1

【分析】本题以水的离子积为知识依托，考查学生对不同条件下水电离程度的认识，同时考查了思维的严密性。错解分析：pH=12的溶液，可能是碱溶液，也可能是盐溶液。忽略了强碱弱酸盐的水解，就会漏选D。

解题思路：先分析pH=12的溶液中c(H＋)、c(OH－)的大小。由c(H＋)=10－pH得：

c(H＋)=1.0×10－12 mol·L－1 c(OH－)=1.0×10－2 mol·L－1

再考虑溶液中的溶质：可能是碱，也可能是强碱弱酸盐。最后进行讨论：(1)若溶质为碱，则溶液中的H＋都是水电离生成的：c水(OH－)=c水(H＋)=1.0×10－12mol·Ｌ－1(2)若溶质为强碱弱酸盐，则溶液中的OH－都是水电离生成的：c水(OH－)=1.0×10－2 mol·Ｌ－1。

【答案】CD

【例3】室温下，把1mL0.1mol/L的H2SO4加水稀释成2L溶液，在此溶液中由水电离产生的H+，其浓度接近于（）

A. 1×10-4 mol/L

B. 1×10-8 mol/L

C. 1×10-11 mol/L

D. 1×10-10 mol/L

【分析】温度不变时，水溶液中氢离子的浓度和氢氧根离子的浓度乘积是一个常数。在酸溶液中氢氧根离子完全由水电离产生，而氢离子则由酸和水共同电离产生。当酸的浓度不是极小的情况下，由酸电离产生的氢离子总是远大于由水电离产生的(常常忽略水电离的部分)，而水电离产生的氢离子和氢氧根离子始终一样多。所以，酸溶液中的水电离的氢离子的求算通常采用求算氢氧根离子。

稀释后c(H+)=（1×10-3L×0.1mol/L）/2L = 1×10-4mol/L

c(OH-) = 1×10-14/1×10-4 = 1×10-10 mol/L

【答案】D

【例4】将pH为5的硫酸溶液稀释500倍，稀释后溶液中c (SO42－）：c (H+)约为（）

A、1：1

B、1：2

C、1：10

D、10：1

【分析】根据定量计算，稀释后c(H+)=2×10-8mol·L-1，c(SO42-)=10-8 mol·L-1，有同学受到思维定势，很快得到答案为B。其实，题中设置了酸性溶液稀释后，氢离子浓度的最小值不小于1×10-7mol·L-1。所以，此题稀释后氢离子浓度只能近似为1×10-7mol·L-1。

【答案】C

【例6】将体积均为10 mL、pH均为3的盐酸和醋酸，加入水稀释至a mL和b mL，测得稀释后溶液的pH均为5，则稀释后溶液的体积（）

A.a=b=100 mL

B.a=b=1000 mL

C.a＜b

D.a＞b

【分析】盐酸是强电解质，完全电离。在加水稀释过程中盐酸电离出的H+离子的物质的量不会增加。溶液中c(H+)与溶液体积成反比，故加水稀释时，c(H+)会随着水的加入而变小。醋酸是弱电解质，发生部分电离。在加水稀释过程中未电离的醋酸分子发生电离，从而使溶液中H+离子的物质的量增加，而c(H+)与溶液体积同样成反比，这就使得此溶液中c(H+)受到n(H+)的增加和溶液体积V增加的双重影响。很明显，若将盐酸和醋酸同等程度的稀释到体积都为a，则盐酸的c(H+)比醋酸的c(H+)小。若要稀释到两溶液的c(H+)相等，则醋酸应该继续稀释，则有b＞a

【答案】C

【例7】99mL0.1mol/L的盐酸和101mL0.05mol/L氢氧化钡溶液混合后，溶液的c(H+)为（）（不考虑混合时的体积变化）。

A. 0.5×（10-8+10-10）mol/L

B. （10-8+10-10）mol/L

C.（1×10-14-5×10-5）mol/L

D. 1×10-11 mol/L

【分析】把101mL的Ba(OH)2分差成99mL和2mL，其中99mLBa(OH)2溶液和99mL盐酸溶液恰好完全反应，这样就相当于将2mL0.05mol/L的Ba(OH)2加水稀释至200mL，先求溶液中的[OH-]，然后再化成[H+]，故应选D。

[答案]D

【例8】将pH=8的NaOH溶液与pH=10的NaOH溶液等体积混合后，溶液的pH值最接近于（）。

A. 8.3

B. 8.

C. 9

D. 9.7

[解析]同种溶质的酸或碱溶液混合后溶液的pH值约为大的pH减去0.3（两溶液的pH值必须相差2以上）。

[答案]D

【例9】室温下x L pH=a的盐酸溶液和y L pH=b的电离度为α的氨水恰好完全中和，则x/y 的值为（）

A.1

B. 10-14-a-b /α

C. 10a+b-14/α

D.10a-b/α

【分析】c(HCl)=c(H+)=10-a mol·L-1，盐酸的物质的量=10-a×x mol·L-1，c(NH3·H2O)·α=c(OH-)=10b-14 mol·L-1，NH3·H2O物质的量为10b-14÷α×y mol·L-1。根据题意：10-a·x=10b-14÷α×y，得x/y=10a+b-14/α。

【答案】C

【例10】若在室温下pH=a的氨水与pH=b的盐酸等体积混合，恰好完全反应，则该氨水的电离度可表示为（）

A.10a+b-12 %

B. 10a+b-14 %

C. 1012-a-b%

D. 1014-a-b%

【分析】设氨水和盐酸各取1L。氨水电离出的c(OH-)=10-14÷10-a mol·L-1=10a-14mol·L-1即氨水电离出的OH-的物质的量为10a-14mol，而NH3·H2O的物质的量=盐酸的物质的量=10-b mol·L-1×1L=10-b mol；所以氨水的电离度为10a+b-12 %。

【答案】A

【例11】用0.01mol/LH2SO4滴定0.01mol/LNaOH溶液，中和后加水至100mL。若滴定时终点判断有误差：①多加了1滴H2SO4；②少加了1滴H2SO4(设1滴为0.05mL)。则①和②c(H+)之比为（）

A. 10

B. 50

C. 5×103

D. 104

【分析】多加1滴H2SO4，则酸过量，相当于将这1滴硫酸由0.05mL稀释至100mL。少加1滴H2SO4，相当NaOH溶液过量2滴，即将这部分NaOH溶液稀释至100mL。现计算如下：

①多加1滴硫酸时，c(H+)=1002

01

.0

05

.0?

?

=10-5(mol/L)，

②少加1滴硫酸时，c(OH-)1002

01

.0

05

.0?

?

=10-5(mol/L)，

c(H+)=

5

14

10

10

)

(-

-

-

=

OH

c

K

W

=10-9(mol/L)，故二者比值为104。

【答案】D

【例12】有①、②、③三瓶体积相等，浓度都是1mol·L-1的盐酸溶液，将①加热蒸发至体积一半；向②中加入少量的CH3COONa固体（加入后仍显酸性）；③不作任何改变，以酚酞作指示剂，用NaOH溶液滴定上述三种溶液，所耗NaOH溶液的体积为（）

A. ①=②>③

B. ③>②>①

C. ③=②>①

D. ①=②=③

【分析】本题着重考查酸碱中和、溶液的酸碱性判断及抽象思维能力。

对①加热蒸发，由于HCl的挥发性比水大，故蒸发后溶质可以认为没有，消耗的NaOH 溶液的体积最少。在②中加入CH3COONa固体，发生反应：HCl+CH3COONa==CH3COOH+NaCl，当以酚酞作指示剂时，HCl、CH3COOH被NaOH中和：HCl+NaOH==NaCl+H2O，CH3COOH+NaOH==CH3COONa+H2O，此过程中被中和的H+物质的量与③相同。

若改用甲基橙作指示剂，因为甲基橙的变色范围（pH）为3.1~4.4，此时，部分CH3COOH 不能被NaOH完全中和，三种溶液所消耗的NaOH溶液体积为③>②>①。

【答案】C

【例13】以标准的盐酸溶液滴定未知的氢氧化钠为例，判断以下操作所引起的误差（填“偏大”、“偏小”或“无影响”）

⑴读数：滴定前俯视或滴定后仰视；（）

⑵未用标准液润洗滴定管；（）

⑶用待测液润洗锥形瓶；（）

⑷滴定前滴定管尖嘴有气泡，滴定后尖嘴气泡消失；（）

⑸不小心将标准液滴在锥形瓶的外面；（）

⑹指示剂用量过多。（）

【分析】本题主要考查学生的实验操作规范及误差分析能力。（1）滴定前俯视或滴定后仰视会导致标准液读数偏大，造成滴定结果偏高。（1）未用标准液润洗滴定管，会使标准液浓度降低，造成滴定结果偏高。（3）用待测液润洗锥形瓶，会使标准液用去更多，造成滴定结果偏高。（4）气泡不排除，结束后往往气泡会消失，所用标准液读数增大，造成测定结果偏高。（5）不小心将标准液滴在锥形瓶的外面，导致标准液读数偏大，造成滴定结果偏高。（6）指示剂本身就是一种弱电解质，指示剂用量过多会导致标准液耗去偏多，造成测定结果偏高

基础练习

一、选择题

1．下列溶液肯定是酸性的是（）

A 含H+的溶液

B 加酚酞显无色的溶液

C pH<7的溶液

D [OH-]<[H+]的溶液

2．将pH试纸用蒸馏水湿润后，去测定某溶液的pH，该溶液的pH将会

A.偏高

B.偏低

C.不变

D.上述三种情况均有可能

3．pH相同的氨水、氢氧化钠和氢氧化钡溶液，分别用蒸馏水稀释到原来的X倍、Y倍、Z倍，稀释后三种溶液的pH同，则X、Y、Z的关系是

A.X＝Y＝Z

B.X＞Y＝Z

C.X＜Y＝Z

D.X＝Y＜Z

4．pH＝2的溶液，其H＋浓度为0.01mol/L，下列四种情况的溶液：①25℃的溶液、②100℃的溶液、③强酸溶液、④弱酸溶液，与上述符合的有

A.①③

B.①②③④

C.③④

D.①③④

5．有甲、乙两种溶液，甲溶液的pH是乙溶液的两倍，则甲溶液中[H＋]与乙溶液中[H＋]的关系

A.2︰1

B.100︰1

C.1︰100

D.无法确定

6．有两瓶pH值都等于2的酸溶液，一瓶是强酸，另一瓶是弱酸，可用来鉴别它们的一组试剂是

A.石蕊试液和水

B.pH试纸和水

C.酚酞试液和水

D.酚酞试液和苛性钠溶液

7．一元碱A与0.01mol/L的一元强酸等体积混合后所得溶液的pH为7。以下说法中正确的是（）

①若A为强碱，其溶液的物质的量浓度等于0.01mol/L

②若A为弱碱，其溶液的物质的量浓度大于0.01mol/L

③反应前，A溶液中c(OH)-一定是0.01mol/L

④反应后，混合溶液中阴离子的浓度大于阳离子的浓度

A．①②B．①③C．①②③D．①②③④

8．下列叙述正确的是（）

A pH=3和pH=4的盐酸各10mL混合，所得溶液的pH=3.5

B 溶液中[H+]越大，pH值也越大，溶液的酸性就越强

C 液氯虽然不导电，但溶解于水后导电情况良好，因此，液氯也是强电解质

D 当温度不变时，在纯水中加入强碱溶液不会影响水的离子积常数

9．在室温下，某溶液中由水电离出的H＋浓度为1.0×10－13mol·L－1，则此溶液中一定不可能大量存在的离子组是( )

A.Fe3＋、NO3-、Cl－、Na＋

B.Ca2＋、HCO3-、Cl－、K＋

C.NH4+、Fe2＋、SO42-、NO3-

D.Cl－、SO42-、K＋、Na＋

10．为更好地表示溶液的酸碱性，科学家提出了酸度(AG)的概念，AG=lg

)

OH

(

)

H

(

-

+

c

c

，则下

列叙述正确的是( )

A.中性溶液的AG=0

B.酸性溶液AG＜0

C.常温下0.1 mol·L－1氢氧化钠溶液的AG=12

D.常温下0.1 mol·L－1盐酸溶液的AG=12

水的电离和溶液的酸碱性参考答案

1．D 2.D 3.B 4.B 5.D 6.BD 7．A 8．D

9．BC c水(H＋)=1.0×10－13 mol·L－1，则该溶液可能是强碱性溶液，也可能是强酸性溶液，总之，水的电离被抑制。因而“一定不可能大量存在”是指酸性和碱性条件下都不能大量存在。评注：若去掉题干中的“不可”，则选D。若去掉题干中的“一定不”，则选AD。

10．AD

高等数学知识点总结 (1)

高等数学（下）知识点 主要公式总结 第八章 空间解析几何与向量代数 1、 二次曲面 1） 椭圆锥面：2 2 222z b y a x =+ 2） 椭球面：122 222 2=++c z b y a x 旋转椭球面：1222222=++c z a y a x 3） 单叶双曲面：122 222 2=-+c z b y a x 双叶双曲面：1222222=--c z b y a x 4） 椭圆抛物面：z b y a x =+2222 双曲抛物面（马鞍面）：z b y a x =-22 22 5） 椭圆柱面：1222 2=+b y a x 双曲柱面：122 22=-b y a x 6） 抛物柱面： ay x =2 （二） 平面及其方程 1、 点法式方程： 0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A 法向量：),,(C B A n =ρ ，过点),,(000z y x 2、 一般式方程： 0=+++D Cz By Ax 截距式方程： 1=++c z b y a x 3、 两平面的夹角：),,(1111C B A n =ρ，),,(2222C B A n =ρ， ?∏⊥∏21 0212121=++C C B B A A ；?∏∏21// 2 1 2121C C B B A A == 4、 点 ),,(0000z y x P 到平面0=+++D Cz By Ax 的距离： （三） 空间直线及其方程 1、 一般式方程：?????=+++=+++0 022221111D z C y B x A D z C y B x A 2、 对称式（点向式）方程： p z z n y y m x x 0 00-=-=-

(完整版)人教版数学四年级下册第三单元运算定律知识点和练习题

下册 第三讲 运算定律 知识点一、加法的简便运算 加法的交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变。记为a+b=b+a 。 加法的结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不 变。记为：(a+b)+c=a+(b+c) 备注：加法的结合律可以和加法的交换律一起使用 例1、李叔叔准备骑车旅行一个星期，今天上午骑了40千米，下午骑了56千米， (1)今天李叔叔一共骑了多少千米？ 40+56 □ 56+40 (2)李叔叔第一天骑了88千米，第二天骑了104千米，第三天骑了96千米，问：李叔叔这三天一共骑了多少千米？ ====== 课上练习 1、根据加法交换律填空 300+600=（ ）+（ ） （ ）+65=65+35 89+（ ）=23+（ ） a+12=12+（ ） 2根据加法结合律填空 （25+68）+32=25+（ ） 130+（70+4）=（ ）+4 能力提升 用简便方法计算 36+158+64 74+（68+26） 149+57+51 知识点二、减法的简便运算 减法性质①：如果一个数连续减去两个数，那么后面两个减数的位置可以互换。 字母表示：b c a c b a --=-- 减法性质②：如果一个数连续减去两个数，那么相当于从这个数当中减去后面两 个数的和。字母表示：)(c b a c b a +-=-- 例2、昨天看到第66页，今天又看了34页。这本书一共有234页，还剩多少页没有看？ 课上练习 1 、在□里和横线上填写相应的运算符号和数。 868-52-48=868□（52+ ） 1500-28-272= -（28 □272）

415-74-26= □（□） 2、计算下面各题，怎么简便就怎么计算 528-53-47 545-167-145 487-187-139-61 456-（27+156）-73 当一个数比整百、整千稍微大一些的时候，我们可以把这个数拆分成整，1006=1000+6，… 当一个数比整百、整千稍微小一些的时候，我们可以把这个数写成一个 然后利用加减法的运算定律进行简便 计算。例如：97=100-3，998=1000-2，… 注意：拆分凑整法在加、减法中的简便不是很明显，但和乘除法的运算定律结合 起来就具有很大的简便了。 4996+3993+2992+1991+98 11+13+15+17+19+21+23+25+27+29 20-19+18-17+……4-3+2-1 2735-(735+29+486)71-514 知识点三、乘法简便运算 乘法交换律：交换两个因数的位置，积不变。字母表示：a ? = a? b b 乘法结合律：先乘前两个数，或者先乘后两个数，积不变。 字母表示：) ? a? ? ? b = ) ( c (c b a 备注：乘法结合律的应用基于要熟练掌握一些相乘后积为整十、整百、整千的数。乘法分配律:两个数的和与一个数相乘，可以先把它们与这个数分别相乘，再相加。 字母表示：c?(b+a)=c?b+c?a，或者是c?b+c?a=c?(b+a) 备注：简便计算中乘法分配律及其逆运算是运用最广泛的一个，一个要掌握它和 它的逆运算。 例如：25×4=100, 250×4=1000 125×8=1000，125×80=10000 例3、简便计算：（1）25×9×4 （2）25×12 （3）125×56 （4）24×25×125 （5）48×125×63 （6）25×15×16

浮力经典计算题带答案

计算题(本题包含26小题) 50．(04吉林)边长均为2cm实心正方体的木块和铁块，木块密度为0.6×103kg/m3. 将它们放入水中，待其静止时，分别求出木块和铁块受到的浮力（g=10N/kg） 51．(04长春)弹簧测力计下吊着一重为1.47N的石块，当石块全部浸入水中时，弹簧测力计的示数为0.98N。 求：（1）石块受到的浮力； （2）石块的体积；（3）石块的密度 52．(03辽宁省)如图所示,在空气中称木块重6N；当该木块的3/5体积浸入水中时,弹簧测力计的示数恰好为零. 求:(1) 木块的密度多大? (2) 若把木块从测力计上取下,并轻轻放入水里,那么在木块上加多大竖直向下的压力,才能使木块刚好全部浸入水中?(g=10N/kg) 53．(05毕节地区)如图所示，边长为10 cm的实心正方体木块，密度为0.6×103kg/m，静止在装有足量水的容器中，且上下底面与水面平行，求： (1)木块的质量； (2木块在水中所受浮力的大小； (3)木块浸在水中的体积； (4)水对木块下底面的压强。(取g＝10 N/kg） 54．一个圆柱形物体悬浮在密度为1.2×103kg/m3的盐水中如图,已知圆柱体的横截面积是10cm2,长度为15cm,物体上表面到液面的距离为5cm,物体上、下表面受到的压力多大?物体受到的浮力是多大?(g=10N/kg) 55．(05自贡市)一个体积为80cm3的物块，漂浮在水面上时，有36cm3的体积露出水面，试问： （l）物块所受浮力为多少？ (2)物块的密度为多少？(ρ水＝1.0×1O3kg/m3, g＝10N/kg)

56．(03四川中考)在"抗洪抢险"中,几位同学找到了一张总体积为0.3m3质量分布均匀的长方体塑料泡膜床垫,将其放入水中时,床垫有1/5的体积浸没在水中,若g取10N/kg,求: (1) 此时床垫受到的浮力有多大? (2) 床垫的密度是多少? (3)若被救的人的平均质量为50kg,要保证安全,该床垫上一次最多能承载多少个人? 57．一实心塑料块漂浮在水面上时，排开水的体积是300厘米3。问：塑料块的质量是多大?当在塑料块上放置一个重为2牛的砝码后，塑料块刚好没入水中，问此时塑料块受到的浮力是多大?塑料块的密度是多大?( g=10 牛/千克) 58．一个均匀的正方体木块，浮在水面上时有2/5的体积露出水面，若用10牛竖直向下的力压着木块,木块刚好能被淹没，求木块的质量是多少?( g=10 牛/千克) 59．将一重为2牛的金属圆筒容器,开口向上放入水中,圆筒有1/3的体积露出水面,如在圆筒内再装入100厘米3的某种液体后,金属圆筒有14/15的体积浸没在水中,(g=10N/kg)求:(1)金属圆筒的容积为多少米3?(筒壁厚度不计) (2)金属圆筒内所装液体的密度为多少? 60．(05南宁市)"曹冲称象"是家喻户晓的典故。某校兴趣小组模仿这一现象，制作了一把"浮力秤"。将厚底直筒形状的玻璃杯浸入水中，如图所示。已知玻璃杯的质量为200g，底面积为30cm2，高度为15cm。（水的密度ρ水＝1×103kg/m3） 求： ⑴将杯子开口向上竖直放入水中时（注：水未进入杯内），杯子受到的浮力。 ⑵此时杯子浸入水中的深度（即为该浮力秤的零刻度位置）。 ⑶此浮力秤的最大称量（即量程）。 61．(04重庆)把一个外观体积为17.8cm3的空心铜球放入水中，它恰好处于悬浮状态，已知铜的密度是8.9× 103kg/m3，g取10N/kg。求： （1）空心铜球的重力；（2）铜球空心部分的体积。 62．一个空心球重60牛,它的空心部分占整个球体积的1/5.将它放入水中,露出水面的体积是整个体积的1/4.如果在它的中空部分装满某种液体,此球悬浮在水中(g=10N/kg)求:(1)此球在水中漂浮和悬浮时,所受的浮力各是多少? (2)球的空心部分所充液体的密度是多大?

高一数学集合知识点归纳及典型例题

高一数学集合知识点归纳及典型例题 Revised on November 25, 2020

集合 一、知识点： 1、元素： （1）集合中的对象称为元素，若a 是集合A 的元素，记作A a ∈；若b 不是集合A 的元素，记作A b ?; （2）集合中对象元素的性质：确定性、互异性、无序性; （3）集合表示方法：列举法、描述法、图示法； （4）常用数集：R Q Z N N N ;;;;;*+ 2、集合的关系： 子集 相等 3、全集 交集 并集 补集 4、集合的性质： （1）;,,A B B A A A A A ?=?=?=?φφ (2) ;,A B B A A A ?=?=?φ (3) );()(B A B A ??? (4);B B A A B A B A =??=??? (5));()()(),()()(B C A C B A C B C A C B A C S S S S S S ?=??=? 二、典型例题 例1. 已知集合 }33,)1(,2{22++++=a a a a A ，若A ∈1，求a 。 例2. 已知集合M ＝{}012|2=++∈x ax R x 中只含有一个元素，求a 的值。 例3. 已知集合 },01|{},06|{2=+==-+=ax x B x x x A 且B A ，求a 的值。 \ 例4. 已知方程02=++c bx x 有两个不相等的实根x 1， x 2. 设C ＝{x 1， x 2}， A ＝{1，3，5，7，9}， B ＝{1，4，7，10}，若C B C C A =Φ= ,，试求b ， c 的值。 例5. 设集合}121|{},52|{-≤≤+=≤≤-=m x m x B x x A ， （1）若Φ=B A ， 求m 的范围； （2）若A B A = ， 求m 的范围。 例6. 已知A ＝{0，1}， B ＝{x|x ?A}，用列举法表示集合B ，并指出集合A 与B 的关系。 三、练习题 1. 设集合M ＝,24},17|{=≤a x x 则（ ） A. M a ∈ B. M a ? C. a ＝ M D. a > M

高数知识点总结

高数重点知识总结 1、基本初等函数：反函数(y=arctanx)，对数函数(y=lnx)，幂函数(y=x)，指数函数(x a y =)，三角函数(y=sinx)，常数函数(y=c) 2、分段函数不是初等函数。 3、无穷小：高阶+低阶=低阶 例如：1lim lim 020==+→→x x x x x x x 4、两个重要极限：()e x e x x x x x x x x =?? ? ??+=+=∞ →→→11lim 1lim )2(1 sin lim )1(1 0 经验公式：当∞→→→)(,0)(,0x g x f x x ，[] ) ()(lim ) (0 )(1lim x g x f x g x x x x e x f →=+→ 例如：()33lim 10 031lim -? ? ? ? ?-→==-→e e x x x x x x 5、可导必定连续，连续未必可导。例如：||x y =连续但不可导。 6、导数的定义：()00 00 ') ()(lim ) (') ()(lim x f x x x f x f x f x x f x x f x x x =--=?-?+→→? 7、复合函数求导： [][])(')(')(x g x g f dx x g df ?= 例如：x x x x x x x y x x y ++=++ = +=2412221 1', 8、隐函数求导：(1)直接求导法；(2)方程两边同时微分，再求出dy/dx 例如：y x dx dy ydy xdx y x y yy x y x - =?+- =?=+=+22,),2('0'22,),1(1 22左右两边同时微分法左右两边同时求导解：法 9、由参数方程所确定的函数求导：若?? ?==) ()(t h x t g y ，则)(')('//t h t g dt dx dt dy dx dy ==，其二阶导数：()[] ) (')('/)('/)/(/22 t h dt t h t g d dt dx dt dx dy d dx dx dy d dx y d === 10、微分的近似计算：)(')()(000x f x x f x x f ??=-?+ 例如：计算 ?31sin

四年级简便计算知识点归纳教学文稿

四、第三单元运算定律知识点归纳及练习1/2 第三单元运算定律知识点归纳及练习 （一）加减法运算定律 1.加法交换律 定义：两个加数交换位置，和不变字母表示：a﹢b﹦b﹢a 例1：16+23=23+16 546+78=78+546 2.加法结合律 定义：先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。 字母表示：（a﹢b）+c﹦a+（b+c） 注意：加法结合律有着广泛的应用，如果其中有两个加数的和刚好是整十、整百、整千的话，那么就可以利用加法交换律将原式中的加数进行调换位置，再将这两个加数结合起来先运算。举一反三： （1）46+67+54 （2） 680+485+120 （3）155+657+245 3.减法的性质

注：这些都是由加法交换律和结合律衍生出来的。减法性质①：如果一个数连续减去两个数，那么后面两个减数的位置可以互换。 字母表示：a－b－c＝a－c－b 例2.简便计算：198-75-98 减法性质②：如果一个数连续减去两个数，那么相当于从这个数当中减去后面两个数的和。字母表示：a－b－c＝a－﹙b＋c﹚ 例3.简便计算：（1）369-45-155 （2） 896-580-120 4.拆分、凑整法简便计算 拆分法：当一个数比整百、整千稍微大一些的时候，我们可以把这个数拆分成整百、整千与一个较小数的和，然后利用加减法的交换、结合律进行简便计算。例如：103=100+3，1006=1000+6，… 凑整法：当一个数比整百、整千稍微小一些的时候，我们可以把这个数写成一个

整百、整千的数减去一个较小的数的形式，然后利用加减法的运算定律进行简便计算。例如：97=100-3，998=1000-2，… 注意：拆分凑整法在加、减法中的简便不是很明显，但和乘除法的运算定律结合起来就具有很大的简便了。 例4.计算下式，能简便的进行简便计算： （1）89+106 （2）56+98 （3）658+997 随堂练习：计算下式，怎么简便怎么计算 （1）730+895+170 （2） 820-456+280 （3）900-456-244 （7） 876-580+220 （8） 997+840+260 （9）956—197-56

高考集合知识点总结与典型例题

集合 一．【课标要求】 1．集合的含义与表示 （1）通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系； （2）能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用； 2．集合间的基本关系 （1）理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集； （2）在具体情境中，了解全集与空集的含义； 3．集合的基本运算 （1）理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集； （2）理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集； （3）能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用二．【命题走向】 有关集合的高考试题，考查重点是集合与集合之间的关系，近年试题加强了对集合的计算化简的考查，并向无限集发展，考查抽象思维能力，在解决这些问题时，要注意利用几何的直观性，注意运用Venn图解题方法的训练，注意利用特殊值法解题，加强集合表示方法的转换和化简的训练。考试形式多以一道选择题为主。 预测高考将继续体现本章知识的工具作用，多以小题形式出现，也会渗透在解答题的表达之中，相对独立。具体 三．【要点精讲】 1．集合：某些指定的对象集在一起成为集合 a∈；若b不是集合A的元素，（1）集合中的对象称元素，若a是集合A的元素，记作A b?； 记作A （2）集合中的元素必须满足：确定性、互异性与无序性； 确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或 者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立；

互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素； 无序性：集合中不同的元素之间没有地位差异，集合不同于元素的排列顺序无关； （3）表示一个集合可用列举法、描述法或图示法； 列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内； 描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{}内。 具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。 注意：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法。 （4）常用数集及其记法： 非负整数集（或自然数集），记作N ； 正整数集，记作N *或N +； 整数集，记作Z ； 有理数集，记作Q ； 实数集，记作R 。 2．集合的包含关系： （1）集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，则称A 是B 的子集（或B 包含A ），记作A ?B （或B A ?）； 集合相等：构成两个集合的元素完全一样。若A ?B 且B ?A ，则称A 等于B ，记作A =B ；若A ?B 且A ≠B ，则称A 是B 的真子集，记作A B ； （2）简单性质：1）A ?A ；2）Φ?A ；3）若A ?B ，B ?C ，则A ?C ；4）若集合A 是n 个元素的集合，则集合A 有2n 个子集（其中2n －1个真子集）； 3．全集与补集： （1）包含了我们所要研究的各个集合的全部元素的集合称为全集，记作U ； （2）若S 是一个集合，A ?S ，则，S C =}|{A x S x x ?∈且称S 中子集A 的补集； （3）简单性质：1）S C (S C )=A ；2）S C S=Φ，ΦS C =S 4．交集与并集：

大学全册高等数学知识点(全)

大学高等数学知识点整理 公式，用法合集 极限与连续 一. 数列函数: 1. 类型: (1)数列: *()n a f n =; *1()n n a f a += (2)初等函数: (3)分段函数: *0102()(),()x x f x F x x x f x ≤?=?>?; *0 ()(), x x f x F x x x a ≠?=?=?;* (4)复合(含f )函数: (),()y f u u x ?== (5)隐式(方程): (,)0F x y = (6)参式(数一,二): () ()x x t y y t =??=? (7)变限积分函数: ()(,)x a F x f x t dt = ? (8)级数和函数(数一,三): 0 (),n n n S x a x x ∞ ==∈Ω∑ 2. 特征(几何): (1)单调性与有界性(判别); (()f x 单调000,()(()())x x x f x f x ??--定号) (2)奇偶性与周期性(应用). 3. 反函数与直接函数: 1 1()()()y f x x f y y f x --=?=?= 二. 极限性质: 1. 类型: *lim n n a →∞; *lim ()x f x →∞ (含x →±∞); *0 lim ()x x f x →(含0x x ± →) 2. 无穷小与无穷大(注: 无穷量): 3. 未定型: 000,,1,,0,0,0∞ ∞∞-∞?∞∞∞ 4. 性质: *有界性, *保号性, *归并性 三. 常用结论: 11n n →, 1(0)1n a a >→, 1()max(,,)n n n n a b c a b c ++→, ()00! n a a n >→

浮力复习知识点与经典例题

浮力复习知识点与经典例题

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《浮力》复习提纲 一、浮力的定义：一切浸入液体（气体）的物体都受到液体（气体）对它竖直向上的力 叫浮力。 二、浮力方向：竖直向上，施力物体：液（气）体 三、浮力产生的原因（实质）：液（气）体对物体向上的压力大于向下的压力，向上、向下的压力差 即浮力。 四、物体的浮沉条件： 1、前提条件：物体浸没在液体中，且只受浮力和重力。 2、请根据示意图完成下空。 下沉 悬浮 上浮 漂浮 F 浮 < G F 浮 = G F 浮 > G F 浮 = G ρ液<ρ物 ρ液 =ρ物 ρ液 >ρ物 ρ液 >ρ物 3、说明： ① 密度均匀的物体悬浮（或漂浮）在某液体中，若把物体切成大小不等的两块，则大块、小块都悬浮（或漂浮）。 ②一物体漂浮在密度为ρ的液体中，若露出体积为物体总体积的1/3，则物体密度为 2 3ρ 分析：F 浮 = G 则：ρ液V 排g =ρ物Vg ρ物=（ V 排／V ）·ρ液= 2 3ρ液 ③ 悬浮与漂浮的比较 相同： F 浮 = G 不同：悬浮ρ液 =ρ物 ；V 排=V 物 漂浮ρ液 <ρ物；V 排

【离散数学】知识点典型例题整理

【半群】G非空，·为G上的二元代数运算，满足结合律。 【群】（非空，封闭，结合律，单位元，逆元）恰有一个元素1适合1·a=a·1=a,恰有一个元素a-1适合a·a-1=a-1·a=1。 【Abel群/交换群】·适合交换律。可能不只有两个元素适合x2=1 【置换】n元置换的全体作成的集合Sn对置换的乘法作成n 次对称群。 【子群】按照G中的乘法运算·,子集H仍是一个群。单位子群{1}和G称为平凡子群。 【循环群】G可以由它的某元素a生成,即G=（a）。a所有幂的集合an，n=0，±1，±2，…做成G的一个子群，由a生成的子群。若G的元数是一个质数，则G必是循环群。 n元循环群（a）中,元素ak是（a）的生成元的充要条件是（n，k）=1。共有?（n）个。【三次对称群】{I（12）（13）（23）（123）（132）} 【陪集】a，b∈G，若有h∈H，使得a =bh，则称a合同于b（右模H），a≡b（右mod H）。H有限，则H的任意右陪集aH的元数皆等于H的元数。任意两个右陪集aH和bH或者相等或者不相交。 求右陪集：H本身是一个；任取a?H而求aH又得到一个；任取b?H∪aH而求bH又一个。G=H∪aH∪bH∪… 【正规子群】G中任意g，gH=Hg。（H=gHg-1对任意g∈G都成立） Lagrange定理G为有限群，则任意子群H的元数整除群G的元数。 1有限群G的元数除以H的元数所得的商，记为（G：H），叫做H在G中的指数，H的指数也就是H的右（左）陪集的个数。 2设G为有限群,元数为n,对任意a∈G，有an=1。 3若H在G中的指数是2，则H必然是G的正规子群。证明：此时对H的左陪集aH，右陪集Ha，都是G中元去掉H的所余部分。故Ha=aH。 4G的任意多个子群的交集是G的子群。并且，G的任意多个正规子群的交集仍是G的正规子群。 5 H是G的子群。N是G的正规子群。命HN为H的元素乘N的元素所得的所有元素的集合，则HN是G的子群。 【同态映射】K是乘法系统，G到K的一个映射σ（ab）=σ（a）σ（b）。 设（G，*），（K，+）是两个群，令σ：x→e，?x∈G，其中e是K的单位元。则σ是G到K 内的映射，且对a，b∈G，有σ（a*b）=e=σ（a）+ σ（b）。即，σ是G到K的同态映射，G～σ（G）。σ（G）={e}是K的一个子群。这个同态映射是任意两个群之间都有的。 【同构映射】K是乘法系统，σ是G到σ（G）上的1-1映射。称G与σ（G）同构，G?G′。同构的群或代数系统，抽象地来看可以说毫无差别。G和G′同态，则可以说G′是G的一个缩影。 【同态核】σ是G到G′上的同态映射，核N为G中所有变成G′中1′的元素g的集合，即N=σ-1（1′）={g∈G∣σ（g）=1′}。 N是G的一个正规子群。对于Gˊ的任意元素aˊ，σ-1(aˊ)={x|x∈G ,σ(x)= aˊ}是N在G 中的一个陪集。Gˊ的元素和N在G中的陪集一一对应。 设N是G的正规子群。若A，B是N的陪集，则AB也是N的陪集。 【环】R非空，有加、乘两种运算 a+b=b+a2）a+（b+c）=（a+b）+c， 3）R中有一个元素0，适合a+0=a， 4）对于R中任意a,有-a,适合a+(-a)=0， 5）a（bc）=（ab）c，

专升本高等数学知识点汇总

专升本高等数学知识点汇总 常用知识点： 一、常见函数的定义域总结如下： （1） c bx ax y b kx y ++=+=2 一般形式的定义域：x ∈R （2）x k y = 分式形式的定义域：x ≠0 （3）x y = 根式的形式定义域：x ≥0 （4）x y a log = 对数形式的定义域：x ＞0 二、函数的性质 1、函数的单调性 当21x x <时，恒有)()(21x f x f <，)(x f 在21x x ，所在的区间上是增加的。 当21x x <时，恒有)()(21x f x f >，)(x f 在21x x ，所在的区间上是减少的。 2、 函数的奇偶性 定义：设函数)(x f y =的定义区间D 关于坐标原点对称（即若D x ∈，则有D x ∈-） (1) 偶函数)(x f ——D x ∈?，恒有)()(x f x f =-。 (2) 奇函数)(x f ——D x ∈?，恒有)()(x f x f -=-。 三、基本初等函数 1、常数函数：c y =，定义域是),(+∞-∞，图形是一条平行于x 轴的直线。 2、幂函数：u x y =， (u 是常数)。它的定义域随着u 的不同而不同。图形过原点。 3、指数函数

定义: x a x f y ==)(， (a 是常数且0>a ，1≠a ).图形过（0,1）点。 4、对数函数 定义: x x f y a log )(==， (a 是常数且0>a ，1≠a )。图形过（1,0）点。 5、三角函数 (1) 正弦函数: x y sin = π2=T ， ),()(+∞-∞=f D ， ]1,1[)(-=D f 。 (2) 余弦函数: x y cos =. π2=T ， ),()(+∞-∞=f D ， ]1,1[)(-=D f 。 (3) 正切函数: x y tan =. π=T ， },2 )12(,|{)(Z R ∈+≠∈=k k x x x f D π ， ),()(+∞-∞=D f . (4) 余切函数: x y cot =. π=T ， },,|{)(Z R ∈≠∈=k k x x x f D π， ),()(+∞-∞=D f . 5、反三角函数 (1) 反正弦函数: x y sin arc =，]1,1[)(-=f D ，]2 ,2[)(π π- =D f 。 (2) 反余弦函数: x y arccos =，]1,1[)(-=f D ，],0[)(π=D f 。 (3) 反正切函数: x y arctan =，),()(+∞-∞=f D ，)2 ,2()(π π- =D f 。 (4) 反余切函数: x y arccot =，),()(+∞-∞=f D ，),0()(π=D f 。 极限 一、求极限的方法 1、代入法 代入法主要是利用了“初等函数在某点的极限，等于该点的函数值。”因此遇到大部分简单题目的时候，可以直接代入进行极限的求解。 2、传统求极限的方法 （1）利用极限的四则运算法则求极限。 （2）利用等价无穷小量代换求极限。 （3）利用两个重要极限求极限。 （4）利用罗比达法则就极限。

函数定义域知识点梳理、经典例题及解析、高考题带答案

函数的定义域 【考纲说明】 1、理解函数的定义域，掌握求函数定义域基本方法。 2、会求较简单的复合函数的定义域。 3、会讨论求解其中参数的取值范围。 【知识梳理】 （1） 定义：定义域是在一个函数关系中所有能使函数有意义的 的集合。 （2） 确定函数定义域的原则 1.当函数y=f(x)用列表法给出时，函数的定义域指的是表格中所有实数x 的集合。 2.当函数y=f(x)用图象法给出时，函数的定义域指的是图象在x 轴上的投影所覆盖的实数的集合。 3.当函数y=f(x)用解析式给出时，函数定义域指的是使解析式有意义的实数的集合。 4.当函数y=f(x)由实际问题给出时，函数定义域要使函数有意义，同时还要符合实际情况。 3、.确定定义域的依据： ①f(x)是整式（无分母），则定义域为 ； ②f(x)是分式，则定义域为 的集合； ③f(x)是偶次根式，则定义域为 的集合； ④对数式中真数 ，当指数式、对数式底中含有变量x 时，底数 ； ⑤零次幂中， ，即x 0中 ； ⑥若f(x)是由几个基本初等函数的四则运算而合成的函数，则定义域是各个函数定义域的 。 ⑦正切函数x y tan = 4、抽象函数的定义域（难点） （1）已知)(x f 的定义域，求复合函数()][x g f 的定义域 由复合函数的定义我们可知，要构成复合函数，则内层函数的值域必须包含于外层函数的定义域之中，因此可 得其方法为：若)(x f 的定义域为()b a x ,∈，求出)]([x g f 中b x g a <<)(的解x 的范围，即为)]([x g f 的定义域。 （2）已知复合函数()][x g f 的定义域，求)(x f 的定义域 方法是：若()][x g f 的定义域为()b a x ,∈，则由b x a <<确定)(x g 的范围即为)(x f 的定义域。

分数的加减法及简便运算

分数的加减法 一、同分母的分数加减法 知识点：在计算同分母的分数加减法中，分母不变，直接用分子相加减。 注意：在计算同分母的分数加减法中，得数如果不是最简分数，我们必须将得数约分，使它成为最简分数。 例题一 5654+=5 10564=+=2 注意：因为5 10 不是最简分数，所以得约分，10和5的最大公因数是5， 所以分子和分母同时除以5，最后得数是2. 例题二 1059105109= -=-注意：因为10 4 不是最简分数，必须约分，因为4和10的最大公因数 是2，所以分子和分母同时除以2，最后的数是5 2 知识点回顾：如何将一个不是最简的分数化为最简？ （将一个非最简分数化为最简，我们就是将这个分数进行约分，一直约到分子和分母互质为止。所以要将一个分数进行约分，我们必须找到分子和分母的最大公因数，然后用分子和分母同时除以他们的最大公因数。）

专项练习一：同分母的分数加减法的专项练习 一、计算 715 - 215 712 - 112 1 - 916 911 - 711 38 + 38 16 + 16 314 +314 34 + 34 二、连线 19 +4 9 2 7377+ 145 +1 5 1 8 987+ 47 + 67 137 115 11141+ 18 +78 2911 9 3 92+ 2411 +511 59 2 121+ 三、判断对错，并改正 （1）47 +37 = 714 （2）6 - 57 - 37 =577 -57 -3 7 =527 -3 7 =51 7 四、应用题 （1）一根铁丝长710 米，比另一根铁丝长3 10 米，了；另一根铁丝长多少米？ （2）3天修一条路，第一天修了全长的112 ，第二天修了全长的5 12 ，第三天修了全长的几分之几？

浮力经典例题(强烈推荐)

初中物理浮力典型例题解析 例1下列说法中正确的是（） A．物体浸没在水中越深，受的浮力越大 B．密度较大的物体在水中受的浮力大 C．重的物体受的浮力小 D．同体积的铁块和木块浸没在水中受的浮力一样大 注意：物体所受的浮力跟物体自身的重力、自身的密度、自身的形状无关． 例2质量为79g的铁块，密度是7.9g/cm3，这个铁块的质量是多少?重多少?将这个铁块浸没于水中，排开水的质量是多少?所受浮力是多少?（g取10N/kg）精析这道题考查学生对计算物体重力和计算浮力的公式的区别． 计算物体重力：G＝ρ物gV物 计算物体在液体中受的浮力：F浮＝ρ液gV排．可以说：从计算的方法上没有本质的区别，但计算的结果却完全不同． 例3（广州市中考试题）用弹簧测力计拉住一个重为43N的空心铜球，全部浸在水中时，弹簧测力计的示数为33.25N，此铜球的空心部分的体积是________m3．（已知铜的密度为8.9×103kg/m3）

例4体积相同的A、B、C三个物体，放入水中静止后，处于图1—5—1所示的状态，试比较三个物体受的重力G A、G B、G C和密度ρA、ρB、ρC． 图1—5—1 精析不同物体的重力可借助浮力的知识来比较． 例5将一个蜡块（ρ蜡＝0.9×103kg/m3）分别放入酒精、水和盐水中静止后，试比较它受的浮力大小和排开液体的体积大小．（ρ盐水＞ρ水＞ρ蜡＞ρ酒精） 精析确定状态→受力分析→比较浮力→比较V排． 此题考查学生能否在判断状态的基础上，对问题进行分析，而不是急于用阿基米德原理去解题． 例6（广州市中考试题）将重为4.5N、体积为0.5dm3的铜球浸没在水后放手，铜球静止后所受的浮力是________N． 精析此题考查学生是否注意了在解题前先要对物体作“状态的判定”，即铜球静止时是漂浮于水面，还是沉于水中．有的学生拿到题后，就认定V排＝0.5 dm3，然后根据F浮＝ρ液gV排，求出浮力F浮＝4.9N．

高一数学集合知识点归纳与典型例题

集合 一、知识点： 1、元素： a 是集合A的元素，记作a A ；若b不是集合A的 （ 1）集合中的对象称为元素，若 元素，记作 b A ; （ 2）集合中对象元素的性质：确定性、互异性、无序性; （3）集合表示方法：列举法、描述法、图示法； （4）常用数集：N; N*; N ;Z; Q;R 2、集合的关系： 子集 相等 3、全集 交集 并集 补集 4、集合的性质： （1）A A A,A,ABBA; (2)A A, A B B A; (3)( A B)(A B); (4)A B A B A ABB; (5) C S(A B) (C S A) (C S B),C S( A B) (C S A) (C S B); 二、典型例题 例1.已知集合 A { a 2, (a 1)2 ,a 23a 3} ，若1 A ，求a。 例 2. 已知集合M ＝x R | ax 2 2x10 中只含有一个元素，求a的值。

例3.已知集合 A { x | x2x 6 0}, B { x | ax 1 0}, 且B A ，求 a 的值。\ 例 4. 已知方程x2bx c 0 有两个不相等的实根x ， x 2.设 C＝ {x ， x 2}，A＝{1，3， 11 5，7，9}， B＝{1 ，4，7，10} ，若A C,C B C ，试求 b， c 的值。 例 5.设集合A { x | 2 x 5}, B { x | m 1 x 2m 1} ， （1）若A B，求 m 的范围；（2）若A B A ，求m的范围。

例 6. 已知 A ＝{0 ，1} ， B ＝ {x|x A} ，用列举法表示集合 B ，并指出集合 A 与 B 的关系。 三、练习题 1. 设集合 M ＝ { x | x 17}, a 4 2,则（ ） A. a M B. a M C. a ＝ M D. a > M 2. 有 下 列 命 题 ： ① { } 是 空 集 ② 若 a N, b N ， 则 a b 2③ 集合 100 N , x Z} 为无限集，其中正确命 { x | x 2 2x 1 0} 有两个元素 ④ 集合 B { x | x 题的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 3. 下列集合中，表示同一集合的是（ ） A. M ＝{ （3， 2）} ， N ＝{ （2， 3）} B. M ＝{3 ，2} ， N ＝{（ 2，3）} C. M ＝{ （ x ， y ） |x ＋ y ＝ 1} ， N ＝ {y|x ＋ y ＝ 1} D.M ＝{1 ，2} ， N ＝{2，1} 4. 设集合 M { 2,3, a 2 1}, N { a 2 a 4,2a 1}，若M N { 2} ， 则 a 的取值集 合是（ ） { 3,2, 1 } B. { －3} C. { 3, 1 } D. { － 3，2} A. 2 2 5. 设集合A ＝ {x| 1 < x < 2} ， B ＝ {x| x < a} ， 且 A B ， 则实数 a 的范围是 （ ） A. a 2 B. a 2 C. a 1 D. a 1 {( x, y) | y 1} 6. x 设 x ，y ∈ R ，A ＝ {（ x ，y ）|y ＝ x} ， B ＝ ， 则集合 A ，B 的关系是（ ） A.A B B.B A C. A ＝B D.A B 7. 已知 M ＝ {x|y ＝ x 2－ 1} ， N ＝ {y|y ＝x 2 －1} ， 那么 M ∩ N ＝（ ） A. Φ B. M C. N D. R 8. 已知 A ＝ {－2，－ 1，0，1} ， B ＝ {x|x ＝ |y|，y ∈ A} ，则集合 B ＝ _________________ 9. 若 A { x | x 2 3x 2 0}, B { x | x 2 ax a 1 0}, 且B A ，则 a 的值为 _____ 10. 若 {1，2， 3} A {1 ， 2，3， 4， 5} ， 则 A ＝ ____________ 11. 已知 M ＝ {2 ， a ， b} ， N ＝ {2a ， 2，b 2 } ，且 M ＝N 表示相同的集合，求 a ， b 的值 12. 已知集合 A { x | x 2 4x p 0}, B { x | x 2 x 2 0}且A B, 求实数 p 的范 围。 13. 已知 A { x | x 2 ax a 2 19 0}, B { x | x 2 5x 6 0} ，且 A ， B 满足下列三 个条件：① A B ② A B B ③ Φ A B ，求实数 a 的值。

高等数学(下)知识点总结

主要公式总结 第八章空间解析几何与向量代数 1、 二次曲面 1） 椭圆锥面：2 2222z b y a x =+ 2） 椭球面：122 222 2=++c z b y a x 旋转椭球面：1222222=++c z a y a x 3） 单叶双曲面：122 222 2=-+c z b y a x 双叶双曲面：1222222=--c z b y a x 4） 椭圆抛物面：z b y a x =+2222双曲抛物面（马鞍面）：z b y a x =-22 22 5） 椭圆柱面：1222 2=+b y a x 双曲柱面：122 22=-b y a x 6） 抛物柱面： ay x =2 （二） 平面及其方程 1、 点法式方程： 0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A 法向量：),,(C B A n =ρ ，过点),,(000z y x 2、 一般式方程： 0=+++D Cz By Ax 截距式方程： 1=++c z b y a x 3、 两平面的夹角：),,(1111 C B A n =ρ ，),,(2222C B A n =ρ ， 22 22 22 21 21 21 2 12121cos C B A C B A C C B B A A ++?++++= θ ?∏⊥∏210212121=++C C B B A A ；? ∏∏21//2 1 2121C C B B A A == 4、 点 ),,(0000z y x P 到平面0=+++D Cz By Ax 的距离： 2 2 2 000C B A D Cz By Ax d +++++= （三） 空间直线及其方程

高一数学集合知识点归纳及典型例题

高一数学集合知识点归纳及典型例题 一、、知识点： 本周主要学习集合的初步知识，包括集合的有关概念、集合的表示、集合之间的关系及集合的运算等。在进行集合间的运算时要注意使用Venn图。 本章知识结构 1、集合的概念 集合是集合论中的不定义的原始概念，教材中对集合的概念进行了描述性说明：“一般地，把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合（或集）”。理解这句话，应该把握4个关键词：对象、确定的、不同的、整体。 对象――即集合中的元素。集合是由它的元素唯一确定的。 整体――集合不是研究某一单一对象的，它关注的是这些对象的全体。确定的――集合元素的确定性――元素与集合的“从属”关系。不同的――集合元素的互异性。 2、有限集、无限集、空集的意义有限集和无限集是针对非空集合来说的。我们理解起来并不困难。 我们把不含有任何元素的集合叫做空集，记做Φ。理解它时不妨思考一下“0与Φ”及“Φ与{Φ}”的关系。 几个常用数集N、N*、N＋、Z、Q、R要记牢。 3、集合的表示方法（1）列举法的表示形式比较容易掌握，并不是所有的集合都能用列举法表示，同学们需要知道能用列举法表示的三种集合： ①元素不太多的有限集，如{0，1，8}

②元素较多但呈现一定的规律的有限集，如{1，2，3，?，100} ③呈现一定规律的无限集，如 {1，2，3，?，n，?} ●注意a与{a}的区别 ●注意用列举法表示集合时，集合元素的“无序性”。 （2）特征性质描述法的关键是把所研究的集合的“特征性质”找准，然后适当地表示出来就行了。但关键点也是难点。学习时多加练习就可以了。另外，弄清“代表元素”也是非常重要的。如{x|y＝x2}， {y|y ＝x2}， {（x，y）|y＝x2}是三个不同的集合。 4、集合之间的关系 ●注意区分“从属”关系与“包含”关系 “从属”关系是元素与集合之间的关系。 “包含”关系是集合与集合之间的关系。掌握子集、真子集的概念，掌握集合相等的概念，学会正确使用“”等符号，会用Venn图描述集合之间的关系是基本要求。 ●注意辨清Φ与{Φ}两种关系。 5、集合的运算 集合运算的过程，是一个创造新的集合的过程。在这里，我们学习了三种创造新集合的方式：交集、并集和补集。 一方面，我们应该严格把握它们的运算规则。同时，我们还要掌握它们的运算性质： A?CUA?U A?B?B?AA?A?A A?????A?? A?B?A?B?A