弯曲时的内力和应力
第七章 弯曲时的内力和应力※ 说明：
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一、填空题：
1、梁产生弯曲变形时的受力特点，是梁在过轴线的平面内受到外力偶的作用或者受到和梁轴线相___________的外力的作用。
3、矩形截面梁弯曲时，其横截面上的剪力作用线必然________于外力并通过截面________。
5、梁弯曲时，任一横截面上的弯矩可通过该截面一侧（左侧或右侧）的外力确定，它等于该一侧所有外力对________力矩的代数和。
7、用截面法确定梁横截面上的剪力时，若截面右侧的外力合力向上，则剪力为______。
9、将一悬臂梁的自重简化为均布载荷，设其载荷集度为q，梁长为L，由此可知在距固定端L/2处的横截面上的剪力为_________，固定端处横截面上的弯矩为__________。
10、在梁的集中力偶左、右两侧无限接近的横截面上，剪力相等，而弯矩则发生_______，_________值等于梁上集中力偶的力偶矩。
11、剪力图和弯矩图是通过________和___________的函数图象表示的。
18、在梁的某一段内，若无分布载荷q（X）的作用，则剪力图是
__________于X轴的直线。
19、在梁的弯矩图上，某一横截面上的弯矩有极值（极大值或极小值），该极值必发生在对应于剪力___________的横截面上。
21、梁在发生弯曲变形的同时伴有剪切变形,这种平面弯曲称为
__________弯曲。
24、梁在弯曲时的中性轴，就是梁的___________与横截面的交线。28、梁弯曲时,横截面中性轴上各点的正应力等于零,而距中性轴
________处的各正应力为最大。
29、梁弯曲变形后，以中性层为界，靠__________边的一侧纵向纤维受压力作用,而靠__________边的一侧纵向纤维受拉应力作用。
31、等截面梁内的最大正应力总是出现在最大___________所在的横截面上。
32、在平面弯曲的情况下，梁变形后的轴线将成为一条连续而光滑的平面曲线，此曲线被称为_______。
33、梁在平面弯曲变形时的转角，实际上是指梁的横截面绕其________
这条线所转动的角度。
二、判断题：
1、以弯曲为主要变形的杆件，只要外力均作用在过轴的纵向平面内，
杆件就有可能发生平面弯曲。 （ ）
3、梁发生平面弯曲时，其轴线必然弯成位于外力作用面内的平面曲
线。（ ）
4、通常将安装在车床刀架上的车刀简化为悬臂梁。 （ ）
5、梁横截面上的剪力，在数值上等于作用在此截面任一侧（左侧或右
侧）梁上所有外力的代数和。 （ ）
6、用截面法确定梁横截面的剪力或弯矩时，若分别取截面以左或以右
为研究对象，则所得到的剪力或弯矩的符号通常是相反的。 （ ）
9、梁的最大弯矩值必定出现在剪力为零的截面处。 （ ）
10、在简支梁上有一移动的集中载荷作用，要使梁内产生的弯矩为最
大，此集中载荷并不一定作用在梁跨度中央。（ ）
11、梁上某一横截面的弯矩等于作用于此截面任一侧（左侧或右侧）梁
上所有外力对截面形心力矩的代数和，利用此规律，可不列出平衡方
程，就能直接确定横截面弯矩值的大小。（ ）
段内各横截面上的弯矩均为零，则该段内各横截面上的剪力也均为零。（ ）
一段内的各个横截面上的，若剪力均为零，则该段内的弯矩必为常量。（ ）
矩图上某一点的弯矩值为零，该点所对应的剪力图上的剪力值也一定为零。（
）
23、从左向右检查所绘剪力图的正误时，可以看出，凡集中力作用处，
剪力图发生突变，突变值的大小与方向和集中力相同，若集中力向上，
则剪力图向上突变，突变值为集中力大小。（ ）
24、在梁上集中力偶作用处，其弯矩图有突变，而所对应的剪力图为水
平线，并由正值变为负值或由负值变为正值，但其绝对值是相同的。
（ ）
30、梁弯曲时，梁内有一层既不受拉又不受压的纵向纤维就是中性层。
（ ）
35、弯曲正应力公式是由矩形截面梁推导出的，故只适用于纯弯曲，而
不适用于横力弯曲。（ ）
1、工程实际中产生弯曲变形的杆件，如火车机车轮轴、房屋建筑的楼
板主梁，在得到计算简图时，需将其支承方式简化为：（ ）
A、简支梁
B、轮轴为外伸梁，楼板主梁为简支梁；
C、外伸梁
D、轮轴为简支梁，楼板主梁为外伸梁。
3、在梁的集中力作用处，其左、右两侧无限接近的横截面上的弯矩（
）的
A、相同 ；
B、数值相等，符号相反；
C、不相同 ；
D、符号一致，数值不相等。
4、在梁的集中力作用处，其左、右两侧无限接近的横截面上的剪力（ ）
A、大小相等，符号相反；
B、大小相等，符号相同；
C、符号有时都相同，有时不都相同；
D、有大小改变趋势，但符号不变。
11、由梁上载荷、剪力图和弯矩图三者间的关系，可概括一些规律性结论，如（ ）。
A、集中力作用处，M图发生转折；集中力偶作用处，Q图连续；
B、集中力作用处，M图连续；集中力偶作用处，M图不连续；
C、集中力偶作用处，Q图会有变化；
D、集中力偶作用处，所对应的M图在此处的左、右斜率将发生突变。
13、高度等于宽度两倍 (h=3b) 的矩形截面梁，承受垂直方向的载荷，
若仅将竖放截面改为平放截面，其它条件都不变，则梁的强度(
)。
A、 提高到原来的3倍
B、 提高到原来的6倍
C、 降低到原来的1/3倍
D、 降低到原来的1/6倍
18、分析简支梁（如图所示）的外力、内力和变形情况，可知结论（ ）是错误的。
A、支座反力大小为P；
B、剪力图左、右对称；
C、梁中央截面上弯矩为零；
D、致变形状态是沿梁的轴向由凸到凹。
19、由一简支梁的弯矩图（如图所示）得出梁在左、中、右三段上的剪
力大小和正负依次是（ ）。
A、20kN、0、—10kN；
B、10kN、0、—20kN；
C、—10kN、0、20kN；
D、—20kN、0、10kN。
21、一受力弯曲的简支梁(如图所示)产生纯弯曲变形的梁段应是( )
A、AB段；
B、BC段；
C、CB段；
D、不存在。
22、梁的纯弯曲可在材料试验机上实现,观察纯变形情况,可由表及里地
推断:梁变形后,其横截面始终保持为平面,且垂直于变形后的梁轴线,横截面只是绕( )转过了一个微小的角度。
A、梁的轴线；
B、梁轴线的曲线率中心；
C、中性轴；
D、横截面自身的轮廓线。
24、梁在平面弯曲时,其中性轴与梁的纵向对称面是相互( )的。
A、平行；
B、垂直；
C、成任意夹角。
26、梁弯曲时,横截面上离中性轴矩离相同的各点处正应力是( )的。
A、相同；
B、随截面形状的不同而不同；
C、不相同；
D、有的地方相同,而有的地方不相同。
27、图示矩形截面梁受到弯曲变形，最大压应力分布在( )。
A、中点截面下边缘；
B、中点截面上边缘；
C、只在中性轴Z上；
D、中点截面除上、下边缘以外的其它位置。
45、若将作用在简支梁中央的集中力分散为靠近支座的两个集中力(如图所示),则此时梁所能承受的集中力P2将增大为梁原来承受的集中力P1的( )倍.
A、0.5；
B、1；
C、2；
D、4.
答案：
一、填空题：
1、垂直；
2、固定端；
3、平行、形心；
4、垂直；
5、截面形心；
6、凹、凸；
7、负；8负；9、ql/2、q/2；10、突变、突变；11、剪力方程、弯矩方程；12、pa/l；13、小；14、切线斜率；15、二；16、下；
17、正负；18、平行；19、为零；20、转折；21、横力；22、垂直；
23、零；24、中性层；25、形心；26、正应力；27、高度、宽度；28、最远；29、凹、凸；30、压缩；31、弯矩；32、挠曲线；33、中性轴。
二、判断题：
1、Χ；3、；4、；5、；6、X；
9、X；10、X；11、；14、；17、；
20、X；23、；24、X；30、；35、X。
三、选择题：
1、B； 3、A；4、B； 11、A； 13、C；
18、A；19、A；21、D；22、C； 24、B；
26、A；27、B； 45、C。
弯曲变形、应力状态概念练习
第七章练习 （弯曲变形） 一 选择题 24．如图所示变截面杆，用积分法求挠曲线方程时应分（ ）段积分。 A ．2； Ｂ．3； Ｃ．3； Ｄ．4。 25．如13题图所示变截面杆，用积分法求挠曲线方程时共有（ ）个积分常数。 A ．2； Ｂ．4； Ｃ．6； Ｄ．8。 二 填空题 1．如图所示，用积分法求图示梁的变形时，所应满足的边界条 件是 A 截面挠度为零， C 截面挠度等于CB 杆伸长 。 2．提高梁弯曲刚度最有效的措施是 增加支座 ，减少跨长 。 三. 简答题 1. 静不定结构如图所示，试对每一结构分别选取一种基本静定系，写出相应的变形协调方程。 第八章练习 （应力状态，强度理论） 一 选择题 1．轴向拉伸构件，按四个强度理论中的（ ）强度理论计算的相当应力相同。 A .第一和第二； B . 第三和第四； C .第一和第三； D . 第一、第二、第三和第四。 2．圆轴受扭时，轴表面各点处于（ ）。 A . 单向应力状态； B . 二向应力状态； C . 三向应力状态； D . 各向等应力状态。 题25图 题1图 （a ） （b ）
3．等截面杆受轴向拉力作用，如图所示，A 、B 、C 三点的应力状态（ ）。 A . 各不相同； B . 相同； C . 仅A 、C 两点的应力状态相同； D . 仅B 、C 两点的应力状态相同。 4．图示某危险点的应力状态，其主应力1σ和最大切应力为（ ）。 A ．120MPa ，30 MPa ； Ｂ．130 MPa, 80 MPa ； Ｃ．150MPa ，60 MPa ； Ｄ．140 MPa,, 80MPa 。 5．按照第三强度理论，如图所示应力状态的相当应力是为（ ）MPa 。 A ．100； Ｂ．80； Ｃ．60； Ｄ．120。 6．对于一个微分单元体，下列结论中（ ）是错误的。 A ．正应力最大的面上切应力必为零； Ｂ．切应力最大的面上正应力必为零； Ｃ．正应力最大的面与切应力最大的面相交成450角； Ｄ．正应力最大的面与正应力最小的面必互相垂直。 7．两单元体的分别如图（a ）（b ）所示，且σ与τ的数值相等，由第三强度理论比较两者的危险程度，则（ ）。 A ．（a ）为平面应力状态，（b ）为空间应力状态，两者无法比较； Ｂ．应力状态图（b ）较图（a ）危险； Ｃ．两者的危险程度相同； Ｄ．应力状态图（a ）较图（b ）危险。 8．以下结论中（ ）是正确的。 A ．第一、二强度理论主要用于塑性材料； Ｂ．第三、四强度理论主要用于脆性材料； Ｃ．第一强度理论主要用于单向应力状态； Ｄ．第四强度理论可用于塑性屈服的任何应力状态。 9． 图示应力单元，已知σx = 40MPa,σy = 40MPa,τxy = 20MPa ，应力单元的主应力大小为 （ ）。 A ．σ1 = 40MPa ，σ2= 0，σ3=－40MPa ； B ．σ1 = 60MPa ，σ2= 20 MPa ，σ3=0 ； Ｃ．σ1 = 80MPa ，σ2= 0，σ3=－80MPa ； Ｄ．σ1 = 100MPa ，σ2= 60 MPa ，σ3=0 。 题3图 题4图 题5图 单位MPa （a ） （b ）
第七章-直梁弯曲时的内力和应力复习进程
第七章直梁弯曲时的内力和应力 一、填空题： 1、梁产生弯曲变形时的受力特点，是梁在过轴线的平面内受到外力偶的作用或者受到和梁轴线相___________的外力的作用。 2、车床上的三爪盘将工件夹紧之后，工件夹紧部分对卡盘既不能有相对移动，也不能有相对转动，这种形式的支座可简化为___________支座。 3、矩形截面梁弯曲时，其横截面上的剪力作用线必然________于外力并通过截面________。 4、梁弯曲时，其横截面上的剪力作用线必然__________于横截面。 5、梁弯曲时，任一横截面上的弯矩可通过该截面一侧（左侧或右侧）的外力确定，它等于该一侧所有外力对________力矩的代数和。 6、梁上某横截面弯矩的正负，可根据该截面附近的变形情况来确定，若梁在该截面附近弯成上_____下_______，则弯矩为正，反之为负。 7、用截面法确定梁横截面上的剪力时，若截面右侧的外力合力向上，则剪力为______。 8、以梁横截面右侧的外力计算弯矩时，规定外力矩是顺时针转向时弯矩的符号为_______。 9、将一悬臂梁的自重简化为均布载荷，设其载荷集度为q，梁长为L，由此可知在距固定端L/2处的横截面上的剪力为_________，固定端处横截面上的弯矩为__________。 10、在梁的集中力偶左、右两侧无限接近的横截面上，剪力相等，而弯矩则发生_______，_________值等于梁上集中力偶的力偶矩。 11、剪力图和弯矩图是通过________和___________的函数图象表示的。 12、桥式起重机横梁由左、右两车轮支承，可简化为简支梁，梁长为L，起吊重量为P，吊重位置距梁左、右两端长度分别为a、b，且a>b,由此可知最大剪力值为_______. 13、将一简支梁的自重简化为均布载荷作用而得出的最大弯矩值,要比简化为集中罚作用而的最大弯矩值__________ 14、由剪力和载荷集度之间的微分关系可知,剪力图上的某点的_________等于对应于该点的载荷集度. 15、设载荷集度q（X）为截面位置X的连续函数，则q（X）是弯矩M（X）的_______阶导函数。 16、梁的弯矩图为二次抛物线时，若分布载荷方向向上，则弯矩图为向_________凸的抛物线。
纯弯梁的弯曲应力测定
纯弯梁的弯曲应力测定实验报告 使用设备名称与型号 同组人员 实验时间 1、 实验目的 1.测定梁纯弯曲时横截面上的正应力大小及分布规律，并与理论值比较，以验证弯曲正应力公式。 2.观察正应力与弯矩的线性关系。 3.了解电测法的基本原理和电阻应变仪的使用方法。 2、 实验设备与仪器 1.弯曲梁实验装置和贴有电阻应变片的矩形截面钢梁。 2.静态数字电阻应变仪YJ28A-P10R（见附录四）和载荷显示仪。 3.直尺。 3、 实验原理 梁纯弯曲时横截面上的正应力公式为σ= ，式中M为作用在横截面上的弯矩，Y为欲求应力点到中性轴Z的距离，I z为梁横截面对中性轴的惯性矩。本实验采用矩形截面钢梁，实验时将梁的支承及载荷情况布置如图6-1所示，梁的CD段为纯弯曲，在梁的CD段某截面不同高度（四等分点）处贴五片电阻应变片，方向平行梁轴，温度补偿片粘贴梁上不受力处，当纯弯梁受载变形时，利用电阻应变仪测出各应变片的应变值（即梁上各纵向应变值）ε实。由于纵向纤维间不互相挤压，故根据单向应力状态的虎克定律求出应力σ实=Eε实。E为梁所用材料的弹性模量。为了减少测量误差，同时也可以验证正应
力与弯矩的线性关系，采用等量加载来测定沿高度分布的各相应点的应变，每增加等量的载荷 F，测定各点相应的应变一次，取应变增量的平均值 ε实。求出各应力增量 σ实=E ε实，并与理论值 σ理= 进行比较，其中 M= Fa.，从而验证理论公式的正确性。
图6-1纯弯梁示意图 4、 实验操作步骤 1.将梁放在实验装置的支座上。注意应尽量使梁受平面弯曲，用尺测量力作用点的位置及梁的截面尺寸。 2.在确保梁的最大应力小于材料的比例极限σp前提下，确定加载方案。 3.将梁上各测点的工作应变片逐点连接到应变仪的A、B接线柱上，而温度补偿片接在B、C接线柱上。按电阻应变仪的使用方法，将应变仪调整好。 4.先加载至初载荷，记录此时各点的应变值，然后每次等量增加载荷 ΔF，逐次测定各点相应的应变值，直到最终载荷终止。卸载后，注意记录各测点的零点漂移。 5.检查实验数据是否与离开中性轴的距离成正比，是否与载荷成线形关系，结束工作。 5、 实验结果及分析计算 1、 实验数据 12345
弯曲应力计算 (1)
第7章弯曲应力 引言 前一章讨论了梁在弯曲时的内力——剪力和弯矩。但是，要解决梁的弯曲强度问题，只了解梁的内力是不够的，还必须研究梁的弯曲应力，应该知道梁在弯曲时，横截面上有什么应力，如何计算各点的应力。 在一般情况下，横截面上有两种内力——剪力和弯矩。由于剪力是横截面上切向内力系的合力，所以它必然与切应力有关；而弯矩是横截面上法向内力系的合力偶矩， F时，就必然有切应力τ；所以它必然与正应力有关。由此可见，梁横截面上有剪力 Q 有弯矩M时，就必然有正应力 。为了解决梁的强度问题，本章将分别研究正应力与切应力的计算。 弯曲正应力 纯弯曲梁的正应力 由前节知道，正应力只与横截面上的弯矩有关，而与剪力无关。因此，以横截面上只有弯矩，而无剪力作用的弯曲情况来讨论弯曲正应力问题。 在梁的各横截面上只 有弯矩，而剪力为零的弯 曲，称为纯弯曲。如果在 梁的各横截面上，同时存 在着剪力和弯矩两种内 力，这种弯曲称为横力弯 曲或剪切弯曲。例如在图 7-1所示的简支梁中，BC 段为纯弯曲，AB段和CD 段为横力弯曲。 分析纯弯曲梁横截面 上正应力的方法、步骤与 分析圆轴扭转时横截面上 切应力一样，需要综合考 虑问题的变形方面、物理 方面和静力学方面。图7-1 变形方面为了研究与横截面上正应力相应的纵向线应变，首先观察梁在纯弯曲时的变形现象。为此，取一根具有纵向对称面的等直梁，例如图7-2(a)所示的矩形截面梁，并在梁的侧面上画出垂直于轴线的横向线m-m、n-n和平行于轴线的纵向线d-d、
b -b 。然后在梁的两端加一对大小相等、方向相反的力偶e M ，使梁产生纯弯曲。此时 可以观察到如下的变形现象。 纵向线弯曲后变成了弧线''a a 、''b b , 靠顶面的aa 线缩短了，靠底面的bb 线伸长 了。横向线m -m 、n -n 在梁变形后仍为直线，但相对转过了一定的角度，且仍与弯曲 了的纵向线保持正交，如图7-2(b)所示。 梁内部的变形情况无法直接观察，但根据梁表面的变形现象对梁内部的变形进行 如下假设： (1) 平面假设 梁所有的横截面变形后仍为平面．且仍垂直于变形后的梁的轴线。 (2) 单向受力假设 认为梁由许许多多根纵向纤维组成，各纤维之间没有相互挤压， 每根纤维均处于拉伸或压缩的单向受力状态。 根据平面假设，前面由实验观察到的变形现象已经可以推广到梁的内部。即梁在 纯弯曲变形时，横截面保持平面并作相对转动，靠近上面部分的纵向纤维缩短，靠近 下面部分的纵向纤维伸长。由于变形的连续性，中间必有一层纵向纤维既不伸长也不 缩短，这层纤维称为中性层(图7-3)。中性层与横截面的交线称为中性轴。由于外力偶 作用在梁的纵向对称面内因此梁的变形也应该对称于此平面，在横截面上就是对称于 对称轴。所以中性轴必然垂直于对称轴，但具体在哪个位置上，目前还不能确定。 考察纯弯曲梁某一微段dx 的变形(图7-4)。设弯曲变形以后，微段左右两横截面 的相对转角为d ?，则距中性层为y 处的任一层纵向纤维bb 变形后的弧长为 式中，ρ为中性层的曲率半径。该层纤维变形前的长度与中性层处纵向纤维OO 长度 相等，又因为变形前、后中性层内纤维OO 的长度不变，故有 由此得距中性层为y 处的任一层纵向纤维的线应变 ρ y θρθρθy)(ρbb bb b'b'ε=-+=-=d d d (a) 上式表明，线应变ε?随y 按线性规律变化。 物理方面 根据单向受力假设，且材料在拉伸及压缩时的弹性模量E 相等，则由 虎 克定律，得 ρ y E E εσ== (b) 式(b)表明，纯弯曲时的正应力按线性规律变化，横截面上中性轴处，y =0，因而 ?=0，中性轴两侧，一侧受拉应力，另一侧受压应力，与中性轴距离相等各点的正应 力数值相等（图7-5）。 静力学方面 虽然已经求得了由式(b)表示的正应力分布规律，但因曲率半径?和 中性轴的位置尚未确定，所以不能用式(b)计算正应力，还必须由静力学关系来解决。 在图7-5中，取中性轴为z 轴，过z 、y 轴的交点并沿横截面外法线方向的轴为x 轴，作用于微面积dA 上的法向微内力为dA σ。在整个横截面上，各微面积上的微内
弯曲时的内力和应力
第七章 弯曲时的内力和应力※ 说明： 本文档仅限练习。与考试无任何联系。 如答案有误请自行修改。如仍有疑问咨询相关教师。Q群125207914 一、填空题： 1、梁产生弯曲变形时的受力特点，是梁在过轴线的平面内受到外力偶的作用或者受到和梁轴线相___________的外力的作用。 3、矩形截面梁弯曲时，其横截面上的剪力作用线必然________于外力并通过截面________。 5、梁弯曲时，任一横截面上的弯矩可通过该截面一侧（左侧或右侧）的外力确定，它等于该一侧所有外力对________力矩的代数和。 7、用截面法确定梁横截面上的剪力时，若截面右侧的外力合力向上，则剪力为______。 9、将一悬臂梁的自重简化为均布载荷，设其载荷集度为q，梁长为L，由此可知在距固定端L/2处的横截面上的剪力为_________，固定端处横截面上的弯矩为__________。 10、在梁的集中力偶左、右两侧无限接近的横截面上，剪力相等，而弯矩则发生_______，_________值等于梁上集中力偶的力偶矩。 11、剪力图和弯矩图是通过________和___________的函数图象表示的。 18、在梁的某一段内，若无分布载荷q（X）的作用，则剪力图是 __________于X轴的直线。 19、在梁的弯矩图上，某一横截面上的弯矩有极值（极大值或极小值），该极值必发生在对应于剪力___________的横截面上。 21、梁在发生弯曲变形的同时伴有剪切变形,这种平面弯曲称为 __________弯曲。 24、梁在弯曲时的中性轴，就是梁的___________与横截面的交线。28、梁弯曲时,横截面中性轴上各点的正应力等于零,而距中性轴 ________处的各正应力为最大。 29、梁弯曲变形后，以中性层为界，靠__________边的一侧纵向纤维受压力作用,而靠__________边的一侧纵向纤维受拉应力作用。 31、等截面梁内的最大正应力总是出现在最大___________所在的横截面上。 32、在平面弯曲的情况下，梁变形后的轴线将成为一条连续而光滑的平面曲线，此曲线被称为_______。 33、梁在平面弯曲变形时的转角，实际上是指梁的横截面绕其________
工程力学习题库-弯曲变形
第8章 弯曲变形 本章要点 【概念】平面弯曲，剪力、弯矩符号规定，纯弯曲，中性轴，曲率，挠度，转角。 剪力、弯矩与荷载集度的关系；弯曲正应力的适用条件；提高梁的弯曲强度的措施；运用叠加法求弯曲变形的前提条件；截面上正应力分布规律、切应力分布规律。 【公式】 1. 弯曲正应力 变形几何关系：y ερ = 物理关系：E y σρ = 静力关系：0N A F dA σ==?，0y A M z dA σ==?，2z z A A EI E M y dA y dA σρ ρ == =?? 中性层曲率： 1 M EI ρ = 弯曲正应力应力：，M y I σ= ，max max z M W σ= 弯曲变形的正应力强度条件：[]max max z M W σσ=≤ 2. 弯曲切应力 矩形截面梁弯曲切应力：b I S F y z z S ??=* )(τ，A F bh F S S 2323max ==τ 工字形梁弯曲切应力：d I S F y z z S ??=* )(τ，A F dh F S S ==max τ 圆形截面梁弯曲切应力：b I S F y z z S ??=* )(τ，A F S 34max =τ 弯曲切应力强度条件：[]ττ≤max
3. 梁的弯曲变形 梁的挠曲线近似微分方程：()''EIw M x =- 梁的转角方程：1()dw M x dx C dx EI θ= =-+? 梁的挠度方程：12()Z M x w dx dx C x C EI ??=-++ ??? ?? 练习题 一. 单选题 1、 建立平面弯曲正应力公式z I My /=σ,需要考虑的关系有（ ）。查看答案 A 、平衡关系,物理关系，变形几何关系 B 、变形几何关系，物理关系，静力关系； C 、变形几何关系，平衡关系，静力关系 D 、平衡关系, 物理关系，静力关系； 2、 利用积分法求梁的变形，不需要用到下面那类条件（ ）来确定积分常 数。 查看答案 A 、平衡条件 B 、边界条件 C 、连续性条件 D 、光滑性条件 3、 在图1悬臂梁的AC 段上，各个截面上的（ ）。 A ．剪力相同，弯矩不同 B ．剪力不同，弯矩相同 C ．剪力和弯矩均相同 D ．剪力和弯矩均不同 图1 图2 4、 图2悬臂梁受力，其中（ ）。 A ．A B 段是纯弯曲，B C 段是剪切弯曲
梁弯曲时横截面上的正应力
梁弯曲时横截面上的正应力 在确定了梁横截面的内力之后，还需要进一步研究横截面上的应力与截面内力之间的定量关系，从而建立梁的强度设计条件，进行强度计算。 1、纯弯曲与横力弯曲 从火车轴的力学模型为图2-53a所示的外伸梁。画其剪力、弯矩图（见图2-53b、 同时存在，故梁在这些段内c）,在其AC、BD段内各横截面上有弯矩M和剪力F Q 发生弯曲变形的同时还会发生剪力变形，这种变形称为剪力弯曲，也称为横力弯 ，梁的这种弯曲称为纯弯曲。曲。在其CD段内各段截面，只有弯矩M而无剪力F Q 2、梁纯弯曲时横截面上的正应力 如图2-54a所示，取一矩形截面梁，弯曲前在其表面两条横向线m—m和n—n，再画两条纵向线a—a和b—b，然后在其两端外力偶矩M，梁将发生平面纯弯曲变形（见图2-54b)。此时可以观察到如下变形现象： ⑴横向线m—m和n—n任为直线且与正向线正交，但绕某点相对转动了一个微小角度。 ⑵纵向线a—a和b—b弯成了曲线，且a—a线缩短，而b—b线伸长。 由于梁内部材料的变化无法观察，因此假设横截面在变形过程中始终保持为平面，这就是纯梁弯曲时的；平面假设。可以设想梁由无数条纵向纤维组成，且纵
向纤维间无相互的挤压作用，处于单向受拉或受压状态。 从图2-54b 中可以看出，；梁春弯曲时，从凸边纤维伸长连续变化到凹边纤维缩短，期间必有一层纤维既不伸长也不缩短，这一纵向纤维层称为中性层（见图2-54c ）。中性层与横截面的交线称为中性轴。梁弯曲时，横截面绕中心轴绕动了一个角度。 由上述分析可知，矩形截面梁弯曲时的应力分布有如下特点： ⑴中性轴的线应变为零，所以其正应力也为零。 ⑵距中性轴距离相等的各点，其线应变相等。根据胡克定律，它们的正应力也必相等。 ⑶在图2-54b 所示的受力情况下，中性轴上部分各点正应力为压应力（即负值），中性轴下部分各点正应力为拉应力（即正值）。 ⑷横截面上的正应力沿y 轴呈线性分布，即ky =σ（k 为特定常数），如图2-55、图2-56所示。最大正应力（绝对值）在离中性轴最远的上、下边缘处。 由于距离中性层上、下的纵向纤维的线应变与到中性层的距离y 成正比，当其正应力不超过材料的比例极限时，由胡克定律可知 y E y E E ?=?=?=ρρεσ 2-24 对于指定的横截面，ρE 为常数（即为上述k 的值）看，由于此时梁轴线的曲率 半径ρ还是一个未知量，通过静力学平衡关系∑z F )(=0，可得
三、梁弯曲的内力、变形、应力
目录 引言 (2) 一杆件受拉压的内力、应力、变形 (2) 1.1轴向拉压的内力、轴力图 (2) 1.2 轴向拉压杆横截面上的应力 (5) 1.3 轴向拉压杆横截面上的变形 (7) 1.4 圣维南原理 (9) 1.5 工程结构实例分析 (11) 二圆轴扭转 (15) 2.1、扭转的力学模型及ANSYS建模 (15) 2.2、圆轴扭转时，横截面上的内力偶矩------扭矩 (15) 2.3、圆轴扭转时，横截面上的应力、强度条件 (15) (1) 横截面上的切应力 (15) (2) 极惯性矩与抗扭截面系数 (15) 三、梁弯曲的内力、变形、应力 (20) 3.1 梁的弯曲内力、变形 (20) 3.2 弯曲应力 (27) 3.3 工程实例： (31) 四、压杆稳定 (35) 4.1、压杆稳定的概念 (35) 4.2、临界压力 (35) 4.3、三类压杆的临界载荷 (36) 4.4、压杆稳定性计算 (36) 4.5 工程实例4 (38)
引 言 《材料力学》是机械、土木类工科学生重要的技术基础课，其计算方法和思想在工程计算中应用非常广泛。为了使学生对课内知识体系有一个比较清晰的感性认识，锻炼学生的求真精神和实践动手能力，进一步培养学生的综合创造力，兴趣小组的学生们在教师的指导下基于ANSYS 有限元分析软件对《材料力学》的某些知识点进行数值计算与模拟，得到相关的数据、云图或动画，从而对理论公式进行形象验证，更开阔了学生的视野，提高了学生的CAE 水平。 本研究内容包括三部分： （1）对《材料力学》课程中的基本内容，包括拉压、剪切、扭转、弯曲的内力、应力、变形、压杆稳定、动载荷、疲劳强度、圣维南原理等重要理论知识点情况通过ANSYS 进行分析，得到内力、变形、应力、应变相关的数据、云图或动画； （2）对重要知识点的典型例题通过ANSYS 进行计算，并与理论计算结果进行对比验证。 （3）对《材料力学》理论知识能够解决的典型工程实际问题进行建模、分析与计算。 一 杆件受拉压的内力、应力、变形 1.1轴向拉压的内力、轴力图 在工程结构和机械中，发生轴向拉伸或压缩的构件是很常见的。 在轴向外力作用下，杆件横截面上唯一的内力分量是轴力N F 轴向拉压杆件的受力特点：作用于杆件上的合外力的作用线与杆件轴线重合，杆件变形是沿轴线方向的延长或缩短。 对如图1-1a 所示的两端受轴向外力p F 作用的杆件，用一假想平面沿任意横截面将杆截为两段，由任一部分的平衡方程0=∑F ,可求得截面上的轴力 N F =p F (如图1-1b)
弯曲内力和应力基本概念练习
弯曲内力练习 一、选择题 1．外伸梁受均布载荷作用，如图所示。以下结论中（ ）是错误的。 A ．A B 段剪力表达式为()qx x F Q -=； B ．AB 段弯矩表达式为22 1)(qx x M -=； Ｃ．BC 段剪力表达式为()L qa x F Q 22=； Ｄ．BC 段弯矩表达式为)(2)(2x L L qa x M --=。 2．外伸梁受集中力偶作用，如图所示，以下结论中（ ）是错误的。 A ．当力偶作用点C 位于支座 B 的右侧时，梁的弯矩图为梯形； Ｂ．当C 点位于支座B 的右侧时，梁上各截面的弯矩()0≥x M ； Ｃ．当C 点在梁上移动时，梁的剪力图不改变； Ｄ．当C 点在梁上移动时，梁的中央截面上弯矩不改变。 题2图 题1图
3．简支梁受集中力作用，如图所示，以下结论中（ ）是错误的。 A ．AC 段，剪力表达式为 ()L Fb x F S =； Ｂ．AC 段,弯矩表达式为x L Fb x M =)(； Ｃ．CB 段，剪力表达式为 ()L Fa x F S = ； Ｄ．CB 段,弯矩表达式为)()(x L L Fa x M -= 。 4．简支梁的四种受载情况如图，设M 1、M 2、M 3、M 4分别表示梁（a ）、（b ）、（c ）、（d ）中的最大弯矩，则下列结论中（ ）是正确的。 A ．M 1 >M 2 = M 3 >M 4； Ｂ． M 1 >M 2 > M 3 >M 4； Ｃ．M 1 >M 2 >M 3 = M 4； Ｄ． M 1 >M 2 >M 4> M 3 。 5 ．外伸梁受均布载荷作用，如图所示。以下梁的剪力、弯矩图 （a ） （b ） （c ） （d ）
弯曲应力与变形1
课程: 材料力学教者： 第30,31,32课时(3.22,3.26) 课程内容或课题： 1．梁纯弯曲时横截面上正应力计算公式的推导 2．熟练弯曲正应力强度条件的建立和相应的计算 目的要求： 1．掌握梁纯弯曲时横截面上正应力计算公式的推导过程，理解推导中所作的基本假设2．理解横力弯曲正应力计算仍用纯弯曲公式的条件和近似程度 3．掌握弯曲正应力强度条件的建立和相应的计算 重点难点： 1.纯弯曲梁横截面上正应力公式的分析推导 2.横力弯曲横截面上正应力的计算，最大拉应力和最大压应力的计算 3.弯曲的强度计算 教学形式、手段： 采用启发式教学，通过提问，引导学生思考 教学过程： 一：导入新课 二：授新 1、几个基本概念 ⑴平面弯曲和弯曲中心 变形后梁轴线的位移方向沿着加载方向的弯曲情况，称为平面弯曲。
图6-1 怎样加载才能产生平面弯曲？ 若梁的横截面有对称平面时，载荷必须作用在次对称平面内，才能发生平面弯曲。 图6-2 若梁的横截面没有对称平面时，载荷的作用线必须通过截面的弯曲中心。 什么叫弯曲中心？ 当载荷的作用线通过横截面上某一点特定点时，杆件只产生弯曲而无扭转。这样的特定点称为弯曲中心。 图6-3 关于弯曲中心位置的确定及工程上常见图形的弯曲中心位置。
图6-4 ①具有两个对称轴或反对称的截面，如工字形、圆形、圆环形、空心矩形截面等，弯曲中心与形心（两对称轴的交点）重合，如图6-4(a),(b),(c)所示。 ②具有一个对称轴的截面，如槽形和T形截面，弯曲中心必在对称轴上，如图6-4(d)、(e)所示。 ③如果截面是由中线相交于一点的几个狭长矩形所组成，如L形或T形截面，则此交点就是弯曲中心，如图6-4(e)、(f) ④不对称实心截面的弯曲中心靠近形心。这种截面在荷载作用线通过形心时也将引起扭转，但由于这种截面的抗扭刚度很大，弯曲中心与形心又非常靠近，故通常不考虑它的扭转影响。 ⑵纯弯曲和横力弯曲 图6-5 平面弯曲时，如果某段梁的横截面上只有弯矩而无剪力，这种弯曲称为纯弯曲；如果梁的横截面上既有弯矩又有剪力，则这种弯曲称为横力弯曲。 ⑶中性层和中性轴
第9章 弯曲应力与弯曲变形综述
Engineering Mechanics （第3版） 普通高等教育“十一五”国家级规划教材 高等教育出版社
第9章弯曲应力与弯曲变形 9.1 纯弯曲时梁横截面上的正应力 9.2 横力弯曲时梁横截面上的正应力 9.3 弯曲切应力简介 9.4 弯曲变形的概念 9.5 梁的挠曲线近似微分方程 9.6 用积分法求弯曲变形 9.7 用叠加法求弯曲变形 9.8 梁的刚度校核 9.9 提高梁强度和刚度的措施 小结 思考题
第9章 弯 曲 应 力 与 弯 曲 变 形 9.1 纯弯曲时梁横截面上的正应力 9.1.1 梁的纯弯曲 前一章讨论了梁弯曲时梁横截面上的内力——剪力和弯矩。但要解决梁的强度问题，必须进一步了解横截面上应力的分布规律。剪力和弯矩是横截面上分布内力的 合成结果。切应力对应的内力为剪力，正应力对应的内力为弯矩。 梁（或某段梁）的各个横截面上仅有弯矩而无剪力，从而仅有正应力而无切应力的弯曲，称为纯弯曲。而横截面上同时存在弯矩和剪力，即既有正应力又有切应力的弯曲称为横力弯曲或剪切弯曲。 例如，图9 - 1a 所示简支梁。由图可知梁的CD 段为纯弯曲，AC 和DB 段为横力弯曲。 图9 – 1 y a a F F B x z A C (a) D x F S F F (c) a a F F B C D (b) A F A F B (d) Fa M x
9.1.2 纯弯曲时梁横截面上的正应力 研究纯弯曲时梁横截面上的正应力，需从几何、物理和静力关系等三方面考虑。 由以上试验结果可作如下假设：原为平面的横截面变形后仍保持为平面，且仍垂直于变形后梁的轴线，只是绕横截面内某一轴旋转一角度。这就是弯曲变形的平面假设。 1. 变形几何关系 取截面具有纵向对称轴（例如矩形截面）的等直梁，在其侧面画两条横向直线mm 及nn ，并在横向线间靠近顶面和底面画两条纵向线段aa 与 bb （图9 – 2a ）。然后在梁的纵向对称面内两端施加一对等值、 反向的力偶，作梁的纯弯曲变形试验（图9 – 2b ）。 a a b b m m n n (a) (b) m m n n y ρ M e M e O' O' b' b' a' a' d θy y z b' 中性轴 中性层 对称轴 (c) 图9 – 2 b' a a '' b b ''可观察到： （1）横向直线变形后仍为直线，且仍然垂直于已经变成弧线的 和 ，只是相对旋转了一个角度。 （2）靠近顶面的纵向线段aa 缩短，靠近底面的纵向线段bb 伸长。
测试题-弯曲应力(答案)
班级： 学号： 姓名： 《工程力学》弯曲应力测试题 一、判断题（每小题2分，共20分） 1、弯曲变形梁，其外力、外力偶作用在梁的纵向对称面内，梁产生对称弯曲。 （ √ ） 2、铁路的钢轨制成工字形，只是为了节省材料。 （ × ） 3、为了提高梁的强度和刚度，只能通过增加梁的支撑的办法来实现。 （ × ） 4、中性轴是中性层与横截面的交线。 （ √ ） 5、最大弯矩M max 只可能发生在集中力F 作用处，因此只需校核此截面强度是否满足梁的 强度条件。 （ × ） 6、大多数梁只进行弯曲正应力强度校核，而不计算弯曲切应力，这是因为他们横截面上只有正应力存在。 （ × ） 7、抗弯截面系数仅与截面形状和尺寸有关，与材料种类无关。 （ √ ） 8、矩形截面梁，若其截面高度和宽度都增加一倍，则强度提高到原来的16倍。 （ × ） 9、在梁的弯曲正应力公式中，I z 为梁截面对于形心轴的惯性矩。 （ √ ） 10、梁弯曲最合理的截面形状，是在横截面积相同条件下W z 值最大的截面形状。 （ √ ） 二、单项选择题（每小题2分，共20分） 1、材料弯曲变形后（ B ）长度不变。 A ．外层 B ．中性层 C ．内层 2、梁弯曲时横截面上的最大正应力在（ C ）。 A. 中性轴上 B. 对称轴上 C. 离中性轴最远处的边缘上 3、一圆截面悬臂梁，受力弯曲变形时，若其它条件不变，而直径增加一倍，则其最大正 应力是原来的（ A ）倍。 A. 8 1 B. 8 C. 2 D. 21 4、图示受横力弯曲的简支梁产生纯弯曲变形的梁段是（ D ） A. AC 段 B. CD 段 C. DB 段 D. 不存在 5、由梁弯曲时的平面假设，经变形几何关系分析得到（ C ） A. 中性轴通过截面形心 B. 梁只产生平面弯曲；
弯曲时的内力和应力
一、填空题： 1 的作用。 3、矩形截面梁弯曲时，其横截面上的剪力作用线必然________于外力并通过截面________。 5、梁弯曲时，任一横截面上的弯矩可通过该截面一侧（左侧或右侧）的外力确定，它等于该一侧所有外力对________ 力矩的代数和。 7、用截面法确定梁横截面上的剪力时，若截面右侧的外力合力向上，则剪力为______。 9、将一悬臂梁的自重简化为均布载荷，设其载荷集度为q，梁长为L，由此可知在距固定端L/2处的横截面上的剪力 为_________，固定端处横截面上的弯矩为__________。 10、在梁的集中力偶左、右两侧无限接近的横截面上，剪力相等，而弯矩则发生_______，_________值等于梁上集中 力偶的力偶矩。 11、剪力图和弯矩图是通过________和___________的函数图象表示的。 18、在梁的某一段内，若无分布载荷q（X）的作用，则剪力图是__________于X轴的直线。 19、在梁的弯矩图上，某一横截面上的弯矩有极值（极大值或极小值），该极值必发生在对应于剪力___________的横 截面上。 21、梁在发生弯曲变形的同时伴有剪切变形,这种平面弯曲称为__________弯曲。 24、梁在弯曲时的中性轴，就是梁的___________与横截面的交线。 28、梁弯曲时,横截面中性轴上各点的正应力等于零,而距中性轴________处的各正应力为最大。 29、梁弯曲变形后，以中性层为界，靠__________边的一侧纵向纤维受压力作用,而靠__________边的一侧纵向纤维受 拉应力作用。 31、等截面梁内的最大正应力总是出现在最大___________所在的横截面上。 32、在平面弯曲的情况下，梁变形后的轴线将成为一条连续而光滑的平面曲线，此曲线被称为_______。 33、梁在平面弯曲变形时的转角，实际上是指梁的横截面绕其________这条线所转动的角度。 二、判断题： 1、以弯曲为主要变形的杆件，只要外力均作用在过轴的纵向平面内，杆件就有可能发生平面弯曲。（） 3、梁发生平面弯曲时，其轴线必然弯成位于外力作用面内的平面曲线。（） 4、通常将安装在车床刀架上的车刀简化为悬臂梁。（） 5、梁横截面上的剪力，在数值上等于作用在此截面任一侧（左侧或右侧）梁上所有外力的代数和。（） 6、用截面法确定梁横截面的剪力或弯矩时，若分别取截面以左或以右为研究对象，则所得到的剪力或弯矩的符号通常 是相反的。（） 9、梁的最大弯矩值必定出现在剪力为零的截面处。（） 10、在简支梁上有一移动的集中载荷作用，要使梁内产生的弯矩为最大，此集中载荷并不一定作用在梁跨度中央。（） 11、梁上某一横截面的弯矩等于作用于此截面任一侧（左侧或右侧）梁上所有外力对截面形心力矩的代数和，利用此 规律，可不列出平衡方程，就能直接确定横截面弯矩值的大小。（） 14、若梁某段内各横截面上的弯矩均为零，则该段内各横截面上的剪力也均为零。（） 17、在梁某一段内的各个横截面上的，若剪力均为零，则该段内的弯矩必为常量。（） 20、梁的弯矩图上某一点的弯矩值为零，该点所对应的剪力图上的剪力值也一定为零。（） 23、从左向右检查所绘剪力图的正误时，可以看出，凡集中力作用处，剪力图发生突变，突变值的大小与方向和集中 力相同，若集中力向上，则剪力图向上突变，突变值为集中力大小。（） 24、在梁上集中力偶作用处，其弯矩图有突变，而所对应的剪力图为水平线，并由正值变为负值或由负值变为正值， 但其绝对值是相同的。（） 30、梁弯曲时，梁内有一层既不受拉又不受压的纵向纤维就是中性层。（） 35、弯曲正应力公式是由矩形截面梁推导出的，故只适用于纯弯曲，而不适用于横力弯曲。（） 三、选择题： 1、工程实际中产生弯曲变形的杆件，如火车机车轮轴、房屋建筑的楼板主梁，在得到计算简图时，需将其支承方式简 化为：（）
弯曲应力计算
第7章弯曲应力 7.1 引言 前一章讨论了梁在弯曲时的内力——剪力和弯矩。但是，要解决梁的弯曲强度问题，只了解梁的内力是不够的，还必须研究梁的弯曲应力，应该知道梁在弯曲时，横截面上有什么应力，如何计算各点的应力。 在一般情况下，横截面上有两种内力——剪力和弯矩。由于剪力是横截面上切向内力系的合力，所以它必然与切应力有关；而弯矩是横截面上法向内力系的合力偶矩， F时，就必然有切应力τ；所以它必然与正应力有关。由此可见，梁横截面上有剪力 Q 有弯矩M时，就必然有正应力 。为了解决梁的强度问题，本章将分别研究正应力与切应力的计算。 7.2 弯曲正应力 7.2.1 纯弯曲梁的正应力 由前节知道，正应力只与横截面上的弯矩有关，而与剪力无关。因此，以横截面上只有弯矩，而无剪力作用的弯曲情况来讨论弯曲正应力问题。 在梁的各横截面上只 有弯矩，而剪力为零的弯 曲，称为纯弯曲。如果在 梁的各横截面上，同时存 在着剪力和弯矩两种内 力，这种弯曲称为横力弯 曲或剪切弯曲。例如在图 7-1所示的简支梁中，BC 段为纯弯曲，AB段和CD 段为横力弯曲。 分析纯弯曲梁横截面 上正应力的方法、步骤与 分析圆轴扭转时横截面上 切应力一样，需要综合考 虑问题的变形方面、物理 方面和静力学方面。图7-1 变形方面为了研究与横截面上正应力相应的纵向线应变，首先观察梁在纯弯曲时的变形现象。为此，取一根具有纵向对称面的等直梁，例如图7-2(a)所示的矩形截
面梁，并在梁的侧面上画出垂直于轴线的横向线m -m 、n -n 和平行于轴线的纵向线d -d 、b -b 。然后在梁的两端加一对大小相等、方向相反的力偶e M ，使梁产生纯弯曲。此时可以观察到如下的变形现象。 纵向线弯曲后变成了弧线''a a 、''b b , 靠顶面的aa 线缩短了，靠底面的bb 线伸长了。横向线m -m 、n -n 在梁变形后仍为直线，但相对转过了一定的角度，且仍与弯曲了的纵向线保持正交，如图7-2(b)所示。 梁内部的变形情况无法直接观察，但根据梁表面的变形现象对梁内部的变形进行如下假设： (1) 平面假设 梁所有的横截面变形后仍为平面．且仍垂直于变形后的梁的轴线。 (2) 单向受力假设 认为梁由许许多多根纵向纤维组成，各纤维之间没有相互挤压，每根纤维均处于拉伸或压缩的单向受力状态。 根据平面假设，前面由实验观察到的变形现象已经可以推广到梁的内部。即梁在纯弯曲变形时，横截面保持平面并作相对转动，靠近上面部分的纵向纤维缩短，靠近下面部分的纵向纤维伸长。由于变形的连续性，中间必有一层纵向纤维既不伸长也不缩短，这层纤维称为中性层(图7-3)。中性层与横截面的交线称为中性轴。由于外力偶作用在梁的纵向对称面内因此梁的变形也应该对称于此平面，在横截面上就是对称于对称轴。所以中性轴必然垂直于对称轴，但具体在哪个位置上，目前还不能确定。 考察纯弯曲梁某一微段dx 的变形(图7-4)。设弯曲变形以后，微段左右两横截面的相对转角为d θ，则距中性层为y 处的任一层纵向纤维bb 变形后的弧长为 θy ρb'b')d (+= 式中，ρ为中性层的曲率半径。该层纤维变形前的长度与中性层处纵向纤维OO 长度相等，又因为变形前、后中性层内纤维OO 的长度不变，故有 θρO'O'OO bb d === 由此得距中性层为y 处的任一层纵向纤维的线应变 ρ y θρθρθy)(ρbb bb b'b'ε=-+=-=d d d (a)
材料力学弯曲应力答案 (1)
4-1(4-1)试求图示各梁中指定截面上的剪力和 弯矩。 解：（a） （b） （c） （d） = （e） （f） （g） （h） = 返回 4-2(4-2) 试写出下列各梁的剪力方程和弯矩 方程，并作剪力图和弯矩图。 解：（a） （b） 时 时
（c） 时 时 （d） （e）时， 时， （f）AB段： BC段： （g）AB段内： BC段内： （h）AB段内： BC段内： CD段内： 返回
4-3(4-3)试利用荷载集度、剪力和弯矩间的微分关系作下列各梁的剪力图和弯矩图。 返回 4-4(4-4)试作下列具有中间铰的梁的剪力图和弯矩图。 返回 4-5(4-6)已知简支梁的剪力图如图所示。试作梁的弯矩图和荷载图。已知梁上没有集中力偶作用。 返回 4-6(4-7) 试根据图示简支梁的弯矩图作出梁的剪力图与荷载图。 返回 4-7(4-15)试作图示刚架的剪力图、弯矩图和轴力图。 返回4-8(4-18)圆弧形曲杆受力如图所示。已知曲杆轴线的半径为R，试写出任意横截面C上剪力、弯矩和轴力的表达式（表示成角的函数），并作曲杆的剪力图、弯矩图和轴力图。 解：（a） （b） 返回 4-9(4-19)图示吊车梁，吊车的每个轮子对梁的作用力都是F，试问： （1）吊车在什么位置时，梁内的弯矩最大？最大弯矩等于多少？ （2）吊车在什么位置时，梁的支座反力最大？最大支反力和最大剪力各等于多少？ 解：梁的弯矩最大值发生在某一集中荷载作用处。 ，得：
当时， 当M极大时：， 则，故， 故为梁内发生最大弯矩的截面 故：= 返回 4-10(4-21)长度为250mm、截面尺寸为的薄钢尺，由于 两端外力偶的作用而弯成中心角为的圆弧。已知弹性模量。试求钢尺横截面上的最大正应力。 解：由中性层的曲率公式及横截面上最大弯曲正应力公式 得： 由几何关系得： 于是钢尺横截面上的最大正应力为： 4-11(4-25) 矩形截面的悬臂梁受集中力和集中力偶作用，如图所示。试求截面m-m和固定端截面n-n上A，B，C，D四点处的正应力。 解：对m-m及n-n截面，都给以坐标系如图所示。于是有： m-m截面及n-n截面的弯矩分别是： 横截面对z轴的惯性矩为： 因此，各点的正应力分别是：
弯曲应力计算
第7章弯曲应力 7、1 引言 前一章讨论了梁在弯曲时得内力——剪力与弯矩.但就是，要解决梁得弯曲强度问题，只了解梁得内力就是不够得,还必须研究梁得弯曲应力，应该知道梁在弯曲时，横截面上有什么应力,如何计算各点得应力。 在一般情况下,横截面上有两种内力——剪力与弯矩。由于剪力就是横截面上切向内力系得合力,所以它必然与切应力有关;而弯矩就是横截面上法向内力系得合力偶矩，所以它必然与正应力有关.由此可见,梁横截面上有剪力时，就必然有切应力；有弯矩M时,就必然有正应力。为了解决梁得强度问题，本章将分别研究正应力与切应力得计算。 7、2 弯曲正应力 7、２、1 纯弯曲梁得正应力 由前节知道,正应力只与横截面上得弯矩有关,而与剪力无关。因此，以横截面上只有弯矩,而无剪力作用得弯曲情况来讨论弯曲正应力问题. 在梁得各横截面上只 有弯矩,而剪力为零得弯 曲，称为纯弯曲。如果在 梁得各横截面上，同时存 在着剪力与弯矩两种内 力，这种弯曲称为横力弯 曲或剪切弯曲。例如在图7 —1所示得简支梁中,BC段 为纯弯曲,AB段与CD段为 横力弯曲。 分析纯弯曲梁横截面 上正应力得方法、步骤与 分析圆轴扭转时横截面上 切应力一样,需要综合考虑 问题得变形方面、物理方 面与静力学方面。图7—1 变形方面为了研究与横截面上正应力相应得纵向线应变,首先观察梁在纯弯曲时得变形现象。为此,取一根具有纵向对称面得等直梁,例如图７－2(ａ）所示得矩形截面梁,并在梁得侧面上画出垂直于轴线得横向线m—ｍ、n—ｎ与平行于轴线得纵向线ｄ-d、b-b。然后在梁得两端加一对大小相等、方向相反得力偶,使梁产生纯弯曲。此时
可以观察到如下得变形现象。 纵向线弯曲后变成了弧线、，靠顶面得aa线缩短了，靠底面得bb线伸长了。横向线m—m、n—n在梁变形后仍为直线，但相对转过了一定得角度,且仍与弯曲了得纵向线保持正交，如图7-２（ｂ）所示。 梁内部得变形情况无法直接观察，但根据梁表面得变形现象对梁内部得变形进行如下假设: (1)平面假设梁所有得横截面变形后仍为平面．且仍垂直于变形后得梁得轴线。 (2) 单向受力假设认为梁由许许多多根纵向纤维组成,各纤维之间没有相互挤压,每根纤维均处于拉伸或压缩得单向受力状态。 根据平面假设，前面由实验观察到得变形现象已经可以推广到梁得内部。即梁在纯弯曲变形时，横截面保持平面并作相对转动,靠近上面部分得纵向纤维缩短，靠近下面部分得纵向纤维伸长。由于变形得连续性,中间必有一层纵向纤维既不伸长也不缩短，这层纤维称为中性层（图7—３）。中性层与横截面得交线称为中性轴。由于外力偶作用在梁得纵向对称面内因此梁得变形也应该对称于此平面,在横截面上就就是对称于对称轴。所以中性轴必然垂直于对称轴,但具体在哪个位置上,目前还不能确定. 考察纯弯曲梁某一微段ｄｘ得变形(图７－4).设弯曲变形以后,微段左右两横截面得相对转角为dθ，则距中性层为y处得任一层纵向纤维bb变形后得弧长为 式中，为中性层得曲率半径.该层纤维变形前得长度与中性层处纵向纤维ＯO长度相等,又因为变形前、后中性层内纤维OO得长度不变,故有 由此得距中性层为ｙ处得任一层纵向纤维得线应变 (a） 上式表明,线应变 随y按线性规律变化. 物理方面根据单向受力假设,且材料在拉伸及压缩时得弹性模量E相等，则由虎克定律，得 (b) 式(ｂ)表明，纯弯曲时得正应力按线性规律变化,横截面上中性轴处,y=０，因而σ=０，中性轴两侧,一侧受拉应力，另一侧受压应力,与中性轴距离相等各点得正应力数值相等（图7—5）. 静力学方面虽然已经求得了由式（ｂ)表示得正应力分布规律,但因曲率半径ρ与中性轴得位置尚未确定,所以不能用式（b）计算正应力,还必须由静力学关系来解决。 在图7-５中，取中性轴为ｚ轴，过z、y轴得交点并沿横截面外法线方向得轴为x轴,作用于微面积上得法向微内力为。在整个横截面上,各微面积上得微内力构成一个空间平行力系。由静力学关系可知，应满足,,三个平衡方程。 由于所讨论得梁横截面上设有轴力，,故由,得 （ｃ）将式(b)代人式(c）,得