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电磁场与电磁波课后答案

第一章

矢量分析

重点和难点

关于矢量的定义、运算规则等内容可让读者自学。应着重讲解梯度、散度、旋度的物理概念和数学表示，以及格林定理和亥姆霍兹定理。至于正交曲面坐标系一节可以略去。

考虑到高年级同学已学过物理学，讲解梯度、散度和旋度时，应结合电学中的电位、积分形式的高斯定律以及积分形式的安培环路定律等内容，阐述梯度、散度和旋度的物理概念。详细的数学推演可以从简，仅给出直角坐标系中的表达式即可。讲解无散场和无旋场时，也应以电学中介绍的静电场和恒定磁场的基本特性为例。

至于格林定理，证明可免，仅给出公式即可，但应介绍格林定理的用途。

前已指出，该教材的特色之一是以亥姆霍兹定理为依据逐一介绍电磁场，因此该定理应着重介绍。但是由于证明过程较繁，还要涉及? 函数，如果学时有限可以略去。由于亥姆霍兹定理严格地定量描述了自由空间中矢量场与其散度和旋度之间的关系，因此应该着重说明散度和旋度是产生矢量场的源，而且也是惟一的两个源。所以，散度和旋度是研究矢量场的首要问题。

此外，还应强调自由空间可以存在无散场或无旋场，但是不可能存在既无散又无旋的矢量场。这种既无散又无旋的矢量场只能存在于局部的无源区中。

重要公式直角坐标系中的矢量表示：z z y y x x A A A e e e A ++= 矢量的标积：代数定义：z z y y x x B A B A B A ++=?B A

几何定义：θcos ||||B A B A =?

矢量的矢积：代数定义：z

z y x

B B B A A A e e e B A =?

几何定义：θsin ||B ||A e B A z =?

标量场的梯度：z

y x z y ??+??+??=?Φ

ΦΦΦe e e x

矢量场的散度：z

A y A x A z y x ??+??+??=

??A 高斯定理：???=??S

V d d S A A

矢量场的旋度：z

y x

z y A A A z y x ??

????

??e e e A x ；斯托克斯定理：

???=???l

d d )(l A S A

无散场：0)(=????A ；无旋场：0)(=???Φ

格林定理：

第一和第二标量格林定理：

??=?+???S

V 2d )(d )(S ΦψΦψΦψ

()??

??-?=?-?S

V 22d d )(S ψΦΦψψΦΦψ

第一和第二矢量格林定理：

()??????=?????-?????S

V d d ])()[(S Q P Q P Q P

????-???=?????-?????S

V d ][ d ]()([S P Q Q P Q P P Q

亥姆霍兹定理： )()()(r A r r F ??+-?=Φ，式中

?'''-'??'=

V V d )(41)(r r r F r πΦ V V ''-'??'=?'d )

(41

)(r r r F r A π

三种坐标系中矢量表示式之间的转换关系：

????

??????????????

??-=??????????z y x z r A A A A A A 10

0cos sin 0sin cos φφφφφ

???

???????????

??--=??????????z y x r A A A A A A 0cos sin sin sin cos cos cos cos sin sin cos sin φ

φθφθφθθφθφ

θφθ

???

???????????????-=??????????z r r A A A A A A φφθθθθθ 010

sin 0cos cos 0sin

题解

第一章题解

1-1 已知三个矢量分别为z y e e e A x 32-+=；z y e e e B x 23++=；z e e C x -=2。试求①

|| |,| |,|C B A ；②单位矢量c b a e e e , ,；③B A ?；④B A ?；⑤C B A ??)(及B C A ??)(；⑥B

C A ??)(及C B A ??)(。解 ① ()143212

2222

2=-++=++=

z y x A A A A

1421322222

2=++=++=z y x B B B B ()51022

22222=-++=++=z y x C C C C

② ()z y e e e A A A e x a 32141

14-+=

()z y e e e B B B e x b 23141

14++=

()z e e C C C e x c -=

5 ③ 1623-=-+=++=?z z y y x x B A B A B A B A

④ z y z

y z

z y x

z y B B B A A A e e e e e e e e e B A x x x

51172

321--=-==? ⑤ ()z y z y e e e e e e C B A x x 22311102

5117

+-=---=??

因

z y z

y z

z y x

C C C A A A e e e e e e e e e C A x x x x x

4521

321---=--==? 则

()z y z y e e e e e e B C A x x 13862

452

+--=---=??

⑥ ()()()152131532=?+?-+?-=??B C A

()()()1915027=-?-++?=??C B A 。

1-2 已知0=z 平面内的位置矢量A 与X 轴的夹角为?，位置矢量B 与X 轴的夹角为?，试证

βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=-

证明由于两矢量位于0=z 平面内，因此均为二维矢量，它们可以分别表示为

ααsin cos A A y e e A x += ββsin cos B B y e e B x +=

已知()βα-=?cos B A B A ，求得

()B

A B A B A β

αβαβαsin sin cos cos cos +=

即

βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=-

1-3 已知空间三角形的顶点坐标为)2 ,1 ,0(1-P ，)3 ,1 ,4(2-P 及)5 ,2 ,6(3P 。试问：①该三角形是否是直角三角形；②该三角形的面积是多少？

解由题意知，三角形三个顶点的位置矢量分别为

z y e e P 21-=； z y x e e e P 342-+=；

z y x e e e P 5263++=

那么，由顶点P 1指向P 2的边矢量为

z e e P P x -=-412

同理，由顶点P 2指向P 3的边矢量由顶点P 3指向P 1的边矢量分别为

z y e e e P P x 8223++=-

z y e e e P P x 7631---=-

因两个边矢量0)()(2312=-?-P P P P ，意味该两个边矢量相互垂直，所以该三角形是直角三角形。

因

17142212=+=-P P 6981222223=++=-P P ，

所以三角形的面积为

11735.02

2312=--=P P P P S

1-4 已知矢量x y y e e A x +=，两点P 1及P 2的坐标位置分别为)1 ,1 ,2(1-P 及)1 ,2 ,8(2

-P 。若取P 1及P 2之间的抛物线22y x =或直线21P P 为积分路径，试求线积分

d p p l A 。

解 ①积分路线为抛物线。已知抛物线方程为22y x =, y y x d 4d =，则

()()

142d 6d 2d 4d d d 1

32221

-===+=+=?????

y y y y y y y y x x y P P P P P P P P l A ②积分路线为直线。

因1P ,2P 两点位于1-=z 平面内，过1P ,2P 两点的直线方程为()22

21---=

-x y ，即46+=x y ，y x d 6d =，则

()()

14412d 46d 6d 12

-=-=-+=???

y y y y y P P P P l A 。

1-5 设标量32yz xy +=Φ，矢量z y e e e A x -+=22，试求标量函数?在点)1 ,1 ,2(-处沿矢量A 的方向上的方向导数。

解已知梯度

2223)2(yz z xy y z

y x z y x z y x

e e e e e e +++=??+??+??=?Φ

ΦΦΦ 那么，在点)1 ,1 ,2

(-处? 的梯度为 z y x e e e 33--=?Φ

因此，标量函数?在点)1 ,1 ,2

(-处沿矢量A 的方向上的方向导数为 ()()13622233-=+-=-+?--=??z y x z y x e e e e e e A Φ

1-6 试证式（1-5-11），式（1-5-12）及式（1-5-13）。

证明式（1-5-11）为()ΦψψΦΦψ?+?=?，该式左边为

()()()()ΦψΦψΦψΦψz

y x z y ??+??+??

=?e e e x

??? ????+??+???

????+??+???

????+??=z z y y x x

z y ψΦΦψψΦΦψψΦ

ψe e e x ???

????+??+??+???? ????+??+??=z y x z y x z y z y ψψψΦΦΦΦψe e e e e e x x ΦψψΦ?+?= 即，

()ΦψψΦΦψ?+?=?。

根据上述复合函数求导法则同样可证式（1-5-12）和式（1-5-13）。

1-7 已知标量函数z e y x -???

????? ?

?=3sin 2sin ππΦ，试求该标量函数? 在点P (1,2,3)处的最大变化

率及其方向。

解标量函数在某点的最大变化率即是函数在该点的梯度值。已知标量函数?的梯度为

y x z y ??+??+??=?Φ

ΦΦΦe e e x

那么

z y z e y x e y x --??

? ?

??? ??+??

????? ??

=?3cos

2sin

33sin 2cos 2ππππππΦe e x

z z e y x -??

? ?

???? ??-3sin

2sin

ππe 将点P (1,2,3) 的坐标代入，得()3

----=?e e z

P e e π

Φ。那么，在P 点的最大变化率为 276

236

2333

+=--=?---ππ

e e e

e e P 点最大变化率方向的方向余弦为

0cos =α；

cos 2

+-=ππβ； 27

cos 2

=πγ

1-8 若标量函数为

z y x xy z y x 62332222--++++=Φ

试求在)1 ,2 ,1(-P 点处的梯度。解已知梯度z

y x z y ??+??+??=?Φ

ΦΦΦe e e x

，将标量函数?代入得 ()()()662432-+-++++=?z x y y x z y e e e x Φ

再将P 点的坐标代入，求得标量函数? 在P 点处的梯度为

()y P e e x 93-=?Φ

1-9 试证式（1-6-11）及式（1-6-12）。

证明式（1-6-11）为()A A ??=??C C ，该式左边为

()()()()A A ??=???

? ????+??+??=??

+??+??=??C z A y A x A C CA z CA y CA x C z y x z y x 即 ()A A ??=??C C

式（1-6-12）为()ΦΦΦ??+??=??A A A ，该式左边为

()()()()z y x A z

A y A x ΦΦΦΦ??+??+??

??A z

A z A y A y A x A x A z z y y x x ??+??+??+??+??+??=ΦΦ

ΦΦΦΦ

ΦΦ??+??=A A ；即

()ΦΦΦ??+??=??A A A

1-10 试求距离||21r r -在直角坐标、圆柱坐标及圆球坐标中的表示式。解在直角坐标系中

()()()21221221221z z y y x x -+-+-=

-r r

在圆柱坐标系中，已知φcos r x =，φsin r y =，z z =，因此

()()()212211222112221sin sin cos cos z z r r r r -+-+-=

-φφφφr r

()()2

1212122122cos 2z z r r r r -+--+=φφ

在球坐标系中，已知φθcos sin r x =,φθsin sin r y =,θcos r z =,因此

()()()2

11222111222211122221cos cos sin sin sin sin cos sin cos sin θθφθφθφθφθr r r r r r -+-+-=

-r r ()[]121212122122cos cos cos sin sin 2θθφφθθ+--+=r r r r

1-11 已知两个位置矢量1r 及2r 的终点坐标分别为),,(111φθr 及),,(222φθr ，试证1r 与2r 之间的夹角??为

212121cos cos )cos(sin sin cos θθφφθθγ+-=

证明根据题意，两个位置矢量在直角坐标系中可表示为

111111111cos sin sin cos sin θφθφθr r r z y x e e e r ++= 222222222cos sin sin cos sin θφθφθr r r z y x e e e r ++=

已知两个矢量的标积为γcos 2121r r r r =?，这里?为两个矢量的夹角。因此夹角?为

1cos r r r r ?=

γ 式中

)

cos cos sin sin sin sin cos sin cos (sin 21221122112121θθφθφθφθφθ++=?r r r r

2121r r =r r

因此，

1212121212121cos cos )cos(sin sin cos cos )sin sin cos (cos sin sin cos θθφφθθθθφφφφθθγ+-=++=

1-12试求分别满足方程式()0)(1=??r r f 及()0)(2=??r r f 的函数)(1r f 及)(2r f 。解在球坐标系中，为了满足

()[]()[]()()()0311111=+??=??+??=??r f r

r f r

r f r f r f r r r

即要求()()03d d 11=+r f r

r f r

()()r r

r f r f d 3d 11-=?，求得

()C r r f ln ln 3ln 1+-=

即

()31r

r f =

在球坐标系中，为了满足

()[]()[]()0222=??+??=??r r r r f r f r f

由于()[]02=??r r f ，0=??r ，即上式恒为零。故()r f 2可以是r 的任意函数。

1-13 试证式（1-7-11）及式（1-7-12）。

证明 ①式（1-7-11）为()A A ??=??C C （C 为常数）令z y x e e e A z y x A A A ++=， z z y y x x CA CA CA C e e e A ++=，则

()A e e e e e e A ??=??

????=??????

??C A A A z y x C CA CA CA z y x C z

y x z y

x z y x z y x

②式（1-7-12）为()A A A ??+??=??ΦΦΦ 令z y x e e e A z y x A A A ++=，z z y y x x A A A e e e A ΦΦΦΦ++=，则

()()()x y z z

y x z

y x A z A y A A A z y x e e e e A ????????

-??=??????=??ΦΦΦΦΦΦ

()()()()z x y y x z A y A x A z A x e e ??

??????-??+???

?????-??-ΦΦΦΦ

z x y y x z x y z A y A x A z A x A z A y e e e ???? ????-??+??? ????-??-???? ????-??=ΦΦΦΦ

ΦΦ z x y y x z x y z y A x A z A x A z A y A e e e ???

? ????-??+???

????-??-???? ????-??+ΦΦΦ A A ??+??=ΦΦ

若将式（1-7-12）的右边展开，也可证明。

1-14 试证 0=??r ，0=??? ????r r 及03=??

????r r 。

证明已知在球坐标系中，矢量A 的旋度为

φθθφθθθA r rA A r r r r r

sin sin sin 2??

????

??e e e A 对于矢量r ，因r A r =，0=θA ，0=φA ，代入上式，且因r 与角度?，?无关，那么，由上式获知0=??r 。

对于矢量r r ，因1=r A ，0=θA ，0=φA ，显然0=??

????r r 。对于矢量

3r r ，因21r

A r =，0=θA ，0=φA ，同理获知 03=??

????r r 。 1-15 若C 为常数，A 及k 为常矢量，试证： ① r k r k k ??=?c c e C e ； ② r k r k A k A ???=??c c e C e )(；

③ r k r k A k A ???=??c c e C e )(。

证明 ①证明r k r k k ??=?C C e C e 。利用公式()()ΦΦΦ?'=?F F ，则

()()r k r k r k r k r k ??=??=????C C C Ce C e e

而()()k e e e r k =++=++?=??z z y y x x z y x k k k z k y k x k 求得 r k r k k ??=?C C e C e 。

②证明()r k r k A k A ???=??C C e C e 。

利用公式()ΦΦΦ??+??=??A A A ，则

()()()

r k r k r k r k A A A A ??????=??+??=??C C C C e e e e

再利用①的结果，则

()

r k r k A k A ???=??C C e C e

③证明()r k r k A k A ???=??C C e C e 。

利用公式()A A A ??+??=??ΦΦΦ，则

()()()

A A A A r k r k r k r k ??=??+??=??????C C C C e e e e

再利用①的结果，则

()

r k r k A k A ???=??C C e C e 。

1-16 试证 r e k r e kr

kr --=???

? ???22

，式中k 为常数。证明已知在球坐标系中

22222

sin 1sin sin 11φΦ

θθΦθθθΦΦ??+??? ??????+??? ??????=?r r r r r r 则

?????

????? ??????=???? ???--r e r r r r r e kr kr 222

1????????? ??--??=--kr kr e r k e r r r r 22211

()kr kr kre e r r ----??=21()()()[]

kr e

k kr e k r

---+---=112r e k kr

-=2 即

r e k r e kr

kr --=???? ???22

1-17 试证 2||2

)()(E E E E E ?-??=???

证明利用公式

()()()()()A B B A A B B A B A ???+???+??+??=??

令上式中的E B A ==，则

()()()()E E E E E E E E E ???-??=???+??=?22222

将上式整理后，即得

()()22

1E E E E E ?-??=???。

1-18 已知矢量场F 的散度)(r F δq =??，旋度0=??F ，试求该矢量场。解根据亥姆霍兹定理，()()()r A r r F ??+-?=Φ，其中

()()V ΦV ''-'??'=

?'d 41r r r F r π

；()()

V V ''-'??'=?'d 41

r r r F r A π

当0=??F 时，则()0=r A ，即()()r r F Φ-?=。那么因()r F δq =??，求得

()()r

V q ΦV πδπ

4d 41=''-'=

?'r r r r 则

()()r

Φe r r F 24π=

-?= 1-19 已知某点在圆柱坐标系中的位置为??

??3 ,32 ,4π，试求该点在相应的直角坐标系及圆

球坐标系中的位置。

解已知直角坐标系和圆柱坐标系坐标变量之间的转换关系为

φcos r x =，φsin r y =，z z =

因此，该点在直角坐标下的位置为

232cos 4-=??

??=πx ;

3232sin 4=??

??=πy ; z = 3

同样，根据球坐标系和直角坐标系坐标变量之间的转换关系，

z y x r ++=；z

y x 22arctan

+=θ；x y arctan =φ 可得该点在球坐标下的位置为

5=r ； ο533

arctan ≈=θ；

ο120=φ

1-20 已知直角坐标系中的矢量z y c b a e e e A x ++=，式中a , b , c 均为常数，A 是常矢量吗？试求该矢量在圆柱坐标系及圆球坐标系中的表示式。

解由于A 的大小及方向均与空间坐标无关，故是常矢量。

已知直角坐标系和圆柱坐标系坐标变量之间的转换关系为

22y x r +=；x y

arctan =φ； z z =

求得 22b a r +=；a

arctan =φ； c z =

sin b

a b +=

φ；2

cos b

a a +=

又知矢量A 在直角坐标系和圆柱坐标系中各个坐标分量之间的转换关系为

????

??????????????

??-=??????????z y x z r A A A A A A 10

0cos sin 0sin cos φφφφφ

将上述结果代入，求得

????????????+=????????????

?????

????

???

?++-++=??????????c b a c b a b a a b a b b a b b

a a A A A z r 010

0022222

2φ 即该矢量在圆柱坐标下的表达式为

c b a z r e e A ++=22

直角坐标系和球坐标系的坐标变量之间的转换关系为

z y x r ++=；???

?+=z y x 2

2arctan θ；??? ??=x y arctan φ 由此求得

c b a r ++=；???

?+=c b a 2

2arctan θ；??? ??=a b arctan φ 矢量A 在直角坐标系和球坐标系中各个坐标分量之间的转换关系为

???

???????????

??--=??????????z y x r A A A A A A 0cos sin sin sin cos cos cos cos sin sin cos sin φ

θφθφθθφθφ

θφθ

求得

?????

???

???++=????????????????

??--=??????????000cos sin sin sin cos cos cos cos sin sin cos sin 222c b a c b a A A A r φ

θφθφθθφθφ

θφθ 即该矢量在球坐标下的表达式为 222c b a r ++=e A 。

1-21 已知圆柱坐标系中的矢量z r c b a e e e A ++=φ，式中a , b , c 均为常数，A 是常矢量吗？试求A ??及A ??以及A 在相应的直角坐标系及圆球坐标系中的表示式。

解因为虽然a , b , c 均为常数，但是单位矢量e r 和e ?均为变矢，所以A 不是常矢量。

已知圆柱坐标系中，矢量A 的散度为

()z

A A r rA r r z

r ??+??+??=??φφ11A 将z r c b a e e e A ++=φ代入，得 ()r

a ar r r =++??

=??001A 矢量A 的旋度为 z

r z

A rA A z

r r

r ?

φ????

??=

??e e e A z z r r b c

a z r r r e e e e =????

??=φφ 已知直角坐标系和圆柱坐标系坐标变量之间的转换关系为

φcos r x =; φsin r y =; z z =

y x x =

2cos φ; a

y y x y =

+=2

2sin φ 又知矢量A 在直角坐标系和圆柱坐标系中各个坐标分量之间的转换关系为

????

????????????????-=??????????z r z y x A A A A A A φφφφφ10

0cos sin 0sin cos

将上述接结果代入，得

???

?????

?????+-=??????????????????

?????

?-=??????????c x a b y y a b x c b

a a x a y a y

a x

A A A z y x 10

000 即该矢量在直角坐标下的表达式为

z y x c x a b y y a b x e e e A +??? ?

++??? ?

=，其中222a y x =+。

矢量A 在圆柱坐标系和球坐标系中各个坐标分量之间的转换关系

???

???????????????-=??????????z r r A A A A A A φφθθθθθ

010

sin 0cos cos 0

sin

以及r a =

θsin ，r

=θcos ，求得 ????

?????=????????????????+=?????????????????

?????????-=??????????b r b r c a c b a r a r c

r c r a A A A r 0001000

22φθ

即该矢量在球坐标下的表达式为φe e A b r r +=。

1-22 已知圆球坐标系中矢量φθe e e A c b a r ++=，式中a , b , c 均为常数，A 是常矢量吗？试求A ??及A ??，以及A 在直角坐标系及圆柱坐标系中的表示式。

解因为虽然a , b , c 均为常数，但是单位矢量e r ，e ?，e ?均为变矢，所以A 不是常矢量。

在球坐标系中，矢量A 的散度为

()()???

? ????+??

??=??φθθθθφ

θA r A r A r r r r sin 1sin sin 1122A 将矢量A 的各个分量代入，求得θcot 2r

r a +=??A 。矢量A 的旋度为

φθθφθθθA r rA A r r r r r r sin sin sin 2??

????

??e e e A φφ

θθφθθθe e e e r b

r rb

a r r r r r =??????=

sin sin sin 2 利用矢量A 在直角坐标系和球坐标系中各个坐标分量之间的转换关系

????

???????????

??--=??????????φθθ

φφθφθφφθφθA A A A A A r z y x 0sin cos cos sin cos sin sin sin cos cos cos sin

以及????

???+=+=2222sin cos y x y y x x φφ，???

????=++=+=+++=a z z y x z a y x z y x y x 2222222222cos sin θθ，求得该矢量在直角坐标下的表达式为

z y

x a y x b z y x cx y x a byz y y x cy y x a bxz x e e e A ???

? ??+-

+???

? ??+++++???? ??+-++=2222222222

利用矢量A 在圆柱坐标系和球坐标系中各个坐标分量之间的转换关系 ?????

????????-+=?????????????????

?????-=????????????????????-=??????????r a b z c z a b r c b a a

r a

z a z

a r

A A A A A A r z r 0100

00sin cos 1000cos sin φθφθ

θθ 求得其在圆柱坐标下的表达式为

z r r a b z c z a b r e e e A ??? ?

-++??? ??+=φ。

1-23 若标量函数z xy z y x 21),,(=Φ，??Φsin ),,(2rz z x =，2

3sin ),,(r

r θ?θΦ=

，试求12Φ?，22

Φ?及32Φ?。

解 xz xz z

y x 20202

221221212

=++=??+??+??=?ΦΦΦΦ

22222222

11z

r r r r r ??+???? ????+??? ??????=?ΦφΦΦΦ ()()0sin 1sin 12=-+??

φφrz r

rz r r ???

????+?

?? ??????+??? ??????=?232223232232

sin 1

sin sin 11φΦθθΦθθθΦΦr r r r r r

0cos sin sin 1sin 2122322+??

? ????+??? ??-??=

r r r r r r θθθθθ θ

θθθθsin 1

sin sin cos sin 244224r r r =-+=

1-24 若 z y y x z x z xy z y x e e e A x 22332),,(++=

???sin cos ),,(32r e e A z r r z r +=

θθθ?θφθ

cos 1

sin 1sin ),,(2r

r r r r e e e A ++= 试求A ??，A ??及A 2?。

解 ①323200z y z y z

A y A x A z

y x =++=??+??+??=??A ； 2

2332y x z x z xy z y x A A A z y x z y x z y x z y x

????=??????

??e e e e e e A ()()()z y x xyz z x xy z xy x y x e e e 322223223232-+-+-=； z z y y x x A A A 2222?+?+?=?e e e A

()()z y x x y xz z xy xz e e e 222322662++++=；

② ()z A A r rA r r z r ??+??+??=??φφ11A ()

φφcos 30cos 13

r r r

r =+??= φ

φφφ?

φsin 0

cos 2

r r z r

r r A rA A z r r r z r z r

z r ??

????=??????

??e e e e e e A ()()()

φφφφ

φφφφsin sin 2cos sin sin 2cos 22r r r r r

r r r z r z r e e e e

e e +-=+-+=

z z r r r r A A r r A A A r r A A 2

222222222?+???? ????+-?+???? ????--?=?e e e A φφφφφφ φφφφsin 3sin 2cos 2z r e e e +-=；（此处利用了习题26中的公式） ③ ()()???

? ????+??+??=

??φθ

θθθφ

A r A r A r r r r sin 1sin sin 1122A ()()

0sin sin 1sin 12

132

+??+??=

-θθ

θθr r r r r 2cos 2sin 3r θ

θ+=； θ

θθ

φθθθθφθθθφ

φθφ

θcos sin sin sin sin sin sin sin sin 1

22-??

????

=??????

??r r r r r r A r rA A r r r r r

r r e e e e e e A

??--+??? ??+??? ??-=θθθθφθcos sin cos 2sin 233

r r r

r e e e ??

? ??

+-+-=233sin cos cos 2sin r r r r

θθθθφθe e e ； ()?????

???-??

--?=?φθθθθφθA r A r A r A r r r sin 2sin sin 2222222e A

???

?????-??+-?+φθθθθφθθθA r A r r A A r 222222sin cos 22sin e

?????+??+-?+φθθφθθθφφφA r A r r A A r 222222sin cos 2sin 2sin e

将矢量A 的各个坐标分量代入上式，求得

θθθθθθθφθ24332sin cos sin 2cos 2cos 4sin 2cos r r r r r r e e e A -??

???-+??????-=? 1-25 若矢量21 ,cos 32<<=r r

e A ，试求???V V d A ，式中V 为A 所在的区域。解在球坐标系中，φθθd d d sin d 2r r V =，

()()???

? ????+??

??=??φθ

θθθφ

θA r A r A r r r r sin 1sin sin 1122A 将矢量A 的坐标分量代入，求得

?????-=???? ?

?-=??ππθφθφφ200212

42d sin cos d d d cos d r r r V r V V V A

-=ππ

θθφ

φ20

2d sin 2

cos d ?-=-=ππφφ202d cos

1-26 试求

r d )sin 3(S e θ，式中S 为球心位于原点，半径为5的球面。

解利用高斯定理，V V

d d ????=?A S A ，则

V V

d d ????=?A S A ???

=ππθθθφ20

d sin sin 6d d r r r

275π=

(完整版)电磁场与电磁波答案(第四版)谢处方

一章习题解答 1.1 给定三个矢量A 、B 和C 如下： 23x y z =+-A e e e 4y z =-+B e e 52x z =-C e e 求：（1）A a ；（2）-A B ；（3）A B g ；（4）AB θ；（5）A 在B 上的分量；（6）?A C ；（7）()?A B C g 和()?A B C g ；（8）()??A B C 和()??A B C 。解（1 ）23A x y z +-= ==-e e e A a e e e A （2）-=A B (23)(4)x y z y z +---+=e e e e e 64x y z +-=e e e （3）=A B g (23)x y z +-e e e (4)y z -+=e e g －11 （4）由 cos AB θ ===A B A B g ，得 1cos AB θ- =(135.5=o （5）A 在B 上的分量 B A =A cos AB θ ==A B B g （6）?=A C 1 235 02x y z -=-e e e 41310x y z ---e e e （7）由于?=B C 04 1502x y z -=-e e e 8520x y z ++e e e ?=A B 123041 x y z -=-e e e 1014x y z ---e e e 所以 ()?=A B C g (23)x y z +-e e e g (8520)42x y z ++=-e e e ()?=A B C g (1014)x y z ---e e e g (52)42x z -=-e e （8）()??=A B C 1014502x y z ---=-e e e 2405x y z -+e e e ()??=A B C 1 238 5 20 x y z -=e e e 554411x y z --e e e

电磁场与电磁波理论概念归纳

A．电磁场理论B基本概念 1．什么是等值面？什么是矢量线？等值面——所有具有相同数值的点组成的面 ★空间中所有的点均有等值面通过； ★所有的等值面均互不相交； ★同一个常数值可以有多个互不相交的等值面。矢量线（通量线）---- 一系列有方向的曲线。线上每一点的切线方向代表该点矢量场方向，而横向的矢量线密度代表该点矢量场大小。例如，电场中的电力线、磁场中的磁力线。 2．什么是右手法则或右手螺旋法则？本课程中的应用有哪些？（图）右手定则是指当食指指向矢量A的方向，中指指向矢量B的方向，则大拇指的指向就是矢量积C=A*B的方向。右手法则又叫右手螺旋法则，即矢量积C=A*B的方向就是在右手螺旋从矢量A转到矢量B的前进方向。本课程中的应用： ★无限长直的恒定线电流的方向与其所产生的磁场的方向。 ★平面电磁波的电场方向、磁场方向和传播方向。 3．什么是电偶极子？电偶极矩矢量是如何定义的？电偶极子的电磁场分布是怎样的？电偶极子——电介质中的分子在电场的作用下所形成的一对等值异号的点电荷。电偶极矩矢量——大小等于点电荷的电量和间距的乘积，方向由负电荷指向正电荷。

4.麦克斯韦积分和微分方程组的瞬时形式和复数形式；积分形式：微分方式：（1）安培环路定律（2）电磁感应定律（3）磁通连续性定律（4）高斯定律 5.结构方程

6.什么是电磁场边界条件？它们是如何得到的？（图）边界条件——由麦克斯韦方程组的积分形式出发，得到的到场量在不同媒质交界面上应满足的关系式（近似式）。边界条件是在无限大平面的情况得到的，但是它们适用于曲率半径足够大的光滑曲面。 7.不同媒质分界面上以及理想导体表面上电磁场边界条件及其物理意义；（1）导电媒质分界面的边界条件 ★ 导电媒质分界面上不存在传导面电流，但可以有面电荷。在不同媒质分界面上，电场强度的切向分量、磁场强度的切向分量和磁感应强度的法向分量永远是连续的（2）理想导体表面的边界条件 ★ 理想导体内部，时变电磁场处处为零。导体表面可以存在时变的面电流和面电荷。

电磁场与电磁波课后习题及答案六章习题解答

第六章时变电磁场 6.1 有一导体滑片在两根平行的轨道上滑动，整个装置位于正弦时变磁场 5cos mT z e t ω=B 之中，如题6.1图所示。滑片的位置由0.35(1cos )m x t ω=-确定，轨道终端接有电阻0.2R =Ω，试求电流i. 解穿过导体回路abcda 的磁通为 5cos 0.2(0.7) cos [0.70.35(1cos )]0.35cos (1cos )z z d B ad ab t x t t t t ωωωωωΦ==?=?-=--=+? B S e e 故感应电流为 11 0.35sin (12cos ) 1.75sin (12cos )mA in d i R R dt t t t t R ωωωωωωΦ = =-=-+-+E 6.2 一根半径为a 的长圆柱形介质棒放入均匀磁场0z B =B e 中与z 轴平行。设棒以角速度ω绕轴作等速旋转，求介质内的极化强度、体积内和表面上单位长度的极化电荷。解介质棒内距轴线距离为r 处的感应电场为 00z r r r B φωω=?=?=E v B e e B e 故介质棒内的极化强度为 00000(1)()e r r r r B r B εεεωεεω==-=-P E e e X 极化电荷体密度为 200 00 11()()2()P rP r B r r r r B ρεεωεεω?? =-??=- =--??=--P 极化电荷面密度为 0000()()P r r r a e r a B σεεωεεω==?=-?=-P n B e 则介质体积内和表面上同单位长度的极化电荷分别为 220020012()212()P P PS P Q a a B Q a a B πρπεεωπσπεεω=??=--=??=- 6.3 平行双线传输线与一矩形回路共面，如题6.3图所示。设0.2a m =、0.1m b c d ===、7 1.0cos(210)A i t π=?，求回路中的感应电动势。

电磁场与电磁波理论基础自学指导书

电磁场与电磁波理论基础自学指导书课程简介：电磁场理论是通信技术的理论基础，是通信专业本科学生必须具备的知识结构的重要组成部分之一。使学生掌握电磁场的有关定理、定律、麦克斯韦方程等的物理意义及数学表达式。使学生熟悉一些重要的电磁场问题的数学模型（如波动方程、拉氏方程等）的建立过程以及分析方法。培养学生正确的思维方法和分析问题的能力，使学生对"场"与"路"这两种既密切相关又相距甚远的理论有深刻的认识，并学会用"场"的观点去观察、分析和计算一些简单、典型的场的问题。为以后的学习和工作打下坚实的理论基础。第一章矢量分析场论初步 1主要内容本章从矢量分析入手，介绍了标量场和矢量场的基本概念，学习了矢量的通量、散度以及散度定理，矢量的环流、旋度以及斯托克斯定理，标量的梯度，以及上述的物理量在圆柱和球坐标系下的表达形式，最后介绍了亥姆霍兹定理，该定理说明了研究一个矢量场从它的散度和旋度两方面入手。通过本章的学习，使学生掌握场矢量的散度、旋度和标量的梯度的概念和数学计算为以后的电磁场分析打下基础。 2学习要求深刻理解标量场和矢量场的概念；深刻理解散度、旋度和梯度的概念、物理意义及相关定理；熟练使用直角坐标、圆柱坐标和球坐标进行矢量的微积分运算；了解亥姆霍兹定理的内容。 3重点及难点重点：在直角坐标、圆柱坐标和球坐标中计算矢量场的散度和旋度、标量场的梯度以及矢量的线积分、面积分和体积分。难点：正确理解和掌握散度、旋度和梯度的概念及定理，可以借助流体的流量和涡旋等自然界中比较具体而形象的相似问题来理解。 4思考题合作业 1.4, 1.8, 1.9, 1.11, 1.14, 1.16, 1.24 第二章静电场 1主要内容本章我们从点电荷的库仑定律发，推导出静电场的基本方程（微分表达及积分表达），该基本方程第一组与静电场的散度和通量有关（高斯定律），第二组有关静电场的环量和旋度，推导的过程运用了叠加原理。由静电场的基本方程中的环量和旋度的基本方程，我们引入了电位的概念，并给出了电场强度与电位之间的关系以及电位的计算公式。运用静电场的基本方程及电位可以解决静电场中的场源互求问题（已知源求场或已知场求源）。然后介绍了电偶极子的概念，推导了电偶极子的电场强度与电位的表达式。接着介绍了介质的极化，被极化的分子可等效为电偶极子，所以介质极化产生的电位就可以借用电偶极子的相关结论。由极化介质的电位公式我们推导了介质中的高斯定律，在该定律中引入了一个新的量—

电磁场与电磁波试题及答案

1.麦克斯韦的物理意义：根据亥姆霍兹定理，矢量场的旋度和散度都表示矢量场的源。麦克斯韦方程表明了电磁场和它们的源之间的全部关系：除了真实电流外，变化的电场（位移电流）也是磁场的源；除电荷外，变化的磁场也是电场的源。 1. 写出非限定情况下麦克斯韦方程组的微分形式，并简要说明其物理意义。 2.答非限定情况下麦克斯韦方程组的微分形式为,,0,D B H J E B D t t ρ????=+ ??=-??=??=??，(3分)（表明了电磁场和它们的源之间的全部关系除了真实电流外，变化的电场（位移电流）也是磁场的源；除电荷外，变化的磁场也是电场的源。 1.简述集总参数电路和分布参数电路的区别： 2.答：总参数电路和分布参数电路的区别主要有二：（1）集总参数电路上传输的信号的波长远大于传输线的几何尺寸；而分布参数电路上传输的信号的波长和传输线的几何尺寸可以比拟。（2）集总参数电路的传输线上各点电压（或电流）的大小与相位可近似认为相同，无分布参数效应；而分布参数电路的传输线上各点电压（或电流）的大小与相位均不相同，呈现出电路参数的分布效应。 1.写出求解静电场边值问题常用的三类边界条件。 2.答：实际边值问题的边界条件可以分为三类：第一类是整个边界上的电位已知，称为“狄利克莱”边界条件；第二类是已知边界上的电位法向导数，称为“诺依曼”边界条件；第三类是一部分边界上电位已知，而另一部分上的电位法向导数已知，称为混合边界条件。 1.简述色散效应和趋肤效应。 2.答：在导电媒质中，电磁波的传播速度（相速）随频率改变的现象，称为色散效应。在良导体中电磁波只存在于导体表面的现象称为趋肤效应。 1.在无界的理想媒质中传播的均匀平面波有何特性？在导电媒质中传播的均匀平面波有何特性？ 2. 在无界的理想媒质中传播的均匀平面波的特点如下：电场、磁场的振幅不随传播距离增加而衰减，幅度相差一个实数因子η（理想媒质的本征阻抗）；时间相位相同；在空间相互垂直，与传播方向呈右手螺旋关系，为TEM 波。在导电媒质中传播的均匀平面波的特点如下：电磁场的振幅随传播距离增加而呈指数规律衰减；电、磁场不同相，电场相位超前于磁场相位；在空间相互垂直，与传播方向呈右手螺旋关系，为色散的TEM 啵。 1. 写出时变电磁场在1为理想导体与2为理想介质分界面时的边界条件。 2. 时变场的一般边界条件 2n D σ=、20t E =、2t s H J =、20n B =。 (或矢量式2n D σ=、20n E ?=、 2s n H J ?=、20n B =) 1. 写出矢量位、动态矢量位与动态标量位的表达式,并简要说明库仑规范与洛仑兹规范的意义。 2. 答矢量位,0B A A =????=；动态矢量位A E t ??=-?- ?或A E t ??+=-??。库仑规范与洛仑兹规范的作用都是限制A 的散度，从而使A 的取值具有唯一性；库仑规范用在静态场，洛仑兹规范用在时变场。 1. 简述穿过闭合曲面的通量及其物理定义 2. s A ds φ=??? 是矢量A 穿过闭合曲面S 的通量或发散量。若Ф> 0，流出S 面的通量大于流入的通量，即通量由S 面内向外扩散，说明S 面内有正源若Ф< 0，则流入S 面的通量大于流出的通量，即通量向S 面内汇集，说明S 面内有负源。若Ф=0，则流入S 面的通量等于流出的通量，说明S 面内无源。 1. 证明位置矢量 x y z r e x e y e z =++ 的散度，并由此说明矢量场的散度与坐标的选择无关。 2. 证明在直角坐标系里计算，则有 ()()x y z x y z r r e e e e x e y e z x y z ? ? ?????=++?++ ?????? 3x y z x y z ???= ++=??? 若在球坐标系里计算，则 23 22 11()()()3r r r r r r r r r ????= ==??由此说明了矢量场的散度与坐标的选择无关。

电磁场与电磁波(第四版)习题解答

电磁场与电磁波(第四版）习题解答第1章习题习题1．1 给定三个矢量A 、B 和C 如下: 23 x y z =+-A e e e ． 4y z =-+B e e ， 52x z =-C e e , 解: (1 ）22323) 12(3)A x y z e e e A a e e e A +-= = = +-++- （2 ）2641x y z A B e e e -=+-==(3)(23)(4)11x y z y z A B e e e e e ?=+-?-+=- （4）arccos 135.5A B AB θ?===? (５)1711 cos -=?=??==B B A A B B A A A A AB B θ (６）1 2341310502 x y z x Y Z e e e A C e e e ?=-=---- (７)0 4185205 02 x y z x Y Z e e e B C e e e ?=-=++- ()(23)(8520)42x Y Z x Y Z A B C e e e e e e ??=+-?++=- 1 23104041 x y z x Y Z e e e A B e e e ?=-=---- ()(104)(52)42x Y Z x Z A B C e e e e e ??=---?-=- (8）()10142405502 x y z x Y Z e e e A B C e e e ??=---=-+-

()1 235544118520 x y z x Y Z e e e A B C e e e ??=-=-- 习题1．4给定两矢量 234x y z =+-A e e e 和 456x y z =-+B e e e ,求它们之间的夹角和 A 在Ｂ上的分量。解： 29)4(32222=-++=A 776)5(4222=+-+=B 31)654()432(-=+-?-+=?z y x z y x e e e e e e B A 则A 与B 之间的夹角为 131772931cos =???? ???-=???? ? ? ???=ar B A B A arcis AB θ A 在B 上的分量为 532.37731cos -=-=?=???==B B A B A B A A A A AB B θ 习题1.９用球坐标表示的场2 25r r =E e ， (1）求在直角坐标中点(3,4,5)--处的E 和x E ； (2）求在直角坐标中点(3,4,5) --处E 与矢量2 2x y z = -+B e e e 构成的夹角。解: (１)由已知条件得到，在点（－3，４,-5）处， r ===2 2525 0.550 E r = == 2 105 43252532z y x r e e e r r r e E -+-===

电磁场与电磁波答案(无填空答案).

电磁场与电磁波复习材料简答 1．简述恒定磁场的性质，并写出其两个基本方程。 2．试写出在理想导体表面电位所满足的边界条件。 3．试简述静电平衡状态下带电导体的性质。答：静电平衡状态下，带电导体是等位体，导体表面为等位面；（2分）导体内部电场强度等于零，在导体表面只有电场的法向分量。（3分） 4．什么是色散？色散将对信号产生什么影响？答：在导电媒质中，电磁波的传播速度随频率变化的现象称为色散。（3分）色散将使信号产生失真，从而影响通信质量。（2分） 5．已知麦克斯韦第二方程为t B E ??- =?? ，试说明其物理意义，并写出方程的积分形式。 6．试简述唯一性定理，并说明其意义。 7．什么是群速？试写出群速与相速之间的关系式。

8．写出位移电流的表达式，它的提出有何意义？ 9．简述亥姆霍兹定理，并说明其意义。答：当一个矢量场的两类源(标量源和矢量源)在空间的分布确定时，该矢量场就唯一地确定了，这一规律称为亥姆霍兹定理。（3分）亥姆霍兹定理告诉我们，研究任意一个矢量场（如电场、磁场等），需要从散度和旋度两个方面去研究，或者是从矢量场的通量和环量两个方面去研究 10．已知麦克斯韦第二方程为S d t B l d E S C ???-=???，试说明其物理意义，并写出方程的微分形式。答：其物理意义：随时间变化的磁场可以产生电场。（3分）方程的微分形式： 11．什么是电磁波的极化？极化分为哪三种？答：电磁波的电场强度矢量的方向随时间变化所描绘的轨迹称为极化。（2分）极化可以分为：线极化、圆极化、椭圆极化。 12．已知麦克斯韦第一方程为 t D J H ??+ =?? ，试说明其物理意义，并写出方程的积分形式。

电磁场与电磁波(第三版)课后答案第1章

第一章习题解答 1.1 给定三个矢量A 、B 和C 如下： 23x y z =+-A e e e 4y z =-+B e e 52x z =-C e e 求：（1）A a ；（2）-A B ；（3）A B ；（4）A B θ；（5）A 在B 上的分量；（6）?A C ；（7）()?A B C 和()?A B C ；（8）()??A B C 和()??A B C 。解（1 ）23A x y z +-= = =e e e A a e e e A （2）-=A B (23)(4)x y z y z +---+=e e e e e 64x y z +-=e e e （3）=A B (23)x y z +-e e e (4)y z -+=e e －11 （ 4 ）由 c o s AB θ =1 1 2 3 8 = A B A B ，得 1 c o s A B θ- =(135.5- = （5）A 在B 上的分量 B A =A c o s AB θ = =- A B B （6）?=A C 1 235 02x y z -=-e e e 41310x y z ---e e e （7）由于?=B C 04 1502x y z -=-e e e 8520x y z ++e e e ?=A B 1 230 4 1 x y z -=-e e e 1014x y z ---e e e 所以 ()?=A B C (23)x y z +-e e e (8520)42x y z ++=-e e e ()?=A B C (1014)x y z ---e e e (52)42x z -=-e e （8）()??=A B C 1014502 x y z ---=-e e e 2405x y z -+e e e ()??=A B C 1 238 5 20 x y z -=e e e 554411x y z --e e e 1.2 三角形的三个顶点为1(0,1,2)P -、2(4,1,3)P -和3(6,2,5)P 。（1）判断123P P P ?是否为一直角三角形；（2）求三角形的面积。

电磁场与电磁波试题集

《电磁场与电磁波》试题1 填空题（每小题1分，共10分） 1．在均匀各向同性线性媒质中，设媒质的导磁率为μ ，则磁感应强度B 和磁场H 满足的方程为：。 2．设线性各向同性的均匀媒质中， 02=?φ称为方程。 3．时变电磁场中，数学表达式H E S ?=称为。 4．在理想导体的表面，的切向分量等于零。 5．矢量场 )(r A 穿过闭合曲面S 的通量的表达式为：。 6．电磁波从一种媒质入射到理想表面时，电磁波将发生全反射。 7．静电场是无旋场，故电场强度沿任一条闭合路径的积分等于。 8．如果两个不等于零的矢量的等于零，则此两个矢量必然相互垂直。 9．对平面电磁波而言，其电场、磁场和波的传播方向三者符合关系。 10．由恒定电流产生的磁场称为恒定磁场，恒定磁场是无散场，因此，它可用函数的旋度来表示。二、简述题（每小题5分，共20分） 11．已知麦克斯韦第二方程为 t B E ??-=?? ，试说明其物理意义，并写出方程的积分形式。 12．试简述唯一性定理，并说明其意义。 13．什么是群速？试写出群速与相速之间的关系式。 14．写出位移电流的表达式，它的提出有何意义？三、计算题（每小题10分，共30分） 15．按要求完成下列题目（1）判断矢量函数y x e xz e y B ??2+-= 是否是某区域的磁通量密度？（2）如果是，求相应的电流分布。 16．矢量z y x e e e A ?3??2-+= ，z y x e e e B ??3?5--= ，求（1）B A + （2）B A ? 17．在无源的自由空间中，电场强度复矢量的表达式为（1）试写出其时间表达式；（2）说明电磁波的传播方向；四、应用题（每小题10分，共30分） 18．均匀带电导体球，半径为a ，带电量为Q 。试求（1）球内任一点的电场强度（2）球外任一点的电位移矢量。

电磁场与电磁波理论(第二版)(徐立勤,曹伟)第2章习题解答

第2章习题解答 2.2已知半径为a 、长为l 的圆柱体内分布着轴对称的体电荷，已知其电荷密度()0V a ρρρρ =， ()0a ρ≤≤。试求总电量Q 。解：2π20000 2d d d d π3 l a V V Q V z la a ρρ ρρρ?ρ= ==? ? ?? 2.3 半径为0R 的球面上均匀分布着电荷，总电量为Q 。当球以角速度ω绕某一直径(z 轴)旋转时，试求其表面上的面电流密度。解：面电荷密度为 2 04πS Q R ρ= 面电流密度为 002 00 sin sin sin 4π4πS S S Q Q J v R R R R ωθ ρρωθωθ=?== = 2.4 均匀密绕的螺旋管可等效为圆柱形面电流0S S J e J ?=。已知导线的直径为d ，导线中的电流为0I ，试求0S J 。解：每根导线的体电流密度为 00 22 4π(/2)πI I J d d = = 由于导线是均匀密绕，则根据定义面电流密度为 04πS I J Jd d == 因此，等效面电流密度为 04πS I J e d ?= 2.6 两个带电量分别为0q 和02q 的点电荷相距为d ，另有一带电量为0q 的点电荷位于其间。为使中间的点电荷处于平衡状态，试求其位置。当中间的点电荷带电量为-0q 时，结果又如何？解：设实验电荷0q 离02q 为x ，那么离0q 为x d -。由库仑定律，实验电荷受02q 的排斥力为 12 214πq F x ε= 实验电荷受0q 的排斥力为 022 1 4π()q F d x ε= - 要使实验电荷保持平衡，即21F F =，那么由0022 211 4π4π() q q x d x εε=-，可以解得 d d x 585.01 22=+= 如果实验电荷为0q -，那么平衡位置仍然为d d x 585.01 22=+=。只是这时实验电荷与0q 和02q 不是排斥力，而是吸引力。 2.7 边长为a 的正方形的三个顶点上各放置带电量为0q 的点电荷，试求第四个顶点上的电场强度E 。解：设点电荷的位置分别为()00,0,0q ，()0,0,0q a 和()00,,0q a ，由库仑定律可得点(),,0P a a 处的电场为 ( ) ( 00 2 22 00001114π4π4π221x y y x x y q q q E e e e e a a q e e εεε? =+++ ?+=+

电磁场与电磁波试题及答案

《电磁场与电磁波》试题2 一、填空题（每小题1分，共10分） 1．在均匀各向同性线性媒质中，设媒质的介电常数为ε，则电位移矢量D ?和电场E ? 满足的方程为：。 2．设线性各向同性的均匀媒质中电位为φ，媒质的介电常数为ε，电荷体密度为V ρ，电位所满足的方程为。 3．时变电磁场中，坡印廷矢量的数学表达式为。 4．在理想导体的表面，电场强度的分量等于零。 5．表达式()S d r A S ? ????称为矢量场)(r A ? ?穿过闭合曲面S 的。 6．电磁波从一种媒质入射到理想导体表面时，电磁波将发生。 7．静电场是保守场，故电场强度沿任一条闭合路径的积分等于。 8．如果两个不等于零的矢量的点积等于零，则此两个矢量必然相互。 9．对横电磁波而言，在波的传播方向上电场、磁场分量为。 10．由恒定电流产生的磁场称为恒定磁场，恒定磁场是场，因此，它可用磁矢位函数的旋度来表示。二、简述题（每小题5分，共20分） 11．试简述磁通连续性原理，并写出其数学表达式。 12．简述亥姆霍兹定理，并说明其意义。 13．已知麦克斯韦第二方程为S d t B l d E S C ???????-=???，试说明其物理意义，并写出方程的微分形式。 14．什么是电磁波的极化？极化分为哪三种？三、计算题（每小题10分，共30分） 15．矢量函数 z x e yz e yx A ??2+-=? ，试求（1）A ? ?? （2）A ? ?? 16．矢量 z x e e A ?2?2-=? ， y x e e B ??-=? ，求（1）B A ? ?- （2）求出两矢量的夹角

电磁场与电磁波试题答案

《电磁场与电磁波》试题1 一、填空题（每小题1分，共10分） 1．在均匀各向同性线性媒质中，设媒质的导磁率为，则磁感应强度和磁场满足的方程为：。 2．设线性各向同性的均匀媒质中，称为方程。 3．时变电磁场中，数学表达式称为。 4．在理想导体的表面，的切向分量等于零。 5．矢量场穿过闭合曲面S的通量的表达式为：。 6．电磁波从一种媒质入射到理想表面时，电磁波将发生全反射。 7．静电场是无旋场，故电场强度沿任一条闭合路径的积分等于。 8．如果两个不等于零的矢量的等于零，则此两个矢量必然相互垂直。 9．对平面电磁波而言，其电场、磁场和波的传播方向三者符合关系。 10．由恒定电流产生的磁场称为恒定磁场，恒定磁场是无散场，因此，它可用函数的旋度来表示。二、简述题（每小题5分，共20分） 11．已知麦克斯韦第二方程为，试说明其物理意义，并写出方程的积分形式。 12．试简述唯一性定理，并说明其意义。 13．什么是群速？试写出群速与相速之间的关系式。 14．写出位移电流的表达式，它的提出有何意义？三、计算题（每小题10分，共30分） 15．按要求完成下列题目（1）判断矢量函数是否是某区域的磁通量密度？（2）如果是，求相应的电流分布。

16．矢量，，求（1）（2） 17．在无源的自由空间中，电场强度复矢量的表达式为（1）试写出其时间表达式；（2）说明电磁波的传播方向；四、应用题（每小题10分，共30分） 18．均匀带电导体球，半径为，带电量为。试求（1）球内任一点的电场强度（2）球外任一点的电位移矢量。 19．设无限长直导线与矩形回路共面，（如图1所示），（1）判断通过矩形回路中的磁感应强度的方向（在图中标出）；（2）设矩形回路的法向为穿出纸面，求通过矩形回路中的磁通量。 20．如图2所示的导体槽，底部保持电位为，其余两面电位为零，（1）写出电位满足的方程；（2）求槽内的电位分布

电磁场与电磁波理论(第二版)(徐立勤,曹伟)第1章习题解答

第1章习题解答 1.4 计算下列标量场u 的梯度u ? ：（1）234u x y z =；（2）u xy yz zx =++；（3）222323u x y z =-+。解：（1） 34224233234x y z x y z u u u u e e e e xy z e x y z e x y z x y z ????=++=++??? （2）()()()x y z x y z u u u u e e e e y z e x z e y x x y z ????=++=+++++??? （3）646x y z x y z u u u u e e e e x e y e z x y z ????=++=-+??? 1.6 设()22,,1f x y z x y y z =++。试求在点()2,1,3A 处f 的方向导数最大的方向的单位矢量及其方向导数。方向导数最小值是多少？它在什么方向？解： ()2222x y z x y z f f f f e e e e xy e x yz e y x y z ????=++=+++??? 因为410x y z x y z A f f f f e e e e e e x y z ????=++=++??? 所以 ( max 410l x y z f e e e e l ?==++? ( min 410l x y z f e e e e l ?==-++? 1.10 求下列矢量场在给定点的散度值：（1）()x y z A xyz e x e y e z =++ 在()1,3,2M 处；（2）242x y z A e x e xy e z =++ 在()1,1,3M 处；（3）())1222x y z A e x e y e z x y z =++++ 在()1,1,1M 处。解：（1） 222636y x z M A A A A xyz xyz xyz xyz A x y z ?????=++=++=??=??? （2）42212y x z M A A A A x z A x y z ?????= ++=++??=??? （3）y x z A A A A x y z ?????=++ ??? ( )( )( ) 2222 2222 2222 3 3 3 x y z x x y z y x y z z ++-++-++ -= + + = M A ??=

电磁场与电磁波(必考题)

v1.0 可编辑可修改 1 ())] 43(cos[31,,z x t-e t z x H +=πωπ y ωz x z k y k x k z y x ππ43+=++π3=x k 0=y k π4=z k )/(5)4()3(2 2222m rad k k k k z y x πππ=+=++=λ π 2= k ) (4.02m k ==π λ c v f ==λ)(105.74 .010388 Hz c f ?=?= = λ )/(101528s rad f ?==ππω ) /(31),() 43(m A e e z x H z x j y +-=ππ ) /()243254331120),(),(),() 43()43(m V e e e e e e e k k z x H e z x H z x E z x j z x z x z x j y n +-+--=+? ?=?=?=πππ π πππηη（() [])/()43(cos 2432),,(m V z x t e e t z x E z x +--=πω ())] 43(cos[31 ,,z x t-e t z x H +=πωπ y () []() [])/()43(cos 322431)] 43(cos[31 )43(cos 243222m W z x t e e z x t-e z x t e e H E S z x z x +-+=+?+--=?=πωπ πωπ πωy () )43(2432),(z x j z x e e e z x E +--=π)43(31),(z x j y e e z x H +-=ππ () () )/(322461312432Re 21Re 212* )43() 43(*m W e e e e e e e H E S z x z x j y z x j z x av +=?????????????????-=??? ???= +-+-ππππ z 00 x φ==0 x a φ==00001 (,)()()(sin cos )(sinh cosh ) (3) n n n n n n n n n x y A x B C y D A k x B k x C k y D k y φ∞ ==+++ ++∑(0,)0 (0)y y b φ=≤< 0001 0()(sinh cosh ) n n n n n n B C y D B C k y D k y ∞ ==+++∑y 0b →0(0,1,2,) n B n ==0001 (,)()sin (sinh cosh ) n n n n n n n x y A x C y D A k x C k y D k y φ∞ ==+++∑(,)0(0)a y y b φ=≤< 0001 0()sin (sinh cosh ) n n n n n n n A a C y D A k a C k y D k y ∞ ==+++∑y 0b →00A =sin 0(1,2,)n n A k a n ==n A 0φ≡sin 0n k a = (1,2,) n n k n a π==1 (,)sin (sinh cosh )n n n n n x n y n y x y A C D a a a πππφ∞ ==+∑ (,0)0 (0)x x a φ=≤≤ 1 0sin n n n n x A D a π∞ ==∑ 0a →0n A ≠ 0(1,2,)n D n == 1(,)sin sinh n n n x n y x y A a a ππφ∞ ='=∑ n n n A A C '= 0 (,)(0)x b U x a φ=≤≤ 01 sin sinh n n n x n b U A a a ππ∞ ='=∑ n A '(0,)a sin n x a π????? ? 01 sin n n n x U f a π∞ ==∑ 002sin a n n x f U dx a a π= ?041,3,5,0 2,4,6, U n n n π?=?=??=? sinh n n f A n b a π'=041,3,5,sinh 02,4,6,U n n b n a n ππ? =?? =??=?? 1,3, 41(,)sin sinh sinh n U n x n y x y n b a a n a ππφππ ∞ == ∑ ) 0(0),0(b y y <≤=?)0(0),(b y y a <≤=?)0(0)0,(a x x ≤≤=?) 0(),(0 a x U b x ≤≤=?02= ??

电磁场与电磁波试题答案

《电磁场与电磁波》试题1 、填空题(每小题 1分，共10分) 1. 在均匀各向同性线性媒质中，设媒质的导磁率为 ,则磁感应强度 B 和磁场 H 满足的方程矢量场 A(r) 穿过闭合曲面S 的通量的表达式为: 静电场是无旋场，故电场强度沿任一条闭合路径的积分等于 12 .试简述唯一性定理，并说明其意义。 13 .什么是群速？试写出群速与相速之间的关系式。 15.按要求完成下列题目 (2) 如果是，求相应的电流分布。 (1) A B 为: 2. 设线性各向同性的均匀媒质中, 0 称为方程。 3. 时变电磁场中，数学表达式 S H 称为 4. 在理想导体的表面, 的切向分量等于零。 5. 6. 电磁波从一种媒质入射到理想表面时，电磁波将发生全反射。 7. 8. 如果两个不等于零的矢量的等于零，则此两个矢量必然相互垂直。 9. 对平面电磁波而言，其电场、磁场和波的传播方向三者符合关系。 10 .由恒定电流产生的磁场称为恒定磁场，恒定磁场是无散场，因此，它可用函数的旋度来表示。二、简述题 (每小题5分，共20分) 11.已知麦克斯韦第二方程为 t ，试说明其物理意义，并写出方程的积分形式。 14.写出位移电流的表达式, 它的提出有何意义? 三、计算题 (每小题 10分, 共30分) (1)判断矢量函数 B y 2e X xz &是否是某区域的磁通量密度? 16 .矢量 A 2& & 3?z B 电3?y e z 求

(2)A B 17. 在无源的自由空间中，电场强度复矢量的表达式为 E &3E° &4E。e jkz (1) 试写出其时间表达式； (2) 说明电磁波的传播方向；四、应用题(每小题10分，共30分) 18 .均匀带电导体球，半径为a，带电量为Q。试求 (1 ) 球内任一点的电场强度 (2) 球外任一点的电位移矢量。 19 .设无限长直导线与矩形回路共面，(如图1所示)， (1) 判断通过矩形回路中的磁感应强度的方向(在图中标出) (2) 设矩形回路的法向为穿出纸面，求通过矩形回路中的磁通量。 20.如图2所示的导体槽，底部保持电位为U。，其余两面电位为零, (1 ) 写出电位满足的方程; (2) 求槽内的电位分布

电磁场与电磁波理论(第二版)(徐立勤,曹伟)第7章习题解答

第7章习题解答 7.6 如题7.6图所示相距为a 的平板金属波导，当/0y ??=时，沿z 方向可传播 TEM 模、TE 模和TM 模。试求：（1）各种模式的场分量；（2）各种模式的传播常数；（3）画出基本模式的场结构及其导体表面的传导电流。解：(1) 各种模式的场分量对TEM 模，在均匀波导横截面上的分布规律与同样边界条件下的二维静态场的分布规律是完全一样的。对静电场情况，无限大平板之间的电场强度为均匀电场0E ，则对应的TEM 模中电场为 j t 0e kz x x x E e E e E -== 利用平面波电场与磁场关系，即 j 0t t w 1 e 120π kz z y E H e E e Z -= ?= 对TE 模，0=z E ，而z H 满足的导波方程为 22t c 0z z H k H ?+= 式中2 2 2 c k k γ=+，2 2t 2x ??=?，则上式变成 22c 2 d 0d z z H k H x += 因此波动方程的解为 c c sin cos z H A k x B k x =+ 由0=x 时 0=??x H z 可得到0=A ；由a x =时0=??x H z 可得到c sin 0k x =，即c m k a π= 。因此 πcos z m m x H H a = 式中m H 取决于波源的激励强度。由于波沿着z 方向传播，则j z k γ=，因此 z k ==利用各横向场分量与纵向场分量之间关系可以得到 j 22c c 0 j ππj sin e z x k z z y m E H m m x E H k x k a a ωμωμ-=?==-? j 22c c j j ππsin e 0z k z z z z x m y k H k m m x H H k x k a a H -?=- =?= 对TM 模，0=z H ，而z E 满足的导波方程为 22c 2 d 0d z z E k E x += 因此波动方程的解为 c c sin cos z E A k x B k x =+ 由0=x 时0=z E 可得到0=B ；由a x =时0=z E 可得到c sin 0k x =，即c m k a π=。因此 πsin z m m x E E a = 式中m E 取决于波源的激励强度。利用各横向场分量与纵向场分量之间关系可以得到

电磁场与电磁波试题及答案

1. 写出非限定情况下麦克斯韦方程组的微分形式，并简要说明其物理意义。 2.答非限定情况下麦克斯韦方程组的微分形式为 ,,0,D B H J E B D t t ρ????=+??=-??=??=??v v v v v v v ，(3分)（表明了电磁场和它们的源之间的全部关系除了真实电流外，变化的电场（位移电流）也是磁场的源；除电荷外，变化的磁场也是电场的源。 1. 写出时变电磁场在1为理想导体与2为理想介质分界面时的边界条件。 2. 时变场的一般边界条件 2n D σ=、20t E =、2t s H J =、20n B =。 (或矢量式2n D σ=v v g 、20n E ?=v v 、2s n H J ?=v v v 、20n B =v v g ) 1. 写出矢量位、动态矢量位与动态标量位的表达式,并简要说明库仑规范与洛仑兹规范的意义。 2. 答矢量位,0B A A =????=v v v ；动态矢量位A E t ??=-?-?v v 或A E t ??+=-??v v 。库仑规范与洛仑兹规范的作用都是限制A v 的散度，从而使A v 的取值具有唯一性；库仑规范用在静态场，洛仑兹规范用在时变场。 1. 简述穿过闭合曲面的通量及其物理定义 2. s A ds φ=???v v ò 是矢量A 穿过闭合曲面S 的通量或发散量。若Ф> 0，流出S 面的通量大于流入的通量，即通量由S 面内向外扩散，说明S 面内有正源若Ф< 0，则流入S 面的通量大于流出的通量，即通量向S 面内汇集，说明S 面内有负源。若Ф=0，则流入S 面的通量等于流出的通量，说明S 面内无源。 1. 证明位置矢量x y z r e x e y e z =++r r r r 的散度，并由此说明矢量场的散度与坐标的选择

电磁场与电磁波课后答案

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