高二上学期数学练习题(1)(圆与方程---园的标准方程)有详细答案

高二上学期数学练习题（1）（圆与方程）

班级 姓名 学号

一．选择填空题

1.圆心是(4，－1)，且过点(5,2)的圆的标准方程是( )

A ．(x －4)2＋(y ＋1)2＝10

B ．(x ＋4)2＋(y －1)2＝10

C ．(x －4)2＋(y ＋1)2＝100

D ．(x －4)2＋(y ＋1)2＝10

2. 若一圆的标准方程为(x －1)2＋(y ＋5)2＝3，则此圆的圆心和半径长分别为( )

A ．(－1,5)， 3

B ．(1，－5)， 3

C ．(－1,5)，3

D ．(1，－5)，3 3. 方程(x ＋a )2＋(y ＋b )2＝0表示的图形是( )

A ．以(a ，b )为圆心的圆

B ．点(a ，b )

C ．以(－a ，－b )为圆心的圆

D ．点(－a ，－b ) 4. 点P (a,5)与圆x 2＋y 2＝24的位置关系是( )

A ．点在圆外

B ．点在圆内

C ．点在圆上

D ．不确定 5. 圆(x －1)2＋y 2＝1的圆心到直线y ＝

3

3

x 的距离是( ) A ．12 B ．3

2

C ．1

D ． 3

6. 已知圆心在x 轴上的圆C 与x 轴交于两点A (1,0)，B (5,0)，此圆的标准方程为( )

A ．(x －3)2＋y 2＝4

B ．(x ＋3)2＋(y －1)2＝4

C ．(x －1)2＋(y －1)2＝4

D ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝4 7. 若点(2a ，a －1)在圆x 2＋(y ＋1)2＝5的内部，则a 的取值范围是( )

A ．(－∞，1]

B ．(－1,1)

C ．(2,5)

D ．(1，＋∞)

8. 方程y ＝9－x 2表示的曲线是( )

A ．一条射线

B ．一个圆

C ．两条射线

D ．半个圆

9. 若点P (1,1)为圆(x －3)2＋y 2＝9的弦MN 的中点，则弦MN 所在直线方程为( ) A ．2x ＋y －3＝0 B ．x －2y ＋1＝0 C ．x ＋2y －3＝0 D ．2x －y －1＝0 10. 点M 在圆(x －5)2＋(y －3)2＝9上，则点M 到直线3x ＋4y －2＝0的最短距离为( )

A ．9

B ．8

C ．5

D ．2

11.直线1y kx =+与圆2

2

1x y +=的位置关系是( )

A ．相交

B ．相切

C ．相交或相切

D ．不能确定 12. 圆(x －3)2＋(y －3)2＝9上到直线3x ＋4y －11＝0的距离等于2的点有( )

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个 答案：B 13. 方程4－x 2＝lg x 的根的个数是( )

A ．0

B ．1

C ．2

D ．无法确定

14.圆2

2

(4)(5)10x y -+-=上的点到原点的距离的最小值是( ).

A 二．填空题

15.以点(2，－1)为圆心且与直线x ＋y ＝6相切的圆的方程是______ .

16.若圆C与圆(x＋2)2＋(y－1)2＝1关于原点对称，则圆C的标准方程是_____

17.已知圆C经过A(5,1)，B(1,3)两点，圆心在x轴上，则C的方程为________

18.以直线2x＋y－4＝0与两坐标轴的一个交点为圆心，过另一个交点的圆的方程为________

19.设点P(x，y)是圆x2＋(y＋4)2＝4上任意一点，则(x－1)2＋(y－1)2的最大值为________．

20.以原点O为圆心且截直线3x＋4y＋15＝0所得弦长为8的圆的方程是__________．

21.直线y＝x＋b与曲线x＝1－y2有且只有1个公共点，则b的取值范围是__________．

三．解答题

22.圆过点A(1，－2)，B(－1,4)，求

(1)圆心在直线2x－y－4＝0上的圆的方程． (2)周长最小的圆的方程；

23.已知圆N的标准方程为(x－5)2＋(y－6)2＝a2(a>0)．

(1)若点M(6,9)在圆上，求a的值；

(2)已知点P(3,3)和点Q(5,3)，线段PQ(不含端点)与圆N有且只有一个公共点，求a的取值范围．

24.如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点M(2,0)，AB边所在直线的方程为x－3y－6＝0，

点T(－1,1)在AD边所在的直线上．Array (1)求AD边所在直线的方程；(2)求矩形ABCD外接圆的方程．

25.求圆心在直线4x＋y＝0上，且与直线l：x＋y－1＝0切于点P(3，－2)的圆的方程，

并找出圆的圆心及半径．

26.求平行于直线3x＋3y＋5＝0且被圆x2＋y2＝20截得长为62的弦所在的直线方程．

27.已知圆C的方程是(x－1)2＋(y－1)2＝4，直线l的方程为y＝x＋m，求当m为何值时，(1)直线平分圆；(2)直线与圆相切．

高二上学期数学练习题（1）（圆与方程）

班级 姓名 学号

一．选择填空题

1.圆心是(4，－1)，且过点(5,2)的圆的标准方程是( )

A ．(x －4)2＋(y ＋1)2＝10

B ．(x ＋4)2＋(y －1)2＝10

C ．(x －4)2＋(y ＋1)2＝100

D ．(x －4)2＋(y ＋1)2＝10

[答案] A [解析] 设圆的标准方程为(x －4)2＋(y ＋1)2＝r 2，把点(5,2)代入可得r 2＝10，即得选A ． 2. 若一圆的标准方程为(x －1)2＋(y ＋5)2＝3，则此圆的圆心和半径长分别为( )

A ．(－1,5)， 3

B ．(1，－5)， 3

C ．(－1,5)，3

D ．(1，－5)，3 [答案] B 3. 方程(x ＋a )2＋(y ＋b )2＝0表示的图形是( )

A ．以(a ，b )为圆心的圆

B ．点(a ，b )

C ．以(－a ，－b )为圆心的圆

D ．点(－a ，－b ) [答案] D 4. 点P (a,5)与圆x 2＋y 2＝24的位置关系是( )A ．点在圆外 B ．点在圆内 C ．点在圆上 D ．不确定 [答案] A [解析] 因为a 2＋52＝a 2＋25＞24，所以点P 在圆外． 5. 圆(x －1)2＋y 2＝1的圆心到直线y ＝

33x 的距离是( ) A ．12 B ．3

2

C ．1

D ． 3 [答案] A [解析] 直线方程可化为：

0x =，先求得圆心坐标(1,0)， 再依据点到直线的距离公式求得

1

2

d =

=

。 6. 已知圆心在x 轴上的圆C 与x 轴交于两点A (1,0)，B (5,0)，此圆的标准方程为( )

A ．(x －3)2＋y 2＝4

B ．(x ＋3)2＋(y －1)2＝4

C ．(x －1)2＋(y －1)2＝4

D ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝4 [答案] A 7. 若点(2a ，a －1)在圆x 2＋(y ＋1)2＝5的内部，则a 的取值范围是( )

A ．(－∞，1]

B ．(－1,1)

C ．(2,5)

D ．(1，＋∞)

[答案] B [解析] 点(2a ，a －1)在圆x 2

＋(y ＋1)2

＝5的内部，则(2a )2

＋a 2

＜5，解得－1＜a ＜1 8. 方程y ＝9－x 2表示的曲线是( ) A ．一条射线 B ．一个圆 C ．两条射线 D ．半个圆 [答案] D [解析] 方程y ＝9－x 2可化为x 2＋y 2＝9(y ≥0)，

所以方程y ＝9－x 2表示圆x 2＋y 2＝9位于x 轴上方的部分，是半个圆．

9. 若点P (1,1)为圆(x －3)2＋y 2＝9的弦MN 的中点，则弦MN 所在直线方程为( ) A ．2x ＋y －3＝0 B ．x －2y ＋1＝0 C ．x ＋2y －3＝0 D ．2x －y －1＝0

[答案] D [解析] 圆心C (3,0)，k PC ＝－1

2，又点P 是弦MN 的中点，∴PC ⊥MN ，∴k MN k PC ＝－1，

∴k MN ＝2，∴弦MN 所在直线方程为y －1＝2(x －1)，即2x －y －1＝0.

10. 点M 在圆(x －5)2＋(y －3)2＝9上，则点M 到直线3x ＋4y －2＝0的最短距离为( ) A ．9 B ．8 C ．5 D ．2 [答案] D [解析] 圆心(5,3)到直线3x ＋4y －2＝0的距离为d ＝|3×5＋4×3－2|32＋42＝5.又r ＝3，

则M 到直线的最短距离为5－3＝2.

11.直线1y kx =+与圆22

1x y +=的位置关系是( )A ．相交 B ．相切 C ．相交或相切 D ．不能确定 解析：直线1y kx =+过定点(0,1)，而点(0,1)在圆221x y +=上，所以直线与圆相交或相切． 12. 圆(x －3)2＋(y －3)2＝9上到直线3x ＋4y －11＝0的距离等于2的点有( )

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个 答案：B

解析：(3,3)到直线3x ＋4y －11＝0的距离d ＝|3×3＋3×4－11|

5＝2，而圆的半径为3，故符合题意的点有2个．

13. 方程4－x 2＝lg x 的根的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．无法确定

解析：设f (x )＝4－x ，g (x )＝lg x ，则方程根的个数就是f (x )与g (x )两个函数图像交点的个数．如图所示（略），在同一平面直角坐标系中画出这两个函数的图像．

由图可得函数f (x )＝4－x 2与g (x )＝lg x 仅有1个交点，所以方程仅有1个根． 答案：B 14.圆22(4)(5)10x y -+-=上的点到原点的距离的最小值是( ).

A

【解析】因为圆的圆心为(4,5),所以圆22(4)(5)10x y -+-=上的

点到原点的距离的最小值为，【答案】B 二．填空题

15.以点(2，－1)为圆心且与直线6x y +=相切的圆的方程是______ [答案] (x －2)2＋(y ＋1)2＝252

[解析] 将直线x ＋y ＝6化为x ＋y －6＝0，圆的半径r ＝

|2－1－6|1＋1

＝52，所以圆的方程为(x －2)2＋(y ＋1)2＝25

2.

16.若圆C 与圆(x ＋2)2

＋(y －1)2

＝1关于原点对称，则圆C 的标准方程是_____

[答案] (x －2)2＋(y ＋1)2＝1，[解析] 圆(x ＋2)2＋(y －1)2＝1的圆心为M (－2,1)，半径r ＝1，则点M 关于原点的对称点为C (2，－1)，圆C 的半径也为1，则圆C 的标准方程是(x －2)2＋(y ＋1)2＝1. 17.已知圆C 经过A (5,1)，B (1,3)两点，圆心在x 轴上，则C 的方程为________

[答案] (x －2)2＋y 2＝10[分析] 圆心在x 轴上，可设圆心坐标为(a,0)，半径长为r ，写出圆C 的标准方程，将A ，B 两点坐标代入求a ，r 即可得圆C 的方程． [解析] 设所求圆C 的方程为(x －a )2＋y 2＝r 2，

把所给两点坐标代入方程得 ????? (5－a )2＋12＝r 2(1－a )2＋32＝r 2

，解得????

?

a ＝2r 2＝10

，所以所求圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝10. 18.以直线2x ＋y －4＝0与两坐标轴的一个交点为圆心，过另一个交点的圆的方程为________ [答案] x 2＋(y －4)2＝20或(x －2)2＋y 2＝20，[解析] 令x ＝0得y ＝4，令y ＝0得x ＝2， ∴直线与两轴交点坐标为A (0,4)和B (2,0)，以A 为圆心过B 的圆方程为x 2＋(y －4)2＝20， 以B 为圆心过A 的圆方程为(x －2)2＋y 2＝20.

19.设点P (x ，y )是圆x 2＋(y ＋4)2＝4上任意一点，则(x －1)2＋(y －1)2的最大值为________．答案：26＋2 解析 因为点P (x ，y )是圆x 2＋(y ＋4)2＝4上的任意一点，因此(x －1)2＋(y －1)2表示点(1,1)与该圆上点的距离． 易知点(1,1)在圆x 2＋(y ＋4)2＝4外，结合图象易得(x －1)2＋(y －1)2的最大值为(1－0)2＋(1＋4)2＋2＝26＋2.

20.以原点O 为圆心且截直线3x ＋4y ＋15＝0所得弦长为8的圆的方程是__________．答案：x 2＋y 2＝25 解析：原点O 到直线的距离d ＝

1532＋4

2＝3，设圆的半径为r ，∴r 2＝32＋42＝25，∴圆的方程是x 2＋y 2＝25. 21.直线y ＝x ＋b 与曲线x ＝1－y 2有且只有1个公共点，则b 的取值范围是__________．

解析：曲线x ＝1－y 2可化为x 2＋y 2＝1(x ≥0)，它表示单位圆的右半部分，在同一坐标系中画出直线与曲线的图像，如图（略），相切时b ＝－2，其他位置符合条件时需－1＜b ≤1. 答案：b ＝－2或－1＜b ≤1 三．解答题

22.圆过点A(1，－2)，B (－1,4)，求

(1)圆心在直线240x y --=上的圆的方程． (2)周长最小的圆的方程； 解：(1)解法1：直线AB 的斜率为()

24

311AB k --=

=---，线段AB 的中点为M （0,1）

，则线段AB 的垂直平分线l 的斜率为113

l AB k k =-

=，∴线段AB 的垂直平分线l 的方程是：y －1＝1

3x ，即x －3y ＋3＝0， 解方程组????? x －3y ＋3＝0，2x －y －4＝0. 可得?

????

x ＝3，

y ＝2.∴所求园的圆心是C (3,2)．

∴所求园的半径r ＝|AC |＝(3－1)2＋(2＋2)2＝2 5.，∴所求圆的方程是(x －3)2＋(y －2)2＝20. 解法2：待定系数法

依题意可设所求圆的方程为：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2.，则根据题意可得：?????

(1－a )2

＋(－2－b )2

＝r 2

，(－1－a )2＋(4－b )2＝r 2

，

2a －b －4＝0.

解之得：????

?

a ＝3，

b ＝2，

r 2＝20.

∴所求圆的方程为：(x －3)2＋(y －2)2＝20.

(2)当AB 为直径时，过A 、B 的圆的半径最小，从而周长最小．即AB 中点M(0,1)为圆心，半径r ＝1

2|AB |＝10.

则圆的方程为：x 2＋(y －1)2＝10.

[点评]（1）小题中∵圆心在直线2x －y －4＝0上，∴也可设圆心坐标为C (x 0,2x 0－4)，∵A ，B 在圆上， ∴|CA |＝|CB |，可由此等式根据两点间的距离公式得关于0x 的方程，解此方程即可求得0x 的值，从而求得所求圆的方程。

23.已知圆N 的标准方程为(x －5)2＋(y －6)2＝a 2(a >0)． (1)若点M (6,9)在圆上，求a 的值；

(2)已知点P (3,3)和点Q (5,3)，线段PQ (不含端点)与圆N 有且只有一个公共点，求a 的取值范围． 解：(1)∵点M (6,9)在圆上，∴(6－5)2＋(9－6)2＝a 2，又∵a >0，∴a ＝10； (2)园N 的圆心为N （5,6）半径为r =a ，

由两点间距离公式可得 |PN |＝(3－5)2＋(3－6)2＝13，|QN |＝(5－5)2＋(3－6)2＝3， ∵线段PQ 与圆有且只有一个公共点，即P 、Q 两点一个在圆内、另一个在圆外，由于3<13， ∴3

24.如图，矩形ABCD 的两条对角线相交于点M (2,0)，AB 边所在直线的方程为x －3y －6＝0， 点T (－1,1)在AD 边所在的直线上．

(1)求AD 边所在直线的方程； (2)求矩形ABCD 外接圆的方程． 解：(1)∵AB 边所在直线的方程为x －3y －6＝0，∴13

AB k = ∵AD ⊥AB ，∴1

3AD AB

k k =-

=- 又∵点T (－1,1)在直线AD 上，∴所求AD 边所在直线的方程为y －1＝－3(x ＋1)，整理可得3x ＋y ＋2＝0.

(2)解方程组?????

x －3y －6＝0，3x ＋y ＋2＝0，可得02

x y =??=-?

,∴点A 的坐标为(0，－2)． ∵矩形ABCD 两条对角线的交点为M (2,0)．

∴M 为矩形ABCD 外接圆的圆心．∴所求园的半径r =|AM |＝(2－0)2＋(0＋2)2＝22， ∴所求矩形ABCD 的外接圆的方程为(x －2)2＋y 2＝8.

25.求圆心在直线4x ＋y ＝0上，且与直线l ：x ＋y －1＝0相切于点P (3，－2)的圆的方程， 并找出圆的圆心及半径．

解：设所求圆的标准方程为(x －a )2

＋(y －b )2

＝r 2

，则根据题意可得?????

4a ＋b ＝0，

b ＋2

a －3＝1，(3－a )2

＋(－2－b )2

＝r 2

.

化简得????

?

4a ＋b ＝0，b ＝a －5，

(3－a )2＋(－2－b )2＝r 2，

解之得????

?

a ＝1，

b ＝－4，

r 2＝8.

∴所求圆的方程为(x －1)2＋(y ＋4)2＝8，它是以(1，－4)为圆心，以22为半径的圆． 26.求平行于直线3x ＋3y ＋5＝0且被圆x 2＋y 2＝20截得长为62的弦所在的直线方程． 解：依题意可设所求弦所在的直线方程为x ＋y ＋c ＝0.① 则圆心(0,0)到此直线的距离为d ＝|c |1＋1

＝|c |

2.

因为圆的半弦长、半径、弦心距恰好构成直角三角形，∴由勾股定理可得??

?

?|c |22

＋(32)2＝20. 由此解之得c ＝±2，代入①得所求弦所在直线的方程为x ＋y ＋2＝0或x ＋y －2＝0. 27.已知圆C 的方程是(x －1)2＋(y －1)2＝4，直线l 的方程为y ＝x ＋m ，求当m 为何值时， (1)直线平分圆； (2)直线与圆相切．

解：(1)园C 的圆心为C （1,1），半径为r=2，∵直线平分圆，∴圆心在l 直线上，∴1=1+m ，即有m ＝0. (2)∵直线与圆相切，∴圆心到直线的距离等于半径，∴d ＝|1－1＋m |

12＋(－1)2

＝|m |

2＝2.，解之得m ＝±

2 2.

即m ＝±22时，直线l 与圆相切．

高二上学期数学练习题（1）（圆与方程）参考答案

班级 姓名 学号

一．选择填空题

1.圆心是(4，－1)，且过点(5,2)的圆的标准方程是( )

A ．(x －4)2＋(y ＋1)2＝10

B ．(x ＋4)2＋(y －1)2＝10

C ．(x －4)2＋(y ＋1)2＝100

D ．(x －4)2＋(y ＋1)2＝10

[答案] A [解析] 设圆的标准方程为(x －4)2＋(y ＋1)2＝r 2，把点(5,2)代入可得r 2＝10，即得选A ． 2. 若一圆的标准方程为(x －1)2＋(y ＋5)2＝3，则此圆的圆心和半径长分别为( )

A ．(－1,5)， 3

B ．(1，－5)， 3

C ．(－1,5)，3

D ．(1，－5)，3 [答案] B 3. 方程(x ＋a )2＋(y ＋b )2＝0表示的图形是( )

A ．以(a ，b )为圆心的圆

B ．点(a ，b )

C ．以(－a ，－b )为圆心的圆

D ．点(－a ，－b ) [答案] D 4. 点P (a,5)与圆x 2＋y 2＝24的位置关系是( ) A ．点在圆外 B ．点在圆内 C ．点在圆上 D ．不确定 [答案] A [解析] 因为a 2＋52＝a 2＋25＞24，所以点P 在圆外． 5. 圆(x －1)2＋y 2＝1的圆心到直线y ＝

33x 的距离是( ) A ．12 B ．3

2

C ．1

D ． 3 [答案] A [解析] 直线方程可化为：

0x =，先求得圆心坐标(1,0)， 再依据点到直线的距离公式求得

1

2

d =

=

。 6. 已知圆心在x 轴上的圆C 与x 轴交于两点A (1,0)，B (5,0)，此圆的标准方程为( )

A ．(x －3)2＋y 2＝4

B ．(x ＋3)2＋(y －1)2＝4

C ．(x －1)2＋(y －1)2＝4

D ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝4 [答案] A 7. 若点(2a ，a －1)在圆x 2＋(y ＋1)2＝5的内部，则a 的取值范围是( )

A ．(－∞，1]

B ．(－1,1)

C ．(2,5)

D ．(1，＋∞)

[答案] B [解析] 点(2a ，a －1)在圆x 2

＋(y ＋1)2

＝5的内部，则(2a )2

＋a 2

＜5，解得－1＜a ＜1 8. 方程y ＝9－x 2表示的曲线是( ) A ．一条射线 B ．一个圆 C ．两条射线 D ．半个圆 [答案] D [解析] 方程y ＝9－x 2可化为x 2＋y 2＝9(y ≥0)，

所以方程y ＝9－x 2表示圆x 2＋y 2＝9位于x 轴上方的部分，是半个圆．

9. 若点P (1,1)为圆(x －3)2＋y 2＝9的弦MN 的中点，则弦MN 所在直线方程为( ) A ．2x ＋y －3＝0 B ．x －2y ＋1＝0 C ．x ＋2y －3＝0 D ．2x －y －1＝0

[答案] D [解析] 圆心C (3,0)，k PC ＝－1

2，又点P 是弦MN 的中点，∴PC ⊥MN ，∴k MN k PC ＝－1，

∴k MN ＝2，∴弦MN 所在直线方程为y －1＝2(x －1)，即2x －y －1＝0.

10. 点M 在圆(x －5)2＋(y －3)2＝9上，则点M 到直线3x ＋4y －2＝0的最短距离为( )

A ．9

B ．8

C ．5

D ．2

[答案] D [解析] 圆心(5,3)到直线3x ＋4y －2＝0的距离为d ＝|3×5＋4×3－2|

32＋42＝5.又r ＝3，

则M 到直线的最短距离为5－3＝2.

11.直线1y kx =+与圆22

1x y +=的位置关系是( )

A ．相交

B ．相切

C ．相交或相切

D ．不能确定

解析：直线1y kx =+过定点(0,1)，而点(0,1)在圆221x y +=上，所以直线与圆相交或相切． 12. 圆(x －3)2＋(y －3)2＝9上到直线3x ＋4y －11＝0的距离等于2的点有( )

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个 答案：B

解析：(3,3)到直线3x ＋4y －11＝0的距离d ＝|3×3＋3×4－11|

5＝2，而圆的半径为3，故符合题意的点有2个．

13. 方程4－x 2＝lg x 的根的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．无法确定 解析：设f (x )＝4－x ，g (x )＝lg x ，则方程根的个数就是f (x )与g (x )两个函数图像交点

的个数．如图所示，在同一平面直角坐标系中画出这两个函数的图像．

由图可得函数f (x )＝4－x 2与g (x )＝lg x 仅有1个交点，所以方 程仅有1个根． 答案：B

14.圆22(4)(5)10x y -+-=上的点到原点的距离的最小值是( ).

A

【解析】因为圆的圆心为(4,5),所以圆22(4)(5)10x y -+-=上的

点到原点的距离的最小值为，【答案】B 二．填空题

15.以点(2，－1)为圆心且与直线x ＋y ＝6相切的圆的方程是______ [答案] (x －2)2＋(y ＋1)2＝25

2

[解析] 将直线x ＋y ＝6化为x ＋y －6＝0，圆的半径r ＝

|2－1－6|1＋1

＝52，所以圆的方程为(x －2)2＋(y ＋1)2＝25

2.

16.若圆C 与圆(x ＋2)2

＋(y －1)2

＝1关于原点对称，则圆C 的标准方程是_____

[答案] (x －2)2＋(y ＋1)2＝1，[解析] 圆(x ＋2)2＋(y －1)2＝1的圆心为M (－2,1)，半径r ＝1，则点M 关于原点的对称点为C (2，－1)，圆C 的半径也为1，则圆C 的标准方程是(x －2)2＋(y ＋1)2＝1. 17.已知圆C 经过A (5,1)，B (1,3)两点，圆心在x 轴上，则C 的方程为________

[答案] (x －2)2＋y 2＝10[分析] 圆心在x 轴上，可设圆心坐标为(a,0)，半径长为r ，写出圆C 的标准方程，将A ，B 两点坐标代入求a ，r 即可得圆C 的方程． [解析] 设所求圆C 的方程为(x －a )2＋y 2＝r 2，

把所给两点坐标代入方程得 ????? (5－a )2＋12＝r 2

(1－a )2＋32＝r 2，解得?????

a ＝2r 2＝10

，所以所求圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝10. 18.以直线2x ＋y －4＝0与两坐标轴的一个交点为圆心，过另一个交点的圆的方程为________

[答案] x 2＋(y －4)2＝20或(x －2)2＋y 2＝20，[解析] 令x ＝0得y ＝4，令y ＝0得x ＝2， ∴直线与两轴交点坐标为A (0,4)和B (2,0)，以A 为圆心过B 的圆方程为x 2＋(y －4)2＝20， 以B 为圆心过A 的圆方程为(x －2)2＋y 2＝20.

19.设点P (x ，y )是圆x 2＋(y ＋4)2＝4上任意一点，则(x －1)2＋(y －1)2的最大值为26＋2．

解析 因为点P (x ，y )是圆x 2＋(y ＋4)2

＝4上的任意一点，因此(x －1)2＋(y －1)2表示点(1,1)与该圆上点的距离． 易知点(1,1)在圆x 2＋(y ＋4)2＝4外，结合图象易得(x －1)2＋(y －1)2的最大值为(1－0)2＋(1＋4)2＋2＝26＋2. 20.以原点O 为圆心且截直线3x ＋4y ＋15＝0所得弦长为8的圆的方程是__________．答案：x 2＋y 2＝25 解析：原点O 到直线的距离d ＝

1532＋4

2＝3，设圆的半径为r ，∴r 2＝32＋42＝25，∴圆的方程是x 2＋y 2

＝25. 21.直线y ＝x ＋b 与曲线x ＝1－y 2有且只有1个公共点，则b 的取值范围是____．答案：b ＝－2或－1＜b ≤1 解析：曲线x ＝1－y 2可化为x 2＋y 2＝1(x ≥0)，它表示单位圆的右半部分，在同一坐标

系中画出直线与曲线的图像，如图，相切时b ＝－2，其他位置符合条件时需－1＜b ≤1. 三．解答题

22.圆过点A(1，－2)，B (－1,4)，求

(1)圆心在直线240x y --=上的圆的方程． (2)周长最小的圆的方程； 解：(1)解法1：直线AB 的斜率为()

24

311AB k --=

=---，线段AB 的中点为M （0,1）

，则线段AB 的垂直平分线l 的斜率为113

l AB k k =-

=，∴线段AB 的垂直平分线l 的方程是：y －1＝1

3x ，即x －3y ＋3＝0， 解方程组????? x －3y ＋3＝0，2x －y －4＝0. 可得?????

x ＝3，

y ＝2.

∴所求园的圆心坐标是C (3,2)．

∴所求园的半径r ＝|AC |＝(3－1)2＋(2＋2)2＝2 5.，∴所求圆的方程是(x －3)2＋(y －2)2＝20. 解法2：待定系数法

依题意可设所求圆的方程为：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2.，则根据题意可得：?????

(1－a )2

＋(－2－b )2

＝r 2

，(－1－a )2＋(4－b )2＝r 2

，

2a －b －4＝0.

解之得：????

?

a ＝3，

b ＝2，

r 2＝20.

∴所求圆的方程为：(x －3)2＋(y －2)2＝20.

(2)当AB 为直径时，过A 、B 的圆的半径最小，从而周长最小．即AB 中点M(0,1)为圆心，半径r ＝1

2|AB |＝10.

则圆的方程为：x 2＋(y －1)2＝10. [点评]（1）小题中∵圆心在直线2x －y －4＝0上，∴也可设圆心坐标为C (x 0,2x 0－4)，∵A ，B 在圆上，∴|CA |＝|CB |，可由此等式根据两点间的距离公式得关于0x 的方程，解此方程即可求得0x 的值，从而求得所求圆的方程。

23.已知圆N 的标准方程为(x －5)2＋(y －6)2＝a 2(a >0)． (1)若点M (6,9)在圆上，求a 的值；

(2)已知点P (3,3)和点Q (5,3)，线段PQ (不含端点)与圆N 有且只有一个公共点，求a 的取值范围． 解：(1)∵点M (6,9)在圆上，∴(6－5)2＋(9－6)2＝a 2，又∵a >0，∴a ＝10； (2)园N 的圆心为N （5,6）半径为r =a ，

由两点间距离公式可得 |PN |＝(3－5)2＋(3－6)2＝13，|QN |＝(5－5)2＋(3－6)2＝3，

∵线段PQ 与圆有且只有一个公共点，即P 、Q 两点一个在圆内、另一个在圆外，由于3<13， ∴3

24.如图，矩形ABCD 的两条对角线相交于点M (2,0)，AB 边所在直线的方程为x －3y －6＝0， 点T (－1,1)在AD 边所在的直线上．

(1)求AD 边所在直线的方程； (2)求矩形ABCD 外接圆的方程． 解：(1)∵AB 边所在直线的方程为x －3y －6＝0，∴13

AB k = ∵AD ⊥AB ，∴1

3AD AB

k k =-

=- 又∵点T (－1,1)在直线AD 上，∴所求AD 边所在直线的方程为y －1＝－3(x ＋1)，整理可得3x ＋y ＋2＝0.

(2)解方程组?????

x －3y －6＝0，3x ＋y ＋2＝0，可得0

2

x y =??=-?,∴点A 的坐标为(0，－2)．∵矩形ABCD 两条对角线的交点为M (2,0)．

∴M 为矩形ABCD 外接圆的圆心．∴所求园的半径r =|AM |＝(2－0)2＋(0＋2)2＝22， ∴所求矩形ABCD 的外接圆的方程为(x －2)2＋y 2＝8.

25.求圆心在直线4x ＋y ＝0上，且与直线l ：x ＋y －1＝0相切于点P (3，－2)的圆的方程， 并找出圆的圆心及半径．

解：设所求圆的标准方程为(x －a )2

＋(y －b )2

＝r 2

，则根据题意可得?????

4a ＋b ＝0，

b ＋2

a －3＝1，(3－a )2

＋(－2－b )2

＝r 2

.

化简得????

?

4a ＋b ＝0，b ＝a －5，

(3－a )2＋(－2－b )2＝r 2，

解之得????

?

a ＝1，

b ＝－4，

r 2＝8.

∴所求圆的方程为(x －1)2＋(y ＋4)2＝8，它是以(1，－4)为圆心，以22为半径的圆． 26.求平行于直线3x ＋3y ＋5＝0且被圆x 2＋y 2＝20截得长为62的弦所在的直线方程． 解：依题意可设所求弦所在的直线方程为x ＋y ＋c ＝0.① 则圆心(0,0)到此直线的距离为d ＝|c |1＋1

＝|c |

2.

因为圆的半弦长、半径、弦心距恰好构成直角三角形，∴由勾股定理可得????|c |22＋(32)2＝20.

由此解之得c ＝±2，代入①得所求弦所在直线的方程为x ＋y ＋2＝0或x ＋y －2＝0. 27.已知圆C 的方程是(x －1)2＋(y －1)2＝4，直线l 的方程为y ＝x ＋m ，求当m 为何值时， (1)直线平分圆； (2)直线与圆相切．

解：(1)园C 的圆心为C （1,1），半径为r=2，∵直线平分圆，∴圆心在l 直线上，∴1=1+m ，即有m ＝0. (2)∵直线与圆相切，∴圆心到直线的距离等于半径，∴d ＝|1－1＋m |

12＋(－1)2

＝|m |

2＝2.，解之得m ＝±

2 2.

即m ＝±22时，直线l 与圆相切．

圆的标准方程导学案1(优选.)

最新文件---------------- 仅供参考--------------------已改成-----------word 文本 --------------------- 方便更改 赠人玫瑰，手留余香。 1.在直角坐标系中，确定直线的基本要素是什么？圆作为平面几何中的基本图形，确定它的要素又是什么呢？ 2.什么叫圆？在平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一个二元一次方程来表示，那么，圆是否也可用一个方程来表示呢？如果能，这个方程又有什么特征呢？ 3.设圆心坐标为(,)C a b ，半径为r ，设),(y x P 为这个圆上任意一点，那么Ｐ，C 与r 有什么关系？能用坐标表示吗？ 4.圆心在(,)C a b ，半径为r 的圆的标准方程：________________ 5.圆心为坐标原点、半径为r 的圆的方程是： 圆心在原点、半径为1的圆的方程： 思考：确定圆的标准方程的基本要素？ 预习自测 1.写出下列各圆的方程： （1） 以C(2，-1)为圆心，半径等于3；

（2） 圆心在圆点，半径为5； （3） 经过点P(5,1)，圆心在点C(6，-2)； （4） 以A(2,5)，B(0，-1)为直径的圆。 2.圆22 (3)(2)13x y -++=的圆心为 半径为 二、课/堂/探/究：合作探究————取长补短 基础知识探究 1.圆的标准方程是一个____元____次方程. 2.写出圆心为(2,3)A -，半径长为 5 的圆的方程，并判断点12(5,7),(1)M M -- 是否在这个圆上.

3.若点),3(a 在圆1622=+y x 的内部，则a 的取值范围是 4.试由圆的标准方程的推导过程思考，若点P 在圆内，在圆上，在圆外时，00,x y 应满足 怎样的关系式P P P ???????? 点在圆内点在圆外点在圆上 综合应用探究 1.已知ABC Rt ? 的斜边AB 的端点A 的坐标为（-2,1），B 的坐标为（4,3），直角顶点C 在什么曲线上？并求出它的方程？ 2.ABC ?的三个顶点的坐标是(5,1),(7,3),(2,8)A B C --，求它的外接圆的方程. 3.求圆心在直线02=-+y x 上，且经过两点)2,1(),0,1(-Q P 的圆的方程。 三、达/标/检/测 1. 求满足下列条件的圆的方程

高一数学圆的方程、直线与圆位置关系典型例题

高一数学圆的方程典型例题 类型一：圆的方程 例1 求过两点)4,1(A 、)2,3(B 且圆心在直线0=y 上的圆的标准方程并判断点)4,2(P 与圆的关系． 分析：欲求圆的标准方程，需求出圆心坐标的圆的半径的大小，而要判断点P 与圆的位置关系，只须看点P 与圆心的距离和圆的半径的大小关系，若距离大于半径，则点在圆外；若距离等于半径，则点在圆上；若距离小于半径，则点在圆内． 解法一：（待定系数法） 设圆的标准方程为2 2 2 )()(r b y a x =-+-．∵圆心在0=y 上，故0=b ．∴圆的方程为 222)(r y a x =+-．又∵该圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点． ∴?????=+-=+-2 22 24)3(16)1(r a r a 解之得：1-=a ，202 =r ．所以所求圆的方程为20)1(22=++y x ． 解法二：（直接求出圆心坐标和半径） 因为圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点，所以圆心C 必在线段AB 的垂直平分线l 上，又因为 13 12 4-=--= AB k ，故l 的斜率为1，又AB 的中点为)3,2(，故AB 的垂直平分线l 的方程为：23-=-x y 即01=+-y x ． 又知圆心在直线0=y 上，故圆心坐标为)0,1(-C ∴半径204)11(2 2=++==AC r ． 故所求圆的方程为20)1(2 2 =++y x ．又点)4,2(P 到圆心)0,1(-C 的距离为 r PC d >=++==254)12(22．∴点P 在圆外． 例2 求半径为4，与圆04242 2 =---+y x y x 相切，且和直线0=y 相切的圆的方程． 解：则题意，设所求圆的方程为圆2 22)()(r b y a x C =-+-： ． 圆C 与直线0=y 相切，且半径为4，则圆心C 的坐标为)4,(1a C 或)4,(2-a C ． 又已知圆04242 2 =---+y x y x 的圆心A 的坐标为)1,2(，半径为3． 若两圆相切，则734=+=CA 或134=-=CA ． (1)当)4,(1a C 时，2 2 2 7)14()2(=-+-a ，或2 2 2 1)14()2(=-+-a (无解)，故可得 1022±=a ．∴所求圆方程为2224)4()1022(=-+--y x ，或2224)4()1022(=-++-y x ．

高中数学-必修二-圆与方程-经典例题

习题精选精讲圆标准方程 已知圆心),(b a C 和半径r ,即得圆的标准方程222 )() (r b y a x =-+-；已知圆的标准方程222)()(r b y a x =-+-，即得圆心 ),(b a C 和半径r ，进而可解得与圆有关的任何问题． 一、求圆的方程 例1 (06重庆卷文) 以点)1,2(-为圆心且与直线0543=+-y x 相切的圆的方程为（ ) （A)3)1()2(22=++-y x (B)3)1()2(2 2=-++y x （C)9)1() 2(22 =++-y x （D)9)1()2(22=-++y x 解 已知圆心为)1,2(-,且由题意知线心距等于圆半径，即2 243546+++= d r ==3，∴所求的圆方程为9)1()2(22=++-y x ， 故选(C). 点评：一般先求得圆心和半径,再代入圆的标准方程222 )()(r b y a x =-+-即得圆的方程. 二、位置关系问题 例2 (06安徽卷文) 直线1=+y x 与圆0222=-+ay y x )0(>a 没有公共点,则a 的取值范围是( ) (A))12,0(- (B ）)12,12( +- （C))12,12(+-- (D))12, 0(+ 解 化为标准方程222 )(a a y x =-+，即得圆心),0(a C 和半径a r =. ∵直线 1=+y x 与已知圆没有公共点，∴线心距a r a d =>-= 2 1，平方去分母得 2 2212a a a >+-，解得 1212-<<--a ,注意到0>a ，∴120-<r d 线圆相离；?=r d 线圆相切;?

人教版高中数学《圆的标准方程》教案导学案

圆的标准方程 一、教学目标 (一)知识教学点 使学生掌握圆的标准方程的特点，能根据所给有关圆心、半径的具体条件准确地写出圆的标准方程，能运用圆的标准方程正确地求出其圆心和半径，解决一些简单的实际问题，并会推导圆的标准方程． (二)能力训练点 通过圆的标准方程的推导，培养学生利用求曲线的方程的一般步骤解决一些实际问题的能力． (三)学科渗透点 圆基于初中的知识，同时又是初中的知识的加深，使学生懂得知识的连续性；通过圆的标准方程，可解决一些如圆拱桥的实际问题，说明理论既来源于实践，又服务于实践，可以适时进行辩证唯物主义思想教育． 二、教材分析 1．重点：(1)圆的标准方程的推导步骤；(2)根据具体条件正确写出圆的标准方程． (解决办法：(1)通过设问，消除难点，并详细讲解；(2)多多练习、讲解．) 2．难点：运用圆的标准方程解决一些简单的实际问题． (解决办法：使学生掌握分析这类问题的方法是先弄清题意，再建立适当的直角坐标系，使圆的标准方程形式简单，最后解决实际问题．) 三、活动设计 问答、讲授、设问、演板、重点讲解、归纳小结、阅读． 四、教学过程 (一)复习提问 前面，大家学习了圆的概念，哪一位同学来回答？

问题1：具有什么性质的点的轨迹称为圆？ 平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆(教师在黑板上画一个圆)．问题2：图2-9中哪个点是定点？哪个点是动点？动点具有什么性质？圆心和半径都反映了圆的什么特点？ 圆心C是定点，圆周上的点M是动点，它们到圆心距离等于定长|MC|=r，圆心和半径分别确定了圆的位置和大小． 问题3：求曲线的方程的一般步骤是什么？其中哪几个步骤必不可少？ 求曲线方程的一般步骤为： (1)建立适当的直角坐标系，用(x，y)表示曲线上任意点M的坐标，简称建系设点；图2-9 (2)写出适合条件P的点M的集合P={M|P(M)|}，简称写点集； (3)用坐标表示条件P(M)，列出方程f(x，y)=0，简称列方程； (4)化方程f(x，y)=0为最简形式，简称化简方程； (5)证明化简后的方程就是所求曲线的方程，简称证明． 其中步骤(1)(3)(4)必不可少． 下面我们用求曲线方程的一般步骤来建立圆的标准方程．

圆的方程经典题目带答案

圆的方程经典题目 1．求满足下列条件的圆的方程 （1）过点A(5,2)和B(3,-2)，且圆心在直线32-=x y 上;（2）圆心在835=-y x 上，且与两坐标轴相切;（3）过ABC ?的三个顶点)5,5()2,2()5,1(C B A 、、---;（4）与y 轴相切，圆心在直线03=-y x 上，且直线 x y =截圆所得弦长为72；（5）过原点，与直线1:=x l 相切，与圆1)2()1(:2 2 =-+-y x C 相外切；（6）以C(1,1)为圆心，截直线2-=x y 所得弦长为22;（7）过直线042:=++y x l 和圆0142:2 2 =+-++y x y x C 的交点，且面积最小的圆的方程. （8）已知圆满足①截y 轴所得弦长为2；②被x 轴分成两段圆弧，其弧长的比为1:3③圆心到直线02:=-y x l 的距离为52.0，求该圆的方程. （9）求经过)3,1()2,4(-B A 两点且在两坐标轴上的四个截距之和是2的圆的方程 2、已知方程0916)41(2)3(24222=++-++-+m y m x m y x 表示一个圆（1）求实数m 的取值范围 （2）求该圆半径r 的取值范围（3）求面积最大的圆的方程（4）求圆心的轨迹方程 1. 已知圆252 2 =+y x , 求下列相应值

（1）过)4,3(-的切线方程（2）过)7,5(的切线方程、切线长；切点弦方程、切点弦长 （3）以)2,1(为中点的弦的方程 （4）过)2,1(的弦的中点轨迹方程 （5）斜率为3的弦的中点的轨迹方程 2. 已知圆 062 2 =+-++m y x y x 与直线032=-+y x 相交于Q P 、两点，O 为坐标原点，若OQ OP ⊥，求实数m 的值． 3、已知直线b x y l +=:与曲线21:x y C -=有两个公共点，求b 的取值范围 4、一束光线通过点)18,25(M 射到x 轴上，被反射到圆25)7(:2 2 =-+y x C 上.求： （1）通过圆心的反射线方程，（2）在x 轴上反射点A 的活动范围. 5、圆03422 2 =-+++y x y x 上到直线0=++m y x 的距离为2的点的个数情况 已知两圆01010:2 2 1=--+y x y x O 和04026:2 2 2=--++y x y x O （1）判断两圆的位置关系 （2）求它们的公共弦所在的方程 （3）求公共弦长 （4）求公共弦为直径的圆的方程． 题型五、最值问题 思路1：几何意义 思路2：参数方程 思路3、换元法 思路4、函数思想 1. 实数y x ,满足012462 2 =+--+y x y x （1）求 x y 的最小值 （2）求2 2y x ++32-y 的最值；（3）求y x 2-的最值（4）|143|-+y x 的最值 2. 圆25)2()1(:2 2=-+-y x C 与)(047)1()12(:R m m y m x m l ∈=--+++．（1）证明：不论m 取什么实数直线l 与圆C 恒相交（2）求直线l 被圆C 截得最短弦长及此时的直线方程 3、平面上有A （1,0），B （-1,0）两点，已知圆的方程为()()2 2 2342x y -+-=.⑴在圆上求一点1P 使△AB 1P 面积最大并求出此面积;⑵求使2 2 AP BP +取得最小值时的点P 的坐标. 4、已知P 是0843:=++y x l 上的动点，PB PA ,是圆01222 2 =+--+y x y x 的两条切线，A 、B 是切点， C 是圆心，那么四边形PACB 的面积的最小值为 5、已知圆的方程为0862 2=--+y x y x .设该圆过点（3，5）的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为_________ 6、已知圆的方程为0862 2=--+y x y x .设该圆过点（3，5）的互相垂直的弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为_________

圆的标准方程 练习题

第四章 4.1 4.1.1 A 级 基础巩固 一、选择题 1．圆心是(4，－1)，且过点(5,2)的圆的标准方程是 ( ) A ．(x －4)2＋(y ＋1)2＝10 B ．(x ＋4)2＋(y －1)2＝10 C ．(x －4)2＋(y ＋1)2＝100 D ．(x －4)2＋(y ＋1)2＝10 2．已知圆的方程是(x －2)2＋(y －3)2＝4，则点P (3,2)满足 ( ) A ．是圆心 B ．在圆上 C ．在圆内 D ．在圆外 3．圆(x ＋1)2＋(y －2)2＝4的圆心坐标和半径分别为 ( ) A ．(－1,2)，2 B ．(1，－2)，2 C ．(－1,2)，4 D ．(1，－2)，4 4．(2016·锦州高一检测)若圆C 与圆(x ＋2)2＋(y －1)2＝1关于原点对称，则圆C 的方程是 ( ) A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1 B ．(x －2)2＋(y －1)2＝1 C ．(x －1)2＋(y ＋2)2＝1 D ．(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝1 5．(2016·全国卷Ⅱ)圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0的圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离为1，则a ＝ ( ) A ．－4 3 B ．－34 C ．3 D ．2 6．若P (2，－1)为圆(x －1)2＋y 2＝25的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是 ( A ) A ．x －y －3＝0 B ．2x ＋y －3＝0 C ．x ＋y －1＝0 D ．2x －y －5＝0 二、填空题 7．以点(2，－1)为圆心且与直线x ＋y ＝6相切的圆的方程是 . 8．圆心既在直线x －y ＝0上，又在直线x ＋y －4＝0上，且经过原点的圆的方程是 三、解答题 9．圆过点A (1，－2)、B (－1,4)，求 (1)周长最小的圆的方程； (2)圆心在直线2x －y －4＝0上的圆的方程． 10．已知圆N 的标准方程为(x －5)2＋(y －6)2＝a 2(a >0). (1)若点M (6,9)在圆上，求a 的值； (2)已知点P (3,3)和点Q (5,3)，线段PQ (不含端点)与圆N 有且只有一个公共点，求a 的取值范围．

高中数学圆的方程典型例题

高中数学圆的方程典型例题 类型一：圆的方程 例1 求过两点)4,1(A 、)2,3(B 且圆心在直线0=y 上的圆的标准方程并判断点)4,2(P 与圆的关系． 分析：欲求圆的标准方程，需求出圆心坐标的圆的半径的大小，而要判断点P 与圆的位置关系，只须看点P 与圆心的距离和圆的半径的大小关系，若距离大于半径，则点在圆外；若距离等于半径，则点在圆上；若距离小于半径，则点在圆内． 解法一：（待定系数法） 设圆的标准方程为222)()(r b y a x =-+-． ∵圆心在0=y 上，故0=b ． ∴圆的方程为2 22)(r y a x =+-． 又∵该圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点． ∴?????=+-=+-2 22 24)3(16)1(r a r a 解之得：1-=a ，202 =r ． 所以所求圆的方程为20)1(2 2 =++y x ． 解法二：（直接求出圆心坐标和半径） 因为圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点，所以圆心C 必在线段AB 的垂直平分线l 上，又因为 13 12 4-=--= AB k ，故l 的斜率为1，又AB 的中点为)3,2(，故AB 的垂直平分线l 的方程为：23-=-x y 即01=+-y x ． 又知圆心在直线0=y 上，故圆心坐标为)0,1(-C ∴半径204)11(22=++= =AC r ． 故所求圆的方程为20)1(2 2 =++y x ． 又点)4,2(P 到圆心)0,1(-C 的距离为 r PC d >=++==254)12(22． ∴点P 在圆外． 说明：本题利用两种方法求解了圆的方程，都围绕着求圆的圆心和半径这两个关键的量，然后根据圆心与定点之间的距离和半径的大小关系来判定点与圆的位置关系，若将点换成直线又该如何来判定直线与圆的位置关系呢？

高中数学《圆的标准方程》导学案

2.1 圆的标准方程 [学习目标] 1.会用定义推导圆的标准方程；掌握圆的标准方程的特点． 2.会根据已知条件求圆的标准方程． 3.能准确判断点与圆的位置关系. 【主干自填】 1．确定圆的条件 (1)几何特征：圆上任一点到圆心的距离等于□01定长． (2)确定圆的条件：□02圆心和□03半径． 2．圆的标准方程 (1)以C (a ，b )为圆心，半径为r □ 04(x －a )＋(y －b )＝r . (2)当圆心在坐标原点时，半径为r 的圆的标准方程为□05x ＋y ＝r . 3．中点坐标 A (x 1，y 1)， B (x 2，y 2)的中点坐标为□06? ????x 1＋x 22，y 1＋y 22. 4．点与圆的位置关系 点与圆有三种位置关系，即点在圆外、点在圆上、点在圆内，判断点与圆的位置关系有两种方法： (1)几何法：将所给的点M 与圆心C 的距离跟半径r 比较： 若|CM |＝r ，则点M 在□07圆上； 若|CM |>r ，则点M 在□08圆外； 若|CM |

(2)代数法：可利用圆C的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2来确定： 点M(m，n)在□10圆上?(m－a)2＋(n－b)2＝r2； 点M(m，n)在□11圆外?(m－a)2＋(n－b)2>r2； 点M(m，n)在□12圆内?(m－a)2＋(n－b)2

椭圆及其标准方程练习题

椭圆及其标准方程练习题 【基础知识】 一．椭圆的基本概念 1。椭圆的定义：我们把平面内与两个定点的距离的和等于常数 （ ）的点 的轨迹叫做椭圆，用符号表示为这两个定点叫椭圆的 ，两个焦点之间的距离叫做椭圆的 。 二．椭圆的定义、椭圆的标准方程、椭圆的性质 椭圆的图象和性质 数学定义式 |MF 1｜+｜MF 2|=2a 焦点位置 x 轴 y 轴 图形 标准方程 焦点坐标 焦距 顶点坐标 a , b ， c 的关系式 长、短轴 长轴长=2a , 短轴长=2b 对称轴 两坐标轴 离心率 a c e = = （ 0 〈 e 〈 1） 椭圆方程的总形式为 [经典例题]： 例1. 根据定义推导椭圆标准方程. 已知B,C 是两个定点，｜BC ｜＝6,且ABC ?的周长等于16，求顶点A 的轨迹方程 已知F 1, F 2是定点,| F 1 F 2|=8, 动点M 满足｜M F 1|+|M F 2｜=8，则点M 的轨迹是 (A ）椭圆 （B )直线 （C ）圆 (D ）线段 y x o y x o

例2。写出适合下列条件的椭圆的标准方程： ⑴两个焦点坐标分别是(-4,0)、（4，0）,椭圆上一点P 到两焦点的距离之和等于10； ⑵两个焦点坐标分别是（0，－2)和（0,2)且过（23-,2 5） 例3 求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)两个焦点坐标分别是（-3，0)，（3，0)，椭圆经过点(5,0）. (2）两个焦点坐标分别是（0，5），(0，—5),椭圆上一点P 到两焦点的距离和为26. 例4 已知椭圆经过两点（)5,3()2 5 ,23与-，求椭圆的标准方程 例5 1.椭圆短轴长是2，长轴是短轴的2倍,则椭圆离心率是 ; 2。如果椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等差数列,则其离心率为 ; 3.若椭圆的两个焦点F 1、F 2与短轴的一个端点B 构成一个正三角形，则椭圆的离心率为 ； ［典型练习]： 1 椭圆 19 252 2=+y x 上一点P 到一个焦点的距离为5,则P 到另一个焦点的距离为( ） A 。5 B.6 C 。4 D 。10 2.椭圆 1169 252 2=+y x 的焦点坐标是( ） A 。（±5，0) B 。（0，±5） C 。（0，±12) D 。(±12，0) 3。已知椭圆的方程为 182 2 2=+m y x ，焦点在x 轴上，则其焦距为（ ） A 。228m - B.2m -22 C 。28 2-m D.222-m 4。1,6==c a ，焦点在y 轴上的椭圆的标准方程是

人教版高中数学必修二圆与方程题库完整

（数学2必修）第四章 圆与方程 [基础训练A 组] 一、选择题 １．圆22(2)5x y ++=关于原点(0,0)P 对称的圆的方程为 ( ) A ．22(2)5x y -+= B ．22(2)5x y +-= C ．22(2)(2)5x y +++= D ．22(2)5x y ++= 2．若)1,2(-P 为圆25)1(22=+-y x 的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是（ ） A. 03=--y x B. 032=-+y x C. 01=-+y x D. 052=--y x 3．圆012222=+--+y x y x 上的点到直线2=-y x 的距离最大值是（ ） A ．2 B ．21+ C ．2 21+ D ．221+ 4．将直线20x y λ-+=，沿x 轴向左平移1个单位，所得直线与 圆22 240x y x y ++-=相切，则实数λ的值为（ ） A ．37-或 B ．2-或8 C ．0或10 D ．1或11 5．在坐标平面，与点(1,2)A 距离为1，且与点(3,1)B 距离为2的直线共有（ ） A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条 6．圆0422=-+x y x 在点)3,1(P 处的切线方程为（ ） A ．023=-+y x B ．043=-+y x C ．043=+-y x D ．023=+-y x 二、填空题 1．若经过点(1,0)P -的直线与圆03242 2=+-++y x y x 相切，则此直线在y 轴上的截距是 __________________. 2．由动点P 向圆221x y +=引两条切线,PA PB ，切点分别为0 ,,60A B APB ∠=，则动点P 的轨迹方程为 。 3．圆心在直线270x y --=上的圆C 与y 轴交于两点(0,4),(0,2)A B --,则圆C 的方程为 . ４．已知圆()4322 =+-y x 和过原点的直线kx y =的交点为,P Q 则OQ OP ?的值为________________。

圆的标准方程优秀教案

第四章圆与方程 4.1 圆的方程 4.1.1 圆的标准方程 教材分析 本节内容数学必修2 第四章第一节的起始课，是在学习了直线的有关知识后学习的，圆是学生比较熟悉的曲线，在初中就已学过圆的定义．这节课主要是根据圆的定义，推出圆的标准方程，并会求圆的标准方程．本节课的教学重点是圆的标准方程的理解、掌握；难点是会根据不同的已知条件，利用待定系数法，几何法求圆的标准方程．通过本节课的学习培养学生用坐标法研究几何问题的能力，使学生加深对数形结合思想和待定系数法的理解，增强学生的数学意识． 课时分配 本节内容用1课时的时间完成，主要讲解圆的标准方程的推导和应用． 教学目标 重点: 圆的标准方程的理解、掌握． 难点：会根据不同的已知条件，利用待定系数法求圆的标准方程． 知识点：会求圆的标准方程. 能力点：根据不同的已知条件求圆的标准方程. 教育点：尝试用代数方法解决几何问题探究过程，体会数形结合、待定系数法的思想方法. 自主探究点：点与圆的位置关系的判断方法. 考试点：会求圆的标准方程. 易错易混点：不同的已知条件，如何恰当的求圆的标准方程. 拓展点：如何根据不同的条件，灵活适当地选取恰当的方法求圆的标准方程． 教具准备多媒体课件和三角板 课堂模式学案导学 一、引入新课 问题 1：什么是圆？ 【设计意图】回顾圆的定义便于问题2的回答． 【设计说明】学生回答． 问题2：在平面直角坐标系中，两点确定一条直线，一点和倾斜角也可以确定一条直线，那么在什么条件下可以确定一个圆？ 【设计意图】使学生在已有知识的基础上，结合圆的定义回答出确定圆的两个要素—圆心（定位）和半径（定形）． 【设计说明】教师引导，学生回答． 问题3：直线可以用一个方程表示，圆也可以用一个方程来表示吗？ 【设计意图】使学生在已有知识和经验的基础上，探索新知，引出本课题． 【设计说明】教师指出建立圆的方程正是我们本节课要探究的问题． 二、探究新知

圆的标准方程 练习题

第四章４.１4、1.１ A级基础巩固 一、选择题 1、圆心就是(４,－1),且过点(5,2)的圆的标准方程就是( ) Ａ、(ｘ－4)2＋(y+1)2=1０Ｂ.(x+4)2+(ｙ－1)２＝10 C.(ｘ-4)2＋(y＋1)2=１00 D、(ｘ－4)2＋(ｙ+1)2=１０ 2、已知圆的方程就是(x-2)２＋(ｙ－3)2=4,则点P(3,2)满足( ) A.就是圆心 B.在圆上?C、在圆内D、在圆外 3、圆(x＋1)2+(y－2)2＝４的圆心坐标与半径分别为( ) A、(-１,２),2 B、(1,－２),２ C.(-1,2),4D、(１,－２),4 4、(2016·锦州高一检测)若圆C与圆(x＋２)２+(y-1)2=1关于原点对称,则圆Ｃ的方程就是( ) A.(ｘ-２)2+(y＋１)２=1? B.(x-2)２+(ｙ-1)2=1 C.(x-1)2＋(y＋2)2＝１D、(ｘ+1)2＋(y+２)2＝１ ５.(20１6·全国卷Ⅱ)圆ｘ2+y２-2x-8y+1３=0的圆心到直线ax＋y-1=0的距离为1,则a＝( ) A、－错误!Ｂ.－错误! C.错误!D、２ 6、若P(2,-1)为圆(x-1)2＋y２=25的弦AB的中点,则直线AＢ的方程就是(A) Ａ、ｘ－y－3＝0?B、2ｘ＋y－3＝0?C、ｘ+y-1=0 D.2x-y－5＝0 二、填空题 7、以点(2,-1)为圆心且与直线x+ｙ=6相切的圆的方程就是、 8.圆心既在直线x-ｙ=０上,又在直线x+ｙ－４＝0上,且经过原点的圆的方程就是 三、解答题 9、圆过点Ａ(1,－2)、B(－1,4),求 (1)周长最小的圆的方程; (２)圆心在直线2ｘ-ｙ－4=0上的圆的方程、 1０、已知圆N的标准方程为(x-５)2+(ｙ－6)2=a2(a>0)、 (1)若点M(６,９)在圆上,求a的值; (2)已知点Ｐ(3,3)与点Q(5,３),线段PQ(不含端点)与圆N有且只有一个公共点,求a的取值范围、

高中数学圆与方程讲义练习及答案

第四章 圆方程 1、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的半径。 2 （1 点00(,)M x y 与圆2 2 2 ()()x a y b r -+-=的位置关系： 当22 00()()x a y b -+->2r ，点在圆外 当22 00()()x a y b -+-=2r ，点在圆上 当22 00()()x a y b -+-<2r ，点在圆内 （2当04>-+F E D 时，方程表示圆，此时圆心为? ? ? ? ?--2,2 E D ，半径为 F E D r 42 122-+= 当0422 =-+F E D 时，表示一个点； 当042 2<-+F E D 时，方程不表示任何图形。 （3）求圆方程的方法： 一般都采用待定系数法：先设后求。确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程， 需求出a ，b ，r ；若利用一般方程，需要求出D ，E ，F ； 另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置。 3、直线与圆的位置关系： 直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况： （1）设直线0:=++C By Ax l ，圆()()222:r b y a x C =-+-，圆心()b a C ,到l 的距离为 相离与C l r d ?>；相切与C l r d ?=；相交与C l r d ?< （2）过圆外一点的切线：①k 不存在，验证是否成立②k 存在，设点斜式方程，用圆心到该直线距离=半径，求解k ，得到方程【一定两解】 程：圆(x-a)2+(y-b)2=r 2，圆上一点为(x 0，y 0)，则过此点的切线方程为 4、圆与圆的位置关系：通过两圆半径的和（差），与圆心距（d ）之间的大小比较来确定。 设圆()()221211:r b y a x C =-+-，()()22 2222:R b y a x C =-+- 两圆的位置关系常通过两圆半径的和（差），与圆心距（d ）之间的大小比较来确定。 当r R d +>时两圆外离，此时有公切线四条； 当r R d +=时两圆外切，连心线过切点，有外公切线两条，内公切线一条； 注意：已知圆上两点，圆心必在中垂线上；已知两圆相切，两圆心与切点共线 圆的辅助线一般为连圆心与切线或者连圆心与弦中点

圆的标准方程学案

高二数学必修2 圆与方程 班级________ 姓名_________ 圆的标准方程 【课标要求】 回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程。 【学习目标】 1.能在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程。 2.能根据圆的标准方程写出圆心和半径，会根据条件求圆的方程。 【学习重、难点】 重点：圆的标准方程的求法及其应用。 难点：会根据不同的已知条件，利用待定系数法求圆的标准方程，以及选择恰当的坐标系解决 与圆有关的实际问题。 【问题探究】 请认真阅读教材P118—P119例1以前的内容，完成下列问题： 1.在直角坐标系中，当_________与_________确定后，圆就唯一确定了。因此，确定圆的最基本 的要素是_____________ 2.在直角坐标系中，设),(y x M 是圆心为),(b a A ，半径为r 的圆上任意一点，你能根据圆的定 义推到出圆的标准方程吗？ 3.（1）圆的标准方程有哪些特征？ （2）圆心在原点，半径为r 的圆的标准方程为_______________ 4.（1）若点),(00y x M 在圆2 22r y x =+内，则满足条件____________ （2）若点),(00y x M 在圆2 22r y x =+外，则满足条件____________ 同理，（3）若点),(00y x M 在圆2 22)()(r b y a x =-+-内，则满足条件____________ （4）若点),(00y x M 在圆2 22)()(r b y a x =-+-外，则满足条件____________ 【例题剖析】 例1：完成教材P119例1 例2：完成教材P119例2 思考：（1）你能说说本题的解题思路吗？ （2）你能根据三角形外心的定义给出其他解法吗？ 例3：完成教材P120例3 思考：（1）你能用类似例2的方法解答本题么？ （2）比较例2和例3，你能说说求任意ABC ?外接圆方程的方法有几种？ 试比较各自的优越性。 【自主测评】 独立完成教材P120练习1，3，4（两种方法） 【作业布置】 习题4.1A 组3，4，5， 【本节收获】 通过本节的学习，你有哪些收获？还有什么疑问？

(完整版)高中数学必修2圆与方程典型例题(可编辑修改word版)

标准方程(x - a )2 + (y - b )2 = r 2 ，圆心 (a , b )，半径为 r 11 11 11 11 0 0 第二节：圆与圆的方程典型例题 一、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的半径。二、圆的方程 （1） ； 点 M (x , y ) 与圆(x - a )2 + ( y - b )2 = r 2 的位置关系： 当(x - a )2 + ( y - b )2 > r 2 ，点在圆外 当(x - a )2 + ( y - b )2 = r 2 ，点在圆上 当(x - a )2 + ( y - b )2 < r 2 ，点在圆内 （2） 一般方程 x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0 当 D 2 + E 2 - 4F > 0 时，方程表示圆，此时圆心为?- D E ? ，半径为r = 当 D 2 + E 2 - 4F = 0 时，表示一个点； 当 D 2 + E 2 - 4F < 0 时，方程不表示任何图形。 ,- ? ? 2 2 ? 2 （3） 求圆方程的方法： 一般都采用待定系数法：先设后求。确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程， 需求出 a ，b ，r ；若利用一般方程，需要求出 D ，E ，F ； 另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置。 例 1 已知方程 x 2 + y 2 - 2(m - 1)x - 2(2m + 3) y + 5m 2 + 10m + 6 = 0 . （1） 此方程表示的图形是否一定是一个圆？请说明理由； （2） 若方程表示的图形是是一个圆，当 m 变化时，它的圆心和半径有什么规律？请说明理由. 答案：(1)方程表示的图形是一个圆；（2）圆心在直线 y =2x +5 上，半径为 2. 练习： 1．方程 x 2 + y 2 + 2x - 4 y - 6 = 0 表示的图形是（ ） Ａ．以(1，- 2) 为圆心， 为半径的圆 Ｂ．以(1，2) 为圆心， 为半径的圆 Ｃ．以(-1，- 2) 为圆心， 为半径的圆 Ｄ．以(-1，2) 为圆心， 为半径的圆 2．过点 A (1，－1)，B (－1，1)且圆心在直线 x ＋y －2＝0 上的圆的方程是( )． A ．(x －3)2＋(y ＋1)2＝4 B ．(x ＋3)2＋(y －1)2＝4 C ．(x －1)2＋(y －1)2＝4 D ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝4 3．点(1，1) 在圆(x - a )2 + ( y + a )2 = 4 的内部，则 a 的取值范围是（ ） Ａ． -1 < a < 1 Ｂ． 0 < a < 1 Ｃ． a < -1 或 a > 1 Ｄ． a = ±1 4．若 x 2 + y 2 + ( -1)x + 2y + = 0 表示圆，则的取值范围是 5. 若圆 C 的圆心坐标为(2，－3)，且圆 C 经过点 M (5，－7)，则圆 C 的半径为 . 6. 圆心在直线 y ＝x 上且与 x 轴相切于点(1，0)的圆的方程为 ． 7. 以点 C (－2，3)为圆心且与 y 轴相切的圆的方程是 ． 1 D 2 + E 2 - 4F

高中数学-圆的标准方程练习题

高中数学-圆的标准方程练习题 5分钟训练(预习类训练,可用于课前) 1.圆心是O(-3,4),半径长为5的圆的方程为( ) A.(x-3)2+(y+4)2=5 B.(x-3)2+(y+4)2 =25 C.(x+3)2+(y-4)2=5 D.(x+3)2+(y-4)2 =25 解析：以(a,b)为圆心,r 为半径的圆的方程是(x-a)2+(y-b)2=r 2 . 答案：D 2.以点A(-5，4)为圆心，且与x 轴相切的圆的标准方程为( ) A.(x+5)2+(y-4)2=16 B.(x-5)2+(y+4)2 =16 C.(x+5)2+(y-4)2=25 D.(x-5)2+(y+4)2 =25 解析：∵圆与x 轴相切，∴r=|b|=4.∴圆的方程为(x+5)2+(y-4)2 =16. 答案：A 3.圆心在直线y=x 上且与x 轴相切于点(1，0)的圆的方程为____________. 解析：设其圆心为P(a,a)，而切点为A(1，0)，则P A⊥x 轴，∴由PA 所在直线x=1与y=x 联立，得a=1.故方程为(x-1)2+(y-1)2 =1.也可通过数形结合解决，若圆与x 轴相切于点(1，0),圆心在y=x 上,可推知与y 轴切于(0，1). 答案：(x-1)2+(y-1)2 =1 10分钟训练(强化类训练，可用于课中) 1.设实数x 、y 满足(x-2)2 +y 2 =3，那么 x y 的最大值是( ) A. 2 1 B.33 C.23 D.3 解析：令 x y =k,即y=kx ，直线y=kx 与圆相切时恰好k 取最值. 答案：D 2.过点A(1,-1)、B(-1,1)，且圆心在直线x+y-2=0上的圆的方程是( ) A.(x-3)2+(y+1)2=4 B.(x+3)2+(y-1)2 =4 C.(x-1)2+(y-1)2=4 D.(x+1)2+(y+1)2 =4 解：由题意得线段AB 的中点C 的坐标为(2 1 1, 211+--),即(0,0)，直线AB 的斜率为k AB =11)1(1----=-1,则过点C 且垂直于AB 的直线方程为y-0=1 1--(x-0),即y=x.所以圆心坐标 (x,y)满足?? ?=-+=. 02, y x x y 得y=x=1. ∴圆的半径为])1(1[)11(2 2 --+-=2.因此，所求圆的方程为(x-1)2 +(y-1)2 =4. 答案：C 3.设点P(2,-3)到圆(x+4)2+(y-5)2 =9上各点距离为d,则d 的最大值为_____________. 解析：由平面几何性质，所求最大值为P(2，-3)到圆(x+4)2+(y-5)2 =9的圆心距离加上圆的半径，即d max =2 2 )53()42(--+++3=13.

高中数学圆与方程知识点

高中数学圆与方程知识点分析 1. 圆的方程：（1）标准方程：2 22()()x a y b r -+-=（圆心为A(a,b),半径为r ） （2）圆的一般方程：022=++++F Ey Dx y x （0422>-+F E D ） 圆心（-2D ，-2 E ）半径 F E D 421 22-+ 2. 点与圆的位置关系的判断方法：根据点与圆心的距离d 与r 在大小关系判断 3. 直线与圆的位置关系判断方法 （1）几何法：由圆心到直线的距离和圆的半径的大小关系来判断。 d=r 为相切，d>r 为相交，d0为相交，△<0为相离。利用这种方法，可以很简单的求出直线与圆有交点时的交点坐标。 4．圆与圆的位置关系判断方法 （1）几何法：两圆的连心线长为l ，则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点： 1）当21r r l +>时，圆1C 与圆2C 相离；2）当21r r l +=时，圆1C 与圆2C 外切； 3）当<-||21r r 21r r l +<时，圆1C 与圆2C 相交；4）当||21r r l -=时，圆1C 与圆2C 内切； 5）当||21r r l -<时，圆1C 与圆2C 内含； （2）代数法：由两圆的方程联立得到关于x 或y 的一元二次方程, 然后由判别式△来判断。△=0为外切 或内切，△>0为相交，△<0为相离或内含。若两圆相交，两圆方程相减得公共弦所在直线方程。 5. 直线与圆的方程的应用：利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系 题型一 求圆的方程 例1.求过点A( 2,0)，圆心在(3, 2)圆的方程。 变式1求过三点A （0，0），B （1，1），C （4，2）的圆的方程，并求这个圆的半径长和圆心坐标。 解：设所求的圆的方程为：02 2=++++F Ey Dx y x （也可设圆的标准方程求） ∵(0,0),(11A B φ，）,C(4,2)在圆上，所以它们的坐标是方程的解.把它们的坐标代入上面的方程，可以得到关于F E D ,,的三元一次方程组. 即??? ??=+++=+++=02024020F E D F E D F 解此方程组，可得：0,6,8==-=F E D 王新敞 ∴所求圆的方程为： 0682 2=+-+y x y x 王新敞

最新椭圆及其标准方程导学案

2.2.1 椭圆及其标准方程 【学法指导】1.仔细阅读教材（P38—P41），独立完成导学案，规范书写，用 红色笔勾画出疑惑点，课上讨论交流。 2.通过动手画出椭圆图形，研究椭圆的标准方程。 【学习目标】1.掌握椭圆的定义，标准方程的两种形式及推导过程。 2.会根据条件确定椭圆的标准方程，掌握用待定系数法求椭圆 的标准方程。 【学习重、难点】 学习重点：椭圆的定义和椭圆的标准方程． 学习难点：椭圆的标准方程的推导，椭圆的定义中常数加以限制的原因． 【预习案】 预习一：椭圆的定义（仔细阅读教材P38，回答下列问题） 1.取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板的同一个点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖画出的轨迹是一个 ． 点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什 么曲线 在移动笔尖的过程中，细绳的 保持不变，即笔尖 等于常数． 2.平面内与两个定点1F ，2F 的 的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的 ， 叫做椭圆的焦距。 3.将“大于|1F 2F |”改为“等于|1F 2F |”的常数，其他条件不变，点的轨迹 是 将“大于|1F 2F |”改为“小于|1F 2F |”的常数，其他条件不变，点的轨

迹存在吗？ 结论：在椭圆上有一点P ，则|1PF |+|2PF |= (a 2>|1F 2F | )。 a 2>|1F 2F |时，点的轨迹为 ； a 2=|1F 2F |时，点的轨迹为 ； a 2<|1F 2F |时，点的轨迹 。 预习二：椭圆的标准方程（仔细阅读教材P40，回答下列问题） 结论：2x ，2y 分母的大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上。 【探究案】 探究一、椭圆定义的应用 设P 是椭圆11625 2 2=+y x 上的任意一点，若1F 、2F 是椭圆的两个焦点，则21PF PF +等于（ ） A.10 B.8 C.5 D.4 （解法指导：椭圆的标准方程找到a ，根据|1PF |+|2PF |=a 2。） 解：椭圆中=2a ，a 2= 。 由椭圆的定义知21PF PF += = 。