直线与圆的位置关系知识点及例题

直线与圆的位置关系

一、知识点梳理

1、直线与圆的位置关系：

例1、下列判断正确的是（ ）

①直线上一点到圆心的距离大于半径，则直线与圆相离；②直线上一点到圆心的距离等于半径，则直线与圆相切；③直

线上一点到圆心的距离小于半径，?则直线与圆相交． A ．①②③ B ．①② C ．②③ D ．③

例2、过圆上一点可以作圆的______条切线；过圆外一点可以作圆的_____条切线；?过圆内一点的圆的切线______． 例3、以三角形一边为直径的圆恰好与另一边相切，则此三角形是_______． 例4、下列直线是圆的切线的是（ ）

A ．与圆有公共点的直线

B ．到圆心的距离等于半径的直线

C ．垂直于圆的半径的直线

D ．过圆直径外端点的直线

例5．如图所示，Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CA=6，CB=8，以C 为圆心，r 为半径作⊙C ，当r 为多少时，⊙C

与AB 相切？

2、切线的判定：

（1）根据切线的定义判定：即与圆有 一个 公共点的直线是圆的切线.

（2）根据圆心到直线的距离来判定：即与圆心的距离等于 半径 的直线是圆的切线.

（3）根据切线的判定定理来判定：即经过半径的 外端 并且 垂直于 这条半径的直线是圆的切线. 判定切线时常用的辅助线作法：

（1）若直线与圆有公共点时，辅助线的作法是“连结圆心和公共点”，再证明直线和半径垂直.

（2）当直线与圆并没有明确有公共点时，辅助线的作法是“过圆心向直线作垂线”再证明圆心到直线的距离等于圆的半径.

例6、判断下列命题是否正确

（1）经过半径的外端的直线是圆的切线

（2

（3）过直径的外端并且垂直于这条直径的直线是圆的切线； （4）和圆有一个公共点的直线是圆的切线；

（5）以等腰三角形的顶点为圆心，底边上的高为半径的圆与底边相切.

例7．OA 平分∠BOC ，P 是OA 上任一点（O 除外），若以P 为圆心的⊙P 与OC 相离，?那么⊙P 与OB 的位置关系是（ ）

A ．相离

B ．相切

C ．相交

D ．相交或相切

例8、如图所示，在直角坐标系中，⊙M 的圆心坐标为（m ，0），半径为2，?如果⊙M 与y 轴所在直线相

切，那么m=______，如果⊙M 与y 轴所在直线相交，那么m?的取值范围是_______．

例9、

如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点M ，过点B 作BE ∥CD ，交AC?的延长线于点E ，

连结BC ．

（1）求证：BE 为⊙O 的切线； （2）如果CD=6，tan ∠BCD=

1

2

，求⊙O 的直径．

例10、如图，已知：△ABC 内接于⊙O ，点D 在OC 的延长线上，sinB=

1

2

，∠D=30°．

（1）求证：AD 是⊙O 的切线；（2）若AC=6，求AD 的长．

例11、

如图，P 为⊙O 外一点，PO 交⊙O 于C ，过⊙O 上一点A 作弦AB ⊥PO 于E ，若

∠EAC=∠CAP ，求证：PA 是⊙O 的切线．

3、切线的性质：

1、经过切点的半径垂直于圆的切线，经过切点垂直于切线的直线必经过圆心

对于切线的性质可分解为：过圆心、过切点、垂直于切线这三个条件中任意两个作为条件，就可以推出第三个作为结论

4、切线长定理：

切线长定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长

切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角．

例12、如图1，PA 、PB 是⊙O 的两条切线、A 、B 为切点。PO 交⊙O 于E 点 （1）若PB=12，PO=13，则AO=____ （2）若PO=10，AO=6， 则PB=____

（3）若PA=4，AO=3，则PO=____；PE=_____. （4）若PA=4，PE=2，则AO=____.

例13、如图2，PA 、PB 是⊙O 的两条切线、 A 、B 为切点，CD 切⊙O 于E 交PA 、PB 于C 、D 两点。 （1）若PA=12，则△PCD 周长为____。 （2）若△PCD 周长=10，则PA=____。

（3）若∠APB=30°,则∠AOB=_____，M 是⊙O 上一动点，则∠A MB=____

3、三角形的内切圆

（1）定义：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形.

（2）三角形的内心是三角形的三条角平分线的交点，它到三边的距离相等. （3）连接内心和三角形的顶点平分三角形的这个内角. （4）三角形的内切圆和三角形的外接圆的比较： 图形的名称 ABC

ABC 圆心 O 叫做△ABC

(5)、顶点与切点间的线段长与三角形三边关系： 如图，⊙I 切△ABC 三边于点 D 、E 、F ，

则AD=AF=)(21

BC AC AB -+

BD=BE=)(21

AC BC AB -+

CE=CF=)(2

1

AB BC AC -+

特别地，当∠C =Rt ∠时，如图，四边形CEID 是正方形， 内切圆的半径

1

()2r CE CA CB AB ==+- rl S ABC

2

1

= (其中r 、l 分别是内切圆的半径和三角形的周长)

例14、如图Rt △ABC 的内切圆分别与AB 、AC 、BC 、相切于点E 、D

、F ，且∠ACB=90°，AC=3、BC=4，求⊙O 的半径。

例15、如图7—162，在△ABC 中，∠ABC=50°，∠ACB=75°，点O 是三角形的内心．

求：∠BOC ．

例16、如图，⊙O 是△A BC 的内切圆，D ，E ，F 是切点，∠A=50°，∠C=60°，?则∠DOE=（ ）

A ．70°

B ．110°

C ．120°

D ．130°

例17、如图，⊙O 为△ABC 的内切圆，∠C=90°，AO 的延长线交BC 于点D ，AC=4，?DC=1，则⊙O 的

半径等于（ ） A ．

4

5

B ．

54

C ．

34

D ．

56