九年级第三届“睿达杯”数学智能化竞赛含有参考答案试卷
第三届“睿达杯”中小学数学智能竞赛试题卷
九年级 第一试 考试时间 90分钟 满分
120分
考生须知：
1．作答必须用黑色墨迹签字笔或钢笔填写，答案必须写在答题纸上，答题时不得超出答题框，否则无效。
2．保持卷面清洁，不要折叠，不要弄破。
3．答题前，在答题纸左侧考生信息框中填写所在地、学校、姓名等信息。
4．本次考试采用网上阅卷，务必要正确填涂准考证号，准考证号填涂时需用2B 铅笔。
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，每题只有一个正确选项，多选、错选、不选均不得分）
1．若实数a b c ，，满足432-=+b a ，012442
=--+c b c ，则c b a ++的值为（ ▲ ）
A ．0
B ．3
C ．6
D ．9
2．抛物线b x b a ax y --+=)(2，如图所示，则化简a b
b ab a -+-222的结
果是（ ▲ ）
A ．a b a 2-
B ．a a b -2
C ．1
D ．1-
3．如图所示，在梯形ABCD 中，//90AD BC D M ∠=，，是AB 的中点，
若 6.5CM =，17BC CD DA ++=，则梯形ABCD 的面积为（ ▲ ）
A ．20
B ．30
C ．36
D ．45
4．如图所示，在一次函数3y x =-+的图象上取一点P ，作PA ⊥x 轴，垂足为A PB ，⊥y 轴，垂足为B ，且矩形OAPB 的面积为2，则这样的点P 共有（ ▲ ）
A ．4个
B ．2个
C ．6个
D ．无数个
5．如图所示，在△ABC 中，点D E ，分别在BC AB ，上，且
:2:1:1:3BD DC AE EB ==，，AD 与CE 相交于点F ，则FD AF FC EF +的值为（ ▲ ）
A ．12
B ．1
C ．32
D ．2
6．方程x x x 221
2-=-的实数根的情况是（ ▲ ）
A ．只有三个实数根
B ．只有两个实数根
C ．只有一个实数根
D ．没有实数根
7．若实数y x 、满足关系式x y x 62322=+，则22y x +的最大值为
(第4题) (第3题) (第2题) (第5题)
（ ▲ ）
A ．4
B ．92
C ．2
D ．52
8．如图所示，在平行四边形ABCD 中，
∠102BAD AF BC =⊥，于点F ，AF 交BD 于点E ，若
2DE AB =，则∠AED =（ ▲ ）
A ．62o
B ．64o
C ．66o
D ．68o
9．若关于x 的方程0222
=++b ax x 有实数根(其中b a 、都是奇数)，则它
的根（ ▲ ）
A ．一定是整数
B ．一定是分数
C ．一定是有理数
D ．一定是无理数
10．给定两组数，A 组为：1，2，…，100；B 组为：12，22，…，
1002．对于A 组中的数x ，若有B 组中的数y ，使x y +也是B 组中的数，则称x 为“关联数”，则A 组中这样的“关联数”有（ ▲ ）
A ．24个
B ．49个
C ．61个
D ．73个
二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)
(第8题)
11．若255-=x ，则)
4)(3)(2)(1(++++x x x x 的值为 ▲ ．
12．如图所示，在三行三列的方格棋盘上沿骰子的某条棱翻
动骰子(相对面上分别标有1点和6点，2点和5点，3点和4点)，开始时，骰子如左图所示摆放，朝上的点数是2，最后翻动到如右图所示位置，若要求翻动次数最少，则最后骰子朝上的点数为2的概率为 ▲ ．
13．如图所示，菱形纸片ABCD 的一内角为60°，边长为2，
将它绕对角线的交点O 顺时针旋转90°后到''''A B C D ，，，位置，则旋转前后重叠部分多边形的面积为 ▲ ．
14．已知关于x 的一元二次方程02
=++c bx ax 没有实数根．甲由于看错了二次项系数，误求得两根为2和4；乙由于看错了某项系数(包括常数项)的符号，误求得两根为1-和4，
则代数式a c b
32-的值为 ▲ ．
15．对于三个一次函数x y
=1，1312+=x y ，5543+-=x y ，若无论x 取何值，y 总取1y 、2y 、3y 中的最小值，则y 的最大值为
▲ ．
(第12题) (第13题)
(第16题)
16．如图所示，点(1)A m ，和点(3)B n ，是反比例函数(0)k y k x
=>图象上的两点，点P 是线段AB 上的动点(不与A B ，重合)，过点P 作PD x ⊥轴于D ，交反比例函数图象于点C ，则CD PC
的最小值为 ▲ ．
三、解答题（本大题共5小题，每小题10分，共50分）
17．由数字1，2，3组成五位数，要求这五位数中1，2，3
至少各出现一次，那么一共可以得到多少个这样的五位数?
18．某景区设计接待的游客数在同一时刻最多为13200人，
开放时间为早上8时到晚上8时．预计新年第一天，景区早上8时开放时就有8000名游客进入，之后进入景区的人数S 与开放时间n (n 为不大于10的正整数)的关系近似地可表示为：
n S =时离开景区的人数为400人．问在晚上6点之前，景区游客人数会不会达到饱和? 若会达到，请计算在开放后第几小时，从而景区采取限流措施；若不会，请说明理由．
19．如图所示，在⊙O 中，AB 是一非直径的弦，
点C 是弧AB 的中点，弦CD 与AB 交于点F ，连
结BD ，作BE 平分∠FBD 交CD 于点E ．
(1) 指出图中一定是等腰三角形的三角形和一
定相似的三角形，并证明；
(2) 求证：EF DE CE 111=+．
20．已知：点A (6，0)和B (0，3)，点C 是线段AB 上的点(不与
A B ，重合)，过C 分别作CD ⊥x 轴于D ，作CE ⊥y 轴于E ．设
过点C E ，的抛物线2y ax
bx c =++的顶点为M ，点M 落在四边形ODCE 内(包括四条边)．
(1) 若四边形ODCE 是正方形时，求a 的取值范围；
(2) 若P 为直线AB 上的一个动点，点M 关于直线CE 的对称点为
N
，若以E C N P ，，，为顶点的四边形为平行四边形时，求点C 横坐标c
x 的取值范围． 21．阅读下面的资料再完成( 1 )、( 2 )小题：
“由02)()(222≥-+=-ab b a b a ，可得ab b a 222≥+，当且仅当b a =时，
等号成立．类似的，对于正数b a 、，由02)()(
2≥-+=-ab b a b a ，可得ab b a 2
≥+，当且仅当b a =时，等号成立．由此对于函数x b
ax y +=(常数b a 、及变量x 均大于零)，x b ax x
b
ax y ?≥+=2ab 2=，当
(第19题)
且仅当x b ax =时，等号成立．” (1) 拟建一面积为400米2的矩形污水处理池，
池外圈( 矩形的一周 )建造单价为每米200
元，中间两条隔墙建造单价为每米250元，池底建造单价为每平方米80元(池壁的厚度忽略不计，且池无盖)．如图所示，设矩形的一边为x 米, 求总造价y (元)关于x (米)的函数关系式，并求当污水处理池两邻边分别为多少米时池的总造价最低，最低总造价为多少．
(2)一批货物随17列货车从A 市均以a 千米/小时匀速直达B
市，已知两地铁路线长400千米，为了安全，两列火车之间的距离不得小于220??? ??a 千米，求这批货物全部运到B 市最快需要几小时，此时货车运行速度为多少？(货车长度不计)
(第21题)