【三维设计】人教A版数学选修2-3全册练习：2.4 正态分布(含答案解析)

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一、选择题

1．正态曲线关于y 轴对称，当且仅当它所对应的正态总体的均值为( )

A ．1

B ．－1

C ．0

D ．不确定 解析：选C 均值即为其对称轴，∴μ＝0.

2．已知随机变量X 服从正态分布N(2，σ2)，P(X<4)＝0.84，则P(X≤0)＝( )

A ．0.16

B ．0.32

C ．0.68

D ．0.84

解析：选A 由X ～N(2，σ2)，可知其正态曲线如图所示，对称轴为直线x ＝2，则P(X≤0)＝P(X≥4)＝1－P(X<4)＝1－0.84＝0.16.

3．若随机变量X 的密度函数为f(x)＝12π

·e －x 2

2，X 在区间(－2，－1)和(1,2)内取值的概率分别为p 1，p 2，则p 1，p 2的关系为( )

A ．p 1>p 2

B ．p 1

C ．p 1＝p 2

D ．不确定

解析：选C 由正态曲线的对称性及题意知：μ＝0，σ＝1，所以曲线关于直线x ＝0对称，所以p 1＝p 2.

4．总体密度曲线是函数f(x)＝12πσe －－22σ2，x ∈R 的图象的正态总体有以下命题：

①②③④正态曲线关于直线x ＝μ对称；②正态曲线关于直线x ＝σ对称；③正态曲线与x 轴一定不相交；④正态曲线与x 轴一定相交，其中正确的命题是( )

A ．②④

B ．①④

C ．①③

D ．②③

解析：选C 利用正态函数图像的基本特征判断．

5．如果提出统计假设：某工厂制造的零件尺寸X 服从正态分布N(μ，σ2)，当随机抽取某一个测量值α时，可以说明假设不成立的是下列中的( )

A ．α∈(μ－3σ，μ＋3σ)

B ．α?(μ－3σ，μ＋3σ)

C ．α∈(μ－2σ，μ＋2σ)

D ．α?(μ－2σ，μ＋2σ)

解析：选B 由生产实际中的3σ原则可知：P(μ－3σ

二、填空题

6．已知正态分布落在区间(0.2，＋∞)内的概率为0.5，那么相应的正态曲线f(x)在x ＝________时达到最高点．

解析：由正态曲线关于直线x＝μ对称且在x＝μ处达到峰值和其落在区间(0.2，＋∞)内的概率为0.5，得μ＝0.2.

答案：0.2

7．设随机变量ξ服从正态分布N(2,9)，若P(ξ>c＋1)＝P(ξ

解析：ξ服从正态分布N(2,9)，且P(ξ>c＋1)＝P(ξ

2＝2，则c＝2.

答案：2

8．设随机变量X～N(1,22)，则Y＝3X－1服从的总体分布可记为________．

解析：因为X～N(1,22)，所以μ＝1，σ＝2.

又Y＝3X－1，所以E(Y)＝3E(X)－1＝3μ－1＝2，D(Y)＝9D(X)＝62.

∴Y～N(2,62)．

答案：Y～N(2,62)

三、解答题

9．设X～N(4,1)，证明P(2

证明：因为μ＝4，所以正态曲线关于直线x＝4对称，所以P(2

10．在某次数学考试中，考生的成绩ξ服从一个正态分布，即ξ～N(90,100)．

(1)试求考试成绩ξ位于区间(70,110)上的概率是多少？

(2)若这次考试共有2 000名考生，试估计考试成绩在(80,100)的考生大约有多少人？

解：因为ξ～N(90,100)，所以μ＝90，σ＝100＝10.

(1)由于正态变量在区间(μ－2σ，μ＋2σ)内取值的概率是0.954 4，而该正态分布中，μ－2σ＝90－2×10＝70，μ＋2σ＝90＋2×10＝110，于是考试成绩ξ位于区间(70,110)内的概率就是0.954 4.

(2)由μ＝90，σ＝10，得μ－σ＝80，μ＋σ＝100.

由于正态变量在区间(μ－σ，μ＋σ)内取值的概率是0.682 6，所以考试成绩ξ位于区间(80,100)内的概率是0.682 6.一共有2 000名学生，所以考试成绩在(80,100)的考生大约有2 000×0.682 6≈1 365(人)．