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一、计算题:(每小题8分,共40分) 十六章

1、求y x y

x xy y x y x +++→→2430

0lim

2、lim()

x x y y x y →→+0

3、lim()

x x y y x y →→+0

4、求

x y x x y

x →∞

→+-α

lim ()11

(10分)

十七章

1、求()

z f xy x y =22

, 的所有二阶偏导数.

2、设2

2(,),z u f x y y =+求,,u u u x y z ??????,2u

x y

???

3、设22

2(,

),z u f x y f y =+是可微函数,求,,u u u x y z

?????? 4、设(,,)F f x xy xyz =,求,,F F F

x y z

?????? 5. 求函数

()33220,x y f x y x y ??=???

－，

，＋ 22

22x y 0x y 0≠=＋，＋，

在原点的偏导数()00x f ，与()00y f ，.

6. 设函数()u f x y =，在2

R 上有0xy u =，试求u 关于x y ，的函数式.

7.设2

(,)y u f x y x =求

22,u u x x

????

8.设x

h z h y g y f x e z d z

c y b x a z y x +++++++++=),,(?, 求22x

???

9. 1

1211222

21111),,(---=n n

n n n

n x x x x x x

x x x x x x u

, 求 ∑=??n

k k

x u x 1

10.求函数xyz u =在点)2,1,5(A 处沿到点)14,4,9(B 的方向AB 上的方向导数. 11.设)ln(2

v u z += 而 y x v e

u y x +==+2

, 求

x z

???2 12.用多元复合微分法计算 2

2cos sin ln )1(x x x

x y ++=的导数.

13.求 5362),(22+----=y x y xy x y x f 在点)2,1(-的泰勒公式.

14.求 )sin(sin sin y x y x z +-+=在}2,0,0|),{(π≤+≥≥=y x y x y x D 上的最大与最小值.

15.设123123123()()()

(,,)()()()()()()

f x f x f x x y z

g y g y g y

h z h z h z φ=，求3x y z

????

16、试求抛物面22

z ax by =+在点000(,,)M x y z 处的切平面方程与法线方程. 17、设2ln()z u v =+，而2

2,x y u e v x y +==+,求

,.z z x y

???? 18、没222

(,,)f x y z x y z =++，求f 在点0(1,1,1)P 沿方向:(2,1,2)l -的方向导数．

19、求函数2x y

z e

+=的所有二阶偏导数和32

y x ???.

20、设(,)x z f x y =求222,z z

x x y

?????.

21、求2

(,)56106f x y x y x y =+-++的极值．

22、

十八章

1设有函数组x e u v

y e u v

u u

=+=-???sin cos 求偏导数,x y u u

2、求曲线2226,0x y z x y z ++=++=在点(1,2,1)M -处切线与法平面方程

3、求曲面228x z

y z

+=在点(2,2,1)M 的切平面与法线方程 4、求sin sin sin u x y z =满足(0,0,0)2

x y z x y z π

++=

>>>的条件级值。（10分）

5、若n 个正数12,,,n x x x 之和为a

，求u =(10分)

6.求曲线2226,0x y z x y z ++=++=在点(1,2,1)M -的切线方程与法平面方程

7.求曲线22222250,x y z x y z ++=+=在点(3,4,5)P 处的切线与法平面方程 8、设u f x y z x e z y x y ===(,,),(,,),sin ,φ20其中 f ,φ都具有一阶连续偏导数，且

?φ?z du

≠0,求。 9.设函数),(y x u u =由方程组0),(,0),,(),,,,(===t z h t z y g t z y x f u 所确定,

求

x u ????,. 10.求函数 2

22z y x x u ++= 在点)2,2,1(-M 处沿曲线4

22,2,t z t y t x -===在该点

切线方向导数.

11.),,(),(22u y x g u x f u x +=+, 求

u x u ????,. 12.求出椭圆122

2222=++c

z b y a x 在第一卦限中的切平面与三个坐标面所成四面体的最小体

积.

13、试求下列方程所确定的函数的偏导数

u u

x y

????，：（1）()()2

x u f x u g x y u =＋，＋，，；

14、设()()()x f u,,,y g u,,,z h u,,,υωυωυω===求：

u u u .x y z

??????，， 15、求球面22250x y z ++=与锥面222x y z +=所截出的曲线的点（3，4，5）处的切线与法平面方程.

16、讨论方程组 222(,,,)0

(,,,)10

F x y u v u v x y

G x y u v u v xy ?=+--=?=-+-+=? 在点(2,1

,1.2)o P 近旁能确定怎样的隐含数组，并求其偏导数.

17、求椭球面222236x y z +=在（1，1，1）处的切平面方程与法线方程..

十九章

1.)0(0

>>?

-∞+--αββαdx x e e x

x 2.求)0(sin 0

>>?

-∞+--αββαxdx x

e e x

3、应用积分号下积分法计算定积分x x x

dx b a

ln 0

4.应用参量的微分法计算积分?++=1

021)1ln(x x I

5.应用

a a x dx 20

22π=+?

+∞

, 求?+∞++0122)

(n a x dx

6.设?

sin )

,()(dy y y

y x k x u (10≤≤x ), 其中???>-≤-=y

x x y y x y x y x k ),1(,)1(),(,求 )(x u ''. 7.用B 函数计算?

2sin π

udu n .

8.计算0

sin sin (0,0)px

bx ax

I e dx p b a x

+∞

--=

>>>?

9、在区间13x ≤≤内用线性函数a bx +近似代替2

()f x x =，试求,a b 使得积分

220

()a bx x dx +-?

取最小值.

10、求函数20

1sin()()a x

F a dx x

+∞

的不连续点，并作函数()F a 的图像.

11、计算2

()cos 0x r e rxdx ?-+∞=

12、求1()0s x

s x e dx --+∞Γ=

?的定义域. 13、求111(,)(1)0

p q B p q x x dx --=

-?的定义域. 14、求 122

lim 1a

a dx

x a

+→?++. 15、

二十章

1、计算?++-L y dy ye x dx y x )3()2(2 其中L 为由直线 0,22y x y =+=及半圆弧

221(0)x y x +=<所围成的区域D 的边界,方向取正方向

2、设L 为右半单位圆周,求||l

I y ds =?

3、计算曲线面线

[(1cos )(sin )]x c

e y dx y y dy ---? ，其中C 为曲线,0,4

r π

αθθ===,(,r θ为极坐标)所围成的曲线.

4、设L 是sin )(02)(1cos )x R

t t t y R t π=-?≤≤?=-?（，求y ds L

2?。

5、计算

()()()e

x y z dx e y z dy e yz dz x

y z ++-++?22322 其中L 为正向圆周

y z R x 222

0+==??

(如果从x 轴正向看去曲线依逆时针方向绕行)。 6.计算

xyzdz , 其中1:222

=++z y x

L 与z y =相交的圆,满其方向按曲线依次经过

1,2,7,8卦限. 7:计算

?-+-+-L

dz y x dy x z dx z y )()()(222222, 其中L 为球面1222=++z y x 在第

一卦限部分的边界曲线, 其方向按曲线依次经过xy 平面部分, yz 平面部分和zx 平面部分. 8.计算?

yds , 其中L 是由x y =2和2=+y x 所围的闭曲线.

9.计算

?-L

ydx x dy xy

, 其中L 为右半圆周222a y x =+从),0(a A 到),0(a B -的一段.

10.计算?L

ds y ||, 其中L 为双纽线)()(222222y x a y x -=+

11.计算

++L

dz x dy z dx y 222, 其中L 为,2222a z y x =++)0,0(22>≥=+a z ax y x ,

若从x 轴正向看去,L 是沿逆时针方向进行的. 12.计算

?--L y

x dx dy , L 是抛物线42

-=x y ,从)4,0(-A 到)0,2(B 的一段. 13、计算

222L

y dx z dy x dz ++?

，L 是维维安尼曲线222222,x y z a x y ax ++=+=，

(0,0)z a ≥>，若从x 轴正向看去，L 是沿逆时针方向进行的.

14、计算沿空间曲线的第二型曲线积分:

xyzdz ,其中1:222

=++z y x

L 与z y =相交的

圆,其方向按曲线依次经过1,2,7,8卦限; 15、计算

2x ds L

?，其中L 为球面2222x y z a ++=被平面0x y z ++=所截得圆周。 16、计算第二型曲线积分2

(),

I xydx y x dy x dz L =

+-+? L 是螺旋

线:cos ,sin ,x a t y a t z bt ===从0t = 到t π=上的一段. 17、

二十一章

1、求由抛物线2

,(0)y px y qx p q ==<< 以及双曲线,(0)xy a xy b a b ==<<所围成区域的面积.

2、求球面2

x y z a ++= 含在柱面2

(0)x y ax a +=>内部的面积S 3求二重积分

()sgn()[,]'[,]

x y x y dxdy +-???0101

4、利用格林公式计算

y dx y y dy x

[(cos )(sin )]1---?其中c 为域

0,0s i x y x π<<<<的正方向的闭曲线.

5、求抛物面22(0)x y az a +=> 柱面22

2x y ax +=与0z =所围成立体V 的体积

6、设D 是由曲线y x y x x =+==2120,,所围成的区域，求

y dxdy D

+??

。(10分) 7、求两条抛物线2y mx =与2y nx =和两条直线y x α=与y x β=所围成区域R 的面积 (0,0m n αβ<<<<) 8.求三重积分

zdxdydz V

??? 其中V 由2224(0)x y z z ++=≥ 和22

3x y z += 围成 9.求(x 2+2xy-y 2)dx+(x 2-2xy-y 2)dy 的原函数

10.求e e x y y dx e e x y dy x y x y [()][()]-+++-+21 的原函数. 11..求三重积分

()x y z dxdydz V

222++???其中V 由曲面2222

(0)x y z R z ++=≥与222x y z +=围成.

12、计算

arctg y

x dxdy D

?? D x y y y x :,,14022≤+≤≥≤。 13、计算

x y z dxdydz 222++???

Ω:,,x y z x y z R z 22222220+≤++≤≥。

14.

计算

sin D

??其中D:ππ22224≤+≤x y 15.计算

e dxdydz y Ω

??? 其中Ω:由2221x y z ++=,1

0,2

y y ==围成. 16.求参数p ,使得在任何不经过0y =的区域上的线积分

dy y x y

dx y x y x p p c

)()(2222

22+-+?

与路线无关. 17.计算}0,0,1|),{(,≥≥≤+=??+-

y x y x y x D dxdy e

D y

x y

18.计算???V

dxdydz z

, V 由2222r z y x ≤++和rz z y x 2222≤++所确定.

19.计算

--+-222

2210

y x y x x dz z dy dx

20.设}1|),,{(22

2222≤++=c z b y a x z y x V ,计算???---V

dxdydz c z b y a x 2222221.

21. 设}1|

),,{(22

2222≤++=c z b y a x z y x V ,计算???++V

c z b y a

x dxdydz e 2

222

2..

22. 设}0,1|),,{(22

2222≥≤++=z c z b y a x z y x V ,计算???V

zdxdydz .

23.222),,(z y x z y x f ++=,}|),,{(222z y x z y x z y x V ++≤++=,求f 在V 上的平均值. 24.计算

??≤≤≤≤+2

0][y x d y x σ.

25.计算

??≤++-4

22)2sgn(y x d y x

26.应用格林公式计算?

-L

ydy x dx xy 22,其中L 为上半圆周222a y x =+,从)0,(a 到)

0,(a -的一段. 27.??≤≤≤≤-

y t x y tx d e

t F 00)(σ,求)(t F '.

28. ???

≤++++=

222)()(222t z y x dv z y x f t F ,其中)(u f 为可微函数,求)(t F '.

29. ???≤≤≤≤≤≤=

x t x t x dv xyz f t F 000)()(,其中)(u f 为可微函数,求)(t F '.

30.设)..(z y x f 在],0[],0[ππ?=D 上连续,且恒取正值,试求

??∞

→D

n d y x f x σ1)),()((sin lim .

31.求指数λ,使得曲线积分?-=)

,(),(2200t s t s dy r y

x dx r y x k λ

λ与路线无关(2222z y x r ++=).并

求k .

32、设D 是0,1x y ==由直线y x =围成的区域，试计算：2

I x e d σ-=?? 的值。 33、计算抛物线2

()(0)x y ax a +=>与x 轴所围的面积。

34、求抛物线 22

,y mx y nx == 和直线 ,y x y x αβ== 所围区域D 的面积

()(0.0)D m n μαβ<<<<.

35、求球面2222x y z R ++=被圆柱面22x y Rx +=所割下部分的体积（称为维维安尼（Viviani ）体）

36、试应用曲线积分求(2sin )(cos )x y dx x y dy ++的原函数. 37、计算

22V

dxdydz

x y +???，其中V 为平面1,2,0,,x x z y x z y =====所围得区域. 38、计算

2()V

y dxdydz +???,其中V 时曲面222()x y z +=与4z =为界面的区域.

39、求V

I zdxdydz =???，其中V 为由222

2221x y z a b c ++≤与0z ≥所围区域。

、求圆锥z =在圆柱体22x y x +≤内那一部分的面积。

41、

二十二章

1、计算I=

??+++S

dxdy ydzdx dydz x )1(( 其中S 是OABC 四面体

(O 为(0,0,0),A 为(1,0,0),B 为(0,1,0),C 为(0,0,1)) 2、计算

??S

z dS 其中S 是球面2222

x y z a ++=被平面(0)z h h a =<<所截的顶部(z h ≥) 3、计算曲面积分??S

dydz x 3

, 其中S 是x a y b z c 22222

21++= 的0x ≥部分,取

曲面外侧为正侧. 4

、

计

算

x dydz y dzdx z dxdy 222

++??,其中∑∑

为平面，

,0,0,x y z x a y a z a a ======>所围成的立体的表面的外侧。

5.计算

xdydz ydzdx zdxdy ++∑

其中∑是半球面 z=R x y 222

--的上侧 6.计算

??++S

dS z y x )(,其中S 是上半球面0,2

222≥=++z a z y x . 7.计算??+S y

x dS 22,其中S 为柱面2

22R y x =+被H z z ==,0所截取的部分. 8.计算

??S

xyzdxdy ,其中S 是球面12

22=++z y x ,在0,0≥≥y x 部分,并取球面外侧.

9计算

??S

yzdzdx ,其中S 是球面12

22=++z y x 的上半部分并取球面外侧为正. 10.计算

??+++-S

dxdy xz y dzdx x

dydz z x y )()(22

,其中S 为由0===z y x ,

a z y x ===六个平面所围的立方体表面并取外侧为正向.

11. 计算

??++S

xzdxdy yzdzdx xydydz

,其中S 是由平面0===z y x 和1=++z y x 所围

的四面体表面并取外侧为正向. 12计算

??++S xydxdy zxdzdx yzdydz ,其中S 是单位球面1222

=++z y x

的外侧.

13.计算.

++S

dxdy z dzdx y dydx x 333,其中S 是单位球面1222=++z y x 的外侧. 14.计算. ??++S

zdxdy ydzdx xdydz ,其中S 是上半球面2222a z y x =++的外侧. 15.计算

dz y x dy z x dx z y L

)()()(222222+++++?

,其中L 为1=++z y x 与三坐标面的

交线,它的走向使所围平面区域上侧在曲线的左侧. 16. 计算

zdz dy dx y x

L ++?32

,其中L 为y x z y ==+,122所交椭圆的正向.

17. .计算

dz x y dy z x dx y z L

)()()(-+-+-?,其中L 为以),0,0(),0,,0(),0,0,(a C a B a A 为

顶点的三角形沿ABCA 的方向. 18.求xydz xzdy yzdx ++的原函数.

19.求dz xy z dy xz y dx yz x )2()2()2(2

-+-+-的原函数. 20.求

--+)

4,3,2()

1,1,1(32dz z dy y xdx

21.设z xy R xz x Q yz y x P 4)2(,235,352

-+=-+=++=λλλ,计算

?++L

Rdz Qdy Pdx ,其中L 为螺旋线)20(,sin ,cos π≤≤===t ct z t a y t a x .

22.计算??++=

zydxdy yxdzdx xzdydz I ,其中S 是柱面12

2=+y x 在11≤≤-z 和0≥x 的部分.曲面侧的法向与x 轴正向成锐角. 23、计算S

I xydydz yxdzdx zydxdy =

++??,其中S 是柱面2

21x

y +=在11z -≤≤和0

x ≥的部分,曲面侧的法向与x 轴正向成锐角.

24、计算s zdS ??，其中S 为螺旋面的一部分cos ,

:sin ,,,(,)x u v S y u v z v u v D

=??

=??=∈?

0:02u a D v π≤≤??≤≤?.

25、计算

xyzdxdy ??，其中S 时球面 2

221x

y z ++= 部分并取球面外侧。

26、计算

(2)()()L

y z dx x z dy y x dz ++-+-? ,其中L 为平面1x y z ++=与各坐标面的交

线，取逆时针方向为正向。 27、验证曲线积分 ()()()L

y z dx z x dy x y dz +++++?与路线无关，并求被积表达式的原

函数(,,)u x y z 。 28、二十三章

答案

数学分析试题库--证明题

数学分析题库（1-22章）五．证明题 1．设A ，B 为R 中的非空数集，且满足下述条件：（1）对任何B b A a ∈∈,有b a <；（2）对任何0>ε，存在B y A x ∈∈,，使得ε<-x Y . 证明：.inf sup B A = 2.设A ，B 是非空数集，记B A S ?=，证明：（1）{}B A S sup ,sup max sup =；（2）{}B A S inf ,inf min inf = 3. 按N -ε定义证明 3 52325lim 22=--+∞→n n n n 4.如何用ε-N 方法给出a a n n ≠∞ →lim 的正面陈述？并验证|2n |和|n )1(-|是发散数列. 5.用δε-方法验证： 3) 23(2lim 221-=+--+→x x x x x x . 6．用M -ε方法验证： 2 11lim 2- =-+-∞ →x x x x . 7 . 设a x x x =→)(lim 0 ?，在0x 某邻域);(10δx U ?内a x ≠)(?，又.)(lim A t f a t =→证明 A x f x x =→))((lim 0 ?. 8.设)(x f 在点0x 的邻域内有定义.试证：若对任何满足下述条件的数列{}n x ，（1）)(0x U x n ?∈，0x x n →，（2）0010x x x x n n -<-<+，都有A x f n n =∞ →)(lim ，则A x f x x =→)(lim 0 . 9. 证明函数 ? ? ?=为无理数为有理数x ， x x x f ,0,)(3 在00=x 处连续，但是在00≠x 处不连续.

数学分析试题库--选择题

数学分析题库（1-22章）一．选择题１．函数7 12arcsin 162 -+-= x x y 的定义域为（）. （A ）[]3,2； (B)[]4,3-； (C)[)4,3-； (D)()4,3-. ２．函数)1ln(2 ++ =x x x y ()+∞<<∞-x 是( ）. （A ）偶函数; (B)奇函数; (C)非奇非偶函数; (D)不能断定. ３．点0=x 是函数x e y 1 =的（）. （A ）连续点; (B)可去间断点; (C)跳跃间断点; (D)第二类间断点. ４．当0→x 时，x 2tan 是（）. （A ）比x 5sin 高阶无穷小 ; (B) 比x 5sin 低阶无穷小; (C) 与x 5sin 同阶无穷小; (D) 与x 5sin 等价无穷小. ５．x x x x 2) 1 ( lim -∞ →的值（）．（A ）e; (B) e 1; (C)2e ; (D)0. ６．函数f(x)在x=0x 处的导数)(0' x f 可定义为（）．（A ） 0) ()(x x x f x f -- ; (B)x x f x x f x x ?-?+→) ()(lim ; (C) ()()x f x f x ?-→?0lim ; (D)()() x x x f x x f x ??--?+→?2lim 000 . ７．若()() 2 102lim =-→x f x f x ，则()0f '等于（）. （A ）4; (B)2; (C) 2 1; (D)4 1, ８．过曲线x e x y +=的点()1,0处的切线方程为（）. （A ）()021-=+x y ; (B)12+=x y ; (C)32-=x y ; (D)x y =-1. ９．若在区间()b a ,内，导数()0>'x f ，二阶导数()0>''x f ，则函数()x f 在区间内是（）. （A ）单调减少，曲线是凹的; (B) 单调减少，曲线是凸的; (C) 单调增加，曲线是凹的; (D) 单调增加，曲线是凸的. 10．函数()x x x x f 933 12 3 +-= 在区间[]4,0上的最大值点为（）. （A ）4; (B)0; (C)2; (D)3.

大一下学期高等数学考试题

大一下学期高等数学考试题 This manuscript was revised by the office on December 10, 2020.

一、单项选择题（6×3分） 1、设直线，平面，那么与之间的夹角为() 、二元函数在点处的两个偏导数都存在是在点处可微的（） A.充分条件 B.充分必要条件 C.必要条件 D.既非充分又非必要条件 3、设函数，则等于（） . C． D. 4、二次积分交换次序后为（） . . 5、若幂级数在处收敛，则该级数在处（） A.绝对收敛 B.条件收敛 C.发散C.不能确定其敛散性 6、设是方程的一个解，若，则在处（） A.某邻域内单调减少 B.取极小值

C.某邻域内单调增加 D.取极大值二、填空题（7×3分） 1、设＝（4，-3，4），＝（2，2，1），则向量在上的投影＝ 2、设，，那么 3、D为，时， 4、设是球面，则＝ 5、函数展开为的幂级数为 6、＝ 7、为通解的二阶线性常系数齐次微分方程为三、计算题(4×7分) 1、设，其中具有二阶导数，且其一阶导数不为1，求。 2、求过曲线上一点（1，2，0）的切平面方程。 3、计算二重积分，其中 4、求曲线积分，其中是沿曲线由点（0，1）到点（2，1）的弧段。 5、求级数的和。

四、综合题(10分) 曲线上任一点的切线在轴上的截距与法线在轴上的截距之比为3，求此曲线方程。五、证明题(6分) 设收敛，证明级数绝对收敛。一、单项选择题（6×3分） 1、A 2、C 3、C 4、B 5、A 6、D 二、填空题（7×3分） 1、2 2、 3、 4、 5、6、07、三、计算题(5×9分) 1、解：令则，故 2、解：令则所以切平面的法向量为：切平面方程为： 3、解：＝＝＝ 4、解：令，则当，即在x轴上方时，线积分与路径无关，选择由（0，1）到（2，1）则

数学分析试题及答案解析

2014 ---2015学年度第二学期《数学分析2》A 试卷一. 判断题（每小题3分，共21分）(正确者后面括号内打对勾，否则打叉) 1.若()x f 在[]b a ,连续，则()x f 在[]b a ,上的不定积分()?dx x f 可表为()C dt t f x a +?（）. 2.若()()x g x f ,为连续函数，则()()()[]()[]????= dx x g dx x f dx x g x f （）. 3. 若()?+∞a dx x f 绝对收敛，()?+∞a dx x g 条件收敛，则()()?+∞ -a dx x g x f ][必然条件收敛（）. 4. 若()?+∞ 1dx x f 收敛，则必有级数()∑∞=1 n n f 收敛（） 5. 若{}n f 与{}n g 均在区间I 上内闭一致收敛，则{}n n g f +也在区间I 上内闭一致收敛（）. 6. 若数项级数∑∞ =1n n a 条件收敛，则一定可以经过适当的重排使其发散于正无穷大（）. 7. 任何幂级数在其收敛区间上存在任意阶导数，并且逐项求导后得到的新幂级数收敛半径与收敛域与原幂级数相同（）. 二. 单项选择题（每小题3分，共15分） 1.若()x f 在[]b a ,上可积，则下限函数()?a x dx x f 在[]b a ,上（） A.不连续 B. 连续 C.可微 D.不能确定 2. 若()x g 在[]b a ,上可积，而()x f 在[]b a ,上仅有有限个点处与()x g 不相等，则（）

A. ()x f 在[]b a ,上一定不可积； B. ()x f 在[]b a ,上一定可积,但是()()??≠b a b a dx x g dx x f ； C. ()x f 在[]b a ,上一定可积，并且()()??=b a b a dx x g dx x f ； D. ()x f 在[]b a ,上的可积性不能确定. 3.级数()∑∞=--+12111n n n n A.发散 B.绝对收敛 C.条件收敛 D. 不确定 4.设∑n u 为任一项级数，则下列说法正确的是（） A.若0lim =∞→n n u ，则级数∑ n u 一定收敛； B. 若1lim 1<=+∞→ρn n n u u ，则级数∑n u 一定收敛； C. 若1,1<>?+n n u u N n N ，时有当，则级数∑n u 一定收敛； D. 若1,1>>?+n n u u N n N ，时有当，则级数∑n u 一定发散； 5.关于幂级数∑n n x a 的说法正确的是（） A. ∑n n x a 在收敛区间上各点是绝对收敛的； B. ∑n n x a 在收敛域上各点是绝对收敛的； C. ∑n n x a 的和函数在收敛域上各点存在各阶导数； D. ∑n n x a 在收敛域上是绝对并且一致收敛的；

数学分析试题集锦

June21,2006 2002 1.(10) lim x→0( sin x1?cos x . 2.(10)a≥0x1=√2+x n n=1,2,... lim n→∞ x n 3.(10)f(x)[a,a+α]x∈[a,a+α]f(x+α)?f(x)= 1 1?x2+arcsin x f′(x). 5.(10)u(x,y)u ?2u ?x?y + ?2u x2+y2dx dy dz,?z=

x2+y2+z2=az(a>0) 8.(10) ∞ n=1ln cos1 ln(1+x2) 2 √ (2).{n . ?x (4). L(e y+x)dx+(xe y?2y)dy.L O(0,0),A(0,1),B(1,2) O B OAB. √ 2.(15)f(x)=3

4. 15 f (x )[0,1] sup 01 | n ?1 i =0 f (i n ? 1 f (x )dx |≤ M a n 6.(15 ) θ θ(x )= +∞ n =?∞ e n 2 x x >0 7.(15 ) F (α)= +∞ 1 arctan αx x 2?1 dx ?∞<α>+∞ 8.(21 ) R r r 2004 1.( 6 30 ) (1).lim n →?∞ ( 1 n +2 +...+ 1 f (x ) ) 1 3 sin(y 1+n

(5).e x=1+x+x2 n1 4≤e x+y?2. 5.(12)F(x)= Γf(xyz)dxdydy,f V={(x,y,z)|0≤x≤t,0≤y≤t,0≤z≤t}(t>0), F′(t)=3 a+n √ 2 n(a>0,b>0) (2).lim n→∞ 10x n√ 2 0dx 3 . (5).F(t)= x2+y2+z2=t2f(x,y,z)dS, f(x,y,z)= x2+y2,z≥ x2+y2

大学高等数学下考试题库(及答案)

一.选择题（3分?10） 1.点1M ()1,3,2到点()4,7,22M 的距离=21M M （）. A.3 B.4 C.5 D.6 2.向量j i b k j i a ρρρ ρρ??+=++-=2,2，则有（）. A.a ρ∥b ρ B.a ρ⊥b ρ C.3,π=b a ρρ D.4 ,π=b a ρρ 3.函数1 122 2 22-++ --= y x y x y 的定义域是（）. A.(){ }21,22≤+≤y x y x B.( ){} 21,22<+p D.1≥p 8.幂级数∑∞ =1 n n n x 的收敛域为（）. A.[]1,1- B ()1,1- C.[)1,1- D.(]1,1- 9.幂级数n n x ∑∞ =?? ? ??02在收敛域内的和函数是（）. A. x -11 B.x -22 C.x -12 D.x -21

10.微分方程0ln =-'y y y x 的通解为（）. A.x ce y = B.x e y = C.x cxe y = D.cx e y = 二.填空题（4分?5） 1.一平面过点()3,0,0A 且垂直于直线AB ，其中点()1,1,2-B ，则此平面方程为______________________. 2.函数()xy z sin =的全微分是______________________________. 3.设133 2 3 +--=xy xy y x z ，则 =???y x z 2_____________________________. 4. x +21 的麦克劳林级数是___________________________. 5.微分方程044=+'+''y y y 的通解为_________________________________. 三.计算题（5分?6） 1.设v e z u sin =，而y x v xy u +==,，求 .,y z x z ???? 2.已知隐函数()y x z z ,=由方程052422 2 2 =-+-+-z x z y x 确定，求 .,y z x z ???? 3.计算 σd y x D ?? +2 2sin ，其中22224:ππ≤+≤y x D . 4.如图，求两个半径相等的直交圆柱面所围成的立体的体积（R 为半径）. 5.求微分方程x e y y 23=-'在00 ==x y 条件下的特解. 四.应用题（10分?2）

数学分析试题库--证明题--答案

数学分析题库（1-22章）五．证明题 1．设A ，B 为R 中的非空数集，且满足下述条件：（1）对任何B b A a ∈∈,有b a <；（2）对任何0>ε，存在B y A x ∈∈,，使得ε<-x Y . 证明：.inf sup B A = 证由（1）可得B A inf sup ≤.为了证B A inf sup =，用反证法.若B A inf sup π，设 B y A x A B ∈∈?=-,,sup inf 0ε，使得0ε≥-x y . 2.设A ，B 是非空数集，记B A S ?=，证明：（1）{}B A S sup ,sup max sup =；（2）{}B A S inf ,inf min inf = 证（1）若A ，B 中有一集合无上界，不妨设A 无上界，则S 也是无上界数集，于是+∞=+∞=S A sup ,sup ，结论成立.若A ，B 都是有上界数集，且A B sup sup ≤，现设法证明:sup sup A S = （ⅰ）S x ∈?，无论A x ∈或B x ∈，有;sup A x ≤ （ⅱ）000,,sup ,x A x A εε??∈->>于是,0S x ∈ 0sup .x A > 同理可证（2）. 3. 按N -ε定义证明 3 52325lim 22=--+∞→n n n n 证 3 5 23252 2---+n n n ) 23(34 32-+= n n ≤ 2234n n ? （n>4） n 32=，取? ?? ???+??????=4,132max εN ，当n>N 时， 3 5 23252 2---+n n n <ε. 注扩大分式是采用扩大分子或缩小分母的方法.这里先限定n>4，扩大之后的分式

2019最新高等数学(下册)期末考试试题(含答案)YM

2019最新高等数学（下册）期末考试试题（含答案）一、解答题 1．已知过去几年产量和利润的数据如下：解：在直角坐标系下描点，从图可以看出，这些点大致接近一条直线，因此可设f (x )=ax +b ，求[] 621()i i i u y ax b ==-+∑的最小值，即求解方程组 6662111661 1,6.i i i i i i i i i i i a x b x y x a x b y =====?+=????+=??∑∑∑∑∑ 把(x i ,y i )代入方程组，得 29834402240034026320a b a b +=??+=? 解得 a =0.884, b =-5.894 即 y =0.884x -5.894, 当x =120时，y =100.186(310元). 2．求下列伯努利方程的通解： 2(1)(cos sin );y y y x x '+=- 解：令121z y y --==，则有

d d (12)(12)(cos sin )sin cos d d z z z x x z x x x x +-=--?-=- (1)d (1)d e (sin cos )e d e e (sin cos )d e sin x x x x x z x x x c x x x c c x ----????=-+???? ??=-+=-???? 1e sin x c x y ?=- 即为原方程通解. 411(2)(12)33 y y x y '+=-. 解：令3d 21d z z y z x x -=?-=-. d d e 21e (21)e d x x x z x c x x c -????==--+-+???? ? 3(e 21)1x y c x ?--= 即为原方程通解. 3．证明：22 d d x x y y x y ++在整个xOy 平面内除y 轴的负半轴及原点外的开区域G 内是某个二元函数的全微分，并求出这样的一个二元函数．证：22x P x y =+，22 y Q x y =+，显然G 是单连通的，P 和Q 在G 内具有一阶连续偏导数，并且． ()2 222??-==??+P Q xy y x x y ，(x ,y )∈G 因此22 d d x x y y x y ++在开区域G 内是某个二元函数u (x ,y )的全微分．由()()22222222d d 11ln 22d x y x x y y d x y x y x y ++??==+??++?? 知()()221ln ,2 u x y x y =+． 4．应用格林公式计算下列积分： (1)()()d d 24356+-++-?x y x y x y Γ，其中 L 为三顶点分别为(0,0)，(3,0)和(3,2)的三角形正向边界； (2)()()222d d cos 2sin e sin 2e x x L x y x y x xy x y x x y ++--?，其中L 为正向星形线()22 23330x y a a +=>；

数学分析习题

《数学分析Ⅱ》期中考试题一、选择题（每小题3分，共30分） 1、曲线2x 2 +3y 2 + z 2 =9, z 2 =3x 2 + y 2 在点 ( 1, -1, 2 )的法平面方程是（ 1 ） A 、8x+10y+7z-12=0； B 、8x+10y+7z+12=0； C 、8x -10y+7z-12=0； D 、8x+10y+7z+12=0 2、L 为单位圆周，则 L y ds =? （ 4 ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 3、L 为从( 1, 1, 1 )到( 2, 3, 4 )的直线段，则 L zdx xdz +? = （ 3 ） A 、3 B 、5 C 、7 D 、9 4、 ()1 3x y x y dxdy +≤+?? =（ 2 ） A 、2 B 、4 C 、6 D 、8 5、 02 11(,)y dy f x y dx --? ? ，改变积分顺序得（ 1 ） A 、2 110 (,)x dx f x y dy -?? B 、2 111(,)x dx f x y dy --?? C 、 2 11 (,)x dx f x y dy +? ? D 、2 11 1 (,)x dx f x y dy +-?? 6、V=[-2, 5]?[-3, 3]?[0,1]，则 2()V xy z dv +??? =（ 3 ） A 、1 B 、7 C 、14 D 、21 7、密度为1的均匀单位圆盘对于它的直径的转动惯量为( 4 ) A 、π B 、 π/2 C 、π/3 D 、π/4 8、曲面S 为上半单位球面z =S yzdxdz ?? =（ 2 ） A 、π/2 B 、 π/4 C 、π/6 D 、π/8 9、函数2 3 u x y xz =++的梯度场在（1,1,1）的旋度为（ 2 ） A 、（1,1,1） B 、（0,0,0） C 、（1,0,1） D 、（0,1,1） 10、下面反常积分收敛的有（ 3 ）个。 0cos x e xdx -∞ ? ，10 ? ，3cos ln x dx x +∞?，20?，1+∞? A 、2 B 、3 C 、4 D 、5 二、填空题（28分，每空4分） 1、区域Ω由1z =与22 z x y =+围成的有界闭区域，则 (,,)f x y z dv Ω ??? 在直角坐标下的三次积分为柱坐标下三次积分

数学分析试题及答案解析

2014---2015学年度第二学期《数学分析2》A 试卷学院班级学号（后两位）姓名一. 1.若f 2.. . . 二. 1.若()x f 在[]b a ,上可积，则下限函数()?a x dx x f 在[]b a ,上（） A.不连续 B.连续 C.可微 D.不能确定 2.若()x g 在[]b a ,上可积，而()x f 在[]b a ,上仅有有限个点处与()x g 不相等，则（） A.()x f 在[]b a ,上一定不可积；

B.()x f 在[]b a ,上一定可积,但是()()??≠b a b a dx x g dx x f ； C.()x f 在[]b a ,上一定可积，并且()()??=b a b a dx x g dx x f ； D.()x f 在[]b a ,上的可积性不能确定. 3.级数()∑∞ =--+1 21 11n n n n A.发散 B.绝对收敛 C.条件收敛 D.不确定 4. A.B.C.D.5.A.B.C.D.三.1.()()()n n n n n n n +++∞→ 211lim 2.()?dx x x 2cos sin ln 四.判断敛散性（每小题5分，共15分） 1.dx x x x ? ∞ +++-0 2 113

2.∑ ∞ =1 !n n n n 3.()n n n n n 21211 +-∑ ∞ = 五.判别在数集D 上的一致收敛性（每小题5分，共10分） 1.()()+∞∞-=== ,,2,1,sin D n n nx x f n 2. 求七.八.

2014---2015学年度第二学期《数学分析2》B 卷?答案学院班级学号（后两位）姓名一、二.三. 而n 分 2.解：令t x 2sin =得 ()dx x f x x ? -1=()() t d t f t t 222 2sin sin sin 1sin ? -----------------2分 =tdt t t t t t cos sin 2sin cos sin ? =?tdt t sin 2-----------------------------------4分

高等数学下册试题及答案解析

高等数学（下册）试卷（一）一、填空题（每小题3分，共计24分） 1、 z =)0()(log 2 2>+a y x a 的定义域为D= 。 2、二重积分 ?? ≤++1 ||||22)ln(y x dxdy y x 的符号为。 3、由曲线x y ln =及直线1+=+e y x ，1=y 所围图形的面积用二重积分表示为，其值为。 4、设曲线L 的参数方程表示为),() () (βαψ?≤≤?? ?==x t y t x 则弧长元素=ds 。 5、设曲面∑为92 2 =+y x 介于0=z 及3=z 间的部分的外侧，则 =++?? ∑ ds y x )122 （。 6、微分方程x y x y dx dy tan +=的通解为。 7、方程04) 4(=-y y 的通解为。 8、级数 ∑∞ =+1) 1(1 n n n 的和为。二、选择题（每小题2分，共计16分） 1、二元函数),(y x f z =在),(00y x 处可微的充分条件是（）（A ）),(y x f 在),(00y x 处连续；（B ）),(y x f x '，),(y x f y '在),(00y x 的某邻域内存在；（C ） y y x f x y x f z y x ?'-?'-?),(),(0000当0)()(2 2→?+?y x 时，是无穷小；（D ）0) ()(),(),(lim 2 2 00000 =?+??'-?'-?→?→?y x y y x f x y x f z y x y x 。 2、设),()(x y xf y x yf u +=其中f 具有二阶连续导数，则2222y u y x u x ??+??等于（）（A ）y x +；（B ）x ； (C)y ； (D)0 。 3、设Ω：,0,12 2 2 ≥≤++z z y x 则三重积分???Ω = zdV I 等于（）（A ）4 ? ??20 20 1 3cos sin π π ???θdr r d d ；

数学分析各校考研试题与答案

2003南开大学年数学分析一、设),,(x y x y x f w -+=其中),,(z y x f 有二阶连续偏导数，求xy w 解：令u=x+y,v=x-y,z=x 则z v u x f f f w ++=； )1()1()1(-++-++-+=zv zu vv vu uv uu xy f f f f f f w 二、设数列}{n a 非负单增且a a n n =∞ →lim ，证明a a a a n n n n n n =+++∞ →1 21 ] [lim 解：因为an 非负单增，故有n n n n n n n n n na a a a a 1 1 21)(][≤ +++≤ 由 a a n n =∞ →lim ；据两边夹定理有极限成立。三、设? ? ?≤>+=0 ,00),1ln()(2 x x x x x f α试确定α的取值围，使f(x)分别满足：（1）极限)(lim 0x f x + →存在（2） f(x)在x=0连续（3） f(x)在x=0可导解：（1）因为 )(lim 0x f x + →=)1ln(lim 20x x x ++ →α=)]()1(2[lim 221420n n n x x o n x x x x +-++--→+ α极限存在则2+α0≥知α2-≥ (2)因为)(lim 0 x f x - →=0=f(0)所以要使f(x)在0连续则2->α （3）0)0(='- f 所以要使f(x)在0可导则1->α 四、设f(x)在R 连续，证明积分ydy xdx y x f l ++?)(22与积分路径无关解；令U=22 y x +则ydy xdx y x f l ++?)(22=2 1du u f l )(?又f(x)在R 上连续故存在F （u ）使dF(u)=f(u)du=ydy xdx y x f ++)(22 所以积分与路径无关。（此题应感小毒物提供思路）五、设 f(x)在[a,b]上可导， 0)2 (=+b a f 且 M x f ≤')(,证明 2) (4)(a b M dx x f b a -≤?

2019高数(下)试题及答案

第二学期期末考试试卷一、填空题(每空 3 分，共 15 分) 1. 已知向量()1,1,4r a =-,()3,4,0r b =,则以r a ,r b 为边的平行四边形的面积等于. 2. 曲面sin cos z x y =在点1,,442ππ?? ??? 处的切平面方程是. 3. 交换积分次序()22 0,x dx f x y dy = ??. 4. 对于级数11 n n a ∞ =∑（a ＞0），当a 满足条件时收敛. 5. 函数1 2y x =-展开成x 的幂级数为 . 二、单项选择题 (每小题3分,共15分) 1. 平面20x z -=的位置是（）（A ）通过y 轴（B ）通过x 轴（C ）垂直于y 轴（D ）平行于xoz 平面 2. 函数(),z f x y =在点()00,x y 处具有偏导数 ()00,x f x y '，()00,y f x y ',是函数在该点可微分的（）（A ）充要条件（B ）充分但非必要条件（C ）必要但非充分条件（D ）既非充分又非必要条件 3. 设()cos sin x z e y x y =+，则10 x y dz ===（）（A ）e （B ）()e dx dy +

（C ）1()e dx dy -+ （D ）()x e dx dy + 4. 若级数()11n n n a x ∞ =-∑在1x =-处收敛，则此级数在2x =处（）（A ）敛散性不确定（B ）发散（C ）条件收敛（D ）绝对收敛 5. 微分方程y xy x '-=的通解是（）（A ）212 1x y e =- （B ）212 1x y e -=- （C ）212 x y Ce -= （D ）212 1x y Ce =- 三、(本题满分8分) 设平面通过点()3,1,2-，而且通过直线43521 x y z -+==，求该平面方程．四、(本题满分8分) 设(),z f xy x y =+，其中(),f u v 具有二阶连续偏导数，试求z x ??和2z x y ???．五、(本题满分8分) 计算三重积分y zdxdydz Ω =???，其中 (){},,01,11,12x y z x y z ≤≤-≤≤≤≤．六、(本题满分8分) 计算对弧长的曲线积分L ?，

数学分析试题库--计算题、解答题--答案

数学分析题库（1-22章）四．计算题、解答题求下列极限解：１.∞=+=--+=--∞→∞→∞→)2(lim 2) 2)(2(lim 24 lim 2n n n n n n n n n ２． 1 1 1 lim(1)1223(1)n n n →∞++++??+L ３．111 cos lim cos 1 lim 00===-→→x e x e x x x x ４.这是00 型，而故原极限＝1 20(1)ln(1) lim(1)(1)x x x x x x x x →-++++ 5 6 211 lim(1)n n n n →∞++ 因1) 1(lim 2=+∞→n n n n ， ∞=+∞→1lim 2 n n n 故原极限＝e e =1. 7．用洛必达法则 8. 00111lim()lim 1(1)x x x x x e x x e x e →→---=-- 9. x x x x x sin tan lim 0--→; 解法1：解法2： 10． 1 0lim(sin 2cos )x x x x →+ 解因00sin 2cos 1 2cos 2sin lim lim 21x x x x x x x →→+--==，（ 3分）故原式1sin 2cos 1 sin 2cos 10lim(1sin 2cos 1)x x x x x x x x +-+-→=++-=2 e 求下列函数的导数解 11x e x e y x x sin cos -='

12 x x x x y ln 11ln 1=?= ' 13)sin ln (cos )(sin ln sin x x x x x e y x x x +='=' 14 . cos sin()2y x x π'==+ 15 x e x e y x x 2cos 22sin +=' 16 )1sin (ln cos 1x x x x y +-?+= ' 17 )tan )ln(cos (cos )(cos ][sin )ln(cos sin x x x x e y x x x +='=' 18 ),2,1(),2)1(sin()(Λ=?++=n n x y n π . 19．1tan 22113sec ln 3x x x x x ++-； 20.求下列函数的高阶微分：设x e x v x x u ==)(,ln )(，求)(),(33v u d uv d 解因为所以 3233333 )ln 332()()(dx x x x x e dx dx uv d uv d x ++-== 所以 3233)ln 332( )(dx x x x x e v u d x -++=- 21. ;)(arctan 23x y = 解： 22. ;x x y x = 解：令1x y x =,1ln ln y x x = 两边对两边对x 求导有 11 ln 1y x y '=+,()ln x x x x x x x '=+ 两边对x 求导有(ln )x y x x y ''= 23. 求由参量方程?????==;sin ,cos t e y t e x t t 所确定的函数的二阶导数:22dx y d

大学高等数学下考试题库附答案

大学高等数学下考试题库附答案 This manuscript was revised by the office on December 10, 2020.

《高等数学》试卷1（下）一.选择题（3分?10） 1.点1M ()1,3,2到点()4,7,22M 的距离=21M M （）. .4 C 向量j i b k j i a +=++-=2,2，则有（）. A.a ∥b B.a ⊥b 3,π=b a .4,π =b a 3.函数1 122 2 22-++ --=y x y x y 的定义域是（）. (){}21,22 ≤+≤y x y x .(){} 21,22<+p 1≥p 幂级数∑∞ =1n n n x 的收敛域为（）. []1,1-()1,1-[)1,1-(]1,1-幂级数n n x ∑∞ =??? ??02在收敛域内的和函数是（）. x -11x -22x -12x -21 微分方程0ln =-'y y y x 的通解为（）. x ce y =x e y =x cxe y =cx e y =二.填空题（4分?5） 1.一平面过点()3,0,0A 且垂直于直线AB ，其中点()1,1,2-B ，则此平面方程为______________________. 2.函数()xy z sin =的全微分是______________________________.

数学分析试题及答案

（二十一）数学分析期终考试题一叙述题：（每小题5分，共15分） 1 开集和闭集 2 函数项级数的逐项求导定理 3 Riemann 可积的充分必要条件二计算题：（每小题7分，共35分） 1、 ? -9 1 31dx x x 2、求)0()(2 2 2 b a b b y x ≤<=-+绕x 轴旋转而成的几何体的体积 3、求幂级数 n n n x n ∑∞ =+1 2)11(的收敛半径和收敛域 4、1 1lim 2 2220 0-+++→→y x y x y x 5、2 2 ),,(yz xy x z y x f ++=，l 为从点P 0(2,-1,2)到点（-1，1，2）的方向，求f l (P 0) 三讨论与验证题：（每小题10分，共30分） 1、已知?? ???==≠+++=0 ,0001sin )(),(222 2 2 2y x y x y x y x y x f ，验证函数的偏导数在原点不连续，但它在该点可微 2、讨论级数∑∞ =-+1 2211 ln n n n 的敛散性。 3、讨论函数项级数]1,1[)1( 1 1 -∈+-∑∞ =+x n x n x n n n 的一致收敛性。四证明题：（每小题10分，共20分） 1 若 ? +∞ a dx x f )(收敛，且f （x ）在[a ,+∞）上一致连续函数，则有0)(lim =+∞ →x f x 2 设二元函数),(y x f 在开集2R D ? 内对于变量x 是连续的，对于变量y 满足Lipschitz 条件： ''''''),(),(y y L y x f y x f -≤-其中L D y x y x ,),(),,('''∈为常数证明),(y x f 在D 内连续。参考答案一、1、若集合S 中的每个点都是它的内点，则称集合S 为开集；若集合S 中包含了它的所有的聚点，则称集合S 为闭集。

数学分析试题及答案4

（十四）《数学分析Ⅱ》考试题一填空（共15分，每题5分）： 1 设=∈-=E R x x x E sup ,|][{则 1 , =E inf 0 ; 2 设 =--='→5 ) 5()(lim ,2)5(5 x f x f f x 则54； 3 设?? ?>++≤=0 , )1ln(,0, sin )(x b x x ax x f 在==a x 处可导，则0 1 ， =b 0 。二计算下列极限：（共20分，每题5分） 1 n n n 1 )1 31211(lim ++++ ∞→ ; 解: 由于，n n n n 1 1)131211(1≤++++≤ 又，1lim =∞→n n n 故。1)131211(lim 1 =++++∞→n n n 2 3 )(21lim n n n ++∞→；解: 由stolz 定理, 3 )(21lim n n n ++∞→33)1()(lim --=∞→n n n n ) 1)1()(1(lim -+-+ -- =∞ →n n n n n n n n ) 1)1(2))(1(() 1(lim --+---+=∞→n n n n n n n n n .3 2)1)11(21 11lim 2=-- +- + =∞ →n n n n 3 a x a x a x --→sin sin lim ；

解: a x a x a x --→sin sin lim a x a x a x a x --+=→2sin 2cos 2lim .cos 2 2sin 2 cos lim a a x a x a x a x =--+=→ 4 x x x 10 ) 21(lim + →。解: x x x 10 )21(lim +→.)21(lim 2 2 210e x x x =?? ??? ?+=→ 三计算导数（共15分，每题5分）： 1 );(),1ln(1)(22x f x x x x f '++-+= 求解: 。 1 11 11 1 1221122)(2 2 2 22 2+-= +- +=++++ - +='x x x x x x x x x x x x f 2 解: 3 设。求)100(2 ,2sin )23(y x x y -= 解: 由Leibniz 公式 )23()2(sin )23()2(sin )23()2(sin 2)98(2 1002)99(11002)100(0100)100(' '-+'-+-=x x C x x C x x C y 6)2sin(26)2sin(2100)23)(2sin(22 98982991002999922100100?+++?+-+=?πππx x x x x x x x x x 2sin 2297002cos 26002sin )23(298992100?-?--= 。 ]2cos 12002sin )22970812[(2298x x x x --= 四（12分）设0>a ，}{n x 满足： ,00>x ,2,1,0),(211 =+= +n x a x x n n n ;sin cos 33 表示的函数的二阶导数求由方程???==t a y t a x , tan sin cos 3cos sin 3)cos ()sin (22 33t t t a t t a t a t a dx dy -=-=''=。t t a t t a t dx y d sin cos 3sec )cos (sec 223222='-=

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