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2019年考研数学试题(数学一)错误修正共17页

2011年考研数学试题（数学一）

一、选择题

1、曲线()()()()

4321----=x x x x y 的拐点是（）

（A ）（1，0）（B ）（2，0）（C ）（3，0）（D ）（4，0）【答案】C 【考点分析】本题考查拐点的判断。直接利用判断拐点的必要条件和第二充分条件即可。

【解析】由()()()()4324321----=x x x x y 可知1,2,3,4分别是

()()()()2

12340y x x x x =----=的一、二、三、四重根，故由导数与原函

数之间的关系可知(1)0y '≠，(2)(3)(4)0y y y '''===

(2)0y ''≠，(3)(4)0y y ''''==，(3)0,(4)0y y ''''''≠=，故（3，0）是一拐点。

2、设数列{}n a 单调减少，0lim =∞

→n n a ，()∑===

k k n n a S 1

2,1ΛΛ无界，则幂级数

()1

n n a x ∞

=-∑的收敛域为（）（A ） (-1，1] （B ） [-1，1) （C ）

[0，2) （D ）(0，2]

【答案】C 【考点分析】本题考查幂级数的收敛域。主要涉及到收敛半径的计算和常数项级数收敛性的一些结论，综合性较强。

【解析】()∑===n k k n n a S 12,1ΛΛ无界，说明幂级数()1

n n a x ∞

=-∑的收敛半径

1R ≤；

{}n a 单调减少，0lim =∞

→n

n a ，

说明级数()1

n n a ∞

=-∑收敛，可知幂级数()1

n n a x ∞

=-∑的收敛半径1R ≥。

因此，幂级数()1

n n a x ∞

=-∑的收敛半径1R =，收敛区间为()0,2。又由于0

x =

时幂级数收敛，2x =时幂级数发散。可知收敛域为[)0,2。

3、设函数)

(x f 具有二阶连续导数，且0)(>x f ，0)0(='f ，则函数

)(ln )(y f x f z =

在点(0,0)处取得极小值的一个充分条件是（）

（A ） 0)0(1)0(>''>f f ， (B) 0)0(1)0(<''>f f ， (C) 0)0(1)0(>''

【答案】C 【考点分析】本题考查二元函数取极值的条件，直接套用二元函数取极值的充分条件即可。

【解析】由)(ln )(y f x f z =知()

()ln (),()()

x y f x z f x f y z f y f y ''''==

，()

()()

xy f x z f y f y ''''=

()ln ()xx z f x f y ''''=，2

()()(())

()()

yy f y f y f y z f x f y '''-''= 所以00

(0)

(0)0(0)

xy x y f z f f =='''

=，00

(0)ln (0)xx x y z f f ==''''=，

(0)(0)((0))(0)(0)(0)

yy x y f f f z f f f =='''-''

''== 要使得函数)(ln )(y f x f z =在点(0,0)处取得极小值，仅需

(0)ln (0)0f f ''>，(0)ln (0)(0)0f f f ''''?> 所以有0)0(1

)0(>''>f f ， 4、设4440

ln sin ,ln cot ,ln cos I xdx J xdx K xdx π

===???，则,,I J K 的大小关系是( )

（A ）I J K << （B ）I K J << （C ）J I K << （D ）K J I << 【答案】B

【考点分析】本题考查定积分的性质，直接将比较定积分的大小转化为比较对应的被积函数的大小即可。【解析】

(0,)

x π

∈时，2

0sin cos cot 2

x x x <<

<<，因此

lnsin lncos lncot x x x <<

ln sin ln cos ln cot xdx xdx xdx π

，故选（B ）

5. 设A 为3阶矩阵，将A 的第二列加到第一列得矩阵B ，再交换B 的第二

行与第三行得单位矩阵.记1100110001P ????=??????,2100001010P ??

??=??????

,则A =( )

（A ）12P P （B ）112P P - （C ）21P P （D ）

【答案】D 【考点分析】本题考查初等矩阵与初等变换的关系。直接应用相关定理的结论即可。

【解析】由初等矩阵与初等变换的关系知1AP B =，2P B E =，所以

1111

12121A BP P P P P ----===，故选（D ）

6、设()4321,,,ααααA =是4阶矩阵，*A 为A 的伴随矩阵，若()T 0,1,0,1是方程组0=x A 的一个基础解系，则0=*x A 基础解系可为（）

(A) 31αα， (B) 21αα， (C) 321ααα，， (D) 432ααα，，【答案】D 【考点分析】本题考查齐次线性方程组的基础解系，需要综合应用秩，伴随矩阵等方面的知识，有一定的灵活性。

【解析】由0=x A 的基础解系只有一个知()3r A =，所以()1r A *=，又由

0A A A E *==知，1234,,,αααα都是0=*x A 的解，且0=*x A 的极大线生无关

组就是其基础解系，又

()1234131100

,,,01100A αααααα???? ? ? ? ?==+= ? ? ? ?????

，所以13,αα线性相关，故124ααα，，或432ααα，，为极大无关组，故应选（D ）

7、设()()12,F x F x 为两个分布函数，其相应的概率密度()()12,f x f x 是连续函数，则必为概率密度的是( )

（A ）()()12f x f x （B ）()()212f x F x

（C ）()()12f x F x （D ）()()()()1221f x F x f x F x + 【答案】D 【考点分析】本题考查连续型随机变量概率密度的性质。【解析】检验概率密度的性质：()()()()12210f x F x f x F x +≥；

()()()()()()1221121f x F x f x F x dx F x F x +∞

+∞

-∞-∞

+==?

。可知()()()()

1221f x F x f x F x +为概率密度，故选（D ）。

8、设随机变量X 与Y 相互独立，且EX 与EY 存在，记

{}y x U ,m ax =,{}y x V ,m in =，则=)(UV E （）

(A) V U E E (B) EXEY (C) EY E U (D) V EXE

【答案】B 【考点分析】本题考查随机变量数字特征的运算性质。计算时需要先对随机变量UV 进行处理，有一定的灵活性。【解析】由于max{,}min{,}UV X Y X Y XY ==

可知()(max{,}min{,})()()()E UV E X Y X Y E XY E X E Y === 故应选（B ）二、填空题

9、曲线???

≤

≤=x

x tdt y 040tan π的弧长s =

【答案】【考点分析】本题考查曲线弧长的计算，直接代公式即

可。

10、微分方程x e y y x cos -=+'满足条件0)0(=y 的解为=y 【答案】sin x y xe -=

【考点分析】本题考查一阶线性微分方程的求解。先按一阶线性微分方程的求解步骤求出其通解，再根据定解条件，确定通解中的任意常数。【解析】原方程的通解为

11[cos ][cos ][sin ]dx dx

x x x y e e x e dx C e xdx C e x C ----??=?+=+=+??

由0)0(=y ，得0C =，故所求解为sin x y xe -= 11、设函数()?+=xy

dt t t y x F 0

1sin ,，则=??==2

022y x x

【答案】4

【考点分析】本题考查偏导数的计算。

【解析】()()

2223

2222222cos 12sin sin ,11y xy x y xy xy

F y xy F x x y x x y +-??==?+?+。故220

4x y F x ==?=?。

12、设L 是柱面方程221x y +=与平面z x y =+的交线，从z 轴正向往z 轴负向看去为逆时针方向，则曲线积分2

y xzdx xdy dz ++=?

【答案】π

【考点分析】本题考查第二类曲线积分的计算。首先将曲线写成参数方程的形式，再代入相应的计算公式计算即可。

【解析】曲线L 的参数方程为cos sin cos sin x t y t z t t =??

=??=+?

，其中t 从0到2π。因此

220

23222

sin cos (cos sin

)(sin )cos cos (cos sin )2sin cos sin sin cos cos 22L

y xzdx xdy dz

t t t t t t t t dt t t t t t t dt

++=+-++-=--+-=?

13、若二次曲面的方程为22232224x y z axy xz yz +++++=，经正交变换化为

221144y z +=，则a =

【答案】1

【考点分析】本题考查二次型在正交变换下的标准型的相关知识。题目中的条件相当于告诉了二次型的特征值，通过特征值的相关性质可以解出a 。【解析】本题等价于将二次型222(,,)3222f x y z x y z axy xz yz =+++++经正交变换后化为了22114f y z =+。由正交变换的特点可知，该二次型的特征值为

该二次型的矩阵为1131111a A a ??

= ? ???

，可知

14、设二维随机变量(,)X Y 服从22(,;,;0)N μμσσ，则2()E XY = 【答案】32μμσ+

【考点分析】：本题考查二维正态分布的性质。

【解析】：由于0ρ=，由二维正态分布的性质可知随机变量,X Y 独立。因此22()E XY EX EY =?。

由于(,)X Y 服从22(,;,;0)N μμσσ，可知()2

222,EX EY DY EY μμσ==+=+，则

()22232()E XY μμσμμσ=+=+。

三、解答题

15、（本题满分10分）求极限1

0ln(1)lim x

x x x -→+?? ???

【答案】1

e -

【考点分析】：本题考查极限的计算，属于1∞形式的极限。计算时先按1∞未定式的计算方法将极限式变形，再综合利用等价无穷小替换、洛必达法则等方法进行计算。【

解

析

】

：

00ln(1)ln(1)lim lim 1x

e e

x x x x x x x --→→++-????=+ ? ?????

001

11ln(1)ln(1)1lim

lim lim 1

2x x x x x x

x x x x e x x

→→→-+-+-+-===

01lim

2(1)

x x

x x e

e →--

+==

16、（本题满分9分）设(,())z f xy yg x =，其中函数f 具有二阶连续偏导数，

函数()g x 可导，且在1x =处取得极值(1)1g =，求21,1

z x y x y ?==??

【答案】''

1,11,2(1,1)(1,1)f f +

【考点分析】：本题综合考查偏导数的计算和二元函数取极值的条件，主要考查考生的计算能力，计算量较大。【解析】：

'''12(,())(,())()z

f xy y

g x y f xy yg x yg x x

?=+? 2''

'1,11,21''''''2,12,22(,())(,())()(,())(,())()(,())()()(,())()

z f xy yg x xy f xy yg x yg x f xy yg x x x y

f xy y

g x xyg x f xy yg x yg x g x f xy yg x g x ?=++??+++

由于()g x 在1x =处取得极值(1)1g =，可知'(1)0g =。故

2''

'1,11,21''''''2,12,22''1,11,2(1,(1))(1,(1))(1)(1,(1))

1,1

(1,(1))(1)(1,(1))(1)(1)(1,(1))(1)(1,1)(1,1)

z f g f g g f g x y x y f g g f g g g f g g f f ?=++==??+++=+

17、（本题满分10分）求方程arctan 0k x x -=不同实根的个数，其中k 为参数

【答案】1k ≤时，方程arctan 0k x x -=只有一个实根

1k >时，方程arctan 0k x x -=有两个实根

【考点分析】：本题考查方程组根的讨论，主要用到函数单调性以及闭区间上连续函数的性质。解题时，首先通过求导数得到函数的单调区间，再在每个单调区间上检验是否满足零点存在定理的条件。

【解析】：令()arctan f x k x x =-，则(0)0f =，2

1()111k k x f x x x --'=-=++，（1）

当1k <时，()0f x '<，()f x 在(,)-∞+∞单调递减，故此时()f x 的图

像与x 轴与只有一个交点，也即方程arctan 0k x x -=只有一个实根

（2）

1k =时，在(,0)-∞和(0,)+∞上都有()0f x '<，所以()f x 在(,0)-∞和

(0,)+∞是严格的单调递减，又(0)0f =，故()f x 的图像在(,0)-∞和(0,)+∞与x 轴均无交点

（3）

1k >

时，x <<()0f x '>，()f x

在(上

单调增加，又(0)0f =知，()f x

在(上只有一个实根，又

()f

x (,-∞

或)+∞都有()0f x '<，()f x

在(,-∞

或)+∞

都单调减，又(0,lim ()x f f x →-∞

<=+∞

，

0,lim ()x f f x →+∞

>=-∞，所以()f x

在(,-∞与x

轴无交点，在

)+∞上与x 轴有一个交点

综上所述：1k ≤时，方程arctan 0k x x -=只有一个实根

1k >时，方程arctan 0k x x -=有两个实根

18、（本题满分10分）证明：（1）对任意正整数n ，都有

111ln(1)1n n n

<+<+ （2）设1

11ln (1,2,)2

n a n n n

=+++-=L L ，证明数列{}n a 收敛

【考点分析】：本题考查不等式的证明和数列收敛性的证明，难度较大。（1）要证明该不等式，可以将其转化为函数不等式，再利用单调性进行证明；（2）证明收敛性时要用到单调有界收敛定理，注意应用（1）的结论。【解析】：（1）令1x n

=，则原不等式可化为ln(1),01

x x x x <+<>+。先证明ln(1),0x x x +<>：

令()ln(1)f x x x =-+。由于'1

()10,01f x x x

>>+，可知()f x 在[)0,+∞上单调递增。又由于(0)0f =，因此当0x >时，()(0)0f x f >=。也即

ln(1),0x x x +<>。

再证明

ln(1),01

x x x <+>+：令()ln(1)1

g x x x =+-

+。由于'2

11()0,01(1)g x x x x =->>++，可知()g x 在[)0,+∞上单调递增。由于(0)0g =，因此当0x >时，()(0)0g x g >=。也即

ln(1),01

x x x <+>+。因此，我们证明了ln(1),01

x x x x <+<>+。再令由于，即可得到所需证明的

不等式。

（2）111ln(1)1

n n a a n n

+-=-++，由不等式

ln(1)1n n

<++可知：数列{}n a 单调递减。

又由不等式1

ln(1)n

可知：

2019年考研数学二考试题完整版

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小 A.321I I I << B.123I I I << C.213I I I << D.231I I I << 6.已知(),()f x g x 二阶导数且在x =a 处连续，请问f (x ), g (x )相切于a 且曲率相等是 2 ()()lim 0()x a f x g x x a →-=-的什么条件？ A.充分非必要条件. B.充分必要条件. C.必要非充分条件. D.既非充分又非必要条件. 7.设A 是四阶矩阵，A *是A 的伴随矩阵，若线性方程Ax =0的基础解系中只有2个向量，则A *的秩是（） A.0 B.1 C.2 D.3 8.设A 是3阶实对称矩阵，E 是3阶单位矩阵，若22.A A E +=且4A =，则二次型T x Ax 规范形为 A.222123y y y ++ B.222123y y y +- C.222123y y y -- D.222123y y y --- 二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分. 9.()20lim 2x x x x →+= . 10.曲线sin 1cos x t t y t =-??=-?在32t π=对应点处切线在y 轴上的截距为 . 11.设函数()f u 可导，2()y z yf x =，则2z z x y x y ??+=?? . 12.设函数lncos (0)6 y x x π =≤≤的弧长为 .

考研数学二考试题(2019年)

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( ) 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 ? 小 + I 3 < I 2 < I 1 + I 1 < I 2 < I 3 + I 2 < I 1 < I 3 + I 2 < I 3 < I 1 6.已知 f (x ), g (x ) 二阶导数且在 x =a 处连续，请问 f (x ), g (x )相切于 a 且曲率相等是 lim f (x ) - g (x ) = 0 的什么条件？ x →a (x - a )2 A.充分非必要条件. B.充分必要条件. C.必要非充分条件. D.既非充分又非必要条件. 7.设 A 是四阶矩阵，A *是 A 的伴随矩阵，若线性方程 Ax =0 的基础解系中只有 2 个向量，则 A *的秩是（） A.0 B.1 C.2 D.3 8.设 A 是 3 阶实对称矩阵，E 是 3 阶单位矩阵，若 A 2 + A = 2E . 且 A = 4 ，则二次型 x T Ax 规范形为 2. y 2 + y 2 + y 2 3. y 2 + y 2 - y 2 4. y 2 - y 2 - y 2 D. - y 2 - y 2 - y 2 二、填空题：9～14 小题，每小题 4 分，共 24 分. 2 9. lim x + 2x x = . x →0 ?x = t - sin t 3 10.曲线? y = 1- cos t 在t = 2 π 对应点处切线在 y 轴上的截距为 . f (u ) y 2 2x ?z + y ?z = 11.设函数可导， z = yf ( ) ，则 . x ?x ?y π 12.设函数 y = l n c os x (0 ≤x ≤ ) 的弧长为 . 6

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（6）已知矩阵200021001A ????=?????? 210020001B ????=??????100020002C ????=?????? ，则 (A) A 与C 相似，B 与C 相似 (B) A 与C 相似，B 与C 不相似 (C) A 与C 不相似，B 与C 相似 (D) A 与C 不相似，B 与C 不相似（7）设,A B 为随机事件，若0()1,0()1P A P B <<<<,则() () P A B P A B >的充分必要条件是（） A.() () P B A P B A > B () () P B A P B A < C. () ( ) P P B A B A > D. () ( ) P P B A B A < （8）设12,......(2)n X X X n ≥来自总体 (,1)N μ的简单随机样本，记1 1n i i X X n ==∑ 则下列结论中不正确的是： (A) 2 ()i X μ∑-服从2 χ分布 (B) 2 12()n X X -服从2 χ分布 (C) 21 ()n i i X X =-∑服从2χ分布 (D) 2 ()n X μ- 服从2 χ分布二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分。（9）已知函数 21 ()1f x x = + ,则(3) (0)f =__________ （10）微分方程230y y y '''++=的通解为y =__________ （11）若曲线积分 22dy 1L xdx ay x y -+-?在区域(){} 2 2D ,1x y x y =+<内与路径无关，则a = （12）幂级数 () 1 11 1n n n nx ∞ --=-∑在区间（-1,1）内的和函数()S x = （13）设矩阵101112011A ?? ??=?????? ，123,,ααα为线性无关的3维列向量组，则向量组

2019年考研数学二真题

5 2019年考研数学二真题一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分． 1．当0x →时，若tan x x -与k x 是同阶无穷小，则k =（）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 2．曲线3sin 2cos ()2 2 y x x x x π π =+- << 的拐点是（）（A ）(0,2) （B ）(,2)π- （C ）(,)22ππ - （D ）33(,)22 ππ - 3．下列反常积分发散的是（）（A ） x xe dx +∞ -? （B ）2 x xe dx +∞ -? (C ）20 arctan 1x dx x +∞ +? （D ）201x dx x +∞+? 4．已知微分方程x y ay by ce '''++=的通解为12()x x y C C x e e -=++，则,,a b c 依次为（）（A ）1,0,1 （B ）1,0,2 (C ）2,1,3 （D ）2,1,4 5．已知平面区域{(,)|}2 D x y x y π =+≤ ，记1D I = ，2D I =?? ， 3(1D I dxdy =-?? ，则（）（A ）321I I I << （B ）213I I I << （C ）123I I I << （D ）231I I I << 6．设函数(),()f x g x 的二阶导函数在x a =处连续，则2 ()() lim 0() x a f x g x x a →-=-是两条曲线()y f x =，()y g x =在x a =对应的点处相切及曲率相等的（）（A ）充分不必要条件（B ）充分必要条件（C ）必要不充分条件（D ）既不充分也不必要条件 7．设A 是四阶矩阵，*A 为其伴随矩阵，若线性方程组0Ax =的基础解系中只有两个向量，则(*)r A =（）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 8．设A 是三阶实对称矩阵，E 是三阶单位矩阵，若2 2A A E +=，且4A =，则二次型T x Ax 的规范形是（）（A ）222123y y y ++ （B ）222123y y y +- （C ）222123y y y -- （D ）222 123y y y --- 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上） 9．( ) 20 lim 2 x x x x →+= ．

2019年考研数学二真题及答案解析

2019年研究生统一入学考试数学（二）一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. 1.当时，若与是同阶无穷小，则k=（）。A.1 B.2 C.3 D.4 2.设函数的拐点（）。 A. B.C. D 3. 下列反常积分发散的是（）。A.B. C. D.4.已知微分方程的通解为，则、、、依次序为（）。A.1，0，1 B.1，0，2 C.2，1，3 D.2，1，4 5.已知区域，，，，试比较的大小（）。A.B. C. D.C C D D A

6. 已知是二阶可导且在处连续，请问相切于且曲率相等是的什么条件？ A.充分非必要条件 B.充分必要条件 C.必要非充分条件 D.即非充分又非必要条件 7.设A是四阶矩阵，是A的伴随矩阵，若线性方程组的基础解系中只有2个向量，则的秩是（）。 A.0 B.1 C.2 D.3 8.设A是3阶实对称矩阵，E是3阶单位矩阵。若，且，则规范形为（）。 A. B.C. D. 二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. 9. 。10 . 曲线在对应点处切线在y轴上的截距。11 .设函数可导，，则。 12.已知函数的弧长为。 13.已知函数，则。 14.已知矩阵，表示中元的代数余子式，则。三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.本题为多选，计算步骤符合采分点即可得分。 15.已知求，并求的极值。当x>0时，当x<0时， A A C

2019年考研数学三真题及解析

2006年考研数学（三）真题一、填空题：1－6小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上. （1）()11lim ______.n n n n -→∞ +?? = ??? （2）设函数()f x 在2x =的某邻域内可导,且()()e f x f x '=，()21f =，则()2____.f '''= （3）设函数()f u 可微,且()1 02 f '= ,则()224z f x y =-在点(1,2)处的全微分() 1,2d _____.z = （4）设矩阵2112A ?? = ?-?? ，E 为2阶单位矩阵，矩阵B 满足2BA B E =+，则=B . （5）设随机变量X Y 与相互独立，且均服从区间[]0,3上的均匀分布，则 {}{}max ,1P X Y ≤=_______. （6）设总体X 的概率密度为()()121 ,,,,2 x n f x e x X X X -=-∞<<+∞为总体X 的简单随机样本，其样本方差为2S ，则2____.ES = 二、选择题：7－14小题，每小题4分，共32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. （7）设函数()y f x =具有二阶导数，且()0,()0f x f x '''>>，x ?为自变量x 在点0x 处的增量，d y y ?与分别为()f x 在点0x 处对应的增量与微分，若0x ?>，则 (A) 0d y y <

2019年考研数学二真题及答案

考研数学二真题及答案一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1 若1) (lim 2 12 =++→x x x bx ax e ,则（） A 1,21-== b a B 1,21 -=-=b a C 1,21==b a D 1,2 1 =-=b a 2下列函数中不可导的是（） A. )sin()(x x x f = B.)sin()(x x x f = C. x x f cos )(= D.) cos()(x x f = 3设函数?? ? ??≥-<<--≤-=???≥<-=0 011 ,2)(0,10,1)(x b x x x x ax x g x x x f 若) ()(x g x f +在R 上连续，则（） A 1 ,3==b a B 2 ,3==b a C 1 ,3=-=b a D 2 ,3=-=b a 4 设函数 ) (x f 在 ] 1,0[上二阶可导，且 )(1 =? dx x f 则（） A 当0 )(<'x f 时，0)21('）（时，f x f D 当0)2 1 (0)(<>''f x f 时， 5 dx x K dx e x N dx x x M x ???- --+=+=++=22 222 222)cos 1(,1,1)1(π ππππ π则M,N,K 大小关系为（） A.K N M >> B.N K M >> C.N M K >> D.M N K >> 6 ?? ? ?= -+-----1 220 1 2 2 )1()1(dy xy dx dy xy dx x x x x （） A 35 B 65 C 37 D 67

2019年考研数学二真题及全面解析(Word版)

2019年考研数学（二）真题及完全解析（Word 版）一、选择题:1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. 1、当0x →时，若tan x x -与 k x 是同阶无穷小量，则k =（） A 、 1. B 、2. C 、 3. D 、 4. 【答案】C . 【解析】因为 3tan ~3 x x x --，所以3k =，选 C . 2、曲线3sin 2cos y x x x x π π??=+<< ??? －２２的拐点是（） A 、, ππ?? ??? 　２２ . B 、()0,2 . C 、(),2π- . D 、33,ππ?? ???　２２. 【答案】C . 【解析】cos sin y x x x '= - ，sin y x x ''=-，令 sin 0y x x ''=-=，解得0x =或x π=。当x π>时，0y ''>；当x π<时，0y ''<，所以(),2π-　是拐点。故选 C . 3、下列反常积分发散的是（） A 、0 x xe dx +∞ -? . B 、 2 x xe dx +∞ -? . C 、 20 tan 1arx x dx x +∞ +? . D 、201x dx x +∞+?. 【答案】D . 【解析】A 、 1x x x x xe dx xde xe e dx +∞ +∞ +∞ +∞ ----=-=-+=? ??，收敛； B 、2 220011 22 x x xe dx e dx +∞ +∞--==??，收敛； C 、22 200 tan 1arctan 128 arx x dx x x π+∞ +∞==+? ，收敛； D 、22 220 00 111(1)ln(1)1212x dx d x x x x +∞ +∞ +∞=+=+=+∞++? ?，发散，故选D 。

2019年考研数学一真题与解析

2019年考研数学一真题解析一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分． 1．当0x →时，若tan x x -与k x 是同阶无穷小，则k =（）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 【答案】（C ）【详解】当0x →时，331tan ()3x x x o x =++，所以331 tan ()3 x x x o x -=-+，所以3k =． 2．设函数,0()ln ,0 x x x f x x x x ?≤? =? >??，则0x =是()f x 的（）（A ）可导点，极值点（B ）不可导的点，极值点（C ）可导点，非极值点（D ）不可导点，非极值点【答案】（B ）【详解】（1）0 1 ln (00)lim ln lim 0,(00)lim 0,(0)01 x x x x f x x f x x f x ++ - →→→-+===-===，所以函数在0x =处连续；（2）0ln (0)lim x x x f x + +→'==-∞，所以函数在0x =处不可导；（3）当0x <时，2(),()20f x x f x x '=-=->，函数单调递增；当1 0x e <<时，()1ln 0f x x '=+<，函数单调减少，所以函数在0x =取得极大值． 3．设{}n u 是单调增加的有界数列，则下列级数中收敛的是（）（A ）1n n u n ∞ =∑ （B ）11(1)n n n u ∞=-∑ (C ）111n n n u u ∞=+??- ?? ?∑ （D ）22 11()n n n u u ∞+=-∑ 【答案】（D ）【详解】设{}n u 是单调增加的有界数列，由单调有界定理知lim n n u →∞ 存在，记为lim n n u u →∞ =；又设n ?，满足 n u M ≤，则221111()()2()n n n n n n n n u u u u u u M u u ++++-=+-≤-，且22 10n n u u +-≥，则对于正项对于级数 2 211 ()n n n u u ∞ +=-∑，前n 项和： 2 21 11111 1 ()2()2()22n n n k k k k n n k k S u u M u u M u u Mu Mu ++++===-≤-=-≤→∑∑ 也就是 2211 ()n n n u u ∞ +=-∑收敛．

2019考研数学二真题及答案

2019考研数学二真题及答案一、选择题:1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. 1、当0x →时，若tan x x -与 k x 是同阶无穷小量，则k =（） A 、 1. B 、2. C 、 3. D 、 4. 选：C . 点拨：因为 3 tan ~3 x x x --，所以3k =，选 C . 2、曲线3sin 2cos y x x x x π π? ? =+<< ??? －２２的拐点是（） A 、, ππ?? ??? 　２２ . B 、()0,2 . C 、(),2π- . D 、33,ππ?? ??? 　２２. 选：C . 点拨：cos sin y x x x '=- ，sin y x x ''=-，令 sin 0y x x ''=-=，解得0x =或x π=。当x π>时，0y ''>；当x π<时，0y ''<，所以(),2π-　是拐点。故选 C . 3、下列反常积分发散的是（） A 、0 x xe dx +∞ -? . B 、 2 x xe dx +∞ -? . C 、 2 tan 1arx x dx x +∞ +? . D 、

2 1x dx x +∞ +? . 选：D . 点拨：A 、0000 1x x x x xe dx xde xe e dx +∞+∞+∞ +∞----=-=-+=???，收敛； B 、2 220011 22 x x xe dx e dx +∞ +∞--==??，收敛； C 、22 200 tan 1arctan 128 arx x dx x x π+∞ +∞==+? ，收敛； D 、22220 00 111(1)ln(1)1212x dx d x x x x +∞ +∞ +∞=+=+=+∞++? ?，发散，故选D 。 4、已知微分方程的x y ay by ce '''++=通解为12()x x y C C x e e -=++，则 ,,a b c 依次为（） A 、 1,0,1. B 、 1,0,2. C 、2,1,3. D 、 2,1,4. 选：D. 点拨：由题设可知1r =-是特征方程20r ar b ++=的二重根，即特征方程为2(1)0r +=，所以2,1a b ==　。又知*x y e =是方程2x y y y ce '''++=的特解，代入方程的4c =。故选D 。 5、已知积分区域(),2 D x y x y π?? =+≤??? ? 　，1D I = ，2sin D I =??，

2019年考研数学二真题与解析

2019年考研数学二真题解析一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分． 1．当0x →时，若tan x x -与k x 是同阶无穷小，则k =（）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 【答案】（C ）【详解】当0x →时，331tan ()3x x x o x =++，所以331 tan ()3x x x o x -=-+，所以3k =． 2．曲线3sin 2cos ()22 y x x x x ππ =+-<<的拐点是（）（A ）(0,2) （B ）(,2)π- （C ）(,)22ππ- （D ）33(,)22 ππ - 【答案】（D ）【详解】sin 2cos y x x x =+，cos sin y x x x '=-，sin y x x ''=-，sin cos y x x x '''=--；令sin 0y x x ''=-=得120,x x π==，且()0f π'''≠，所以(,2)π-是曲线的拐点；而对于点(0,0)，由于(0)0f '''=，而(4) (0)0f ≠，所以不是曲线的拐点． 3．下列反常积分发散的是（）（A ） x xe dx +∞ -? （B ）2 x xe dx +∞ -? (C ）20 arctan 1x dx x +∞ +? （D ）201x dx x +∞+? 【答案】（D ）【详解】（1）当x →+∞时，2()1x f x x =+是关于1 x 的一阶无穷小，当然201x dx x +∞+?发散；（2）用定义： 2020 1ln(1)|12x dx x x +∞ +∞ =+=+∞+? ，当然201x dx x +∞+?发散． 4．已知微分方程x y ay by ce '''++=的通解为12()x x y C C x e e -=++，则,,a b c 依次为（）（A ）1,0,1 （B ）1,0,2 (C ）2,1,3 （D ）2,1,4 【答案】（D ）【详解】（1）由非齐次线性方程的通解可看出121r r ==-是特征方程20r ar b ++=的实根，从而确定 2,1a b ==；（2）显然，*x y e =是非齐次方程的特解，代入原方程确定4c =． 5．已知平面区域{(,)|}2 D x y x y π =+≤ ，记1D I =，2D I =??，

2020考研数学一真题参考2019年

? u 1 2019 年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、选择题：1~8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的（1）当 x → 0 时，若 x - tan x 与 x k 是同阶无穷小，则 k =（） (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 ? x x , （2）设函数 f (x ) = x ≤ 0 ，则 x = 0 是 f (x ) 的（） ? x ln x , x > 0 (A)可导点，极值点 (B) 不可导点，极值点 (C)可导点，非极值点 (D) 不可导点，非极值点（3）设 {u n }是单调增加的有界数列，则下列级数中收敛的是（） ∞ u n ∞?1 (A) ∑ n =1 (B) ∑(-1) n =1 n ∞ u n ∞ 2 2 (C) ∑(1- n =1 ) n +1 (D) ∑(u n +1 - u n ) n =1 （4）设函数Q (x , y ) = x . 如果对上半平面( y > 0) 内的任意有向光滑封闭曲线 C 都有 y 2 ? C P (x , y )dx + Q (x , y )dy =0, 那么函数 P (x , y ) 可取为（） x 2 (A) y - (B) y 3 1 x 2 1 - (C) y y 3 x - (D) x - 1 y y （5）设A 是3阶实对称矩阵，E 是3阶单位矩阵，若A 2 + A = 2E , 且 A = 4，则二次型x T Ax 的规范为（） (A) y 2 + y 2 + y 2 (B) y 2 + y 2 - y 2 1 2 3 1 2 3 (C) y 2 - y 2 - y 2 (D) - y 2 - y 2 - y 2 1 2 3 1 2 3 （6）如图所示，有 3 张平面两两相交，交线相互平行，它们的方程 a i 1 x + a i 2 y + a i 3 z = d i (i = 1,2,3)组成的线性方程组的系数矩阵和增广矩阵分别记为 A , A , 则（） (A) r ( A ) = 2, r ( A ) = 3 (B) r ( A ) = 2, r ( A ) = 2 u n

2019考研数学一真题及答案解析参考

2019年考研数学一一、选择题，1~8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1.当0→x 时，若x x tan -与k x 是同阶无穷小，则k= A.1. B. 2. C. 3. D. 4. 2.设函数?? ?>≤=, 0,ln ,0,)(x x x x x x x f 则0=x 是 )(x f 的 A.可导点，极值点. B.不可导点，极值点. C.可导点，非极值点. D.不可导点，非极值点. 3.设{u n }是单调增加的有界数列，则下列级数中收敛的是 A..1∑∞ =n n n u B.n n n u 1)1(1∑∞=-. C.∑∞=+???? ??-111n n n u u . D.() ∑∞ =+-12 21n n n u u . 4.设函数Q(x ,y )=x/y 2，如果对上半平面（y >0）内的任意有向光滑封闭曲线C 都有(,)(,)0C P x y dx Q x y dy +=??，那么函数P(x ,y )可取为 A.32y x y -. B.321y x y -. C.y x 11-. D.y x 1 -. 5.设A 是3阶实对称矩阵，E 是3阶单位矩阵.若E A A 22=+，且4=A ，则二次型Ax x T 的规范形为 A.232221y y y ++. B.232221y y y -+. C.232221y y y --. D.2 32221y y y ---. 6.如图所示，有3张平面两两相交，交线相互平行，它们的方程)3,2,1(321==++i d z a y a x a i i i i 组成的线性方程组的系数矩阵和增广矩阵分别记为A,A ，则 A.r (A)=2,() 3.r A = B. r (A)=2,() 2.r A = C. r (A)=1,() 2.r A = D. r (A)=1,() 1.r A = 7.设A,B 为随机事件，则P(A)= P(B)的充分必要条件是 A.P(A ∪B)=P(A)+P(B) B. P(AB)=P(A)P(B) C. P(A B )=P(B A ) D. P(A B)=P(A B ) 8.设随机变量X 与Y 相互独立，且都服从正态分布),(2σμN ，则{}1<-Y X P A.与μ无关，而与σ2有关. B.与μ有关，而与σ2无关. C.与μ, σ2都有关. D.与μ, σ2都无关. 二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分. 9. 设函数)(u f 可导，,)sin (sin xy x y f z +-=则 y z cosy x z cosx ???+???11= . 10. 微分方程02'22 =--y y y 满足条件1)0(=y 的特解=y . 11. 幂级数n n n x n ∑∞ =-0 )!2()1(在)0∞+，（内的和函数=)(x S . 12. 设∑为曲面)0(442 22≥=++z z y x 的上侧，则 dxdy z x z ?? --2244= .

2019年考研数学三真题与解析

2019年考研数学三真题解析一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分． 1．当0x →时，若tan x x -与k x 是同阶无穷小，则k =（）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 【答案】（C ）【详解】当0x →时，331tan ()3x x x o x =++，所以331 tan ()3 x x x o x -=-+，所以3k =． 2．已知方程550x x k -+=有三个不同的实根，则k 的取值范围是（）（A ）(,4)-∞- （B ）(4,)+∞ （C ）(4,0)- （D ）(4,4)- 【答案】（D ）【详解】设 5()5f x x x k =-+，则42(),(),()555(1)(1)(1),f f f x x x x x '-∞=-∞+∞=+∞=-=++- 令()0f x '=得 121,1x x =-=且 (1)20,(1)20f f ''''-=-=，也就是函数在 11x =-处取得极大值 (1)4f k -=+，在2 1x =处取得极小值(1)4f k =-；由于方程有三个不同实根，必须满足(1)40 (1)20f k f k -=+>?? =-