解析几何(直线与圆、椭圆、双曲线和抛物线)

2012届数学二轮复习专题十

考试范围：解析几何（直线与圆、椭圆、双曲线和抛物线）

一、选择题（本大题共10小题；每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．直线07

tan =+y x π

的倾斜角是 （ ）

A ．7

π

-

B ．

7π C ．75π D ．7

6π

2．直线01:1=+-y x l 关于直线2:=x l 对称的直线2l 方程为 （ ） A ．012=--y x B ．072=-+y x C ．042=--y x D ．05=-+y x 3．“2-=a ”是直线()021:1=-++y x a l 与直线()0122:2=+++y a ax l 互相垂直的 （ ）

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

4．直线0=+++b a by ax 与圆222=+y x 的位置关系为 （ ） A ．相交 B ．相切 C ．相离 D ．相交或相切 5．已知点P 在圆074422=+--+y x y x 上，点Q 在直线上kx y =上，若PQ 的最小值为122-，则k = （ ） A ．1

B ．1-

C ．0

D ．2

6．若椭圆122=+my x 的离心率???

?

??∈22,

33e ，则m 的取值范围是 （ ） A ．??

?

??32,21

B ．()2,1

C ．()2,132,21 ??

?

?? D ．??? ??2,21

7．已知中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线的一条渐近线方程为03=-y x ，则该双曲线的离心率为 （ ） A ．

3

3

2 B ．

3 C ．2或3

3

2 D ．

3

3

2或3 8．M 是抛物线x y 42

=上一点，且在x 轴上方，F 是抛物线的焦点，以x 轴的正半轴为始边，FM 为终边构成的最

小的角为60°，则=FM （ ） A ．2

B ．3

C ．4

D ．6

9．设抛物线x y 82

=的准线经过中心在原点，焦点在坐标轴上且离心率为

2

1

的椭圆的一个顶点，则此椭圆的方程为 （ ）

A ．1161222=+y x 或112

1622=+y x

B ．1644822=+y x 或1486422=+y x

C ．112

162

2=+y x 或

143

1622=+x y D ．13

422=+y x 或143

1622=+x y

10．已知定点()0,21-F 、()0,22F ，动点N 满足1=ON （O 为坐标原点），NM M F 21=，()R MF MP ∈=λλ2，01=?PN M F ，

则点P 的轨迹是 （ ） A ．椭圆 B ．双曲线 C ．抛物线 D ．圆 二、填空题（本大题共5小题；每小题5分，共25分.将答案填在题中的横线上）

11．以点()2,1-为圆心且与直线1-=x y 相切的圆的标准方程是 ．

12．圆06442

2=++-+y x y x 上到直线05=--y x 的距离等于

2

2

的点有 个． 13．若点P 在直线03:1=++my x l 上，过点P 的直线2l 与曲线()165:2

2=+-y x C 只有一个公共点M ，且PM 的最小值为4，则=m ．

14．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆

12

22

2=+

b y a x (a ＞b ＞0)的离心率为

2

2

，以O 为圆心，a 为半径作圆M ，再过???

? ??0,2c a P 作圆M 的两条切线P A 、PB ，则APB ∠= ．

15．已知以双曲线的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中，有一个内角的范围是??

?

??2,3ππ则双曲线的离心率的范围是 ．

三、解答题（本大题共6小题；共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（本题满分12分）已知圆O 的方程为1622=+y x ． （1）求过点()8,4-M 的圆O 的切线方程；

（2）过点()0,3N 作直线与圆O 交于A 、B 两点，求OAB △的最大面积以及此时直线AB 的斜率．

17．（本题满分12分）将抛物线y x 222

-=向上平移2个单位长度后，抛物线过椭圆12

22

2=+

b y a x (a ＞b ＞0)

的上顶点和左右焦点． （1）求椭圆方程；

（2）若点()0,m P 满足如下条件：过点P 且倾斜角为π6

5

的直线l 与椭圆相交于C 、D 两点，使右焦点F 在以CD 线段为直径的圆外，试求m 的取值范围．

18．（本题满分12分）已知双曲线,

12

22

2=-

b y a x (a ＞0，b ＞0)左右两焦点为1F 、2F ，P 是右支上一点，212F F PF ⊥，

1PF OH ⊥于H ，1OF OH λ=，??

?

???∈21,91λ．

（1）当3

1

=λ时，求双曲线的渐近线方程； （2）求双曲线的离心率e 的取值范围；

（3）当e 取最大值时，过1F ，2F ，P 的y 轴的线段长为8，求该圆的方程．

19．（本题满分13分）在平面直角坐标系xOy 中，过定点()0,p C 作直线m 与抛物线px y 22

=(p ＞0)相交于A 、

B 两点．

（1）设()0,p N -，求NB NA ?的最小值；

（2）是否存在垂直于x 轴的直线l ，使得l 被以AC 为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出l 的方程；若不存在，请说明理由．

20．（本题满分13分）已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率等于2

1,它的一个顶点恰好是抛物线y x 382

=的焦点．

（1）求椭圆C 的方程；

（2）()3,2P 、()3,2-Q 是椭圆上两点，A 、B 是椭圆位于直线PQ 两侧的两动点，①若直线AB 的斜率为2

1

，求

四边形APBQ 面积的最大值；②当A 、B 运动时，满足BPQ APQ ∠=∠，试问直线AB 的斜率是否为定值，请说明理由．

21．（本题满分13分）在平面直角坐标系中，已知向量()2,-=y x a ，()()R k y kx b ∈+=2,，若b a b a -=+． （1）求动点()y x M ,的轨迹T 的方程,并说明该方程表示的曲线的形状；

（2）当3

4

=k 时，已知()1,01-F 、()1,02F ，点P 是轨迹T 在第一象限的一点，且满足121=-PF PF ，若点Q 是轨迹T 上不同于点P 的另一点，问是否存在以PQ 为直径的圆G 过点2F ，若存在，求出圆G 的方程，若不存

在，请说明理由．

答案与解析

1．【命题立意】本题考查直线的一般方程形式、斜率和倾斜角的关系以及正切函数的诱导公式． 【思路点拨】抓住直线方程y=kx+b 中斜率为k ，α为倾斜角，其中[)πα,0∈，当2

π

α≠时αtan =k ．

【答案】D 【解析】7

tan

π

x y -=，斜率76tan 7tan 7tan

ππππ

=??? ?

?

-=-=k ． 2．【命题立意】本题考查直线的对称和直线方程的求解以及直线上点的确定．

【思路点拨】求出直线1l 与x 轴、与l 的交点坐标，再确定对称点的坐标，最后由两点式得到2l 的直线方程． 【答案】D 【解析】画出图形，容易求得直线1l 与x 轴的交点()0,1-A ，它关于直线l 的对称点为()0,5B ，又1l 与l 的交点()3,2P ，从而对称直线2l 经过B 、P 两点，于是由两点式求得2l 的方程为05=-+y x ．

3．【命题立意】本题考查两条直线的位置关系和充要条件：0212121=+?⊥B B A A l l .

【思路点拨】判断直线0:1111=++C y B x A l ，0:2222=++C y B x A l 的位置关系时，抓住两点，一是1l ∥2l 时，

2

1

2121C C B B A A ≠=，为了避免讨论系数为零的情况，转化为积式1221B A B A =且1221C A C A ≠；二是21l l ⊥，即斜率的乘积为1-，如果一条直线的斜率为零，则另一条直线的斜率不存在，也就是02121=+B B A A ．充分必要条件的判定，关键是看哪个推出哪个． 【答案】A 【解析】1023221-=?=++?⊥a a a l l 或2-=a ，故选答案A ． 4．【命题立意】本题考查直线与圆的位置关系和点到直线的距离公式以及基本不等式．

【思路点拨】直线与圆的位置关系有三种，由圆心到直线的距离d 与半径r 的大小关系决定，当d ＞r 时，相离；当d =r 时相切；当d ＜r 时相交． 【答案】D 【解析】圆心()0,0到直线0=+++b a by ax 的距离2

2

b

a b a d ++=

，半径2=r ．由于()2212

22

222≤++

=++=

b a ab b a b a d ，所以r d ≤，

从而直线与圆相交或相切． 5．【命题立意】本题考查直线与圆的位置关系和点到直线的距离．

【思路点拨】圆上的点到直线上的点，这两个动点之间的距离的最小值，可以转化为直线上的点到圆心的距离的最小值来解决，圆上的点到直线的距离的最大值等于圆心到直线的距离加上半径，最小值等于圆心到直线的距离减去半径；当直线与圆相交时，圆上的点到直线的距离的最大值等于圆心到直线的距离加上半径，最小值等于0． 【答案】B 【解析】由题意可知，直线与圆相离，074422=+--+y x y x 即()()12222=-+-y x ，圆心()2,2到直线kx y =的距离1

222+-=

k k d ，∴12211

222-=-+-=

-k k r d ，解得1-=k ．

6．【命题立意】考查椭圆的标准方程和椭圆中的基本量及其关系以及分类讨论的思想． 【思路点拨】可建立m 关于e 的函数，从而可根据e 的范围求得m 的范围． 【答案】C 【解析】化椭圆的方程为标准方程112

2

=+

m

y x

，当m 1＜1，即m ＞1时，椭圆焦点在x 轴上，此时12=a ，

m b 12

=，m c 112-=，m e 112-=∴，211e

m -=∴，又????

??∈22,33e ，∴23＜m ＜2，又m ＞1，∴1＜m ＜2．当m 1＞1，即m ＜1时，椭圆焦点在y 轴上，此时m a 12=，12=b ，112-=m c ，∴m a c e -==1222，即21e m -=，又???

? ??∈22,33e ，∴

21＜m ＜32．综上，m 的范围范围是()2,132,21 ??

?

??．选择C ． 7．【命题立意】考查双曲线的标准方程，离心率的概念．

【思路点拨】根据渐近线方程可以得到双曲线系方程，再分两种情况讨论焦点位置，从而求得离心率．

【答案】C 【解析】由于一条渐近线方程为03=-y x ，所以可设双曲线方程为λ=-223y x ．当焦点在x 轴上时，方程为132

2=-λ

λ

y x （λ＞0），此时3

2λ=

a ，λ=2

b ，于是3

4222λ

=

+=b a c ，所以离心率2==a c e ；当焦点在y 轴上时，方程

为13

2

2

=--

-λλx y （λ＜0）

，此时λ-=2a ，3

2λ-=b ，于是34222λ-=+=b a c ，所以离心率33

2

==a c e ．故选择C ．

8．【命题立意】考查抛物线的定义和标准方程以及直角三角形的性质．

【思路点拨】画出图形，利用抛物线的定义找出点M 的横坐标与|FM |的关系即可求得．

【答案】C 【解析】画出图形，知()0,1F ，设FM =a 2，由点M 向x 轴作垂线，垂足为N ，则FN =a ，于是点M 的横坐标a x +=10．利用抛物线的定义，则M 向准线作垂线，有FM =10+x ，即112++=a a ，所以2=a ，从而FM =4． 9．【命题立意】考查椭圆与抛物线的标准方程，基本量的关系以及分类讨论问题．

【思路点拨】由抛物线的标准方程求得准线方程，从而求得椭圆一个顶点的坐标，这个值是a 还是b ，就必须分两种情况讨论． 【答案】D 【解析】由抛物线x y 82=，得到准线方程为2-=x ，又2

1=a c

，即c a 2=．当椭圆的焦点在x 轴上时，2=a ，

1=c ，3222=-=c a b ，此时椭圆的标准方程为

13

42

2=+y x ；当椭圆的焦点在y 轴上时，2=b ，332=

c ，33

4

=a ，此时椭圆的标准方程为

143

162

2=+x y ．故选择D ．

10．【命题立意】考查对向量含义的理解，线段垂直平分线的性质、三角形中位线性质和双曲线定义．

【思路点拨】画出图形，将向量问题转化为实数中线段关系问题，利用线段垂直平分线的性质和三角形中位线的性质，得到线段的差是常数，符合双曲线的定义．

【答案】B 【解析】画出图形，1=ON 说明点N 在圆122=+y x 上，NM M F 21=说明N 是线段M F 1的中点，2MF MP λ=（x ∈R ）说明P 在2MF 上，01=?PN M F 说明PN 是线段M F 1的垂直平分线，于是有PM PF =1，22

1

MF ON =

，从而有ON MF PF PM PF PF 22221==-=-=2＜21F F =4，所以点P 的轨迹是以1F 、2F 为焦点的双曲线的右支．从而选择B ． 11．【命题立意】考查圆的方程，直线与圆相切问题．

【思路点拨】圆心已知，故只需求得其半径即可，而半径为圆心（-1,2）到直线的距离，根据点到直线的距离可求其半径，从而可求得圆的标准方程． 【答案】()()8212

2

=-++y x 【解析】

圆的半径()22111212

2=-+---=r ，所以圆的方程为()()()

2

222221=-++y x ，即()()82122=-++y x ．

12．【命题立意】考查圆的标准方程，点到直线的距离．

【思路点拨】先化圆的方程为标准方程，求出圆心到直线的距离，再来与半径比较． 【答案】3【解析】圆的方程为()()22222=++-y x ，圆心()2,2-到直线05=--y x 的距离2

22

522=

-+=d ，圆的半径2=r ，所以圆上到直线的距离等于

2

2

的点有3个． 13．【命题立意】考查圆心到直线的距离、圆的切线长定理和直线与圆相切问题．

【思路点拨】画出图形，PM 是切线，切线长最小，即|PC |最小，也就是C 到1l 的距离．

【答案】1±【解析】画出图形，由题意l 2与圆C 只一个交点，说明l 2是圆C 的切线，由于162

2

2

2

-=-=PC CM PC PM ，

所以要|PM|最小，只需|PC |最小，即点C 到l 1的距离2218

13

05m m +=

+++，所以|PM|的最小值为416182

2

=-???

?

??+m

，解得1±=m ． 14．【命题立意】考查椭圆的标准方程，椭圆离心率的概念和圆的切线问题． 【思路点拨】画出图形，由椭圆的离心率为22得到a

c

=22，再利用圆的切线的性质得到直角三角形，在直角三角形中求解角度． 【答案】

2

π

【解析】如图，连结OA ，则OA ⊥P A ，22sin 2

==

=∠a c c

a

a APO ，所以4π=∠APO ，从而2π=∠APB ．

15．【命题立意】考查双曲线中由a 、b 、c 构成的直角三角形的几何意义及离心率与a 、b 、c 的关系．

【思路点拨】可根据四边形的特征，以“有一个内角小于60°”为桥梁确定离心率的范围． 【答案】???

?

??2,26【解析】设双曲线的方程为122

22=-b y a x =1（a ＞0，b ＞0）,如图所示，由于在双曲线c ＞b ，所以只能是211B F B ∠＜90°,故由题意可知60°＜211B F B ∠＜90°， ∴在11B OF Rt ?中，30°＜11B OF ∠＜45°，∴33＜c b ＜22，∴31＜2

2

2c a c -＜21， 即

31＜1－21e

＜21，∴23

＜e 2＜2，∴26＜e ＜2．

16．【命题立意】考查圆的标准方程，直线与圆的位置关系，以及弦长问题．

【思路点拨】（1）过圆外一点的圆的切线方程，一般设斜率，利用圆心到直线的距离等于半径来求出斜率，但一定要注意斜率存在与否；（2）将弦长AB 看成底边，则三角形的高就是圆心到直线的距离． 【解析】（1）圆心为()0,0O ，半径4=r ，当切线的斜率存在时，设过点()8,4-M 的切线方程为()48+=-x k y ，即084=++-k y kx （1分）

．则41

|84|2=++k k ，解得4

3

-

=k ，（3分），于是切线方程为02043=-+y x （5分）

．当斜率不存在时，4-=x 也符合题意．故过点()11,5-M 的圆O 的切线方程为02043=-+y x 或4-=x ．（6分）

（2）当直线AB 的斜率不存在时，73=?ABC S ，

（

7分），当直线AB 的斜率存在时，设

直线AB 的方程为()3-=x k y ，即03=--k y kx ，圆心()0,0O 到直线AB 的距离1

32+=k k d ，（9分）线段AB 的长度

2

162d AB -=，所以()

()

82

161616212

2222=-+≤-=-==?d d d d d d d AB S ABC ，（11分）当且仅当82=d 时取等号，

此时

81

922=+k k ，解得22±=k ，所以OAB △的最大面积为8，此时直线AB 的斜率为22±．

（12分） 17．【命题立意】本题考查椭圆方程的求法，直线和圆锥曲线的位置关系以及存在性问题．

【思路点拨】（1）可根据抛物线平移后与坐标轴的交点求得b 、c 的值，从而可得a 的值，故可求椭圆方程；（2）可利用向量法解决． 【解析】（1）抛物线y x 222-=的图象向上平移2个单位长度后其解析式为()

2222--=y x ，其与x 、y 轴的交

点坐标分别为()0,2±、()

2,0，∴2=b ，2=c ，（2分）∴62=a ，故椭圆的方程为12

62

2=+y x ．（4分） （2）由题意可得直线l 的方程为()m x y --

=3

3

，代入椭圆方程消去y 得，062222=-+-m mx x ，（6分）

又()

68422--=m m △＞0，∴32-＜m ＜32．（7分）设C 、D 分别为()11,y x ，()22,y x ，则m x x =+21，2

6

221-=

m x x ，∴()()()333

133332

21212121m x x m x x m x m x y y ++-=????????--?????????--=，∵()11,2y x FC -=，()22,2y x FD -=

，

∴()()()()3

32433634222

21212121-=++++-=+--=?m m m x x m x x y y x x FD FC ，（10分）∵点F 在圆的外部，∴FD FC ?＞0，

即()3

32-m m ＞0，解得m ＜0或m ＞3，又∵32-＜m ＜32，∴32-＜m ＜0或3＜m ＜32．（12分）

18．【命题立意】考查双曲线的定义和标准方程，渐近线和离心率计算公式． 【思路点拨】（1）求渐近线方程的目标就是求a

b ，可根据条件建立a 、b 的数量关系来求得；（2）可建立e 关于λ的

函数，从而可根据λ的范围求得e 的范围；（3）可根据离心率确定a 、b 的数量关系，再结合图形确定圆的圆心与半径． 【解析】由于

()0,2c F ，

所以???

?

?

?

±a b c P 2,，于是a b PF 2

2=，a a

b a PF PF 222

21+=+=，（1分）由相似三角形知，1

12PF OF PF OH

=

，

即1

21

PF PF OF OH =

，即a

b a a b 2

2

2+

=

λ，（2分）∴2222b b a =+λλ，()λλ-=1222b a ，

λ

λ

-=122

2a b ． （1）当31=λ时，122

=a

b ，∴b a =．（3分）所以双曲线的渐近线方程为x y ±=．（4分） （2）()[]1211121112112112

22

22---=--=---+=-+

=+

==λλλλλλa

b a

c e ，在??

?

???21,91上为单调递增函数．（5分） ∴当21=

λ时，2e 取得最大值3（6分）；当91=λ时，2

e 取得最小值45．（7分）∴34

52≤≤e ，∴325≤≤e ．（8分） （3）当3=e 时，3=a

c

，∴a c 3=，∴222a b =．（9分）∵212F F PF ⊥，∴1PF 是圆的直径，圆心是1PF 的中点， ∴在y 轴上截得的弦长就是直径，∴81=PF ．（10分）又a a

a a a

b a PF 42222

21=+=+=，

∴84=a ，2=a ，32=c ，22=b ．

（11分）∴422

2===a a

b PF ，圆心()2,0C ，半径为4，故圆的方程为()16222=-+y x ．（12分） 19．【命题立意】考查抛物线的标准方程，直线与抛物线的位置关系．

【思路点拨】设直线方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理来解决；存在性问题一般是假设存在，利用垂径定理推导求解来解决． 【解析】（1）依题意，可设()11,y x A 、()22,y x B ，直线AB 的方程为p my x +=， 由02222

22=--?????

?=+=p pmy y px y p my x ，（2分）得?????-=?=+2

212122p

y y pm y y ，（3分）∴NB NA ?=()()2211,,y p x y p x ++()()2121y y p x p x +++=

()()212122y y p my p my +++=()

()221212421p y y pm y y m ++++=22222p m p +=（6分）当0=m 时，NB NA ?取得最小值22p .（7分）

（2）假设满足条件的直线l 存在，其方程为a x =，AC 的中点为O '，l 与以AC 为直径的圆相交于P 、Q ，PQ 的中点为H ，则PQ H O ⊥'，O '的坐标为???

?

?+2,211y p x ．()2212

1212

1

2121p x y p x AC P O +=

+-==' （9分），

()

()()a p a x p a p x a p x H

O P O PH -+??? ?

?

-=---+=

'-'=∴1212212

2

2

2124141，2PQ =(

)22PH =()??

???

?

-+???

?

?-a p a x p a 1214（11分），令021=-

p a 得p a 21=．此时p PQ =为定值．故满足条件的直线l 存在，其方程为p x 2

1

=．（13分） 20．【命题立意】考查椭圆与抛物线的标准方程，直线与椭圆的位置关系． 【思路点拨】（1）利用抛物线的标准方程，求出焦点坐标，从而得到椭圆中的b ，再由离心率建立方程，可求得椭圆的标准方程；（2）抓住直线PQ ⊥x 轴，BPQ APQ ∠=∠即直线P A 、PB 的斜率互为相反数，联系方程利用韦达定理来解决． 【解析】（1）设C 方程为

12

22

2=+

b

y a

x （a ＞b ＞0），则32=b ．由

2

1

=a c ，222b c a +=，得a =4∴椭圆C 的方程为

112

162

2=+y x ．

（4分）（2）①设()11,y x A ，()22,y x B ，直线AB 的方程为t x y +=2

1

，代入

1121622=+y x ，得01222=-++t tx x ，由?＞0，解得4-＜t ＜4．

（6分）由韦达定理得t x x -=+21，12221-=t x x ．

四边形APBQ 的面积221348362

1

t x x S -=-??=，∴当0=t 时312max =S ．（8分）

②当BPQ APQ ∠=∠，则P A 、PB 的斜率之和为0，设直线P A 的斜率为k ，则PB 的斜率为k -，P A 的直线方程为()23-=-x k y ，由()?????=+

-=-)2(112

16)1(232

2

y x x k y ．将（1）代入（2）整理得()

()()04823423843222=--+-++k kx k x k ，有()21433282k k k x +-=

+．（10

分）同理PB 的直线方程为)2(3--=-x k y ，可得()

()

2

2

243328433282k

k k k k k x ++=

+---=+，∴2

221431216k

k x x +-=

+，2

214348k k x x +-=

-．（12

分）从而AB

k =2121x x y y --=()()2

1213232x x x k x k ---++-=()21214x x k x x k --+=21，所以AB 的斜率为定值2

1

．

（13分） 21．【命题立意】考查圆锥曲线的标准方程，椭圆与双曲线的定义，向量垂直问题． 【思路点拨】（1）利用向量的数量积的坐标运算来求出轨迹方程，但一定要注意对参数的讨论；（2）利用椭圆或双曲线的定义确定点P 的位置，以PQ 为直径的圆G 过点2F ，即022=?QF PF ，利用向量垂直的坐标运算来解决． 【解析】（1）∵b a ⊥，∴()()02,2,=+?-=?y kx y x b a ，得0422=-+y kx ，即422=+y kx ．（1分） 当0=k 时，方程表示两条与x 轴平行的直线；（2分）当1=k 时，方程表示以原点为圆心，以2为半径的圆；（3分）当0＜k ＜1时，方程表示焦点在x 轴上的椭圆；（4分）当k ＞1时，方程表示焦点在y 轴上的椭圆；（5分） 当k ＜0时，方程表示焦点在y 轴上的双曲线．（6分）

（2）由（1）知，轨迹T 是椭圆

13

42

2=+x y ，则1F 、2F 为椭圆的两焦点．解法一：由椭圆定义得421=+PF PF ,联立121=-PF PF 解得251=PF ，2

32=PF ，又221=F F ，有2

212221F F PF PF +=,∴212F F PF ⊥，∴P 的纵坐标为1，

把1=y 代入

13422=+x y 得23=x 或23-=x （舍去），∴??? ??1,23P ．（9分）设存在满足条件的圆，则22QF PF ⊥，设()t s Q ,，

则??

? ??-=0,2

3

2PF ，()t s QF --=1,2,∴022=?QF PF ，即

()0102

3

=-?+t s ,∴0=s ．又13422=+

s t ，∴2±=t ,∴()2,0Q 或()2,0-Q ．（12分）所以圆G 的方程：16

1323432

2

=??

? ?

?-+??

? ?

?-y x 或16

4521432

2

=

??

? ?

?++??

? ?

?-y x ．（13分）

高。考≈试`题﹥库https://www.wendangku.net/doc/2015263630.html,

椭圆、双曲线、抛物线的标准方程与几何性质

一、知识要点: 椭圆、双曲线、抛物线的标准方程与几何性质

第一种定义:平面内与两个定点F 1、F 2的距离之和等于常数(大于｜F 1F 2｜)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距. 第二种定义:平面内一个动点到一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是小于1的正常数,这个动点的轨迹叫椭圆,定点是椭圆的焦点,定直线叫做椭圆的准线. 2.椭圆的标准方程: (1))0(122 22>>=+b a b y a x ,焦点:F 1(-c,0),F 2(c,0),其中 c=2 2b a -. (2))0(122 22>>=+b a a y b x ,焦 点 :F 1(0,-c),F 2(0,c), 其 中 c= 2 2b a -. 3.椭圆的参数方程:? ??==θθ sin cos b y a x ,(参数θ是椭圆上任意一点的离心率). 4.椭圆的几何性质:以标准方程)0(12222>>=+b a b y a x 为例: ①范围:|x|≤a,|y|≤b; ②对称性:对称轴x=0,y=0,对称中心为O(0,0); ③顶点A(a,0),A ′(-a,0),B(0,b),B ′(0,-b);长轴|AA ′|=2a,短轴|BB ′|=2b; ④离心率:e=a c ,0

⑤准线x=±c a 2 ;⑥焦半径:|PF 1|=a+ex,|PF 2|=a-ex,其中P(x,y)是椭圆上任 意一点. 二、基本训练 1．设一动点 P 到直线3x =的距离与它到点A （1，0）的距离之比为 3， 则动点P 的轨迹方程是 （ ） () A 22 132 x y += ()B 22 132 x y -= ()C 2 2 (1)132 x y ++= ()D 22 123 x y += 2．曲线 192522=+y x 与曲线)9(19252 2<=-+-k k y k x 之间具有的等量关系 （ ） ()A ()C 3且过点(3,0)A 4．底面直径为12cm 30的平面所截， ， 短轴长 ，离心率5．已知椭圆22 221(x y a b +=的离心率为5，若将这个椭圆绕着它的右

椭圆、双曲线抛物线综合练习题及答案

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每题6分共36分） 1. 椭圆22 1259 x y +=的焦距为。 （ ） A ． 5 B. 3 C. 4 D 8 2．已知双曲线的离心率为2，焦点是（-4,0），（4,0），则双曲线的方程为 （ ） A ． 221412x y -= B. 221124x y -= C. 221106x y -= D 22 1610x y -= 3．双曲线22 134 x y -=的两条准线间的距离等于 （ ） A C. 185 D 165 4.椭圆22 143 x y +=上一点P 到左焦点的距离为3，则P 到y 轴的距离为 （ ） A ． 1 B. 2 C. 3 D 4 5．双曲线的渐进线方程为230x y ±=，(0,5)F -为双曲线的一个焦点，则双曲线的方程为。 （ ） A ． 22149y x -= B. 22194x y -= C. 2213131100225y x -= D 2213131225100y x -= 6．设12,F F 是双曲线22221x y a b -=的左、右焦点，若双曲线上存在点A ，使1290F AF ? ∠=且 123AF AF =,则双曲线的离心率为 （ ） A ． 2 B. 2 C. 2 7.设斜率为2的直线l 过抛物线y 2 ＝ax (a ≠0)的焦点F ，且和y 轴交于点A ，若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为( ) A ．y 2 ＝±4 B ．y 2 ＝±8x C ．y 2 ＝4x D ．y 2 ＝8x 8．已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2 ＝4x 上一动点P 到直线 l 1和直线l 2的距离之和的最小值是( ) A ．2 B ．3 9．已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2 ＝4x 上一动点P 到直线

高中数学椭圆、双曲线、抛物线历年真题及详解

【考点8】椭圆、双曲线、抛物线 2009年考题 1、（2009湖北高考）已知双曲线141222 2 222=+=-b y x y x 的准线经过椭圆（b ＞0）的焦点，则b=( ) A.3 B.5 C.3 D.2 选C.可得双曲线的准线为2 1a x c =±=±,又因为椭圆焦点为2(4,0)b ±-所以有241b -=.即b 2=3故b=3. 2、（2009陕西高考）“0m n >>”是“方程2 21mx ny +=”表示焦点在y 轴上的椭圆”的( ) （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件 (D) 既不充分也不必要条件 【解析】选C.将方程2 2 1mx ny +=转化为 22 111x y m n +=, 根据椭圆的定义，要使焦点在y 轴上必须 满足 11 0,0,m n >>且11n m >，故选C.3、（2009湖南高考）抛物线 28y x =-的焦点坐标是( ) A ．（2，0） B ．（- 2，0） C ．（4，0） D ．（- 4，0） 【解析】选B.由 28y x =-,易知焦点坐标是(,0)(2,0)2 p - =-，故选B. 4、（2009全国Ⅰ）已知椭圆2 2:12 x C y +=的右焦点为F ,右准线为l ，点A l ∈，线段AF 交C 于点B ， 若3FA FB =u u u r u u u r ,则||AF uuuu r =( ) (A) 2 (B) 2 3 (D) 3 【解析】选A.过点B 作BM l ⊥于M,并设右准线l 与X 轴的交点为N ，易知FN=1.由题意3FA FB =u u u r u u u r ,故2 ||3 BM =. 又由椭圆的第二定义,得222 ||233 BF = = ||2AF ∴=5、（2009江西高考）设1F 和2F 为双曲线22 221x y a b -=(0,0a b >>)的两个焦点, 若12F F ，，(0,2)P b 是正三角形的 三个顶点,则双曲线的离心率为( ) A ． 32 B ．2 C ．5 2 D ．3

椭圆双曲线抛物线经典求法及历年真题

解决圆锥曲线常用的方法 1、定义法 （1）椭圆有两种定义。第一定义中，r 1+r 2=2a 。第二定义中，r 1=ed 1 r 2=ed 2。 （2）双曲线有两种定义。第一定义中，a r r 221=-，当r 1>r 2时，注意r 2的最小值为c-a ：第二定义中，r 1=ed 1，r 2=ed 2，尤其应注意第二定义的应用，常常将 半径与“点到准线距离”互相转化。 （3）抛物线只有一种定义，而此定义的作用较椭圆、双曲线更大，很多抛物线问题用定义解决更直接简明。 2、韦达定理法 因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用。 3、解析几何的运算中，常设一些量而并不解解出这些量，利用这些量过渡使问题得以解决，这种方法称为“设而不求法”。设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题，常用“点差法”，即设弦的两个端点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),弦AB 中点为M(x 0,y 0)，将点A 、B 坐标代入圆锥曲线方程，作差后，产生弦中点与弦斜率的关系，这是一种常见的“设而不求”法，具体有： （1）)0(122 22>>=+b a b y a x 与直线相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)，则有 020 20=+k b y a x 。 （2）)0,0(122 22>>=-b a b y a x 与直线l 相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)则有 020 20=-k b y a x （3）y 2=2px （p>0）与直线l 相交于A 、B 设弦AB 中点为M(x 0,y 0),则有2y 0k=2p,即y 0k=p. 4、数形结合法 解析几何是代数与几何的一种统一，常要将代数的运算推理与几何的论证说明结合起来考虑问题，在解题时要充分利用代数运算的严密性与几何论证的直观性，尤其是将某些代数

圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)知识点总结

双曲线知识点 一、 双曲线的定义： 1. 第一定义： 到两个定点F 1与F 2的距离之差的绝对值等于定长（＜|F 1F 2|）的点的轨迹（21212F F a PF PF <=-（a 为常数））这两个定点叫双曲线的焦点． 要注意两点：（1）距离之差的绝对值.（2）2a ＜|F 1F 2|. 当|MF 1|－|MF 2|=2a 时，曲线仅表示焦点F 2所对应的一支； 当|MF 1|－|MF 2|=－2a 时，曲线仅表示焦点F 1所对应的一支； 当2a =|F 1F 2|时，轨迹是一直线上以F 1、F 2为端点向外的两条射线； 当2a ＞|F 1F 2|时，动点轨迹不存在. 2. 第二定义： 动点到一定点F 的距离与它到一条定直线l 的距离之比是常数e (e ＞1)时，这个动点的轨迹是双曲线这定点叫做双曲线的焦点，定直线l 叫做双曲线的准线 二、 双曲线的标准方程：

122 22=-b y a x （a ＞0，b ＞0）(焦点在x 轴上)； 122 22=-b x a y （a ＞0，b ＞0）(焦点在y 轴上)； 1. 如果2x 项的系数是正数，则焦点在x 轴上；如果2y 项的系数是正数，则焦点在y 轴上. a 不一定大于b. 2. 与双曲线12222=-b y a x 共焦点的双曲线系方程是122 2 2=--+k b y k a x 3. 双曲线方程也可设为：22 1(0)x y mn m n - => 例题：已知双曲线C 和椭圆22 1169 x y +=有相同的焦点，且过(3,4)P 点，求双曲线C 的 轨迹方程。 三、 点与双曲线的位置关系，直线与双曲线的位置关系： 1 点与双曲线： 点00(,)P x y 在双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的内部2200221x y a b ?-> 点00(,)P x y 在双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的外部2200221x y a b ?-< 点00(,)P x y 在双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>上22 0022-=1x y a b ? 2 直线与双曲线： （代数法） 设直线:l y kx m =+，双曲线)0,0(122 22>>=-b a b y a x 联立解得 02)(222222222=----b a m a mkx a x k a b 1) 0m =时，b b k a a -<<直线与双曲线交于两点（左支一个点右支一个点）； b k a ≥，b k a ≤-，或k 不存在时直线与双曲线没有交点； 2) 0m ≠时， k 存在时， 若0222=-k a b a b k ±=，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点； 若2220b a k -≠，222222222(2)4()()a mk b a k a m a b ?=----- 222222 4()a b m b a k =+-

圆锥曲线(椭圆-双曲线-抛物线)的定义、方程和性质知识总结

椭圆的定义、性质及标准方程 1. 椭圆的定义： ⑴第一定义：平面内与两个定点12F F 、的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。 ⑵第二定义：动点M 到定点F 的距离和它到定直线l 的距离之比等于常数)10(<

3. 焦半径公式： 椭圆上的任一点和焦点连结的线段长称为焦半径。 焦半径公式：椭圆焦点在x 轴上时，设12F F 、分别是椭圆的左、右焦点，()00P x y ，是椭圆上任一点，则10PF a ex =+，20PF a ex =-。 推导过程：由第二定义得 11 PF e d =（1d 为点P 到左准线的距离） ， 则211000a PF ed e x ex a a ex c ?? ==+=+=+ ?? ?；同理得20PF a ex =-。 简记为：左“＋”右“－”。 由此可见，过焦点的弦的弦长是一个仅与它的中点的横坐标有关的数。 22221x y a b +=；若焦点在y 轴上，则为22 221y x a b +=。有时为了运算方便，设),0(122n m m ny mx ≠>=+。 双曲线的定义、方程和性质 知识要点： 1． 定义 （1）第一定义：平面内到两定点F 1、F 2的距离之差的绝对值等于定长2a （小于|F 1F 2|）的点的轨迹叫双曲线。 说明： ①||PF 1|-|PF 2||=2a （2a <|F 1F 2|）是双曲线； 若2a=|F 1F 2|，轨迹是以F 1、F 2为端点的射线；2a >|F 1F 2|时无轨迹。 ②设M 是双曲线上任意一点，若M 点在双曲线右边一支上，则|MF 1|>|MF 2|，|MF 1|-|MF 2|=2a ；若M 在双曲线的左支上，则|MF 1|<|MF 2|，|MF 1|-|MF 2|=-2a ，故|MF 1|-|MF 2|=±2a ，这是与椭圆不同的地方。 （2）第二定义：平面内动点到定点F 的距离与到定直线L 的距离之比是常数e （e>1）的点的轨迹叫双曲线，定点叫焦点，定直线L 叫相应的准线。

有关圆-椭圆-双曲线-抛物线的详细知识点

<一>圆的方程 (x-a)^2+(y-b)^2=r^2，圆心O（a，b），半径r。 （1）圆的一般式方程：x^2+y^2+Dx+Ey+F=0 此方程可用于解决两圆的位置关系： 配方化为标准方程：（x+D/2）^2.+(y+E/2)^2=(D^2+E^2-4F)/4 其圆心坐标：（-D/2,-E/2） 半径为r=√[（D^2+E^2-4F）]/2 此方程满足为圆的方程的条件是: D^2+E^2-4F>0 若不满足,则不可表示为圆的方程 （2）点与圆的位置关系点P（X1,Y1) 与圆(x－a)^2+(y－b) ^2=r^2的位置关系： ⑴当(x1－a)^2+(y1－b) ^2>r^2时，则点P在圆外。 ⑵当(x1－a)^2+(y1－b) ^2=r^2时，则点P在圆上。 ⑶当(x1－a)^2+(y1－b) ^20，则圆与直线有2交点，即圆与直线相交。 如果b^2-4ac=0，则圆与直线有1交点，即圆与直线相切。 如果b^2-4ac<0，则圆与直线有0交点，即圆与直线相离。

2.如果B=0即直线为Ax+C=0，即x=-C/A，它平行于y轴（或垂直于x 轴），将x^2+y^2+Dx+Ey+F=0化为 (x－a)^2+(y－b) ^2=r^2。令y=b，求出此时的两个x值x1、x2，并且规定x1x2时，直线与圆相离； 当x1 (x+D/2)^2+(y+E/2)^2=(D^2+E^2-4F)/4 => 圆心坐标为(-D/2,-E/2) 其实只要保证X方Y方前系数都是1 就可以直接判断出圆心坐标为(-D/2,-E/2) 这可以作为一个结论运用的 且r=根号（圆心坐标的平方和-F） <二>椭圆的标准方程 椭圆的标准方程分两种情况： 当焦点在x轴时,椭圆的标准方程是：x^2/a^2+y^2/b^2=1，(a>b>0)； 当焦点在y轴时,椭圆的标准方程是：y^2/a^2+x^2/b^2=1，(a>b>0)； 其中a>0，b>0。a、b中较大者为椭圆长半轴长，较短者为短半轴长（椭圆有两条对称轴，对称轴被椭圆所截，有两条线段，它们的一半分别叫椭圆的长半轴和短半轴或半长轴和半短轴）当a>b时，焦点在x轴上，焦距为2*(a^2-b^2）^0.5，焦距与长、短半轴的关系：b^2=a^2-c^2，准线方程是x=a^2/c和x=-a^2/c ，c为椭圆的半焦距。 又及：如果中心在原点，但焦点的位置不明确在X轴或Y轴时，方程可设为mx^2+ny^2=1(m>0，n>0，m≠n）。即

椭圆,双曲线,抛物线性质

椭圆标准方程及其性质知识点大全 (一)椭圆的定义及椭圆的标准方程： 椭圆第一定义：平面内一个动点P 到两个定点1F 、2F 的距离之和等于常数)2(2121F F a PF PF >=+ , 这个动点P 的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距. 注意：①若)(2121F F PF PF =+，则动点P 的轨迹为线段21F F ； ②若)(2121F F PF PF <+，则动点P 的轨迹无图形 (二)椭圆的简单几何性： 标准方程是指中心在原点，坐标轴为对称轴的标准位置的椭圆方程。 焦点的位置 焦点在x 轴上 焦点在y 轴上 图形 标准方程 ()22 2210x y a b a b +=>> ()22 2210y x a b a b +=>> 第一定义 到两定点21F F 、的距离之和等于常数2a ，即21||||2MF MF a +=（212||a F F >） 第二定义 与一定点的距离和到一定直线的距离之比为常数e ，即 (01)MF e e d =<< 范围 a x a -≤≤且 b y b -≤≤ b x b -≤≤且a y a -≤≤ 顶点 ()1,0a A -、()2,0a A ()10,b B -、()20,b B ()10,a A -、()20,a A ()1,0b B -、()2,0b B 轴长 长轴的长2a = 短轴的长2b = 对称性 关于x 轴、y 轴对称，关于原点中心对称 焦点 ()1,0F c -、()2,0F c ()10,F c -、()20,F c 焦距 222122()F F c c a b ==- 离心率 2222222 1(01)c c a b b e e a a a a -====-<< 准线方程 2 a x c =± 2 a y c =± 焦半径 0,0()M x y 左焦半径：10MF a ex =+ 右焦半径：20MF a ex =- 下焦半径：10MF a ey =+ 上焦半径：20MF a ey =-

椭圆,双曲线,抛物线练习题及答案

1、已知椭圆方程为 22 12332 x y +=，则这个椭圆的焦距为（ ） A ．6 B ．3 C ． D ．2、椭圆2 2421x y +=的焦点坐标是（ ） A ．( B ．(0, C ．11(0,),(0,)22- D ．( 3、12F F ，是定点，且12FF =6，动点M 满足12MF +MF 6=，则M 点的轨迹方程是（ ） A ．椭圆 B ．直线 C ．圆 D ．线段 4、已知方程2 21x my +=表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是（ ） A ．m ＜1 B ．-1＜m ＜1 C ．m ＞1 D ．0＜m ＜1 5、过点（3，-2）且与椭圆2 24936x y +=有相同焦点的椭圆方程是（ ） A ． 2211510x y += B ．22 2211510x y += C ． 2211015 x y += D ．22 2211015x y += 6、若直线 1y mx =+与椭圆2241x y +=只有一个公共点，那么2m 的值是（ ） A ． 1 2 B ． 34 C ． 23 D ． 45 7、已知椭圆C ：22 192 x y +=，直线l ：110x y +=，点P （2，-1），则（ ） A ．点P 在C 内部，l 与C 相交 B ．点P 在 C 外部，l 与C 相交 C ．点P 在C 内部，l 与C 相离 D ．点P 在C 外部，l 与C 相离 8、过椭圆C ：22 221x y a b +=的焦点引垂直于x 轴的弦，则弦长为（ ） A ． 2 2b a B ． 2 b a C ． b a D ． 2b a 9、抛物线220x y +=的准线方程是（ ）

高中圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)规律技巧总结

八、圆锥曲线 1.圆锥曲线的两个定义： （1）第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数2a ，且此常数2a 一定要大于21F F ，当常数等于21F F 时，轨迹是线段F 1F 2，当常数小于21F F 时，无轨迹；双曲线中，与两定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数2a ，且此常数2a 一定要小于|F 1F 2|，定义中的“绝对值”与2a ＜|F 1F 2|不可忽视。若2a ＝|F 1F 2|，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，若2a ﹥|F 1F 2|，则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。如（1）已知定点)0,3(),0,3(21F F -，在满足下列条件的平面上动点P 的轨迹中是椭圆的是 A ．421=+PF PF B ．621=+PF PF C ．1021=+PF PF D ．122 2 21=+PF PF （答： C ）； （2）方程8=表示的曲线是_____（答：双曲线的左支） （2）第二定义中要注意定点和定直线是相应的焦点和准线，且“点点距为分子、点线距为分母”， 其商即是离心率e 。圆锥曲线的第二定义，给出了圆锥曲线上的点到焦点距离与此点到相应准线距离 间的关系，要善于运用第二定义对它们进行相互转化。如已知点)0,22(Q 及抛物线4 2 x y =上一动点 P （x ,y ）,则y+|PQ|的最小值是_____（答：2） 2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）： （1）椭圆：焦点在x 轴上时12222=+b y a x （0a b >>）?{ cos sin x a y b ??==（参数方程，其中?为参数）， 焦点在y 轴上时22 22b x a y +＝1（0a b >>）。方程22Ax By C +=表示椭圆的充要条件是什么？（ABC ≠ 0，且A ，B ，C 同号，A ≠B ）。如（1）已知方程1232 2=-++k y k x 表示椭圆，则k 的取值范围为____ （答：11 (3,)(,2)22 --- ）；（2）若R y x ∈,，且62322=+y x ，则y x +的最大值是____，22y x +的最 小值是___2） （2）双曲线：焦点在x 轴上：2222b y a x - =1，焦点在y 轴上：22 22b x a y -＝1（0,0a b >>）。方程 22Ax By C +=表示双曲线的充要条件是什么？（ABC ≠0，且A ，B 异号） 。如（1）双曲线的离心率等于2 5 ，且与椭圆14922=+y x 有公共焦点，则该双曲线的方程_______（答：2 214x y -=）；（2）设中心

椭圆 双曲线 抛物线

椭圆、双曲线、抛物线的标准方程及性质(学案) 1. 已知()()0,2,0,2-B A （1）动点P 满足10=+PB PA （2）动点P 满足4=-PB PA （3）动点P 满足2=-PB PA 2. 已知21,F F 椭圆18 162 2=+y x 两点，如图1所示，则2ABF ?3. 已知21,F F 双曲线(,12 22=-a b y a x 线交左支于A ，B 两点，且AB =4. 抛物线x y 22 =上的点M 5. 已知椭圆 1532222=+n y m x 渐近线方程是 .

6. 以双曲线 116 92 2=-y x 的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是 . 7. 已知双曲线C 经过点(1,1)，它的一条渐近线方程为y =，则双曲线C 的标准方程是 . 8. 椭圆C ：x 29＋y 2 2 ＝1的焦点为F 1、F 2，点P 在椭圆上 （1）若|PF 1|＝4，求|PF 2|及∠F 1PF 2的大小； （2）若21PF PF ⊥，求21F PF ?的面积. 9. 正方形ABCD 的边AB 在直线y =x +4上，C 、D 两点在抛物线y 2=x 上，求正方形ABCD 的面积. 10. 已知动点P 到两个定点12(1,0),(1,0)F F -的距离12,PF PF u u u r u u u u r （1）求动点P 的轨迹C 的方程； （2）直线l 过圆2 2 40x y y ++=的圆心Q 与曲线C 交于,M N 两点，且0ON OM ?=u u u r u u u u r (O 为坐标原点)， 求直线l 的方程.

【三】课后练习 1. 若椭圆122 2 =+ky kx 的一个焦点是()4,0-，则=k . 2. 双曲线19 42 2=-y x 的顶点坐标是 ，渐近线方程是 . 3. 抛物线2 4x y =的焦点坐标是 ，准线方程是 . 4. 经过椭圆1592 2=+y x 和19 522=+y x 的所有交点的圆的方程是 . 5. 设双曲线19 252 2=-y x 的两个焦点为21,F F ，点P 在双曲线上，且121=PF ，则=2PF . 6. 与双曲线442 2=-y x 有共同的渐近线，且过点() 5,2的双曲线方程是 . 7. F 是抛物线x y 22 =焦点，P 是抛物线上一点，且2 9 =PF ，则P 的坐标是 . 8. 已知两圆2 2 15:(1)4O x y ++= 和22245:(1)4 O x y -+=，动圆P 与⊙O 1外切，且与⊙O 2切，则动圆圆心P 的轨迹方程是 . 9. 求抛物线2 2x y =上的点到直线02=--y x 的距离最小值. 10. 若直线b x y +=与抛物线y x 22 =交于A ，B 两点，且OB OA ⊥，数b 的值.

高中数学知识点椭圆双曲线抛物线

高中数学专题四 椭圆、双曲线、抛物 线 《圆锥曲线》知识点小结 一、椭圆：（1）椭圆的定义：平面内与两个定点21,F F 的距离的和等于常数（大于||21F F ）的点的轨迹。 其中：两个定点叫做椭圆的焦点，焦点间的距离叫做焦距。 注意：||221F F a >表示椭圆；||22 1 F F a =表示线段21F F ；||221F F a <没有轨迹； （2）椭圆的标准方程、图象及几何性质：

3．常用结论：（1）椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的两个焦点为21,F F ，过1F 的直线交椭圆于B A ,两点，则2ABF ?的周长= （2）设椭圆)0(122 22>>=+b a b y a x 左、右两个焦点为21,F F ，过1F 且垂直于对称轴的直线交椭圆于Q P ,两点，则Q P ,的坐标分别是 =||PQ 二、双曲线： （1）双曲线的定义：平面内与两个定点21,F F 的距离的差的绝对值等于常数（小于 ||21F F ）的点的轨迹。 其中：两个定点叫做双曲线的焦点，焦点间的距离叫做焦距。 注意：a PF PF 2||||21=-与a PF PF 2||||12=-（||221F F a <）表示双曲线的一支。

||221F F a =表示两条射线；||221F F a >没有轨迹； （2）双曲线的标准方程、图象及几何性质：

（3）双曲线的渐近线： ①求双曲线122 22 =-b y a x 的渐近线，可令其右边的1为0，即得022 2 2 =-b y a x ，因式分解得到0x y a b ±=。 ②与双曲线12222=-b y a x 共渐近线的双曲线系方程是λ=-2222y x ； （4）等轴双曲线为222t y x =-2 （4）常用结论：（1）双曲线)0,0(12222 >>=-b a b y a x 的两个焦点为21,F F ，过1F 的直线交双曲线的同一支于B A ,两点，则2ABF ?的周长= （2）设双曲线)0,0(12222 >>=-b a b y a x 左、右两个焦点为21,F F ，过1F 且垂直于对称轴的直线交双曲线于Q P ,两点，则Q P ,的坐标分别是 =||PQ 三、抛物线： （1）抛物线的定义：平面内与一个定点的距离和一条定直线的距离相等的点的轨迹。 其中：定点为抛物线的焦点，定直线叫做准线。 （2）抛物线的标准方程、图象及几何性质：0>p

椭圆、双曲线、抛物线相关知识点的总结-教师版

椭圆、双曲线、抛物线相关知识点总结 一、 椭圆的标准方程及其几何性质 椭圆的定义：我们把平面内与两个定点12F F ，的距离的和等于常数()12F F 大于的点的轨 迹叫做椭圆。符号语言：()12222MF MF a a c +=> 将定义中的常数记为a 2，则：①.当122a F F >时，点的轨迹是 椭圆 ②.当122a F F =时，点的轨迹是 线段 ③.当122a F F <时，点的轨迹 不存在 焦点位置不确定的椭圆方程可设为：()2 2 10,0,mx ny m n m n +=>>≠

与椭圆12222=+b y a x 共焦点的椭圆系方程可设为：()22 2221x y k b a k b k +=>-++ 二、 双曲线的标准方程及其几何性质 双曲线的定义：我们把平面内与两个定点12F F ，的距离的差的绝对值等于常数()12F F 小于 的点的轨迹叫做双曲线。符号语言：()12 -222MF MF a a c =< 将定义中的常数记为a 2，则：①.当122a F F <时，点的轨迹是 双曲线 ②.当122a F F =时，点的轨迹是 两条射线 ③.当122a F F >时，点的轨迹 不存在 焦点位置不确定的双曲线方程可设为：()2 2 10mx ny mn -=> a b y o a a

与双曲线22 221x y a b -=共焦点的双曲线系方程可设为：() 22 22221x y b k a a k b k -=-<<-+ 与双曲线22 221x y a b -=共渐近线的双曲线系方程可设为：()22220x y a b λλ-=≠ 三、 抛物线的标准方程及其几何性质 抛物线的定义：我们把平面内与一个定点F 和一条定直线l （l 不经过点F ）距离相等 的点的轨迹叫做抛物线。点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线。 直线与抛物线相交于()1122A(x ,y ),B ,x y ，且直线过抛物线的焦点，则过焦点的弦长公式： 122 2(sin p AB x x p AB αα =++= 为弦的倾斜角） 直线与椭圆（或与双曲线、抛物线）相交于()1122A(x ,y ),B ,x y ，则椭圆（或双曲线、抛物线）的弦长公式：

椭圆双曲线抛物线公式性质表

高中数学循环记忆学案圆锥曲线的标准方程，图像和性质

基本题目过关； 22 12211,F F 1F AB 169 FAB _____,|AB|=5|x y +=?１１ 已知，是椭圆的两个焦点，过点的直线交椭圆于两点 则的周长为若，则ＡＦ｜＋｜ＢＦ｜＝＿＿＿＿＿＿． ２２２，ｘ＋ｙ＝４，如图ＯＡ中点为Ｎ，Ｍ在圆上，ＭＮ的垂直平分线交 ＯＭ于Ｐ点，当Ｍ点在椭圆上运动时Ｐ点的轨迹方程是什么图形＿＿

３，已知椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，椭圆与坐标轴交点坐标为 Ａ　（－３,０），Ｂ（０,５），则椭圆的标准方程为＿＿＿＿＿＿ 且常州常时段周长的两倍，则该椭圆的标准方程为＿＿＿＿＿＿＿＿ ５，已知椭圆的中心在原点，焦点ｘ轴上，椭圆Ｃ上的点到焦点的最大值为 ３，最小值为１，则椭圆的标准方程为＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ２２ｘｙ６，若方程＋＝１，表示焦点在　ｙ轴上的椭圆，则ｍ的｜ｍ｜－１２－ｍ 取值范围是＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ７，椭圆的短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点 9,设椭圆的中心在原点，坐标轴为对称轴，一个焦点与短轴的两端点的连线互相垂直 且此焦点与长轴上较近的端点距离为4，则此椭圆的方程为________________ 2210,椭圆5x +ky =5的一个焦点为（0,2）则k=_________ 22 11,M 123 M x y w 是椭圆+=1的焦点为焦点，过直线L;x-y+9=0上一点作椭圆， 要使所作椭圆长轴最短，点应在何处____并求出椭圆的方程_____ PQ OP OQ 12,已知椭圆的中心在原点，坐标轴为对称轴直线y=x+1与椭圆相交于两点，且，

椭圆双曲线抛物线典型例题整理

椭圆典型例题 一、已知椭圆焦点的位置，求椭圆的标准方程。 例1：已知椭圆的焦点是F 1(0，－1)、F 2(0,1)，P 是椭圆上一点，并且PF 1＋PF 2＝2F 1F 2，求椭圆的标准方程。 解：由PF 1＋PF 2＝2F 1F 2＝2×2＝4，得2a ＝4.又c ＝1，所以b 2＝3. 所以椭圆的标准方程是y 24＋x 2 3＝1. 2．已知椭圆的两个焦点为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，且2a ＝10，求椭圆的标准方程． 解：由椭圆定义知c ＝1，∴b ＝52 －1＝24.∴椭圆的标准方程为x 225＋y 2 24 ＝1. 二、未知椭圆焦点的位置，求椭圆的标准方程。 例：1. 椭圆的一个顶点为()02， A ，其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程． 解：（1）当()02，A 为长轴端点时，2=a ，1=b ， 椭圆的标准方程为：11 42 2=+y x ； （2）当()02， A 为短轴端点时，2=b ，4=a ， 椭圆的标准方程为： 116 42 2=+y x ； 三、椭圆的焦点位置由其它方程间接给出，求椭圆的标准方程。 例．求过点(－3,2)且与椭圆x 29＋y 2 4 ＝1有相同焦点的椭圆的标准方程． 解：因为c 2 ＝9－4＝5，所以设所求椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2a 2－5＝1.由点(－3,2)在椭圆上知9 a 2＋ 4a 2 －5 ＝1，所以a 2 ＝15.所以所求椭圆的标准方程为x 215＋y 2 10 ＝1. 四、与直线相结合的问题，求椭圆的标准方程。 例： 已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆与直线01=-+y x 交于A 、B 两点，M 为AB 中点，OM 的斜率为0.25，椭圆的短轴长为2，求椭圆的方程． 解：由题意，设椭圆方程为12 22=+y a x ， 由?????=+=-+1012 22y a x y x ，得()0212 22=-+x a x a ， ∴222112a a x x x M +=+=，211 1a x y M M +=-=， 41 12===a x y k M M OM Θ，∴42=a ， ∴14 22 =+y x 为所求． 五、求椭圆的离心率问题。 例1 一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分，求椭圆的离心率．

高考数学专题-椭圆、双曲线、抛物线

高考数学专题-椭圆、双曲线、抛物线 高考定位 1.圆锥曲线的方程与几何性质是高考的重点，多以选择题、填空题或解答题的一问的形式命题；2直线与圆锥曲线的位置关系是命题的热点，尤其是有关弦长计算及存在性问题，运算量大，能力要求高，突出方程思想、转化化归与分类讨论思想方法的考查. 真 题 感 悟 1.(·全国Ⅱ卷)双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，则其渐近线方程为( ) A .y ＝±2x B .y ＝±3x C .y ＝±22x D .y ＝±3 2x 解析 法一 由题意知，e ＝c a ＝3，所以c ＝3a ，所以b ＝c 2－a 2 ＝2a ，即b a ＝2，所以该双曲线的渐近线方程为y ＝± b a x ＝±2x . 法二 由e ＝c a ＝1＋? ?? ?? b a 2 ＝3，得b a ＝2，所以该双曲线的渐近线方程为y ＝± b a x ＝±2x . 答案 A

2.(·全国Ⅰ卷)设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过点(－2，0)且斜率为2 3的直线与C 交于M ，N 两点，则FM →·FN →＝( ) A .5 B .6 C .7 D .8 解析 过点(－2，0)且斜率为23的直线的方程为y ＝23(x ＋2)，由?????y ＝23（x ＋2），y 2＝4x ，得 x 2－5x ＋4＝0.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则y 1>0，y 2>0，根据根与系数的关系，得x 1＋x 2＝5，x 1x 2＝4.易知F (1，0)，所以FM →＝(x 1－1，y 1)，FN →＝(x 2－1，y 2)，所以 FM →·FN →＝(x 1－1)(x 2－1)＋y 1y 2＝x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＋4x 1x 2＝4－5＋1＋8＝8. 答案 D 3.(·全国Ⅱ卷)已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，A 是C 的 左顶点，点P 在过A 且斜率为3 6的直线上，△PF 1F 2为等腰三角形，∠F 1F 2P ＝120°，则C 的离心率为( ) A.23 B.12 C.13 D.14 解析 由题意可知椭圆的焦点在x 轴上，如图所示，设|F 1F 2|＝2c ，∵△PF 1F 2为等腰三角形，且∠F 1F 2P ＝120°， ∴|PF 2|＝|F 1F 2|＝2c . ∵|OF 2|＝c ，过P 作PE 垂直x 轴，则∠PF 2E ＝60°，所以 F 2E ＝c ，PE ＝3c ，即点P (2c ，3c ).∵点P 在过点A ，且斜率为3 6的直线上，∴3c 2c ＋a ＝36，解得c a ＝14，∴e ＝14. 答案 D 4.(·全国Ⅰ卷)设椭圆C ：x 22＋y 2 ＝1的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于A ，B 两点，点M 的坐标为(2，0). (1)当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程； (2)设O 为坐标原点，证明：∠OMA ＝∠OMB . (1)解 由已知得F (1，0)，l 的方程为x ＝1.

直线方程及圆、椭圆、双曲线、抛物线定义、性质及标准方程

直线方程及圆、椭圆、双曲线、抛物线定义、性质及标准方程 归纳整理：杜响 1.斜率公式 21 21 y y k x x -= -（111(,)P x y 、222(,)P x y ）. 2.直线的五种方程 （1）点斜式 11()y y k x x -=- (直线l 过点111(,)P x y ，且斜率为k )． （2）斜截式 y kx b =+(b 为直线l 在y 轴上的截距). （3）两点式 11 2121y y x x y y x x --=--(12y y ≠)(111(,)P x y 、222(,)P x y (12x x ≠)). (4)截距式 1x y a b +=(a b 、分别为直线的横、纵截距，0a b ≠、) （5）一般式 0Ax By C ++=(其中A 、B 不同时为0). 3.两条直线的平行和垂直 (1)若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+ ①121212||,l l k k b b ?=≠; ②12121l l k k ⊥?=-. (2)若1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,且A 1、A 2、B 1、B 2都不为零, ①11112222 ||A B C l l A B C ?=≠； ②1212120 l l A A B B ⊥?+=； 4.夹角公式 (1)21 21 tan | |1k k k k α-=+. (111:l y k x b =+，222:l y k x b =+,121k k ≠-) (2)1221 1212 tan ||A B A B A A B B α-=+. (1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,12120 A A B B +≠). 直线12l l ⊥时，直线l 1与l 2的夹角是2 π . 5. 1l 到2l 的角公式 (1)21 21 tan 1k k k k α-=+. (111:l y k x b =+，222:l y k x b =+,121k k ≠-) (2)1221 1212 tan A B A B A A B B α-=+. (1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,12120 A A B B +≠). 直线12l l ⊥时，直线l 1到l 2的角是2 π . 6．四种常用直线系方程 (1)定点直线系方程：经过定点000(,)P x y 的直线系方程为00()y y k x x -=-(除直线0x x =),其中k 是待定的系数; 经过定点000(,)P x y 的直线系方程为00()()0A x x B y y -+-=,其中,A B 是待定的系数．

椭圆双曲线抛物线特性总结

椭圆方程图形特征 几何性质 范围 顶点 焦点 准线 对称性 长短轴 离心率 焦半径 弦长公式：|AB|＝[]21 2 2 1 2 2 1 2x x4 ) x x( ) k 1( | x x| k 1- + ? + = - ? + 若用k，y1及y2表示|AB|，则|AB|＝)0 k(| y y| 1 k 1 2 1 2 ≠ - ? + 标准方程2 2 a x － 2 2 b y ＝1（a＞0，b ＞0） 2 2 a y － 2 2 b x ＝1（a＞0，b＞0）简图 中心O（0，0）O（0，0） 顶点A 1 （－a，0），A 2 （a，0）B 1 （0，a），B 2 （0，－a） 范围|x|≥a|y|≥a 焦点F 1 （－c，0），F 2 （c，0）F 1 （0，－c），F 2 （0，c） 准线x＝± c a2 y＝± c a2 渐近线y＝± a b x y＝± b a x 4. （1）当M（x ，y ）为 2 2 a x － 2 2 b y ＝1右支上的点时，则|MF 1 |＝ex ＋a，|MF 2 |＝ex －a。 （2）当M（x ，y ）为 2 2 a x － 2 2 b y ＝1左支上的点时，|MF 1 |＝－（ex ＋a），|MF 2 |＝)a ex ( - -。 （3）当M（x ，y ）为 2 2 a y － 2 2 b x ＝1上支上的点时，|MF 1 |＝ey ＋a，|MF 2 |＝ey －a。 4、常用的公式及结 论： （1）对于给定的 椭圆的标准方程，要 判断焦点在哪个轴 上，只需比较其与2x、 2 y项分母的大小即 可。若2x项分母大， 则焦点在x轴上；若 2 y项分母大，则焦点 在y轴上。 （2）对于椭圆的 两种标准方程，都有 b a> >，焦点都在长 轴上，且a、b、c始 终满足2 2 2b a c- = 5、直线与椭圆的位 置关系 掌握直线与椭圆 的位置关系，通过对 直线方程与椭圆方程