【完美升级版】浅析函数极限的求法_毕业论文设计
浅析函数极限的求法
摘要
极限是数学分析的一个重要组成部分，它以各种形式出现且贯穿在全部内容之中,因此，掌握好极限的求解方法是学习数学分析的关键，而函数极限的求法可谓是多种多样.首先本文先给出了函数极限的定义及其性质；其次归纳和总结了函数极限的若干求法，并举例分析；最后给出了求函数极限的流程图，也就是求函数极限的思路、步骤，使初学者能较快地掌握求函数极限方法.
关键词：极限；导数；洛必达法则；泰勒公式
RAMBLE ABOUT THE METHODS OF MATH LIMIT
ABSTRACT
Mathematical analysis of the limit has been a focus of content, and
runs through the entire contents in a variety of forms, therefore, how to grasp the solution to limit is the key to learning the mathematical analysis.
The series of limit can be described as diverse, by concluded and induction,
At first, this paper gives the definition of limit, by defining the to understand what is the limit of sequence and function; secondly by induction and summarization, this paper lists some common calculation methods, and analysis all kinds of method of limit. At last,given the procedure of the solution to function limit finally, i.e. the idea of solve function limit and the step of solve function limit, to make the beginning student can grasp the method of solve function limit fast.
Key words:limit; derivative; Variable substitution; L’hospital’s rule; McLaughLin formula; Taylar exhibition type
目录
1 前言 ......................................................................................................................................... - 3 -
2函数极限的概念及性质 .......................................................................................................... - 4 -
2.1函数极限的概念 ........................................................................................................... - 4 -
2.2函数极限的性质 ........................................................................................................... - 5 - 3函数极限的求解方法 .............................................................................................................. - 6 -
3.1 利用两个准则求极限 .................................................................................................. - 6 -
3.2 利用极限的四则运算求极限 ...................................................................................... - 7 -
3.3 利用两个重要极限公式求极限 .................................................................................. - 8 -
3.4 利用洛必达法则求极限 .............................................................................................. - 9 -
3.5 利用函数连续性求极限 ............................................................................................ - 10 -
3.6 通过等式变形化为已知极限 .................................................................................... - 10 -
3.7 利用换元法求极限 ..................................................................................................... - 11 -
3.23 利用自然对数法求极限 ................................................................................... - 11 -
3.8 利用因式分解法求极限 ............................................................................................ - 12 -
3.14 利用压缩定理 ......................................................................................................... - 16 -
4 求极限的一般流程 ............................................................................................................... - 18 - 结论 ........................................................................................................................................... - 21 - 参考文献 ................................................................................................................................... - 22 - 致谢 ........................................................................................................................................... - 23 -
1 前言
极限研究的是变量在变化过程中的趋势问题.数学分析中所讨论的极
限大体上分为两类：一类是数列的极限，一类是函数的极限.两类极限的
本质上是相同的，在形式上数列界限是函数极限的特例.因此，本文只就
函数极限进行讨论.函数极限运算是高等数学的一个重要的基本运算，一
部分函数的极限可以通过直接或间接的运用“极限四则运算法则”来求解，
而另一部分函数极限需要通过特殊方法解决.求函数极限的方法较多，但是每种方法都有其局限性，都不是万能的.对某个具体的求极限的问题，我们应该追求最简便的方法.在求极限的过程中，必然以相关的概念、定理以及公式为依据，并借助一些重要的方法和技巧.
极限是数学分析中最基本的概念之一，用以描述变量在一定的变化过程中的终极状态.早在中国古代，极限的朴素思想和应用就已在文献中有记载,例如，魏晋时期中国数学家刘徽的“割圆术”的数学思想，即用无限逼近的方式来研究数量的变化趋势的思想.在数学分析中的许多基本概念，都可以用极限来描述.如函数连续的定义，导数的定义，定积分、二重积分、三重积分的定义，级数收敛的定义，都是用极限来定义的.极限是研究数学分析的基本工具，极限是贯穿数学分析的一条主线.本文是在极限存在的条件下，对极限的常用求法进行综述，归纳出计算极限的一般流程.计算极限所用的方法，是致力于把所求极限简化为已知极限.
求极限的方法远远不止本文所归纳的，故本文并不够完善，求极限的方法未能拓展,只限于数学分析.希望通过本文，大家在思想上能对求解极限的方法有一个高度的总括，计算极限时游刃有余.
2函数极限的概念及性质
2.1函数极限的概念
定义1 设为定义在上的函数，A为定数.若对任给的，存在正数，使得当时有
则称函数当趋于时以A为极限，记作
或
定义2 （函数极限的定义）设函数在点的某个空心邻域内有定义，
A为定数.若对任给的，存在正数，使得时有
则称函数当趋于时以A为极限，记作
或
定义3设函数在（或）内有定义，A为定数.若对任给的，存在正数，使得当（或）时有
则称数A为函数当趋于（或）时的右（左）极限，记作
（）
或
（）
右极限与左极限统称为单侧极限.在点的右极限与左极限又分别记为与.
2.2函数极限的性质
定理1（唯一性）若极限存在，则在的某空心邻域内有界.
定理2（局部保号性）若（或），则对任何正数（或），存在，使得对一
切有（或）.
定理3（保不等式性）设与都存在，且在某邻域内有，则
定理4 （迫敛性）设，且在某邻域内有，则
定理5（四则运算法则）若极限与都存在，则函数，当时极限也存在.
3函数极限的求解方法
3.1 利用两个准则求极限
(1)极限的迫敛性（夹逼原理），对数列和函数同样适用：
设，且在某内有
则
利用夹逼原理求极限，通常通过放大或缩小的方法找出两个有相同极限值的数列或函数，.
例3.1求
解： 因为，所以当＜0时 11cos 1111x x x x x x x x x
+--+=≤≤=- 而
由迫敛性定理得， =1
例 3. 2 求
解： 因为当＞2时，
而， 由迫敛性定理知
=0
（2）单调有界定理
设为定义在 [或]上的单调有界函数，则存在[或存在]
3.2 利用极限的四则运算求极限
极限的四则运算法则：
若，
（1）B A x g x f x g x f x x x x x x ±=±=±→→→)(lim )(lim )]()([lim 0
00 （2）B A x g x f x g x f x x x x x x ?=?=?→→→)(lim )(lim )]()([lim 0
00 （3）若 则：
（4）cA x f c x f c x x x x =?=?→→)(lim )(lim 0
0 （c 为常数） 上述性质对于时也同样成立
通常在这一类型的题中，一般都含有未定式不能直接进行极限的四则运算，首先对函数实行各种恒等变形.
例 3.3 求极限
解： =22222lim 2lim sin lim cos lim lim x x x x x x x x x πππππ→→→→→?? ?--? ???
=222sin cos 212224ππππ??????--=- ? ? ? ???????
例3.4 求极限
解： ===0
例3.5 求极限
解： =
=
例 3.6求极限
解：()()
4244x x x x →→-=- =
=
3.3 利用两个重要极限公式求极限
两个重要极限公式：（A ） (B)
但我们经常使用的是它们的变形：
例3.7 求极限
解： =
例3.8 求极限
解： =
3.4 利用洛必达法则求极限
型不定式极限
定理：若函数和满足：
（1）；
（2）在点的某空心邻域内两者都可导，且；
（3）（可为实数，也可为或），则
型不定式极限
定理：若函数和满足：
（1）；
（2）在点的某右空心邻域内两者都可导，且；
（3）（可为实数，也可为或），则
不定式极限还有等类型，经过简单变换，它们一般均可化为型或型的极限.
例3.9 求极限
解：由对数恒等式可得
=
例3.10 求极限
解： =
=-4
3.5 利用函数连续性求极限
（1）若在处连续，则
（2）若是复合函数，又且在处连续，则)()](lim [)]([lim 0
0a f x f x f x x x x ==→→?? 这种方法适用于求复合函数的极限.如果在点连续，而在点连续，那么复合函数在点连续.即)]([)](lim [)]([lim 00
0x g f x g f x g f x x x x ==→→. 例3.10 求极限
解： 令，
因为在点处连续
所以
==
3.6 通过等式变形化为已知极限
要点：当极限不宜直接求出时，可考虑将求极限的变量作适当的等式变形，得到已知极限的新变量.
例3.11 求极限
解： ==0
3.7 利用换元法求极限
当一个函数的解析式比较复杂或不便于观察时，可采用换元的方法加以变形，使之简化易求.
例3.12 求极限
解： 令，则
=
3.8 利用自然对数法求极限
自然对数法：把形如通过恒等变形写成的形式,改为求或不定式的极限.
例3.13 求极限
解： 用自然对数法，令y=
取自然对数得
2sin ln lim sin ln cos 11lim 200x x x x
x x x x →→=- = =3020sin cos lim sin sin cos lim x
x x x x x x x x x x -=-→→ =
3.9 利用因式分解法求极限
要点：如果可以通过因式分解将变量化简或转化为已知的极限，即可利用此方法求变量极限.
例3.14 就极限
解 ： 222
22
4sin 3sin 1lim sin 3sin 2(4sin 1)(sin 1)lim (sin 2)(sin 1)
4sin 1lim
5sin 2x x x x x x x x x x x x x πππ
→→→---++-=--+==--=
3.10 利用等价无穷小量求极限
当时，下列函数都是无穷小（极限为0）且相互等价，
，，，，，，，
设函数在内有定义，且有
.
(1) 若，则
(2) 若，则
注：在用等价无穷小求极限过程，不是乘除的情况，不一定能这样做. 例3.15 求极限
解： =88
lim )2(lim 33
403340=+=+→→x x x x x x x x 例3.16试确定的值，使时为同阶无穷小量
解： 因为=
1sin cos x x
?～ 所以，，故当=1时
与当时为同阶无穷小量 3.11 利用积分中值定理求极限
一般根据积分第一中值定理：若在上连续，则至少存在一点，使得
将某些含有积分的变量化为一般形式再求极限.
例3.17 求极限
解： 由积分中值定理
=， ，
111lim 11lim 301
030=+=+→→?εαεεεdx x 3.12利用定积分求和式的极限
利用定积分和式求极限时首先选好恰当的可积函数，把所求极限的和式表示成在某区间上的等分的积分和式的极限.
例3.18 求极限)12111(lim n
n n n n ++++++∞→ 解： =]11211111[1n
n n n n ++++++ = ○1
令=，则由定积分定义知
○2
又 ○3
由○1，○2，○3得
)12111(lim n
n n n n ++++++∞→ = 3.13 利用级数收敛的必要条件求极限
利用级数收敛的必要条件：若级数收敛，则，运用这个方法首先判定级数收敛，然后得出它的通项极限.
例3.19 求极限
解： 设
则n n n n
n n n n n n a a 2
211)!(])!1[()1(lim lim ?++=+∞→+∞→ =
=0<1
由比值判别法知收敛
由必要条件知=0
3.14 利用泰勒公式求极限
泰勒公式是一大难点，在学习时首先要清楚泰勒定理成立的条件，清楚泰勒
公式、麦克劳林公式的表达形式以及常见的麦克劳林展开式.实际上，泰勒公式在证明、极限计算等方面有着广泛而独到的应用.
泰勒定理：若在点有直到阶连续导数，那么
)(!
)0(!2)0('')0(')0()(2x R x n f x f x f f x f n n n +++++= （其中在0与1之间）
例3.20 求极限
解： 泰勒展开式 )()2
(!21)2(1422222
x O x x e x +-+-+=- 于是)(12
1cos 4422
x O x e
x x +-=-- 所以= 3.15 利用压缩定理
定理3.15（压缩定理）：
1 对于任意数列而言，若存在常数，使得，恒有
，，
则数列收敛
2 特别，若数列利用递推公式给出：
，其中为某一可微函数，且，使得
，则收敛。
证明 1
111010101111n n p n n p n p k n p n k k k n k n r r r x x x x r x x x x x x r r
+++-+-=+=+--≤
-≤--?≤---∑∑ 应用柯西准则，知收敛。或利用狄利克雷判别法，可知级数绝对收敛，从而序列
101()(1,2,3)n
n k k k x x x x n -==-+=???∑
收敛
2 若成立，利用微分中值定理： '1111()()()()n n n n n n n n n x x f x f x f x x x r x x +----=-=-≤-， 即此时，也成立，故由1可知收敛
注 此定理可以与单调有界定理和起来证明递推数列的收敛。如例3.2也可以这么来证明。
例3.2
证明下列数列的极限存在，并求极限011,0,1,2,n x x n +===??? 解：对于1已有，对，有，
则它满足压缩定理的条件，故收敛。
例3.15 设，由下列递推公式定义，求
解：因为
又因为
11112212111()()242
n n n n n n n n n x x f x f x x x x x x x +------=-≤-≤-≤???≤-， '222(1)(2)11()(1)(1)(1)
x x f x x x x +-+-===+++， ，，所以收敛。
因为，设，
对两边取极限得
所以，不合题意（由极限的保号性可知）
所以
4 求极限的一般流程
一般流程图如下所示：
图1 求函数极限流程图
求函数极限的方法较多,但是每种方法都有其局限性,都不是万能的.对某个具体的求极限的问题,我们应该追求最简便的方法.在求极限的过程中,必然以相
关的概念、定理及公式为依据,并借助一些重要的方法和技巧.
对求函数极限流程图的说明
1. 判断函数是否连续，若连续直接用极限的四则运算解之，如例 3.3；
3.4;3.5;3.6.
2. 判断函数的形式是不是
2.1 如果是，接着判断是不是 或
⑴ 如果是，接着判断是否有零因式（或无穷大因式）
① 如果有，则去零因式（或无穷大因式），再回到第一步进行
是否连续的判断；
若有零因子，可用因式分解或泰勒展开式去零因子;
若有无穷因子，可通过衡等变化去无穷因子.
②如果没有，则应用洛必达法则，再回到第一步进行是否连续
的判断；
⑵如果不是，则是形如的极限，显然可直接得出答案；
2.2 如果不是，接着判断是不是
⑴如果是，接着判断是不是
①如果是，则转到 2.1；
②如果不是，则是形如的极限，显然可直接得出答案；
⑵如果不是，接着判断是不是的形式
①如果是，应用自然对数法求极限，则可转到2.2；
②如果不是，则判断是不是的形式(如果是，通分可后转到
2.;如果不是，则归结为其他类型的极限，用两边夹定理积分中值定理、级数收敛的必要条件等其他方法来求解,可转到1.如例4.2，4.3，4.4.) 不同的函数形式，可采用不同的极限求法，如上文归纳的求极限的方法.不管用什么方法，目的都是要简化函数，化为已知极限.
结论
在选择求极限方法时，首先要分析函数的特点，确定函数式的类型，然后根据函数的类型和特点来决定用何种方法去求函数的极限.极限是描述数列和函数的变化趋势,该趋势是以自变量的变化过程为前提,所以在判断极限所属的类型时,一定要以自变量的变化过程为前提,而不能单纯只看函数式,否则必错无疑.
把求数列极限化为求函数极限,就给求数列极限开辟了广阔的天地.这是因为求函数极限可以有多种方法,针对不同函数的特点,可利用函数
的连续性、洛必达(L.Hospital)法则,函数的泰勒(Taylor)展开式等,但也应该明白,并不是任何数列极限问题都能转化为函数极限问题的,例如,当数列的通项本身呈现n项之和或积的形式时就不能按海涅定理转化为函数的极限了.
本文主要归纳了数学分析中求极限的一些常用方法.以上只是众多求解极限方法的一小部分，或许并不全面，读者如果有兴趣可以继续探索新的求解方法.因为数学知识博大精深，我们目前只接触到一点点而已，虽然我们还处在那数学的基础层，但这并不妨碍我们对数学的喜爱与学习,我们应不停的接受知识. 总之，在求函数极限的过程就是综合运用各种方法的过程，只有真正理解每一种求解函数极限方法需要满足的条件及实质，以及各种方法之间的内在联系,才能在求函数极限的过程中游刃有余,且受其益于生活实践.
参考文献
[1]王盛群等.高等数学[M].山东:山东大学出版社，1993.
[2]华东师范大学数学系.数学分析[M].北京:高等教育出版社,2001.
[3]钱吉林.数学分析题解精粹[M].湖北:众邦考试教育研究所,2009.
[4]同济大学数学系.微积分[M].北京:高等教育出版社,2009.
[5]尹国成.常见函数极限的求法[J].保山师专学报,2009,(6):1-3.
[7]刘玉琏等.数学分析讲义[M].北京:高等教育出版社,1992.
[8]同济大学应用数学系.高等数学习题集[M].北京:高等教育出版社,1998.
[9] Wolfgang B. Jurkat. Ein funktionentheoretischer Beweis furo-Taubersitze bei den Verfahren von Borel und [10] Balazs Szegedy. Characters of the Borel and Sylow subgroups of classical
致谢
这次毕业论文能够得以顺利完成，自始至终都是由杨玉敏老师全面、具体的指导之下进行的，多次帮我修改论文，还给予我很多宝贵的意见和建议.杨玉敏老师严谨的治学态度和对工作的兢兢业业、一丝不苟的精神将永远激励和鞭策我认真学习、努力工作.
在杨老师那里，我不仅学习到了广泛的专业知识，更重要的是她那渊博的知识，无私的奉献精神，孜孜不倦的教诲给了我深深的启迪.在我做本文的过程中无不倾注着杨玉敏老师的心血和汗水.在此，我要向我的毕业论文指导教师杨玉敏老师致以衷心的感谢和深深的敬意！衷心感谢每一位教导过我的老师，是他们使我拥有良好的专业基础，因而有能力完成这一毕业论文.
感谢身边所有的朋友与同学，谢谢你们四年来的关照与宽容，与你们一起走过的缤纷时代，将会是我一生最珍贵的回忆.