中考数学动点问题(含答案)
中考数学之 动点问题
一、选择题：
1. 如图，在矩形ABCD 中，动点P 从点B 出发，沿BC 、CD 、DA 运动至点A 停止，设点P 运动的路程为x ，△ABP 的面积为y ，如果y 关于x 的函数图象如图2所示，则△ABC 的面积是（ ）
9
4x
y
O
P
D
A 、10
B 、16
C 、18
D 、20
二、填空题：
1. 如上右图，C 为线段AE 上一动点（不与点A ，E 重合），在AE 同侧分别作正三角形ABC 和正三角形CDE 、AD 与BE 交于点O ，AD 与BC 交于点P ，BE 与CD 交于点Q ，连结PQ.以下五个结论：①AD=BE ；②PQ ∥AE ；③AP=BQ ；④DE=DP ；⑤∠AOB=60°.
恒成立的结论有_______________________（把你认为正确的序号都填上）。
三、解答题：
1．（2008年大连）如图12，直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠A = 90°，CD = 3，AD = 4，tan B = 2，过点C 作CH ⊥AB ，垂足为H ．点P 为线段AD 上一动点，直线PM ∥AB ，交BC 、C H 于点M 、Q ．以PM 为斜边向右作等腰Rt △PMN ，直线MN 交直线AB 于点E ，直线PN 交直线A B 于点F ．设PD 的长为x ，
EF 的长为y ．
⑴求PM 的长(用x 表示)；
⑵求y 与x 的函数关系式及自变量x 的取值范围(图13为备用图)； ⑶当点E 在线段AH 上时，求x 的取值范围(图14为备用图)．
Q P
O
B
E
D C
A
图 13
图 14
图 12
A
H
B
C
D
A H
B
C
D
H
M Q
P D
C
B
A
2.（2008年福建宁德）如图1，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝8厘米，点D 在AC 上，CD ＝3厘米．点P 、Q 分别由A 、C 两点同时出发，点P 沿AC 方向向点C 匀速移动，速度为每秒k 厘米，行完AC 全
程用时8秒；点Q 沿CB 方向向点B 匀速移动，速度为每秒1厘米．设运动的时间为x 秒()80
＜x＜，△DCQ 的面积为y 1平方厘米，△PCQ 的面积为y 2平方厘米． ⑴求y 1与x 的函数关系，并在图2中画出y 1的图象；
⑵如图2，y 2的图象是抛物线的一部分，其顶点坐标是（4，12），求点P 的速度及AC 的长；
⑶在图2中，点G 是x 轴正半轴上一点（0＜OG ＜6＝，过G 作EF 垂直于x 轴，分别交y 1、y 2于点E 、F ． ①说出线段EF 的长在图1中所表示的实际意义； ②当0＜x ＜６时，求线段EF 长的最大值．
3.（2008年白银）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是矩形，点B 的坐标为（4，3）．平行于对角线AC 的直线m 从原点O 出发，沿x 轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，设直线m 与矩形OABC 的两边．．分别交于点M 、N ，直线m 运动的时间为t （秒）． (1) 点A 的坐标是__________，点C 的坐标是__________； (2) 当t= 秒或 秒时，MN=
2
1
AC ； (3) 设△OMN 的面积为S ，求S 与t 的函数关系式；
(4) 探求(3)中得到的函数S 有没有最大值？若有，求出最大值；若没有，要说明理由．
图1
C Q → B
D
A
P ↓ 图2
G 2 4 6 8 10 12
10 8 6 4 2 y O
x
参考答案
一、选择 A
二、填空：（1）（2）（3）（5） 三、解答：
2、解：⑴∵CD CQ S DCQ ??=
?2
1
，CD ＝3，CQ ＝x ， ∴x y 2
31=
． 图象如图所示．
⑵方法一：CP CQ S PCQ ??=
?2
1
，CP ＝8k －xk ，CQ ＝x ， ∴()kx kx x kx k y 42
18212
2+-=?-?=．
∵抛物线顶点坐标是（4，12），
∴124442
1
2=?+?-
k k ． 解得2
3
=k ．
则点P 的速度每秒2
3
厘米，AC ＝12厘米．
方法二：观察图象知，当x=4时，△PCQ 面积为12． 此时PC ＝AC －AP ＝8k －4k ＝4k ，CQ ＝4．
∴由CP CQ S PCQ ??=?21，得 12244=?k ．解得2
3
=k ．
则点P 的速度每秒2
3
厘米，AC ＝12厘米．
方法三：设y 2的图象所在抛物线的解析式是c bx ax y ++=2
． ∵图象过（0，0），（4，12），（8，0），
∴?????=++=++=.0864124160c b a c b a c ，， 解得 ?
??
?
???==-=.0643c b a ，， ∴x x y 6432
2+-=． ①
∵CP CQ S PCQ ??=?21
，CP ＝8k －xk ，CQ ＝x ，
∴kx kx y 42
12
2+-=． ②
比较①②得23
=k .
则点P 的速度每秒2
3
厘米，AC ＝12厘米．
⑶①观察图象，知
线段的长EF ＝y 2－y 1，表示△PCQ 与△DCQ 的面积差（或△PDQ 面积）． ②由⑵得 x x y 64
32
2+-=.（方法二，x x x x y 643232382122+-=???? ??-??=）
∵EF ＝y 2－y 1， ∴EF ＝x x x x x 2
9
432364322+-=-+-
，
∵二次项系数小于０，
∴在60＜x＜范围，当3=x 时，4
27
=
EF 最大． 3、解：(1)（4，0），（0，3）； ······························································································ 2分 (2) 2，6； ············································································································································ 4分 (3) 当0＜t ≤4时，OM =t ． 由△OMN ∽△OAC ，得OC
ON
OA OM =
， ∴ ON =
t 43，S=28
3
t ． ················································ 6分 当4＜t ＜8时，
如图，∵ OD =t ，∴ AD = t-4． 方法一：
由△DAM ∽△AOC ，可得AM =
)4(43-t ，∴ BM =6-t 43
． ···································· 7分 由△BMN ∽△BAC ，可得BN =BM 3
4
=8-t ，∴ CN =t-4． ··········································· 8分
S=矩形OABC 的面积-Rt △OAM 的面积- Rt △MBN 的面积- Rt △NCO 的面积
=12-)4(23-t -21（8-t ）（6-t 43
）-)4(23-t =t t 38
3
2+-． ··························································································································· 10分
方法二：
易知四边形ADNC 是平行四边形，∴ CN =AD =t-4，BN =8-t ． ·········································· 7分 由△BMN ∽△BAC ，可得BM =BN 43=6-t 4
3
，∴ AM =)4(43-t ． ····················· 8分 以下同方法一． (4) 有最大值．
方法一： 当0＜t ≤4时，
∵ 抛物线S=2
8
3t 的开口向上，在对称轴t=0的右边， S 随t 的增大而增大， ∴ 当t=4时，S 可取到最大值248
3
?=6； ································································ 11分
当4＜t ＜8时， ∵ 抛物线S=t t 38
32
+-
的开口向下，它的顶点是（4，6），∴ S ＜6． 综上，当t=4时，S 有最大值6． ····························································································· 12分 方法二：
∵ S=2
23048
33488
t t t t t ?
∴ 当0＜t ＜8时，画出S 与t 的函数关系图像，如图所示． ········································ 11分 显然，当t=4时，S 有最大值6． ························································································· 12分
说明：只有当第（3）问解答正确时，第（4）问只回答“有最大值”无其它步骤，可给1分；否则，不给分．