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最新多元函数微分法及其应用习题及答案

第八章多元函数微分法及其应用

(A)

1．填空题

(1)若()y x f z ,=在区域D 上的两个混合偏导数y x z ???2，x

y z

???2 ，则在D 上，

y z

y x z ???=???22。 (2)函数()y x f z ,=在点()00,y x 处可微的条件是()y x f z ,=在点()00,y x 处的偏导数存在。

(3)函数()y x f z ,=在点()00,y x 可微是()y x f z ,=在点()00,y x 处连续的条件。 2．求下列函数的定义域

(1)y x z -=；(2)2

arccos y

x z u +=

3．求下列各极限

(1)x xy y x sin lim 00→→； (2)11lim 0

0-+→→xy xy

y x ； (3)22222200)()cos(1lim y x y x y x y x ++-→→

4．设()xy x z ln =，求y x z ???23及2

3y x z

???。 5．求下列函数的偏导数 (1)x

arctg

z =；(2)()xy z ln =；(3)32z xy e u =。 6．设u t uv z cos 2+=，t e u =，t v ln =，求全导数

dt dz 。 7．设()z y e u x -=，t x =，t y sin =，t z cos =，求dt

。

8．曲线??

???=+=

4422y y x z ，在点(2,4,5)处的切线对于x 轴的倾角是多少？

9．求方程122

2222=++c

z b y a x 所确定的函数z 的偏导数。

10．设y x ye z x 2sin 2+=，求所有二阶偏导数。

11．设()y x f z ,=是由方程y z z x ln =确定的隐函数，求x

??，y z ??。 12．设x y e e xy =+，求

dy 。 13．设()y x f z ,=是由方程03

=+-xy z e z

确定的隐函数，求x

??，y z ??，y x z ???2。

14．设y ye z x cos 2

+=，求全微分dz 。

15．求函数()222ln y x z ++=在点()2,1的全微分。 16．利用全微分求

()()2201.498.2+的近似值。

17．求抛物面22y x z +=与抛物柱面2x y =的交线上的点()2,1,1P 处的切线方程和平面方程。

18．求曲面39

142

22=++z y x 上点()3,1,2-P 处的切平面方程和法线方程。 19．求曲线t x 3

，2t y =，3t z =上点()0000,,z y x M ，使在该点处曲线的切线平行于平面62=++z y x 。

20．求函数()()224,y x y x y x f -=-=的极值。 21．求函数()()y y x e y x f x 2,22++=的极值。

22．要建造一个容积为10立方米的无盖长方体贮水池，底面材料单价每平方米20元，侧面材料单价每平方米8元。问应如何设计尺寸，方便材料造价最省？

(B)

1．求下列函数的定义域

(1)()()[

410ln ln arcsin y

x y x z --+-=；(2)2

22241

y x y x u ---+=

2．(1)设22,y x x y y x f -=??? ?

+，求()y x f ,，()xy y x f ,-。

(2)设()y x y x f 2,+=，求()()y x f xy f ,, 3．求下列函数的极限

(1)()

222221lim y x y x y x +∞→∞→????

?+-；(2) ???

? ??+-+→→222

110

sin lim y

x y

x y x e e

4．设()()()()?????=≠+=0,0,,00,0),(,,2

4y x y x y x xy

y x f 当当，问()y x f y x ,lim 0

→→是否存在？

5．讨论函数的连续性，其中()()??

??=≠--=y x y x y x y x x y x f 2,02,22sin ,。 6．二元函数()()()()()?????=≠+=0,0,,00,0,,,2

2y x y x y x xy

y x f 在点()0,0处：①连续，偏导数存在；

②连续，偏导数不存在；③不连续，偏导数存在；④不连续，偏导数不存在。

7．设()

y x z 21+=，求

??，y z ??。 8．设()z y x f u 2322

++=，求x

??，22x f ??。

9．设()z y x f u 2,3,22

=，求z

??，x z f ???2。

10．设()2222,y x y x xyf z -+=，f 可微，求dt 。 11．设()0,,=+xz z y xy f ，求

??，y z ??。 12．设0=-z x y z ，求1

1===z y x dz 。

13．设()θθsin ,cos r r f z =可微，求全微分dz 。

14．设()y x f z ,=是由方程()0,=-yz z x f 所确定的隐函数，其中f 具有连续的偏导数，求dz ，并由此求

??和y z ??。 15．求()

y x z 2

2+=的偏导数。

16．设???=++=++1

22z y x z y x ，求dz dx ，dz dy

。

17．设xyz

u =，求z

y x u ????3。

18．求函数xyz u =在点()2,1,5处沿从点()2,1,5到点()14,4,9方向的方向导数。 19．求函数2

22z y x x u ++=

在点()2,2,1-M 沿t x =，22t y =，42t z -=在此点的

切线方向上的方向导数。

20．求函数z y x u 2286+=在点P 处沿方向n ρ

的方向导数。

21．判断题：(简单说明理由) (1)

()()

00,,y x y y x f ??就是()y x f ,在()00,y x 处沿y 轴的方向导数。 (2)若()y x f ,在()00,y x 处的偏导数y f ??，y

f ??存在，则沿任一方向l 的方向导数均存在。

22．证明曲面43

23232

=++z y x 上任意一点的切平面在坐标轴上的截距的平方为常数。

23．证明：球面∑：1222=++z y x 上任意一点()c b a ,,处的法线都经过球心。 24．求椭球面163222=++z y x 上的一点()3,2,1--处的切平面与平面0=z 的交角。 25．设u ，v 都是x ，y ，z 的函数，u ，v 的各偏导数都存在且连续，证明： 26．问函数z xy u 2=在()2,1,1-P 处沿什么方向的方向导最大，并求此方向导数的最大值。

27．求内接于椭球面122

222=++2c

z b y a x 的最大长方体的体积。

28．某公司通过报纸和电视传媒做某种产品的促销广告，根据统计资料，销售收入

R 与报纸广告费x 及电视广告费y (单位：万元)之间的关系有如下经验公式：

221028311415y x xy y x R ---++=，在限定广告费为1.5万元的情况下，求相应的最优

广告策略。

29．求函数()y x e y x f +=,的n 阶麦克劳林公式，并写出余项。

30．利用函数()y x y x f =,的2阶泰勒公式，计算02.111?的近似值。

(C)

1．证明0lim

0=+→→y

x xy y x 。

2．设()()y x y x y x f ,||,?-=，其中()y x ,?在点()0,0，邻域内连续，问(1)()y x ,?在什么条件下，偏导数()0,0x f '，()0,0y f '存在；(2)()y x ,?在什么条件下，()y x f ,在()0,0处可微。

3．设()t x f y ,=而t 为由方程()0,,=t y x ?所决定的函数，且()t y x ,,?是可微的，试求

dy 。 4．设()y x z z ,=由0ln 2

=-+?-dt e z z x

y t 确定，求y

x t

???2。

5．从方程组???=++++=++++11

2222v u z y x v u z y x 中求出x u ，x v ，2x u ，2x v 。 6．设()by

ax e

y x u z +=,，且

02=???y

x u

，试确定常数a ，b ，使函数()y x z z ,=能满足方程：

02=+??-??-???z y

x z y x z 。 7．证明：旋转曲面()

y x

z +=)0(≠'f 上任一点处的法线与旋转轴相交。

8．试证曲面a z y x =++(0>a )上任何点处的切平面在各坐标轴上的截距之和等于a 。

9．抛物面22y x z +=被平面1=++z y x 截成一椭圆，求原点到这椭圆的最长与最短距离。

10．设x 轴正向到方向l 的转角为?，求函数()22,y xy x y x f +-=在点()1,1沿方向l 的方向导数，并分别确定转角?，使这导数有(1)最大值；(2)最小值；(3)等于0。

第八章多元函数微分法及其应用

(A)

1．填空题

(1)若()y x f z ,=在区域D 上的两个混合偏导数y x z ???2，x y z

???2 连续，则在D 上，

y z

y x z ???=???22。 (2)函数()y x f z ,=在点()00,y x 处可微的必要条件是()y x f z ,=在点()00,y x 处的偏导数存在。

(3)函数()y x f z ,=在点()00,y x 可微是()y x f z ,=在点()00,y x 处连续的充分条件。

2．求下列函数的定义域

(1)y x z -= 解：设定义域为D ，由

0≥y 和0≥-y x ，即02>≥y x ，0≥x

得(){}y x y x y x D ≥≥≥=2,0,0|,，如图1所示 (2)2

arccos

x z u +=

解：设定义域为D ，由

022≠+y x ，即x ，y 不同时为零，且

≤+y

x z ，

即 222y x z +≤，得

(){}

0,|,,22222≠++≤=y x y x z z y x D 。

3．求下列各极限 (1)x xy y x sin lim

00→→ (2)11lim 0

0-+→→xy xy

y x

解：原式????

??=→→y xy xy y x sin lim 00 解：原式)11)(11()11(lim 00-+++++=→→xy xy xy xy y x 001=?= (

)

211lim

=++=→→xy y x

(3)22222200)()cos(1lim y x y x y x y x ++-→→ 解：原式??????

? ??+????? ??++=→→222222222200422sin 2lim y x y x y x y x y x +∞=????

?+=

→→220011lim 21y x y x 4．设()xy x z ln =，求y x z ???23及2

3y x z

??? 解：

()()1ln ln +=?+=??xy xy

x xy x z x xy y x z 122==??，023=???y

x z ， y xy x y x z 12==???，2

231

y y x z -=??? 5．求下列函数的偏导数 (1)x y arctg

z = 解：2222

211

y x y y x y x x x y x x y x

+-=???

? ??-+=??? ??????

? ??+=?? 类似地

2211

y x x

x y y x y x

z +=??? ??????

? ??+=?? (2)()xy z ln = 解：

x x y x y x x x z ln 21

1ln ln 121ln ln =

?+=+??=?? 同理可证得：xy

y y z ln 21

?? (3)3

2z xy e u =

解：()

32323232z xy z xy e z y z xy x

e x z

=??=?? ()

3223322z xy z xy e xyz z xy y

e y u =??=??

()

323222323z xy z xy e z xy z xy z

e z u

=??=?? 6．设u t uv z cos 2+=，t e u =，t v ln =，求全导数

。解：

()

u t v u t uv u u z sin cos 22-=+??=??， ()

uv u t uv v v z 2cos 2=+??=??，u t

z cos =??

依复合函数求导法则，全导数为

dt t z dt dv v z dt du u z dt dz ???+???+???= ()

1cos 1

2sin 2?+?+-=u t uv e u t v t

()

t t t t e t e t

e e t t cos ln 2

sin ln 2++-=

7．设()z y e u x -=，t x =，t y sin =，t z cos =，求dt

du 。解：

dz z u dt dy y u dt dx x u dt du ??+??+??= ()t e t e z y e x x x sin cos ++-= t e t sin 2=

8．曲线?????=+=

4422y y x z ，在点(2,4,5)处的切线对于x 轴的倾角是多少？

解：

242x x x z ==??，()

αtg z

z ==??15,4,2，故4

α=

。

9．求方程122

2222=++c

z b y a x 所确定的函数z 的偏导数。

解：关于x 求导，得到

02222

=?+x z c

a x ，即z a x c z x 22-= 关于y 求导，有

02222

=?+y z c

b y ，即z b y

c z y 22-=。 10．设y x ye z x 2sin 2+=，求所有二阶偏导数。解：先求一阶偏导数，得

y ye x

x 2sin 22+=??，y x e y z x 2cos 22+=?? 再求二阶偏导数，得

()

x x ye y ye x x z x x

z 222242sin 2=+??

??? ??????=??，

()

y e y ye y

x z y y x z x x 2cos 222sin 2222+=+??=??? ??????=???， ()

y e y x e y

y z x x y z x

x 2cos 222cos 2222+=+??=???? ??????=???， ()

y x y x e y y z y y z x

2sin 42cos 2222-=+??=???

? ??????=?? 11．设()y x f z ,=是由方程y z z x ln =确定的隐函数，求x

??，y z ??。解一：记()y

z x z y x F ln ,,-=

，则 z

F x 1

'，y y z z y F y 12=???? ??--='，221x

x z z x F z +-=--=' 当0≠'z F 时，便得z x z

x z F F x z z x +=

+--='

'-=??2

， ()z x y z z

z x y F F y z z y +=+--=''-=??221

。

解二：（提示）直接对方程

z x ln =两边求偏导数，并明确z 是x 、y 的函数，即可

得

??，y z ??。 12．设x y e e xy =+，求

。解：令()x y e e xy y x F -+=,，则x x e y F -='，y y e x F +='，则

y x e

x e y F F dx dy +--=''-=。 13．设()y x f z ,=是由方程03

=+-xy z e z

确定的隐函数，求x

??，y z ??，y x z ???2。

解：方程两边对x 求偏导数，有

03=+??-??y x z x z e z

，即()

013=+??-y x

e z 解得 z

e y x z -=??13 类似地，方程两边对y 求偏导数，解得

e xy y z -=??132

再求二阶混合偏导数，得

()

322

113z

z z e y z e y e y x z y y z z -???? ????---=??? ??????=??? 把上述

??的结果代入，便得： (

)

[]

(

)

332

22113z z

z e

e xy e y y x z -+-=???。

14．设y ye z x cos 2

+=，求全微分dz 。解：由于

22x xye x

=??，y e y z x sin 2-=??，所以全微分为 ()

dy y e dx xye dy y

dx x z dz x x sin 222-+=??+??=

。 15．求函数()222ln y x z ++=在点()2,1的全微分。

解：

()

72222,12

22,1=

++=

??y x x x

z ，()

()

4222,12

22,1=

++=

??y x y y

z 所以dy dx dz 7

72+=

。 16．利用全微分求

()()2201.498.2+的近似值。

解：设22y x z +=，则全微分y y

x y x y

x x dz ?++

?+=2

由近似关系dz z ≈?，得

()()y y

x y x y

x x y x y y x x ?++

?++

+≈?++?+2

222

上式中取3=x ，02.0-=?x ，4-y ，01.0=?y ，得

()()()01.04

3402.04

334301.498.22

222

2?++

-?++

+≈+

996.4008.0012.05=+-= 因此，所求近似值

()()996.401.498.22

2≈+。

17．求抛物面22y x z +=与抛物柱面2x y =的交线上的点()2,1,1P 处的切线方程和平面方程。

解：交线方程?????+==2

22y

x z x

y ，只要取x 作参数，得参数方程： ??

??+===,,,422x x z x y x x

则有

1=dx dx ，x dx dy 2=，342x x dx

dz +=，于是交线在点()2,1,1P 处的切线向量为{}6,2,1=。

切线向量为

2111-=-=-z y x 法平面方程为()()()026121=-+-+-z y x ，即01562=-++z y x 。

18．求曲面39

14222=++z y x 上点()3,1,2-P 处的切平面方程和法线方程。

解：记()39

14,,2

22-++=z y x z y x F ，则 ()2,,x z y x F x =

'，()y z y x F y 2,,='，()z z y x F z 9

2,,=' 于是曲面在点P 处的法线向量为

()()(){}????

-=-'-'-'=32,2,13,1,2,3,1,2,3,1,2z y x F F F n ρ

从而，切平面方程为()()()0332

1221=-++--?z y x ，即063

22=-+-z y x ，法线方程为

2112-=-+=-z y x 。 19．求曲线t x 3

，2t y =，3t z =上点()0000,,z y x M ，使在该点处曲线的切线平行于平面62=++z y x 。

解：曲线在点()0000,,z y x M 处的切线方程为

()()()

0000t z z z t y y y t x x x '-='-='- 又切线与平面62=++z y x 平行，即切线的方向向量和平面的法向量垂直，应有

()()()0121000=?'+?'+?'t z t y t x ，即

034342

00=++t t ，得3

20-=t 所以0M 点的坐标为??

??--278,94,98。

20．求函数()()224,y x y x y x f -=-=的极值。

解：解方程组()()???=--==-=024,0

24,y y x f x y x f y

x ，求得驻点()2,2-，由于()022,2<-=-=xx f A ，

()02.2=-=xy f B ，()22,2-=-=yy f C ，02>-B AC ，所以在点()2,2-处，函数取得极

大值，极大值为()92,2=-f 。

21．求函数()()y y x e y x f x 2,22++=的极值。

解：解方程组()()()()?????=+==+++=0

22,01422,222y e y x f y y x e y x f x

y x x ，得驻点???

??-1,21。由于()()

124,22+++==y y x e y x f A x xx ，()()142+==y e xy f B x xy ，()x yy e y x f C 22,==在点

??? ??-1,21处，02>=e A ，0=B ，e C 2=，2

24e B AC =-，所以函数在点??? ??-1,21处取得极小值，极小值为21,21e f -=??

??-。

22．要建造一个容积为10立方米的无盖长方体贮水池，底面材料单价每平方米20元，侧面材料单价每平方米8元。问应如何设计尺寸，方便材料造价最省？

解：设水池的长为x 米，宽为y 米，高为z 米，则材料造价为

()y x xz xy u ++=1620，(0>x ，0>y ，0>z )，<*1> 且x ，y ，z 必须满足

10=xyz ， <*2>

从<*2>解出xy z 10

代入<*1>，得???

? ??+1+=y x xy u 116020，(0>x ，0>y )，于是问题就成为求u 当0>x ，0>y 时的最小值，由极值的必要条件，有

????

???=-=??=-=??.016020;0160202

2y x y

u x y x u 解此方程组得2==y x 。

据题意存在最小造价，而2=x ，x y =是唯一驻点，所以当2=x ，2=y ，2

=z 时，水池的材料造最小。

(B)

1．求下列函数的定义域

(1)()()[]

222410ln ln arcsin y x y x z --+-=

解：设定义域D 。使()2

arcsin y x -有意义的区域为：12≤-y x ，即1122≤-≤-y x ，

1122+≤≤-y x y ，使()[]

22410ln ln y x --有意义的区域为：141022>--y x ，即

492

2<+y x 。

故定义域()??????<++≤≤-=1949,11|,222

2y x y x y y x D 。如图2

(2)2

22241

x y x u ---+=

解：设定义域为D 。由根式性质可知，必须041

222≥---+y

x y x ，且0422≠--y x ，即?????>--≥-+04012222y x y x 或?????<--≤-+0

222y x y x 解得： ()41|,22<+≤=y x y x D 。如图3

解：设?????==+v x y u y x ，则得???

???+=+=v uv y v

x 11

由此()()v v u v uv v u v u f +-=

??+-??? ??+=1111,22

从而()()y

y x y x f +-=11,2 ()()()xy

xy y x xy y x f +--=

-11,2

(2)设()y x y x f 2,+=，求()()y x f xy f ,,

解：()()()()xy y x y x xy y x f xy y x f xy f ++=++=+=4222,2,,. 3．求下列函数的极限

(1)()

222221lim y x y x y x +∞→∞→????

?+-

解：原式44

2222

21lim -+∞→∞→=????

? ?

?????

?+-=e y x y x y x (2) ???

? ?

?+-+→→222

211

0sin lim y

x y

x y x e e

解：原式1sin lim

0=-=++-→→y x

y x y x e e

4．设()()()()???

??=≠+=0,0,,00,0),(,,24y x y x y x xy

y x f 当当，问()y x f y x ,lim 0

→→是否存在？

解：①取沿直线x y =的途径，当()()0,0,→y x P 时，有

()11

lim lim

,lim 20240

=+=+?=→→=→=x x x x x y x f x x x y x x

y ，

②沿抛物线x y =的途径，当()()0,0,→y x P 时，有

()01

lim lim

,lim 30400=+=+=+

+→→=→=x x

x x x x y x f x x x y y x y 可见，沿两条不同的途径，函数的极限不同，故极限()y x f y x ,lim 0

→→不存在。

5．讨论函数的连续性，其中()()??

??=≠--=y x y x y x y x x y x f 2,02,22sin ,。

解：在()0,0处，()()()0,0022sin lim ,lim 0000f y x y x x y x f y x y x ==????

?--?=→→→→ 所以()y x f ,在()0,0处连续

若0200≠=y x ，则取路径y x 2=，0y ?则

()()()000022,222sin lim ,lim 0

y x f x y y

x y x x y x f x x y x x x y

x ≠==--?

=→=→= 因此，间断点为直线y x 2=，除()0,0以外的其他点。

6．二元函数()()()()()?????=≠+=0,0,,00,0,,,2

2y x y x y x xy

y x f 在点()0,0处：①连续，偏导数存在；

②连续，偏导数不存在；③不连续，偏导数存在；④不连续，偏导数不存在。

解：应选③ 事实上，由于2220

01lim

k k

y x xy kx y x +=+→=→，随k 的值不同而改变，所以极限不存在，因而()y x f ,在点()0,0处不连续，又()()000

lim 0,02

=?+???='→?x

x x f x x ，类似地()00,0='y f ，所以

()y x f ,在()0,0处的偏导数存在。

7．设()

y x z 21+=，求

??，y z ??。解：令y x u 21+=，y v =，于是v u z =，得

v z x u u z x z ?????+?????=?? ()

221120ln 2--+=?+?=y v v y

x xy u u xy vu ，

v v z y u u z y z ?????+?????=?? 1ln 21?+?=-u u x vu v v

()

()(

)

y x y x y

x y x y y 221

221ln 11++++=-。

8．设()z y x f u 2322

++=，求x

??，22x f ??。

解：

()

z y x f x x

f 23262

32++'=??，f x f x x f ''+'=??4223612。 9．设()z y x f u 2,3,22

=，求z

??，x z f ???2。

解：

32f z

'=??，312212f x x z f '=???。 10．设()2222,y x y x xyf z -+=，f 可微，求dt 。

解：dy y z dx x z dz ??+??=

，先求x

??，y z ?? ()()21221222f f y x yf x f x f xy yf x

'+'+=?'+?'+=??， ()()21221222f f xy xf y f y f xy xf y

'-'+=?'-?'+=??，所以()[]()[]

dy f f xy xf dx f f y x yf dz 21221222'-'++'+'+=。 11．设()0,,=+xz z y xy f ，求

??，y z ??。解：关于x 求导，而()y x z z ,=，得

0321=??? ?

??+'+???

'+?'x z x z F x z F y F 即 ()03231=??'+'+?'+?'x

x F F z F y F (*) 得：

32312F F F F y x z

+''+'-=?? 相仿地，可得

3212F x F F x F y z '

+''+'-??。 12．设0=-z x y z ，求1

11===z y x dz 。

解：令z

y z F -=，y

y xz z

z z F x

x z z

x x ln ln 1

--=????=

??-， y

y xz zy z F y

y z z

x z ln 1

--=????-=??-- dy y

dx x z dz ??+??=

，于是在()1,1,1处dy dz =。 13．设()θθsin ,cos r r f z =可微，求全微分dz 。解：()θθθd r r df dz sin cos -=()()θθsin cos 21r d f r d f '+'= ()()21cos sin sin cos f d r dr f d r dr '++'-=θθθθθθ ()()θθθθθrd f f dr f f sin cos sin cos 1221'-'+'+'=。

14．设()y x f z ,=是由方程()0,=-yz z x f 所确定的隐函数，其中f 具有连续的偏导数，求dz ，并由此求

??和y z ??。解：方程两边求全微分，得

()()021='+-'yz d f z x d f ，即()0211=+'+'-'udz zdy f dz f dx f ，

即 ()02121='-'-'+'dz f y f dy f z dx f ，当021≠='-'f y f 时，解出 dy f y f f z dx f y f f dz 212211'-''+'-''=

由此得到

211f y f f x z '-''=??，212f y f f z y z '

-''=??。 15．求()

y x z 2

2+=的偏导数。

解：令22y x u +=，xy v =，则v u z =，z 是x ，y 的复合函数。

1-=??v vu u z ，u u v

z v ln =??， x x u 2=??，y y u 2=??，y x

=??，x y v =?? 于是，()()??????++++=?+?=??-22222221ln 2ln 2y x y y x y x y x y u u x vu x z xy v v ， ()()??

????++++=?+?=??-22222221ln 2ln 2y x x y x xy y x x u u y vu y z xy v v 16．设???=++=++1

22z y x z y x ，求dz dx ，dz dy

。解：所给方程组确定两个一元隐函数：()z x x =和()z y y =，将所给方程的两边对z 求导，得

???

?-=+-=+z dz dy y dz dx x dz

dz dx 2221 在()02221

1≠-==

z y y

x D 的条件下

y x z y D y z dz dx --=--=2211，y x x

z D z x dz dy --=

--=2211。 17．设xyz

e u =，求z

y x u

????3。

解：

xyz yze x

=??， ()

xyz ye y

z y x u ??

=???2()()xyz xyz xyz e xyz z xyze e z +=+=1 ()()xy e xyz z zxye e xyz z

u x u

xyz xyz xyz ++++=????113

()xyz e z y x xyz 22231++=.

18．求函数xyz u =在点()2,1,5处沿从点()2,1,5到点()14,4,9方向的方向导数。

解：{}{}12,3,4214,14,59=---=L ρ

13||=L ρ，134cos =α,133cos =β，13

12cos =γ。

因为

γβαcos cos cos z

y u x u l u ??+??+??=?? xy xz yz 13

133134++= 所以

()

1398

513121014221342,1,5=

?+?+?=

??l

u 。 19．求函数2

22z y x x

u ++=

在点()2,2,1-M 沿t x =，22t y =，42t z -=在此点的

切线方向上的方向导数。

解：因曲线过()2,2,1-M 点，所以10=t ，()10='t x ，()40='t y ，()80-='t z ，切线的

方向余弦为??

??-98,94,91，又()

+++=

z y x

z y u ，类似地，27

y u ，272=

u ，故243

982729427291278-=-?+?-?=??l u 。

20．求函数z

y x u 2286+=在点P 处沿方向n ρ的方向导数。

解：????????????=z u y u x u gra ,,，

686622=

??P

x z x x u

，

8682=+=

??2

x z y y u ，

14862

2-=+-=

??z

y x z u

由0n gra u

?=??，曲面的外侧法线向量为{}{}1,3,222,6,4==P z y x n ρ 则

{}7111,3,214

14,148,146=?

??????-=??u u 。 21．判断题：(简单说明理由) (1)

()()

00,,y x y y x f ??就是()y x f ,在()00,y x 处沿y 轴的方向导数。解：错。因前者是双侧极限，后者是单侧极限。 (2)若()y x f ,在()00,y x 处的偏导数

y f ??，y

??存在，则沿任一方向l 的方向导数均存在。解：错。由于偏导数仅刻画了()y x f ,在()00,y x 处沿x 轴或y 轴的变化率，要确定函数()00,y x 处沿任一方向的变化率，还应要求此函数在()00,y x 处可微。

22．证明曲面43

=++z y x 上任意一点的切平面在坐标轴上的截距的平方为常数。

证：令()4,,32232-++=z y x z y x F 。由于曲面()0,,=z y x F 的法向量是{}z y x F F F ,,，

故曲面上任一点()z y x ,,处法线方向向量为?

?????---31

313132

,32,32z y x ，设()Z Y X ,,为点()

z y x ,,处切平面上任一点，则切平面方程为()()()03232323

3131=-+-+----z Z z y Y y x X x ，即43

=++---Z z Y y X x ，其截距式为

14443

1=+

---z

Z y

Y x

X ，由此得截距的平方和为：

()

644161632322=?=++z y x 。

23．证明：球面∑：1222=++z y x 上任意一点()c b a ,,处的法线都经过球心。证：令()1,,222-++=z y x z y x F ，则()∈?c b a ,,∑，

()

()a x x

c b a c b a 22,,,,==??，

(完整版)多元函数微分法及其应用期末复习题高等数学下册(上海电机学院)

第八章偏导数与全微分一、选择题 1.若u=u(x, y)是可微函数，且,1),(2==x y y x u ,2x x u x y =??=则=??=2x y y u [A ] A. 2 1 - B. 21 C. -1 D. 1 2.函数62622++-+=y x y x z [ D ] A. 在点(-1, 3)处取极大值 B. 在点(-1, 3)处取极小值 C. 在点(3, -1)处取极大值 D. 在点(3, -1)处取极小值 3.二元函数(),f x y 在点()00,x y 处的两个偏导数()()0000,,,x y f x y f x y 存在是函数f 在该点可微的 [ B ] A. 充分而非必要条件 B.必要而非充分条件 C.充分必要条件 D.既非充分也非必要条件 4. 设u=2 x +22y +32 z +xy+3x-2y-6z 在点O(0, 0, 0)指向点A(1, 1, 1)方向的导数 =??l u [ D ] A. 635 B.635- C.335 D. 3 3 5- 5. 函数xy y x z 333-+= [ B ] A. 在点(0, 0)处取极大值 B. 在点(1, 1)处取极小值 C. 在点(0, 0), (1, 1)处都取极大值 D . 在点(0, 0), (1, 1)处都取极小值 6.二元函数(),f x y 在点()00,x y 处可微是(),f x y 在该点连续的[ A ] A. 充分而非必要条件 B.必要而非充分条件 C.充分必要条件 D.既非充分也非必要条件 7. 已知)10(0sin <<=--εεx y y , 则dx dy = [ B ] A. y cos 1ε+ B. y cos 11ε- C. y cos 1ε- D. y cos 11 ε+ 8. 函数y x xy z 2050++ = （x>0，y>0）[ D ] A. 在点(2, 5)处取极大值 B. 在点(2, 5)处取极小值 C.在点(5, 2)处取极大值 D. 在点(5, 2)处取极小值 9.二元函数(),f x y 在点()00,x y 处连续的是(),f x y 在点()00,x y 处可微的 [A ] A. 必要而非充分条件 B. 充分而非必要条件

人教版初中数学反比例函数经典测试题含答案

人教版初中数学反比例函数经典测试题含答案一、选择题 1．已知反比例函数k y x =的图象分别位于第二、第四象限，()11,A x y 、()22,B x y 两点在该图象上，下列命题：①过点A 作AC x ⊥轴，C 为垂足，连接OA .若ACO ?的面积为 3，则6k =-；②若120x x <<，则12y y >；③若120x x +=，则120y y +=其中真命题个数是（） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 【答案】D 【解析】【分析】根据反比例函数的性质，由题意可得k ＜0，y 1=,,sin cos 22x x x ππ?? ?∈-≤???? ，y 2=2k x ，然后根据反比例函数k 的几何意义判断①，根据点位于的象限判断②，结合已知条件列式计算判断③，由此即可求得答案. 【详解】 ∵反比例函数k y x =的图象分别位于第二、第四象限， ∴k<0， ∵()11,A x y 、()22,B x y 两点在该图象上， ∴y 1=,,sin cos 22x x x ππ?? ?∈-≤? ??? ，y 2=2k x ， ∴x 1y 1=k ，x 2y 2=k ， ①过点A 作AC x ⊥轴，C 为垂足， ∴S △AOC =1 OC?AC 2=11x ?y k =322 =， ∴6k =-，故①正确； ②若120x x <<，则点A 在第二象限，点B 在第四象限，所以12y y >，故②正确； ③∵120x x +=， ∴()12121212 0k x x k k y y x x x x ++=+==，故③正确，故选D. 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，反比例函数图象上点的坐标特征等，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.

多元函数微分学知识点梳理

第九章多元函数微分学内容复习一、基本概念 1、知道：多元函数的一些基本概念（n 维空间，n 元函数，二重极限，连续等）；理解：偏导数；全微分. 2、重要定理（1）二元函数中，可导、连续、可微三者的关系偏导数连续?可微???函数偏导数存在 ?连续（2）（二元函数）极值的必要、充分条件二、基本计算（一）偏导数的计算 1、偏导数值的计算（计算),(00y x f x '）（1）先代后求法 ),(00y x f x '＝0),(0x x y x f dx d = （2）先求后代法（),(00y x f x '＝00),(y y x x x y x f =='）（3）定义法（),(00y x f x '＝x y x f y x x f x ?-?+→?),(),(lim 00000）（分段函数在分段点处的偏导数） 2、偏导函数的计算（计算(,)x f x y '）（1）简单的多元初等函数——将其他自变量固定，转化为一元函数求导（2）复杂的多元初等函数——多元复合函数求导的链式法则（画树形图，写求导公式）（3）隐函数求导求方程0),,(=z y x F 确定的隐函数),(y x f z =的一阶导数,z z x y ???? ,,,(),,y x z z F F z z x y z x F y F x y x y z ''???=-=-?''????? 公式法：（地位平等）直接法：方程两边同时对或求导（地位不平等）注：若求隐函数的二阶导数，在一阶导数的基础上，用直接法求。 3、高阶导数的计算注意记号表示，以及求导顺序（二）全微分的计算 1、叠加原理

多元函数微分学习题

第五部分多元函数微分学（1） [选择题] 容易题1—36，中等题37—87，难题88—99。 1．设有直线 ?? ?=+--=+++0 31020 123:z y x z y x L 及平面0 224: =-+-z y x π，则直线L ( ) (A) 平行于π。 (B) 在上π。(C) 垂直于π。 (D) 与π斜交。答：C 2．二元函数??? ??=≠+=)0,0(),(, 0)0,0(),(,),(2 2y x y x y x xy y x f 在点 ) 0,0(处 ( ) (A) 连续，偏导数存在 (B) 连续，偏导数不存在 (C) 不连续，偏导数存在 (D) 不连续，偏导数不存在答：C 3．设函数),(),,(y x v v y x u u ==由方程组? ? ?+=+=2 2 v u y v u x 确定，则当v u ≠时，=??x u ( ) (A) v u x - (B) v u v -- (C) v u u -- (D) v u y -

答：B 4．设),(y x f 是一二元函数，),(0 y x 是其定义域内的一点，则下列命题中一定正确的是( ) (A) 若),(y x f 在点),(0 y x 连续，则),(y x f 在点),(0 y x 可导。 (B) 若),(y x f 在点),(0 y x 的两个偏导数都存在，则 ) ,(y x f 在点),(0 y x 连续。 (C) 若),(y x f 在点),(0 y x 的两个偏导数都存在，则 ) ,(y x f 在点),(0 y x 可微。 (D) 若),(y x f 在点),(0 y x 可微，则),(y x f 在点),(0 y x 连续。答：D 5．函数2 223),,(z y x z y x f +++=在点)2,1,1(-处的梯度是 ( ) (A) )3 2 ,31,31(- (B) )32,31,31(2- (C) )9 2 ,91,91(- (D) )9 2 ,91,91(2- 答：A 6．函数z f x y =(.)在点(,)x y 0 处具有两个偏导数 f x y f x y x y (,),(,) 0000 是函数存在全微分的（）。（A).充分条件（B).充要条件

(完整版)正比例函数、反比例函数测试题(经典)

初二数学练习班级姓名一、填空 1、已知正比例函数图像上一点到x 轴距离与到y 轴距离之比为1︰2，则此函数解析式是 2、2 3 (2)m y m x -=-是正比例函数，则m= 3、已知正比例函数x a y )21(-=，如果y 的值随着x 的值增大而减小，则a 的取值范围是 4、如果正比例函数y=kx （k ≠0）的自变量增加5，函数值减少2，那么当x=3时， y= 5、若反比例函数2 32k x k y --=)(，则k = ，图象经过象限 6、已知反比例函数x k y =的图像经过点)4,5(-A 、)5,(a B ，则a = 7、函数21 a y x += （x>0），当x 逐渐增大时，y 也随着增大，则a 的范围。 8、已知A(x 1，y 1）和B （x 2，y 2）是直线y=-3x 上的两点，且x 1>x 2，则y 1____y 2?；(填“>”, “<”或“=”) 9、直线 x 21= y 与双曲线 x y 2 = 的交点是 10、已知函数x x x f 2 2)(-=，则=)2(f 11、若函数12,1 1 21-=-= x y x y ，则函数y =y 1+y 2中，自变量x 的取值范围是 12、如图：A 、B 是函数x y 1 =图象上关于原点O 对称的任意两点， AC 平行于y 轴，BC 平行于x 轴，则△ABC 的面积是 . 二、选择 13、下列语句不正确的是（） (A) 1+x 是x 的函数（B ）速度一定，路程是时间的函数（C ）圆的周长一定，圆的面积是圆的半径的函数（D ）直角三角形中，两个锐角分别是x 、y ，y 是x 的函数

初中数学反比例函数经典测试题及答案

初中数学反比例函数经典测试题及答案一、选择题 1．如图,二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示,则一次函数y ax c =+和反比例函数 b y x = 在同平面直角坐标系中的图象大致是（） A ． B ． C ． D ．【答案】D 【解析】【分析】直接利用二次函数图象经过的象限得出a ，b ，c 的值取值范围，进而利用一次函数与反比例函数的性质得出答案．【详解】 ∵二次函数y=ax 2+bx+c 的图象开口向下， ∴a ＜0， ∵二次函数y=ax 2+bx+c 的图象经过原点， ∴c=0， ∵二次函数y=ax 2+bx+c 的图象对称轴在y 轴左侧， ∴a ，b 同号， ∴b ＜0， ∴一次函数y=ax+c ，图象经过第二、四象限，反比例函数y=b x 图象分布在第二、四象限，故选D ．【点睛】此题主要考查了反比例函数、一次函数、二次函数的图象，正确把握相关性质是解题关键． 2．如图所示是一块含30°，60°，90°的直角三角板，直角顶点O 位于坐标原点，斜边AB

垂直于x 轴，顶点A 在函数y 1 =1 k x （x>0）的图象上，顶点B 在函数y 2= 2k x （x>0）的图象上，∠ABO=30°，则 2 1 k k =（） A ．-3 B ．3 C ． 1 3 D ．- 13 【答案】A 【解析】【分析】根据30°角所对的直角边等于斜边的一半，和勾股定理，设出适当的常数，表示出其它线段，从而得到点A 、B 的坐标，表示出k 1、k 2，进而得出k 2与k 1的比值．【详解】如图，设AB 交x 轴于点C ，又设AC=a. ∵AB ⊥x 轴 ∴∠ACO=90° 在Rt △AOC 中，OC=AC·tan ∠OAB=a·tan60°3 ∴点A 3a ，a ）同理可得点B 3，-3a ） ∴k 1332 ， k 23a×（-3a ）3a ∴ 213333k a k a ==-. 故选A. 【点睛】

多元函数微分法word版

§5.3 多元函数微分法一、复合函数微分法――链式法则模型1. ()()()z f u v u u x y v v x y ==，，，，=， z z u z z z u z x u x x y u y y νννν??????????=?+?=?+???????????；模型2. ()()u f x y z x y =，，，z=z ， x z y z u z f f x x u z f f y y ???''=+????? ???''=+???? 模型3. ()()()u f x y z y y x z x ===，，，，z ()()x y z du f f y x f z x dx '''''=++ 模型4. ()()()w f u v u u x y z v v x y z ===，，，，，，， u v u v u v w u v f f x x x w u v f f y y y w u v f f z z z ????''=+????? ????''=+? ????????''=+????? 还有其他模型可以类似处理。【例1】设()u f x y z =，，有连续的一阶偏导数，又函数()y y x =及()z z x =分别由下列两式确定2xy e xy -=和0sin x z x t e dt t -= ?，求du dx 。解根据模型3. x y z du dy dz f f f dx dx dx '''=++

由2xy e xy -=两边对x 求导，得0xy dy dy e y x y x dx dx ???? +-+= ??????? 解出 dy y dx x =-（分子和分母消去公因子()1xy e -）由0 sin x z x t e dt t -= ? 两边对x 求导，得()()sin 1x x z dz e x z dx -??=- ?-?? 解出 ()() 1sin x e x z dz dx x z -=- - 所以 ()()1sin x e x z du f y f f dx x x y x z z ??-???=-+-?? ??-??? 【98】设1 ()()z f xy y x y x ?=++，f ，?具有二阶连续导数，则 2________z x y ?=??。答案：()()()yf xy x y y x y ??'''''++++ 注：①混合偏导数在连续的条件下与求导次序无关； ②此题中f 和?均为一元函数。【05】设函数(,)()()()d x y x y u x y x y x y t t ??ψ+-=++-+? ，其中函数?具有二阶导数，ψ 具有一阶导数，则必有（）（A ）2222u u x y ??=-??；（B ）2222u u x y ??=??；（C ）222u u x y y ??=???；（D ）222 u u x y x ??=??? 答案：B 全微分形式不变性例：利用全微分形式不变性求sin u z e v =，u xy =，v x y =+的偏导数。【06】设函数()f u 在(0,)+∞内具有二阶导数，且z f =满足等式 2222 0z z x y ??+=??

《多元函数微分学》练习题参考答案

多元微分学 P85-练习1 设)cos(2z y e w x +=，而3x y =，1+=x z ，求 dx dw ．解： dw w w dy w dz dx x y dx z dx ???=+?+???? 2222cos()[sin()(3x x e y z e y z x =++-+? 23232cos((3x e x x x ?? =-+???? P86-练习2 设函数20 sin (,)1xy t F x y dt t = +? ，则22 2 x y F x ==?=? ．（2011）解： 2222222222 sin cos (1)2sin ,1(1)F y xy F y xy x y xy xy y x x y x x y ??+-==??+?+，故 22 02 4x y F x ==?=? P86-练习3 设)(2 2 y x f z +=，其中f 有二阶导数，求22x z ?? ，22y z ??．（2006）解：z f x ?'=?； 2223222222).(z x y f f x x y x y ?'''=?+??++ 同理可求 222 222222 () z y x f f y x y x y ?'''=?+??++. P87-练习4 设)(), (x y g y x xy f z +=，其中f 有二阶连续偏导数，g 有二阶导数，求y x z ???2．（2000）解: 根据复合函数求偏导公式 1221()z y f y f g x y x ?'''=?+?+?-?,

122111122212222211122223323221()111 [()][()]11 z y f y f g y x y y x x x y f y f x f f f z x y x y f xyf f f g g y y x x f g g y y y y x x x ?? ?????'''==????''+?+?- ? ???????? '''''''''''''=''''''' +---++?--++?--?-?-= P87-练习5 设函数(,())z f xy yg x =，其中函数f 具有二阶连续偏导数，函数()g x 可导且在1x =处取得极值(1)1g =，求 211 x y z x y ==???．（2011）解：由题意(1)0g '=。因为 12()z yf yg x f x ?'''=+?， 21111222122()()()()z f y xf g x f g x f yg x xf g x f x y ?????''''''''''''=+++++??????，所以 211 12111 (1,1)(1,1)(1,1)x y z f f f x y ==?'''''=++?? P88-练习6 设),,(xy y x y x f z -+=，其中f 具有二阶连续偏导数，求dz ， y x z ???2．（2009）解： 123123,z z f f yf f f xf x y ??''''''=++=-+?? 123123()()z z dz dx dy f f yf dx f f xf dy x y ??''''''= +=+++-+?? () 1231112132122233313233211132223333(1)(1)(1()())f f yf y z x y f x y f f x y f xyf f f f x f f f x f f f y f f x ?'''=++???'''''''''''''???'''''''''''=+?-+?++?-+'''''' =++-+-+?+++?-+???+

多元函数微分学习题

第七章多元函数微分学【内容提要】 1.空间解析几何基础知识三条相互垂直的坐标轴Ox 、Oy 、Oz 组成了一个空间直角坐标系。空间直角坐标系下两点间的距离公式为：平面方程：0Ax By Cz D +++= 二次曲面方程： 2220Ax By Cz Dxy Eyz Fzx Gx Hy Iz K +++++++++= 球面方程：()()()2 2 02 02 0R z z y y x x =-+-+- 圆柱面方程：2 22R y x =+ 椭球面方程：()222 2221,,0x y z a b c a b c ++=>，椭圆抛物面方程：22 22,(,0)x y z a b a b +=> 双曲抛物面方程：22 22,(,0)x y z a b a b -=> 单叶双曲面图方程：122 2222=-+c z b y a x (a ，b ，c ＞0) 双叶双曲面方程：222 2221,(,,0)x y z a b c a b c +-=-> 椭圆锥面方程：222 2220,(,,0)x y z a b c a b c +-=> 2.多元函数与极限多元函数的定义：在某一过程中，若对变化范围D 的每一对值(,)x y ，在变域M 中存在z 值，按一定对应法则f 进行对应，有唯一确定的值，则称f 为集合D 上的二元函数，记为 ,x y 称为自变量，D 称为定义域，z 称为因变量。(,)x y 的对应值记为(,)f x y ，称为函数值，函数值的集合称为值域。多元函数的极限：设函数(,)f x y 在开区间（或闭区间）D 内有定义，000(,)P x y 是D 的内点或边界点。如果对于任意给定的正数e ，总存在正数d ，使得对于适合不等式

初中数学反比例函数经典测试题附答案

一、选择题 1．已知反比例函数k y x =的图象分别位于第二、第四象限，()11,A x y 、()22,B x y 两点在该图象上，下列命题：①过点A 作AC x ⊥轴，C 为垂足，连接OA .若ACO ?的面积为 3，则6k =-；②若120x x <<，则12y y >；③若120x x +=，则120y y +=其中真命题个数是（） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 【答案】D 【解析】【分析】根据反比例函数的性质，由题意可得k ＜0，y 1=,,sin cos 22x x x ππ?? ?∈-≤? ??? ，y 2=2k x ，然后根据反比例函数k 的几何意义判断①，根据点位于的象限判断②，结合已知条件列式计算判断③，由此即可求得答案. 【详解】 ∵反比例函数k y x =的图象分别位于第二、第四象限， ∴k<0， ∵()11,A x y 、()22,B x y 两点在该图象上， ∴y 1=,,sin cos 22x x x ππ?? ?∈-≤? ??? ，y 2=2k x ， ∴x 1y 1=k ，x 2y 2=k ， ①过点A 作AC x ⊥轴，C 为垂足， ∴S △AOC =1 OC?AC 2=11x ?y k =322 =， ∴6k =-，故①正确； ②若120x x <<，则点A 在第二象限，点B 在第四象限，所以12y y >，故②正确； ③∵120x x +=， ∴()12121212 0k x x k k y y x x x x ++=+==，故③正确，故选D. 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，反比例函数图象上点的坐标特征等，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键. 2．下列函数中，当x ＞0时，函数值y 随自变量x 的增大而减小的是（）

多元函数微分法

第十章多元函数微分学一、学习要点 1.关于二元函数会求二元函数的定义域和相应的函数值。求二元函数定义域及函数值的方法与一元函数的方法相似。 2.关于二元函数微分 (1)熟练掌握一阶、二阶偏导数的计算方法和复合函数、隐函数一阶偏导数的计算方法，尤其是形如z=f (x 2－y 2 ，e xy )等的复合函数的偏导数。能熟练地求全微分。偏导数的定义、计算公式基本与一元函数导数公式相同。求偏导数时，对一个变量求导时，将另一变量视为常数。如求函数32ln z y x u ++=的偏导数 32121z y x x u ++=??(y ，z 为常数)，32221z y x y y u ++=??(x ，z 为常数) 复合函数求偏导数是难点。一般用链式法则，即z=f (u ，v)，u=u(x ，y)，v=v(x ，y)，有 y v v z y u u z y z x v v z x u u z x z ????????????????????+=+= 具体情况有两种：（一）全部函数关系都给出：这时可按前边方法求偏导数，如求二元函数 )ln(2v u z +=，xy e v y x u =+=,22. 的偏导数y z x z ????,，可以把u ，v 代入z 中，再求偏导数，即 z=ln(x 2+y 2+e 2xy )，求偏导数有 xy xy e y x ye x x z 222222+++=?? xy xy e y x xe y y z 222222+++=?? （二）部分函数关系没有给出：此时只有用链式法则。如求函数z=f(xy ，x 2+y 3)，

的一阶偏导数，则不能用如上方法求解.正确求法是记u=xy ，v=x 2+y 3，用链式法则 x v f y u f x v v z x u u z x z 2??????????????+=+=，23y v f x u f y z ??????+= 上例也可以用链式法则，有 xy xy xe v u v y v u y z ye v u v x v u x z 2222221,221+++=+++=???? 求隐函数的偏导数，是复合函数求偏导数的应用，方法仍然同一元隐函数的求导. 如求函数32ln z y x u ++=的偏导数. 32121z y x x u ++=??(y ，z 为常数)，32221z y x y y u ++=??(x ，z 为常数) (2)知道函数连续、可微、偏导数存在的关系。 3.关于偏导数的几何应用掌握求曲线的切线与法平面，曲面的切平面与法线的方法. (1)设空间曲线方程为x =x (t)，y =y (t)，z = z (t)，在t=t 0处的切线方向为 ))(),(),((000t z t y t x l '''=ρ，则在t 0处曲线的切线方程为 )()()()()()(000000t z t z z t y t y y t x t x x '-='-='- 法平面方程为 )())(()())(()())((000000t z t z z t y t y y t x t x x '-+'-+'-=0 (2)曲面F (x ，y ，z)=0(或z=f (x ，y))，在曲面上的点P(x 0，y 0，z 0)处的法方向为)}1,,{(},,{),,(),,(000000z y x y x z y x z y x f f F F F n -'''''=或ρ，则在点(x 0，y 0，z 0)处的切平面方程为 0)()()(000=-'+-'+-'z z F y y F x x F z y x 法线方程为 z y x F z z F y y F x x ' -='-='-000

多元函数微分学练习题

多元函数微分学练习题 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】

第五章（多元函数微分学）练习题一、填空题 1. (,)(0,0)sin()lim x y xy y →= ． 2. 22 (,)(0,0)1lim ()sin x y x y x y →+=+ ． 3. 1 (,)(0,0)lim [1sin()]xy x y xy →+= ． 4. 设21sin(), 0,(,)0, 0x y xy xy f x y xy ?≠?=??=? 则(0,1)x f = ． 5. 设+1(0,1)y z x x x =>≠，则d z = ． 6. 设22ln(1)z x y =++，则(1,2)d z = ． 7. 设u =d u = ． 8. 若(,)f a a x ?=? ，则x a →= ． 9. 设函数u =0(1,1,1)M -处的方向导数的最大值为． 10. 设函数23u x y z =++，则它在点0(1,1,1)M 处沿方向(2,2,1)l =-的方向导数为． 11. 设2z xy =，3l i j =+，则21x y z l ==?=? ． 12. 曲线cos ,sin ,tan 2 t x t y t z ===在点(0,1,1)处的切线方程是． 13. 函数z xy =在闭域{(,)0,0,1}D x y x y x y =≥≥+≤上的最大值是． 14. 曲面23z z e xy -+=在点(1,2,0)处的切平面方程为． 15. 曲面2:0x z y e -∑-=上点(1,1,2)处的法线方程是． 16. 曲面22z x y =+与平面240x y z +-=平行的切平面方程是．

反比例函数经典测试题含解析

反比例函数经典测试题含解析一、选择题 1．如图,二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示,则一次函数y ax c =+和反比例函数 b y x = 在同平面直角坐标系中的图象大致是（） A ． B ． C ． D ．【答案】D 【解析】【分析】直接利用二次函数图象经过的象限得出a ，b ，c 的值取值范围，进而利用一次函数与反比例函数的性质得出答案．【详解】 ∵二次函数y=ax 2+bx+c 的图象开口向下， ∴a ＜0， ∵二次函数y=ax 2+bx+c 的图象经过原点， ∴c=0， ∵二次函数y=ax 2+bx+c 的图象对称轴在y 轴左侧， ∴a ，b 同号， ∴b ＜0， ∴一次函数y=ax+c ，图象经过第二、四象限，反比例函数y=b x 图象分布在第二、四象限，故选D ．【点睛】此题主要考查了反比例函数、一次函数、二次函数的图象，正确把握相关性质是解题关键． 2．在同一直角坐标系中，函数y=k(x －1)与y= (0)k k x <的大致图象是

A ． B ． C ． D ．【答案】B 【解析】【分析】【详解】解：k<0时，y= (0)k k x <的图象位于二、四象限， y=k(x －1)的图象经过第一、二、四象限，观察可知B 选项符合题意，故选B. 3．已知点()11,A y -、()22,B y -都在双曲线32m y x +=上，且12y y >，则m 的取值范围是（） A ．0m < B ．0m > C ．32 m >- D ．32 m <- 【答案】D 【解析】【分析】根据已知得3+2m ＜0，从而得出m 的取值范围．【详解】 ∵点()11,A y -、()22,B y -两点在双曲线32m y x +=上，且y 1＞y 2， ∴3+2m ＜0， ∴32 m <- ，故选：D ．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，当k ＞0时，该函数图象位于第一、三象限，当k ＜0时，函数图象位于第二、四象限． 4．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的顶点A 的坐标为(﹣1，1)，点B 在x 轴正半轴上，点D 在第三象限的双曲线y ＝8 x 上，过点C 作CE ∥x 轴交双曲线于点E ，则CE 的长为( )

第九章多元函数微分法及其应用教案

第九章多元函数微分法及其应用【教学目标与要求】 1、理解多元函数的概念和二元函数的几何意义。 2、了解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上的连续函数的性质。 3、理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条件，了解全微分形式的不变性。 4、理解方向导数与梯度的概念并掌握其计算方法。 5、掌握多元复合函数偏导数的求法。 6、会求隐函数（包括由方程组确定的隐函数）的偏导数。 7、了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，会求它们的方程。 8、了解二元函数的二阶泰勒公式。 9、理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格郎日乘数法求条件极值，会求简多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题。【教学重点】 1、二元函数的极限与连续性； 2、函数的偏导数和全微分； 3、方向导数与梯度的概念及其计算； 4、多元复合函数偏导数； 5、隐函数的偏导数；多元函数极值和条件极值的求法； 6、曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线；【教学难点】 1、二元函数的极限与连续性的概念； 2、全微分形式的不变性； 3、复合函数偏导数的求法； 4、二元函数的二阶泰勒公式； 5、隐函数（包括由方程组确定的隐函数）的偏导数； 6、拉格郎日乘数法，多元函数的最大值和最小值。【教学课时分配】 (18学时) 第1 次课§１第2 次课§2 第3 次课§3 第4 次课§4 第5次课§5 第6次课§6 第7次课§7 第8次课§8 第9次课习题课【参考书】 [1]同济大学数学系.《高等数学（下）》，第五版.高等教育出版社. [2] 同济大学数学系.《高等数学学习辅导与习题选解》，第六版.高等教育出版社. [3] 同济大学数学系.《高等数学习题全解指南（下）》，第六版.高等教育出版社

反比例函数测试题(含答案)

反比例函数测试题（含答案）（时间90分钟满分100分）5 . 已知反比例函数的图象经过点（m3m），则此反比例函数的图象在班级 ________ 学号________ 姓名_________ 得分一、选择题（每小题3分，共24分） 1.如果x、y之间的关系是ax'?y=O（a H0），那么y是x的（） A .正比例函数 B .反比例函数 C .一次函数 D.二次函数 4 2 . 函数y =—-的图象与x 轴的交点的个数是 x （） A.第一、二象限 C.第二、四象限第一、三象限第三、四象限 6. 某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时, 的气压P （kPa ）是气体体积V （ m3）气球内气体的反比例函数，其图象如图所示.当气球内的气压大于120 kPa时，气球发将爆炸.为了安全起见，气球的体积应 60 P (kPa) \(1.6, 60) ■I I3T W ■■ 1' ? W / f 3 1.6 V (m3) 第6题 A . 零个B.一个C 3 . 反比例函数y ( ) A. 第一、三象限 B.第二、四象限 C.第一、二象限 D.第三、四象限 4.已知关于x的函数y = k (x+1 )和y =— .两个 D.不能确定 4 = —- 的图象在 x A.不小于-m3 B .小于-mi C .不小于-mi D .小于- 5 7 . 如果点的面积为 A. 2 &已知: P为反比例函数 4 4 y 的图象上一点, x PQ L x 轴, 垂足为Q那么△ POQ 反比例函数 1-'2m “心宀r _ . 的图象上两点 A( x1, y1) ,B (X2,y 2)当X1< 0 k （k丰0）它们在同一坐标系中的大致 x v x2时，yK y2,贝y m的取值范围（ A. m v 0.m> 0 1 mv — 2 1 n> — 2 二、填空题（每小题2分，共20分） 9.有m台完全相同的机器一起工作，需m小时完成一项工作，当由 x台机器（x

(完整版)高等数学(同济版)多元函数微分学练习题册

第八章多元函数微分法及其应用第一节作业一、填空题： . sin lim .4. )](),([,sin )(,cos )(,),(.3arccos ),,(.21)1ln(.102 2 2 2 322= ===-=+=+++-+-=→→x xy x x f x x x x y x y x f y x z z y x f y x x y x z a y x ψ?ψ?则设的定义域为函数的定义域为函数二、选择题（单选）： 1. 函数 y x sin sin 1 的所有间断点是: (A) x=y=2n π（n=1,2,3,…）； (B) x=y=n π(n=1,2,3,…)； (C) x=y=m π(m=0,±1，±2，…)； (D) x=n π,y=m π(n=0,±1，±2，…，m=0,±1,±2,…)。答：（） 2. 函数?? ???=+≠+++=0,20,(2sin ),(22222 22 2y x y x y x y x y x f 在点（0，0）处：（A ）无定义；（B ）无极限；（C ）有极限但不连续；（D ）连续。答：（）三、求.4 2lim 0xy xy a y x +-→→ 四、证明极限2222 20 0)(lim y x y x y x y x -+→→不存在。

第二节作业一、填空题： . )1,(,arcsin )1(),(.2. )1,0(,0,0 ),sin(1),(.122 =-+== ?????=≠=x f y x y x y x f f xy x xy y x xy y x f x x 则设则设二、选择题（单选）： . 4 2)(;)(2)(;4ln 2)()(;4ln 2 )(:,22 2 2 2 2 2y x y x y x y y x y D e y x y C y y x B y A z z ++++?+?+??=等于则设答：（）三、试解下列各题： .,arctan .2. ,,tan ln .12y x z x y z y z x z y x z ???=????=求设求设四、验证.2 2222222 2 2 r z r y r x r z y x r =??+??+??++=满足第三节作业一、填空题： . ,.2. 2.0,1.0,1,2.1= == =?-=?=?===dz e z dz z y x y x x y z x y 则设全微分值时的全增量当函数二、选择题（单选）： 1. 函数z=f(x,y)在点P 0（x 0,y 0）两偏导数存在是函数在该点全微分存在的：（A ）充分条件；（B ）充要条件；（C ）必要条件；（D ）无关条件。答：（）

反比例函数经典习题及答案

反比例函数练习题一、精心选一选！（30分） 1．下列函数中，图象经过点(11)-，的反比例函数解析式是（） A ．1 y x = B ．1y x -= C ．2y x = D ．2y x -= 2．反比例函数2 k y x =-（k 为常数，0k ≠）的图象位于（）Ａ．第一、二象限Ｂ．第一、三象限Ｃ．第二、四角限Ｄ．第三、四象限 3．已知反比例函数y ＝ x 2 k -的图象位于第一、第三象限，则k 的取值范围是（）．（A ）k ＞2 （B ） k ≥2 （C ）k ≤2 （D ） k ＜2 4．反比例函数x k y = 的图象如图所示，点M 是该函数图象上一点，MN 垂直于x 轴，垂足是点N ，如果S △MON ＝2，则k 的值为（） (A)2 (B)-2 (C)4 (D)-4 5．对于反比例函数2 y x = ，下列说法不正确．．．的是（） A ．点(21)--，在它的图象上 B ．它的图象在第一、三象限 C ．当0x >时，y 随x 的增大而增大 D ．当0x <时，y 随x 的增大而减小 6．反比例函数 2 2)12(--=m x m y ，当x ＞0时，y 随x 的增大而增大，则m 的值时（） A 、±1 B 、小于 2 1 的实数 C 、－1 D 、1 7．如图，P 1、P 2、P 3是双曲线上的三点，过这三点分别作y 轴的垂线，得到三个三角形P 1A 1O 、P 2A 2O 、P 3A 3O ，设它们的面积分别是S 1、S 2、S 3，则（）。 A 、S 1＜S 2＜S 3 B 、S 2＜S 1＜S 3 C 、S 3＜S 1＜S 2 D 、S 1=S 2=S 3 8．在同一直角坐标系中，函数x y 2 - =与x y 2=图象的交点个数为（） A ．3 B ．2 C ．1 D ．0 9．已知甲、乙两地相距s （km ），汽车从甲地匀速行驶到乙地，则汽车行驶的时间t （h ）与行驶速度v （km/h ）的函数关系图象大致是（） 10．如图，直线y=mx 与双曲线y=x k 交于A 、B 两点，过点A 作AM ⊥x 轴，垂足为M ，连结BM,若ABM S ?=2，则k 的值是（） A ．2 B 、m-2 C 、m D 、 4

多元函数微分学总结

多元函数微分学总结内部编号：（YUUT-TBBY-MMUT-URRUY-UOOY-DBUYI-0128）

`第八章多元函数微分学基本知识点要求 1.理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义. 2.了解二元函数的极限与连续的概念以及有界闭区域上连续函数的性质。 3.理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条件，了解全微分形式的不变性。 4.理解方向导数与梯度的概念，并掌握其计算方法. 5.熟练掌握多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法. 6.了解隐函数存在定理，熟练掌握多元隐函数偏导数的求法. 7.了解空间曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，熟练掌握它们的方程的求法。 8.了解二元函数的二阶泰勒公式. 9.理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，掌握二元函数极值存在的充分条件，并会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题。基本题型及解题思路分析题型1 与多元函数极限、连续、偏导数和可微的概念及其之间的关系有关的题 1.二元函数的极限与连续的概念及二元函数极限的计算。（1）基本概念

①二元函数极限的定义：设()(,)f P f x y =的定义域为D ,000(,)P x y 是D 的聚点.若?常数A ，对于?0ε>，总?0δ>，使得当0(,)(,)P x y D U P δ∈时，都有 ()(,)f P A f x y A ε-=-<成立，则称A 为函数(,)f x y 当00(,)(,)x y x y →时的极限，记作 000 (,)(,) lim (,)lim ()x y x y P P f x y A f P A →→==或。 ②二元函数的连续：设()(,)f P f x y =的定义域为D ,000(,)P x y 为D 的聚点，且 0P D ∈.若 0000(,)(,) lim (,)(,)x y x y f x y f x y →=，则称(,)f x y 在点000(,)P x y 连续。（2）关于二元函数极限的解题思路注意：在二元函数0 lim ()P P f P A →=存在的定义中，0P P →方式任意，正是由于这一点致使二元函数有与一元函数不一样的性态，在学习过程中注意比较、总结和体会二者之间的不同。 ① 证明二元函数的极限不存在：若0P P 以两种不同的方式趋于时，()f P 的极限不同，则0 lim ()P P f P →一定不存在（见例1）。 ②求二元函数的极限：可以应用一元函数求极限方法中的适用部分求二元函数的极限，比如：极限的局部有界性、局部保号性、四则运算法则、夹逼准则、两个重要的极限、变量代换法则、等价无穷小代换、分子分母有理化、无穷小量与有界变量的乘积仍为无穷小量、连续性等（见例2）例1证明：2 24(,)xy f x y x y =+在原点0,0（）的极限不存在。【分析】观察分子、分母中变量,x y 的各次幂的特点，可考虑选择路径 2x ky =。证明： 22 24242442000lim (,)lim lim 1y y y x ky x ky xy ky k f x y x y k y y k →→→=====+++， k ∴不同，极限值就不同，故 (,)(0,0) lim (,)x y f x y →不存在。