数学精神与方法(第九讲)

2006年 公共选修课·通识教育

数学精神与方法

第九讲 拓扑眼光看世界（二）

杜乃林 副教授 （武汉大学数学与统计学院）

EMAIL ：hanlin066@https://www.wendangku.net/doc/208154287.html,

关于物理学空时概念的评述 我们对于运动在空间和时间连续统中的物质有着

来自直觉的观念，但是其中每一个观念都是难以捉摸

的。

空间的广延性、时间的流逝、物质的惯性和运动，

其中没有一个概念是完全独立于其它概念的，它们的定义互相依赖，而且在一定程度上是集体性的。

爱因斯坦的相对论表明了，空时是什么的问题，在某种程度上与观察者有关，而且空间和时间都不是独立于物质而存在的。从概念观点上看，使情况更为复杂的是，量子物理告诉我们，观察者要影响观察结果。因

此，似乎先验地独立于观察者而存在的空间和时间事实上不仅与牛顿的绝对性观念不相容，而且与人类的客观

性理想也不相容。

物理学是一门充满着概念上的陷阱的学科，其刻意追求的科学客观性事实上已成为一个难以达到的目标。 当测量、观察不可能客观时，还有什么是可信的？ 拓扑眼中的一维世界 观察蚂蚁搬家，候鸟迁徙，两者运动的轨迹都给出了一维空间的图景。一维空间，通常我们认为，就是欧几里得几何中的“直线”——令人疑惑， 这是物理世界中的“直线”吗？

“每个物体都保持其静止或匀速直线运动的状态，除非有外力作用于它迫使它改变那个状态。”（摘自牛顿《自然哲学的数学原理》） 看来，物理世界中的“直线”，就是物体没有受到外力作用时，它运动的轨迹。问题是：有没有不受外力作用的物体？若有，它所做的匀速直线运动是相对于那个

参照物的？

何谓“直线”？从观念上讲，“直”的概念离不开“运算”（尤指线性运算），“运算”需先对参与运算的量进行“测量” ，而“测量”永远摆脱不了“误差”，更不必说“测量”会不可避免地对被测对象产生影响（所测的必然不是要测的），因此，我们原则上没办法知道物理上的直线是什么，当然，也就从来没有真正弄明白过一维空间是什么！

我们能否撇开“测量”来考察物理世界中的一维空间呢？

以拓扑的眼光来考察一维空间——或许，这更接近于所要理解之对象的本质——不愧为是一种明智之举。在拓扑眼看来，一维空间可用一维的无边连通流形作为数学模型来加以描述。一维的无边连通流形只有两类：

问题：作为物理世界一维空间的数学描述，选E1好，还是选S1好？

在拓扑眼看来：选S 1比选E 1

好。这是因为：E 1可以嵌入S 1中而成为后者的一个真子空间；S 1是紧致而连通的（有界无边），它是E 1的一点紧致化；S 1没有与自身同胚的真子空间，而E 1无此性质。

S 1中的运动

所谓“S 1中的运动”，这里是指S1中子空间上的拓扑动力系统。需指出的是，即便空间

是简单的，其上的运动也可能出现很复杂的模式，例如，出现混沌运动。因此，对S1中的运动，我们只能限于举两个例子作一点考察。

有趣的问题是：圆周上的哪种运动可以看作自然运动，即，不受外力作用的运动？自然运动的观念有存在的必要吗？

拓扑眼中的二维世界

在拓扑眼看来，二维空间的合理模型可在紧致的二维无边连通流形中搜寻。紧致的二维无边连通流形称作闭曲面，其拓扑分类情况远比一维无边连通流形的分类情况复杂。事实上，闭曲面用拓扑眼看，有无穷多类，其分类情况现介绍如下：

闭曲面分类定理 任何一个闭曲面必定同胚于且只能

同胚于下列曲面之一： S 2 （可定向）；T 2，2T 2，3T 2，…，mT 2，… （可定向）；RP 2，2RP 2， 3RP 2，…，mRP 2

, … （不可定向）。

球面与圆盘

将两个圆盘沿它们的边界圆周粘合，就得到了球面。

Mobius 带及其表示

German mathematician August M?bius

?Born: 17 Nov 1790 in Schulpforta, Saxony (now Germany)

Died: 26 Sept 1868 in Leipzig, Germany ?M?bius was the first to attempt the classification of surfaces. In an 1870 paper he proved the above theorem for orientable surfaces smoothly imbedded in 3-dimensional Euclidean space.

环面T 2与环柄

在环面上挖去一个圆盘（的内部）得到的就是所谓

的环柄。

在一个曲面上挖去一个圆盘，然后将一个环柄的边界圆周与该曲面所开圆洞的边界圆周焊接，这种手术称作在该曲面上添加一个环柄。例如，在球面上添加一个环柄，得到环面。

环面的形变

实射影平面RP 2

的制作

在一个曲面上挖去一个圆盘，然后将一个M?bius 带的边界圆周与该曲面所开圆洞的边界圆周焊接，这种手术称作在该曲面上添加一个M?bius 带。例如，在球面上添加一个M?bius 带，得到实射影平面RP 2。注意，

实射影平面RP 2

是不能嵌入3维欧氏空间的。

Klein 瓶2RP 2的制作（1）

一维欧氏

空间 E 1

单位圆周

S 1

间的同胚

1

可定向 闭曲面

S 2 T 2

2T 2

3T

2

不可定向闭曲面

R P 2 2RP 2

3RP

2

交叉帽：

Mobius

带的一种示意表示

——

[]()()：，名的沙可夫斯基定理种运动，我们有如下著中的一种运动。关于这是Ζ半离散动力系统为一个连续映射，那么设例11S x f n x X X X X f X n

,,::1,0→?Φ→=+()()()()()周期点。

必有时，周期点，且有那么，当2的次幂

倍奇数2倍奇数22倍奇数全体奇数

:述方式排列如果将全体正整数按下定理n 2--?????????-k f k m m f n n ,1222227252327252327252375321n n n 222()()()()的

。周的无理旋转拓扑共轭的圆周自同胚总是与圆，

无周期点的，且保向是一个无理数。遍历的其中旋转：最简单的是如下的无理子期

点的圆周自同胚的例中是稠密的。这种无周的任何轨道都在则它是遍历的，即，它无周期点且足够光滑，若

上的保向自同胚周期点的确实存在有定的周期周期点；并且对任何指则其仅有周期点有若述结论为保向同胚时，已知下例如，当两种情形来讨论为保向同胚和反向同胚

一系统，可分上的一种运动。对于这就给出了S Z 上的离散动力系统那么是同胚设例21

θτθ

πθ,

e ,S S :S 2S 1,,S S :S S S :i 21111111

11z z f m m m m f f f x f n x f n →---→?ψ→，。，，：。，()()()。；m m -=-==*2m ;

22m 2222RP T S χχχ如下：数注：闭曲面的欧拉示性()()()()()()()()()()()。

的顶点数，棱数和面数分别表示和，其中，

；

同胚，那么与多面形闭曲面之同胚的多面形。如果单纯剖分的手段找到与每个闭曲面都可以通过：P P P P P P P P 2P S 1P S f e v f e v +-==*

χχχ欧拉示性数的计算

Klein 瓶事实上不能嵌入3维欧氏空间，这里画出的Klein 瓶是有洞的Klein 瓶。

Klein 瓶的制作（2）

The Klein bottle is named after the German

mathematician Felix Klein (1849-1925). Born: 25 April 1849 in Düsseldorf, Prussia (now Germany)

Died: 22 June 1925 in G?ttingen, Germany

Felix Klein is best known for his work in non-euclidean geometry, for his work on the connections between geometry and group theory, and for results in function theory. He was born on 25/4/1849 and delighted in pointing out that each of the day (52), month (22), and year (432) was the square of a prime.

闭曲面的制作

任何闭曲面必同胚于或者球面，或者球面上添加有限个环柄，或者球面上添加有限个M?bius 带。这些曲面中的任意两个是不同胚的。

问题：作为二维空间的数学模型，选哪种闭曲面为好？ 从拓扑眼的角度看，选球面S 2为好。这是因为： 1.S 2是二维欧氏空间的一点紧致化；

2.S 2不能与自己的任何真子空间同胚，特别地，不与S 1同胚；

3.S 2具有最好的各向同性性质，具体说就是: 若c 是S 2中的一条简单闭曲线，则

（1）S 2\c 有两个连通分支，而且这两个连通支都同胚于开圆盘；

（2）c 在S 2中的加宽一定是圆柱面。

S 2中的运动

现考察S 2中的运动，即S 2的子空间上的动力系统。

n 维(n ≥3)空间的理想模型

对于一维和二维空间，我们从拓扑眼的角度观察，

分别选择S 1和S 2作为描述它们的数学模型。在做这样

的选择时，我们是做了充分考虑的，因为我们知道一维和二维无边连通流形的拓扑分类，因此给出的选择能够通过系统地对比预选对象而做出。对于三维空间，我们

自然倾向于选择三维球面S 3作为描述它的数学模型。

可是，我们有充分的理由做出这样的选择吗？

这里产生了一个自然的问题：三维的无边紧致连通

流形有哪些拓扑类型？针对此问题，一个首要的基本问

题是： 庞加莱猜想 如果M 是一个三维的无边紧致连通流形，并且是单连通的，那么M 与S 3同胚。

这是法国数学大师庞加莱于1904年提出的猜想。

许多数学家曾尝试去证明这一猜想；不止一次好像已经

成功了，可是并没有真正成功。

出乎许多数学家的意料，1961年，美国数学家S.Smale 证明了高维的庞加莱猜想。 1982年，美国数学家M.Freedman 又证明了四维的庞加莱猜想。他们的结果如下：

Smale 定理 如果M 是一个n 维的无边紧致连通光滑流形，并与S n 有相同的同伦型，那么当n 大于4时，M 与S n 同胚。

Freedman 定理 Smale 定理在n 等于4时也成立。 这些结果是微分拓扑理论中的著名成果，S.Smale 和M.Freedman 因此而分别荣获1966年和1986年的菲尔兹奖。

S n (n ≥3) 的良好性质

S n 是连通紧致无边的光滑流形； S n 是n 维欧氏空间的一点紧致化； S n 没有能与其自身同胚的真子空间；

S n 具有良好的各向同性性质，例如，如果M 是S n

的微分同胚于S n-1的正则子流形，那么

（1）S n \M 恰有两个连通分支，它们是同胚的，并以M 为边界；

（

2）M 在S n 中的加宽同胚于S n-1×[0,1]。

拓扑眼看高维空间

根据现有的拓扑理论，选择

S 3

作为描述三维空间的数学模型，只能基于以往的经验。即便如此，由于S 3具有的良好性质，我们对这样的选择是有信心的。

不仅如此，我们还愿意在自己的思想意识中，建构起能够容纳世间万物，并能容纳我们思维产物的更高维空间；作为这种空间的理想模型，S n 应成为我们的最

佳选择。这不仅是因为S n 具有上述良好性质，还因为

我们有下述结果：

Whitney 嵌入定理 m 维光滑流形总可以嵌入n ≥2m+1维欧氏空间中，从而总可以嵌入n ≥2m+1维球面S n 中。

S 3中的运动

拓扑化的世界观

拓扑学的思想不仅超出了经典数学的范畴，而且带有哲学思辨的品味。大数学家庞加

莱不愧为也是一位哲学家，他所开创的拓扑学理论从一开始就仿佛是针对哲学命题——世界是什么？世界怎么样？——引入的。他对空间、时间和运动的看法，或许比爱因斯坦的相对论观点走的还要远。他那种超越“量”与“测量”的见解分明就是一种新的世界观——拓扑化的世界观。

今天，拓扑学已作为重要的数学工具，同

时也可以说作为一种世界观，被应用于广泛的

研究领域之中。 现在，让我们列出拓扑流形的定义结束本讲： 拓扑流形的定义 n 维流形是一个第二可数的Hausdorff 拓扑空间，它的每一点都有与n

维欧氏空间En 同胚的邻域。 思考题 1.谈谈你对一维空间的看法。 2.谈谈你对二维空间的看法。 3.你认为拓扑学能完全归结到“量”的范畴

吗？论述你的观点。 4.你认为数学的思维模式有没有统一性？统一性表现在哪里？

Klein 瓶由两个

M ?bius 带沿边界圆周粘合而成

球面是平面的一

点紧致化

简单闭曲线----同胚于圆

周的曲线

.

Mobius 2Mobius 0带个等同于对球面添加

带个个环柄和注：对球面添加n m n m +>()图。画出其轨线的分布示意对于此系统，我们可以阵。是一个二阶非奇异实矩

，其中上的动力系统面考虑如下定义的欧氏平

A x e t x tA

,,:222E R E E 3例→?Φ()()(){}()()。空间同胚表示其左右两边给出的并且，那么。

上的动力系统

考虑??∈?-=-→?Φ22

22

2222RP S S ,Orb 1,,S S :S Z Z x x x x x m x m

例4()()()()延伸的轨道。

稠密的两端无限所有轨道都是在环面上为无理数时，此系统的当；所有轨道都是周期轨道为有理数时，此系统的当下结论：关于此系统，我们有如是系统参数，取常值。其中上的动力系统

考虑环面ααααππππ**∈→?Φ?=++R R ,e ,e

,e ,e ,T T :S S T i 2i 2i 2i 222112t y t x y x t 例5期轨道示意图为有理数时，系统的周α期轨道示意图为无理数时，系统的周α

在教学中如何渗透数学思想方法

《在教学中如何渗透数学思想方法》 培训方案 莒南县第三小学郑玲玲 一、培训源起： 看到山东省教研室徐云鸿科长的《快来参加“我是坊主”成长营》倡议，备受鼓舞，深受启发。倡议中提出需要共同探讨的问题：怎样才能提升自己的培训能力与工作坊主持能力？因此，本着把研修过程作为“我是坊主”的课程来学习的精神，决定在学校层面上进行实战训练：根据教师实际情况，我该设计怎样的培训内容？怎样设计这个活动？活动分几个阶段进行？如何做才最有实效？等等，一系列问题都需深入思考，有效解决，幸好，有徐云鸿科长、于江美科长，还有很多的领导专家在身边指导，困惑可以随时请教，且学且研究吧！ 二、培训背景： 1.从《数学课程标准》来看，总体目标明确的将“数学思想方法”纳入其中，作为“四基”之一的“基本思想方法”，它是数学的灵魂和精髓，其重要性不言而喻。 2.从教师角度上来说，我们普遍缺乏什么？缺乏对数学思想的整体把握，缺乏基于课堂教学的深层次研究，缺乏个人做研究的落脚点……作为一名合格的数学教师，不仅要熟知四大领域的内容，还要理清每一个知识点背后蕴含的思想方法，因此，学习数学思想方法并会在课堂中渗透常用的数学思想方法迫待眉睫。 3.从学生角度上来说，若干年后，深深铭记在他们头脑中的只有数学的精神和思想方法，这些都随时随地发生作用，使他们终身受益。因此，感悟和学习一些基本的数学思想方法对提升学生思维品质、建立科学的数学观，乃至对数学学科的后继学习和个人发展，都有十分重要的意义。

三、培训内容： 在教学中如何渗透数学思想方法。 四、培训目标： 1.以课例为载体，提高教师对数学思想方法的认识和研究能力。 2.了解常用的数学思想方法，学会如何在课堂教学中渗透数学思想方法。 3.用数学思想方法指导自己的教学，不断引导学生运用数学思想方法解决问题，提升学生的思维品质。 五、培训形式： 吴正宪老师曾说过：离开了课堂，我们就失去了成长之根。好的研修活动，应是通过课例的比较，解决教师在课堂上遇到的真实的问题。 因此，本次培训以课例《分数乘分数》入手，研训在教学中如何渗透数学思想方法。 六、培训资源： 1.课例：刘万元老师的两节《分数乘分数》（一节是全国赛课，一节是省课）；临沂刘士峰的《分数乘分数》；聊城张兆菊的《分数乘分数》；烟台杨永丽的《分数乘分数》；济宁张秋平的《分数乘分数》。 2.文本材料：章丘市教育局教研室赵玉香老师的《小学数学思想方法理论与实践研究》。 3.ppt《小学数学常用思想方法的梳理》。 七、培训对象： 全校数学教师 八、培训时间： 2014年5月23日---6月12日。 九、培训安排：

几种重要的数学思想方法

几种重要的数学思想方法 韩晓荣 数学思想方法是数学学科的精髓，是数学素养的重要内容之一，学生只有领会了数学思想方法，才能有效地应用知识，形成能力，从而为解决数学问题、进行数学思维起到很好的促进作用。 《数学课程标准》在对初中阶段的教学建议中要求“对于重要的数学思想方法应体现螺旋上升的、不断深化的过程，不宜集中体现”。这就要求我们教师能在实际的教学过程中不断地发现、总结、渗透数学思想方法。 一、化归思想， 所谓“化归”是指把待解决或未解决的问题，通过转化，归结到已经解决或比较容易解决的问题中去，最终使问题得到解决的一种思想方法。我们也常把它称之为“转化思想”。例如：解分式方程转化为解整式方程，解“二元”方程转化为解“一元”方程，解多边形问题转化为解三角形问题等等。 二、数形结合的思想方法 数形结合思想是指将数与图形结合起来解决问题的一种思维方式。著名的数学家华罗庚曾经说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微。”这就是在强调把数和形结合起来考虑的重要性。在教材《有理数》里面用数轴上的点来表示有理数，就是最简单的数形结合思想的体现。 三、分类讨论的思想方法 在渗透分类讨论思想的过程中，我认为首要的是分类。比如在《有理数》研究相反数、绝对值、有理数的乘法运算的符号法则等都是按有理数分成正数、负数、零三类分别研究的：在《平面图形的认识》一章中，用分类讨论思想进行了角的分类、点和直线的位置关系的分类、两条直线位置关系的分类。这种思想方法主要可以避免漏解、错解。 四、方程思想 方程思想指借助解方程来求出未知量的一种解题策略。我们知道方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型。所以方程思想实际上就是由实际问题抽象为方程过程的数学建模思想。例如利用一元一次方程,一元二次方程能解决好多实际问题。 五、从特殊到一般的思想方法

中小学数学很重要的20种常见思想方法

中小学数学很重要的20种常见思想方法 1、对应思想方法 对应是人们对两个集合因素之间的联系的一种思想方法，小学数学一般是一一对应的直观图表，并以此孕伏函数思想。如直线上的点(数轴)与表示具体的数是一一对应。 2、假设思想方法 假设是先对题目中的已知条件或问题作出某种假设，然后按照题中的已知条件进行推算，根据数量出现的矛盾，加以适当调整，最后找到正确答案的一种思想方法。假设思想是一种有意义的想象思维，掌握之后可以使要解决的问题更形象、具体，从而丰富解题思路。 3、比较思想方法 比较思想是数学中常见的思想方法之一，也是促进学生思维发展的手段。在教学分数应用题中，教师善于引导学生比较题中已知和未知数量变化前后的情况，可以帮助学生较快地找到解题途径。 4、符号化思想方法 用符号化的语言(包括字母、数字、图形和各种特定的符号)来描述数学内容，这就是符号思想。如数学中各种数量关系，量的变化及量与量之间进行推导和演算，都是用小小的字母表示数，以符号的浓缩形式表达大量的信息。如定律、公式、等。 5、类比思想方法 类比思想是指依据两类数学对象的相似性，有可能将已知的一类数学对象的性质迁移到另一类数学对象上去的思想。如加法交换律和乘法交换律、长方形的面积公式、平行四边形面积公式和三角形面积公式。类比思想不仅使数学知识容易理解，而且使公式的记忆变得顺水推舟般自然和简洁。 6、转化思想方法 转化思想是由一种形式变换成另一种形式的思想方法，而其本身的大小是不变的。如几何的等积变换、解方程的同解变换、公式的变形等，在计算中也常用到甲÷乙=甲×1/乙。 7、分类思想方法 分类思想方法不是数学独有的方法，数学的分类思想方法体现对数学对象的分类及其分类的标准。如自然数的分类，若按能否被2整除分奇数和偶数;按约数的个数分质数和合数。又如三角形可以按边分，也可以按角分。不同的分类标准就会有不同的分类结果，从而产生新的概念。对数学对象的正确、合理分类取决于分类标准的正确、合理性，数学知识的分类有助于学生对知识的梳理和建构。

数学精神

论数学精神与思想方法 数学是人类的一种文化，它的内容、思想、方法和语言是现代文明的重要组成部分，使学生在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展。而数学精神与思想方法是数学的灵魂，是开启数学知识宝库的金钥匙，是层出不穷的数学发现的源泉。 数学与其他科学一样，也具有两种价值：物质价值和精神价值。所谓数学精神，既指人类从事数学活动中的思维方式、行为规范、价值取向、理想追求等意向性心理的集中表征，又指人类对数学经验、数学知识、数学方法、数学思想、数学意识、数学观念等不断概括和内化的产物。数学精神是非常复杂的东西，包括了许许多多的方面，它是以概念、判断、推理等自觉的思维形式为特征的认识活动；数学创造、数学解题、数学教学等自觉的精神生产活动；数学思维的展开、设计、调控、决策等认知活动；感觉、知觉、表象等低层次的心理活动都可以囊括在数学精神范畴之内。 首先，数学精神具有非常大的价值。最主要的是它的教学价值，它能够对社会或者个人的发展具有非常大的意义，其中教育价值包括社会价值、个人价值两个方面。第一，社会价值，一个社会的发展需要精神的支持，就像一个人的精神支柱，一个人失去了他的精神支柱就很快会崩溃，社会也是这样。数学精神作为一种学科上的精神，它不仅对数学本身的生存、发展具有科学性的价值，同时对整个社会的生存和发展同样具有非常重要的意义和作用，正如马克斯。韦伯所断言，每一个民族的每一项重大事业的背景，总是存在着某种决定这项事业成败，与特定时代和特定社会文化背景直接相关联的时代精神力量。现在人们都知道科学技术是人类发展的重要的因素，而数学作为科学技术的一门基础，它的精神也同样对科学对社会有着非凡的意义。第二，个人价值，数学精神具有显示自我的人力价值。因为数学精神有两种组成成分：一是精神性成分即人文形态的数学精神；二是数学性成分即科学形态的数学精神。前者以意向性为特征，集中反映人的情感、意志等非认知心理因素，它是数学精神的非智力成分；后者是以研究性为特征，集中反映思维方式、思维策略等认知心理因素，它是数学精神的智力成分。从系统论的观点来看，前者是动力系统，后者是操作系统。并且，由这两种成分合而为一的数学精神还具有一种“元认知”的力量，它对于数学思维活动的监控、调节具有导航作用，对于数学思维能力的发展和数学认知结构的完善具有促进作用，对于非智力因素向智力因素转变具有明显的转化作用。数学精神具有完善自我的人格价值。被誉为西方名将摇篮的美国西点军校之所以设置许多高深的数学课程，“正是因为数学的学习能严格地培训学员们把握军事行动的能力和适应性，能使学员们在军事行动中的那种特殊的活力和灵活的快速性互相结合起来，并为学员们进入和驰骋于高等军事科学领域而铺平道路“。数学精神对于求真、持善、臻美，形成完美的三维人格，促进德育、智育、美育全面发展，终身持续发展具有重大作用。 其次，20世纪50年代，美籍著名的数学家和数学教育家波利亚从事数学思想方法的研究，其研究成果汇集在他所著的三本著作《数学发现》，《数学猜想》，《怎样解题》，指出了类比思想，归纳思想，随机思想等在解决数学问题中的作用。数学思想方法是数学知识的本质，它为分析、处理和解决数学问题供了指导方针和解题策略，是指在数学科学里提出问题、解决问题过程中所采用的各种方式、手段、途径等。如：求给定条件的圆锥曲线的方程，通常采用待定系数法；求形如二次函数的函数极值，通常采用配方的方法。这就是我们通常所说的数学思想。数学思想方法无论是在现在的教学中还是在我们以后的人生道路中都起到了非常重要的作用，第一，在教学中，数学知识的发生并不是按逻辑方法建立起来的，数学定理的发现，某些重大结论发现、新的学科的创立大都用归纳、类比、联想的方法获得的。著名的数学哲学家拉卡托斯认为：非形式演绎的数学也是。一个好的数学教师，决不会在黑板

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高中数学七大数学基本思想方法 第一：函数与方程思想 （1）函数思想是对函数内容在更高层次上的抽象，概括与提炼，在研究方程、不等式、数列、解析几何等其他内容时，起着重要作用。 （2）方程思想是解决各类计算问题的基本思想，是运算能力的基础。考把函数与方程思想作为七种重要思想方法重点来考查。 第二：数形结合思想 （1）数学研究的对象是数量关系和空间形式，即数与形两个方面 （2）在一维空间，实数与数轴上的点建立一一对应关系在二维空间，实数对与坐标平面上的点建立一一对应关系，形结合中，选择、填空侧重突出考查数到形的转化，在解答题中，考虑推理论证严密性，突出形到数的转化。 第三：分类与整合思想 （1）分类是自然科学乃至社会科学研究中的基本逻辑方法。 （2）从具体出发，选取适当的分类标准。 （3）划分只是手段，分类研究才是目的。 （4）有分有合，先分后合，是分类整合思想的本质属性。 （5）含字母参数数学问题进行分类与整合的研究，重点考查学生思维严谨性与周密性。 第四：化归与转化思想 （1）将复杂问题化归为简单问题，将较难问题化为较易问题，将未解决题化归为已解决问题。 （2）灵活性、多样性，无统一模式，利用动态思维，去寻找有利于问题解决的变换途径与方法。 （3）高考重视常用变换方法：一般与特殊的转化、繁与简的转化、构造转化、命题的等价转化。 第五：特殊与一般思想 （1）通过对个例认识与研究，形成对事物的认识。 （2）由浅入深，由现象到本质、由局部到整体、由实践到理论。 （3）由特殊到一般，再由一般到特殊的反复认识过程。 （4）构造特殊函数、特殊数列，寻找特殊点、确立特殊位置，利用特殊值、特殊方程。 （5）高考以新增内容为素材，突出考查特殊与一般思想必成为命题改革方向。 第六：有限与无限的思想 （1）把对无限的研究转化为对有限的研究，是解决无限问题的必经之路。 （2）积累的解决无限问题的经验，将有限问题转化为无限问题来解决是解决的方向。 （3）立体几何中求球的表面积与体积，采用分割的方法来解决，实际上是进行有限次分割，再求和求极限，是典型的有限与无限数学思想的应用。 （4）随着高中课程改革，对新增内容考查深入，必将加强对有限与无限的考查。 第七：或然与必然的思想

《数学思想方法》课程教学大纲

数学思想方法》课程教学大纲 第一部分大纲说明 一、课程的地位、性质与任务 《数学思想方法》是研究数学思想方法及其教学的一门课程。随着现代科学技术的迅速发展和素质教育的全面实施，对科学思想、科学方法有着全局影响的数学思想方法其重要性日益凸现。鉴于数学思想方法在素质教育中的重要作用，《数学思想方法》被列为中央广播电视大学小学教育专业的一门重要的必修课。 通过本课程的学习，使学员比较系统地获得对数学思想方法的认识，掌握实施数学思想方法教学的特点，并能运用这些理论指导小学数学教学实践。通过各个教学环节，逐步培养学员实施数学思想方法教学的能力和综合运用所学知识分析问题、解决有关实际问题的能力，为成为适应新世纪需要的高素质的小学教师打下坚实基础。 二、课程主要内容及要求 本课程的主要内容包括：数学思想与方法的两个源头、数学思想与方法的几次重要突破、数学的真理性、现代数学的发展趋势、演绎与化归、抽象与概括、猜想与反驳、计算与算法、应用与建模、数学思想与方法与素质教育、数学思想与方法教学、数学思想与方法教学案例。通过本课程的学习，关键在于使学员建构起关于数学思想方法的认知结构，认识数学思想方法的重要性，增强数学思想方法教学的自觉性，提高实施数学思想方法教学的水平和能力。通过“数学思想方法的发展”部分学习，帮助学员了解数学思想方法的源头、几次重要突破和现代数学的发展趋势，并能正确理解数学的真理性，确立动态的、拟经验主义的数学观。通过“数学思想方法例解 " 部分学习，使学员掌握数学教学中常用的数学思想方法及其应用。通过“数学思想方法教学" 部分学习，使学员掌握数学思想方法教学的特点，并能将所学数学思想方法初步应用于小学数学教学。 三、教学媒体 1．文字教材： 文字教材是学生学习课程的主要用书，是学生获得知识和能力的重要媒体，是教和学的根本依据。文字教材名称：《数学思想与方法》（顾泠沅主编，中央电大出版社出版）。 2．音像教材：《数学思想与方法》录像教材共18 讲，由首都师范大学副教授姚芳主讲。 3. 网上学习资源 江苏电大在线中（https://www.wendangku.net/doc/208154287.html, ）教学辅导、实施方案、学习自测等；栏目以及中央电大在线（ https://www.wendangku.net/doc/208154287.html, ）中与本课程有关的学习资源。 四、教学环节 1. 理论教学环节（课程的基本知识、理论和方法） （1）自学 自学是电大学生获得知识的重要方式 , 自学能力的培养也是远程开放高等教育的目的之一 ,本课程的教学要注意对学生自学能力的培养 . 学生可以通过自学、收

数学思想与方法作业

一、简答题 1、分别简单叙说算术与代数的解题方法基本思想，并且比较它们的区别。 答：算术解题方法的基本思想：首先要围绕所求的数量，收集和整理各种已知的数据，并依据问题的条件列出关于这些具体数据的算式，然后通过四则运算求得算式的结果。 代数解题方法的基本思想是：首先依据问题的条件组成内含已知数和未知数的代数式，并按等量关系列出方程，然后通过对方程进行恒等变换求出未知数的值。 它们的区别在于算术解题参与的量必须是已知的量，而代数解题允许未知的量参与运算；算术方法的关键之处是列算式，而代数方法的关键之处是列方程。 2、比较决定性现象和随机现象的特点，简单叙述确定数学的局限。 二、论述题 1．论述社会科学数学化的主要原因。 2、论述数学的三次危机对数学发展的作用。 答：第一次数学危机促使人们去认识和理解无理数，导致了公理几何与逻辑的产生。 第二次数学危机促使人们去深入探讨实数理论，导致了分析基础理论的完善和集合论的产生。 第三次数学危机促使人们研究和分析数学悖论，导致了数理逻辑和一批现代数学的产生。由此可见，数学危机的解决，往往给数学带来新的内容，新的进展，甚至引起革命性的变革，这也反映出矛盾斗争是事物发展的历史动力这一基本原理。整个数学的发展史就是矛盾斗争的 历史，斗争的结果就是数学领域的发展。 三、分析题 1．分析《几何原本》思想方法的特点，为什么？ 2、分析《九章算术》思想方法的特点，为什么？ 答：（1）开放的归纳体系 从《九章算术》的内容可以看出，它是以应用问题解法集成的体例编纂而成的书，因此它是一个与社会实践紧密联系的开放体系。 在《九章算术》中通常是先举出一些问题，从中归纳出某一类问题的一般解法；再把各类算法综合起来，得到解决该领域中各种问题的方法；最后，把解决各领域中问题的数学方法全部综 合起来，就得到整个《九章算术》。 另外该书还按解决问题的不同数学方法进行归纳，从这些方法中提炼出数学模型，最后再以数学模型立章写入《九章算术》。因此，《九章算术》是一个开放的归纳体系。 （2）算法化的内容 《九章算术》在每一章内先列举若干个实际问题，并对每个问题都给出答案，然后再给出“术”，作为一类问题的共同解法。因此，内容的算法化是《九章算术》思想方法上的特点之一。 （3）模型化的方法 《九章算术》各章都是先从相应的社会实践中选择具有典型意义的现实原型，并把它们表述成问题，然后通过“术”使其转化为数学模型。当然有的章采取的是由数学模型到原型的过程，即先给出数学模型，然后再举出可以应用的原型。

数学思想方法及其教学

数学思想方法及其教学 数学思想是指现实世界的空间形式和数量关系，反映到人民的意识中，经过思维活动而产生的结果。它是对数学事实与理论经过概括后产生的本质认识。数学思想方法是对数学的知识、内容和所使用的方法的本质的认识。它是从某些具体数学认识过程中提炼出来的观点，在后继研究和实践中被反复证实其正确性并带有一般意义和相对稳定的特征。数学思想方法是对数学规律的理性认识，它是以数学为工具进行科学研究的方法，中学数学教学中数学思想方法主要有代换、类比、分析、综合、抽象、概括等方法。 数学思想与思想方法是数学知识中的“基石”，是学生获得数学能力不可或缺的重要思想，数学思想方法的训练，是把知识型转化为能力型数学的关键。学生通过数学学习，形成一定的数学思想方法是教学的重要目标之一。 新课程改革的研究和实践表明：学生的数学学习不只是简单被动的“复制”活动，而是学生认识结构主动建立的过程；不仅是知识传授的过程，更应该是数学思想方法形成的过程。因此，在数学教学中注重分析数学思想方法发展的脉络，促进数学思想方法的形成，便成为构建学生数学认知结构的重要环节。对学生来说，具体的数学知识，可能地随时间的推移而遗忘，但思想方法却能长存，使其受用终生，所以数学思想方法是数学中的精髓。 学生数学思想方法的形成是一个循序渐进的过程，是一个多次孕育、适时渗透的过程，在数学教学中应重视将抽象的思想方法逐渐融入具体的实在的数学知识之中，使学生对这些思想方法具有初步的感知。数学新课程的内容是由数学知识与思想方法组成的有机整体，其是知识体系是纵向展开的，而蕴含在知识之中的思想方法是纵横交错、前后联系的。在教学中不能急功近利，略去教学知识发生和发展的过程，而应适时把握好进行数学思想方法渗透的契机。如：概念的形成过程、问题被发现的过程、解题思想探求的过程，均为渗透数学思想方法的大好时机，教师应有“润物细无声”的境界，在知识生长与发展中，让数学思想方法着地、生根、发芽。 渗透数学思想方法只是让学生对数学思想方法有初步的理解，而引进数学思想方法，就要求学生知道它的要素、特征及用途。由于同一内容可表示为不同的数学思想方法，而同一数学思想方法又常常分布于许多不同的知识点。因此，在单元小结复习时，就应该整理出数学思想方法系统。也可根据数学思想方法的形成过程，适时开设专题讲座，讲清知识的来龙去脉、内涵外延、作用功能等，这也是数学思想教学方法化隐为显的有效途径。 有些基本的数学思想方法，如数形结合、化归、函数与方程等数学思想方法贯穿于整个中学数学，对这些应经常强调并通过“问题解决”使学生灵活运用。要重视提供含有数学思想方法的问题或情景，调动学生积极参与，在会解决问题的情况下，要求能揭示问题中蕴含的数学思想方法和使用价值。对同一问题从不同的角度去审视，根据不同的特征，用不同的数学思想方法解决。

数学方法与精神 复习题

1. 叙述皮亚诺的自然数公理系统。 皮亚诺公理，是数学家皮亚诺提出的关于自然数的五条公理系统。根据这五条公理可以建立起一阶算术系统，也称皮亚诺算术系统。 皮亚诺的这五条公理用非形式化的方法叙述如下： 三个基本概念： 0，数，后继 五条公理： 1. 0是一个数。 2. 任何数的后继是一个数。 3. 若两个数不同，则它们的后继也不同。 4. 0不是任何数的后继。 5. 数学归纳法原理。 皮亚诺所谓的“数”是指所有自然数所构成的类，即指包括0在内的自然数全体；他没有假定我们知道这类中的所有分子，仅假定当我们说这个或那个是一个数时，我们知道我们所指的是什么。 皮亚诺以“后继”来代表从数到数的一种对应，这种对应是一对一的，是一部以数造数的机器——给一个合适的起始数，潜在地，就足以造出数的全体。 这个合适的起始数只有一个，那就是“0”。 “0” 、“数” 、“后继”是不加以定义的原始概念，它们的性质全由皮亚诺的五条公理所界定和描述。 从皮亚诺的公理系统出发，可以建立起完整的算术理论——可以定义数的加法、乘法和大小关系，可以证明已有的所有算术结果。 2. 你认为数学可以完全规约为逻辑吗？论述你的观点。 我认为数学并不能完全规约为逻辑。逻辑主义学派认为，数学可以完全由逻辑得到。罗素和怀特相当成功的把古典数学纳入了一个统一的公理系统，使之能从几个逻辑概念和公理出发，再加上集合论的无穷公理就能推出康托集合论、一般算术和大部分数学来。这把逻辑推理发展到前所未有的高度，使人们看到，在数理逻辑演算的基础上能够推演出许多数学内容来，形成了集合论公理系统的逻辑体系。但后来数理逻辑中的一些深刻结果（如Godel 不完备性定理）则否定了这种观点。事实上，数学不能完全由逻辑得到，即，如果要求数学是无矛盾的，那么，它就不可能是完备的。数学确实有逻辑以外的题材，那就是表达式，而且她的最重要的简单真理是直观的——而非逻辑的——产物。 ZFC 系统中存在的非逻辑公理即能说明这一点。 3. 试述ZF 系统的MP 规则和GEN 规则。 ()()()()tion generalisa . 是任一变元是任一公式，而，其中可以推演出 规则）：从GEN 概括规则（)2(ponens modus .是任意两个公式和，其中可推演出和规则）：从MP 分离规则（) 1(这两条规则是： 。 的直接后承而演绎出来,,,作为某有限个公式式把一个公 ；这些规则使我们可以的逻辑演绎规则有两条ZF 21x A A x A B A B B A A A A A A m ?→

数学方法与精神复习题

1. 叙述皮亚诺的自然数公理系统。 皮亚诺公理，是数学家皮亚诺提出的关于自然数的五条公理系统。根据这五条公理可以建立起一阶算术系统，也称皮亚诺算术系统。 皮亚诺的这五条公理用非形式化的方法叙述如下： 三个基本概念： 0，数，后继 五条公理： 1. 0是一个数。 2. 任何数的后继是一个数。 3. 若两个数不同，则它们的后继也不同。 4. 0不是任何数的后继。 5. 数学归纳法原理。 皮亚诺所谓的“数”是指所有自然数所构成的类，即指包括0在内的自然数全体；他没有假定我们知道这类中的所有分子，仅假定当我们说这个或那个是一个数时，我们知道我们所指的是什么。 皮亚诺以“后继”来代表从数到数的一种对应，这种对应是一对一的，是一部以数造数的机器——给一个合适的起始数，潜在地，就足以造出数的全体。 这个合适的起始数只有一个，那就是“0”。 “0” 、“数” 、“后继”是不加以定义的原始概念，它们的性质全由皮亚诺的五条公理所界定和描述。 从皮亚诺的公理系统出发，可以建立起完整的算术理论——可以定义数的加法、乘法和大小关系，可以证明已有的所有算术结果。 2. 你认为数学可以完全规约为逻辑吗？论述你的观点。 我认为数学并不能完全规约为逻辑。逻辑主义学派认为，数学可以完全由逻辑得到。罗素和怀特相当成功的把古典数学纳入了一个统一的公理系统，使之能从几个逻辑概念和公理出发，再加上集合论的无穷公理就能推出康托集合论、一般算术和大部分数学来。这把逻辑推理发展到前所未有的高度，使人们看到，在数理逻辑演算的基础上能够推演出许多数学内容来，形成了集合论公理系统的逻辑体系。但后来数理逻辑中的一些深刻结果（如Godel 不完备性定理）则否定了这种观点。事实上，数学不能完全由逻辑得到，即，如果要求数学是无矛盾的，那么，它就不可能是完备的。数学确实有逻辑以外的题材，那就是表达式，而且她的最重要的简单真理是直观的——而非逻辑的——产物。 ZFC 系统中存在的非逻辑公理即能说明这一点。 3. 试述ZF 系统的MP 规则和GEN 规则。 ()()()() tion generalisa . 是任一变元是任一公式，而，其中 可以推演出规则）：从GEN 概括规则（)2(ponens modus . 是任意两个公式和，其中可推演出和规则）：从MP 分离规则（)1(这两条规则是： 。 的直接后承而演绎出来,,,作为某有限个公式式把一个公 ；这些规则使我们可以的逻辑演绎规则有两条ZF 21x A A x A B A B B A A A A A A m ?→

数学思想方法及其教学建议

摘要：数学思想方法是数学的灵魂，本文论述了数学思想及数学思想方法的概念和特征，并结合《数学课程标准》的要求，通过高考与数学思想方法的内在联系，提出了在数学教学中渗透数学思想方法的建议，从而进一步明确了数学思想方法的本质地位。 关键词：数学思想，数学思想方法，数学课程标准，高考 数学思想方法是数学的灵魂。引导学生领悟和掌握以数学知识为载体的数学思想方法，是提高学生思维水平，真正知晓数学的价值，建立正确的数学观念，从而发展数学、运用数学的重要保证。 一、对数学思想方法的认识 数学思想是数学中的理性认识，是数学知识的本质，是数学中的高度抽象、概括的内容，它蕴涵于运用数学方法分析、处理和解决数学问题的过程之中，直接支配着数学的实践活动。数学方法是解决问题的策略与程序，是数学思想具体化的反映。从这一意义上来讲，数学思想是数学的灵魂，数学方法是数学的行为，数学思想对数学方法起着指导作用，是数学结构中的有力支柱。数学思想方法是对数学知识的本质认识，是从具体的数学内容和对数学的认识过程中抽象、概括、提炼的数学观点，是数学知识的精髓，是知识转化为能力的桥梁，是建立数学和用数学解决问题的指导思想。掌握好数学思想方法能对数学知识本质的认识不断深化，在解决问题过程中减少盲目性，增加针对性，提高分析问题和解决问题能力都具有本质性、概括性和指导性的意义。 数学思想方法具有层次性，第一层次是与某些特殊问题联系在一起的方法，通常称为“解题术”；第二层次是解决一类问题时采用的共同方法，称为“解题方法”；第三层次是数学思想，这是人们对数学知识以及数学方法的本质认识；第四层次是数学观念，这是数学思想方法的最高境界，是一种认识客观世界的哲学思想。具体来说，数学思想方法主要表现在以下三个方面：一是常用的数学方法，如配方法，换元法，消元法，待定系数法等；二是常用的数学思想，如集合思想、对应思想、符号化思想、公理化思想、极限思想等。三是数学思想方法，如观察与实验，概括与抽象，类比、归纳和演绎等。数学思想与方法包括数学一般方法、逻辑学中的方法（思维方法）和数学思想方法三类。数学一般方法又包括配方法、换元法、待定系数法、判别式法、割补法等；逻辑学中的方法（思维方法）包括分析法、综合法、归纳法、反证法等；数学思想方法包括函数和方程思想、分类讨论思想、数形结合思想、化归思想等。 二、《数学课程标准》的要求 数学思想方法的本质地位，决定了其成为《数学课程标准》的核心。在《数学课程标准》中，一方面在课程的理念、目标中，明确提出了对数学思想方法的要求。另一方面，在课程内容标准中，对数学思想方法的要求几乎渗透到每一个模块和专题中，同时在实施建议部分也作了相应的要求。 《全日制义务教育数学课程标准》的总体目标第一条便是：获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学知识（包括数学事实、数学活动经验）以

小学数学常见数学思想方法

小学数学常见数学思想方法 一、小学数学思想方法的重要性 《数学课程标准》(修订稿)在“基本理念”、“总体目标”以及“实施建议”中都涉及有关数学思想方法的内容，对数学思想方法的教学提出了新的要求。总体目标的第一条就明确提出：“让学生获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学知识（包括数学事实、数学活动经验）以及基本的数学思想方法和必要的应用技能。”如在“基本理念”中指出：“……帮助学生在自主探索与合作交流的过程中，真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想与方法，获得广泛的数学活动经验。”这里，实际上是在原有“双基”的基础上提出了“四基”，即基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验。其中，数学思想方法首次被明确地列入学生的培养目标中。知识和技能是数学学习的基础（双基），而数学的思想方法则是数学的灵魂和精髓。掌握科学的数学思想方法对提升学生的思维品质，对数学学科的后继学习，对其它学科的学习，乃至对学生的终身发展都具有十分重要的意义。数学思想方法是蕴含在数学知识形成、发展和应用的过程中，学生只有积极参与教学过程及独立思考，才能逐步感悟数学思想方法。学生学习数学的最终目的，是要运用所学到的数学知识去解决一些实际问题，要解决问题就要有一定的方式、方法、途径和手段，这就是策略。这种策略无不受到数学思想的影响和支配。而学生一旦掌握了解决问题的方式方法，又可以促进数学思想的进一步形

成和完善。可见，两者是既有联系又有区别的辩证统一体，数学思想指导着数学方法，数学方法是数学思想的具体表现，二者是相互依存、相互促进的。可以说，数学思想和方法是数学的灵魂，是创造能力的源泉；良好的数学思想和方法，可使学生终生受益。 “数学思想方法大众化，并使其在数学课程设计中充分体现，将是设计21世纪数学课程的突破口”。那么，在小学数学教学中，到底要渗透哪些数学思想和方法呢？ 二、什么是小学数学思想方法 所谓的数学思想，是指人们对数学理论与内容的本质认识，是从某些具体数学认识过程中提炼出的一些观点，它揭示了数学发展中普遍的规律，它直接支配着数学的实践活动，这是对数学规律的理性认识。 所谓的数学方法，就是解决数学问题的方法，即解决数学具体问题时所采用的方式、途径和手段，也可以说是解决数学问题的策略。 数学思想是内隐的，而数学方法是外显的，数学思想比数学方法更深刻，更抽象地反映了数学对象间的内在联系。一般来说，前者给出了解决问题的方向，后者给出了解决问题的策略。但由于小学数学内容比较简单，知识最为基础，所以隐藏的思想和方法很难截然分开，更多的反映在联系方面，其本质往往是一致的。如常用的分类思想和分类方法，集合思想和交集方法，在本质上都是相通的，所以小学数学通常把数学思想和方法看成一个整体概念，即小学数学思想方法。 小学数学教材是数学教学的显性知识系统，许多重要的法则、公

数学思想与方法形成性考核册答案

一、简答题 1. 分别简单叙说算术与代数的解题方法基本思想，并且比较它们的区别。 解答：算术解题方法的基本思想：首先要围绕所求的数量，收集和整理各种已知的数据，并依据问题的条件列出关于这些具体数据的算式，然后通过四则运算求得算式的结果。 代数解题方法的基本思想是：首先依据问题的条件组成内含已知数和未知数的代数式，并按等量关系列出方程，然后通过对方程进行恒等变换求出未知数的值。 它们的区别在于算术解题参与的量必须是已知的量，而代数解题允许未知的量参与运算；算术方法的关键之处是列算式，而代数方法的关键之处是列方程。 2. 比较决定性现象和随机性现象的特点，简单叙说确定数学的局限。 解答：人们常常遇到两类截然不同的现象，一类是决定性现象，另一类是随机现象。决定性现象的特点是：在一定的条件下，其结果可以唯一确定。因此决定性现象的条件和结果之间存在着必然的联系，所以事先可以预知结果如何。随机现象的特点是：在一定的条件下，可能发生某种结果，也可能不发生某种结果。对于这类现象，由于条件和结果之间不存在必然性联系。 在数学学科中，人们常常把研究决定性现象数量规律的那些数学分支称为确定数学。用这些的分支来定量地描述某些决定性现象的运动和变化过程，从而确定结果。但是由于随机现象条件和结果之间不存在必然性联系，因此不能用确定数学来加以定量描述。同时确定数学也无法定量地揭示大量同类随机现象中所蕴涵的规律性。这些是确定数学的局限所在。 二、论述题 1. 论述社会科学数学化的主要原因。 解答：从整个科学发展趋势来看，社会科学的数学化也是必然的趋势，其主要原因可以归结为有下面四个方面：第一，社会管理需要精确化的定量依据，这是促使社会科学数学化的最根本的因素。 第二，社会科学的各分支逐步走向成熟，社会科学理论体系的发展也需要精确化。 第三，随着数学的进一步发展，它出现了一些适合研究社会历史现象的新的数学分支。 第四，电子计算机的发展与应用，使非常复杂社会现象经过量化后可以进行数值处理。 2. 论述数学的三次危机对数学发展的作用。 解答：第一次数学危机促使人们去认识和理解无理数，导致了公理几何与逻辑的产生。 第二次数学危机促使人们去深入探讨实数理论，导致了分析基础理论的完善和集合论的产生。 第三次数学危机促使人们研究和分析数学悖论，导致了数理逻辑和一批现代数学的产生。 由此可见，数学危机的解决，往往给数学带来新的内容，新的进展，甚至引起革命性的变革，这也反映出矛盾斗争是事物发展的历史动力这一基本原理。整个数学的发展史就是矛盾斗争的历史，斗争的结果就是数学领域的发展。 三、分析题 2. 分析《九章算术》思想方法的特点，为什么？ 解答：（1）开放的归纳体系 从《九章算术》的内容可以看出，它是以应用问题解法集成的体例编纂而成的书，因此它是一个与社会实践紧密联系的开放体系。 （2）算法化的内容 《九章算术》在每一章内先列举若干个实际问题，并对每个问题都给出答案，然后再给出“术”，作为一类问题的共同解法。因此，内容的算法化是《九章算术》思想方法上的特点之一 数学思想与方法作业参考解答（2）

小学数学中常见的几种数学思想方法

小学数学中常见的几种数学思想方法 我们的教学实践表明：小学数学教育的现代化，主要不是内容的现代化，而是数学思想及教育手段的现代化，加强数学思想的教学是基础数学教育现代化的关键。所谓数学思想，是指人们对数学理论与内容的本质认识，它直接支配着数学的实践活动。所谓数学方法，是指某一数学活动过程的途径、程序、手段。数学思想是数学方法的灵魂，数学方法是数学思想的表现形式和得以实现的手段。以上合称为数学思想方法。一、小学数学教学中渗透数学思想方法的必要性小学教学教材是数学教学的显性知识系统，数学思想方法是数学教学的隐性知识系统。许多重要的法则、公式，教材中只能看到漂亮的结论，许多例题的解法，也只能看到巧妙的处理，而看不到由特殊实例的观察、试验、分析、归纳、抽象概括或探索推理的心智活动过程。虽然数学知识本身是非常重要的，但是它并不是唯一的决定因素，真正对学生以后的学习、生活和工作长期起作用，并使其终生受益的是数学思想方法。因此，向学生渗透一些基本的数学思想方法，是数学教学改革的新视角，是进行数学素质教育的突破口。二、在小学数学课堂中如何运用数学思想方法 1.符号思想用符号化的语言（包括字母、数字、图形和各种特定的符号）来描述数学的内容，这就是符号思想。符号思想是将复杂的文字叙述用简洁明了的字母公式表示出来，便于记忆，便于运用。把客观存在的事物和现象及它们相互之间的关系抽象概括为数学符号和公式，有一个从具体到表象再抽象的过程。在数学中各种量的关系，量的变化以及量与量之间进行推导和演算，都是用小小的字母表示数，以符号的浓缩形式来表达大量的信息。例1：“六一”联欢会上，小明按照3个红气球、2个黄气球、1个蓝气球的顺序把气球串起来装饰教室。你能知道第24个气球是什么颜色的吗?解决这个问题可以用书写简便的字母a、b、c分别表示红、黄、蓝气球，则按照题意可以转化成如下符号形式：aaabbc aaabbc aaabbc……从而可以直观地找出气球的排列规律并推出第24个气球是蓝色的。这是符号思想的具体体现。 2.化归思想化归思想是数学中最普遍使用的一种思想方法，其基本思想是：把甲问题的求

数学精神与方法(第九讲)

2006年 公共选修课·通识教育 数学精神与方法 第九讲 拓扑眼光看世界（二） 杜乃林 副教授 （武汉大学数学与统计学院） EMAIL ：hanlin066@https://www.wendangku.net/doc/208154287.html, 关于物理学空时概念的评述 我们对于运动在空间和时间连续统中的物质有着 来自直觉的观念，但是其中每一个观念都是难以捉摸 的。 空间的广延性、时间的流逝、物质的惯性和运动， 其中没有一个概念是完全独立于其它概念的，它们的定义互相依赖，而且在一定程度上是集体性的。 爱因斯坦的相对论表明了，空时是什么的问题，在某种程度上与观察者有关，而且空间和时间都不是独立于物质而存在的。从概念观点上看，使情况更为复杂的是，量子物理告诉我们，观察者要影响观察结果。因 此，似乎先验地独立于观察者而存在的空间和时间事实上不仅与牛顿的绝对性观念不相容，而且与人类的客观 性理想也不相容。 物理学是一门充满着概念上的陷阱的学科，其刻意追求的科学客观性事实上已成为一个难以达到的目标。 当测量、观察不可能客观时，还有什么是可信的？ 拓扑眼中的一维世界 观察蚂蚁搬家，候鸟迁徙，两者运动的轨迹都给出了一维空间的图景。一维空间，通常我们认为，就是欧几里得几何中的“直线”——令人疑惑， 这是物理世界中的“直线”吗？ “每个物体都保持其静止或匀速直线运动的状态，除非有外力作用于它迫使它改变那个状态。”（摘自牛顿《自然哲学的数学原理》） 看来，物理世界中的“直线”，就是物体没有受到外力作用时，它运动的轨迹。问题是：有没有不受外力作用的物体？若有，它所做的匀速直线运动是相对于那个 参照物的？ 何谓“直线”？从观念上讲，“直”的概念离不开“运算”（尤指线性运算），“运算”需先对参与运算的量进行“测量” ，而“测量”永远摆脱不了“误差”，更不必说“测量”会不可避免地对被测对象产生影响（所测的必然不是要测的），因此，我们原则上没办法知道物理上的直线是什么，当然，也就从来没有真正弄明白过一维空间是什么！ 我们能否撇开“测量”来考察物理世界中的一维空间呢？ 以拓扑的眼光来考察一维空间——或许，这更接近于所要理解之对象的本质——不愧为是一种明智之举。在拓扑眼看来，一维空间可用一维的无边连通流形作为数学模型来加以描述。一维的无边连通流形只有两类： 问题：作为物理世界一维空间的数学描述，选E1好，还是选S1好？ 在拓扑眼看来：选S 1比选E 1 好。这是因为：E 1可以嵌入S 1中而成为后者的一个真子空间；S 1是紧致而连通的（有界无边），它是E 1的一点紧致化；S 1没有与自身同胚的真子空间，而E 1无此性质。 S 1中的运动 所谓“S 1中的运动”，这里是指S1中子空间上的拓扑动力系统。需指出的是，即便空间 是简单的，其上的运动也可能出现很复杂的模式，例如，出现混沌运动。因此，对S1中的运动，我们只能限于举两个例子作一点考察。 有趣的问题是：圆周上的哪种运动可以看作自然运动，即，不受外力作用的运动？自然运动的观念有存在的必要吗？ 拓扑眼中的二维世界 在拓扑眼看来，二维空间的合理模型可在紧致的二维无边连通流形中搜寻。紧致的二维无边连通流形称作闭曲面，其拓扑分类情况远比一维无边连通流形的分类情况复杂。事实上，闭曲面用拓扑眼看，有无穷多类，其分类情况现介绍如下： 闭曲面分类定理 任何一个闭曲面必定同胚于且只能 同胚于下列曲面之一： S 2 （可定向）；T 2，2T 2，3T 2，…，mT 2，… （可定向）；RP 2，2RP 2， 3RP 2，…，mRP 2 , … （不可定向）。 球面与圆盘 将两个圆盘沿它们的边界圆周粘合，就得到了球面。 Mobius 带及其表示 German mathematician August M?bius ?Born: 17 Nov 1790 in Schulpforta, Saxony (now Germany) Died: 26 Sept 1868 in Leipzig, Germany ?M?bius was the first to attempt the classification of surfaces. In an 1870 paper he proved the above theorem for orientable surfaces smoothly imbedded in 3-dimensional Euclidean space. 环面T 2与环柄 在环面上挖去一个圆盘（的内部）得到的就是所谓 的环柄。 在一个曲面上挖去一个圆盘，然后将一个环柄的边界圆周与该曲面所开圆洞的边界圆周焊接，这种手术称作在该曲面上添加一个环柄。例如，在球面上添加一个环柄，得到环面。 环面的形变 实射影平面RP 2 的制作 在一个曲面上挖去一个圆盘，然后将一个M?bius 带的边界圆周与该曲面所开圆洞的边界圆周焊接，这种手术称作在该曲面上添加一个M?bius 带。例如，在球面上添加一个M?bius 带，得到实射影平面RP 2。注意， 实射影平面RP 2 是不能嵌入3维欧氏空间的。 Klein 瓶2RP 2的制作（1） 一维欧氏 空间 E 1 单位圆周 S 1 间的同胚 1 可定向 闭曲面 S 2 T 2 2T 2 3T 2 不可定向闭曲面 R P 2 2RP 2 3RP 2 交叉帽： Mobius 带的一种示意表示 —— []()()：，名的沙可夫斯基定理种运动，我们有如下著中的一种运动。关于这是Ζ半离散动力系统为一个连续映射，那么设例11S x f n x X X X X f X n ,,::1,0→?Φ→=+()()()()()周期点。 必有时，周期点，且有那么，当2的次幂 倍奇数2倍奇数22倍奇数全体奇数 :述方式排列如果将全体正整数按下定理n 2--?????????-k f k m m f n n ,1222227252327252327252375321n n n 222()()()()的 。周的无理旋转拓扑共轭的圆周自同胚总是与圆， 无周期点的，且保向是一个无理数。遍历的其中旋转：最简单的是如下的无理子期 点的圆周自同胚的例中是稠密的。这种无周的任何轨道都在则它是遍历的，即，它无周期点且足够光滑，若 上的保向自同胚周期点的确实存在有定的周期周期点；并且对任何指则其仅有周期点有若述结论为保向同胚时，已知下例如，当两种情形来讨论为保向同胚和反向同胚 一系统，可分上的一种运动。对于这就给出了S Z 上的离散动力系统那么是同胚设例21 θτθ πθ, e ,S S :S 2S 1,,S S :S S S :i 21111111 11z z f m m m m f f f x f n x f n →---→?ψ→，。，，：。，()()()。；m m -=-==*2m ; 22m 2222RP T S χχχ如下：数注：闭曲面的欧拉示性()()()()()()()()()()()。 的顶点数，棱数和面数分别表示和，其中， ； 同胚，那么与多面形闭曲面之同胚的多面形。如果单纯剖分的手段找到与每个闭曲面都可以通过：P P P P P P P P 2P S 1P S f e v f e v +-==* χχχ欧拉示性数的计算