八年级初二数学 数学勾股定理的专项培优易错试卷练习题及答案
一、选择题
1.图中不能证明勾股定理的是( )
A .
B .
C .
D .
2.如图:在△ABC 中,∠B=45°,D 是AB 边上一点,连接CD ,过A 作AF ⊥CD 交CD 于G ,交BC 于点F .已知AC=CD ,CG=3,DG=1,则下列结论正确的是( )
①∠ACD=2∠FAB ②27ACD S ?= ③272CF =- ④ AC=AF
A .①②③
B .①②③④
C .②③④
D .①③④
3.如图,在矩形ABCD 中,AB =3,BC =4,在矩形内部有一动点P 满足S △PAB =3S △PCD ,则动点P 到点A ,B 两点距离之和PA +PB 的最小值为( )
A .5
B .35
C .332+
D .213
4.如图,在Rt ABC ?中,90, 5 ,3ACB AB cm AC cm ?∠=== ,动点P 从点B 出发,沿射线BC 以1 /cm s 的速度移动,设运动的时间为t 秒,当?ABP 为等腰三角形时,t 的值不可能为( )
A .5
B .8
C .
254
D .
258
5.如图,菱形ABCD 的对角线AC ,BD 的长分别为6cm ,8cm ,则这个菱形的周长为( )
A .5cm
B .10cm
C .14cm
D .20cm
6.如图是一块长、宽、高分别为6cm 、4cm 、3cm 的长方体木块,一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点A 处,沿着长方体的表面到长方体上和A 相对的顶点B 处吃食物,那么它需要爬行的最短路径的长是( )
A .
cm
B .
cm
C .
cm
D .9cm
7.“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理,是我国古代数学的骄傲,如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形,设直角三角
形较长直角边长为a ,较短直角边长为b ,若
2
)21a b +=(,大正方形的面积为13,则小正方形的面积为( )
A .3
B .4
C .5
D .6
8.如图,在ABC 中,13AB =,10BC =,BC 边上的中线12AD =,请试着判定
ABC 的形状是( )
A .直角三角形
B .等边三角形
C .等腰三角形
D .以上都不对
9.在△ABC 中,∠A ,∠B ,∠C 的对边分别记为a ,b ,c ,下列结论中不正确的是( ) A .如果∠A ﹣∠B =∠C ,那么△ABC 是直角三角形 B .如果∠A :∠B :∠C =1:2:3,那么△ABC 是直角三角形 C .如果 a 2:b 2:c 2=9:16:25,那么△ABC 是直角三角形 D .如果 a 2=b 2﹣c 2,那么△ABC 是直角三角形且∠A =90°
10.我国古代数学家刘徽将勾股形(古人称直角三角形为勾股形)分割成一个正方形和两对全等的三角形,如图所示,已知∠A =90°,BD =4,CF =6,设正方形ADOF 的边长为
x ,则210x x +=( )
A .12
B .16
C .20
D .24
二、填空题
11.如图,在四边形ABCD 中,AB =AD ,BC=DC ,点E 为AD 边上一点,连接BD 、CE ,CE 与BD 交于点F ,且CE ∥AB ,若∠A =60°,AB=4,CE=3,则BC 的长为_______.
12.如图,在四边形ABCD 中,22AD =,3CD =,
45ABC ACB ADC ∠=∠=∠=?,则BD 的长为__________.
13.如图,ACB △和ECD 都是等腰直角三角形,CA CB =,CE CD =,ABC 的顶点A 在ECD 的斜边上.若3AE =,7AD =
,则AC 的长为_________
14.在Rt ABC 中,90,30,2C A BC ∠=∠==,以ABC 的边AC 为一边的等腰三角形,它的第三个顶点在ABC 的斜边AB 上,则这个等腰三角形的腰长为_________. 15.在△ABC 中,AB =6,AC =5,BC 边上的高AD =4,则△ABC 的周长为__________. 16.在Rt △ABC 中,直角边的长分别为a ,b ,斜边长c ,且a +b =35,c =5,则ab 的值为______.
17.如图,△ABC 中,∠ABC =45°,∠BCA =30°,点D 在BC 上,点E 在△ABC 外,且AD =AE =CE ,AD ⊥AE ,则
AB
BD
的值为____________.
18.一块直角三角形绿地,两直角边长分别为3m ,4m ,现在要将绿地扩充成等腰三角形,且扩充时只能延长长为3m 的直角边,则扩充后等腰三角形绿地的面积为____m 2
. 19.四边形ABCD 中AB =8,BC =6,∠B =90°,AD =CD =52ABCD 的面积是_______.
20.在△ABC 中,∠A=30°,∠B=90°,AC=8,点 D 在边 AB , 且3,点 P 是△ABC 边上的一个动点,若 AP=2PD 时,则 PD 的长是____________.
三、解答题
21.如图,,90,8,6,,ABC B AB cm BC cm P Q ?
?∠===是边上的两点,点P 从点A 开始沿A B →方向运动,且速度为每秒1cm ,点Q 从点B 沿B C A →→运动,且速度为每秒2cm ,它们同时出发,设出发的时间为t 秒. (1)出发2秒后,求线段PQ 的长;
(2)求点Q 在BC 上运动时,出发几秒后,PQB 是等腰三角形; (3)点Q 在边CA 上运动时,求能使BCQ ?成为等腰三角形的运动时间.
22.如图,在矩形ABCD 中,AB=8,BC=10,E 为CD 边上一点,将△ADE 沿AE 折叠,使点D 落在BC 边上的点F 处. (1)求BF 的长; (2)求CE 的长.
23.如图1,在△ABC 中,AB =AC ,∠BAC =90°,D 为AC 边上一动点,且不与点A 点C 重合,连接BD 并延长,在BD 延长线上取一点E ,使AE =AB ,连接CE .
(1)若∠AED =20°,则∠DEC = 度;
(2)若∠AED =a ,试探索∠AED 与∠AEC 有怎样的数量关系?并证明你的猜想; (3)如图2,过点A 作AF ⊥BE 于点F ,AF 的延长线与EC 的延长线交于点H ,求证:EH 2+CH 2=2AE 2.
24.定义:如图1,点M 、N 把线段AB 分割成AM 、MN 和BN ,若以AM 、MN 、
BN 为边的三角形是一个直角三角形,则称点M 、N 是线段AB 的勾股分割点.
(1)已知点M 、N 是线段AB 的勾股分割点,若2AM =,3MN =,求BN 的长; (2)如图2,在Rt ABC △中,AC BC =,点M 、N 在斜边AB 上,45MCN ∠=?,求证:点M 、N 是线段AB 的勾股分割点(提示:把ACM 绕点C 逆时针旋转
90?);
(3)在(2)的问题中,15ACM ∠=?,1AM =,求BM 的长. 25.已知ABC ?中,AB AC =.
(1)如图1,在ADE ?中,AD AE =,连接BD 、CE ,若DAE BAC ∠=∠,求证:
BD CE =
(2)如图2,在ADE ?中,AD AE =,连接BE 、CE ,若60DAE BAC ∠=∠=,
CE AD ⊥于点F ,4AE =,5EC =,求BE 的长;
(3)如图3,在BCD ?中,45CBD CDB ∠=∠=,连接AD ,若45CAB ∠=,求
AD
AB
的值.
26.如图,△ABC 中,90BAC ∠=?,AB=AC ,P 是线段BC 上一点,且045BAP ?<∠.作点B 关于直线AP 的对称点D, 连结BD ,CD ,AD . (1)补全图形.
(2)设∠BAP 的大小为α.求∠ADC 的大小(用含α的代数式表示).
(3)延长CD 与AP 交于点E,直接用等式表示线段BD 与DE 之间的数量关系.
27.阅读下列一段文字,然后回答下列问题.
已知在平面内有两点()111, P x y 、()222, P x y ,其两点间的距离
()
()2
2
121212PP x x y y =
-+-直于坐标轴时,两点间距离公式可化简为12x x -或1|y -2|y . (1)已知()2, 4A 、()3, 8B --,试求A 、B 两点间的距离______.
已知M 、N 在平行于y 轴的直线上,点M 的纵坐标为4,点N 的纵坐标为-1,试求M 、N 两点的距离为______;
(2)已知一个三角形各顶点坐标为()1, 6D 、()3, 3E -、()4, 2F ,你能判定此三角形的形状吗?说明理由.
(3)在(2)的条件下,平面直角坐标系中,在x 轴上找一点P ,使PD PF +的长度最短,求出点P 的坐标及PD PF +的最短长度.
28.(知识背景)
据我国古代《周髀算经》记载,公元前1120年商高对周公说,将一根直尺折成一个直角,两端连接得到一个直角三角形,如果勾是3,股是4,那么弦就等于5,后人概括为“勾三、股四、弦五”.像3、4、5这样为三边长能构成直角三角形的三个正整数,称为勾股数. (应用举例)
观察3,4,5;5,12,13;7,24,25;…
可以发现这些勾股数的勾都是奇数,且从3起就没有间断过,并且 勾为3时,股14(91)2=
-,弦1
5(91)2=+; 勾为5时,股112(251)2=
-,弦1
13(251)2
=+; 请仿照上面两组样例,用发现的规律填空: (1)如果勾为7,则股24= 弦25=
(2)如果勾用n (3n ≥,且n 为奇数)表示时,请用含有n 的式子表示股和弦,则股= ,弦= . (解决问题)
观察4,3,5;6,8,10;8,15,17;…根据应用举例获得的经验进行填空: (3)如果,,a b c 是符合同样规律的一组勾股数,2a m =(m 表示大于1的整数),则
b = ,
c = ,这就是古希腊的哲学家柏拉图提出的构造勾股数组的公式.
(4)请你利用柏拉图公式,补全下面两组勾股数(数据从小到大排列)第一组: 、24、 :第二组: 、 、37.
29.(已知:如图1,矩形OACB 的顶点A ,B 的坐标分别是(6,0)、(0,10),点D 是y 轴上一点且坐标为(0,2),点P 从点A 出发以每秒1个单位长度的速度沿线段AC ﹣CB 方向运动,到达点B 时运动停止.
(1)设点P 运动时间为t ,△BPD 的面积为S ,求S 与t 之间的函数关系式;
(2)当点P 运动到线段CB 上时(如图2),将矩形OACB 沿OP 折叠,顶点B 恰好落在边AC 上点B ′位置,求此时点P 坐标;
(3)在点P 运动过程中,是否存在△BPD 为等腰三角形的情况?若存在,求出点P 坐标;若不存在,请说明理由.
30.在平面直角坐标系中,点A (0,4),B (m ,0)在坐标轴上,点C ,O 关于直线AB 对称,点D 在线段AB 上.
(1)如图1,若m =8,求AB 的长;
(2)如图2,若m =4,连接OD ,在y 轴上取一点E ,使OD =DE ,求证:CE =2DE ; (3)如图3,若m =43,在射线AO 上裁取AF ,使AF =BD ,当CD +CF 的值最小时,请在图中画出点D 的位置,并直接写出这个最小值.
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一、选择题 1.A 解析:A 【分析】
根据各个图象,利用面积的不同表示方法,列式证明结论222+=a b c ,找出不能证明的那个选项.
【详解】
解:A 选项不能证明勾股定理;
B 选项,通过大正方形面积的不同表示方法,可以列式()2
21
42
a b ab c +=?
+,可得222+=a b c ;
C 选项,通过梯形的面积的不同表示方法,可以列式(
)2
211
22
22
a b ab c +=?+,可得
222+=a b c ;
D 选项,通过这个不规则图象的面积的不同表示方法,可以列式
22211
2222
c ab a b ab +?=++?,可得222+=a b c .
故选:A . 【点睛】
本题考查勾股定理的证明,解题的关键是掌握勾股定理的证明方法.
2.B
解析:B 【分析】
过点C 作CH AB ⊥于点H ,根据等腰三角形的性质得到1802ACD CDA ∠=?-∠,根据
AF CD ⊥得到90FAB CDA ∠=?-∠,可以证得①是正确的,利用勾股定理求出AG 的
长,算出三角形ACD 的面积证明②是正确的,再根据角度之间的关系证明
AFC ACF ∠=∠,得到④是正确的,最后利用勾股定理求出CF 的长,得到③是正确的.
【详解】
解:如图,过点C 作CH AB ⊥于点H ,
∵AC CD =,
∴CAD CDA ∠=∠,1802ACD CDA ∠=?-∠, ∵AF CD ⊥, ∴90AGD ∠=?, ∴90FAB CDA ∠=?-∠, ∴2ACD FAB ∠=∠,故①正确; ∵3CG =,1DG =, ∴314CD CG DG =+=+=,
∴4AC CD ==,
在Rt ACG 中,AG ==,
∴1
2
ACD
S
AG CD =
?= ∵90CHB ∠=?,45B ∠=?, ∴45HCB ∠=?,
∵AC CD =,CH AD ⊥, ∴1
2
ACH HCD ACD ∠=∠=
∠, ∵45AFC B FAB FAB ∠=∠+∠=?+∠,
45ACF ACH HCB ACH ∠=∠+∠=∠+?,
1
2
ACH ACD FAB ∠=∠=∠,
∴AFC ACF ∠=∠,
∴4AC AF ==,故④正确;
∴4GF AF AG =-=-
在Rt CGF 中,2CF ===,故③正确.
故选:B . 【点睛】
本题考查几何的综合证明,解题的关键是掌握等腰三角形的性质和判定,勾股定理和三角形的外角和定理.
3.B
解析:B 【分析】
首先由PAB PCD S =3S △△,得知动点P 在与AB 平行且与AB 的距离为3的直线l 上,作点A 关于直线l 的对称点E ,连接AE 、BE ,则BE 的长就是所求的最短距离,然后在直角三角形ABE 中,由勾股定理求得BE 的值,即PA+PB 的最小值. 【详解】
解:∵PAB PCD S =3S △△, 设点P 到CD 的距离为h ,则点P 到AB 的距离为(4-h ),
则
11
AB (4-h)=3CD h 22
?????,解得:h=1,∴点P 到CD 的距离1,到AB 的距离为3, ∴如下图所示,动点P 在与AB 平行且与AB 的距离为3的直线l 上,作点A 关于直线l 的对称点E ,连接AE 、BE ,且两点之间线段最短,
∴PA+PB 的最小值即为BE 的长度,AE=6,AB=3,∠BAE=90°, 根据勾股定理:22222BE =AE AB =63=35++, 故选:B . 【点睛】
本题考查了轴对称—最短路线问题(两点之间线段最短),勾股定理,得出动点P 所在的位置是解题的关键.
4.C
解析:C 【分析】
根据ABP △为等腰三角形,分三种情况进行讨论,分别求出BP 的长度,从而求出t 值即可. 【详解】
在Rt ABC 中,222225316BC AB AC =-=-=,
4BC cm ∴=,
①如图,当AB BP =时, 5 ,5BP cm t ==;
②如图,当AB AP =时, ∵AC BP ⊥,
∴28 BP BC cm ==,8t =;
③如图,当BP AP =时,设AP BP xcm ==,则4,3( )CP x cm AC cm =-=,
∵在Rt ACP 中,222AP AC CP =+, ∴()2
2234x x =+-, 解得:258
x =, ∴258
t =
, 综上所述,当ABP △为等腰三角形时,5t =或8t =或258
t =. 故选:C . 【点睛】
本题考查了勾股定理,等腰三角形的性质,注意分类讨论.
5.D
解析:D 【解析】 【分析】
根据菱形的对角线互相垂直平分可得AC ⊥BD ,12OA AC =,1
2
OB BD =,再利用勾股定理列式求出AB ,然后根据菱形的四条边都相等列式计算即可得解.
【详解】
解:∵四边形ABCD 是菱形, ∴AC ⊥BD ,11
622
OA AC =
=?=3cm , 11
8422
OB BD cm =
=?= 根据勾股定理得,2222345cm AB OA OB +=+= ,所以,这个菱形的周长=4×5=20cm. 故选:D. 【点睛】
本题考查了菱形的性质,勾股定理,主要利用了菱形的对角线互相垂直平分,需熟记.
6.C
解析:C 【解析】 【分析】
本题中蚂蚁要跑的路径有三种情况,知道当蚂蚁爬的是一条直线时,路径才会最短.蚂蚁爬的是一个长方形的对角线.展开成平面图形,根据两点之间线段最短,可求出解.
【详解】
解:如图1,当爬的长方形的长是(4+6)=10,宽是3时,需要爬行的路径的长
==cm;
如图2,当爬的长方形的长是(3+6)=9,宽是4时,需要爬行的路径的长
==cm;
如图3,爬的长方形的长是(3+4)=7时,宽是6时,需要爬行的路径的长==cm.
所以要爬行的最短路径的长cm.
故选C.
【点睛】
本题考查平面展开路径问题,本题关键知道蚂蚁爬行的路线不同,求出的值就不同,有三种情况,可求出值找到最短路线.
7.C
解析:C
【详解】
如图所示,∵(a+b)2=21
∴a2+2ab+b2=21,
∵大正方形的面积为13,2ab=21﹣13=8,
∴小正方形的面积为13﹣8=5.
故选C.
考点:勾股定理的证明.
8.C
解析:C
【分析】
△是直角三角形.再利用勾股定理求出A C,可得利用勾股定理的逆定理可以推导出ABD
出AB=AC ,即可判断. 【详解】
解:由已知可得CD=BD=5,
22251213+=
即222BD AD AB +=,
ABD ∴是直角三角形,90ADB ∠=?,
90ADC ∴∠=?
222AD CD AC ∴+=
13AC ∴=
13AB AC ∴==
故ABC 是等腰三角形. 故选C 【点睛】
本题考查了勾股定理和它的逆定理,熟练掌握定理是解题关键.
9.D
解析:D 【分析】
根据直角三角形的判定和勾股定理的逆定理解答即可. 【详解】
选项A 中如果∠A ﹣∠B =∠C ,由∠A+∠B+∠C =180°,可得∠A =90°,那么△ABC 是直角三角形,选项正确;
选项B 中如果∠A :∠B :∠C =1:2:3,由∠A+∠B+∠C =180°,可得∠A =90°,那么△ABC 是直角三角形,选项正确;
选项C 中如果 a 2:b 2:c 2=9:16:25,满足a 2+b 2=c 2,那么△ABC 是直角三角形,选项正确;
选项D 中如果 a 2=b 2﹣c 2,那么△ABC 是直角三角形且∠B =90°,选项错误; 故选D . 【点睛】
考查直角三角形的判定,学生熟练掌握勾股定理逆定理是本题解题的关键,并结合直角三角形的定义解出此题.
10.D
解析:D 【分析】
设正方形ADOF 的边长为x ,在直角三角形ACB 中,利用勾股定理可建立关于x 的方程,整理方程即可. 【详解】
解:设正方形ADOF 的边长为x , 由题意得:BE =BD =4,CE =CF =6,
∴BC=BE+CE=BD+CF=10,
在Rt△ABC中,AC2+AB2=BC2,
即(6+x)2+(x+4)2=102,
整理得,x2+10x﹣24=0,
∴x2+10x=24,
故选:D.
【点睛】
本题考查了正方形的性质、全等三角形的性质、勾股定理等知识;熟练掌握正方形的性质,由勾股定理得出方程是解题的关键.
二、填空题
11.7
【分析】
连接AC交BD于点O,由题意可证AC垂直平分BD,△ABD是等边三角形,可得∠BAO=∠DAO=30°,AB=AD=BD,BO=OD,通过证明△EDF是等边三角形,可得DE=EF=DF,由勾股定理可求OC,BC的长.
【详解】
连接AC,交BD于点O,
∵AB=AD,BC=DC,∠A=60°,
∴AC垂直平分BD,△ABD是等边三角形,
∴∠BAO=∠DAO=30°,AB=AD=BD=4,BO=OD=2,
∵CE∥AB,
∴∠BAO=∠ACE=30°,∠CED=∠BAD=60°,
∴∠DAO=∠ACE=30°,
∴AE=CE=3,
∴DE=AD?AE=1,
∵∠CED=∠ADB=60°,
∴△EDF是等边三角形,
∴DE=EF=DF=1,
∴CF=CE?EF=2,OF=OD?DF=1,
22OC CF
OF 3∴=-=, 22BC=OB +OC =7∴,
故答案为:7. 【点睛】
本题考查了等边三角形的性质和判定,勾股定理,熟练运用等边三角形的判定是本题的关键. 12.5 【分析】
作AD′⊥AD ,AD′=AD 构建等腰直角三角形,根据SAS 求证△BAD ≌△CAD′,证得BD=CD′,∠DAD′=90°,然后在Rt △AD′D 和Rt △CD′D 应用勾股定理即可求解. 【详解】
作AD′⊥AD ,AD′=AD ,连接CD′,DD′,如图:
∵∠BAC+∠CAD=∠DAD′+∠CAD , ∴∠BAD=∠CAD′, 在△BAD 与△CAD′中,
{BA CA
BAD CAD AD AD =∠=∠=''
, ∴△BAD ≌△CAD′(SAS ), ∴BD=CD′,∠DAD′=90°, 由勾股定理得22()4AD AD +=',
∵∠D′DA+∠ADC=90°,
∴由勾股定理得22(')5DC DD +=, ∴B D=CD′=5 故答案为5. 【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质,勾股定理,等腰直角三角形,正确引出辅助线构造
等腰直角三角形是本题的关键.
13.
5
【分析】
由题意可知,AC =BC ,DC =EC ,∠DCE =∠ACB =90°,∠D =∠E =45°,求出∠ACE =∠BCD 可证△ACE ≌△BCD ,可得AE =BD =3,∠ADB =90°,由勾股定理求出AB 即可得到AC 的长. 【详解】
解:如图所示,连接BD ,
∵△ACB 和△ECD 都是等腰直角三角形,
∴AC =BC ,DC =EC ,∠DCE =∠ACB =90°,∠D =∠E =45°, 且∠ACE =∠BCD =90°-∠ACD , 在ACE 和BCD 中,
AC=BC ACE=BCD CE=CD ??
∠∠???
∴△ACE ≌△BCD (SAS ),
∴AE =BD 3E =∠BDC =45°, ∴∠ADB =∠ADC+∠BDC =45°+45°=90°, ∴AB 22AD +BD =7+3=10, ∵AB=2BC , ∴BC =
2AB=52
5 【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质,等腰直角三角形的性质以及勾股定理等知识,添加恰当的辅助线构造全等三角形是解题的关键. 14.232 【分析】
先求出AC 的长,再分两种情况:当AC 为腰时及AC 为底时,分别求出腰长即可. 【详解】
在Rt ABC 中,90,30,2C A BC ∠=∠==, ∴AB=2BC=4,
∴22224223AC AB BC =
-=-=,
当AC 为腰时,则该三角形的腰长为23;
当AC 为底时,作AC 的垂直平分线交AB 于点D ,交AC 于点E ,如图,此时△ACD 是等腰三角形,则AE=3, 设DE=x ,则AD=2x , ∵222AE DE AD +=, ∴222(3)(2)x x += ∴x=1(负值舍去), ∴腰长AD=2x=2,
故答案为:23或2 【点睛】
此题考查勾股定理的运用,结合线段的垂直平分线的性质,等腰三角形的性质,解题时注意:“AC 为一边的等腰三角形”没有明确AC 是等腰三角形的腰或底,故应分为两种情况解题,这是此题的易错之处. 15.1425+或825+ 【分析】
分两种情况考虑:如图1所示,此时△ABC 为锐角三角形,在直角三角形ABD 与直角三角形ACD 中,利用勾股定理求出BD 与DC 的长,由BD+DC 求出BC 的长,即可求出周长;如图2所示,此时△ABC 为钝角三角形,同理由BD -CD 求出BC 的长,即可求出周长. 【详解】
解:分两种情况考虑:
如图1所示,此时△ABC 为锐角三角形,
在Rt △ABD 中,根据勾股定理得:22226425AB AD -=-= 在Rt △ACD 中,根据勾股定理得:2222543AC AD --=,
∴BC=253+,
∴△ABC 的周长为:652531425++=+;
如图2所示,此时△ABC 为钝角三角形,
在Rt △ABD 中,根据勾股定理得:22226425AB AD -=-= 在Rt △ACD 中,根据勾股定理得:2222543AC AD --=,
∴BC=253-,
∴△ABC 的周长为:65253825++=+ 综合上述,△ABC 的周长为:145+85+ 故答案为:145+825+ 【点睛】
此题考查了勾股定理,利用了分类讨论的思想,熟练掌握勾股定理是解本题的关键. 16.10 【分析】
先根据勾股定理得出a 2+b 2=c 2,利用完全平方公式得到(a +b )2﹣2ab =c 2,再将a +b =5c =5代入即可求出ab 的值. 【详解】
解:∵在Rt △ABC 中,直角边的长分别为a ,b ,斜边长c , ∴a 2+b 2=c 2, ∴(a +b )2﹣2ab =c 2, ∵a +b =5c =5, ∴(52﹣2ab =52, ∴ab =10. 故答案为10. 【点睛】
本题考查勾股定理以及完全平方公式,灵活运用完全平方公式是解题关键.
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+【解析】 【分析】
过A 点作BC 的垂线,E 点作AC 的垂线,构造全等三角形,利用对应角相等计算得出∠DAM=15°,在AM 上截取AG=DG ,则∠DGM=30°,设DM=a,通过勾股定理可得到DG=AG=2a ,332)a ,31)a ,231)a ,代入计算即可.
【详解】
过A 点作AM ⊥BC 于M 点,过E 点EN ⊥AC 于N 点. ∵∠BCA =30°,AE=EC
∴AM=
12AC ,AN=12AC ∴
AM=AN 又∵AD=AE
∴R t?ADM ? R t?AEN (HL) ∴∠DAM=∠EAN
又∵∠MAC=60°,AD ⊥AE ∴∠DAM=∠EAN=15°
在AM 上截取AG=DG ,则∠DGM=30° 设DM=a,则 DG=AG=2a , 根据勾股定理得:GM=3a, ∵∠ABC =45° ∴AM=BM=(32)a +
∴BD=(31)a +,AB=2(32)a +,
∴(
)
(
)
62262
31a
AB
BD
a ++==
+ 故答案为:
62
+
【点睛】
本题主要考查等于三角形的性质、含30°角的直角三角形的性质,勾股定理等知识,关键是能根据已知条件构建全等三角形及构建等腰三角形将15°角转化为30°角,本题有较大难度.
18.8或10或12或253
【详解】 解:①如图1: