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江苏省泗阳中学2020学年高一数学下学期期末考试试题苏教版

江苏省泗阳中学2020学年度第二学期高一数学期末试卷

(总分160分,考试时间120分钟)

一、填空题：本大题共14小题,每小题5分,计70分.不写解答过程,将答案写在答题纸的

指定位置上．．．．．. 1．在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶2∶4，则A 、B 、C 分别所对边::a b c =_____☆______． 2. 在等比数列{}n a 中，12435460,236a a a a a a a <++=，则35a a += ☆ ． 3．给出以下四个判断：

①线段AB 在平面α内，则直线AB 不一定在平面α内；②两平面有一个公共点，则它们一定有无数

个公共点；③三条平行直线共面；④有三个公共点的两平面重合. 其中不正确．．．的判断的个数为 ☆ ． 4．在△ABC 中，∠A、∠B、∠C 的对边分别是a 、b 、c ，若1a =，3b =，∠C＝30o；则△ABC 的面积是 ☆ ． 5．已知数列4,,,121--a a 成等差数列，4,,,,1321--b b b 成等比数列，则

2b a a -的值为 ☆ ．

6．如图，平面四边形EFGH 的四个顶点分别在空间四边形ABCD 的四条边上，若直线EF 与GH 相交，

则它们的交点M 必在直线 ☆ 上． 7．已知三角形ABC 中，有：22tan tan a B b A =，则三角形ABC 的形状是 ☆ ． 8．若数列{}n a 的前n 项和2

25n S n n =++，则=+++6543a a a a ☆ ．

9．下列四个命题：

①若αα?b a ,//则b a //， ②若αα//,//b a 则b a //

③若α?b b a ,//则α//a ， ④若b a a //,//α则α//b 或α?b 其中为真命题的序号有 ☆ ．（填上所有真命题的序号）

10．ABC ?的内角A 、B 、C 的对边分别为，若c b a ,,成等比数列，且2c a =，则cos B = ☆ ．

11．已知等比数列{}n a 满足0n a >，n =l ，2，…，且()252523n

n a a n -?=≥，则当3

n ≥时， 212223221log log log log n a a a a -++++= ☆ ．

12．等腰△ABC 的周长为23，则△ABC 腰AB 上的中线CD 的长的最小值 ☆ ． 13．[选做题]本题包括A 、B 两小题，请选定其中一题作答．．．．．．．．．。若多做，则按A 题评分。 A.不等式1

21x a x

>-+对于一切非零实数x 均成立,则实数a 的取值范围是 ☆ ．

B.若AB 的中点M 到平面α的距离为cm 4，点A 到平面α的距离为cm 6，则点B 到平面

第6题

α的距离为 __ ☆___cm ．

14．对于数列{}n a ，定义数列{}n a ?满足：)(1*+∈-=?N n a a a n n n ，

，定义数列{}

n a 2?满足：)(12

*+∈?-?=?N n a a a n n n ，

，若数列{}

n a 2?中各项均为1，且0201221==a a ，则1a =____☆____．

二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,

请将答案写在答题纸的指定区域内. 15．(本小题满分14分)

在锐角△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对的边，且32sin a c A =.

(Ⅰ)确定角C 的大小：（Ⅱ）若c ＝7,且△ABC 的面积为2

33,求a ＋b 的值。

16．(本小题满分14分)

已知等差数列{}n a 的公差d<0，13a =，前n 项和为n S ，{}n b 为等比数列, 11b =，且

2264,b S = 33960b S =．

(Ⅰ)求n a 与n b ；（Ⅱ）求n S 的最大值．

17．(本小题满分14分)

如图，在四棱锥P －ABCD 中，M 、N 分别是AB 、PC 的中点，若ABCD 是平行四边形，求证：MN //平面PAD ．

18. (本小题满分16分)

如图一个三角形的绿地ABC ，AB 边长8米，由C 点看AB 的张角为45，在AC 边上一点D 处看AB 得张角为60，且2AD DC ，试求这块绿地的面积。

N C

B A M D 第17题图 D

第18题图

第19（B ）题图

D 1

C 1 B 1

A 1

19．(本小题满分16分)

[选做题]本题包括A 、B 两小题，请选定其中一题作答．．．．．．．．．。若多做，则按A 题评分。 A.设计一幅宣传画，要求画面面积为4840cm 2

，画面的宽与高的比为）（1<λλ，画面的上下各留8cm 的空白，左右各留5cm 的空白.

(1)试确定画面的高与宽的尺寸，使宣传画所用的纸张面积最小；

(2)当]43,32[∈λ时，试确定λ的值，使宣传画所用纸张面积最小。

B.如图，在六面体1111ABCD A B C D -中，11//AA CC ，

11A B A D =，AB AD =.

求证：（1）1AA BD ⊥；（2）11//BB DD .

20.（本小题满分16分）

已知数列{}n a 中，12a =，23a =，其前n 项和n S 满足1121n n n S S S +-+=+,其中2n ≥，

*n ∈N ．

（1）求证；数列{}n a 为等差数列，并求其通项公式；（2）设n n n n T a a b ,)

1)(1(1

-+=

为数列{}n b 的前n 项和，求n T 的取值范围.

（3）设λλ(2)1(41n a

n n n c ?-+=-为非零整数，*

n ∈N ），试确定λ的值，使得对任意

*n ∈N ，都有n n c c >+1成立．

江苏省泗阳中学2020学年度第二学期

高一数学期末试卷（答案） (总分160分,考试时间120分钟)

一、填空题：本大题共14小题,每小题5分,计70分.不写解答过程,将答案写在答题纸的

指定位置上．．．．．. 1．在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶2∶4，则A 、B 、C 分别所对边

::a b c =______☆_______．

2. 在等比数列{}n a 中，12435460,236a a a a a a a <++=，则35a a += ☆ ．-6 3．给出以下四个判断：

①线段AB 在平面α内，则直线AB 不一定在平面α内；②两平面有一个公共点，则它们一定有无数个公共点；③三条平行直线共面；④有三个公共点的两平面重合. 其中不正确．．．的判断的个数为 ☆ ．3 4．在△ABC 中，∠A、∠B、∠C 的对边分别是a 、b 、c ，若1a =，3b =，∠C＝30o；则△ABC 的面积是 ☆ ．43

5. 已知数列4,,,121--a a 成等差数列，4,,,,1321--b b b 成等比数列，则

212b a a -的值为 ☆ ．2

6.如图，平面四边形EFGH 的四个顶点分别在空间四边形ABCD 的四条边上，若直线EF 与GH 相交，则它们的交点M 必在直线 ☆ 上。AC 7．已知三角形ABC 中，有：2

tan tan a B b A =，则三角形ABC 的形状是 ☆ 等腰三角形或直角三角形

8.若数列{}n a 的前n 项和2

25n S n n =++，则=+++6543a a a a ☆ ．40

9．下列四个命题：

①若αα?b a ,//则b a //，②若αα//,//b a 则b a // ③若α?b b a ,//则α//a ，④若b a a //,//α则α//b 或α?b 其中为真命题的序号有 ☆ ．（填上所有真命题的序号）④

10.ABC ?的内角A 、B 、C 的对边分别为，若c b a ,,成等比数列，且2c a =，则cos B =

第6题图

☆ ．3/4

11.已知等比数列{}n a 满足0n a >，n =l ，2，…，且()252523n n a a n -?=≥，则当3n ≥时，

212223221log log log log n a a a a -+++

+= ☆ ．()21n n -

12．等腰△ABC 的周长为23，则△ABC 腰AB 上的中线CD 的长的最小值 ☆ ．1 13．[选做题]本题包括A 、B 两小题，请选定其中一题作答．．．．．．．．．。若多做，则按A 题评分。 A.不等式1

21x a x

>-+对于一切非零实数x 均成立,则实数a 的取值范围是 ☆ ．（1,3）

B.若AB 的中点M 到平面α的距离为cm 4，点A 到平面α的距离为cm 6，则点B 到平面α的距离为 __ ☆___cm 。2或14

14. 对于数列{}n a ，定义数列{}n a ?满足：)(1*+∈-=?N n a a a n n n ，

，定义数列{}

n a 2?满足：)(12

*+∈?-?=?N n a a a n n n ，

，若数列{}

n a 2?中各项均为1，且0201221==a a ，则1a =____☆____．20200

二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,

请将答案写在答题纸的指定区域内. 15．(本小题满分14分)

在锐角△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对的边，且32sin a c A =.

(Ⅰ)确定角C 的大小：（Ⅱ）若c ＝7,且△ABC 的面积为

3,求a ＋b 的值。

解（1）由32sin a c A =及正弦定理得，2sin sin sin 3

a A A

c C == ………………3分

sin 0,sin A C ≠∴=

ABC ?是锐角三角形，3C π

∴=

(6)

分

（2）

7,.3

c C π

由面积公式得

133sin ,6232ab ab π==即 ①

………………9分由余弦定理得

22222cos

7,73

a b ab a b ab π

+-=+-=即 ②………………12分

由②变形得

25,5a b =+=2

（a+b)故 ………………14分 16．(本小题满分14分)

已知等差数列{}n a 的公差d<0，13a =，前n 项和为n S ，{}n b 为等比数列, 11b =，且

2264,b S = 33960b S =．

(1)求n a 与n b ； (2)求n S 的最大值．解、（1）设等比数列{}n b 的公比为q ，则

3(1)n a n d =+-， 1n n b q -= ..........2分依题意有23322(93)960

(6)64

S b d q S b d q ?=+=?=+=?①

解得2,8d q =??=?(舍去) 或6

540

3d q ?

=-???

?=??

..........4分故52156)56

()1(3+-=-?-+=n n a n ，1)3

(-=n n b ..........7分（2）n n S n 518

532+-

= ..........10分 = —5

27)3(532

+-n ..........12分

∴当5

3的最大值为时n S n = ..........14分

17．(本小题满分14分)

如图，在四棱锥P －ABCD 中，M 、N 分别是AB 、PC 的中点，若ABCD 是平行四边形，求证：MN //平面PAD ．

证明：取PD 的中点E ，连结EA ，EN………………3分 ∵M 为AB 中点，∴AM=

AB ， ……………5分 ∵E、N 为PD 、PC 中点，

∴EN 平行且等于2

DC ， ……………7分

∵AB 平行且等于DC ，∴AM∥EN 且AM=EN ……………9分四边形AMNE 为平行四边形，MN∥AE， ………………11分

又∵MN 不包含于平面PAD ，AE 包含于平面PAD ，…………13分 ∴MN 平行于平面PAD ………………14分 18. (本小题满分16分)

如图一个三角形的绿地ABC ，AB 边长8米，由C 点看AB 的张角

M D 第17题图

第18题图

为45，在AC 边上一点D 处看AB 得张角为60，且2AD DC =，试求这块绿地的面积。解法1：设DC=x,在△BDC 中，由正弦定理得： BD=

)

4560sin(45sin ?-??

x =x 213-……………………………3分 BC=

x x 2

)13(6)4560sin()60180sin(+=?-??-?…………………6分

在△ABC 中，由余弦定理得： 82

]232

)

13(62

2-++）（x x [

]???+45cos 32

)

13(6x x ……………9分

故x 2

…………………………………10分于是，ABC 的面积S ＝

22)13(632145sin 21?+??=???x x BC AC …………………………………13分 =+=

24)13(33x =?+=3

4)13(33)33(8+?=（平方米）………15分

答：这块绿地的面积为)33(8+?平方米…………………………16分

解法2：作BE⊥AC.设DE ＝x （米），则BE ＝x x BDA x 360tan tan =

?=∠………………………………3分

由于，?=∠45C 故△BCE 为等腰直角三角形 CE=BE=x 3

DC=CE-DE=x 3-x …………………………………6分 AD = 2DC=2(x 3-x)

故AE=AD-DE =2x 3-3x …………………………………8分在Rt△ABE 中,根据勾股定理得

BE 2+AE 2=AB 2

（x 3）2+（2x 3-3x ）2＝82 …………………………………10分

解得x 2＝

12-2464=

33216）

（+

…………………………………12分

第19（B ）题图

D 1

C 1 B 1

A 1

AC=AD+DC=3 DC=3x 3-3x

ABC 的面积S ＝

2)33(2

3)333(2121x x x x BE AC ?-?=?-=? 3

3216)33(23）

（+?-?=

)33(8+=（平方米） …………15分

答：这块绿地的面积为)33(8+平方米……………………………16分

19．(本小题满分16分)

[选做题]本题包括A 、B 两小题，请选定其中一题作答．．．．．．．．．。若多做，则按A 题评分。 A.设计一幅宣传画，要求画面面积为4840cm 2

，画面的宽与高的比为）（1<λλ，画面的上下各留8cm 的空白，左右各留5cm 的空白.

(1)试确定画面的高与宽的尺寸，使宣传画所用的纸张面积最小；

(2)当]43,32[∈λ时，试确定λ的值，使宣传画所用纸张面积最小。

B.如图，在六面体1111ABCD A B C D -中，11//AA CC ，

11A B A D =，AB AD =.

求证：（1）1AA BD ⊥；（2）11//BB DD . A.解：设画面的高为xcm ，宽为xcm λ，则48402=x λ，………………………（）……2分

(1)设纸张面积为S ，则有)10)(16(++=x x S λ……………………………4分

2(1610)160

50004410(86760

x x λλλλ

=+++=+≥ ……………………………5分当且仅当λ

λ5

时，即8

λ时，S 取最小值， ……………………………6分此时，高cm x 884840

，宽 5

88558

x cm λ=?=.……………………………8分

(2)如果

3,32[∈λ，则上述等号不能成立.函数

S(λ)在]4

3,32[上单调递

增.…………11分

第19（B ）题图

D D 1

C 1

B 1

A 1

现证明如下：设

33221≤<≤λλ, 则12121

()()4410(88S S λλλλλλ-=+

1212

4410()(8λλλλ=-

因为05

322

121>-?>≥

λλλλ，

又021<-λλ，

所以0)()(21<-λλS S ，故)(λS 在]4

3,32[上单调递增, ……………………………14分因此对]43,32[∈λ，当3

λ时，)(λS 取得最小值. ……………………………16分 B.证明：（1）取线段BD 的中点M ，连结AM 、1A M ，因为11A D A B =，AD AB =，所以BD AM ⊥，1BD A M ⊥．……………4分又1AM A M M =，1AM A M ?、平面1A AM ，

所以BD ⊥平面1A AM ．

而1AA ?平面1A AM ，所以1AA BD ⊥.……………………8分（2）因为11//AA CC ， 1AA ?平面11D DCC ，1CC ?平面11D DCC ，所以1//AA 平面11D DCC ．……………10分又1AA ?平面11A ADD ，平面

A ADD 平面

111D DCC DD =，………13分所以11//AA DD ．同理得11//AA BB ，

所以11//BB DD ．…………………………………………16分

20.（本小题满分16分）

已知数列{}n a 中，12a =，23a =，其前n 项和n S 满足1121n n n S S S +-+=+,其中2n ≥，

*n ∈N ．

（1）求证；数列{}n a 为等差数列，并求其通项公式；（2）设n n n n T a b ,2

=为数列{}n b 的前n 项和，求n T . （3）设λλ(2)1(41n a

n n n c ?-+=-为非零整数，*

n ∈N ），试确定λ的值，使得对任意

*n ∈N ，都有n n c c >+1成立．

解：（1）由已知，()()111n n n n S S S S +----=（2n ≥，*

n ∈N ），

即11n n a a +-=（2n ≥，*

n ∈N ），且211a a -=．

∴数列{}n a 是以12a =为首项，公差为1的等差数列．…………….3分 ∴1n a n =+．…………….4分

(2) ∵1n a n =+，∴n n n b 2

)1(?

+= ∴)2(..........21)1(21................21321221)1.(. (2)

)1(2121321213212+-++?++?+?=?++?++?+?

=n n n n n n n n T n n T 1322

1)1(212121121)2()1(+?+-++++=-n n n n T 得：

n n n T 23

3+-= ……………………………………6分

代入不等式得：012

2233<-+>+-n n n n ，即

设02

)()1(,123)(1

<+-=-+-+=+n n n n f n f n n f 则 ∴)(n f 在+N 上单调递减， …………………………………8分 ∵04

)3(,041)2(,01)1(<-=>=

>=f f f ∴当n=1,n=2时,0)(3,0)(<≥>n f n n f 时，当所以n 的取值范围为

*∈≥N n n 且,3 ……………………………10分

（3）∵1n a n =+，∴1

12)1(4+-?-+=n n n n c λ，要使n n c c >+1恒成立，

∴02)1(2

)1(44112

11>?--?-+-=-+-+++n n n n n n n n c c λλ恒成立， ∴()

1343120n n

n λ-+?-?->恒成立，

∴

()1

12n n λ---<恒成

立．……………..12分

（ⅰ）当n 为奇数时，即1

2n λ-<恒成立，当且仅当1n =时，1

n -有最小值为1，

∴1λ<．

（ⅱ）当n 为偶数时，即12

n λ->-恒成立，当且仅当2n =时，1

n --有最大值2-，

∴2λ>-．

即21λ-<<，又λ为非零整数，则1λ=-．

综上所述，存在1λ=-，使得对任意*

n ∈N ，都有1n n b b +>．…………16分