简谐周期的求解

简谐周期的求解

广东仲元中学 刘雁

一、数学规律

已知函数x 随变量t 的变化规律为

0cos()x A t ωφ=+

其中A 、ω和0?为常量。

对上述函数求导，可得：

0sin()x A t ωωφ'=-+

再求导，可得：

20cos()x A t ωωφ''=-+

即：2

0x x ω''+=

由此可知，方程20x x ω''+=的解为：0cos()x A t ωφ=+

其中A 、ω和0?的值可由初始条件求得。

其周期为： 2T πω=

二、简谐周期的求解

1、质点所受各力的合力F 与质点的位移x 的关系为F kx =-(其中k 为正常量)，质点的质量为m 。求质点运动的周期。

解：由牛顿第二定律知：

F ma mx ''==

所以：

mx kx ''=-

即：

0k x x m ''+

=

令2k m ω=，即ω= max 0cos()x x t ω?=+

所以： 22T πω=

=

说明：如果力与位移的关系是F kx b =-+，我们可以通过改变位移参考点的位置使力与位移大小成正比。所以，若质点所受各力的合力F 与质点的位移x 的关系为F kx b =-+ (其中k 和b 为常量，且0k >)，质点的质量为m

。则质点的运动周期为2T =。 2、已知刚体对转动轴的转动惯量为I ，若刚体所受各力对转动轴的合力矩M 与角位移θ的关系满足M k θ=-(k 为正常量，M 与θ的正方向关系满足右手螺旋规律)，求其周期的表达式。

解：由刚体运动定律知：M I I βθ''==

所以：

I k θθ''=-

即：

0k I θθ''+= 令2k I ω=

，即ω= max 0cos()t θθω?=+

所以：22T πω=

=

3、已知LC 振荡回路中线圈的自感系数为L ，电容器的电容为C 。求LC 振荡周期。

解：由回路电压规律得：q Li C '-=

即：q Lq C ''-= 10q q LC ''+

= 令21LC ω=

，即ω= max 0cos()q q t ω?=+

所以：22T πω=

= L C