第三章 不等式
一、选择题.
1. 若 a ∈R ,则下列不等式恒成立的是( ). A. a 2 + 1>a
B.
1
1
2
+a <1 C. a 2 + 9>6a D. lg (a 2 + 1)>lg|2a |
2. 下列函数中,最小值为 2 是( ). A. y =
x
x 5
5+,x ∈R ,且 x ≠0 B. y = lg x +
x
lg 1
,1<x <10 C. y = 3x + 3-x ,x ∈R D. y = sin x +
x
sin 1,2π0<<x
3. 不等式组3
020x x y x y ≤??
+≥??-+≥?
表示的平面区域的面积等于( ).
A. 28
B. 16
C.
4
39 D. 121
4. 不等式 lg x 2<lg 2x 的解集是( ). A. ???
??11001, B. (100,+∞)
C. ??
?
??11001,∪(100,+∞) D. (0,1)∪(100,+∞)
5. 不等式(x 4 - 4)-(x 2 - 2)≥0 的解集是( ).
A. x ≥2或 x ≤-2
B. -2≤x ≤2
C. x <-3或 x >3
D. -2<x <2
6. 若 x ,y ∈R ,且 x + y = 5,则 3x + 3y 的最小值是( ). A. 10
B.
C.
D.
7. 若 x >0,y >0,且 28
1x y
+=,则 xy 有( ). A. 最大值 64
B. 最小值164
C. 最小值1
2
D. 最小值 64
8. 若2
21x y x y ≤??
≤??+≥?
,则目标函数 z = 2x + y 的取值范围是( ).
A. [0,6]
B. [2,4]
C. [3,6]
D. [0,5]
9. 若不等式 ax 2 + bx + c >0 的解是 0<α<x <β,则不等式 cx 2 - bx + a >0 的解为( ). A. α
1
<x <β1
B. -β1<x <-α1
C. -α
1
<x <-β1
D.
β1<x <α
1 10. 若 a >0,b >0 ,且 1a b +=,则??
?
??-??? ??-111122b a 的最小值是( ).
A. 9
B. 8
C.7
D. 6
二、填空题. 1. 函数 2
64y x
=-
的定义域是 .
2. 若 x ,y 满足 ,则x y
的最大值为_____ __,最小值为____ __.
3. 函数 21y x x =-的最大值为 .
4. 若直角三角形斜边长是 1,则其内切圆半径的最大值是 .
5. 若集合 A = {(x ,y )| |x | + |y |≤1},B = {(x ,y )|(y - x )(y + x )≤0},M = A ∩B ,则 M 的面积为___________.
6. 若不等式 2x - 1>m (x 2 - 1)对满足 -2≤m ≤2 的所有 m 都成立,则 x 的取值范围是 . 三、解答题.
1. 若奇函数 f (x )在其定义域(-2,2)上是减函数,且 f (1 - a )+ f (1 - a 2)<0,求实数 a 的取值范围.
2. 已知 a >b >0,求216()
a b a b +-的最小值.
(选)3. 设实数 x ,y 满足不等式组 .
(1)作出点(x ,y )所在的平面区域;
(2)设 a >-1,在(1)所求的区域内,求f (x ,y )= y – ax 的最大值和最小值.
4. 某工厂拟建一座平面图形为矩形,且面积为 200 m 2 的三级污水处理池(平面图如右). 如果池外圈周壁建造单价为每米 400 元,中间两条隔墙建筑单价为每米 248 元,池底建造单价为每平方米 80 元,池壁的厚度忽略不计. 试设计污水池的长和宽,使总造价最低,并求出最低造价.
x + 2y - 5≤0
x ≥1 y ≥0
x + 2y - 3≥0
1≤x + y ≤4
y + 2≥|2x - 3|
参考答案
一、选择题. 1. A
【解析】A :a 2 - a + 1 = a 2 - a +4341+=2
21??? ?
?
-a +43>0. a 2 + 1>a 恒成立.
B :当 a = 0 时,左 = 右.
C :当 a = 3 时,左 = 右.
D :当 a = ±1 时,左 = 右. 2. C
【解析】A :y 没有最小值. B :∵ 1<x <10, ∴ 0<lg x <1. ∴ y ≥2.
lg x =1,即x =10时,y min = 2. 此时不符合1<x <10. C :∵ 3x >0, ∴ y = 3x +
x
31
≥2. x = 0时,y min = 2. D :∵ 0<x <2
π
, ∴ sin x >0. ∴ y ≥2. 当 sin x =x
sin 1时,此时 sin x = 1,x =2π,不符合 0<x <2π.
3. B
【解析】由不等式组,画出符合条件的平面区域(下图阴影部分). 解两两直线方程组成的方程组,可得 A (3,5),B (3,-3), C (-1,1). ∴ S 阴 =21· |AB | · |x A - x c | = 2
1
×8×4 = 16. 4. D
x 2>0,
【解析】∵
∴ x >0.∵ lg x 2<lg 2x ,∴ lg 2x - 2lg x >0.∴ lg x >2 ,或 lg x <0,∴ x >100 ,或 0<x <1.
5. A
【解析】∵(x 4 - 4)-(x 2 - 2)≥ 0,∴ x 4 - x 2 - 2≥0,∴(x 2 - 2)(x 2 + 1)≥0.∴ x 2≥2. ∴ x ≥2,或 x ≤-2. 6. D
【解析】 3x + 3y ≥2y x 33?= 2y x +3, ∴ 3x + 3y ≥2×9×3= 183,当 x = y = 2
5
时,等号成立. 7. D
【解析】 y x 82+≥2y x 82?= 8xy 1,当y x 82=,即 时,8xy 1取最大值,即 xy 取最小值 64. 8. A
【解析】 据不等式组画出可行域. 易知 A (-1,2),B (2,2).
将 y = -2x 进行平移,当直线过 A 点时,z min = 0, 当直线过 B 点时,z max = 6. 9. C
【解析】由题知, 且 a <0.
∴ b = -a (α + β ), c = a (αβ ).
∴ 所求不等式可代为 a (αβ )x 2 + a (α + β )x + a >0. ∴(αβ )x 2 +(α + β )x + 1<0. ∴(αx + 1)(βx + 1)<0. ∵ 0<α<β, ∴ -
α
1<-β1
.
x = 4,
y = 16
α + β = a
b
-
α β = a c
∴ -
α
1<
x <-β1.
10. A
【解析】 ??? ??-??? ??-111122b a =222
21b a b
a --+ 1 =2
2222)(b a b a b a --++ 1 =ab 2+1≥222??
?
??+b a + 1 = 9.∴ 当 a = b=21时,原式取最小值 9.
二、填空题. 1. (-8,8).
【解析】∵ 64 - x 2>0 ∴ x 2<64,-8<x <8,即(-8,8). 2. 2,0.
【解析】 据不等式组画出可行域.
由图可知,2max =???
??x y ,=???
??m in
x y 0. 3.
2
1. 【解析】设 x = cos θ,θ∈[0,π]. ∴ y = cos θ sin θ
=
2
1
sin 2θ. ∵ θ∈[0,π],∴ 2θ∈[0,2π], ∴ y max =21
,此时 θ =4π,x = cos 4
π=22.
4.21
-. 【解析】
如图,r =21-+b a =2
1
2-+b a ≤
21222-+b a =2122-=212-. 当且仅当 a = b = 22时, r max =212-. 5. 1.
【解析】如图,M 为阴影部分. M 的面积为()2
22
1
?
= 1.
6.
271+-<x <2
3
1+. 【解析】令 f (m )= m (x 2 - 1)-(2x - 1)(x ≠±1),把它看作关于 m 的一次函数. 由于 -2≤m ≤2 时,f (m )<0 恒成立,
x 2 - 1>0 x 2 - 1<0 ∴ 或
f (2)<0 f (-2)<0
解得 1<x <2
3
1+,或271+-<x <1,又x = 1 时,亦符合题意.
∴
271+-<x <2
3
1+. 三、解答题.
1. 由f (1 - a )+ f (1 - a 2)<0,得 f (1 - a )<- f (1 - a 2). 又因为函数f (x )为奇函数,所以- f (1 - a 2) = f (a 2 - 1). ∴ f (1 - a )< f (a 2 - 1). 又∵ 函数 f (x ) 在其定义域(-2,2)上是减函数,
1 - a >a
2 – 1 -2<a <1 ∴ -2<1 - a <2 解得 -1<a <3
-2<a 2 - 1<2 -3<a <3
∴ a ∈(-
1,1).
2. 由 a >b >0 知,a - b >0, ∴ b (a - b )≤4222
a b a b =
??
? ??-+. ∴ a 2 +
)(16b a b -≥a 2 +264
a
≥22264a a ?= 16.
当且仅当 a 2 =
264
a
,b = a - b , 即当 a = 22,b =2时,a 2 +)
(16
b a b -取得最小值 16.
3. (1)(-3,7) 【解析】
(2) 最大值为7+3a ,最小值为
4. 【解】设污水池总造价为 y 元,污水池长为 x m. 则宽为x 200m ,水池外圈周壁长2x + 2 · x
200
(m ),中间隔墙长2 ·
x
200
(m ),池底面积200(m 2). ∴ y = 400??? ??+?x x 20022+ 248 · x 200 · 2 + 80×200 = 800??? ?
?+x x 324+ 16 000 ≥1 600x
x 324
?+ 16 000 = 44 800. 当且仅当 x =
x 324,即 x = 18,x 200=9
100
时,y min = 44 800.
答:当污水池长为 18 m ,宽为9
100
m 时,总造价最低,最低为 44 800元.
- 1- 2a , -1<a ≤2 1 - 3a , a >2