§1 定积分的概念
§1定积分的概念
1.1定积分的背景－面积和路程问题
江西金溪一中吴志刚E－mail:jxjxyizh@https://www.wendangku.net/doc/241437406.html,
【教材分析】
《1.1定积分的背景－面积和路程问题》是北京师范大学出版社选修2－2第四章第一节的第一节课的内容。本节的主要内容主要是展现定积分的实际背景，即求曲边梯形的面积、求变速运动物体的路程、求物体拉力做的功，通过对这些问题的解决，总结出这些问题的解决思路：即通过分割求和、减小误差、提高精度的过程，这个过程是定积分思想的核心，为定积分的概念的引入奠定了背景和方法的基础。
【教学目标】
１．知识与技能
了解求简单曲边梯形（x轴上方）的面积的一般求法（即“分割－以直代曲－求和－逼近”），在“以直代曲”方案比较中构建出简单合理的曲边梯形面积的求法。
２．过程与方法
在解决问题（求曲边梯形）的过程中，体会“以直代曲”的方法和极限的思想；在方案比较中构建数学知识；初步体会数学的思维过程，学会猜想、比较、验证。
３．情感、态度与价值观
培养学生主动探求知识、合作交流的意识，培养借助信息技术探究数学问题的意识，感受数学思维的全过程，坚定数学学习的信念。
【教学重点】
对实际问题解决过程的分析（即如何通过分割、求和、取极限求出曲边梯形面积和变速直线运动物体的路程），这个过程是积分思想的灵魂。
【教学难点】
问题求解的分析过程及解题思路的总结提炼
【教学方法】
教法：情景引入、问题探究、分组式教学
构思如下：提出问题→问题探究→分组解决→得出结论→对比，总结
学法：
让学生从熟悉的知识入手，学会利用知识的迁移规律，把知识转化成相应的技能，从而提高学生灵活运用的能力。
【教学手段】
用多媒体将曲边梯形的分割过程动态展示出来
【教学步骤】
一、创设情境，提出问题
已知一物体作直线运动，经过t s后的运动速度为v(t)（单位：m/s）,若物体运动的速度v(t)的图像分别如下，试求t∈[a，b]内物体运动的总路程Ｓ。
由物理学知识可知，以上三个图形中的总路程Ｓ均为图中阴影部分的面积。
对于图（1）的面积，可以直接来求出梯形的面积；
对于图（2）的面积，可以通过分割成三个梯形，然后求出其面积和； 对于图（3）这样的平面图形，通常称为曲边梯形，如何求出它的面积Ｓ呢？
【设计意图】三个图形中，前两个图形是由直线段围成的，图（1）是求梯形的面积，图（2）是通过分割化为图（1）的形式来求出，主要将不熟悉图形的面积转化到熟悉的图形来求解，图（3）是由直线段和曲线段围成的，可引导学生将这个图形如何转化到自已比较熟悉的图形。
二、自主探究，找出规律
为了便于研究问题，不妨将问题简单化，将图（3）的曲边梯形看成由直线x=0，x=1，y=0，
y=x 2所围成的图形，它的面积为Ｓ。 １． 活动方案
通过电脑演示图（3）面积的分割过程，启发学生将曲边梯形分为若干小曲边梯形，并能提出以矩形面积和梯形面积近似替代曲边梯形面积，初步形成“分割―以直代曲―求和－逼近”
的问题解决方案。
在具体“以直代曲”的过程中又通过小组讨论的形式得出三种方案。
图（１）中所有的小矩形的面积之和（记为Ｓ1）大于所求的曲边梯形的面积Ｓ，我们称Ｓ1为Ｓ过剩估计值；
图（２）中所有的小矩形的面积之和（记为Ｓ2）小于所求的曲边梯形的面积Ｓ，我们称Ｓ2为Ｓ不足估计值。 ２． 分组落实
分三组分别求图（1）、图（2）、图（3）的面积 （1）分割方法
把区间[0，1]等分成n 个小区间11211[0,],[,],,[
,],,[
,]--i i
n n
n
n n
n n
n n
，每个小区间的长度均为1
n
，过各区间端点作x 轴的垂线，从而得到n 个小曲边梯形，它们的面积分别记作△Ｓ1，△Ｓ２，…，△Ｓi ，…，△Ｓn ，即Ｓ＝△Ｓ1+△Ｓ２+…+△Ｓi +…
+△Ｓn 。 （2）以直代曲
①对于区间1[
,]-i i
n n
上的小曲边梯形，以区间左端点的函数值211
()()--=i i f n n
为矩形的一
边长，1
n
为矩形的另一边长的小矩形面积近
似代替小曲边梯形的面积，
即△Ｓi ≈2
231111(1)()()---==i i i f n n n n n
。
②对于区间1[
,]-i i
n n
上的小曲边梯形，以区间右端点的函数值2()()=i i f n n 为矩形的一边长，1
n
为矩形的另一边长的小矩形面积近似代替小曲边梯形的面积，
即△Ｓi ≈1()i f n n ＝2
231()=i i n n n
。
③对于区间1[
,]-i i
n n
上的小曲边梯形，也可以用梯形面积来计算，即以区间左端点的函数值211
()()--=i i f n n
为梯形的上底，区间右端点的函
数值2()()=i i
f n n
为梯形的下底，1n 为梯形的高的小梯形面积近似代替
小曲边梯形的面积，
即△Ｓi ≈22
223
111(1)[()()]22--++=i i i i n n n n 。
（3）分组求和 对于①的面积和Ｓ1＝222
23
21(1)(21)111
(123)(1)(2)66++++++=
=++n n n n n n n
对于②的面积和 Ｓ2＝
222
232
1(1)(21)111
[012(1)](1)(2)66--++++-=
=--n n n n
n n n
对于③的面积和
Ｓ3＝22222210111121111[()()][()()][(
)()]222-++++++n n n n n n n n n n n
＝22221121[2()2()2(
)2()1]2-++++-n n
n n n n n
＝2222
2
112(21)2+++-n n n ＝22121112336+=+n n n n
（4）逼近
当分割无限变细时，也即n 趋于无穷大时，Ｓ1、Ｓ2、Ｓ3均接近
于曲边梯形的面积Ｓ，且Ｓ＝1
。
3
３．归纳提升
求曲边梯形的面积的方法：
①先对曲边梯形进行进行分割，主要是对给定的区间进行等分；
②以直代曲计算估计值；
③对所有的估计值进行求和；
④当分割无限细分时，也即等分趋近于无穷大时，和会逼近某一常数。【设计意图】引导学生讨论如何对曲边梯形进行分割，并通过课件的演示对曲边梯形进行无限分割的三种情形，有利于学生直观认识。然后让学生分组计算三种情形下的曲边梯形面积的表达式。学生通过对表达式的观察发现，只要无限细分，三种形式下的曲边梯形的面积均趋于同一个值，这就说明不论采取哪种方式计算，结果一样。这样培养学生的合作交流的能力和解决问题能力，优化解题方案。
三、新知应用
例1某人在骑自行车时突然刹车，自行车在滑行1s后停下，在这一过程中，自行车的速度v(单位：m/s)是时间t的函数，且2
v t t t，请你估计自行车在刹车过程滑行的距离S。
()1(01)
=-+＃
分析：画出速度函数()
v t图象，将时间t所对应的区间[0，1]进行等分，分别计算过剩估计值和不足估计值，并用无限逼近的方法得出距离Ｓ的值。
v t
1
1
v t
1
1
(1)
(2)
解：
Ｓ过剩估计值＝2222
1
0111211[()1][()1][()1][(
)1]--++-++-+++-+n n n n n n n n n
＝22223
123(1)111
11(1)(2)6++++--+=---n n n n
Ｓ不足估计值＝22221
112131[()1][()1][()1][()1]-++-++-+++-+n n n n n n n n n
＝2222
3
12311111(1)(2)6+++
+-+=-++n n n n
当等分n 越大，则过剩估计值与不足估计值就越接近，若n 趋于无穷大时，则过剩估计值与不足估计值均趋于2
3
，所以自行车在刹车后滑行的距离S=23
m 。
【设计意图】求物体做变速运动中的距离问题，实际是转化为求曲边梯形面积问题。通过例题再次巩固用“分割－以直代曲－求和－逼近”的方法来求解曲边梯形的面积。 四、课堂小结
1．学习求曲边梯形面积的方法：“分割－以直代曲－求和－逼近” ；
2．应用求曲边梯形面积的方法解决物理中的实际问题。
五、拓展提升
一根弹性系数为0.4N/cm的弹簧，其拉力F随着弹簧拉伸的长度x的变化而不断变化，根据胡克定律可知：
F=F(x)=0.4x。如图所示，弹簧的一端固定在墙
F
上，另一端固定在物体上，在不考虑摩擦的情
况下物体在力F作用下匀速移动，从原来位置
移动10cm，估计这一过程拉力所做的功Ｗ。
六、作业Ｐ80习题4－1Ａ组2，3
定积分的概念和性质公式
1. 曲边梯形的面积 设在区间上，则由直线、、及曲线 所围成的图形称为曲边梯形，下面求这个曲边梯形的面积 分割求近似：在区间中任意插入若干个分点将分成 n 个小区间 ，小区间的长度 在每个小区间上任取一点作乘积， 求和取极限：则面积取极限
其中，即小区间长度最大者趋于零。 2.变速直线运动的路程 设某物体作变速直线运动，速度是上的连续函数，且，求在这段时间内物体所经过的路程。 分割求近似：在内插入若干分点将其分成 n 个小区间，小区间长度，。任取， 做 求和取极限：则路程取极限 定义设函数在上有界，在中任意插入若干个分点 将分成 n 个小区间，其长度为，在每个小区间 上任取一点，作乘积，并求和， 记，如果不论对怎样分法，也不论小区间上的点
怎样取法，只要当时，和总趋于确定的极限，则称这个极限 为函数在区间上的定积分，记作，即 ，（*） 其中叫被积函数，叫被积表达式，叫积分变量，叫积分下限， 叫积分上限，叫积分区间。叫积分和式。 说明： 1.如果（*）式右边极限存在，称在区间可积，下面两类函数在区间 可积，（1）在区间上连续，则在可积。（2）在区间 上有界且只有有限个间断点，则在上可积。 2.由定义可知，定积分的值只与被积函数和积分区间有关，而与积分变量无关，所以 3.规定 时 , 在上时, 表示曲线、两条直线、 与轴所围成的曲边梯形的面积；
在上时, 表示曲线、两条直线、 与轴所围成的曲边梯形的面积（此时，曲边梯形在轴的下方）； 例1 利用定积分的几何意义写出下列积分值 （1）（三角形面积）（2）（半圆面积）
设可积 性质1 性质2 性质3 （定积分对区间的可加性）对任何三个不同的数，有 性质4 性质5 如果在区间上，，则 推论 性质6 （定积分的估值）设 M 及 m 分别是函数在区间上的最大值及最小值，则 性质7 （定积分中值定理） 如果函数在区间上连续，则在上至少有一点， 使成立
第五章_第一节_不定积分的概念、性质.
经济数学——微积分 4 不定积分的概念与性质 原函数与不定积分的概念 不定积分的几何意义 基本积分表 不定积分的性质 小结思考题 经济数学——积分 二—原函数与不定积分的概念 定义如果在区I 刖内，可导函数尸(X)的 导函数为/(X ),即 We/,都有F\x) = f(x) 或 dF(x) = /(x)dx,那么函数F(x)就称为/(x) 或f(x)dx 在区间 /内原函数?(primitive furwtion ) 例(sinx) =cosx sinx 是 cos 兀的原函数. (inx) =— (X >0) X In X 是1在区间((),+oo)内的原函数. X 第一节 五、
定理原函数存在定理： 如果函数八X)在区间内连续, 那么在区 间^内存在可导函数F(x), 使Hxef,都有F\x) = f(x). 简言之：连续函数一定有原函数. 问题：(1)原函数是否唯一？ (2)若不唯一它们之间有什么联系？ 1 f 例(sinx) =cosx (sinx + C) =cosx (C为任意常数) 经济数学一微积分 关于原函数的说明: (1) (2) 证 说明F(x)+c是f (兀舶全部原粛或 经济数学一微积分
经济数学——微积分 不定积分（indefinite integral ）的定义： 在区间/内，函数/（兀）的带有任意 常数项的原函数称为/（兀）在区I 可内的 不定积分，记为f/（xMr ? 经济数学——微积分 6 =X% /. fx^dx =—— 十 C. J 」 6 例2求f --------- dr. J 1 + X- / J 解?/ (arctanx)= ,, I ‘ 1 + 疋 心& =皿2 被积函数 『积分号 积分变量 寒积表达式 F(x)
1 定积分的概念
§1.定积分的概念 ※ 学习目标 1．理解定积分产生的背景； 2．掌握定积分问题的基本思想和解决方法. ※ 学习过程 一、课前准备 复习： 导数的的概念；导数在几何、物理上的意义；应用 导数在解决数学最值问题上的方法步骤 二、研读课本 课本问题1 图中阴影部分时由抛物线f(x)=x 2，直线x=1及x 轴所围成的平面图形.试估计这个曲边梯形的面积S. 新知总结 积分问题的基本思路及步骤 1、分割： 将区间[a ，b]插入n －1个点（一般都是均匀插入这些点），使得：a=x 0 ---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ 定积分的概念及性质 图 1 图 2 A B 4.4 定积分的概念及性质课题： 定积分的概念及性质目的要求： 理解定积分的概念及其性质重点： 定积分的概念、定积分的几何意义难点： 定积分的概念教学方法： 讲授为主、讲练结合教学时数： 2 课时教学进程： 定积分是积分学的另一个重要的基本概念，和导数概念一样，它也是在解决各种实际问题中逐渐形成并发展起来的，现已成为解决许多实际问题的有力工具．本节将首先从实际问题出发引出定积分的概念，并介绍定积分的几何意义和性质．随后的两节再介绍定积分与微分的内在联系，定积分的计算及其简单应用．一、定积分的概念 1．两个引例例 1 求曲边梯形的面积．初等数学可以计算多边形、圆形和扇形等图形的面积，但对于较复杂的曲线所围成的图形(图 1)的面积计算则无能为力．如图所示，我们总可以用若干互相垂直的直线将图形分割成如阴影部分所示的基本图形，它是由两条平行线段，一条与之垂直的线段，以及一条曲线弧所围成，这样的图形称为曲边梯形．特别地，当平行线之一缩为一点时，称为曲边三角形．现在求由直线0,,===ybxax和连续曲线)(xfy = ) 0)((xf所围成的曲边梯形 AabB (图 2)的面积 S ．如 1 / 7 果曲边梯形的高不变,即Cy =(常数),则根据矩形面积公式面积=底高便可求出它的面积．但如果)(xfy =是一般曲线，则底边上每一点 x 处的高)(xf随 x 变化而变化，上述计算公式就不适用．对于这样一个初等数学无能为力的问题，我们解决的思路是：将曲边梯形分成许多小长条(图 2),每一个长条都用相应的矩形去代替,把这些矩形的面积加起来,就近似得到曲边梯形的面积S ．小长条分得越细，近似程度越好，取极限就是面积 S ．具体地，分四步来解决． (1) 分割(化整为零) 在区间],[ba内任意添加1n个分点： 将区间],[ba分成 n 个子区间，这些子区间的长度记为 1 i=}?{iixxx ),, 2 , 1=(ni，并用符号i x?= max表示这些子区间的最大长度．过1n个分点作 x 轴的垂线，于是将曲边梯形分割成n 个小曲边梯形，它们的面积记作i S? ),, 2 , 1=(ni．显然=i?=niSS1． (2) 代替（以直代曲）在第 i 个子区间],[1iixx 上任取一点i ，作以)(if 为高，],[1iixx为底的第 i 个小矩形，小矩形的面积为 iixf?)( ),, 2 , 1=(ni第i 个小曲边梯形的面积 iiixfS??)( ),, 2 , 1=(ni． (3) 求和（求曲边梯形面积的近似值）将 n 个小矩形的面积加起来，便得到原曲边梯形面积的近似值 nxfS1(4) 取极限（积零为整）不难想到，当分割越来越细(即 n 越来越大，同时最长的子区间长度越来越小时)， n 个矩形的面积和就越来越接近于原曲边梯形的面积．于是 1.曲边梯形的面积 设在区间*I上：；--L ,则由直线工’=■<、応匚、V 1及曲线■V °/W所围成的图形称为曲边梯形，下面求这个曲边梯形的面积 分割求近似：在区间-八「中任意插入若干个分点将宀…-分成n个小区间 兀5 5 <…，小区间的长度&广呜一為」（T三12… 在每个小区间- ：-一I〕上任取一点-■■作乘积 求和取极限：则面积取极限 J=1 其中；'1 ； J L厂V '…，即小区间长度最大者趋于零。 2.变速直线运动的路程 设某物体作变速直线运动，速度| I「是上*的连续函数，且1■求在这段时间内物体所经过的路程。 分割求近似：在「〔[内插入若干分点■- _ "将其分成 n 个小区间「—，小区间长度■- _■'.-1, ■1丄。任取? _ _ 做 求和取极限：则路程一取极限 将分成n个小区间-，其长度为2 - —，在每个小区间 上任取一点「:，作乘积■- ' ■'，并求和 r ， 记1■r 1，如果不论对怎样分法，也不论小区间[:■ 上的 点「怎样取法，只要当「「I;时，和总趋于确定的极限，则称这个极限 为函数-—I在区间上的定积分，记作J '，即 定义设函数」?、在L?二上有界，在-亠二中任意插入若干个分点 其中叫被积函数，一’，八叫被积表达式，'‘叫积分变量，二叫积分下限, 「叫积分上限，-’」叫积分区间。■叫积分和式。 说明： 1.如果（*）式右边极限存在，称-’’」在区间-仁丄可积，下面两类函数在区间 上…-可积，（1）」在区间-LL■- - 上连续，则■' J'-在可积。（2）-’八在区间-‘丄-上有界且只有有限个间断点，则在--"-■ 上可积。 2.由定义可知，定积分的值只与被积函数和积分区间有关，而与积分变量无关，所 3. 1．利用定积分的定义计算下列积分： ⑴ b a xdx ? （a b <）； 【解】第一步：分割 在区间[,]a b 中插入1n -个等分点：k b a x k n -=，（1,2,,1k n =-），将区间[,]a b 分为n 个等长的小区间[(1),]b a b a a k a k n n --+-+， （1,2,,k n =），每个小区间的长度均为k b a n -?=， 取每个小区间的右端点k b a x a k n -=+， （1,2,,k n =）， 第二步：求和 对于函数()f x x =，构造和式 1 ()n n k k k S f x ==??∑1 n k k k x ==??∑1 ()n k b a b a a k n n =--=+ ?∑ 1()n k b a b a a k n n =--=+∑1 ()n k b a b a na k n n =--=+∑ 1()n k b a b a na k n n =--=+∑(1) []2 b a b a n n na n n ---=+? ^ 1()[(1)]2b a b a a n -=-+ ?-1 ()()22b a b a b a a n --=-+-? 1 ()()22b a b a b a n +-=--? 第三步：取极限 令n →∞求极限 1 lim lim ()n n k k n n k S f x →∞ →∞ ==??∑1 lim()( )22n b a b a b a n →∞ +-=--? ()(0)22 b a b a b a +-=--?()2b a b a +=-222b a -=， 即得 b a xdx ? 22 2 b a -=。 专题1——利用定积分定义求极限 对于满足如下条件的极限，可以考虑采用利用定积分定义求极限的方法： ① 是n →∞时的极限 ② 极限运算中含有连加符号1n i =∑ 在定积分的定义中，我们把区间[,]a b 平均分成n 个小区间（定积分的定义中是任意分割区间[,]a b ， 我们当然可以平均分割），那么每个小区间的长度为 b a n -（即定义中的i x ?），这n 个小区间分别为[,]b a a a n -+，[,2]b a b a a a n n --++，[2,3]b a b a a a n n --++，……，[(2),(1)]b a b a a n a n n n --+-+-，[(1),]b a a n b n -+-，在定义中每个小区间上任意取的i ξ我们一致取为每个小区间的右端点i b a a i n ξ-=+（也可以取左端点(1)i b a a i n ξ-=+-），那么定义中的1()n i i i f x ξ=?∑就变为1 ()n i b a b a f a i n n =--+∑，那么1lim ()()n b a n i b a b a f a i f x dx n n →∞=--+=∑?。（取左端点时1lim ((1) )()n b a n i b a b a f a i f x dx n n →∞=--+-=∑?） 注意：定积分的定义中0λ→表示的意思是把区间分割为无线个小区间（n →∞也表示把区间分割成无数个小区间，但是在任意分割的前提下，不能用n →∞来表示把区间分割成无数个小区间，这里的原因我是理解的，但是不好表述，你清楚结论就行了），当分割方式为均等分割时，n →∞就表示把区间分割成无数个小区间，所以这里是1lim ()()n b a n i b a b a f a i f x dx n n →∞=--+=∑?，而不是01lim ()()n b a i b a b a f a i f x dx n n λ→=--+=∑?。 第一节 定积分的概念与性质 一、选择题 1. A ； 2. C . 二、填空题 1. （1）1; （2）0; （3）4 π. 2. （1）1 2 x dx ? > 1 30 x dx ? ， （2）2 1ln xdx ? > () 2 2 1ln x dx ?， （3） 20 xdx π ? < 20 sin xdx π ? ， （4）4 3 ln xdx ? < () 4 2 3ln x dx ?. 三、 解 由于()3f x x =在[]0,1上连续，故积分2 21 x dx -? 是存在的，且它与分法无关，同 时也与点的取法无关. 将区间[]0,1n 等分，得1 i x n = ，取() 1,2,, i i i n n ξ== 作和 ()2 3 2 1 1 13 344 0001114 n n n n i i i i i n n i S x i n n n n ξ---===+??==== ???∑∑∑ 于是 1 lim 4n n S →∞= 即 13 014 x dx =?. 四、 细棒的质量()0 l x dx ρ?. 五、 1 13 x e dx -+? 311 x e dx +-=-?. 设()()1 1,0x x f x e f x e ++'==>，所以()f x 在[]1,3-内单调增加， 从而 ()()()13f f x f -≤≤，即1 41x e e +≤≤. 于是 3 141 44x e dx e +-≤≤? 从而 1 4 13 44x e e dx -+-≤ ≤-? . 六、 设()()2 21,41f x x x f x x '=-+=-，令()0,f x '=得驻点1 4 x = . ()17101,,1482f f f ???? === ? ????? .所以 min ()f x =1, max ()f x =78. 1≤≤ 由定积分性质，得 1 2012≤≤ ?. 定积分与微积分定理 1．定积分的概念 一般地，设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点 将区间[,]a b 等分成n 个小区间，每个小区间长度为x ?（b a x n -?=），在每个小区间[]1,i i x x -上取一点()1,2,,i i n ξ=L ，作和式：1 1 ()()n n n i i i i b a S f x f n ξξ==-=?=∑∑ 如果x ?无限接近于0（亦即n →+∞）时，上述和式n S 无限趋近于常数S ，那么称该常数S 为函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分。记为：()b a S f x dx = ? 其中()f x 成为被积函数，x 叫做积分变量，[,]a b 为积分区间，b 积分上限，a 积分下限。 说明：（1）定积分()b a f x dx ? 是一个常数，即n S 无限趋近的常数S （n →+∞时）称为()b a f x dx ?， 而不是n S ． （2）用定义求定积分的一般方法是：①分割：n 等分区间 [],a b ；②近似代替：取点[]1,i i i x x ξ-∈； ③求和：1 ()n i i b a f n ξ=-∑；④取极限：()1()lim n b i a n i b a f x dx f n ξ→∞=-=∑? （3）曲边图形面积：()b a S f x dx =?；变速运动路程2 1 ()t t S v t dt =?； 变力做功 ()b a W F r dr =? 2．定积分的几何意义 说明：一般情况下，定积分 ()b a f x dx ? 的几何意义是介于x 轴、函数()f x 的图形以及直线,x a x b ==之间各部分面积的代数和，在x 轴上方的面积取正号，在x 轴下方的面积去负号．（可以先不给学生讲）． 分析：一般的，设被积函数()y f x =，若()y f x =在[,]a b 上可取负值。 考察和式 ()()()12()i n f x x f x x f x x f x x ?+?++?++?L L 第五章 定积分 Chapter 5 Definite Integrals 5.1 定积分的概念和性质（Concept of Definite Integral and its Properties ） 一、定积分问题举例（Examples of Definite Integral ） 设在()y f x =区间[],a b 上非负、连续，由x a =，x b =，0y =以及曲线() y f x =所围成的图形称为曲边梯形，其中曲线弧称为曲边。 Let ()f x be continuous and nonnegative on the closed interval [],a b . Then the region bounded by the graph of ()f x , the x -axis, the vertical lines x a =, and x b = is called the trapezoid with curved edge. 黎曼和的定义（Definition of Riemann Sum ） 设()f x 是定义在闭区间[],a b 上的函数，?是[],a b 的任意一个分割， 011n n a x x x x b -=<<<<=， 其中i x ?是第i 个小区间的长度，i c 是第i 个小区间的任意一点，那么和 ()1 n i i i f c x =?∑，1 i i i x c x -≤≤ 称为黎曼和。 Let ()f x be defined on the closed interval [],a b , and let ? be an arbitrary partition of [],a b ,011n n a x x x x b -=<< <<=, where i x ? is the width of the i th subinterval. If i c is any point in the i th subinterval, then the sum ()1 n i i i f c x =?∑，1 i i i x c x -≤≤, Is called a Riemann sum for the partition ?. 二、定积分的定义（Definition of Definite Integral ） 定义 定积分（Definite Integral ） 设函数()f x 在区间[],a b 上有界，在[],a b 中任意插入若干个分点 011n n a x x x x b -=<< <<=，把区间[],a b 分成n 个小区间： [][][]01121,,,,,,,n n x x x x x x - 各个小区间的长度依次为110x x x ?=-，221x x x ?=-，…，1n n n x x x -?=-。在每个小区 §1 定积分的概念 1.1 定积分的背景——面积和路程问题 1.2 定积分 【选题明细表】 基础达标 1.如图所示是一个质点做直线运动的v t图像,则质点在前6 s内的位移s(单位:m)为( A ) (A)9 (B)12 (C)14 (D)15 解析:若把[0,6]这个区间分割得很小时,每一个小区间上都可以看作是匀速的,这时可用矩形面积近似地替代小梯形的面积,而质点在前6 s内的位移即为这些小矩形面积的和,这样只要求出图中三角形面积即可. ∴s=×3×6=9(m),故选A. 2.定积分dx的大小( A ) (A)与f(x)和积分区间[a,b]有关,与ξi的取法无关 (B)与f(x)有关,与区间[a,b]以及ξi的取法无关 (C)与f(x)以及ξi的取法有关,与区间[a,b]无关 (D)与f(x)、区间[a,b]和ξi的取法都有关 解析:∵从定义上考虑,当[a,b]分割的区间越小时,ξi的取值趋近相等,∴dx的大小与ξi无关,只与积分区间[a,b]及f(x)有关,故选 A. 3.设函数f(x)在区间[a,b]上单调递增,用分点a=x0 定积分的概念与性质 第五章定积分 第一节定积分的概念与性质 教学目的：理解定积分的定义，掌握定积分的性质，特别是中值定理. 教学重点：连续变量的累积，熟练运用性质. 教学难点：连续变量的累积，中值定理. 教学内容： 一、定积分的定义 １．曲边梯形的面积 设?Skip Record If...?在?Skip Record If...?上非负，连续，由直线?Skip Record If...?，?Skip Record If...?，?Skip Record If...?及曲线?Skip Record If...? 所围成的图形，称为曲边梯形． 求面积： 在区间?Skip Record If...?中任意插入若干个分点 ?Skip Record If...?， 把?Skip Record If...?分成?Skip Record If...?个小区间[?Skip Record If...?],[?Skip Record If...?], … [?Skip Record If...?]，它们的长度依次为： ?Skip Record If...? 经过每一个分点作平行于?Skip Record If...?轴的直线段，把曲边梯形分成?Skip Record If...?个窄曲边梯形，在每个小区间[?Skip Record If...?]上任取一点?Skip Record If...?，以[?Skip Record If...?]为底，?Skip Record If...?为高的窄边矩形近似替代第?Skip Record If...?个窄边梯形?Skip Record If...?，把这样得到的定积分的概念及性质
定积分的概念和性质公式
5.1 定积分的概念与性质-习题
(完整版)专题1——利用定积分定义求极限(1)
定积分的概念与性质练习
定积分的概念
定积分概念与性质(Concept
§1 定积分的概念
最新定积分的概念与性质