(通用版)2020高考数学一轮复习2.8指数式、对数式的运算讲义文
第八节指数式、对数式的运算
一、基础知识批注——理解深一点
1.指数与指数运算
(1)根式的性质
①(n
a)n＝a(a使
n
a有意义)．―→ 负数没有偶次方根.
②当n是奇数时，n
a n＝a；
当n是偶数时，n
a n＝|a|＝
??
?
??a，a≥0，
－a，a<0.
(2)分数指数幂的意义
分数指数幂的意义是解决根式与分数指数幂互化问题的关键．
①a m
n＝
n
a m(a>0，m，n∈N*，且n>1)．
②a -
m
n＝
1
a
m
n
＝
1
n
a m
(a>0，m，n∈N*，且n>1)．
③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义．
(3)有理数指数幂的运算性质
①a r·a s＝a r＋s(a>0，r，s∈Q)；
②a r
a s
＝a r－s(a>0，r，s∈Q)；
③(a r)s＝a rs(a>0，r，s∈Q)；
④(ab)r＝a r b r(a>0，b>0，r∈Q)．
(1)有理数指数幂的运算性质中，要求指数的底数都大于0，否则不能用性质来运算．
(2)有理数指数幂的运算性质也适用于无理数指数幂．
2．对数的概念及运算性质
一般地，如果a(a>0，且a≠1)的b次幂等于N，就是a b＝N，那么，数b就叫做以a 为底N的对数，记作：log a N＝b.
指数、对数之间的关系
(1)对数的性质 ①负数和零没有对数； ②1的对数是零； ③底数的对数等于1. (2)对数的运算性质
如果a >0，且a ≠1，M >0，N >0，那么 ①log a (MN )＝log a M ＋log a N ； ②log a M N
＝log a M －log a N ； ③log a (N n
)＝n log a N (n ∈R)．
二、常用结论汇总——规律多一点
1．换底公式的变形
(1)log a b ·log b a ＝1，即log a b ＝1
log b a (a ，b 均大于0且不等于1)；
(2)log am b n ＝n m
log a b (a ，b 均大于0且不等于1，m ≠0，n ∈R)； (3)log N M ＝log a M log a N ＝log b M
log b N (a ，b ，N 均大于0且不等于1，M >0)．
2．换底公式的推广
log a b ·log b c ·log c d ＝log a d (a ，b ，c 均大于0且不等于1，d >0)． 3．对数恒等式
a log a N ＝N (a >0且a ≠1，N >0)．
三、基础小题强化——功底牢一点
一判一判对的打“√”，错的打
(1)
4
π－
4
＝π－4.( )
(2)n a n
与(n
a )n
都等于a (n ∈N *
)．( ) (3)log 2x 2
＝2log 2x .( )
(4)若MN >0，则log a (MN )＝log a M ＋log a N .( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (二)选一选
1．已知a >0，则下列运算正确的是( ) A ．a 34·a 43
＝a B ．a 34
·a -
34＝0 C ．(a 23
)2
＝a 49
D ．a 13
÷a
-
23
＝a
答案：D
2．化简416x 8y 4
(x <0，y <0)得( )
A ．2x 2
y B ．2xy C ．4x 2
y D ．－2x 2
y 解析：选D 因为x <0，y <0，
所以4
16x 8y 4＝(16x 8·y 4
)14＝(16)14
·(x 8
)14
·(y 4
)14
＝2x 2|y |＝－2x 2
y . 3．设x ＋x －1
＝3，则x 2
＋x －2
的值为( ) A ．9 B ．7 C ．5 D ．3
解析：选B ∵x ＋x －1
＝3，∴(x ＋x －1)2
＝9，即x 2
＋x －2
＋2＝9，∴x 2
＋x －2
＝7. (三)填一填
4．lg 2＋lg 50的值是________． 解析：lg 2＋lg 50＝lg 100＝1. 答案：1 5．4
2log 3
＝________. 解析：4
2log 3
＝2
22log 3
＝2
2log 9
＝9.
答案：9
考点一 指数幂的化简与求值 [典例] 化简下列各式：
(1)? ????2 350＋2－2·? ??
??2 14-1
2－(0.01)0.5； (2)56
a 1
3·b －2·????－3a -12b －1÷(4a 2
3·b －3)1
2. [解] (1)原式＝1＋14×? ????4912－? ??
??11001
2＝1＋14×23－110＝1＋16－110＝1615.
(2)原式＝－52a -1
6b －3÷(4a 2
3·b －3
)1
2＝－54a -1
6b －3÷(a 1
3b -3
2)＝－54
a -1
2·b -3
2＝－
54·1ab 3
＝ －5ab 4ab 2.
[解题技法] 指数幂运算的一般原则
(1)有括号的先算括号里面的，没有括号的先做指数运算． (2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．
(3)底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数．
(4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答．
(5)运算结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数．
[题组训练]
1．若实数a >0，则下列等式成立的是( ) A ．(－2)－2
＝4
B ．2a －3
＝
12a
3 C ．(－2)0
＝－1
D ．(a
-1
4
)4
＝1a
解析：选D 对于A ，(－2)－2＝14，故A 错误；对于B ，2a －3
＝2a 3，故B 错误；对于C ，(－
2)0
＝1，故C 错误；对于D ，(a
-
14
)4
＝1a
，故D 正确．
2．化简4a 2
3
·b -13
÷? ??
??－23a -13b 2
3的结果为( ) A ．－2a 3b
B ．－8a
b
C ．－6a b
D ．－6ab
解析：选C 原式＝－6a ??-- ???
2133b
--1233
＝－6ab －1
＝－6a b
.
3．计算：－? ????32－2＋? ??
??－278-
23＋(0.002)-
1
2＝________.
解析：原式＝－? ????232＋??????? ????－323-23＋? ??
??1500-
1
2
＝－49＋4
9＋105＝10 5.
答案：10 5
考点二 对数式的化简与求值 [典例] 计算下列各式：
(1)lg 2＋lg 5－lg 8lg 50－lg 40；(2)log 23·log 38＋(3)log 34.
[解] (1)原式＝lg 2×58lg 5040＝lg
54
lg 54
＝1.
(2)原式＝lg 3lg 2·3lg 2lg 3
＋3log 431
2
＝3＋3log 32＝3＋2＝5.
[解题技法] 对数运算的一般思路
1．(log 29)·(log 34)＝( ) A ．1
4 B ．12
C ．2
D ．4
解析：选D 法一：原式＝
lg 9lg 2·lg 4lg 3＝2lg 3·2lg 2
lg 2·lg 3
＝4. 法二：原式＝2log 23·log 24
log 23
＝2×2＝4.
2．计算：? ??
??lg 14－lg 25÷100-1
2＝________.
解析：原式＝lg ? ??
??14×125×1001
2＝lg 10－2
×10＝－2×10＝－20.
答案：－20
3．(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝log 2(x 2
＋a )．若f (3)＝1，则a ＝________. 解析：∵f (x )＝log 2(x 2
＋a )且f (3)＝1， ∴1＝log 2(9＋a )， ∴9＋a ＝2，∴a ＝－7. 答案：－7
4．计算：log 5[421
log 102
－(33)23
－7
7log 2
]＝________.
解析：原式＝log 5[22log 10
－(332
)23
－2]＝log 5(10－3－2)＝log 55＝1.
答案：1
[课时跟踪检测]
1．设1x
＝log 23，则3x －3－x
的值为( )
A.8
3 B.32
C.52
D.73
解析：选B 由1x ＝log 23，得3x ＝2，∴3x －3－x
＝2－12＝32
.
2．化简????2a 23
b 12(－6a 12
b 13
)÷????－3a 16b 56的结果为( )
A ．－4a
B ．4a
C ．11a
D ．4ab
解析：选B 原式＝[2×(－6)÷(－3)]a +-211326
b
+-115236
＝4ab 0
＝4a .
3．(log 29)(log 32)＋log a 54＋log a ? ????45a (a >0，且a ≠1)的值为( ) A ．2 B ．3 C ．4
D ．5
解析：选B 原式＝(2log 23)(log 32)＋log a ? ??
??54×45a ＝2×1＋log a a ＝3.
4．设a >0，将
a 2a ·3
a 2
表示成分数指数幂的形式，其结果是( )
A ．a 12
B ．a 56
C ．a 76
D ．a 32
解析：选C
a 2a ·3
a 2
＝
a 2a ·a
23
＝
a 2a
53
＝
a 2a
56
＝a
52-
6
＝a 76
.
5．如果2log a (P －2Q)＝log a P ＋log a Q(a >0，且a ≠1)，那么P Q
的值为( )
A.14 B ．4 C ．1
D ．4或1
解析：选B 由2log a (P －2Q)＝log a P ＋log a Q ，得log a (P －2Q)2
＝log a (P Q)．由对数运算性质得(P －2Q)2
＝P Q ，即P 2
－5P Q ＋4Q 2
＝0，所以P ＝Q(舍去)或P ＝4Q ，解得P
Q
＝4.
6．若lg 2，lg(2x
＋1)，lg(2x
＋5)成等差数列，则x 的值等于( ) A ．1 B ．0或1
8
C.18
D ．log 23
解析：选D 由题意知lg2＋lg(2x
＋5)＝2lg(2x
＋1)，由对数的运算性质得2(2x
＋5)＝(2x
＋1)2
，即(2x )2－9＝0,2x
＝3，x ＝log 23.
7．已知函数f (x )＝????
?
log 2x ，x >0，3－x
＋1，x ≤0，
则f (f (1))＋f ?
????log 3 12的值是( )
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
解析：选D ∵log 3 12<0，由题意得f (f (1))＋f ? ??
??log 3 12＝f (log 21)＋331
-log 2
＋1＝f (0)
＋3
3log 2
＋1＝30
＋1＋2＋1＝5.
8．设2a ＝5b
＝m ，且1a ＋1b
＝2，则m 等于( )
A.10 B ．10 C ．20
D ．100
解析：选A 由2a
＝5b
＝m 得a ＝log 2m ，b ＝log 5m ， 所以1a ＋1
b ＝log m 2＋log m 5＝log m 10.
因为1a ＋1
b
＝2，所以log m 10＝2. 所以m 2
＝10，所以m ＝10.
9．已知4a
＝2，lg x ＝a ，则x ＝________. 解析：由4a
＝2，得a ＝12，又因为lg x ＝a ＝12，
所以x ＝101
2
＝10.
答案：10 10．计算：9591
log 2
-＝________.
解析：9
591
log 2
-＝912
×9
5
9log -＝3×15＝35
.
答案：35
11．化简：
a 23
·b
－1
-
12
·a
-
12
·b
13
6
a ·
b 5
＝________.
解析：原式＝
a -13
·b 12
·a -12
·b
13
a 16·b
56
＝a
---111326
·b
+-115236
＝1a
.
答案：1a
12．已知指数函数y ＝f (x )，对数函数y ＝g (x )和幂函数y ＝h (x )的图象都过点P ? ??
??12，2，如果f (x 1)＝g (x 2)＝h (x 3)＝4，那么x 1＋x 2＋x 3＝________.
解析：令f (x )＝a x
(a >0,且a ≠1)，g (x )＝log b x(b>0,且b ≠1)，h (x )＝x c
，则f ? ??
??12＝a 1
2＝2，g ? ????12＝log b 12＝－log b 2＝2，h ? ????12＝? ????12c
＝2，∴a ＝4，b ＝22，c ＝－1，∴f (x 1)＝4x 1
＝4?x 1＝1，同理，x 2＝14，x 3＝14.∴x 1＋x 2＋x 3＝3
2
.
答案：3
2
13．化简下列各式：
(1)? ????2790.5＋0.1－2＋? ??
??210272
-3－3π0＋3748；
(2)
3a 7
2
·a －3
÷
3
a －3·a －1；
(3)lg 3＋25lg 9＋3
5
lg 27－lg 3
lg 81－lg 27
.
解：(1)原式＝? ??
??2591
2＋10.12＋? ????6427-2
3－3＋3748＝53＋100＋916－3＋3748＝100. (2)原式＝
3
a 72
·a 3-2÷
3a
-
32
·a
-
12
＝
3a 72
÷
3
a
-
12
＝a 76
÷a
-
16
＝a 86＝a 43
.
(3)法一：原式＝lg 3＋45lg 3＋910lg 3－12lg 34lg 3－3lg 3＝? ??
??1＋45＋910－12lg 34－3lg 3＝115.
法二：原式＝
lg
3×925
×27
?1325
×3
-
12
lg 8127
＝
lg 311
5
lg 3＝11
5
.
(通用版)202x高考数学一轮复习 2.8 指数式、对数式的运算讲义 文
第八节指数式、对数式的运算 一、基础知识批注——理解深一点 1.指数与指数运算 (1)根式的性质 ①(n a)n＝a(a使 n a有意义)．―→ 负数没有偶次方根. ②当n是奇数时，n a n＝a； 当n是偶数时，n a n＝|a|＝ ? ? ?a，a≥0， －a，a<0. (2)分数指数幂的意义 分数指数幂的意义是解决根式与分数指数幂互化问题的关键． ①a m n＝ n a m(a>0，m，n∈N*，且n>1)． ②a-m n＝ 1 a m n ＝ n a m (a>0，m，n∈N*，且n>1)． ③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义． (3)有理数指数幂的运算性质 ①a r·a s＝a r＋s(a>0，r，s∈Q)； ②a r a s＝a r－s(a>0，r，s∈Q)； ③(a r)s＝a rs(a>0，r，s∈Q)； ④(ab)r＝a r b r(a>0，b>0，r∈Q)． (1)有理数指数幂的运算性质中，要求指数的底数都大于0，否则不能用性质来运算． (2)有理数指数幂的运算性质也适用于无理数指数幂． 2．对数的概念及运算性质
一般地，如果a(a>0，且a≠1)的b次幂等于N，就是a b＝N，那么，数b就叫做以a 为底N的对数，记作：log a N＝b.
指数、对数之间的关系
(1)对数的性质 ①负数和零没有对数； ②1的对数是零； ③底数的对数等于1. (2)对数的运算性质 如果a >0，且a ≠1，M >0，N >0，那么 ①log a (MN )＝log a M ＋log a N ； ②log a M N ＝log a M －log a N ； ③log a (N n )＝n log a N (n ∈R)． 二、常用结论汇总——规律多一点 1．换底公式的变形 (1)log a b ·log b a ＝1，即log a b ＝ 1 log b a (a ，b 均大于0且不等于1)； (2)log am b n ＝n m log a b (a ，b 均大于0且不等于1，m ≠0，n ∈R)； (3)log N M ＝log a M log a N ＝log b M log b N (a ，b ，N 均大于0且不等于1，M >0)． 2．换底公式的推广 log a b ·log b c ·log c d ＝log a d (a ，b ，c 均大于0且不等于1，d >0)． 3．对数恒等式 a log a N ＝N (a >0且a ≠1，N >0)． 三、基础小题强化——功底牢一点 一判一判对的打“√”，错的打“×” (1)4 π－4 4 ＝π－4.( ) (2)n a n 与(n a )n 都等于a (n ∈N *)．( ) (3)log 2x 2＝2log 2x .( ) (4)若MN >0，则log a (MN )＝log a M ＋log a N .( )
100道指数和对数运算
指数和对数运算 一、选择题 1.log ( )． A ．－12 D ．12 2.已知 3log 2 a =，那么 33log 82log 6 -用a 表示是（ ） A ．52a - B ．2a - C ．2 3(1)a a -+ D ． 2 31a a -- 3.1 2lg 2lg 25 -的值为 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 4.已知4213 5 3 2,4,25a b c ===，则( ) A. c a b << B. a b c << C.b a c << D. b c a << 5.设3 .02.03.03.0,3.0,2.0===z y x ，则z y x ,,的大小关系为( ) A.x z y << B. y x z << C. y z x << D. z y x << 6.设0.2 1.6 0.2 2,2,0.4a b c ===，则,,a b c 的大小关系是（） A c a b <<． B ．c b a << C ．a b c << D ．b a c << 二、填空题 7.7 33log 8lg 125lg ++= . 8.2 log 510＋log 50.25＝_________. 9.22log 12log 3-= ． 10.若lg2 = a ，lg3 = b ，则lg 54=_____________． 11.若2log 31x =，则3x 的值为 。 12.化简2 log 2 lg5lg2lg2+-的结果为__________. 13.计算=÷--21 100)25lg 41 (lg _______． 三、解答题 14.(本小题满分12分)计算 （Ⅰ）2 221 log log 6log 282 -； （Ⅱ）213 4 270.00818-?? -+ ? ?? 15. lg(x 2 +1)－2lg(x+3)+lg2=0
第4讲 对数概念及其运算 [讲义]
432211log (4443)x x x x x =++++例．当时，求的值． 912162()q p q R log p log q log p q p +∈==+=例．设，且有，则． 23()(2)(1)2()2f x x lga x lgb f f x x x R a b =+++-=-≥∈+=例．已知，且，又对一切都成立，则． 124()(2)()(01)()2(18)x f x f x f x x f x f log +=-∈=例．已知奇函数满足，且当，时，，则的值为 ． 21234541515()lgx lgx lgx lgx lgx lgx lgx lgx x
111211(2)[()(]4 lg log --+．化简： ． 7．已知函数()( )1(4)21(4)x x f x f x x ???≥? ?=????+，1y >，且2log 2log 30x y y x -+=，求224T x y =-的最小值。
新教材高中数学第四章指数函数与对数函数4.3.2对数的运算讲义新人教A版必修第一册
新教材高中数学第四章指数函数与对数函数4.3.2对数的运算 讲义新人教A 版必修第一册 4.3.2 对数的运算 知识点一 对数的运算性质 若a ＞0，且a ≠1，M ＞0，N ＞0，那么： (1)log a (M ·N )＝log a M ＋log a N ， (2)log a M N ＝log a M －log a N ， (3)log a M n ＝n log a M (n ∈R )． 状元随笔 对数的这三条运算性质，都要注意只有当式子中所有的对数都有意义时，等式才成立 . 例如，log 2[(－3)·(－5)]＝log 2(－3)＋log 2(－5)是错误的． 知识点二 对数换底公式 log a b ＝log c b log c a (a ＞0，a ≠1，c ＞0，c ≠1，b ＞0)． 特别地：log a b ·log b a ＝1(a ＞0，a ≠1，b ＞0，b ≠1)． 状元随笔 对数换底公式常见的两种变形 (1)log a b·log b a ＝1，即1 log a b ＝log b a ，此公式表示真数与底数互换，所得的对数值与 原对数值互为倒数 . (2)log N n M m ＝m n log N M ，此公式表示底数变为原来的n 次方，真数变为原来的m 次方，所 得的对数值等于原来对数值的m n 倍． [教材解难] 换底公式的推导 设x ＝log a b ，化为指数式为a x ＝b ，两边取以c 为底的对数，得log c a x ＝log c b ，即x log c a ＝log c b . 所以x ＝log c b log c a ，即log a b ＝log c b log c a .
对数运算、对数函数经典例题讲义全
1．对数的概念 如果a x ＝N (a >0，且a ≠1)，那么数x 叫做__________________，记作____________，其中a 叫做__________，N 叫做______． 2．常用对数与自然对数 通常将以10为底的对数叫做____________，以e 为底的对数叫做____________，log 10N 可简记为______，log e N 简记为________． 3．对数与指数的关系 若a >0，且a ≠1，则a x ＝N ?log a N ＝____. 对数恒等式：a log a N ＝____；log a a x ＝____(a >0，且a ≠1)． 4．对数的性质 (1)1的对数为____； (2)底的对数为____； (3)零和负数__________． 1．有下列说法： ①零和负数没有对数； ②任何一个指数式都可以化成对数式； ③以10为底的对数叫做常用对数； ④以e 为底的对数叫做自然对数． 其中正确命题的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 2．有以下四个结论：①lg(lg 10)＝0；②ln(ln e)＝0；③若10＝lg x ，则x ＝100；④若e ＝ln x ，则x ＝e 2 .其中正确的是( ) A ．①③ B ．②④ C ．①② D ．③④ 3．在b ＝log (a －2)(5－a )中，实数a 的取值范围是( ) A ．a >5或a <2 B ．2 1、用根式的形式表示下列各式)0(>a （1）51a = （2）34 a = （3）35 a - = （4）32 a - = 2、用分数指数幂的形式表示下列各式： （1）3 4 y x = （2）)0(2>=m m m （3 = （4 = ； （5）a a a = ； 3、求下列各式的值 （1）2 38= ；（2）12 100- = ； （3）31()4-= ；（4）3 416()81 - = （5）12 2 [(]- = （6）(12 2 1??-???? = （7）=3 264 4.化简 （1）=??12 74331a a a （2）=÷?654323 a a a （3）=÷-?a a a 9)(34 323 （4）322 a a a ?= （5）3 1 63)278(--b a = （7）()0,053542 15 65 8≠≠÷???? ? ? ?- -b a b a b a = 5.计算 （1） 43 512525÷ - (2) （3）21 0319)41 ()2(4)21(----+-?- ()5.02 1 20 01.04122432-?? ? ???+??? ??-- （5）48 37 3271021.097203 225 .0+ -? ? ? ??++? ?? ??- -π （6）241 30.75 3323(3)0.04[(2)]168 ----++-+ （7）( ) 3 263 425.00 3 1323228765 .1?? ? ??--?+?+?? ? ??-?- 6.解下列方程 （1）13 1 8 x - = （2）151243 =-x （3）1321(0.5)4x x --= 7.(1).已知112 2 3a a -+=，求下列各式的值（1）1a a -+= ；（2）22 a a -+= （2）.若1 3a a -+=，求下列各式的值：（1）112 2 a a - += ； （2）22 a a -+= ； (3).使式子34 (12) x --有意义的x 的取值范围是 _. (4).若32a =，1 35b -=,则323 a b -的值= . 考点8：指数、对数的运算【思维导图】 【常见考法】 考法一：指数运算 1．化简2531433(2)(3)(4)a b a b a b -----?-÷(,0)a b >= 。 2．计算： （6 +43- （0.2508)= . 3．计算：( ) (123121034310.02762563π4---??-++-+ ???= 。 4．已知 1122x x -+＝3，求3322 2223x x x x --++++的值为 ． 6.已知0a >，23x a =，求33x x x x a a a a --++的值为 。． 7．程4220x x --=的解为______. 考法二：对数的运算 1. = 。 2．计算4839(log 3log 3)(2log 2)log +?+= ______________ 3.计算3log 225334log 3log 25log 36log 4lg5lg 3log 9+-- ++= 。 4.计算2（lg 2）2+lg 2?lg5()2lg 2lg 21+ -+= 。 5． ()2lg 3lg 91lg 27lg8lg 1000lg 0.3lg1.2-++-=?______. 6．已知()732log log log 0x =????，那么x 等于______. 7．已知lg6a =，lg15b =，试用a 、b 表示lg 48=________． 8．方程()()22log 972log 31x x +=++的解为______. 考法三：指数、对数的综合运算 1．计算：51log 523712125 5log 7log 9log 6log 2-?-?++=______． 2．计算： __________． 指数函数及对数函数重难点 根式的概念： ①定义：若一个数的n 次方等于),1(* ∈>N n n a 且，则这个数称a 的n 次方根.即，若 a x n =，则x 称a 的n 次方根)1*∈>N n n 且， 1）当n 为奇数时，n a 的次方根记作n a ； 2）当n 为偶数时，负数a 没有n 次方根，而正数a 有两个n 次方根且互为相反数，记作 )0(>±a a n . ②性质：1）a a n n =)(； 2）当n 为奇数时，a a n n =； 3）当n 为偶数时，???<-≥==) 0() 0(||a a a a a a n 幂的有关概念： ①规定：1）∈???=n a a a a n ( N * ， 2）)0(10 ≠=a a ， n 个 3）∈=-p a a p p (1 Q ，4）m a a a n m n m ,0(>=、∈n N * 且)1>n ②性质：1）r a a a a s r s r ,0(>=?+、∈s Q ）， 2）r a a a s r s r ,0()(>=?、∈s Q ）， 3）∈>>?=?r b a b a b a r r r ,0,0()( Q ） （注）上述性质对r 、∈s R 均适用. 例 求值 （1） 3 28 （2）2 125 - （3）()5 21- （4）() 43 8116- 例.用分数指数幂表示下列分式(其中各式字母均为正数) (1)43a a ? （２）a a a （３）32 )(b a - （４）43 )(b a + （５）32 2b a ab + （6）42 33 )(b a + 例.化简求值 （1）0 121 32322510002.08 27）（）（）（）（-+--+---- （2）2 11 5 3125.05 25 .231 1.0)32(256) 027.0(?? ????+-+-????? ?-- （3）=?÷ ?--3133 73 32 9a a a a （4）21 1511336622263a b a b a b ??????-÷- ??? ??????? = （5）6323 1.512??= 指数函数的定义： ①定义：函数)1,0(≠>=a a a y x 且称指数函数， 1）函数的定义域为R ， 2）函数的值域为),0(+∞， 3）当10<a 时函数为增函数. 提问：在下列的关系式中，哪些不是指数函数，为什么？ （1）2 2 x y += （2）(2)x y =- （3）2x y =- （4）x y π= （5）2y x = （6）2 4y x = （7）x y x = （8）(1)x y a =- （a ＞1，且2a ≠） 例：比较下列各题中的个值的大小 （1）1.72.5 与 1.7 3 ( 2 )0.1 0.8 -与0.2 0.8 - ( 3 ) 1.70.3 与 0.93.1 例：已知指数函数()x f x a =（a ＞0且a ≠1）的图象过点（3，π），求 (0),(1),(3)f f f -的值. 思考：已知0.7 0.9 0.8 0.8,0.8, 1.2,a b c ===按大小顺序排列,,a b c . 例 如图为指数函数x x x x d y c y b y a y ====)4(,)3(,)2(,)1(，则 d c b a ,,,与1的大小关系为 O x y a d c b 1．对数的概念 如果a x ＝N (a >0，且a ≠1)，那么数x 叫做__________________，记作____________，其中a 叫做__________，N 叫做______． 2．常用对数与自然对数 通常将以10为底的对数叫做____________，以e 为底的对数叫做____________，log 10N 可简记为______，log e N 简记为________． 3．对数与指数的关系 若a >0，且a ≠1，则a x ＝N ?log a N ＝____. 对数恒等式：a log a N ＝____；log a a x ＝____(a >0，且a ≠1)． 4．对数的性质 (1)1的对数为____； (2)底的对数为____； (3)零和负数__________． 1．有下列说法： ①零和负数没有对数； ②任何一个指数式都可以化成对数式； ③以10为底的对数叫做常用对数； ④以e 为底的对数叫做自然对数． 其中正确命题的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 2．有以下四个结论：①lg(lg 10)＝0；②ln(ln e)＝0；③若10＝lg x ，则x ＝100；④若e ＝ln x ，则x ＝e 2.其中正确的是( ) A ．①③ B ．②④ C ．①② D ．③④ 3．在b ＝log (a －2)(5－a )中，实数a 的取值围是( ) A ．a >5或a <2 B ．2 对数与对数函数 【高考要求】 1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化为自然对数或常用对数，了解对数在简化运算中的作用. 2.理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性与函数图象通过的特殊点，知道指数函数y ＝a x 与对数函数y ＝log a x 互为反函数(a>0，a ≠1)，体会对数函数是一类重要的函数模型． 【知识梳理】 1.对数的概念 (1)对数的定义 如果a x ＝N (a >0且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作___ x ＝log a N ___，其中__ a __叫做对数的底数，__ N __叫做真数.真数N 为正数（负数和零无对数）． 说明：①实质上，上述对数表达式，不过是指数函数x a y =的另一种表达形式，例如：8134=与 81log 43= 这两个式子表达是同一关系，因此，有关系式.log N x N a a x =?= ②“log ”同“+”“×” “ ”等符号一样，表示一种运算，即已知一个数和它的幂求指数的运算，这 种运算叫对数运算，不过对数运算的符号写在数的前面。 ③对数的底数和真数 从对数的实质看：如果a b ＝N (a >0且a ≠1)，那么b 叫做以a 为底N 的对数，即b ＝log a N .它是知道底数和幂求指数的过程.底数a 从定义中已知其大于0且不等于1；N 在对数式中叫真数，在指数式中，它就是幂，所以它自然应该是大于0的. (2)几种常见对数 2．对数的性质与运算法则 （1）．对数基本性质：log 10a =，log 1a a =，log a N a N =---对数恒等式 （2）．对数运算性质：若0,1,0,0a a M N >≠>>且，则： ①log ()log log a a a MN M N =+ ②log log log a a a M M N N =- ③log log ()n a a M n M n R =∈ （3）．换底公式：log log (0,1;0,1;0)log c a c b b a a c c b a = >≠>≠> 推论：①log log (,,0)m n a a n M M m n R m m = ∈≠ ②1log log a b b a = 点评：（1）要熟练掌握公式的运用和逆用。 （2）在使用公式的过程中，要注意公式成立的条件。 例如：真数为两负数的积，).5(log ).3(log 22--不能写成).5(log ).3(log 22--=).5(log )3(log 22-+- 第十讲 对数的基本概念及运算 一：问题思考 问题1：一尺之棰，日取其半，万世不竭。 （1）取5次，还有多长？ （2）取多少次，还有0.125尺? (1)为同学们熟悉的指数函数的模型,易得 (2)可设取x 次,则有 二:新知引入 1. 对数的概念：一般地，如果，那么数叫做以为底的对 数，记作： ，其中叫做对数的底数， 叫做真数。 注意：①是否是所有的实数都有对数呢？ 负数和零没有对数 ②底数的限制:a>0且a ≠1。 思考：为什么对数的定义中要求底数a>0且a ≠1？ 对数的书写格式 2、对数式与指数式的互化 N x N a a x log =?= 幂底数 ← a → 对数底数 指数（指数函数的自变量） ← b → 对数 幂（指数函数的函数值） ← N → 真数 3、对数的形式 ①常用对数：以10为底的对数 ,简记为: lgN ②自然对数：以无理数e=2.71828…为底的对数的对数 简记为: lnN . (在科学技术中,常常使用以e 为底的对数) ③一般对数：（含有常用对数和自然对数） 注意：对数的书写 课堂练习 1 将下列指数式写成对数式： （1） （2） （3） （4） 2 将下列对数式写成指数式： （1） （2） （3） 3 求下列各式的值： （1） （2） 2. 对数运算 （1） 基本性质 ①0和负数没有对数，即N>0 ②1的对数是0，即01log =a ③底数的对数等于1，即1log =a a ④对数恒等式：N a N a =log （2） 运算法则 如果,0,0,0,0>>≠>N M a a 则 1）N M MN a a a log log )(log +=； 2）N M N M a a a log log log -=； 3 ） ∈=n M n M a n a (log log R ）。（例题 p111，例 4 ，计 2016-2017学年度???学校9月月考卷 1．计算：________． 2．已知666log log log 6a b c ++=，其中*,,a b c N ∈，若,,a b c 是递增的等比数列，又b a -为一完全平方数，则a b c ++=___________. 3．已知3log 21x =,则42x x -=________. 4．lg83lg5+的值是 ． 5．lg0.01＋log 216＝_____________. 6= ． 7．已知,53m b a ==且，则m 的值为 . 8．已知y x y x y x lg lg 2lg )2lg()lg(++=++-，则 9，0a b c <<<，0)()()( 参考答案 1．1 【解析】＝lg10＝1. 2．111 【解析】 试题分析：66666log log log log 6,6a b c abc abc ++===， 2b ac =，所以366,36b b ==.46ac =，因为b a -为一完全平方数，所以27,48,111a c a b c ==++=. 考点：1.对数运算；2.数列. 【思路点晴】本题涉及很多知识点，一个是对数加法运算，用的是公式 log log log a a a b c bc +=.然后,,a b c 是递增的等比数列，可得2b ac =，接下来因为b a -为一完全平方数，比36小的完全平方数只有25,16,9，故可以猜想27a =，通过计算可得27,48,111a c a b c ==++=.有关几个知识点结合起来的题目，只需要对每个知识点逐个击破即可. 3．6 【解析】 试题分析：由条件可知2log 3x =，故222log 3log 34222936x x -=-=-=. 考点：对数运算的基本性质. 4．3 【解析】 试题分析：3lg83lg5lg8lg5lg10003+=+==。 考点：对数运算法则的应用。 5．2 【解析】lg0.01＋log 216＝－2＋4＝2 考点：本题考查对数的概念、对数运算的基础知识，考查基本运算能力. 6【解析】 考点：指数和对数的运算法则。 7【解析】略 8．2 【解析】略 指数运算和指数函数 要求层次重点难点幂的运算 C ①根式的概念 ②有理指数幂 ③实数指数幂 ④幂的运算 ①分数指数幂的概 念和运算性质 ②无理指数幂的理 解 ③实数指数幂的意 义 指数函数的概念 B 在理解实数指数幂 的意义的前提下理 解指数函数 在理解实数指数幂 的意义的前提下理 解指数函数 指数函数的图象和 性质 C ①对于底数1 a>与 01 a <<时指数函 数的不同性质 ②掌握指数函数的 图象和运算性质 ①对于底数1 a>与 01 a <<时指数函 数的不同性质 ②掌握指数函数的 图象和运算性质 ③掌握指数函数作 为初等函数与二次 函数、对数函数结 合的综合应用问题 板块一：指数,指数幂的运算 （一）知识内容 1．整数指数 ⑴正整数指数幂：n a a a a =???，是n个a连乘的缩写（N n + ∈），n a叫做a的n次幂，a叫做幂的底数，n叫做幂的指数，这样的幂叫做正整数指数幂． ⑵整数指数幂：规定：01(0) a a =≠， 1 (0,) n n a a n a - + =≠∈N． 高考要求 第4讲 指数运算与指数函数 知识精讲 2．分数指数 ⑴ n 次方根：如果存在实数x ，使得n x a =(R,1,N )a n n +∈>∈，那么x 叫做a 的n 次方根． ⑵ 求a 的n 次方根，叫做a 开n 次方，称做开方运算． ① 当n 是奇数时，正数的n 次方根是一个正数，负数的n 次方根是一个负数．这时， a 的n 表示． ② 当n 是偶数时，正数的n 次方根有两个，它们互为相反数．正数a 的正、负n 0)a >． ⑶正数a 的正n 次方根叫做a 的n 次算术根． 负数没有偶次方根．0的任何次方根都是0 0． n 叫做根指数，a 3．根式恒等式： n a =；当n a =；当n ||a a a ?=?-? 0a a <≥． 4．分数指数幂的运算法则 ⑴正分数指数幂可定义为：1(0)n a a > 0,,,)m m n m a a n m n +==>∈N 且 为既约分数 ⑵负分数指数幂可定义为：1(0,,,)m n m n m a a n m n a - += >∈N 且 为既约分数 5．整数指数幂推广到有理指数幂的运算性质： ⑴(0,,Q)r s r s a a a a r s +=>∈ ⑵()(0,,Q)r s rs a a a r s =>∈ ⑶()(0,0,Q)r r r ab a b a b r =>>∈ 6．n 次方根的定义及性质：n 为奇数时 a =，n 为偶数时 a =． 7． m n a = m n a - =（0a >，,*m n N ∈，且1n >） 零的正分数指数幂为0，0的负分数指数幂没有意义． 8．指数的运算性质：r s r s a a a +=，()r r r ab a b =（其中,0a b >，,r s ∈R ） 9．无理数指数幂 ⑴ 无理指数幂(0,a a αα>是无理数）是一个确定的实数． ⑵ 有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂． 10．一般地，当0a >，α为任意实数值时，实数指数幂a α都有意义． 对任意实数α，β，上述有理指数幂的运算法则仍然成立． 对数运算、对数函数经典例题讲义 1．对数的概念 如果a x＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做__________________，记作____________，其中a 叫做__________，N叫做______． 2．常用对数与自然对数 通常将以10为底的对数叫做____________，以e 为底的对数叫做____________，log10N可简记为______，log e N简记为________． 3．对数与指数的关系 若a>0，且a≠1，则a x＝N?log a N＝____. 对数恒等式：a log a N＝____；log a a x＝____(a>0，且a≠1)． 4．对数的性质 (1)1的对数为____； (2)底的对数为____； (3)零和负数__________． 1．有下列说法： ①零和负数没有对数； ②任何一个指数式都可以化成对数式； ③以10为底的对数叫做常用对数； ④以e为底的对数叫做自然对数． 其中正确命题的个数为() A．1 B．2 C．3 D．4指数与对数运算练习题
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