20042004年高考模拟试题
. . . .
. . .
2004年高考模拟试题
数 学(二)
命题人: 新疆奎屯市一中
王新敞
本卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题共60分）
参考公式：
如果事件A 、B 互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B) 如果事件A 、B 相互独立，那么P(A B )=P(A) P(B)
如果事件A 在一次试验中发生的概率为p ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概
率：()(1)
k k n k n n P k C p p -=-. 球体的体积公式：33
4R V π=球 (其中R 表示球的半径).
一.选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合要求的) 1．条件21:>+x p ，条件131
:>-x
q ，则p ?是q ?的 （ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分又不必要条件
2．设2
:x x f →是集合A 到集合B 的映射，如果B={1，2}，则A ∩B 一定是 （ ）
A ．φ
B ．φ或{1}
C ．{1}
D ．φ或{2}
3．过点A （－1，2）作直线，若直线在两条坐标轴上的截距相等，则满足条件的直线有( )
A ．1条
B ．2条
C ．3条
D ．4条
4．12
+12
π
π
cos
log sin log 22的值为
（ ）
A ．4
B ．－4
C ．2
D ．－2
5．已知直线a 、b 与平面α，给出下列四个命题
①若a ∥b ，b b ?α，则a ∥α; ②若a ∥α，b ?α，则a ∥b ; ③若a ∥α，b ∥α，则a ∥b ; ④a ⊥α，b ∥α，则a ⊥b .
其中正确的命题（ ）
A ．①和②
B ．①和④
C ．③和④
D ．只有④
6.函数()tan (0)f x x ωω=>的图象的相邻两支截直线4
π
=y 所得线段长为
4π，则)4
(πf 的值是 （ ）
A ．0
B ．1
C ．－1
D ．
4
π 7．(理)已知复数2i -的辐角主值是θ,则
3
32
i +的辐角主值是（ ） A ．
2
π
θ- B ． 2πθ-
C ．32
θπ-
D ．2
π
θ+
（文）定义在R 上的函数()y f x =的值域为［a ,b ］,则(1)y f x =+的值域为（ ） A ．［a ,b ］ B ．［a +1,b +1］ C ．［a －1,b －1］ D ．无法确定 8．（理）现有一块长轴长为10分米，短轴长为8分米的椭圆形玻璃镜子，欲从此镜中划出一块面积尽可能大的矩形镜子，则可划出的矩形镜子的最大面积为 （ ）
A 、10平方分米
B 、20平方分米
C 、40平方分米
D 、41
1600
平方分米 （文）函数2
1
3+-=
x x y 的图象 （ ） A. 关于点(-2,3)对称 B. 关于点(2,-3)对称 C. 关于直线x= -2对称 D. 关于直线y= -3对称
9．若双曲线12
2=-y x 的左支上一点P （a ，b ）到直线x y =的距离为a 则,2+b 的值（ ）
A ．2
1
-
B ．
2
1 C ．－
2 D ．2
10．已知12,5||,3||=?==且，则向量a 在向量b 上的投影为（ ）
A ．
5
12 B ．3 C ．4 D ．5
11．拟定从甲地到乙地通话m 分钟的电话费由f （m ）=1.06（0.5·[m]+1）（元）决定，其
中m>0,[m]是大于或等于m 的最小整数，（如[3]=3，[3.8]=4，[3.1]=4），则从甲地到乙地通话时间为5.5分钟的电话费为 （ ）
A ． 3.71元
B ．3.97元
C ．4.24元
D ． 4.77元
12．（理）在1,22??????上，函数2()f x x px q =++与21
()2g x x x =+在同一点取得相同得最小
值，那么()f x 在1,22??????
上的最大值是
A ．
134
B ．4
C ．8
D ．
54
(文)显示屏有一排7个小孔，每个小孔可显示0或1，若每次显示其中3个孔，但相邻的两孔不能同时显示，则该显示屏能显示信号的种数共有 （ ）
A ．10
B ．48
C ．60
D ．80
2004年高考模拟试题
数 学(二)
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二.填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分。把答案填在题中横线上)
13．已知两个命题，如果A 是B 的充分条件，那么B 是A 的______条件，如果A 是B 的充 分必要条件，那么A B 是的__________条件。
14．关于x 的方程x a x x =-+-|34|2
有三个不相等的实数根，则实数a 的值是 . 15．一块用栅栏围成的长方形土地的长和宽分别为52米和24米，现欲将这块土地内部分割成一些全等的正方形试验田，要求这块土地全部被划分且分割的正方形的边与这块土地的边界平行，现另有2002米栅栏，则最多可将这块土地分割成 块。 16．设随机变量ξ的概率分布为：
则ξ的数学期望E ξ的最大值是____
三、解答题(本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或或演算步骤) 17．（本小题满分12分）
设锐角?ABC 中，22cos sin 22
=-A A . (1)求∠A 的大小；
(2)求)6
2sin(sin 22
π
++=B B y 取最大值时，∠B 的大小；
18．（本小题满分12分）
(理)同时抛掷15枚均匀的硬币一次
(1) 试求至多有1枚正面向上的概率；
(2) 试问出现正面向上为奇数枚的概率与出现正面向上为偶数枚的概率是否相等?请说明理由.
（文）已知：a 、b 、c 是同一平面内的三个向量，其中a
=（1，2）
（Ⅰ）若|c |52=，且c //a ，求c
的坐标；
（Ⅱ）若|b |=,2
5且b a 2+与2a b -
垂直，求a 与b 的夹角θ.
19．（本小题满分12分）
如图三棱锥P —ABC 中，△ABC 是正三角形，
∠PCA=90°，D 为PA 的中点，二面角P —AC —B 为120°，PC = 2，AB 32=. （Ⅰ）求证：AC ⊥BD ；
（Ⅱ）求BD 与底面ABC 所成角的正弦值.
20．（本小题满分12分）
（理）设函数()f x 是定义在［－1，0）∪（0，1］上的奇函数，当x ∈［－1，0）时，1
()2f x ax x
=+（a ∈R ).
（1）当x ∈(0，1］时，求()f x 的解析式；
（2）若a ＞－1，试判断()f x 在（0，1］上的单调性，并证明你的结论； （3）是否存在a ，使得当x ∈（0，1］时，f (x )有最大值－6.
（文）已知1,)(log ,2)(log ,)(222
≠==+-=a k a f a f k x x x f 且. （1）求,a k 之值；
（2）x 为何值时2(log )f x 有最小值，并求其最小值.
A
21． （本小题满分12分）
一列火车自A 城驶往B 城，沿途有n 个车站（包括起点站A 和终点站B ），车上有一节邮政车厢，每停靠一站便要卸下前面各站发往该站的邮袋各一个，同时又要装上该站发往后面各站的邮袋各一个，试求：
（1）列车从第k 站出发时，邮政车厢内共有邮袋数是多少个？ （2）第几站的邮袋数最多？最多是多少？
22．（本小题满分14分）
已知圆C ：22(1)1x y +-=和圆1C ：22(2)(1)1x y -+-=,现在构造一系列的圆
123,,,,,n C C C C ,使圆1+n C 同时与n C 和圆C 都相切,并都与OX 轴相切.回答： (1)求圆n C 的半径n r ;
(2)证明：两个相邻圆1-n C 和n C 在切点间的公切线长为21
n
C ;
(3)求和)1
11(lim 22322
n n C C C +++∞→ .
2004年高考模拟试题
数 学(二)
参考答案
一、选择题(每小题5分，满分60分) 1．A .由 条件21:>+x p ，条件131
:>-x
q ，则p ?：31x -≤≤，q ?：23x x ≤>或，从而仅有p ? ?q ? .
2．B . 由2
:x x f →是集合A 到集合B 的映射，如果B{1，2}，则A={
1,1,-或
A={1,1,-或A={-或A={1,或A={
1,-或A={或
A={1,或
A={-或
A={1,-，所以A ∩B ＝φ或{1}
3．B . 过点A （－1，2）作直线在两条坐标轴上的截距相等，如图：
4．D. 12+12π
π
cos
log sin
log 22=2log (sin
cos
)π
π
1212
=21log (sin )6π2=21
log 24
=-
5．D.①错，由a ∥b ，b ?α，没有条件a ? α，就不能保证a ∥α成立; ②错，由a
∥α，b ?α
，推不出a ∥b ;③错，由a ∥α，b ∥α，推不出a ∥b;④正确 6．A . 由函数)0(tan )(>=w wx
x f 的图象的相邻两支截直线4
π
=y 所得线段长为
4
π， 可得周期T=
4π,从而有4w =则)4
(π
f ＝tan 0π= 7．（理）C .如图，复数2i -与
332i +对应的向量垂直，所以3
32
i +的辐角主值是32
θπ-。
（文）A .当函数的图像左右平移时，不改变函数的值域。 8．(理)C ．如图可设A 的坐标为(5cos ,4sin )θθ， 则有10cos 8sin ABCD S θθ= ＝40sin 2θ40≤（平方分米）
（文）Ａ. 213+-=x x y ＝3－7(2)
x --
9．A ．由双曲线12
2=-y x 的左支上一点P （a ，b ）到直线（渐近线）x y =的距离为
?221
a b ?-==0a b -
10．A ．由12,5||,3||=?==b a b a 且得：4
cos 5
a b a b θ== ，则向量a 在向量b 上的投影
为123cos 5
θ=
。
11．C ．由f （m ）=1.06（0.5·[m]+1）（元）得：
f （5.5）=1.06（0.5·[5.5]+1）=1.06（0.5?6+1）=4.24（元） 12．（理）B. 可知21()2
g x x x
=+
在x=1时有最小值3，从而函数2
()f x x px q =++在x=1
时有最小值3，所以p ＝－2，q ＝4，即2()24f x x x =-+。那么()f x 在1,22??????上的最大值
是(2)4f =。
（文）Ｄ.先将要显示的3个孔插入到不要显示的4个之间或两端，有3
510C =中插入方法；
然后再确定每个小孔可显示的0或1，有3
28=种显示方法。因此能显示信号的种数共有80。
二、填空题(每小题4分,满分16分) 13．必要条件,充要条件.
14．431-
-或．如图所示，要使关于x 的方程x a x x =-+-|34|2
有三个不相等的实数根，则2
()43f x x x =-+与y x a =+的图像必有三个不同的交点，所以y x a =+的图像经过
(1,0)或者y x a =+的图像与2
()43f x x x =-+的图像在[1,3]上相切。从而可得实数
3
14
a a =-=-或.
15．设长分割成x 列，宽分割成y 行，共分割成z 块，
则24(1)52(1)20025213246,x y x y x y N +?-+-≤?
?
==??
?∈?
?4319x y ≤??≤? z=x·y
当x=39，y=18时，max 3918702z x y ==?=
16．
32. 由非负性231032P P -≥?≤，E ξ＝2301123332P P P P ??
?-+?+?=≤ ???
三、解答题(本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．解：(1)∵2sin 2A-cos2A=2 ∴cos2A=-2
1 ∴A=3
π …………(6分)
(2)y=2sin 2
B+sin(2B+
6π)=1+sin(2B-6
π)
…………(10分) ∵0<2B<π3
4
∴当2B-
6π=2π即B=3
π时，max y =2
…………(12分) 18．（理）解：（1）记“抛掷1枚硬币1次出现正面向上”为事件A ，P （A ）=
2
1
，抛掷15枚硬币1次相当于作15次独立重复试验，根据几次独立重复试验中事件A 发生K 次的概率公式，记至多有一枚正面向上的概率为P 1 则P 1= P 15（0）+ P 15（1）=
150
15)21(C +15115)21(C =20481 ……………（6分）
（2）记正面向上为奇数枚的概率为P 2，则有
P 2= P 15（1）+ P 15（3）+…+ P 15（15）=
151
15)21(C +15315)21(C +…+151515)21(C
=C C 3
1511515()21(++…+C 1515)–2
12)21(1415=? ………………………（10分）
又“出现正面向上为奇数枚”的事件与“出现正面向上为偶数枚” 的事件是对立事件，记“出现正面向上为偶数枚” 的事件的概率为P 3
∴ P 3=1–21=2
1
∴相等 ………………………（12分）
（文）（Ⅰ）设20,52,52||),,(2
222=+∴=+∴==y x y x c y x c
x y y x 2,02),2,1(,//=∴=-∴= ……2分 由 22
220
y x
x y =??
+=? ∴ 24
x y =??
=? 或2
4x y =-??=-?
∴)4,2(),4,2(--==或 ……5分 （Ⅱ）0)2()2(),2()2(=-?+∴-⊥+ ……7分
0||23||2,02322
22
2
=-?+∴=-?+b b a a b b a a ……（※）
,4
5
)25(
||,5||22
2===b a 代入（※）中, 2
5
0452352-=?∴=?
-?+?∴ ……10分 ,12
5525
|
|||cos ,25||,5||-=?
-=?=∴=
=b a θ
πθπθ=∴∈],0[ ……12分
19． 解（Ⅰ）取AC 中点E ，连DE 、BE ，则DE ∥PC ，PC ⊥AC ∴DE ⊥AC ……2分 又△ABC 是正三角形 ∴BE ⊥AC ∴AC ⊥平面DEB
又BD ?平面BED
∴AC ⊥BD ……5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）中知DE ⊥AC ，BE ⊥AC
∴∠DEB 是二面角P —AC —B 的平面角 ∴∠DEB=120°
又AB=32 其中线 BE=
32
3
=AB 121==PC DE ∵AC ⊥平面BDE ，AC ?平面ABC
∴平面ABC ⊥平面BDE 且交线为BE ， ……7分 过D 作平面ABC 的垂线DF ，垂足F 必在直线BE 上 又∠DEB=120°，
∴设F 在BE 延长线上，则∠DBE 即为BD 与底面ABC 所成的角 ……9分 又△DEB 中 13120cos 2222=??-+=DE BE BE DE DB ∴BD=13 由正弦定理：
?=∠120sin 13sin DBE DE ∴26
39sin =
∠DBE
即BD 与底面ABC 所成的角的正弦值为 26
39
……12分 20．（本小题满分12分）
（理）（1）解：设x ∈(0，1］，则－x ∈［－1，0)，f (－x )=－2ax +
21
x
， ∵f (x )是奇函数.
∴f (x )=2ax －
2
1
x ，x ∈(0，1］. ……3分 （2）证明：∵f ′(x )=2a +)1
(2233x a x +=， ……5分
∵a >－1，x ∈(0，1］，31x >1，∴a +31
x
>0.
即f ′(x )>0. ……6分
∴f (x )在（0，1］上是单调递增函数. ……7分 （3）解：当a >－1时，f (x )在（0，1］上单调递增. f (x )max =f (1)=－6，?a =－
2
5
(不合题意，舍之）， ……9分 当a ≤－1时，f ′(x )=0，x =31a
-
. 如下表：f max (x )=f (31
a
-
)=－6，解出a =－22. x =
2
2
∈(0，1)
……10分
11分
∴存在a =－22，使f (x )在（0，1］上有最大值－6.
……12分
（文）（1）由题设知?????=+-=+-k
k a a k a a 22
22
2log log 2
)(log ①② ……3分 由②得2log 0a =或2log 1a = ……4分 又a ≠1，故a =2 代入①2log (2)2k -=得k =2 ……5分 ∴a =2，k =2 ……6分
（2）2log log )(log 22
22+-=x x x f ……8分
4
7
)21(log 22+-=x ……10分
当4
7
)(log ,2,21log min 22===x f x x 时即 ……12分
21．解：设列车从各站出发时邮政车厢内的邮袋数构成一个数列{}k a
（1）由题意得：
.21)3()2()1(,1)2()1(,1321---+-+-=--+-=-=n n n a n n a n a …2分
在第k 站出发时，前面放上的邮袋共：)()2()1(k n n n -++-+- 个 ………4分 而从第二站起，每站放下的邮袋共：1+2+3+…+（k －1）个 …………6分 故)]1(21[)()2()1(-+++--++-+-=k k n n n a k ),,2,1()1(2
1
)1(212n k k kn k k k k kn =-=--+-
= 即列车从第k 站出发时，邮政车厢内共有邮袋数),2,1(2n k k kn =-个………8分
（2）2
241)2(n n k a k +--=
当n 为偶数时，n k 21=时，最大值为2
41n
当n 为奇数时，)1(21)1(21+=-=n k n k 或时，最大值为)1(4
12
-n .………10分
所以，当n 为偶数时，第2n 站的邮袋数最多，最多是2
41n 个；
当n 为奇数时，第2121+-n n 或第站的邮袋数最多，最多是)1(4
12
-n 个………12分 22．（本小题满分14分）
解：(1)在直角梯形1n ODC C -中,
AC=1－n r ,n CC =1＋n r ,1n CC -=1＋1-n r ,n C 1-n C =n r ＋1-n r .1n C B -=1-n r －n r .………2分
∴有n AC =
，n BC =
1n EC -=
1n EC AB -==n n AC BC +
∴
()()()()()()2
12121212
21111------+=
--++
--+n n n n n n n n r r r r r r r r
∴11444--=+n n n n r r r r .即11--=-n n n n r r r r . ………4分 由此可得1111
=-
-n n
r r .
∴{n r 1}成等差数列, 11r =. ………6分
∴
n n r r n
=?-+=
1)1(111
,∴2
1
n r n =
. ………8分
(2)公切线长为n l =
221
(1)n
n n C ==-. ………11分
(3) 22223111
n
C C C +++ 111112(1)2()2(
)2231n n =-+-++-- ＝12(1)n -. ∴)1
11(lim 22322
n n C C C +++∞→ =2. ………14分