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转动定律

浙江科技学院

刚体定轴转动定律、转动惯量（008）条目试题

1. 选择题

题号：00812001 分值：3分难度系数等级：2

一刚体以每分钟60转绕z 轴做匀速转动(ω

沿z 轴正方向)．设某时刻刚体上一点P 的位置矢量为k j i r 5 4 3++=，其单位为“10-2 m ”，若以“10-2 m ·s -1

”为速度单位，则

该时刻P 点的速度为： (A) k j i

157.0 125.6 94.2++=v

(B) j i

8.18 1.25+-=v

8.18 1.25--=v

(D) k

4.31=v

［］

答案：（B ）

题号：00813002 分值：3分

难度系数等级：3

如图所示，A 、B 为两个相同的绕着轻绳的定滑轮．A 滑轮

挂一质量为M 的物体，B 滑轮受拉力F ，而且Mg F =．设A 、B 两滑轮的角加速度分别为βA 和βB ，不计滑轮轴的摩擦，则有

(A) βA ＝βB ． (B) βA ＞βB ． (C) βA ＜βB (D) 开始时βA ＝βB ，以后βA ＜βB .

［］

答案：（C ）

题号：00812003 分值：3分

难度系数等级：2

几个力同时作用在一个具有光滑固定转轴的刚体上，如果这几个力的矢量和为零，则此刚体

(A) 必然不会转动． (B) 转速必然不变．

答案：（D ）

题号：00812004 分值：3分

难度系数等级：2

一圆盘绕过盘心且与盘面垂直的光滑固定轴O 以角速度ω按图示方向转动.若如图所示的情况那样，将两个大小相等方向相反但不在同一条直线的力F 沿盘面同时作用到圆盘上，则圆盘的角速度ω (A) 必然增大． (B) 必然减少．

［］答案：（A ）

题号：00812005 分值：3分

难度系数等级：2

均匀细棒OA 可绕通过其一端O 而与棒垂直的水平固定光滑轴转

动，如图所示．今使棒从水平位置由静止开始自由下落，在棒摆动到

竖直位置的过程中，下述说法哪一种是正确的？ (A) 角速度从小到大，角加速度从大到小． (B) 角速度从小到大，角加速度从小到大． (C) 角速度从大到小，角加速度从大到小． (D) 角速度从大到小，角加速度从小到大．［］

答案：（A ）

题号：00812006 分值：3分

难度系数等级：2

关于刚体对轴的转动惯量，下列说法中正确的是（A ）只取决于刚体的质量,与质量的空间分布和轴的位置无关．（B ）取决于刚体的质量和质量的空间分布，与轴的位置无关．（C ）取决于刚体的质量、质量的空间分布和轴的位置．（D ）只取决于转轴的位置，与刚体的质量和质量的空间分布无关．［］

答案：（C ）

题号：00814007 分值：3分

难度系数等级：4

一轻绳跨过一具有水平光滑轴、质量为M 的定滑轮，绳的两端分别悬

有质量为m 1和m 2的物体(m 1＜m 2)，如图所示．绳与轮之间无相对滑动．若某时刻滑轮沿逆时针方向转动，则绳中的张力 (A) 处处相等． (B) 左边大于右边．

［］

答案：（C ）

题号：00813008 分值：3分

难度系数等级：3

一轻绳绕在有水平轴的定滑轮上，滑轮的转动惯量为J ，绳下端挂一物体．物体所受重力为P ，滑轮的角加速度为β．若将物体去掉而以与P 相等的力直接向下拉绳子，滑轮的角加速度β将

(A) 不变． (B) 变小．

答案：（C ）

题号：00812009 分值：3分

难度系数等级：2

两个匀质圆盘A 和B 的密度分别为A ρ和B ρ，若ρA ＞ρB ，但两圆盘的质量与厚度相同，如两盘对通过盘心垂直于盘面轴的转动惯量各为J A 和J B ，则 (A) J A ＞J B ． (B) J B ＞J A ．

答案：（B ）

题号：00811010

分值：3分

难度系数等级：1

有两个半径相同，质量相等的细圆环A 和B ．A 环的质量分布均匀，B 环的质量分布不均匀．它们对通过环心并与环面垂直的轴的转动惯量分别为J A 和J B ，则 (A) J A ＞J B ． (B) J A ＜J B ．

答案：（C ）

题号：00812011 分值：3分

难度系数等级：2

有两个力作用在一个有固定转轴的刚体上： (1) 这两个力都平行于轴作用时，它们对轴的合力矩一定是零； (2) 这两个力都垂直于轴作用时，它们对轴的合力矩可能是零； (3) 当这两个力的合力为零时，它们对轴的合力矩也一定是零；

(4)

当这两个力对轴的合力矩为零时，它们的合力也一定是零．

在上述说法中， (A) 只有(1)是正确的． (B) (1) 、(2)正确，(3) 、(4) 错误． (C) (1)、(2) 、(3) 都正确，(4)错误．

(D) (1) 、(2) 、(3) 、(4)都正确．［］

答案：（B ）

题号：00815012

分值：3分

难度系数等级：5

将细绳绕在一个具有水平光滑轴的飞轮边缘上，现在在绳端挂一质量为m 的重物，飞轮的角加速度为β．如果以拉力2mg 代替重物拉绳时，飞轮的角加速度将 (A) 小于β． (B) 大于β，小于2 β．

答案：（C ）

题号：00813013 分值：3分

难度系数等级：3

质量为m ，长为l 均匀细棒OA 可绕通过其一端O 而与棒垂直的水平固定光滑轴转动，如图所示．今使棒由静止开始从水平位置自由下落摆动到竖直位置。若棒的质量不变，长度变为l 2，则棒下落相应所需要的时间 (A) 变长． (B) 变短． (C) 不变． (D) 是否变，不确定．

［］

答案：（A ）

题号：00813014 分值：3分

难度系数等级：3

一长为l 的均匀直棒可绕过其一端且与棒垂直的水平光滑固定轴转动．抬起另一端使棒向上与水平面成60°，然后无初转速

地将棒释放，在棒下落的过程中，下述说法哪一种是正确的？

(A) 角速度从小到大，角加速度从大到小． (B) 角速度从小到大，角加速度从小到大． (C) 角速度从大到小，角加速度从大到小． O

(D) 角速度从大到小，角加速度从小到大．

［］

答案：（B ）

题号：00814015

分值：3分

难度系数等级：4

均匀细棒OA 可绕通过其一端O 而与棒垂直的水平固定光滑轴转动，如图所示．今使棒由静止开始从水平位置自由下落摆动到竖直位置。若棒的质量变为原来的两倍，长度不变，则棒下落相应所需要的时间

(A) 不变 (B) 变短． (C) 变长．． (D) 是否变，不确定．

［］

答案：（A ）

题号：00814016

分值：3分

难度系数等级：4

均匀细棒OA 可绕通过其一端O 而与棒垂直的水平固定光滑轴转

动，如图所示．今使棒由静止开始从水平位置自由下落摆动到竖直位置。若棒的质量变为原来的两倍，长度不变，则棒下落到竖直位置时的角速度

(A) 变大． (B) 变小．

［］

答案：（C ）

题号：00811017

分值：3分

难度系数等级：1

两个匀质圆盘A 和B 的半径分别为A R 和B R ，若B A R R >，但两圆盘的质量相同，如两盘对通过盘心垂直于盘面轴的转动惯量各为J A 和J B ，则 (A) J A ＞J B ． (B) J B ＞J A ．

答案：（A ）

题号：00811018 分值：3分

难度系数等级：1

有两个半径相同的细圆环A 和B ．A 环的质量为A m ，B 环的质量B m ，而B A m m <。

它们对通过环心并与环面垂直的轴的转动惯量分别为J A 和J B ，则 (A) J A ＞J B ． (B) J A ＜J B ．

答案：（B ）

题号：00811019

分值：3分

难度系数等级：1

质量相同的两根匀质棒，长度分别为A l 和B l ，B A l l <，两根棒对棒的中心的转动惯量分别为A J 和B J ，则

(A) J A ＞J B ． (B) J A ＜J B ．

答案：（）

题号：00814020 分值：3分

难度系数等级：4

将细绳绕在一个具有水平光滑轴的飞轮边缘上，现在在绳端挂一质量为m 的重物，飞轮的角加速度为β．如果重物的质量变为2mg 时，飞轮的角加速度将 (A) 小于β． (B) 大于β，小于2 β．

答案：（B ）

2．判断题

题号：00822001

分值：2分

难度系数等级：2

一均匀细直棒，可绕通过其一端的光滑固定轴在竖直平面内转动．使棒从水平位置自由下摆，棒作匀角加速转动。

答案：错

题号：00821002 分值：2分

难度系数等级：1

有两个半径相同，质量相等的细圆环A 和B ．A 环的质量分布均匀，B 环的质量分布不均匀．它们对通过环心并与环面垂直的轴的转动惯量分别为J A 和J B ，则 J A ＞J B 。

答案：错

题号：00822003 分值：2分

难度系数等级：2

质量为m 1，半径为R ，具有光滑轴的定滑轮边缘绕一细绳，绳的下端挂一质量为m 2的物体．绳的质量可以忽略，绳与定滑轮之间无相对滑动．则物体下落过程中的加速度保持不变。

答案：对

题号：00822004 分值：2分

难度系数等级：2

如图所示，一轻绳绕于半径为r 的飞轮边缘，并以质量为m 的物体挂在绳端，飞轮对过轮心且与轮面垂直的水平固定轴的转动惯量为J.若不计摩擦，飞轮的角加速度β 不断增加。

答案：错

题号：00823005 分值：2分

难度系数等级：3

一根质量为m 、长为l 的均匀细杆，可在水平桌面上绕通过其一端的竖直固定轴转动．已知细杆与桌面的滑动摩擦系数为μ，则杆在转动过程中所受的摩擦力矩不断变小。

答案：错

题号：00824006 分值：2分

难度系数等级：4

如图所示，一个质量为m 的物体与绕在定滑轮上的绳子相联，绳子质

量可以忽略，它与定滑轮之间无滑动．假设定滑轮质量为M 、半径为R ，其转动惯量为

21MR

，滑轮轴光滑．该物体由静止开始下落的过程中，下落

速度的大小与时间成正比．

答案：对

题号：00823007

分值：2分

难度系数等级：3

如图所示，一轻绳绕于半径为R 的飞轮边缘，并施以F 的拉力，轴的摩

擦不计，当飞轮的质量和拉力不变时，若飞轮的半径增加，其角加速度增加。

答案：错

题号：00821008 分值：2分

难度系数等级：1

两个匀质圆盘A 和B 的半径分别为A R 和B R ，若B A R R ，但两圆盘的质量相同，如两盘对通过盘心垂直于盘面轴的转动惯量各为J A 和J B ，则 J A ＞J B ．

答案：对

题号：00824009 分值：2分

难度系数等级：4

两根均匀棒，长均为l ，质量分别为m 和2m ，可绕通过其一端且与其垂直的固定轴在竖直面内自由转动．开始时棒静止在水平位置，当它们自由下摆时，它们的角加速度相等。

答案：对

题号：00823010

分值：2分

难度系数等级：3

一根均匀直棒可绕过其一端且与棒垂直的水平光滑固定轴转动．抬起另一端使棒向上与水平面成60°，然后无初转速地将棒释放．在棒下落过程中，棒的角加速度保持不变。

答案：错

3．填空题

题号：00831001 分值：2分

难度系数等级：1

一均匀细直棒，可绕通过其一端的光滑固定轴在竖直平面内转动．使棒从水

平位置自由下摆，棒是否作匀角加速转动？________________．

答案：否

题号：00832002

分值：2分

难度系数等级：2

一长为l ，质量可以忽略的直杆，可绕通过其一端的水平光滑轴在竖直平面内作定轴转动，在杆的另一端固定着一质量为m 的小球，如图所示．现将杆由水平位置无初转

速地释放．则杆刚被释放时的角加速度β0＝____________。

答案：l g

题号：00833003 分值：2分

难度系数等级：3

一长为l ，质量可以忽略的直杆，可绕通过其一端的水平光滑轴在竖直平面内作定轴转动，在杆的另一端固定着一质量为m 的小球，如图所示．现将杆由水平位置无初转速地释放．则杆与水平方向夹角为60°时的角加速度

β ＝________________．

答案：)2(l g

题号：00831004 分值：2分

难度系数等级：1

一长为l 、质量可以忽略的直杆，两端分别固定有质量为2m 和m 的小球，杆可绕通过其中心O 且与杆垂直的水平光滑固定轴在铅直平面内转动．开始杆与水平方向成某一角度θ，处于静止状态，如图所示．释放后，杆绕O 轴转动．则当杆转到水平位置时，该系统所受到的合外力矩的大小

M ＝_____________________。答案：mgl 21

题号：00832005 分值：2分

难度系数等级：2

一长为l 、质量可以忽略的直杆，两端分别固定有质量为2m 和m 的小球，杆可绕通过其中心O 且与杆垂直的水平光滑固定轴在铅直平面内转动．开始杆与水平方向成某一角度θ，处于静止状态，如图所示．释放后，杆绕O 轴转动．则当杆转到水平位置时，该系统角加速度的大小

β ＝______________________．

答案：

g 32

题号：00833006 分值：2分

难度系数等级：3

一飞轮以600 rev/min 的转速旋转，转动惯量为2.5 kg ·m 2

，现加一恒定的

制动力矩使飞轮在1 s 内停止转动，则该恒定制动力矩的大小M ＝_________．

答案：157 m N ?

题号：00833007 分值：2分

难度系数等级：3

一可绕定轴转动的飞轮，在20 N ·m 的总力矩作用下，在10s 内转速由零

均匀地增加到8 rad/s ，飞轮的转动惯量J ＝______________．

答案：2

kg 25?

题号：00834008 分值：2分

难度系数等级：4

如图所示，一根轻绳绕于半径为r 的飞轮边缘，并以质量为m 的物体挂在绳端，飞轮对过轮心且与轮面垂直的水平固定轴的转

动惯量为J.若不计摩擦，飞轮的角加速度β ＝_______________．

答案：

r J mg +

题号：00833009 分值：2分

难度系数等级：3

一定滑轮质量为M 、半径为R ，对水平轴的转动惯量J ＝

1MR 2

．在滑轮的边缘绕一细

绳，绳的下端挂一物体．绳的质量可以忽略且不能伸长，滑轮与轴承

间无摩擦．物体下落的加速度为a ，则绳中的张力T ＝_________________．

答案：

题号：00832010

分值：2分

难度系数等级：2

如图所示，一根轻绳绕于半径r = 0.2 m 的飞轮边缘，并施以F ＝98 N 的

拉力，若不计轴的摩擦，飞轮的角加速度等于39.2 rad/s 2，

此飞轮的转动惯量为___________________________．

答案：0.52m kg ?

题号：00834011 分值：2分

难度系数等级：4

半径为R 具有光滑轴的定滑轮边缘绕一细绳，绳的下端挂一质量为m 的物体．绳的质量可以忽略，绳与定滑轮之间无相对滑动．若物体下落的加速度为a ，

则定滑轮对轴的转动惯量J ＝______________________．

答案：a R

a g m 2

)(-

题号：00831012

分值：2分

难度系数等级：1

一根均匀棒，长为l ，质量为m ，可绕通过其一端且与其垂直的固定轴在竖直面内自由转动．开始时棒静止在水平位置，当它自由下摆时，它的初角速度等

于__________，已知均匀棒对于通过其一端垂直于棒的轴的转动惯量为23

ml ．

答案：0

题号：00832013 分值：2分

难度系数等级：2

一根均匀棒，长为l ，质量为m ，可绕通过其一端且与其垂直的固定轴在竖直面内自由

转动．开始时棒静止在水平位置，当它自由下摆时，它的初角加速度等于__________．已知均匀棒对于通过其一端垂直于棒的轴的转动惯量为2

ml ．

答案：l

g 23

题号：00832014 分值：2分

难度系数等级：2

一根均匀棒，长为l ，质量为m ，可绕通过其一端且与其垂直的固定轴在竖直面内自由

转动．开始时棒静止在水平位置，当它自由下摆到与水平位置成060角时，它的角加速度等于__________．已知均匀棒对于通过其一端垂直于棒的轴的转动惯量为2

ml ．

答案：

g 43

题号：00831015 分值：2分

难度系数等级：1

一根均匀棒，长为l ，质量为m ，可绕通过其一端且与其垂直的固定轴在竖直面内自由

转动．开始时棒静止在水平位置，当它自由下摆到竖直位置时，它的角加速度等于__________．已知均匀棒对于通过其一端垂直于棒的轴的转动惯量为2

ml ．

答案：0

题号：00834016

分值：2分

难度系数等级：4

一根均匀棒，长为l ，质量为m ，可绕通过其一端且与其垂直的固定轴在竖直面内自由

转动．开始时棒静止在水平位置，当它自由下摆到竖直位置时，它的角速度等于__________ ．已知均匀棒对于通过其一端垂直于棒的轴的转动惯量为231

ml ．

答案：

g 3

题号：00833017 分值：2分

难度系数等级：3

如图所示，飞轮的质量为m ，半径为R ，可以看作圆盘，一轻绳绕于飞

轮边缘，并施以拉力F ，若不计轴的摩擦，飞轮的角加速度等于

___________________________．

答案：

F 2

题号：00832018 分值：2分

难度系数等级：2

一长为L ，质量为m 的匀质细杆，两端分别固定质量为m 和2m 的小球，此系统在竖直平面内可绕过中点O 且与杆垂直的水平光滑固定轴(O 轴)转动．开始时杆与水平成60°角，处于静止状态．无初转速地释放以后，杆球这一刚体系统绕O 轴转动．释放后，当杆转到水平位置时，刚体受到的合

外力矩M ＝______________ 。答案：

mgL 21

题号：00833019 分值：2分

难度系数等级：3

一根长为L ，质量为m 的匀质细杆，两端分别固定质量为m 和2m 的小球，此系统在竖直平面内可绕过中点O 且与杆垂直的水平光滑固定轴(O 轴)转动．开始时杆与水平成60°角，处于静止状态．无

初转速地释放以后，杆球这一刚体系统绕O 轴转动．释放后，当杆转

到水平位置时，刚体的

角加速β ________________．答案：

g 53

题号：00835020

分值：2分

难度系数等级：5

一根质量为m 、长为l 的均匀细杆，可在水平桌面上绕通过其一端的竖直固定轴转动．已

知细杆与桌面的滑动摩擦系数为μ，则杆转动时受的摩擦力矩的大小为________________．答案：mgl 21

4．计算题

题号：00842001

分值：10分难度系数等级：2

如图所示，一个质量为m 的物体与绕在定滑轮上的绳子相联，绳子质量可以忽略，它与定滑轮之间无滑动．假设定滑轮质量为M 、半径为R ，其转动惯量为

21MR

，滑轮轴光滑．试求该物体由静止开始下落的过程中，

下落速度与时间的关系．

解：根据牛顿运动定律和转动定律列方程

对物体： mg －T ＝ma ① 2分对滑轮： TR = J β ② 2分运动学关系： a ＝R β ③ 2分

将①、②、③式联立得

a ＝mg / (m ＋

1M ) 2分

∵ v 0＝0，

∴ v ＝at ＝mgt / (m ＋21M ) 2分

m a

题号：00841002

分值：10分难度系数等级：1

一半径为25 cm 的圆柱体，可绕与其中心轴线重合的光滑固定轴转动．圆柱体上绕上绳

子．圆柱体初角速度为零，现拉绳的端点，使其以1 m/s 2

的加速度运动．绳与圆柱表面无相对滑动．试计算在t = 5 s 时

(1) 圆柱体的角加速度， (2) 圆柱体的角速度，

解：(1) 圆柱体的角加速度 β

β＝a / r ＝4 rad / s 2 4分 (2) 根据t t 0βωω+=，此题中ω 0 = 0 ，则有

ωt = βt

4分

那么圆柱体的角速度 ====5

5 t t t

βω20 rad/s 2分

题号：00844003

分值：10分难度系数等级：4

质量m ＝1.1 kg 的匀质圆盘，可以绕通过其中心且垂直盘面的水平光滑固定轴转动，对轴的转动惯量J ＝

21mr

(r 为盘的半径)．圆盘

边缘绕有绳子，绳子下端挂一质量m 1＝1.0 kg 的物体，如图所示．起

初在圆盘上加一恒力矩使物体以速率v 0＝0.6 m/s 匀速上升，如撤去

所加力矩，问经历多少时间圆盘开始作反方向转动．

解：撤去外加力矩后受力分析如图所示． m 1g －T = m 1a Tr ＝J β

a ＝r β

a = m 1gr / ( m 1r + J / r ) 5分

代入J ＝221mr , a =m m g m 2

111+= 6.32 ms -2

2分

∵ v 0－at ＝0 2分 ∴ t ＝v 0 / a ＝0.095 s 1分

题号：00842004 分值：10分难度系数等级：2

T a

一长为1 m 的均匀直棒可绕过其一端且与棒垂直的水平光滑固定轴转动．抬起另一端使棒向上与水平面成60°，然后无初转速地将棒释放．已知棒对轴的转动惯量为231

ml ，其中m 和l 分别为棒的质量

和长度．求：

(1) 放手时棒的角加速度； (2) 棒转到水平位置时的角加速度．

解：设棒的质量为m ，当棒与水平面成60°角并开始下落时，根据转动定律

βJ M = 2分

其中 4/30s i n 21m g l m g l M ==

2分于是 2

r a d /s 35.743 ===

M β 2分

当棒转动到水平位置时， mgl M 2

= 2分

那么 2

r a d /s 7.1423 ===

g J M β 2分

题号：00843005 分值：10分难度系数等级：3

质量为5 kg 的一桶水悬于绕在辘轳上的轻绳的下端，辘轳可视为一质量为10 kg 的圆柱体．桶从井口由静止释放，求桶下落过程中绳中的张力．（辘轳绕轴转动时的转动惯量为

1MR ，其中M 和R 分别为辘轳的质量和半径，轴上摩擦忽略不计．）

解：对水桶和圆柱形辘轳分别用牛顿运动定律和转动定律列方程

mg －T ＝ma ① 2分 TR ＝J β ② 2分 a ＝R β ③ 2分

由此可得 T ＝m (g －a )＝m ()[]J TR g /?- 那么 mg J mR T =???

?+2

1 将 J =2

MR 2代入上式，得

M m M g T 2+=＝24.5 N 4分

题号：00843006 分值：10分难度系数等级：3

一质量为M ＝15 kg 、半径为R ＝0.30 m 的圆柱体，可绕与其几何轴重合的水平固定轴转动(转动惯量J ＝

21MR

)．现以一不能伸长的轻绳绕于柱面，而在绳的下端悬一质量m ＝

8.0 kg 的物体．不计圆柱体与轴之间的摩擦，求：

(1) 物体自静止下落， 5 s 内下降的距离； (2) 绳中的张力．

解： J ＝

21MR

＝0.675 kg ·m 2

∵ mg －T ＝ma

2分

TR ＝J β 2分 a ＝R β 1分

∴ a ＝mgR 2 / (mR 2 + J )＝5.06 m / s 2

1分

因此(1)下落距离 h ＝2

at ＝63.3 m

2分

(2) 张力 T ＝m (g －a )＝37.9 N 2分

题号：00842007 分值：10分难度系数等级：2

一半径为25 cm 的圆柱体，可绕与其中心轴线重合的光滑固定轴转动．圆柱体上绕上绳

子．圆柱体初角速度为零，现拉绳的端点，使其以1 m/s 2

的加速度运动．绳与圆柱表面无相对滑动．试计算在t = 5 s 时

(1) 圆柱体的角加速度，

(2) 如果圆柱体对转轴的转动惯量为2 kg ·m 2

，那么要保持上述角加速度不变,应加的拉力为多少？

解：(1) 圆柱体的角加速度 β

β＝a / r ＝4 rad / s 2 4分

(2) 根据转动定律 fr = J β 3分

则 f = J β / r = 32 N 3分

题号：00845008

分值：10分难度系数等级：5

有一半径为R 的圆形平板平放在水平桌面上，平板与水平桌面的摩擦系数为μ，若平板绕通过其中心且垂直板面的固定轴以角速度ω0开始旋转，它将在旋转几圈后停止？（已知圆形平板的转动惯量2

1mR J =

，其中m 为圆形平板的质量）

解：在r 处的宽度为d r 的环带面积上摩擦力矩为

r r r R

mg M d 2d 2

?π?π=μ

3分

总摩擦力矩

m g R M M R

μ3

2d 0

2分

故平板角加速度 β =M /J 2分

设停止前转数为n ，则转角 θ = 2πn

由 J /Mn π==422

0θβω

2分可得 g R M

J n μωωπ16/342

=π=

1分

恒力矩转动法测刚体转动惯量

恒力矩转动法测刚体转动惯量转动惯量是刚体转动中惯性大小的量度。它取决于刚体的总质量，质量分布、形状大小和转轴位置。对于形状简单，质量均匀分布的刚体，可以通过数学方法计算出它绕特定转轴的转动惯量，但对于形状比较复杂，或质量分布不均匀的刚体，用数学方法计算其转动惯量是非常困难的，因而大多采用实验方法来测定。转动惯量的测定，在涉及刚体转动的机电制造、航空、航天、航海、军工等工程技术和科学研究中具有十分重要的意义。测定转动惯量常采用扭摆法或恒力矩转动法，本实验采用恒力矩转动法测定转动惯量。一、实验目的 1、学习用恒力矩转动法测定刚体转动惯量的原理和方法。 2、观测刚体的转动惯量随其质量，质量分布及转轴不同而改变的情况，验证平行轴定理。 3、学会使用智能计时计数器测量时间。二、实验原理 1、恒力矩转动法测定转动惯量的原理根据刚体的定轴转动定律： βJ M =（1）只要测定刚体转动时所受的总合外力矩M 及该力矩作用下刚体转动的角加速度β，则可计算出该刚体的转动惯量J 。设以某初始角速度转动的空实验台转动惯量为J 1，未加砝码时，在摩擦阻力矩M μ的作用下，实验台将以角加速度β1作匀减速运动，即： 1 1βμJ M =-（2）将质量为m 的砝码用细线绕在半径为R 的实验台塔轮上，并让砝码下落，系统在恒外力作用下将作匀加速运动。若砝码的加速度为a ，则细线所受张力为T= m (g － a)。若此时实验台的角加速度为β2，则有a= Rβ2。细线施加给实验台的力矩为T R= m (g －Rβ2) R ，此时有： 2 12)(ββμJ M R R g m =--（3）将（2）、（3）两式联立消去M μ后，可得： 1221)(βββ--= R g mR J （4）同理，若在实验台上加上被测物体后系统的转动惯量为J 2，加砝码前后的角加速度分别为β3与β4，则有： 3442)(βββ--= R g mR J （5）由转动惯量的迭加原理可知，被测试件的转动惯量J 3为： 123J J J -=（6）测得R 、m 及β1、β2、β3、β4，由（4），（5），（6）式即可计算被测试件的转动惯量。 2、β的测量实验中采用智能计时计数器计录遮挡次数和相应的时间。固定在载物台圆周边缘相差π角的两遮光细棒，每转动半圈遮挡一次固定在底座上的光电门，即产

恒力矩转动法测刚体转动惯量

恒力矩转动法测刚体转动惯量转动惯量是刚体转动中惯性大小的量度。它取决于刚体的总质量，质量分布、形状大小和转轴位置。对于形状简单，质量均匀分布的刚体，可以通过数学方法计算出它绕特定转轴的转动惯量，但对于形状比较复杂，或质量分布不均匀的刚体，用数学方法计算其转动惯量是非常困难的，因而大多采用实验方法来测定。转动惯量的测定，在涉及刚体转动的机电制造、航空、航天、航海、军工等工程技术和科学研究中具有十分重要的意义。测定转动惯量常采用扭摆法或恒力矩转动法，本实验采用恒力矩转动法测定转动惯量。一、实验目的 1、学习用恒力矩转动法测定刚体转动惯量的原理和方法。 2、观测刚体的转动惯量随其质量，质量分布及转轴不同而改变的情况，验证平行轴定理。 3、学会使用智能计时计数器测量时间。二、实验原理 1、恒力矩转动法测定转动惯量的原理根据刚体的定轴转动定律： β J M =（1）只要测定刚体转动时所受的总合外力矩M 及该力矩作用下刚体转动的角加速度β，则可计算出该刚体的转动惯量J 。设以某初始角速度转动的空实验台转动惯量为J 1，未加砝码时，在摩擦阻力矩M μ的作用下，实验台将以角加速度β1作匀减速运动，即： 1 1βμJ M =-（2）将质量为m 的砝码用细线绕在半径为R 的实验台塔轮上，并让砝码下落，系统在恒外力作用下将作匀加速运动。若砝码的加速度为a ，则细线所受张力为T= m (g － a)。若此时实验台的角加速度为β2，则有a= Rβ2。细线施加给实验台的力矩为T R= m (g －Rβ2) R ，此时有： 2 12)(ββμJ M R R g m =--（3）将（2）、（3）两式联立消去M μ后，可得： 1 221)(βββ--= R g mR J （4）同理，若在实验台上加上被测物体后系统的转动惯量为J 2，加砝码前后的角加速度分别为β3与β4，则有： 3 442)(βββ--= R g mR J （5）由转动惯量的迭加原理可知，被测试件的转动惯量J 3为： 1 23J J J -=（6）测得R 、m 及β1、β2、β3、β4，由（4），（5），（6）式即可计算被测试件的转

转动惯量(指导书)

转动惯量指导书力学实验室 2016年3月

转动惯量的测量【预习思考】１．转动惯量的定义式是什么？２．转动惯量的单位是什么？３．转动惯量与质量分布的关系？４．了解单摆中摆长与周期的关系？５．摆角对周期的影响。【仪器照片】【原理简述】 1、转动惯量的定义构件中各质点或质量单元的质量与其到给定轴线的距离平方乘积的总和，即

∑ =2 J mr（1）转动惯量是刚体转动时惯性的量度，其量值取决于物体的形状、质量分布及转轴的位置。刚体的转动惯量有着重要的物理意义，在科学实验、工程技术、航天、电力、机械、仪表等工业领域也是一个重要参量。图1 电磁系仪表的指示系统，因线圈的转动惯量不同，可分别用于测量微小电流（检流计）或电量（冲击电流计）。在发动机叶片、飞轮、陀螺以及人造卫星的外形设计上，精确地测定转动惯量，都是十分必要的。 2、转动惯量的公式推导测定刚体转动惯量的方法很多，常用的有三线摆、扭摆、复摆等。本实验采用的是三线摆，是通过扭转运动测定物体的转动惯量，其特点是无力图像清楚、操作简便易行、适合各种形状的物体，如机械零件、电机转子、枪炮弹丸、电风扇的风叶等的转动惯量都可用三线摆测定。这种实验方法在理论和技术上有一定的实际意义本实验的目的就是要求学生掌握用三线摆测定物体转动惯量的方法，并验证转动惯量的平行轴定理。两半径分别为r'和R'（R'>r'）的刚性均匀圆盘，用均匀分布的三条等长l的无弹性、无质量的细线相连，半径为r'的圆盘在上，作为启动盘，其悬点到盘心的距离为r；半径为R'的圆盘在下，作为悬盘，其悬点到盘心的距离为R。将启动盘固定，则构成一振动系统，称为三线摆（图2）。当施加力矩使悬盘转过角 θ后，悬盘将绕中心轴O O''做角简谐振动。 A A' O O' O'' r R B θ h2 h1 H . . . C'

转动惯量的测定与平行轴定理验证的实验研究模板

转动惯量的测定与平行轴定理验证的实验研究摘要: 采用三线摆, 双线摆, 扭摆, 测量不同刚性物体的转动惯量, 并进一步验证平行轴定理, 同时应用扭摆的特性测量切边模量。关键字: 转动惯量; 平行轴定理; 切变模量转动惯量是刚体转动惯性的量度, 它与刚体的质量分布和转轴位置有关。根据物体的规则与否, 转动惯量的获得分为理论公式法与实验法。对于规则物体, 测量其尺寸和质量, 即可经过理论公式计算获得; 对于不规则、质量分布不均匀的物体则要经过实验测定。一．实验原理（一）双线摆本实验中, 认为双线摆是纯转动的理想模型。这样, 双线摆摆锤的运动可分解为: 水平面上的转动以及竖直方向上的振动。设均匀细杆质量、长为l 、绕经过质心竖直轴转动的惯量为; 两相同圆柱体的质量之和为2m 1,之间距离为2c; 双绳之间距离为d, 绳长L 。由右图几何关系分析, 当很小时, , 得 81 )2cos -L(1=h 2θθL = ( 1) 图2几何分析图１双线摆结

由上式可得系统的势能为 2 001 8p E m gh m gL θ== ( 2) 杆的转动动能为2 0)(21dt d I E k θ = ( 3) 由能量守恒得 22 000011() 28d I m gL m gh dt θθ+= ( 4) 用( 4) 关于时间求导, 并除以, 得 2020 04m gL d dt I θθ+= ( 5) 解上面的简谐振动方程, 得杆的转动惯量: 2020 016T gL m I π= ( 6) 测量物体的转动惯量: 202()16x m m gL I T π+= (7) 待测物体的转动惯量为: 22200000222()()161616x x x m m gL m m gL m gL I T I T T πππ++=-=- (8) （二）三线摆和扭摆 ① 三线摆左图是三线摆示意图。上、下圆盘均处于水平, 悬挂在

转动惯量公式表

常见几何体]转动惯量公式表

对于细杆当回转轴过杆的中点并垂直于杆时；J=m(L^2)/12 其中m是杆的质量，L是杆的长度。当回转轴过杆的端点并垂直于杆时：J=m(L^2)/3 其中m是杆的质量，L是杆的长度。

对于圆柱体当回转轴是圆柱体轴线时；J=m(r^2)/2 其中m是圆柱体的质量，r是圆柱体的半径。对于细圆环当回转轴通过中心与环面垂直时，J=mR^2；当回转轴通过边缘与环面垂直时，J=2mR^2； R为其半径对于薄圆盘当回转轴通过中心与盘面垂直时，J=﹙1/2﹚mR^2；当回转轴通过边缘与盘面垂直时，J=﹙3/2﹚mR^2； R为其半径对于空心圆柱当回转轴为对称轴时，J=﹙1/2﹚m[（R1）^2+（R2）^2]； R1和R2分别为其内外半径。对于球壳当回转轴为中心轴时，J=﹙2/3﹚mR^2；当回转轴为球壳的切线时，J=﹙5/3﹚mR^2； R为球壳半径。对于实心球体当回转轴为球体的中心轴时，J=﹙2/5﹚mR^2；当回转轴为球体的切线时，J=﹙7/5﹚mR^2； R为球体半径对于立方体当回转轴为其中心轴时，J=﹙1/6﹚mL^2；当回转轴为其棱边时，J=﹙2/3﹚mL^2；当回转轴为其体对角线时，J=（3/16）mL^2； L为立方体边长。只知道转动惯量的计算方式而不能使用是没有意义的。下面给出一些（绕定轴转动时）的刚体动力学公式。角加速度与合外力矩的关系：

角加速度与合外力矩式中M为合外力矩，β为角加速度。可以看出这个式子与牛顿第二定律是对应的。角动量：角动量刚体的定轴转动动能：转动动能注意这只是刚体绕定轴的转动动能，其总动能应该再加上质心动能。只用E=（1/2）mv^2不好分析转动刚体的问题，是因为其中不包含刚体的任何转动信息，里面的速度v 只代表刚体的质心运动情况。由这一公式，可以从能量的角度分析刚体动力学的问题。平行轴定理：设刚体质量为m，绕通过质心转轴的转动惯量为Ic，将此轴朝任何方向平行移动一个距离d，则绕新轴的转动惯量I为： I=Ic+md^2 这个定理称为平行轴定理。一个物体以角速度ω绕固定轴z轴的转动同样可以视为以同样的角速度绕平行于z轴且通过质心的固定轴的转动。也就是说，绕z轴的转动等同于绕过质心的平行轴的转动与质心的转动的叠加

刚体转动定律

浅谈学习迁移在物理教学中的运用余建刚（广东省佛山市南海区石门中学，广东佛山528248）摘要：本文主要以中学竞赛教程中的刚体定轴转动的教学为例，论述了迁移学习在物理概念及物理规律教学中运用。关键词：迁移；认知结构；刚体定轴转动著名心理学家奥苏贝尔指出，心理学关于迁移的研究乃是心理学对教育产生最大影响的一个领域。同时，使学生通过学习获得最大的迁移，是教学的根本，“为迁移而教”已成为教学流行的口号。甚至美国心理学家M.L比格指出：“学习迁移是教育最后必须依托的柱石。如果学生在学校中学习那些无助于他们进一步沿着学术的程序，并且不但在目前，而且在以后生活中更有效地应付各种情境。那么就是浪费他们的许多时间。”[1]可见，学习迁移的研究具有重要的使用意义，它有助于指导指导教学过程，提高教学质量，促进学生学习效率。1．"迁移"的概念 "迁移"在心理学中最早的认识是“先前的学习对后继学习的影响”。后来人们发现后继学习的知识对先前学过的知识也有一定的影响，从而将“迁移”的概念修正为：一种学习对另外一种学习的影响。其中“一种学习”所指的范围可以大到一个学科、一个领域，也可以小到具体概念、具体命题；而“影响”有消极与积极之分；凡是一种学习对另一种学习有促进作用的，称为正迁移；而一种学习对另一种学习起干扰或抑制作用的，则称为负迁移。2．"迁移"的实现心理学家奥苏贝尔认为，学习A对学习B的影响可以通过认知结构实现。所谓的认知结构是指学生头脑中的知识结构，是学生“观念的全部内容与组织”，它由两个系统组成，一个是内化了的知识经验系统，它包括以往学习收获得到的知识和经验，以及这些知识经验的有机联系；另一个是认知操作系统，它能够提供获取新知识的认知策略，可以起到监控与调节的作用[2]。奥苏贝尔的观点可以用框图表示如下。那么如何才能做到有效地促使学习的正迁移、抑制负迁移的产生，又该如何培养学生的学习迁移能力？迁移的“概括化理论”认为：学习迁移的基础在于概括，而概括则是揭示本质联系的结果。概括性越高，知识系统性越强，解决新问题时提取已有知识经验的速度和准确性越高，知识的迁移能力也就越强。现代心理学各种理论所揭示的迁移的本质，实质上是两种学习之间在知识结构、认知规律上相同要素间的影响与同化。例如学生学习了力的合成和分解之后，学习速度、位移、场强等的合成和分解就轻松了，因为它们的共同因素都是矢量，矢量都可以合成分解，合成、分解法则都遵守平行四边形法则，而速度、位移、场强的区别是显而易见的。而负迁移是指一种学习对另一种学习起干扰或抑制作用，它往往发生在彼此相似的知识和技能之间。当新旧知识相关联的部分在内容和组织上虽相似却本质不同时，原有知识往往倾向于先人为主，新知识常常被理解为原有知识，或者学习者意识到新旧知识间有些不同，但不能具体指明本质区别之所在。这两种情况都会导致新知识向类似的旧知识还原，出现负迁移。例如振动图象对波形图象就会产生干扰，许多学生把振动图象和波动图象混为一谈，就是因为两种图象形式上相似——都是正弦或余弦曲线，都是离开平衡位置的位移。由此我们看到学生掌握物理概念或规律时的稳定性和清晰性差、理解不透切，将一些本质不同但表面上相近、相似或相关的概念或规律混淆，产生晕轮效应，在解决新问题或学习新知识时，盲目地照搬旧经验，不注意新旧问题或知识间的差异，这都是滋长负迁移的根源。因此，在

转动惯量的平行轴定理

由上节的定义可知，刚体的转动惯量矩(或回转半径) 与惯性积和连体基及其基点的定义有关。从例 5.1-1 可以看到。对于同一个基点不同方位的两个连体基，一般情况下刚体关于两基的转动惯量与惯性积各不相同，但它们有一定的关系( 详见 6.4 节) 。本节讨论当基点改变，连体基的方向不变时刚体的转动惯量间的关系。在刚体的质心C上建立另一个与平行的连体基。质心C相对于O的矢径为。质点P k 相对于点O与C 的矢径分别为与。由图5-2 可见，这些矢径有如下关系图5-2 不同基点转动惯量的关系 (5.1-5) 由于两基平行，该矢量式在基上的坐标表达式为 (5.1-5') 其中为质心C 矢径在基上的坐标阵，为P k 的矢径在基上的坐标阵。将式(5.1-5') 代入(5.1-2c) ，有 (5.1-6) 考虑到矢径由质心C出发，由质心的矢径与质点矢径间的关系式(2.3-24) ，有

在连体基的坐标式为，，因此式 (5.1-6) 右边的后两项为零。根据定义，该式右边第一项为刚体相对于 J Cz ，即式(5.1-9) 与 (5.1-10) 描述的是刚体转动惯量的平行轴定理：刚体对任意轴的转动惯量等于它对过质心的平行轴转动惯量加上刚体的质量与两轴垂直距离平方的乘积。利用同样的方法可得到刚体关于 O 惯性积与关于 C 惯性积间的关系式 (5.1-11a) (5.1-11b) (5.1-11c) (5.1-7) Cz 轴的转动惯量同理可得 (5.1-8) 为 Oz 轴与 Cz 轴的垂直距离，记为 h z 。这样式 (5.1-6) 变为 (5.1-9) (5.1-10) 右边第二项中的

转动定律

刚体定轴转动定律、转动惯量 1. 选择题如图所示，A 、B 为两个相同的绕着轻绳的定滑轮．A 滑轮挂一质量为M 的物体，B 滑轮受拉力F ，而且Mg F =．设A 、 B 两滑轮的角加速度分别为βA 和βB ，不计滑轮轴的摩擦，则有 (A) βA ＝βB ． (B) βA ＞βB ． (C) βA ＜βB (D) 开始时βA ＝βB ，以后βA ＜βB . 答案：（C ）几个力同时作用在一个具有光滑固定转轴的刚体上，如果这几个力的矢量和为零，则此刚体 (A) 必然不会转动． (B) 转速必然不变． (C) 转速必然改变． (D) 转速可能不变，也可能改变．答案：（D ）关于刚体对轴的转动惯量，下列说法中正确的是（A ）只取决于刚体的质量,与质量的空间分布和轴的位置无关．（B ）取决于刚体的质量和质量的空间分布，与轴的位置无关．（C ）取决于刚体的质量、质量的空间分布和轴的位置．（D ）只取决于转轴的位置，与刚体的质量和质量的空间分布无关．答案：（C ）一轻绳跨过一具有水平光滑轴、质量为M 的定滑轮，绳的两端分别悬有质量为m 1和m 2的物体(m 1＜m 2)，如图所示．绳与轮之间无相对滑动．若某时刻滑轮沿逆时针方向转动，则绳中的张力 (A) 处处相等． (B) 左边大于右边． (C) 右边大于左边． (D) 哪边大无法判断．答案：（C ）一轻绳绕在有水平轴的定滑轮上，滑轮的转动惯量为J ，绳下端挂一物体．物体所受重力为P ，滑轮的角加速度为β．若将物体去掉而以与P 相等的力直接向下拉绳子，滑轮的角加速度β将 (A) 不变． (B) 变小． (C) 变大． (D) 如何变化无法判断．答案：（C ）两个匀质圆盘A 和B 的密度分别为A ρ和B ρ，若ρA ＞ρB ，但两圆盘的质量与厚度相同，如两盘对通过盘心垂直于盘面轴的转动惯量各为J A 和J B ，则 (A) J A ＞J B ． (B) J B ＞J A ． (C) J A ＝J B ． (D) J A 、J B 哪个大，不能确定．答案：（B ）质量相同的两根匀质棒，长度分别为A l 和B l ，B A l l <，两根棒对棒的中心的转动惯量分别为A J 和B J ，则 (A) J A ＞J B ． (B) J A ＜J B ． (C) J A = J B ． (D) 不能确定J A 、J B 哪个大．答案：（B ） 2．填空题一长为l 的均匀细直棒，可绕通过其一端的光滑固定轴在竖直平面内转动．使棒从水平位置自由下摆，当棒和水平面成30°角时，棒转动的角速度ω ＝_______________．

图形推理--旋转翻转规律

图形推理--旋转翻转规律在图形推理题中，和对称性规律比较类似的一种规律就是旋转翻转规律，这种规律中，图形的大小和元素不变，改变的是图形的角度和正反影像。因此，如果题干中给出的多个图形类似且方向不一，可以考虑尝试旋转翻转规律。旋转是指图形围绕其中心点或者其他某一个固定点，做顺时针或逆时针的变化。翻转是指图形围绕某个对称轴，例如，横对称轴或纵对称轴，做180度的翻转变化。【例1】【解析】D。仔细观察可以发现题干中的四个图形都为同一个图形按逆时针90°变化。因此选择D选项。【例2】

【解析】A。第一行三个图形的时针方向是“顺、逆、顺”，第二行的时针方向是“逆、顺、逆”、第三行的时针方向是“顺、逆、？”，因此，答案选择一个逆时针旋转的图形，选择A选项。【例3】

【解析】A。第一行中的第一个图形逆时针旋转90°得到第二个图形，第二个图形垂直翻转180°可以得到第三个图形。第二行中的第一个图形逆时针旋转90°得到第二个图形，第二个图形垂直翻转180°可以得到第三个图形。按照这个规律，正确选项是A。综上所述，对于旋转和翻转规律，关键点是在找到图形的旋转方向和翻转方向，只要将这两个方向确定，即可很快判断图形变化规律。经验分享：虽然自己在这帖子里给大家发了很多感慨，但我更想跟大家说的是自己在整个公务员考试的过程中的经验的以及自己能够成功的考上的捷径。首先就是自己的阅读速度比别人的快考试过程中的优

势自然不必说，平时的学习效率才是关键，其实很多人不是真的不会做，90%的人都是时间不够用，要是给足够的时间，估计很多人能够做出大部分的题。公务员考试这种选人的方式第一就是考解决问题的能力，第二就是考思维，第三考决策力（包括轻重缓急的决策）。非常多的人输就输在时间上，我是特别注重效率的。第一，复习过程中绝对的高效率，各种资料习题都要涉及多遍；第二，答题高效率，包括读题速度和答题速度都高效。我复习过程中，阅读和背诵的能力非常强，读一份一万字的资料，一般人可能要二十分钟，我只需要两分钟左右，读的次数多，记住自然快很多。包括做题也一样，读题和读材料的速度也很快，一般一份试卷，读题的时间一般人可能要花掉二十几分钟，我统计过，我最多不超过3分钟，这样就比别人多出20几分钟，这在考试中是非常不得了的。论坛有个帖子专门介绍速读的，叫做“得速读者得行测”，我就是看了这个才接触了速读，也因为速读，才获得了笔试的好成绩。其实，不只是行测，速读对申论的帮助更大，特别是那些密密麻麻的资料，看见都让人晕倒。学了速读之后，感觉有再多的书都不怕了。而且，速读对思维和材料组织的能力都大有提高，个人总结，拥有这个技能，基本上成功一半，剩下的就是靠自己学多少的问题了。平时要多训练自己一眼看多个字的习惯，慢慢的加快速度，尽可能的培养自己这样的习惯。当然，有经济条件的同学，千万不要吝啬，花点小钱在自己的未来上是最值得的，多少年来耗了大量时间和精力，现在既然势在必得，就不要在乎这一刻。建议有条件的同学到这里用这个软件训练速读，大概30个小时就能练出

转动惯量的平行轴定理

由上节的定义可知，刚体的转动惯量矩(或回转半径)与惯性积和连体基及其基点的定义有关。从例5.1-1可以看到。对于同一个基点不同方位的两个连体基，一般情况下刚体关于两基的转动惯量与惯性积各不相同，但它们有一定的关系(详见6.4节)。本节讨论当基点改变，连体基的方向不变时刚体的转动惯量间的关系。在刚体的质心C上建立另一个与平行的连体基。质心C相对于O的矢径为。质点P k相对于点O与C的矢径分别为与。由图5-2可见，这些矢径有如下关系图5-2 不同基点转动惯量的关系 (5.1-5) 由于两基平行，该矢量式在基上的坐标表达式为 (5.1-5') 其中为质心C矢径在基上的坐标阵，为P k的矢径在基上的坐标阵。将式(5.1-5')代入(5.1-2c)，有 (5.1-6) 考虑到矢径由质心C出发，由质心的矢径与质点矢径间的关系式(2.3-24)，有

在连体基的坐标式为 (5.1-7) ，，因此式(5.1-6)右边的后两项为零。根据定义，该式右边第一项为刚体相对于Cz轴的转动惯量J Cz，即 (5.1-8) 右边第二项中的为Oz轴与Cz轴的垂直距离，记为h z。这样式(5.1-6)变为 (5.1-9) 同理可得 (5.1-10) 式(5.1-9)与(5.1-10)描述的是刚体转动惯量的平行轴定理：刚体对任意轴的转动惯量等于它对过质心的平行轴转动惯量加上刚体的质量与两轴垂直距离平方的乘积。利用同样的方法可得到刚体关于O惯性积与关于C惯性积间的关系式 (5.1-11a) (5.1-11b) (5.1-11c)

图示一摆由长为l均质杆与一半径为r的均质圆球刚连而成。质量分别为m1与m2。计算该摆对过O且垂直杆的z轴的转动惯量。例5.1-2图解：令过点O杆绕z轴的转动惯量为，球对过质心C2的平行z轴的z2转动惯量为。由附录A 知， (1) 令球对过点O绕z轴的转动惯量为，由式(5.1-9)，考虑到式(1)，有 (2) 令整个摆对过点O绕z轴的转动惯量为，由定义式(5.1-2c)，考虑到式(1)与(2)有质点系转动惯量与惯量积的定义

验证刚体转动的基本定律

验证刚体转动的基本定律刚体转动定律与牛顿第二定律有相同的形式。转动惯量是刚体转动中惯性大小的量度。它取决于刚体的总质量，质量分布、形状大小和转轴位置。对于形状简单，质量均匀分布的刚体，可以通过数学方法计算出它绕特定转轴的转动惯量，但对于形状比较复杂，或质量分布不均匀的刚体，用数学方法计算其转动惯量是非常困难的，因而大多采用实验方法来测定。测定转动惯量常采用扭摆法或恒力矩转动法，本实验采用恒力矩转动法测定转动惯量。刚体转动的特性被用来制作惯性导航用的陀螺仪，在航空航海中有重要应用。随着技术的进步，出现了激光陀螺仪，微机电陀螺仪等，一些智能手机中也装置有陀螺仪芯片，但其原理与刚体转动是不同的。一、实验目的 1. 研究刚体作定轴转动时外力矩与角加速度的关系，验证刚体转动定律。 2. 用直线拟合的方法得到转动惯量和摩擦力矩。二、转动惯量实验组合仪简介转动惯量实验仪如图1所示，绕线塔轮通过特制的轴承安装在主轴上，使转动时的摩擦力矩很小。塔轮半径为15，20，25，30，35mm共5挡，可与大约5g的砝码托及1个5g，4个10g的砝码组合，产生大小不同的力矩。载物台用螺钉与塔轮连接在一起，随塔轮转动。随仪器配的被测试样有1个圆盘，1个圆环，两个圆柱。圆柱试样可插入载物台上的不同孔，这些孔离中心的距离分别为45, 60, 75, 90, 105mm，便于验证平行轴定理。铝制小滑轮的转动惯量与实验台相比可忽略不记。仪器底座上有两只光电门, 一只光电门作测量，一只作备用，可通过智能计时计数器记录旋转的圈数和时间。

图1 转动惯量实验组合仪三、实验原理 1．刚体转动定律的验证：通过改变砝码的质量，或绕线在不同半径的塔轮上以实现对实验系统施加不同力矩，从而获得不同的角加速度。将这一组不同力矩及对应的角加速度绘制在直角坐标系中，可以很容易发现力矩与角加速度之间的线性关系。利用线性拟合工具软件得到力矩与角加速度之间的数学关系，其中斜率即为系统的转动惯量，截距对应摩擦力矩。在应用这一方法时要清楚下面的事实：将质量为m 的砝码用细线绕在半径为R 的实验台塔轮上，并让砝码下落，系统在恒外力作用下将作匀加速运动。若砝码的加速度为a ，则细线所受张力为T = m (g －a )。若此时实验台的角加速度为β，则有a = Rβ。细线施加给实验台的力矩为T R = m (g －Rβ) R ，此时有： ββμJ M R R g m =??)(, 变换为μβM mR J mgR ++=)(2，可以知道mR 2是砝码在系统中的转动惯量。在本实验的设计中，只有当mR 2足够小, 力矩与角加速度之间才有较好的线性关系。这一点请同学们在实验中加以论证。 2．以上方法中，不可避免地使转动惯量测量受到mR 2的影响，若单纯测量转动惯量可采取以下方法：根据刚体的定轴转动定律：

设计用两种方法验证平行轴定理

设计用两种方案验证平行轴定理 [实验目的] 1、学会用三线摆测量圆柱体的转动惯量； 2、学会用两种方案验证平行轴定理。 [实验仪器] 自行决定。 [实验原理] 同一物体绕不同转轴其转动惯量不同。平行轴定理：对二平行转轴来说，物体绕任意转轴的转动惯量值I ，等于绕通过质心的平行转轴的转动惯量值0I ，加上该物体的质量m 和二轴间距离d 平方的积，即20md I I +=。验证方案一：将两个形状相同、质量均为圆柱m 的圆柱体，对称地放在下盘上，距离圆盘中心为d ，则两圆柱体绕圆盘中心轴的的转动惯量为：下盘圆柱下盘圆柱）（I T H gRr m m I -+=2242π （1）理论上按平行轴定理所得的公式为： 222 21d m D m I 圆柱圆柱圆柱理论）（+= （2）验证方案二： 1、将完全相同的两圆柱体，对称地放在下盘中心两侧，测量其周期。 2、保持此二圆柱体对下盘中心对称，逐次把它们之间距离增加1cm ,2cm ,3cm ……直到移到下盘边缘为止，测量相应的周期。根据平行轴定理，两圆柱体绕中心轴的转动惯量为)(22 md I +自，自I 是每一圆柱体绕自身中心轴的转动惯量。根据讲义中的公式，可得： )]2(2[2(40222I I d m Rrg m m H T +++=自身圆柱圆柱下盘）π （3）可见，2T 和2d 成正比。 3、用测得的各d 值所对应的T 值，作22d T -图，应为一条直线。从图上求出截距和斜率，将二者比值和用m I I 220 +自身算出的值进行比较，可作出结论。 [实验内容] 一、用方案一验证平行轴定理。

验证刚体转动的基本定律

验证刚体转动的基本定律转动惯量是刚体转动中惯性大小的量度。它取决于刚体的总质量，质量分布、形状大小和转轴位置。对于形状简单，质量均匀分布的刚体，可以通过数学方法计算出它绕特定转轴的转动惯量，但对于形状比较复杂，或质量分布不均匀的刚体，用数学方法计算其转动惯量是非常困难的，因而大多采用实验方法来测定。转动惯量的测定，在涉及刚体转动的机电制造、航空、航天、航海、军工等工程技术和科学研究中具有十分重要的意义。测定转动惯量常采用扭摆法或恒力矩转动法，本实验采用恒力矩转动法测定转动惯量。一、实验目的 1. 学习用恒力矩转动法测定刚体转动惯量的原理和方法； 2. 学习用直线拟合的方法计算转动惯量和摩擦力矩； 3. 研究刚体作定轴转动时外力矩与角加速度的关系，验证刚体转动定律； 4. 观测刚体的转动惯量随其质量，质量分布及转轴不同而改变的情况，验证平行轴定理。二、实验原理 1、恒力矩转动法测定转动惯量的原理根据刚体的定轴转动定律： βJ M = （1）只要测定刚体转动时所受的总合外力矩M 及该力矩作用下刚体转动的角加速度β，则可计算出该刚体的转动惯量J 。设以某初始角速度转动的空实验台转动惯量为J 1，未加砝码时，在摩擦阻力矩M μ的作用下，实验台将以角加速度β1作匀减速运动，即： 11βμJ M =? （2）将质量为m 的砝码用细线绕在半径为R 的实验台塔轮上，并让砝码下落，系统在恒外力作用下将作匀加速运动。若砝码的加速度为a ，则细线所受张力为T = m (g － a )。若此时实验台的角加速度为β2，则有a = R β2。细线施加给实验台的力矩为T R = m (g －R β2) R ，此时有： 212)(ββμJ M R R g m =?? （3）将（2）、（3）两式联立消去M μ后，可得： 1 221)(βββ??=R g mR J （4）同理，若在实验台上加上被测物体后系统的转动惯量为J 2，加砝码前后的角加速度分别为β3与β4，则有： 3 442)(βββ??=R g mR J （5）由转动惯量的迭加原理可知，被测试件的转动惯量J 3为： 123J J J ?= （6）测得R 、m 及β1、β2、β3、β4，由（4），（5），（6）式即可计算被测试件的转动惯量。

刚体的转动惯量专题

刚体的转动惯量专题 1.刚体的转动惯量的三要素刚体对某轴的转动惯量，是描述刚体在绕该轴的转动过程中转动惯性的物理量. 有转动惯量的定义式2i i I m r =∑可看出，刚体的转动惯量是与下列三个因素有关的. （1）与刚体的质量有关. 例如半径相同的两个圆柱体，而它们的质量不同，显然，对于相应的转轴，质量大的转动惯量也较大.

（2）在质量一定的情况下，与质量的分布有关. 例如，质量相同、半径也相同的圆盘与圆环，二者的质量分布不同，圆环的质量集中分布在边缘，而圆盘的质量分布在整个圆面上，所以，圆环的转动惯量较大. （3）还与给定转轴的位置有关，即同一刚体对于不同的转轴，其转动惯量的大小也是不等的. 例如，同一细长杆，对通过其质心且垂直于杆的转轴和通过其一端且垂直于杆的转轴，二者的转动惯量不相同，且后者较大. 这是由于转轴的位置不同，从而也就影响了转动惯量的大小.

刚体的转动惯量的三要素：刚体的总质量、刚体的质量分布情况、转轴的位置. 2.转动惯量的普遍公式（1）转动惯量的定义式 2 i i I m r =∑ ·········○ 1 可知，对于形状规则、质量均匀分布的连续刚体，其对特殊轴的转动惯量的计算可借助于定积分. 这是，可设想将刚体分成许多小线元、面元、体元.

d d d d d d m x m S m V λσρ=== 于是 222222d d d d d d l S V I r m r x I r m r S I r m r V λσρ======?????? 一般说来，这是个三重的体积分，但对于有一定对称性的物体，积分的重数可以减少，甚至不需要积分. （2）刚体对某轴的转动惯量刚体对z 轴的转动惯量 ()()2222d d z I r z m x y m =-=+?? (2)

刚体定轴转动定律

例：均质球体对其直径的转动惯量解：dz r dV 2π= ，dz r dV dm 2ρπρ== 3 34R m πρ=，dm r dI 221 =， ????===dz r r dm r dI I 22 22121 ρπ =??--=-R R R z R dz z R 0 222222)()(21ρπρπ =?+-=+-R R R R dz z z R R 05554224)5132 ()2(ρπρπ252 mR = 三、两个定理 1、平行轴定理 m h 2 mh I I C O +=，C ：质心 02>mh ，C O I I > O C C I ：最小均质细杆2121 ml I C = 2/l m 、l 2mh I I C O += O C =22231 )2(121ml l m ml =+ 均质圆盘221 mR I C = 2mR I I C O +==22223 21mR mR mR =+， 2、薄板的垂直轴定理 ∑?=2 i i z r m I =∑+?)(2 2i i i y x m =∑∑?+?2 2 i i i i y m x m ， =x y I I +， x

第4节刚体定轴转动定律一、推导 i F +i f =i i a m ? βi i it i it it r m a m f F ?=?=+ ∑∑∑?=+β)(2i i it i it i r m f r F r ∑=it i F r M 合外力矩 ∑it i f r 合内力矩，∑it i f r 0≡ dt d I I M ωβ==，dt d I I M ωβ == 刚体定轴转动定律注意： 1、M ，I 对同一转轴的 2、(1)已知)(t θθ=，求22dt d I I M θβ== (2)已知M 及初条件求β、ω、)(t θθ= 二、I 的物理意义 βI M =，β I M =?a m F = 当0=M 时C =?=?ωβ0，转动惯性 M 一定，I 大，β小，转动惯性大；I 小，β大，转动惯性小转动惯量是刚体转动惯性大小的量度质量是物体平动惯性大小的量度演示试验：两个刚性柱体，质量和外径相同例：均质圆盘（m ，R ），1m >2m ，阿特武德机求：盘的β，1m ，2m 的加速度a 解：a m T g m 111=- （1） a m g m T 222=- （2） 1 ββ2212 1mR I R T R T ==- （3） 1 βR a = （4） a a （3）ma mR T T 2 12121==-?β（5） m 2g 1 a m m m g m g m )2 1(2121++=-

旋转知识归纳及规律方法指导

旋转知识归纳及规律方法指导旋转的基本理念 1.旋转的定义：把一个图形绕着某一O转动一个角度的图形变换叫做旋转点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角 .如果图形上的点A经过旋转变为点A′，那么，这两个点叫做这个旋转的对应点 .重点突出旋转的三个要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度 .2.旋转的特性： (1)对应点到旋转中心的距离相等； (2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角； (3)旋转前后的图形全等 3.作图：在画旋转图形时，要把握旋转中心与旋转角这两个元素 .确定旋转中心的关键是看图形在旋转过程中某一点是“动”还是“不动”，不动的点则是旋转中心；确定旋转角度的方法是根据已知条件确定一组对应边，看其始边与终边的夹角即为旋转角作图的步骤： 1)连接图形中的每一个关键点与旋转中心； (2)把连线按要求绕旋转中心旋转一定的角度（旋转角）； (3)在角的一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点；

(4)连接所得到的各对应点. 知识点二、中心对称与中心对称图形 1.中心对称：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心．这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点． 2.中心对称的两条基本特性： (1)关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分． (2)关于中心对称的两个图形是全等图形． 3.中心对称图形把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 4.中心对称和中心对称图形的区别与联系中心对称中心对称图形