热统试题
陕西科技大学试题纸
课程热力学统计物理试题班级物理08-
学号姓名
一、选择题（每小题3分，共30分）。
1、封闭系统指 ( B ) （A）、与外界无物质和能量交换的系统
（B）、与外界有能量交换但无物质交换的系统
（C）、能量守衡的系统
（D）、恒温系统
2、绝对零度时，费米子不能完全“沉积”在基态是由于 ( A ) （A）、泡利不相容原理；（B）、全同性原理
（C）、粒子间没有相互作用（D）、费米气体是简并气体
3、下列说法正确的是（ A ）
(A)、一切和热现象有关的实际过程都是不可逆的
(B)、热力学第二定律的表述只有克氏和开氏两种说法
(C)、只要不违背能量守恒定律可以无限制地从海水中提取能量，制成永动机
(D)、第二类永动机不违背热力学第二定律
4、开放系统的热力学基本方程是（ B ）
（A）、d U T d S p d V d nμ
=-++
=++（B）、d G S d T V d P d nμ
（C）、d H T d S V d P d nμ
=-+-
=+-（D）、d F S d T V d P d nμ
5、近独立子系统组成的复合系统的配分函数 ( D ) （A）、是子系统配分函数的和；（B）、是子系统配分函数的差
（C）、是子系统配分函数的积；（D）、不能确定
6、由热力学基本方程dG=-SdT+Vdp可得麦克斯韦关系 ( B )
（A ）、 （B ）、 （C ）、 （D ）、 7、一级相变和二级相变的特点 ( B ) （A ）、所有物理性质都发生突变
（B ）、化学势一阶偏导数发生突变为一级相变，二阶偏导数发生突变为二级相变 （C ）、只有比容发生突变的为一级相变，比热发生突变为二级相变 （D ）、只有比热发生突变的为一级相变，比容发生突变为二级相变
8、根据热力学第二定律判断下列哪种说法是正确的 （ C ） (A)、热量能从高温物体传到低温物体，但不能从低温物体传到高温物体。 (B)、功可以全部变为热，但热不能全部变为功。 (C)、气体能够自由膨胀，但不能自动收缩。
(D)、有规则运动的能量能够变为无规则运动的能量，但无规则运动的能量不能变为有规则
运动的能量。
9、 玻色分布表达式： 中的a 1是 （ A ） （A ）、第1个能级上的粒子数 （B ）、落入第1个能级的几率 （C ）、几率密度 （D ）、几率分布
10、玻耳兹曼统计中用粒子配分函数Z 1表示的内能是 （ C ） （A ）、 （B ）、
（C ）、 （D ）、
11、当经典极限条件成立时，玻色分布和费米分布过渡为 （ A ） （A ）、玻耳兹曼分布 （B ）、微正则分布 （C ）、麦克斯韦分布 （D ）、正则分布 二、填空题（每小题3分，共30分）。
1、根据费米分布，温度为T 时处在能量为ε的一个量子态上的平均电子数为 。
1
1
+=
-kT
μεe
f
2、若过程进行的每一中间态都是平衡态，则此过程称为 过程。 准静态过程。
3、理想玻色气体出现凝聚的临界条件为 ，612.23
≥λn
T V V S T p ???
????=??? ????T p p S T V ???? ????-=??? ????V S
S p V T ???
????-=??? ????p S
S V p T ???
????=???? ????1
111
a e
αβεω+=
-1
ln U Z
Z β
?=-?1
ln U Z β?=-
?1
ln U N
Z β
?=-?1
U N
Z β?=-?
4、前实用上获得低温的方法有 和 。 绝热膨胀 和 节流制冷 。
5、双原子分子能量中，如果有五个平方项，当温度为T 时，则分子数为N 的双原子分子理想气体的内能=U ；定压热容量=p C 。
=U
NkT 2
5 ；定压热容量=p C
Nk 2
7
6、单元相系（假设为α相和β相）达到平衡所需要满足的平衡条件有：热学平衡条件是 ；力学平衡条件是 ；相变平衡条件是 。βαT T = ；βαp p = ；βαμμ=。
7、粒子在三维空间运动，它的自由度为 ，粒子的质量为m ，粒子在任一时刻运动的
动量为x
m p x =，y m p y =，z m p z =，则此自由粒子的动能：=ε 。 3 ：=
ε()
2
2221z y x
p p p
m
++。
8、气体以恒定速度0v 沿z 方向作整体运动，则分子的平均平动动能为：
2
02123mv kT +
9、在体积V 内，圆频率在ω到ωωd +范围内，光子的的量子态数为：
ωd ωc
πV 2
3
2
10、经典极限条件或非简并性条件为： 。
1>>α
e
或
1< l ωa 三、简答题（每小题10分，共20分）。 1、什么是μ空间？并简单介绍粒子运动状态的经典描述。 答：为了形象的描述粒子的运动状态，用r r p p q q ,,,,11 ；共2r 个变量为直角坐标，构成一个2r 维空间，称为μ空间。粒子在某一时刻的力学运动状态()r r p p q q ,,,,11 ；可用μ空间的一个点表示。 4、试说明应用经典能量均分定理求得的理想气体的内能和热容量中哪些结论与实验不符（至 少例举三项）。 答：第一、原子内的电子对气体的热容量为什么没有贡献；第二、双原子分子的振动在常温范围内为什么对热容量没有贡献；第三、低温下氢的热容量所得结果与实验不符。这些结果都要用量子理论才能解释。 四、计算题（每小题10分，共20分）。 1、试根据公式V εa p l l l ??-=∑，证明，对于非相对论粒子 ()2 22 2 2 2212z y x n n n L πm m p ε++? ? ? ??== ， （ ,2,1,0,,±±=z y x n n n ） 有 V U p 32= ，上述结论对于玻耳兹曼分布、玻色分布和费米分布都成立。 证明：对于非相对论粒子： ()()()2 2 2 22 222 2 2 222212-++= ++? ? ? ??==L n n n m πn n n L πm m p εz y x z y x （ ,2,1,0,,±±=z y x n n n ），将 31 V L = 代入上式可得： ()()3 22 222 2 22- -=++= cV L n n n m πεz y x ，其中() 2 222 2)2(z y x n n n m πc ++= 求导可得： 1 3 53 23 2--- =- =??V εcV V ε 由l l l εd a pdV ∑-= 可得：V U εa V V εa p l l l l l l 3232∑ ∑= = ??-= 证明过程没用到具体的分布，因而对玻耳兹曼分布、玻色分布和费米分布都成立。 2、在极端相对论情形下，粒子的能量动量关系为ε=CP ，试求在体积V 内，ε到ε+d ε的能量范围内，三维自由粒子的量子态数为()εd εch V πεd εD 2 3 ) (4= 。 证明：在体积V=L 3内，在P X 到P X +dP X ，P Y 到P Y +dP Y ，P Z 到P Z +dP Z ，的动量范围内，自由粒子 可能的量子态数为： Z Y X dP dP dP h V 3 ，x x n L πp 2= 用动量空间的球坐标描述自由粒子的动量，并对动量方向积分，得在体积V 内，动量大小在P 到P+dP 范围内，三维自由粒子可能的量子态数为：dP P h V π2 3 4 在极端相对论情形下，粒子的能量动量关系为ε=CP ， 代入，可得在体积V 内，ε到ε+d ε的能量范围内，三维自由粒子的量子态数为： ()εd εch V πεd εD 2 3 ) (4= 3、已知粒子遵从经典玻耳兹曼分布分布，其能量表达式为： () bx ax p p p m z y x ++++= 2 2 2221ε ，其中b a ,是粒子常量，求粒子的平均能量。 解：应用能量均分定理求粒子的平均能量时，需要注意所给能量表达式ε 中2ax 和bx 两项都是x 的函数，不能直接将能量均分定理应用于2ax 项而得出kT ax 2 12 = 的结论。要通过 配方将ε表达为 () a b a b x a p p p m z y x 4212 2 222 - ??? ? ? ++++= ε （5分） 在上式中，仅第四项是x 的函数，又是平方项。由能量均分定理知 () a b kT a b kT a b a b x a p p p m z y x 42424212 222 222 - -=--=-??? ? ? ++++= ε （5分） 4、在三相点附近，固态氨的蒸气压（单位为a p ）方程为T p 375492.27ln -=，液态氨的蒸气 压方程为T p 306338.24ln -=，试求氨三相点的温度和压强，氨的汽化热、升华热及在三相点 的熔解热。 解：固态氨的蒸气压方程是固相与气相的两相平衡曲线，液态氨的蒸气压方程是液相与气相 的两相平衡曲线。三相点的温度t T 可由两条向平衡曲线的交点确定： t t T T 306338.24375492.27- =- （2分） 由此算出 K T t 2.195 = （1分） 将t T 带入所给蒸气压方程，可得 a t p p 5934 = （1分） 将所给蒸气压方程与式A RT L p +- =ln 比较可以求得： J L 4 10120.3?=升 （1.5分） J L 410547.2?=汽 （1.5分） 氨在三相点的熔解热 J L L L 4 10573.0?=-=汽升熔 （3分） 5、已知某气体的物态方程为：RT b V P =-)(，b 是常数。当该气体的体积由1V 等温膨胀到2V 时，试求其对外做的功，吸收的热量和内能的变化。 ' W W -= , b v b v RT b v dv RT pdv W v v v v --=-== ? ? 12' ln 2 1 2 1 V V T P T dT c TdS ??? ????+= ? --=? ?? ????=2 1 12ln v v V b v b v RT dV T p T Q 0ln ln 1212=-----=+=?b v b v RT b v b v RT Q W u 热力学与统计物理复习题及答案 一、解释如下概念 ⑴热力学平衡态；⑵可逆过程；⑶准静态过程；⑷焦耳-汤姆逊效应；⑸μ空间；⑹Γ空间；⑺特性函数；⑻系综；⑼混合系综；⑽非简并性条件；⑾玻色——爱因斯坦凝聚； ⑴热力学平衡态：一个孤立系统经长时间后，宏观性质不随时间而变化的状态。 ⑵可逆过程：若系统经一过程从状态A出发到达B态后能沿相反的过程回到初态A，而且 在回到A后系统和外界均回复到原状，那么这一过程叫可逆过程。 ⑶准静态过程：如果系统状态变化很缓慢，每一态都可视为平衡态，则这过程叫准静态过程。 ⑷焦耳一汤姆孙效应：气体在节流过程中气体温度随压强减小而发生变化的现象。 ⑸μ空间：设粒子的自由度r，以r个广义坐标为横轴，r个动量为横轴，所张成的笛卡尔 直角空间。 ⑹Γ空间：该系统自由度f，则以f个广义坐标为横轴，以f个广义动量为纵轴，由此张成的f2维笛卡尔直角空间叫Γ空间。 ⑺特性函数：若一个热力学系统有这样的函数，只要知道它就可以由它求出系统的其它函数，即它能决定系统的热力学性质，则这个函数叫特性函数。 ⑻系综：大量的彼此独立的具有相同结构但可以有不同微观状态的假想体系的集合叫系综，常见的有微正则系综、正则系综、巨正则系综。 ⑼混合系综：设系统能级E1…，E n…，系综中的n个系统中，有n1个处于E1的量子态；…，有n i个系统处于E i的相应量子态，则这样的系综叫混合系综。 页脚内容1 页脚内容2 ⑽非简并性条件：指1/< 第六章 近独立粒子的最概然分布 习题6.2 试证明，对子一维自由粒子，再长度L 内，在ε到εεd +的能量范围 内，量 子态数为： εεεεd m h L d D 2 1 22)(?? ? ??= 证：一维自由粒子，x P 附近的量子态为 x dP h L dn =；x x x x x dP m dP m m m dP P d m P ε εεε21222 +=?+==?= 于是。()εε εεd m h L d D 2+ = 而 ±P x 对应同一能量ε，于是：()m h L m h L D ε εε2222=??? ? ???= 习题6.3试证明，对于二维自由粒子，在长度L 2内，在ε到εεd +的能量范围 内， 量子态数为 ()επεεmd h L d D 22 2= 证：二维；在P x ,P y 附近dP x dP y 区间上内的粒子数。 ?PdPd h S dP dP h S dn y x 22== (s －面积) 因m P 22 =ε只与P 有关（P >0）,故对?积分可得： ()??? ? ??==m P h S PdP h S d D 222222ππεε，επd h mS m 22= ()2 2h mS D πε= ? (s=L 2 ) 习题6.4在极端相对论情形下，粒子的能量动量关系为cp =ε。试求在体积V 内，在ε到εεd +的能量范围内能量范围内三维粒子的量子态数。 解：φθθd dpd p h V dp dp dp h V dn z y x sin 233== 由于cp =ε只与p 有关，与θ、φ无关，于是 ??===ππ εππφθθεε200 3 2 2323)(44sin )(hc V dp p h V d dpd p h V d D 以上已经代入了 c d p d cp =?=εε 于是， 3 2 )(4)(hc V D επε= 习题6.5 设系统含有两种粒子，其粒子数分别为N 和N ’.粒子间的相互作用很 弱，可 看作是近独立的。假设粒子可分辨，处在一个个体量子态的粒子数不受限制。试 证明， 在平衡态下两种粒子的最概然分布分别为：l e a l l βεαω--=和' --' ='l e a l l βεαω。其 中l ε和 'l ε是两种粒子的能级，l ω和'l ω是能级简并度。 证： 粒子A 能级，粒子数分布：l ε——{a l }——简并度l ω 粒子B 能级，粒子数分布：'l ε——{a ’l }——简并度' l ω 由21Ω?Ω=Ω 21ln ln ln Ω+Ω=Ω 即使Ω最大，()11ln ΩΩ， ()22ln ΩΩ达到最大。 l e a l l βεαω--=? l e a l l εβαω''-'-'=' （注：' l a δ与l a δ在此情况下独立） 讨论，若将一系作为子系统，意味总能守恒，于是参照教材玻尔兹曼分布证 明 …… 0ln ln =??? ??''+-''-'??? ? ??''+-???? ???∑∑∑∑∑∑l l l l l l l l l l l l a a a a a a a a δεδεβδαδωδαδω 同一0β，原题得证。这也是满足热平衡的要求。 陕西科技大学试题纸 课程热力学统计物理试题班级物理08- 学号姓名 一、选择题（每小题3分，共30分）。 1、封闭系统指 ( B ) （A）、与外界无物质和能量交换的系统 （B）、与外界有能量交换但无物质交换的系统 （C）、能量守衡的系统 （D）、恒温系统 2、绝对零度时，费米子不能完全“沉积”在基态是由于 ( A ) （A）、泡利不相容原理；（B）、全同性原理 （C）、粒子间没有相互作用（D）、费米气体是简并气体 3、下列说法正确的是（ A ） (A)、一切和热现象有关的实际过程都是不可逆的 (B)、热力学第二定律的表述只有克氏和开氏两种说法 (C)、只要不违背能量守恒定律可以无限制地从海水中提取能量，制成永动机 (D)、第二类永动机不违背热力学第二定律 4、开放系统的热力学基本方程是（ B ） （A）、d U T d S p d V d nμ =-++ =++（B）、d G S d T V d P d nμ （C）、d H T d S V d P d nμ =-+- =+-（D）、d F S d T V d P d nμ 5、近独立子系统组成的复合系统的配分函数 ( D ) （A）、是子系统配分函数的和；（B）、是子系统配分函数的差 （C）、是子系统配分函数的积；（D）、不能确定 6、由热力学基本方程dG=-SdT+Vdp可得麦克斯韦关系 ( B ) （A ）、 （B ）、 （C ）、 （D ）、 7、一级相变和二级相变的特点 ( B ) （A ）、所有物理性质都发生突变 （B ）、化学势一阶偏导数发生突变为一级相变，二阶偏导数发生突变为二级相变 （C ）、只有比容发生突变的为一级相变，比热发生突变为二级相变 （D ）、只有比热发生突变的为一级相变，比容发生突变为二级相变 8、根据热力学第二定律判断下列哪种说法是正确的 （ C ） (A)、热量能从高温物体传到低温物体，但不能从低温物体传到高温物体。 (B)、功可以全部变为热，但热不能全部变为功。 (C)、气体能够自由膨胀，但不能自动收缩。 (D)、有规则运动的能量能够变为无规则运动的能量，但无规则运动的能量不能变为有规则 运动的能量。 9、 玻色分布表达式： 中的a 1是 （ A ） （A ）、第1个能级上的粒子数 （B ）、落入第1个能级的几率 （C ）、几率密度 （D ）、几率分布 10、玻耳兹曼统计中用粒子配分函数Z 1表示的内能是 （ C ） （A ）、 （B ）、 （C ）、 （D ）、 11、当经典极限条件成立时，玻色分布和费米分布过渡为 （ A ） （A ）、玻耳兹曼分布 （B ）、微正则分布 （C ）、麦克斯韦分布 （D ）、正则分布 二、填空题（每小题3分，共30分）。 1、根据费米分布，温度为T 时处在能量为ε的一个量子态上的平均电子数为 。 1 1 += -kT μεe f 2、若过程进行的每一中间态都是平衡态，则此过程称为 过程。 准静态过程。 3、理想玻色气体出现凝聚的临界条件为 ，612.23 ≥λn T V V S T p ??? ????=??? ????T p p S T V ???? ????-=??? ????V S S p V T ??? ????-=??? ????p S S V p T ??? ????=???? ????1 111 a e αβεω+= -1 ln U Z Z β ?=-?1 ln U Z β?=- ?1 ln U N Z β ?=-?1 U N Z β?=-? 热统重点复习题2005 一、名词解释： 1、状态函数： 任何一个物理量，只要它是描述状态的，是状态参量的单值函数，则该物理量就是状态函数。 2、内能： 系统处于一定状态下是具有一定能量的，这种由系统热运动的宏观状态所决定的能量，就叫做内能。 3、自由能判据： 对只有体积变化作功的系统，若体积、温度不变，则 △F≤0 该式表明：等温等容过程中自由能不增加，系统中发生的过程总是向着自由能减少的方向进行，平衡态时自由能最小。 4、吉布斯函数： 1．定义G=U-TS+PV 2．性质 ①是态函数，单位焦耳（J），广延量。 ②由熵增加原理可知在等温等容过程中，有 GA-GB≥W 即等温等压过程中，除体积变化功外，系统对外作的功不大于吉布斯函数的减少。即等温等压过程中，吉布斯函数的减少等于系统对外作的最大非膨胀功（最大功原理）. 5、吉布斯判据： 等温等压系统处在稳定平衡态的必要和充分条件是 △G>0 平衡态的吉布斯函数极小。 对等温等压系统中进行的过程，系统的吉布斯函数不增加，系统中发生的过程是向着吉布斯函数减少的方向进行，平衡态时，吉布斯函数最小（吉布斯判据）； 6、黑体辐射： 若一个物体在任何温度下都能将投射到它上面的电磁波全部吸收而无反射，则这种物体叫黑体，黑体的辐射叫黑体辐射。 7、熵判据： 孤立系统处在稳定平衡态的必要和充分条件为 △S<0 平衡态熵极大。 8、自由能判据： 等温等容系统稳定平衡态的必要和充分条件为 △F> 0 平衡态的自由能极小。 9、玻尔兹曼分布： 玻尔兹曼分布是玻尔兹曼系统处于平衡态时的最概然（即最可几）分布，按照等概率原理，也就是系统微观状态数最多的分布。 10、玻尔兹曼关系：Ω S K =ln 该式表明：熵是系统混乱程度（即无序度）的定量表示，它等于玻尔兹曼常数K乘以系统微观状态数的对数。 11、系综： 系综是指由大量结构完全相同、处于给定的相同宏观条件下彼此独立的假想系统的集合，其中每一个系综都与实际讨论的真实系统有相同的哈密顿，但有不同的微观状态，这种系统的集合叫统计系综（简称系综）。 12、自由能的物理意义： 在等温过程中，系统对外所做的功等于它的自由能的减少，这就是自由能的物理意义。 13、热力学第零定律： 如果两个热力学系统中的每一个都与第三个热力学系统处于热平衡，则它们彼此也必定处于热平衡，这个结论通常叫做热力学第零定律。 14、等几率原理： 对于处在平衡状态的孤立系统，系统各个可能的微观态出现的几率是相等的。这是统计物理学中的基本假设。 15、自由焓的物理意义：在等温等压过程中，除去体积膨胀的一部分功以外，系统对外界所做的功等于它的吉布斯函数（自由焓）的减少，这就是自由焓的物理意义。 二、填空题： 1、热力学第一定律反映了能量守恒和转换时应该遵从的关系，它引进了系统的态函数——内能。 第一章 热力学的基本规律 １。1 试求理想气体的体胀系数α,压强系数β和等温压缩系数κ。 解： 理想气体的物态方程为RT pV =，由此可算得： P P V V k T T P P T T V V T V P 1 )(1;1)(1,1)(1=??-==??==??=βα 1.2 证明任何一种具有两个独立参量Ｔ,P 的物质,其物态方程可由实验测得的体胀系数α及等温压缩系数κ ,根据下述积分求得： ?-=)(ln kdP adT V ，如果P k T a 1 ,1== ,试求物态方程。 证明： dp p V dT T V p T dV T P )()( ),(??+??= 两边除以V ，得 dp dT dp p V V dT T V V V dV T P κα-=??+??=)(1)(1 积分后得 ?-=)(ln kdP adT V 如果 ,1,1p T == κα 代入上式，得C P T P dP T dT V ln ln ln )( ln +-=-=? 所以物态方程为：CT PV = 与1ｍｏl 理想气体得物态方程PV=RT 相比较，可知所要求的物态方程即为理想气体物态方程. 1.３在0０C 和1atm 下,测得一块铜的体胀系数和压缩系数为a=4.１85 ×10—5Ｋ—1，ｋ=7．8×１0 —７ ａｔｍ－1 .ａ和ｋ可以近似看作常数。今使铜 加热至１00C ，问(1）压力要增加多少大气压才能使铜块的体积维持不变?（2）若压力增加1０0at ｍ，铜块的体积改变多少? 解:（ａ)由上题dp dT dp p V V dT T V V V dV T P κα-=??+??=)(1)(1 体积不变,即0=dV 所以dT k a dP = 即atm T k a P 62210108.71085.47 5=???=?=?-- (b ） 47512121 1 211007.4100108.7101085.4)()(---?=??-??=---=-=?p p T T V V V V V κα 可见，体积增加万分之4.07。 1.4 描述金属丝的几何参量是长度L ，力学参量是张力F ，物态方程是 f （F ，Ｌ,Ｔ)=０.实验通常在1p n 下进行，其体积变化可以忽略。 线胀系数定义为F T L L a )(1??= ，等温杨氏模量定义为 T L F A L Y )(??=, 其中A 是金属丝的截面积.一般来说,α和Y 是T 的函数,对F 仅有微弱的依赖关系。如果温度变化范围不大，可以看作常量.假设金属丝两端固定。试 证明，当温度由T １降至Ｔ２时，其张力的增加为 21()F YA T T α?=-- 证明:（a ）设(,)F F T L =，则 L T F F dF dT dL T L ?????? =+ ? ??????? （1) 3.4 求证： （a ）,,;V n T V S T n μ?????? =- ? ??????? （b ）,,.T p t n V p n μ?????? = ? ??????? 解：（a ）由自由能的全微分（式（3.2.9）） dF SdT pdV dn μ=--+ （1） 及偏导数求导次序的可交换性，易得 ,,.V n T V S T n μ?????? =- ? ??????? （2） 这是开系的一个麦氏关系. （a ） 类似地，由吉布斯函数的全微分（式（3.2.2）） dG SdT Vdp dn μ=-++ （3） 可得 ,,.T p T n V p n μ??????= ? ??????? （4） 这也是开系的一个麦氏关系. 3.5 求证： ,,.T V V n U T n T μμ?????? -=- ? ??????? 解：自由能F U T S =-是以, ,T V n 为自变量的特性函数，求F 对n 的 偏导数（, T V 不变），有 ,,,.T V T V T V F U S T n n n ????????? =- ? ? ?????????? （1） 但由自由能的全微分 dF SdT pdV dn μ=--+ 可得 ,,,,, T V T V V n F n S n T μμ??? = ? ????????? =- ? ??????? （2） 代入式（1），即有 ,,.T V V n U T n T μμ?????? -=- ? ??????? （3） 3.7 试证明在相变中物质摩尔内能的变化为 1.m p dT U L T dp ?? ?=- ?? ? 如果一相是气相，可看作理想气体，另一相是凝聚相，试将公式化简. 解：发生相变物质由一相转变到另一相时，其摩尔内能m U 、摩尔焓m H 和摩尔体积m V 的改变满足 .m m m U H p V ?=?-? （1） 平衡相变是在确定的温度和压强下发生的，相变中摩尔焓的变化等于物质在相变过程中吸收的热量，即相变潜热L ： .m H L ?= 克拉珀龙方程（式（3.4.6））给出 ,m dp L dT T V = ? （3） 即 .m L dT V T dp ?= （4） 将式（2）和式（4）代入（1），即有 1.m p dT U L T dp ???=- ?? ? （5） 如果一相是气体，可以看作理想气体，另一相是凝聚相，其摩尔体积远小于气相的摩尔体积，则克拉珀龙方程简化为 2 .dp L p dT R T = （6） 式（5）简化为 1.m RT U L L ???=- ?? ? （7） 3.9 以C βα表示在维持β相与α相两相平衡的条件下1mol β相物质升高1K 所吸收的热量，称为β相的两相平衡摩尔热容量，试证明： 热力学与统计物理试题及 答案 Revised by BLUE on the afternoon of December 12,2020. 一．选择（25分 ） 1.下列不是热学状态参量的是（ ） A.力学参量 B 。几何参量 C.电流参量 D.化学参量 2.下列关于状态函数的定义正确的是（ ) A.系统的吉布斯函数是：G=U-TS+PV B.系统的自由能是：F=U+TS C.系统的焓是：H=U-PV D.系统的熵函数是：S=U/T 3.彼此处于热平衡的两个物体必存在一个共同的物理量，这个物理量就是（ ） A.态函数 B.内能 C.温度 D.熵 4.热力学第一定律的数学表达式可写为（ ） A.W Q U U A B +=- B.W Q U U B A +=- C.W Q U U A B -=- D.W Q U U B A -=- 5.熵增加原理只适用于（ ） A.闭合系统 B.孤立系统 C.均匀系统 D.开放系统 二．填空（25分） 1.孤立系统的熵增加原理可用公式表示为（）。 2.热力学基本微分方程du=（）。 3.热力学第二定律告诉我们，自然界中与热现象有关的实际过程都是（）。 4.在S.V不变的情况下，平衡态的（）最小。 5.在T.VB不变的情形下，可以利用（）作为平衡判据。 三.简答（20分） 1.什么是平衡态平衡态具有哪些特点 2. 3.什么是开系，闭系，孤立系？ 四.证明（10分） 证明范氏气体的定容热容量只是温度的函数,与比容无关 五．计算（20分） 试求理想气体的体胀系数α，压强系数β，等温压缩系数 T K 参考答案 一.选择 1~5AACAB 二.填空 1. ds≧0 2. Tds-pdv 3. 不可逆的 4. 内能 5. 自由能判据 三．简答 1.一个孤立系统，不论其初态如何复杂，经过足够长的时间后，将会达到这样状态，系统的各种宏观性质在长时间内不发生变化，这样的状态称为热力学平衡态。特点：不限于孤立系统 弛豫时间 涨落 热动平衡 2.开系：与外界既有物质交换，又有能量交换的系统 第一章 热力学的基本规律 1.1 试求理想气体的体胀系数α，压强系数β和等温压缩系数κ。 解： 理想气体的物态方程为RT pV =,由此可算得： P P V V k T T P P T T V V T V P 1 )(1;1)(1,1)(1=??-==??==??=βα 1.2 证明任何一种具有两个独立参量T ，P 的物质，其物态方程可由实验测得的体胀系数α及等温压缩系数κ ，根据下述积分求得： ?-=)(ln kdP adT V ，如果P k T a 1 ,1== ，试求物态方程。 证明： dp p V dT T V p T dV T P )()( ),(??+??= 两边除以V,得 dp dT dp p V V dT T V V V dV T P κα-=??+??=)(1)(1 积分后得 ?-=)(ln kdP adT V 如果 ,1,1p T == κα 代入上式，得C P T P dP T dT V ln ln ln )( ln +-=-=? 所以物态方程为：CT PV = 与1mol 理想气体得物态方程PV=RT 相比较，可知所要求的物态方程即为理想气体物态方程。 1.3在00C 和1atm 下，测得一块铜的体胀系数和压缩系数为a=4.185 ×10-5K -1，k=7.8×10-7 atm -1 。a 和k 可以近似看作常数。今使铜加热至100 C ， 问（1）压力要增加多少大气压才能使铜块的体积维持不变？（2）若压力增加100atm ，铜块的体积改变多少？ 解：（a ）由上题dp dT dp p V V dT T V V V dV T P κα-=??+??=)(1)(1 体积不变，即0=dV 所以dT k a dP = 即atm T k a P 62210108.71085.47 5=???=?=?-- (b) 47512121 1 211007.4100108.7101085.4)()(---?=??-??=---=-=?p p T T V V V V V κα 可见，体积增加万分之4.07。 1.4 描述金属丝的几何参量是长度L,力学参量是张力F,物态方程是 f(F ,L,T)=0。实验通常在1p n 下进行，其体积变化可以忽略。 线胀系数定义为F T L L a )(1??= ，等温杨氏模量定义为 T L F A L Y )(??=， 其中A 是金属丝的截面积。一般来说，α和Y 是T 的函数，对F 仅有微弱的依赖关系。如果温度变化范围不大，可以看作常量。假设金属丝两端固定。试证明，当温度由T 1降至T 2时，其张力的增加为 21()F YA T T α?=-- 证明：（a ）设(,)F F T L =，则 L T F F dF dT dL T L ?????? =+ ? ??????? （1） 由于1L F T F T L T L F ????????? =- ? ? ?????????? 热力学基础测试题（一） 的标准摩尔生成焓的反应是……… (1) 表示CO 2 (2)下列情况中属于封闭体系的是……………………… (A) 用水壶烧开水(B)氯气在盛有氯气的密闭绝热容器中燃烧 (C) 氢氧化钠与盐酸在烧杯里反 (D)反应在密闭容器中进行 应 (3)下列叙述中正确的是……………………… (A) 恒压下ΔH＝Q p及ΔH＝H2－H1。因为H2和H1均为状态函数，故Qp也为状态函数。 (B) 反应放出的热量不一定是该反应的焓变 (C) 某一物质的燃烧焓愈大，其生成焓就愈小 (D) 在任何情况下，化学反应的热效应只与化学反应的始态和终态有关，而与反应的途径 无关 (4) 按通常规定，标准生成焓为零的物质有………………… (A) C（石墨）(B) Br2(g) (C) N2(g)(D) 红磷（p） (5)下列叙述中正确的是……………… (A) 由于反应焓变的常用单位是KJ/mol，故下列两个反应的焓变相等： (B) 由于CaCO3的分解是吸热的，故它的生成焓为负值 (C) 反应的热效应就是该反应的焓变 (D) 石墨的焓不为零 （g）的生成焓等于………………… (6)CO 2 (A) CO2（g）燃烧焓的负值(B) CO(g)的燃烧焓 (C) 金刚石的燃烧焓(D) 石墨的燃烧焓 (7)由下列数据确定键N－F的键能为 ………………………… (A) 833.4KJ/mol(B) 277.8 KJ/mol (C) 103.2 KJ/mol(D) 261.9 KJ/mol (8)由下列数据确定水分子中键O－H的键能应为 ……………………… (A) 121KJ/mol(B) 231.3 KJ/mol (C) 464 KJ/mol (D) 589 KJ/mol （g）的为 (9)由下列数据确定 CH 4 ………… (A) 211 KJ /mol(B) -74.8KJ/mol (C) 890.3KJ/mol(D) 缺条件，无法算。 一. 填空题 1. 设一多元复相系有个?相，每相有个k 组元，组元之间不起化学反应。此系统平衡时必同时满足 条件： T T T αβ?=== 、 P P P αβ? === 、 (,)i i i 1,2i k αβ? μμμ==== 2. 热力学第三定律的两种表述分别叫做： 能特斯定律 和 绝对零度不能达到定律 。 3.假定一系统仅由两个全同玻色粒子组成，粒子可能的量子态有4种。则系统可能的微观态数为：10 。 4.均匀系的平衡条件是 0T T = 且 0P P = ；平衡稳定性条件是 0V C > 且()0 T P V ? 1.1 试求理想气体的体胀系数α,压强系数β和等温压缩系数 κT 。 解：已知理想气体的物态方程为 ,pV nRT = （1） 由此易得 11 ,p V nR V T pV T α???= == ? ??? （2） 11 ,V p nR p T pV T β???= == ? ??? （3） 2111 .T T V nRT V p V p p κ???????=-=--= ? ? ???????? （4） 1.2 证明任何一种具有两个独立参量,T p 的物质，其物态方程可由实验测得的体胀系数α及等温压缩系数κT ，根据下述积分求得： ()ln T V =αdT κdp -? 如果11 ,T T p ακ== ，试求物态方程。 解：以,T p 为自变量，物质的物态方程为 (),,V V T p = 其全微分为 .p T V V dV dT dp T p ?????? =+ ? ? ?????? （1） 全式除以V ，有 11.p T dV V V dT dp V V T V p ??????=+ ? ??????? 根据体胀系数α和等温压缩系数T κ的定义，可将上式改写为 .T dV dT dp V ακ=- （2） 上式是以,T p 为自变量的完整微分，沿一任意的积分路线积分，有 ()ln .T V dT dp ακ=-? （3） 若1 1,T T p ακ==，式（3）可表为 11ln .V dT dp T p ?? =- ???? （4） 选择图示的积分路线，从00(,)T p 积分到()0,T p ，再积分到（,T p ），相应地体 积由0V 最终变到V ，有 000 ln =ln ln ,V T p V T p - 即 00 p V pV C T T ==（常量） ， 或 .p V C T = （5） 式（5）就是由所给11,T T p ακ==求得的物态方程。 确定常量C 需要进一步的实验数据。 热力学统计物理填空练习题 1.当热力学系统与外界无相互作用时,经过足够长时间,其宏观性质 不随 时间改变，其所处的 状态 为热力学平衡态。 2． 孤立 系统，经过足够长时间，其 宏观性质 不随时间改变，其 所处的状态为热力学平衡态。 4．对于非孤立系统，当其与外界作为一个整体处于热力学平衡态时，此 时的系统所处的状态是 热力学平衡态 。 5．欲描述非平衡系统的状态，需要将系统分成若干个小部分，使每小部 分具有 F 、G 最小 小，但微观上又包含大量粒子，则每小部分都可 视为 热力学平衡态 。 6．描述热力学系统平衡态的独立参量和 温度T 之间关系的方程式叫物 态方程，其一般表达式为 。 8．定压膨胀系数的意义是在 压强 不变的条件下系统体积随 温度 的 相对变化。 9．定容压力系数的意义是在 体积 不变条件下系统的压强随 温度 的相对变化。 10．等温压缩系数的意义是在 温度不变条件下系统的体积随 压强 的相对变化。 11．循环关系的表达式为 。 12．在无摩擦准静态过程中存在着几种不同形式的功，则系统对外界作的 功∑-=δi i dy Y W ，其中i y 是 广义坐标 ，i Y 是与i y 相应的 广义力 。 13．W Q U U A B +=-，其中W 是 外界 作的功。 14．?=+=0W Q dU ， -W 是 外界对系统 作的功，且-W 等于 系统对外界 15．?δ+δ2L 11W Q ?δ+δ2 L 12W Q （1、2均为热力学平衡态,L 1、L 2为准静态过程）。 16．第一类永动机是指 违背热力学第一定律 的永动机。 17．内能是 状态 函数，内能的改变决定于 初态 和 末 态 。 18．焓是 状态 函数，在等压过程中，焓的变化等于 吸收 的 热量。 19．理想气体内能 只与 温度有关，而与体积 无关 。 1、 定容压强系数的表达式是 （ C ） （A ）0lim ()V T p T β?→?=? （B ）01lim ()V T p V T β?→?=? （C ） 1()V p p T β?=? （D ）()V p T β?=? 2、 体胀系数α、压强系数β、等温压缩系数T κ三者关系正确的是 （ A ） （A ）T P αβκ= （B ）T P βακ= （C ）T P καβ= （D ）T P βακ=- 1()P V V T α?=? 1()T T V V P κ?=-? 1()V P P T β?=? 3、根据热力学第二定律，判断下列哪种说法是正确的 （ D ） (A)、热量能从高温物体传到低温物体，但不能从低温物体传到高温物体。 (B)、功可以全部变为热，但热不能全部变为功。 (C)、气体能够自由膨胀，但不能自动收缩。 (D)、有规则运动的能量能够变为无规则运动的能量，但无规则运动的能量不能变为有规则 运动的能量。 4、热力学第二定律的微分表达式为（dQ dS T ≥） 5、热力学第一定律的数学表达式（微分）为：dU dW dQ =+ 4、关于熵的理解正确的是（C ） A 系统从初态到末态，经不同的过程所得到的熵增不一样 B 系统经绝热过程从初态到末态的熵增一定为0 C A 和B 分别对应系统的两个不同的状态，则B B A A ?Q S S T -≥? D A 和B 分别对应系统的两个不同的状态，则B B A A ?Q S S T -=? 5、关于自由能、吉布斯函数、熵的认识不正确的是（D ） A 在等温等容过程中，系统的自由能永不增加 B 孤立系统的熵永不减少 C 等温等压过程后，系统的吉布斯函数永不增加 D 等温等压过程后，系统的自由能永不增加 1.描述系统处在平衡状态的四类参量（宏观物理量）分别是什么？宏观参量彼此间是存在一定函数联系的。 2.对于简单系统，常用的参量是什么？ 3.理想气体的物态方程是？ 4.外界简单热力学系统做功的表达式 ；对于液体表面薄膜来说，外界做功的表达式 ；对于电介质，外界做功是用来 ；对于磁介质，外界做功用来 5.温度（ ）宏观物理参量吗？（是/不是） 判断题 1.理想气体的内能与压强、体积有关？ 2.物体在等温过程中不从外界吸热？ 3.理想气体的等温线比绝热线陡峭 4.热量不可能从低温物体流向高温物体 第七章 玻耳兹曼统计 习题7.1根据公式∑??-=l l l V a P ε证明，对于非相对论粒子： )()2( 2122 222 2 z y x n n n L m m p s ++= = π，z y x n n n ,,=0，±1，±2，… 有V U p 32=,上述结论对玻耳兹曼分布、玻色分布和费米分布都成立。 证：∑??-=l l l V a P ε=?? ????++??- ∑ )()2(212222z y x l l n n n L m V a π =?? ? ???++??-∑)()2(222223 z y x l l n n n L m L V a π 其中 V a u l l ε∑= ;V ~3L ?=p ??? ? ??? ? ++?? - ∑)() 2(212 2 2 2 32 z y x l l n n n V m V a π (对同一l ,2 22z y x n n n ++) =m a l l 21∑-2 )2( π)(2 22z y x n n n ++) 3 2(3 5- - V =m a l l 21∑-2 2 222) ()2(L n n n z y x ++ π) 3 2(3 532-- V V = V U 32 习题7.2试根据公式∑??-=l l l V a P ε证明，对于极端相对论粒子： 2 1 2 22) (2z y x n n n L c cp ++== πε，z y x n n n ,,=0，±1，±2，… 有V U p 31= ,上述结论对玻耳兹曼分布、玻色分布和费米分布都成立。 证： ∑??-=l l l V a P ε； 内 蒙 古 大 学 理 工 学 院 物理 系 02-03学年第1学期 统计热力学 期末考试试卷（A ） 学号 姓名 专业 数理基地 年级 2000 重修标记 □ 闭(开)卷 120分钟 一、 一、 （30分） 1． 1． 已知一质点按照)sin(?ω+=t x 的规律振动,若偶然测量其位置，试求在 dx x x +→这一间隔内发现质点的几率； 解： 设质点在dx x x +→间隔内的运动时间为dt ， 这一间隔内，质点出现的几率ω π 22dt dw = 又 )sin(?ω+=t x dt t dx ω?ω?+=)cos( 2 1x dx -= ω 2 1x dx dw -= ∴π 2． 2． 证明V V E E p T C p V T ??? ????-=??? ???? 证明： T V T V E V E T E V E E T V T ? ?? ??????? ????-=? ?? ??????? ????-=??? ????1 （1） 及 V V C T E =??? ???? 将 p T p T V E V T -??? ????=??? ????代入（1）式 则 V V E E p T C p V T ??? ????-= ??? ???? 二、 二、 设N 个粒子组成的系统能级可写成()...3,2,1, 0==n n n εε，其中 0ε为常数，试求系统的能量和定容热容量（15分） 解：由单粒子能量可以得到粒子的配分函数： ∑-=n n e z βε 由 ()...3,2,1, 0==n n n εε 1 1 0-= βεe z 系统平均能量： () 201 ln 00-=?? -=βεβεεβe e N z N E 定容热容量： 热力学与统计物理复习题及答案 一、解释如下概念 ⑴热力学平衡态；⑵可逆过程；⑶ 准静态过程；⑷焦耳-汤姆逊效应；⑸μ空间；⑹Γ 空间；⑺特性函数；⑻系综；⑼混合系综；⑽非简并性条件；⑾玻色——爱因斯坦凝聚； ⑴热力学平衡态：一个孤立系统经长时间后，宏观性质不随时间而变化的状态。 ⑵可逆过程：若系统经一过程从状态A 出发到达B 态后能沿相反的过程回到初态A ， 而且在回到A 后系统和外界均回复到原状，那么这一过程叫可逆过程。 ⑶ 准静态过程： 如果系统状态变化很缓慢，每一态都可视为平衡态，则这过程叫准静态过程。 ⑷焦耳一汤姆孙效应：气体在节流过程中气体温度随压强减小而发生变化的现象。 ⑸μ空间：设粒子的自由度r ，以r 个广义坐标为横轴，r 个动量为横轴，所张成的 笛卡尔直角空间。 ⑹Γ空间：该系统自由度f ，则以f 个广义坐标为横轴，以f 个广义动量为纵轴，由此张成的f 2维笛卡尔直角空间叫Γ空间。 ⑺特性函数：若一个热力学系统有这样的函数，只要知道它就可以由它求出系统的其它函数，即它能决定系统的热力学性质，则这个函数叫特性函数。 ⑻系综：大量的彼此独立的具有相同结构但可以有不同微观状态的假想体系的集合叫系综，常见的有微正则系综、正则系综、巨正则系综。 ⑼混合系综：设系统能级E 1…，E n …，系综中的n 个系统中，有n 1个处于E 1的量子态；…，有n i 个系统处于E i 的相应量子态，则这样的系综叫混合系综。 ⑽非简并性条件：指1/< 《大学物理学Ⅰ》热力学基础 一、选择题 1．如图所示，bca 为理想气体的绝热过程，b 1a 和b 2a 是任意过程，则上述两过程中气体做功与吸收热量的情况是 ( ) （A ）b 1a 过程放热、作负功，b 2a 过程放热、作负功； （B ）b 1a 过程吸热、作负功，b 2a 过程放热、作负功； （C ）b 1a 过程吸热、作正功，b 2a 过程吸热、作负功； （D ）b 1a 过程放热、作正功，b 2a 过程吸热、作正功。 2．如图，一定量的理想气体，由平衡态A 变到平衡态B ，且他们的压强相等，即A B P P 。问在状态A 和状态B 之间，气体无论经过的是什么过程，气体必然 ( ) （A ）对外作正功；（B ）内能增加； （C ）从外界吸热；（D ）向外界放热。 3．两个相同的刚性容器，一个盛有氢气，一个盛氦气(均视为刚性理想气体)，开始时它们的压强和温度都相同，现将3 J 的热量传给氦气，使之升高到一定的温度，若氢气也升高到同样的温度，则应向氢气传递热量为 ( ) （A ）6J ； （B ）3J ； （C ）5J ； （D ）10J 。 4．有人想象了如图所示的四个理想气体的循环过程，则在理论上可以实现的是（ ） 5．一台工作于温度分别为327℃和27℃的高温热源与低温热源之间的卡诺热机，每经历一个循环吸热2000J ，则对外做功（ ） （A ）2000J ； （B ）1000J ； （C ）4000J ； （D ）500J 。 A （） C （） B （） D （） 6．根据热力学第二定律（ ） （A ）自然界中的一切自发过程都是不可逆的； （B ）不可逆过程就是不能向相反方向进行的过程； （C ）热量可以从高温物体传到低温物体，但不能从低温物体传到高温物体； （D ）任何过程总是沿熵增加的方向进行。 7．如图所示为一定量的理想气体的p —V 图，由图可得出结论 ( ) （A ）ABC 是等温过程；（B ）B A T T >； （C ）B A T T <； （D ）B A T T =。 8．对于室温下定体摩尔热容 2.5V C R =的理想气体，在等压膨胀的情况下，系统对外做功与从外界吸收的热量之比/W Q 等于 （ ） （A ）1/3； （B ）1/4； （C ）2/5； （D ）2/7。 9．气缸内储有2.0mol 的空气，温度为27℃，若使空气的体积等压膨胀到原来的3倍，则因为空气而对外界所作的功为 （ ） （A ）897J ； （B ）4986J ； （C ）9972J ； （D ）14958J 。 10．一定量的理想气体，处在某一初始状态，现在要使它的温度经过一系列状态变化后回到初始状态的温度，可能实现的过程为 （ ） （A ）先保持压强不变而使它的体积膨胀，接着保持体积不变而增大压强； （B ）先保持压强不变而使它的体积减小，接着保持体积不变而减小压强； （C ）先保持体积不变而使它的压强增大，接着保持压强不变而使它体积膨胀； （D ）先保持体积不变而使它的压强减小，接着保持压强不变而使它体积膨胀。 11．气体的定压摩尔热容P C 大于定体摩尔热容V C ，其主要原因是 ( ) （A ）膨胀系数不同； （B ）温度不同； （C ）气体膨胀需作功； （D ）分子引力不同。 12．压强、体积和温度都相同（常温条件）的氧气和氦气在等压过程中吸收了相等的热量，它们对外作的功之比为 ( ) （A ）1:1； （B ）5:9； （C ）5:7； （D ）9:5。 13．一摩尔单原子理想气体，从初态温度1T 、压强1p 、体积1V ，准静态地等温压缩至体积 2V ，外界需作多少功？ ( ) （A ）121ln V V RT ； （B ）2 11ln V V RT ； （C ）)(121V V p -； （D ）1122V p V p -。 ) 33m - 一．选择（25分） 1.下列不是热学状态参量的是（ ） A.力学参量 B 。几何参量 C.电流参量 D.化学参量 2.下列关于状态函数的定义正确的是（ ) A.系统的吉布斯函数是：G=U-TS+PV B.系统的自由能是：F=U+TS C.系统的焓是：H=U-PV D.系统的熵函数是：S=U/T 3.彼此处于热平衡的两个物体必存在一个共同的物理量，这个物理量就是（ ） A.态函数 B.内能 C.温度 D.熵 4.热力学第一定律的数学表达式可写为（ ） A.W Q U U A B +=- B.W Q U U B A +=- C.W Q U U A B -=- D.W Q U U B A -=- 5.熵增加原理只适用于（ ） A.闭合系统 B.孤立系统 C.均匀系统 D.开放系统 二．填空（25分） 1.孤立系统的熵增加原理可用公式表示为（ ）。 2.热力学基本微分方程du=（ ）。 3.热力学第二定律告诉我们，自然界中与热现象有关的实际过程都是（）。 4.在S.V不变的情况下，平衡态的（）最小。 5.在T.VB不变的情形下，可以利用（）作为平衡判据。 三.简答（20分） 1.什么是平衡态？平衡态具有哪些特点？ 2.什么是开系，闭系，孤立系？ 四.证明（10分） 证明范氏气体的定容热容量只是温度的函数,与比容无关 五．计算（20分） 试求理想气体的体胀系数α，压强系数β，等温压缩系数 T K 参考答案 一.选择 1~5AACAB 二.填空 1. ds≧0 2. Tds-pdv 3. 不可逆的 4. 内能 5. 自由能判据 三．简答 1.一个孤立系统，不论其初态如何复杂，经过足够长的时间后，将会达到这样状态，系统的各种宏观性质在长时间内不发生变化，这样的状态称为热力学平衡态。 特点：不限于孤立系统 弛豫时间 涨落 热动平衡 2.开系：与外界既有物质交换，又有能量交换的系统 闭系：与外界没有物质交换，但有能量交换的系统， 孤立系：与其他物体既没有物质交换也没有能量交换的系统四．证明2009热统复习题与思考题及答案
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