切线长定理的证明及其运用

《切线长定理》教学设计

1、教材分析

重点、难点分析

重点：切线长定理及其应用．因切线长定理再次体现了圆的轴对称性，它为证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系等提供了理论依据，它属于工具知识，经常应用，因此它是本节的重点．

难点：与切线长定理有关的证明和计算问题．不仅应用切线长定理，还用到方程的知识，是代数与几何的综合题，学生往往不能很好的把知识连贯起来．2、教法建议

本节内容需要一个课时．

（1）在教学中，组织学生自主观察、猜想、证明，并深刻剖析切线长定理的基本图形；对重要的结论及时总结；

（2）在教学中，以“观察——猜想——证明——剖析——应用——归纳”为主线，开展在教师组织下，以学生为主体，活动式教学．

教学目标

1．理解切线长的概念，掌握切线长定理；

2．通过对例题的分析，培养学生分析总结问题的习惯，提高学生综合运用知识解题的能力，培养数形结合的思想．

3．通过对定理的猜想和证明，激发学生的学习兴趣，调动学生的学习积极性，树立科学的学习态度．

教学重点:

切线长定理是教学重点

教学难点:

切线长定理的灵活运用是教学难点

教学过程设计:

（一）观察、猜想、证明，形成定理

1、切线长的概念．

如图，P是⊙O外一点，PA，PB是⊙O的两条切线，我们把线段PA，PB 叫做点P到⊙O的切线长．

引导学生理解：切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；

切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量.

2、观察

利用PPT来展示P 的位置的变化，观察图形的特征和各量之间的关系．

3、猜想

引导学生直观判断，猜想图中PA是否等于PB．PA＝PB．

4、证明猜想，形成定理．

猜想是否正确。需要证明．

组织学生分析证明方法．关键是作出辅助线OA，OB，

要证明PA＝PB．

想一想：根据图形，你还可以得到什么结论？

∠OPA＝∠OPB(如图)，连接AB，有AD=BD等．

切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．

5、归纳：

把前面所学的切线的5条性质与切线长定理一起归纳切线的性质

6、切线长定理的基本图形研究（小组合作交流）

如图，PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点．直线OP交⊙O于点D，E，交AB于C

要求：就你所知晓的几何知识，写出你认为正确

的结论，小组交流，看哪个小组的结论最多，用最简

短的话语证明你的结论是正确的。

说明：对基本图形的深刻研究和认识是在学习几

何中关键，它是灵活应用知识的基础．

（二）应用、归纳、反思

例1、已知：如图,PA、PB是⊙O的切线，切点分别是A、B，Q为AB上一点，过Q点作⊙O的切线，交PA、PB于E、F点，已知PA=12CM，求△PEF的周

长。

分析：从切线长定理着手，引导三角形周长的求法。直接运用。

学生组织解题过程，在草稿纸上完成。

反思：教师引导学生分析过程，激发学生的学习兴趣，培养学生善于观察图形，从中找出相应知识点，从而实现新旧知识衔接的能力．

例2、已知：两个同心圆PA、PB是大圆的两条切线，PC、PD是小圆的两条切线，A、B、C、D为切点。

求证：AC=BD

分析：从切线长定理的结论着手，引导辅助线的作法

进而解决问题。

反思：在本题的解法中，同学们可以看出，通过不同的分析思路和观察的角度可以明显地得到不同的解法，而且其繁简程度一目了然。然而由于本题综合性较强，学生在学习的过程中被动接受的可能性大，在今后的练习设计中要更加注重难度的梯度和适当的铺垫。

2．课堂训练：

练习1、如图，PA、PB是⊙O的两条切线，切点分别为点A、B，若直径

AC= 12，∠P=60o，求弦AB的长．

练习2、如图：⊙O是以正方形ABCD一边BC为直径的圆，过A作AF与⊙O相切于点E，交CD于F，若AB=4，求S

⊿ADF

（三）小结

1、提出问题学生归纳

（1）这节课学习的具体内容；

（2）学习用的数学思想方法；

（3）应注意哪些概念之间的区别?

2、归纳基本图形的结论

3、学习了用代数方法解决几何问题的思想方法．

（四）布置作业

教学反思：

在整节课中对本课的重点学习内容能组织学生自主观察、猜想、证明，并深刻剖析切线长定理的基本图形；对重要的结论及时总结。尤其是切线长定理的基本图形研究环节学生能充分利用已有的知识和新授内容结合，把切线长定理和圆的对称性紧密接合，体现了本节课知识点的工具性。在例题的选择中注重了角度计算，长度计算和在具体情境中能准确地找出并运用切线长定理来分析问题，解决问题。

在提高题的选择上，我的本意是能在平时教学中让学生接触中考题型，提供一题多解的证明思路，激发学生的学习兴趣，但从学生的接受程度来看，显然是有点偏难了。通过本节课使我充分地认识到：教学不能只从教师的知识水平和以往的教学实践来施行，更应该注重学生的实际知识水平和能力状况。就构建主义的理论而言，学生只有对发生在最近发展区内的教学内容效果是最显著的，如果梯度过大就失去了“脚手架”的作用了。

北京市2014届九年级数学下册 切线长定理的应用课后练习一 新人教版

专题：切线长定理的应用 重难点易错点解析 题一： 题面：⊙O 的两条切线PA 和PB 相交于点P ，与⊙O 相切于A 、B 两点，C 是⊙O 上的一点，若∠P =60°，求∠ACB 的度数. 金题精讲 题一： 题面：如图1，△ABC 中，CA =CB ，点O 在高CH 上，OD ⊥CA 于点D ，OE ⊥CB 于点E ，以O 为圆心，OD 为半径作⊙O ． （1）求证：⊙O 与CB 相切于点E ； （2）如图2，若⊙O 过点H ，且AC =5，AB =6，连结EH ，求△BHE 的面积． 图1 图2 满分冲刺 题一： 题面：如图，直角梯形ABCD 中，以AD 为直径的半圆与BC 相切于E ，BO 交半圆于F ，DF 的延 长线交AB 于点P ，连DE ．以下结论：①DE ∥OF ；②AB +CD =BC ；③PB =PF ；④AD 2 =4AB ?DC ．其中正确的是（ ） A ．①②③④ B ．只有①② C ．只有①②④ D ．只有③④

题二： 题面：如图①所示，AB为⊙O的直径，AD与⊙O相切于点A，DE与⊙O相切于点E，点C为DE 延长线上一点，且CE＝CB. (1)求证：BC为⊙O的切线； (2)连接AE，AE的延长线与BC的延长线交于点G(如图②所示)．若AB＝25，AD＝2，求线段BC和EG的长． 课后练习详解 重难点易错点解析 题一： 答案：60或120度 解析：连接OA、OB， ∵PA、PB与圆O分别相切于点A、B， ∴OA⊥AP，OB⊥PB， ∴∠OAP=∠OBP=90°，又∠P=60°， ∴∠AOB=360°-90°-90°-60°=120°， 当点C在优弧AC上时，如图

圆幂定理及其应用

[文件] sxc3jja0008.doc [科目] 数学 [年级] 初三 [章节] [关键词] 圆/圆幂定理/应用 [标题] 圆幂定理及其应用 [内容] 教学目标 1.使学生理解相交弦定理、切割线定理及其推论间的相互关系，并能综合运用它们解 决有关问题； 2.通过对例题的分析，提高学生分析问题和解决问题的能力，并领悟添加辅助线的方 法； 3.从运动的观点来统一认识圆幂定理.对学生进行事物之间是相互联系和运动变化的 观点的教育. 教学重点和难点 相交弦定理、切割线定理及其推论之间的关系以及应用是重点；灵活运用圆幂定理解题是难点. 教学过程设计 一、从学生原有的认知结构提出问题 1.根据图7-162(1)、(2)、(3)，让学生结合图形，说出相交弦定理、切割线定理、割线定理的内容. 2.然后提出问题.相交弦定理、切割线定理及其推论这三者之间是否有联系? 提出问题让学生思考，在学生回答的基础上，教师用电脑或投影演示图形的变化过程， 从相交弦定理出发，用运动的观点来统一认识定理. (1)如图7-163，⊙O的两条弦AB，CD相交于点P，则PA·PB＝PC·PD.这便是我们学过的相交弦定理.对于这个定理有两个特例： 一是如果圆内的两条弦交于圆心O，则有PA＝PB＝PC＝PD＝圆的半径R，此时AB，CD是直径，相交弦定理当然成立.(如图7-164)

二是当P点逐渐远离圆心O，运动到圆上时，点P和B，D重合，这时PB＝PD＝O，仍然有PA·PB＝PC·PD＝O，相交弦定理仍然成立.(图7-165) (2)点P继续运动，运动到圆外时，两弦的延长线交于圆外一 点P，成为两条割线，则有PA·PB＝PC·PD，这就是我们学过的 切割线定理的推论(割线定理).(图7-166) (3)在图7-166中，如果将割线PDC按箭头所示方向绕P点旋 转，使C，D两点在圆上逐渐靠 近，以至合为一点C，割线PCD变成切线PC.这时有PA·PB＝PC·PD ＝PC2，这就是我们学过的切割线定理.(图7-167) (4)如果割线PAB也绕P点向外旋转的话，也会成为一条切线PA.这时应有PA2＝PB2，可得PA＝PB，这就是我们学过的切线长定理.(图7-168) 至此，通过点的运动及线的运动变化，我们发现，相交弦定理、切割线定理及其推论和 切线长定理之间有着密切的联系. 3.启发学生理解定理的实质. 经过一定点P作圆的弦或割线或切线，如图7-169. 观察图7-169，可以得出：(设⊙O半径为R) 在图(1)中，PA·PB＝PC·PD＝PE·PF ＝(R-OP)(R+OP) ＝R2-OP2；

切线的判定定理(教案)

24.2.2直线与圆的位置关系（第2课时） 切线的判定定理（教案） 西河中学** 一．教学目标。 知识与技能目标：使学生掌握如何判定某条直线是圆的切线的方法，通过定理提高学生如何判定直线和圆的位置关系。 能力目标：学生经过探究观察分析最后得出判定定理，加深对定理中两个条件的理解，培养学生分析探究问题的能力和对学习的积极性。 情感与态度目标：通过掌握判定某条直线是圆的切线的方法，掌握解决问题要用理论依据说话的道理，培养学生解决问题的能力和勇于发现的探究的创新精神。 二．教学重点和难点：1.重点：理解运用判定定理判定某条直线是圆的切线必须同时满足两条件。2.难点：借助辅助线判定某条直线是圆的切线。 三．教学过程 活动1 复习引入：直线与圆的三中位置关系中（幻灯片1，2），最重要的是直线与圆相切，本节课重点研究这一种位置关系。 若直线与圆只有一个交点时，直线必然是圆的切线。那么经过圆上一点（如一条半径的外端）的直线是否一定是否是圆的切线呢？ 探讨：过圆上一点的直线，在什么情况下一定是圆的切线？ 二、探索新知： 活动2.探究新知: 1). 如图，OA为⊙O半径，直线l经过点A，直线l与OA夹角为∠A,当直线l沿A旋转时，（1）∠A的变化范围是多大？随着∠A度数的增大，点O到直线l的距离大小如何变化？直线l与⊙O的位置关系如何变化？（2）当∠A为多少度时，点O到直线l的距离刚好等于半径r?此时直线l与⊙O的位置关系如何？说明依据。（3）在（2）中，直线l满足什么条件？ (幻灯片3)结论：直线l满足条件①：经过半径 OA的外端点A条件②：垂直于半径 A

疑问：是否必须同时满足这两条件，直线l 才是圆O 的切线？ 2) 判断下图直线l 满足哪个条件?是否是⊙O 的切线？（幻灯片4） 结论：直线l 必须同时满足这两个条件①②，才能确定直线是圆的切线。 综合以上，可总结为：一条直线若同时满足条件①：经过半径OA 的外端点A 条件②：垂直于半径OA 时，直线是该圆的切线。 （幻灯片5）给出切线的判定定理. 强调定理中的两个条件缺一不可 判定定理几何符号表示 活动3新知应用 判断下列命题的真假（幻灯片6）。 下面我们来用刚探究出的判定定理，解决一些切线的证明问题。 例1（P95例1）直线AB 经过⊙O 上的点C,并且OA=OB,CA=CB, 求证:直线AB 是⊙O 的切线.（幻灯片7）略 （学生思考）：根据上面的判定定理，如果你要证明一条直线是⊙O 的切线，你应该如何证明？ （老师点评）：应分为两步：（1）说明这个点是圆上的点（即半径的外端），（2）?过这点的半径垂直于直线．证明过程及格式（幻灯片8） 快速检测：1.已知:如图,A 是⊙O 外一点,AO 的延长线交⊙O 于 点C,点B 在圆上,且AB=BC, ∠A=30.求证:直线AB 是⊙O 的切线. （幻灯片9） 小结：辅助线，有点构造①，即证② 例2.如图，点O 是∠AOB 的平分线OC 上任意一点，过0作OD ⊥ OB 于D ，以OD 为半径作⊙O ，判断⊙O 与OA 。（幻灯片10） 小结：辅助线：无点构造②，即证① 方法总结：比较例1,2中证明切线时不同之处及辅助线的做法。 小结：有点连半径，证垂直 无点做垂线，证半径（相等） 活动4.课堂练习：（幻灯片12） 两学生学生演板，其他学生独立完成。教师点评，纠错。 活动5课堂小结：1、切线的判定定理；2、证明切线时常作的辅助线3、判定切线的三种 A

切线长定理

切线长定理 教材分析： 本节内容是切线长的概念和切线长定理。通过本节教学应使学生理解切线长的概念，掌握切线长定理并会运用它解决有关问题。切线长定理再次体现了圆的轴对称性，它为证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系等提供了理论依据，这个定理经常用到，因此，它是本节的重点。灵活运用图形语言、文字语言、符号语言三种语言表述切线长定理，学生感觉困难;用切线长定理解决有关问题中，准确应用数学语言进行表述，学生感觉困难;从实际情境中抽象出切线长定理模型解决问题，学生感觉困难;在综合题中迅速找出切线长定理模型, 学生感觉困难;因此,综合应用切线长定理及有关知识解决问题，是本节的难点。本节内容是在学习了“切线的判定和性质”之后，并进一步了解了“三角形的内切圆”这一内容的基础上进行研究的。是前面内容的必然延伸，也是后面学习切割线定理等重要内容的基础。切线长定理的出现，可以让我们对直线与圆位置关系的研究由定性分析深入到定量研究。再次让我们感触到了圆的轴对称性。它为我们证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系等提供了理论依据。通过本节内容的学习，会让学生更客观地认识切线的有关问题。同时，该定理的学习对我们解决一些实际问题很有指导意义。因此，本节内容在这部分中具

有非常重要的作用，是“直线与圆的位置关系”这部分内容的纽带和桥梁。同时,它综合运用等腰三角形、直角三角形、全等三角形、相似三角形、四边形等知识解决问题。切线长定理及其研究方法又是研究两圆相切问题的基础，因此，本节内容在整个初中几何教材体系中，起着承上启下的作用。 学生分析： 1、经过前面几节的学习，学生对圆的轴对称性已经有了初步了解，掌握了等腰三角形、直角三角形、全等三角形、相似三角形、四边形等知识，具备了学习本节内容的知识基础。 2、经过前面的学习，学生已经对合情推理和逻辑推理都有了一定的认识,具备了证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系等的基本技能。 3、初三学生已经具备了一定的探索解决问题方法的经验，从心理学的角度分析：他们正处于想成为大人，想得到别人肯定的年龄阶段，因此，他们会不遗余力地提出他们自己的看法并能较有条例地申述自己的理由，这些是很必要的情感准备；但由于特定年龄阶段的关系，他们对问题的分析还不是很全面，用数学语言表述看法，有时还欠准确贴切。有待于教师不断地加以培养。 设计理念： 1、本着“人人都能学好数学”，“人人都学有价值的数

切线长和切线长定理的应用

A 第20题 N C B D E F M O O 切线长和切线长定理的应用 例（2011·济宁）如图，AB 是⊙O 的直径，AM 和BN 是它的两条切线，DE 切⊙O 于点E ，交AM 与于点D ，交BN 于点C ，F 是CD 的中点，连接OF 。 （1） 求证：OD ∥BE; (2) 猜想：OF 与CD 有何数量关系？并说明理由。 解：（1）证明：连接OE ∵AM 、DE 是⊙O 的切线，OA 、OE 是⊙O 的半径 ∴∠ADO=∠EDO,∠DAO=∠DEO=90°…………1分 ∴∠AOD=∠EOD=2 1 ∠AOE …………2分 ∵∠ABE=2 1 ∠AOE ∴∠AOD=∠ABE ∴OD ∥BE …………3分 (2) OF = 2 1 CD …………4分 理由：连接OC ∵BE 、CE 是⊙O 的切线 ∴∠OCB=∠OCE …………5分 ∵AM ∥BN ∴∠ADO+∠EDO+∠OCB+∠OCE=180° 由（1）得 ∠ADO=∠EDO ∴2∠EDO+2∠OCE=180° 即∠EDO+∠OCE=90° …………6分 在Rt △DOC 中， ∵ F 是DC 的中点 ∴OF =2 1 CD ……7分 巩固提高 1、如图，AB 是半圆（圆心为O ）的直径，OD 是半径，BM 切半圆于B ，OC 与弦AD 平行且交BM 于C 。 （1） 求证：CD 是圆O 的切线； （2）若2OA =且6AD OC +=，求CD 的长？ C O D B A

2、在Rt ABC ?中，90A ∠=?，点O 在BC 上，以O 为圆心的圆O 分别与AB 、AC 相切于E 、F ，若A B a =， AC b =，则圆O 的半径为（ ） A 、ab B 、a b ab + C 、ab a b + D 、2 a b + C E O F B A C E O D B A P E O F D B A 例1图 例2图 例3图 3、如图，AB BC ⊥，DC BC ⊥，BC 与以AD 为直径的圆O 相切于点E ，9AB =，4CD =，则四边形ABCD 的面积为 。 4、如图，过O 外一点P 作圆O 的两条切线PA 、PB ，切点分别为A 、B ，连结AB ，在AB 、PB 、PA 上分别取一点D 、E 、F ，使AD BE =，BD AF =，连结DE 、DF 、EF ，则EDF ∠=（ ） A 、90P ?∠－ B 、1902P ?-∠ C 、180P ?-∠ D 、1 452 P ?∠- 5、如图，已知ABC ?中，AC BC =， CAB α∠=（定值），圆O 的圆心O 在AB 上，并分别与AC 、BC 相切于点P 、Q 。 （1）求POQ ∠； （2）设D 是CA 延长线上的一个动点，DE 与O 相切于点M ，点E 在CB 的延长线上，试判断DOE ∠的大小是否保持不变，并说明理由。 N Q P O D C B A 6、如图，圆O 为Rt ABC ?的内切圆，点D 、E 、F 为切点，若6AD =，4BD =，则ABC ?的面积为 。 C E O F D B A

《切线的判定定理》教案说明

《切线的判定定理》教案说明 一、教材的分析、教学目标的确定。 《切线的判定定理》是在学完直线和圆三种位置关系的基础上进一步研究直线和圆相切的特性，是“圆”这一章的重点之一，是学习圆的切线长和切线长定理等知识的基础。 本节课的教学目标是从知识和技能、过程与方法、情感与态度三个方面，根据新课标中关于“切线的判定方法”的教学要求，结合学生的实际情况确定的。 二、教案设计、意图。 为了实现教学目标，本节课我主要设计了四个活动： 活动一：复习回顾 这一部分主要提出两个问题对旧知识进行复习，使新课的引入更自然，激发学生的求知欲望，并为下面新知识的讲授做铺垫。 活动二：发现、证明、理解定理。 根据初三学生有一定的观察、探究、归纳能力等特点，在教学中，主要是通过一个思考题设疑，向学生提出问题，在解答问题的过程中，学生经历动脑思考、归纳、总结的过程，得到切线的判定定理。并引导学生自己分析定理，包括定理的前提和结论以及如何用数学语言来表达该定理。在这一过程中充分调动学生的参与活动，发挥学生的主体性，强化了学生的阅读、自学能力。为了加深学生对定理的认识，还设置了四个判断题，并且借助课件，通过画图帮助学生理解、熟悉定理的使用条件，强调两个条件缺一不可。课件的展示使教学内容更直观，更容易被学生所接受。 活动三：定理的应用。 这一块主要设计了两个不同类型的例题和两个简单的练习题，学生通过比较、小组讨论，总结出证明一条直线是圆的切线的两个思路：“连半径，证垂直”和“作垂直，证半径”。在例题的讲解过程中注重培养学生的解题能力。引导学生认真分析每个已知条件，由每个条件可以得到哪些信息，结合要证明的结论及信息之间的联系，分析运用那些知识点进行解题，再理清思路，然后整理出完整的解答过程。因为有了前面解题思路的总结，所以后面由学生独立完成的两个习题就会比较容易解决。 活动四：课堂小结和作业布置。 通过小结，进一步帮助学生明确本节课的重点内，使学生逐步养成对知识归纳、总结、整理的习惯。作业的布置主要选取了两道教有代表性的作业题对学生课堂掌握情况进行及时反馈，有利于调整教学。

切线长定理及其应用

切线长定理及其应用 一、基础知识总结 1.内切圆和内心 定义: 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.内切圆的圆心是三角形三条角平分 线的交点,叫做三角形的内心. 总结：判断一个多边形是否有内切圆，就是判断能否找到一个点到各边距离都 相等。 2.直角三角形的内切圆半径与三边关系 （１）一个基本图形； （２）两个结论： 1）四边形OECF 是正方形 2）r=(a+b-c)∕2或r=ab ∕(a+b+c) （３）两个方法 代数法（方程思想）；面积法 3.切线长定义：过圆外一点作圆的切线，该点和切点之间的线段长叫做切线长。 4.切线长定理： 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的交角。 二、典型例题解析 【例1】如图△ABC 的内切圆⊙O 与BC 、CA 、AB 分别相交于点D 、E 、F ，且AB=9 cm,BC=14 cm ，CA=13 cm ，求AF 、BD 、CE 的长 D E F O C B A 112 12902 a b c A B C A B C S s r p a b c p C r a b c ?∠∠∠==++∠=?=+-设、、分别为中、、的对边，面积为，则内切圆半径（），其中（）； （），则（）

【例2】如图，已知⊙O是△ABC的内切圆，切点为D、 E、F，如果AE＝1， CD＝2，BF＝3，且△ABC的面积为6．求内切圆的半径r． 【例3】如图，以等腰ABC ?中的腰A B为直径作⊙O，交底边BC于点D．过点D作⊥，垂足为E． D E A C （I）求证：D E为⊙O的切线； （II）若⊙O的半径为5，60 ∠= ，求D E的长． B A C 【例4】如上图等边三角形的面积为S，⊙O是它的外接圆，点P是⌒BC的中点．（1）试判断过C所作的⊙O的切线与直线AB是否相交，并证明你的结论；（2）设直线 CP与AB相交于点D，过点B作BE⊥CD垂足为E，证明BE是⊙O的切线，并求△ BDE的面积．

湘教版九年级数学下册2.5.3 切线长定理教案与反思

*2.5.3 切线长定理 原创不容易，为有更多动力，请【关注、关注、关注】，谢谢！ 师者，所以传道，授业，解惑也。韩愈 1．理解和掌握切线长定理；(重点) 2．初步学会用切线长定理进行计算与证明．(难点) 一、情境导入 有一天，同学们去王老师家做客，王老师正在洗锅，就问：谁能测出这个锅盖的半径，就可以得到一根雪糕，同学们都跃跃欲试，但老师家里只有一个曲尺，到底谁能得到这根雪糕呢？ 教师引导学生发现A、B分别为⊙O与PA、PB的切点，连接OB，OA，则四边形OAPB是正方形，所以，圆的半径为A点或B点的刻度，PA＝PB. 如果这根尺子的夹角不是90°，是否还能得到PA＝PB? 二、合作探究 探究点：切线长定理及应用 【类型一】利用切线长定理求线段的长 如图，从⊙O外一点P引圆的两条切线PA、PB，切点分别是A、B，如果∠APB＝60°，线段PA＝10，那么弦AB的长是( ) A．10 B．12 C．5 3 D．10 3

解析：∵PA 、PB 都是⊙O 的切线，∴PA ＝PB .∵∠APB ＝60°，∴△PAB 是等边三角形，∴AB ＝PA ＝10.故选A. 方法总结：切线长定理是判断线段相等的主要依据，在圆中经常用到． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第1题 【类型二】 利用切线长定理求三角形的周长 如图，PA 、PB 分别与⊙O 相切于点A 、B ，⊙O 的切线EF 分别交PA 、PB 于点E 、F ，切点C 在AB ︵上．若PA 长为2，则△PEF 的周长是________． 解析：因为PA 、PB 分别与⊙O 相切于点A 、B ，所以PA ＝PB .因为⊙O 的切线EF 分别交PA 、PB 于点E 、F ，切点为C ，所以EA ＝EC ，CF ＝BF ，所以△PF 的周长＝PE ＋EF ＋PF ＝PE ＋EC ＋CF ＋PF ＝(PE ＋EA )＋(BF ＋PF )＝PA ＋PB ＝2＋2＝4.故答案为4. 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第4题 【类型三】 利用切线长定理求角的大小 如图，PA 、PB 是⊙O 的切线，切点分别为A 、B ，点C 在⊙O 上，如果∠ACB ＝70°，那么∠OPA 的度数是________度． 解析：如图所示，连接OA 、OB .∵PA 、P 是⊙O 的切线，切点分别为A 、B ，∴OA ⊥PA ，OB ⊥PB ，∴∠OAP ＝∠OBP ＝90°.又∵∠AOB ＝2∠ACB ＝140°，∴∠APB ＝360°－∠PAO －∠AOB －∠OBP ＝360°－90°－140°－90°＝40°.又易 证△POA ≌△POB ，∴∠OPA ＝12 ∠APB ＝20°.故答案为20. 方法总结：由公共点引出的两条切线，可以运用切线长定理得到等腰三角形．另外根据等的判定，可得到PO 平分∠APB . 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第2题

切线的判定定理教学设计

24.2.1直线与圆的位置关系（第二课时） 教材分析1、本课选自新人教版《数学》九年级上册第24章 2、本课时是在学习了圆的概念、性质及直线与圆的位置关系基础上，继续深入学习切线判定定理。切线判定定理揭示了直线和圆的半径的特殊位置关系，即过半径外端并与这条半径垂直。在证明和计算中有着广泛的应用，也是研究三角形内切圆的作法，切线长定理及正多边形与圆关系的知识基础。本课时要求学生能够较灵活地运用有关知识解题外，还要求掌握一些解题技巧，在培养学生的逻辑思维能力和综合运用知识解决问题的能力方面起着重要作用。 学情分析学生已经掌握了等腰三角形、直角三角形的性质，与圆有关的性质，切线的定义等，具有初步的合情推理，演绎推理的能力和概括能力，为本节课的学习奠定了知识和能力基础。 学习目标1.通过动手操作和观察，猜想说理，探究切线的判定定理，理解切线的判定定理，掌握在解决切线的问题中直线与圆有公共点的辅助线添加方法。 2.经历探索切线判定定理的过程，体会几何直观，发展学生观察、分析、归纳问题的能力。 3.通过对不同论证方法的比较和评价，感受优化思想，体会数学的严谨性，进一步提高学生兴趣。 学习重点切线的判定定理的理解和应用。 学习难点切线的判定定理和定理的运用，直线与圆有公共点的辅助线添加方法。 学习方法启发式、自主探究式 学习准备课前预习 学习过程 学习环节师生主要活动设计意图 梳理旧知引入新课 1.上节课我们学习了直线与圆的位置关系，通过移动 棍子，判断直线与圆的位置关系（展示移动过程，请学 生回答） 2.如何确定一条直线是否与圆相切呢？ （1）和圆有且只有一个公共点的直线是圆的切线。 （2）圆心到直线的距离等于半径的直线是圆的切线 （d=r）。 思考：如果把棍子放在圆的边上，它与圆有什么位 置关系呢？ 学生预设：相切 追问1：你是如何确定这条直线是圆的切线的？（直线 直接从图形出发，直观感知图 形，复习已学知识，培养学生 的数形结合思想。

切线长定理的证明及其运用

《切线长定理》教学设计 1、教材分析 重点、难点分析 重点：切线长定理及其应用．因切线长定理再次体现了圆的轴对称性，它为证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系等提供了理论依据，它属于工具知识，经常应用，因此它是本节的重点． 难点：与切线长定理有关的证明和计算问题．不仅应用切线长定理，还用到方程的知识，是代数与几何的综合题，学生往往不能很好的把知识连贯起来．2、教法建议 本节内容需要一个课时． （1）在教学中，组织学生自主观察、猜想、证明，并深刻剖析切线长定理的基本图形；对重要的结论及时总结； （2）在教学中，以“观察——猜想——证明——剖析——应用——归纳”为主线，开展在教师组织下，以学生为主体，活动式教学． 教学目标 1．理解切线长的概念，掌握切线长定理； 2．通过对例题的分析，培养学生分析总结问题的习惯，提高学生综合运用知识解题的能力，培养数形结合的思想． 3．通过对定理的猜想和证明，激发学生的学习兴趣，调动学生的学习积极性，树立科学的学习态度． 教学重点: 切线长定理是教学重点 教学难点: 切线长定理的灵活运用是教学难点 教学过程设计: （一）观察、猜想、证明，形成定理 1、切线长的概念． 如图，P是⊙O外一点，PA，PB是⊙O的两条切线，我们把线段PA，PB 叫做点P到⊙O的切线长． 引导学生理解：切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；

切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量. 2、观察 利用PPT来展示P 的位置的变化，观察图形的特征和各量之间的关系． 3、猜想 引导学生直观判断，猜想图中PA是否等于PB．PA＝PB． 4、证明猜想，形成定理． 猜想是否正确。需要证明． 组织学生分析证明方法．关键是作出辅助线OA，OB， 要证明PA＝PB． 想一想：根据图形，你还可以得到什么结论？ ∠OPA＝∠OPB(如图)，连接AB，有AD=BD等． 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角． 5、归纳： 把前面所学的切线的5条性质与切线长定理一起归纳切线的性质 6、切线长定理的基本图形研究（小组合作交流） 如图，PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点．直线OP交⊙O于点D，E，交AB于C 要求：就你所知晓的几何知识，写出你认为正确 的结论，小组交流，看哪个小组的结论最多，用最简 短的话语证明你的结论是正确的。 说明：对基本图形的深刻研究和认识是在学习几 何中关键，它是灵活应用知识的基础． （二）应用、归纳、反思 例1、已知：如图,PA、PB是⊙O的切线，切点分别是A、B，Q为AB上一点，过Q点作⊙O的切线，交PA、PB于E、F点，已知PA=12CM，求△PEF的周 长。

切线的判定定理 (2)

35.4 圆的切线的判定 一、教材分析： 切线的判定是九年制义务教育课本数学九年级第二学期第三十五章“圆”中的内容之一，是在学完直线和圆三种位置关系概念的基础上进一步研究直线和圆相切的特性，是“圆”这一章的重点之一，是今后学习解析几何等知识．．学习圆的切线长和切线长定理等知识的基础。由于本章所研究的问题往往是直线形与曲线形交织在一起，解决问题常需要综合运用代数、几何、三角等多方面知识。 二、教学目标： （1）掌握切线的判定定理.使学生了解尺规作三角形的内切圆的方法，理解三角形和多边形的内切圆、圆的外切三角形和圆的外切多边形、三角形内心的概念； （2）应用切线的判定定理证明直线是圆的切线，初步掌握圆的切线证明问题中辅助线的添加方法，应用类比的数学思想方法研究内切圆，逐步培养学生的研究问题能力； （3）培养学生动手操作能力.观察、探索、分析、总结、推理论证等能力. （4）通过直观教具的演示和指导学生动手操作的过程，激发学生学习几何的积极性. 三、教学重点、难点 1.重点：切线的判定定理.内心的性质 2.难点：圆的切线证明问题中，辅助线的添加方法 四、教学方法：动手操作观察归纳. 教具：圆模型圆规三角板多媒体 五、教学过程设计 五、教学过程： （一）课前复习（5分钟）

回答下列问题：（投影显示） 1.直线和圆有哪三种位置关系？这三种位置关系是如何定义？如何判定的？ 2.什么叫做圆的切线？根据这个定义我们可以怎样来判定一条直线是不是一个圆的切线？ （要求学生举手回答，教师用教具演示） 设计目的|：为探究圆的切线的判定方法做铺垫 二）引如课题（1分钟）：我们可以用切线的定义来判定一条直线是不是一个圆的切线，但有时使用起来很不方便，为此，我们还要学习切线的判定定理. 三）提出问题、分析发现归纳结论（教师引导）（8分钟） 1.切线判定定理的导出 师：上节课讲了“圆心到一条直线的距离等于该圆的半径，则该直线就是一条切线”.下面请同学们按我口述的上书步骤作图（一同学到黑板上作）：先画⊙O，在⊙O上任取一点A，边结OA，过A点作⊙O的切线L. 请学生回顾作图过程，切线L是如何作出来的？它满足哪些条件？ （引导学生总结出）：①经过关径外端，②垂直于这条半径. （设计意图：培养学生动手操作和观察归纳能力、及组织语言能力） 师；如果一条直线满足以上两个条件，它就是一条切线，这就是本节要讲的“切线的判定定理”.（板书定理） 、切线的判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 2、对定理的理解： （引导学生理解）：①经过半径外端；②垂直于这条半径． 请学生思考：定理中的两个条件缺少一个行不行?定理中的两个条件缺一不可．

理解切线长的概念掌握切线长定理并运用它

理解切线长的概念－掌握切线长定理－并运用它

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第十八讲 知识要点： １、理解切线长的概念，掌握切线长定理,并运用它解决有关问题； 2、理解弦切角的定义，掌握弦切角定理及其推论,并运用它解决有关角的问题; 3、掌握圆的相交弦定理及推论，能进行有关计算、证明,会作两条线段的比例中项； 4、掌握切割线定理及其推论,并会利用它进行有关的计算和证明； 难题解疑： 例题1：⊙Ｏ是△ABC 的内切圆，D 、Ｅ、F 为切点，AB ＝12c ｍ，BC ＝14cm,CA=１8c ｍ,求A Ｅ、B Ｆ、CD 的长; 例题２：ＰA 、P Ｂ切⊙O 于点A 、Ｂ，ＣＤ切⊙Ｏ于点Q,交ＰA 、 PB 于点C 、D,求证：(1)△P ＣD 的周长=2ＰA ； (2）∠COD ＝90°－21∠P ； 例题3:△ABC 是⊙O 的内接三角形,B Ｔ为⊙Ｏ的切线，B 为切点,P 为直线AB 上一点,过P 作BC 的平行线交直线BT 于点E ，交线段AC 于点F ， (1）如图（１)，当点P 在线段AB 上时,求证:PA ·PB ＝PE ·PF ； （2)如图（2）,当点P 在线段BA 延长线时,第（1）题的结论还成立吗？如果成立,请证明；如果不成立，请说明理由;

例题4：从不在⊙O上的一点A作⊙O的割线,交⊙O于B、Ｃ,且ＡB·ＡC=６4，ＯA=10,求⊙Ｏ的半径; 例题5：小张、小李、小王三位同学解下列作图题:“已知线段ａ、ｂ,求作线段x,使 2=”，他们所作的图形如下: “ab x2 他们作图的方法： A．小张正确,小李、小王都不正确B．小王正确，小张、小李都不正确 C．小张、小李都正确,小王不正确 D.小张、小李、小王都正确 例题6:如图,PQ切⊙Ｏ于点Q，PAB、ＰCD是⊙O的两条割线，连结AＣ、ＡＤ，且∠Ｐ 2 AC=∠ＢＡD，求证：AD = -2 PQ? PA AC 例题7：已知ＡＤ是⊙O的直径,AB是⊙O的切线,割线BＭN交AD的延长线于C,且BM=ＭN＝ＮC，若AB＝２，求（１）BＣ；(2)半径r;

切线的判定定理教案

切线的判定定理教案 证明圆的切线是近几年中考常见的数学问题之一。最常用的是利用“经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线”证明。 本内容通过动手操作得出切线的判定定理，再利用解决两道例题，总结归纳出两种具体的证法： ①当直线与圆有一个公共点时，把圆心和这个公共点连结起来，证明直线垂直于这条半径，简称为“连半径，证垂直”； ②当直线和圆的公共点没有明确时，可过圆心作直线的垂线，再证圆心到直线的距离等于半径，简称为“作垂直，证半径”。 归纳总结后，马上给予两道对应练习题巩固理解两种证明方法。 理解切线的判定方法，能选择正确的方法证明一条直线是圆的切线。 掌握判断圆的切线的方法，并灵活解题。进一步培养使用“分类”与“归纳”等思想方法的能力。

平面内直线和圆存在着三种位置关系，即直线和圆相离、直线和圆相切、直线和圆相交，这三种位置关系中最重要的是直线和圆相切。那么怎样证明直线和圆相切呢？怎样判定一条直线是圆的切线？ ⑴和圆只有一个公共点的直线是圆的切线；（定义） ⑵到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；（d=r） 除了这两种方法，还有没有其他方法判定一条直线是圆的切线呢? 活动一：在练习本上画一个圆O,做一个半径OA,做一条直线L,使L经过点A且垂直于OA。这样的直线能画几条？这条直线和圆是什么位置关系？为什么？你得到了什么结论？ 切线判定定理：经过直径的一端，且垂直于这条直径的直线是圆的切线。 活动二：分析定理。经过直径的一端，且垂直于这条直径的直线是圆的切线。

这个定理有什么用？证明一条直线是圆的切线，那根据这个判定定理，要证明一条直线是圆的切线，需要几个条件？分别是什么？ 对定理的理解：①经过半径外端. ②垂直于这条半径。 定理中的两个条件缺一不可。 例1：如图，直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB,CA=CB， 求证：直线AB是⊙O的切线。 证明：连结0C ∵0A＝0B，CA＝CB， ∴AB⊥OC。 ∵直线AB经过半径0C的外端C， 并且垂直于半径0C， ∴AB是⊙O的切线。

切线长定理及其应用

切线长定理及其应用 知识点一 切线长定义及切线长定理 1. 切线长定义：过圆外一点作圆的切线，这点和 之间的线段长叫作这点到圆的切线长. 注意切线长和切线的区别和联系: 切线是直线，不可以度量；切线长是指切线上的一条线段的长，可以度量。 2. 切线长定理：过圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，即PA=PB. 推论： （1）△PAB 是等腰三角形； （2）OP 平分△APB ，即△APO=△BPO ； （3）弧AM=弧BM ； （4）在Rt OAP ?和Rt OBP ?中，由AB OP ⊥，可通过相似得相关结论； 如：222222,,OA OB OE OP AP BP PE PO AE BE OE EP ==?==?==? （5）图中全等的三角形有 对，分别是： 题型一 切线长定理的直接应用 【例1】如图所示，△O 的半径为3cm ，点P 和圆心O 的距离为6cm ，经过点P 的两条切线与△O 切于点E 、 F ，求这两条切线的夹角及切线长. 【例2】如图，P A 、PB 、DE 分别切△O 于A 、B 、C ，△O 的半径长为6 cm ，PO ＝10 cm ，求△PDE 的周长．

【例3】如图所示，△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5，D为BC边的中点，以AD上一点O为圆心的⊙O和AB、BC均相切，则⊙O的半径为__________. 【过关练习】 1.如图所示，PA、PB是△O的切线，A、B为切点，△OAB=30°.（1）求△APB的度数.（2）当OA=3时，求AP的长. e于A、B、C三点，△O的半径为5cm，△PED的周长为24cm，2.如图所示，已知PA、PB、DE分别切O △APB=50°.求：（1）PO的长；（2）△EOD的度数.

切线的判定与性质定理的教案

课题：圆的切线的判定与性质 主稿：饶爱红审核：备课组上课日期：______周课时数：_____ 总课时数：_____ 知识与技能：1、理解圆的切线的判定与性质， 2、会利用圆的切线的判定与性质解题， 3、了解用反证法证明切线的性质定理的过程。 过程与方法：学生预习、小组讨论、合作探究、共同讲解、综合应用 情感态度与价值观：培养学生的自主学习的能力和团结协作的精神。 教学重点：利用圆的切线的判定与性质解题 教学过程备注本期导学 1、切线的判定定理是什么？ 2、切线的性质定理是什么？ 3、如何应用它们解题？ 知识回顾 1.直线和圆有哪些位置关系？ 。。。。相切、相离、相交 2.什么叫相切？ 。。。。直线与圆只有一个交点 3.我们学习过哪些切线的判断方法？ 。。。。1、与圆只有一个交点，2、d＝r 新知探究 1、设问 切线的判定还有什么方法吗？ 切线还有什么性质吗？ 2、引入思考 提问：如图，直线Ｌ经过点Ａ，并且垂直半径OA,，问L与圆O是什么关系？ OA既是半径，又是点O到直线L的距离,所以d＝r ，由前面所学的可知，直线L与圆是相切 的关系。 给出切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 几何符号表达： ∵OA是半径，OA⊥l于A ∴l是⊙O的切线。 3、例题讲解 已知：直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB。

求证：直线AB是⊙O的切线。 证明：连结OC(如图)。 ∵OA＝OB,CA＝CB, ∴OC是等腰三角形OAB底边AB上的中线。 ∴AB⊥OC。 ∵OC是⊙O的半径 ∴AB是⊙O的切线。 已知：O为∠BAC平分线上一点，OD⊥AB于D,以O为圆心，OD为 半径作⊙O。 求证：⊙O与AC相切。 证明：过O作OE⊥AC于E。 ∵AO平分∠BAC，OD⊥AB ∴OE＝OD ∵OD是⊙O的半径 ∴AC是⊙O的切线 4、归纳总结 (1)如果已知直线经过圆上一点,则连结这点和圆心,得到辅助半径,再证所作半径与这直线垂直。简 记为：连半径,证垂直。 (2)如果已知条件中不知直线与圆是否有公共点,则过圆心作直线的垂线段为辅助线,再证垂 线段长等于半径长。简记为：作垂直,证半径 5、练习 如图,△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交边BC于P， PE⊥AC于E。 求证:PE是⊙O的切线 6、用反证法推出切线的性质定理，并利用它练习课后习题。 课堂小结 学生小结，说出本节课的知识点和重点。 练习与作业： 练习册和课后习题 教学反思：

切线长定理_九年级数学教案_模板

切线长定理_九年级数学教案_模板 1、教材分析（1）知识结构 （2）重点、难点分析 重点：切线长定理及其应用．因切线长定理再次体现了圆的轴对称性，它为证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系等提供了理论依据，它属于工具知识，经常应用，因此它是本节的重点． 难点：与切线长定理有关的证明和计算问题．如120页练习题中第3题，它不仅应用切线长定理，还用到解方程组的知识，是代数与几何的综合题，学生往往不能很好的把知识连贯起来． 2、教法建议 本节内容需要一个课时． （1）在教学中，组织学生自主观察、猜想、证明，并深刻剖析切线长定理的基本图形；对重要的结论及时总结； （2）在教学中，以“观察——猜想——证明——剖析——应用——归纳”为主线，开展在教师组织下，以学生为主体，活动式教学． 教学目标 1．理解切线长的概念，掌握切线长定理； 2．通过对例题的分析，培养学生分析总结问题的习惯，提高学生综合运用知识解题的能力，培养数形结合的思想． 3．通过对定理的猜想和证明，激发学生的学习兴趣，调动学生的学习积极性，树立科学的学习态度． 教学重点: 切线长定理是教学重点 教学难点: 切线长定理的灵活运用是教学难点 教学过程设计: （一）观察、猜想、证明，形成定理 1、切线长的概念． 如图，P是⊙O外一点，PA，PB是⊙O的两条切线，我们把线段PA，PB叫做点P到⊙O的切线长． 引导学生理解：切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量. 2、观察 利用电脑变动点P 的位置，观察图形的特征和各量之间的关系． 3、猜想 引导学生直观判断，猜想图中PA是否等于PB．PA＝PB． 4、证明猜想，形成定理． 猜想是否正确。需要证明． 组织学生分析证明方法．关键是作出辅助线OA，OB，要证明PA＝PB． 想一想：根据图形，你还可以得到什么结论？

《切线的判定定理》

A 数学公开课： 24.2.2 直线与圆的位置关系（2） ——《切线的判定定理》教案 【教学目标】： 知识与技能：使学生理解切线的判定定理，并学会初步运用． 过程与方法：通过复习直线与圆的位置关系，以“d=r 直线是圆的切线”为依据，探究切线的判定定理。 情感、态度与价值观：经历观察、探究、证明等数学活动过程，培养学生初步的演绎推理能力，掌握图形的基础知识和基本技能，并能解决简单的问题。 【教学重点】： 探索圆的切线的判定定理，并能运用 【教学难点】： 切线判定定理中所阐述的由位置来判定直线是圆的切线的两大要素：一是经过半径的外端；二是直线垂直于这条半径． 【教学过程】： 一、知识回顾：复习提问：直线与圆有哪些位置关系？（学生回答，并填表） 二、新知探究 1、提出问题：怎样判定一条直线是圆的切线？你有几种判定方法？ 判定方法1：当直线和圆有唯一公共点时，直线是圆的切线； 判定方法2：当圆心到直线的距离等于半径时，直线是圆的切线。 注意：实际证明过程中，通常不采用第一种方法；方法2从“数量”的角度说明圆的切线的判定方法。 思考：能否从“位置”的角度，来判定直线是圆的切线呢？ 2、观察： 如图，在⊙O 上任意取一点A ，连接OA ，过点A 作直线l ⊥OA 。 由圆心到直线的距离等于半径，可以判定直线l 与圆相切。 提问学生：观察直线l 与半径OA 有什么位置关系？ 3、发现：(1)直线l 经过半径OA 的外端点A ；(2)直线l 垂直于半径0A ． 则：直线l 与⊙O 相切. 这样我们就得到了从位置上来判定直线是圆的切线的方法——切线的判定定理． 4、切线的判定定理： 经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． （1）对定理的理解：切线必须同时满足两个条件：①经过半径的外端；②垂直于这条半径．

切线的判定和性质教案

切线的判定和性质教案 切线的判定和性质（一） 教学目标： 1、使学生深刻理解切线的判定定理，并能初步运用它解决有关问题； 2、通过判定定理和切线判定方法的学习，培养学生观察、分析、归纳问题的能力； 3、通过学生自己实践发现定理，培养学生学习的主动性和积极性． 教学重点：切线的判定定理和切线判定的方法； 教学难点：切线判定定理中所阐述的由位置来判定直线是圆的切线的两大要素：一是经过半径外端；二是直线垂直于这条半径；学生开始时掌握不好并极容易忽视． 教学过程设计 （一）复习、发现问题 1．直线与圆的三种位置关系 在图中，图(1)、图(2)、图(3)中的直线l和⊙O是什么关系? ２、观察、提出问题、分析发现（教师引导） 图(2)中直线l是⊙O的切线，怎样判定？根据切线的定义可以判定一条直线是不是圆的切线，但有时使用定义判定很不方便．我们从另一个侧面去观察，那就是直线和圆的位置怎样时，直线也是圆的切线呢? 如图，直线l到圆心O的距离OA等于圆O的半径，直线l是⊙O的切线．这时我们来观察直线l与⊙O的位置． 发现：(1)直线l经过半径OC的外端点C；(2)直线l垂直于半径0C．这样我们就得到了从位置上来判定直线是圆的切线的方法――切线的判定定理． （二）切线的判定定理： 1、切线的判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 2、对定理的理解： 引导学生理解：①经过半径外端；②垂直于这条半径． 请学生思考：定理中的两个条件缺少一个行不行?定理中的两个条件缺一不可．

图(1)中直线了l经过半径外端，但不与半径垂直；图(2)（3）中直线l与半径垂直，但不经过半径外端． 从以上两个反例可以看出，只满足其中一个条件的直线不是圆的切线． （三）切线的判定方法 教师组织学生归纳．切线的判定方法有三种： ①直线与圆有唯一公共点；②直线到圆心的距离等于该圆的半径；③切线的判定定理． （四）应用定理，强化训练'''' 例1已知：直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA＝CB． 求证：直线AB是⊙O的切线． 分析：欲证AB是⊙O的切线．由于AB过圆上点C，若连结OC，则AB过半径OC的外端，只需证明OC⊥OB。 证明：连结0C ∵0A＝0B，CA＝CB，” ∴0C是等腰三角形0AB底边AB上的中线． ∴AB⊥OC． 直线AB经过半径0C的外端C，并且垂直于半径0C，所以AB是⊙O的切线． 练习1判断下列命题是否正确． (1)经过半径外端的直线是圆的切线． (2)垂直于半径的直线是圆的切线． (3)过直径的外端并且垂直于这条直径的直线是圆的切线． (4)和圆有一个公共点的直线是圆的切线． (5)以等腰三角形的顶点为圆心，底边上的高为半径的圆与底边相切． 采取学生抢答的形式进行，并要求说明理由， 练习P106，1、2 目的：使学生初步会应用切线的判定定理，对定理加深理解）