高中数学必修4北师大版第三章《三角恒等变形》教案

北师大版高中数学必修4第三章《三角恒等变形》全部教案

第一课时§3.1.1两角和与差的余弦（一）

（一）教学目标：1、知识目标：（1）利用向量的数量积去发现两角差的余弦公式；2）灵活正反运用两角差的余弦。2、能力目标：（1）通过求两个向量的夹角，发现两角差的余弦，培养学生融会贯通的能力。（2）培养学生注重知识的形成过程。3、情感目标：通过公式的推导，更进一步发现“向量”的强大作用。

（二）教学重点、难点

重点：（1）两角差的余弦；（2）灵活应用两角差的公式解决问题

难点：（1）两角差的余弦的推导；（2）两角差的余弦的灵活应用

（三）教学方法：本节主要是采用数形结合的思路，由代数的精密推导和几何的直观性，推导出两角差的余弦，使学生养成数形结合的习惯；另外，整体上是由特殊到一般，再由一般回归特殊应用的辩证唯物思想的方法。这样学生易接受。

（四）教学过程

五、教后反思：

第二课时§３.1。两角和与差的余弦(二)

（一）教学目标：1、知识目标：掌握公式结构特点，会用公式求值．2、能力目标：培养学生的观察，分析，类比，联想能力，间接推理能力，自学能力．3、情感能力：发展学生正向，逆向思维能力，构建良好的数学思维品质．

（二）教学重点，难点

重点是公式的结构特点，会用公式求值．

难点是公式的逆向和变形运用．

（三）教学方法：教师按照课本的知识结构先设计若干问题，课前印发给学生，引导他们阅读课本，课堂上在教师三导（引导，指导，辅导）下，以学生为主体，对所设问题进行读，议，练，讲，其间教师通过提问，参与讨论，巡视学生练习及板演，观察学生情绪等渠道，及时搜集反馈信息，及时作出评价，再发指令，使教学过程处于动态平衡中．

（四）教学过程

五、教学反思：

第三课时3.1.2 两角和与差的正弦

一、教学目标：⒈知识目标：掌握两角和与差公式的推导过程；

⒉能力目标：培养学生利用公式求值、化简的分析、转化、推理能力；

⒊情感目标：发展学生的正、逆向思维能力，构建良好的思维品质。

二、教学重点、难点

重点：两角和与差公式的应用和旋转变换公式；

难点：两角和与差公式变aSina＋bCosa为一个角的三角函数的形式。

三、教学方法：温故、推新，循序渐进，以学生为主体逐步掌握本节知识要点

四、教学过程

五、教学反思：

第四课时 3.1两角和与差的正弦、余弦函数

一.教学目标

1.知识与技能：（1）能够推导两角差的余弦公式；（2）能够利用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦公式、两角和的正、余弦公式；（3）能够运用两角和的正、余弦公式进行化简、求值、证明；（4）揭示知识背景，引发学生学习兴趣；（5）创设问题情景，激发学生分析、探求的学习态度，强化学生的参与意识.

2.过程与方法：通过创设情境：通过向量的手段证明两角差的余弦公式，让学生进一步体会向量作为一种有效手段的同时掌握两角差的余弦函数，然后通过诱导公式导出两角差的正弦公式、两角和的正、余弦公式；讲解例题，总结方法，巩固练习.

3.情感态度价值观：通过本节的学习，使同学们对两角和与差的三角函数有了一个全新的认识；理解掌握两角和与差的三角的各种变形，提高逆用思维的能力. 二.教学重、难点 ：重点: 公式的应用. 难点: 两角差的余弦公式的推导. 三.学法与教学用具

学法：(1)自主性学习法：通过自学掌握两角差的余弦公式.(2)探究式学习法：通过分析、探索、掌握两角差的余弦公式的过程.(3)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距. 教学用具:电脑、投影机. 四.教学过程

（一）、复习：1、写出两角和与差的余弦公式，说说它是如何推导的。

2、写出两角和与差的正弦公式，说说它是如何推导的。

3、说说公式结构的特征。

（二）、例题解析：

例1、利用和（差）角公式计算下列各式的值

（1）、sin 72cos42cos72sin 42- ；（2）、cos20cos70sin 20sin 70-

；

解：分析：解此类题首先要学会观察，看题目当中所给的式子与我们所学的两角和与差正弦、余弦和正切公式中哪个相象.

（1）、(

)1sin 72cos 42cos72sin 42sin 7242sin30

2

-=-==

； （2）、(

)cos 20cos70sin 20sin 70cos 2070

cos90

0-=+==

；

例2、已知3sin ,5

αα=-是第四象限角，求sin ,cos 44ππαα????

-+

? ?????

的值.

解：因为3sin ,5αα=-是第四象限角，得4cos 5α===，

，于是有 43sin sin cos cos sin 44455πππααα??

??-=-=-=

? ???

??

43cos cos cos sin sin 44455πππααα??

??+=-=-= ? ???

??

例3、已知4sin 5α=

，5,,cos ,213παπββ??

∈=- ???

是第三象限角，求()cos αβ-的值.

解：因为,2παπ??∈ ???，4sin 5α=由此得3cos 5α===-

又因为5cos ,13ββ=-是第三象限角，所以12sin 13β===-

所以3541233cos()cos cos sin sin 51351365αβαβαβ??????

-=+=-?-

+?-=- ? ? ?

??????

点评：注意角α、β的象限，也就是符号问题.

例4x x

解：此题与我们所学的两角和与差正弦、余弦和正切公式不相象，但我们能否发现规律呢？

)()1

cos sin 30cos cos30sin 302x x x x x x x ?-==-=-???

思考：=

于

12

和2的.

（三）、小结：本节我们学习了两角和与差正弦、余弦公式，我们要熟记公式，在解题过程中要

善于发现规律，学会灵活运用.

（四）作业： 习题3.1 A 组第1,2,3题． 五、课后反思：

第五课时3.1.3两角和与差的正切函数

一、教学目标

1、知识与技能：（1）能够利用两角和与差的正、余弦公式推导出两角和与差的正切公式；（2）能够运用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明；（3）揭示知识背景，引发学生学习兴趣；（4）创设问题情景，激发学生分析、探求的学习态度，强化学生的参与意识.

2、过程与方法：借助两角和与差的正、余弦公式推导出两角和与差的正切公式，让学生进一步体会各个公式之间的联系及结构特点；讲解例题，总结方法，巩固练习.

3、情感态度价值观：通过本节的学习，使同学们对两角和与差的三角函数有了一个全新的认识；理解掌握两角和与差的三角的各种变形，提高逆用思维的能力. 二、教学重、难点 ：重点: 公式的应用. 难点: 公式的推导. 三、学法与教学用具

学法：(1)自主性学习+探究式学习法：通过通过类比分析、探索、掌握两角和与差的正切公式的推导过程。(2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距。 教学用具:电脑、投影机 四、教学过程 【探究新知】

1．两角和与差的正切公式 T α+β ,T α-β

问：在两角和与差的正、余弦公式的基础上，你能用tan α，tan β表示tan(α+β)和tan(α-β)吗？（让学生回答）

[展示投影] ∵cos (α+β)≠0 tan(α+β)=

β

αβαβ

αβαβαβαsin sin cos cos sin cos cos sin )cos()sin(-+=

++ 当cos αcos β≠0时 分子分母同时除以cos αcos β得：

以-β代β得：

2．运用此公式应注意些什么？（让学生回答）

[展示投影] 注意：1?必须在定义域范围内使用上述公式。即：tan α，tan β，tan(α±β)只要有一个不存在就不能使用这个公式，只能（也只需）用诱导公式来解；2?注意公式的结构，尤其是符号。）

tan(α+β)=

β

αβ

αtan tan 1tan tan -+

tan(α-β)=

β

αβ

αtan tan 1tan tan +-

[展示投影]例题讲评（学生先做，学生讲，教师提示或适当补充） 例1.求tan15?，tan75?及cot15?的值：

解：1? tan15?= tan(45?-30?)=

32636123

3333

3133

1-=-=+-=+

-

2? tan75?= tan(45?+30?)=

32636123

3333

3133

1+=+=-+=-

+

3? cot15?= cot(45?-30?)=

322

3

241

331+=+=

-+（为什么？） 例2.（见课本P 134例1）

例3.已知tan α=3

1

，tan β=-2 求cot(α-β)，并求α+β的值，其中0?<α<90?, 90?<β<180?.

解：cot(α-β)=7

1tan tan tan tan 1)tan(1=-+=-βαβαβα∵ tan(α+β)=

1)2(3

112

31tan tan 1tan tan -=-?--=-+βαχα 又∵0?<α<90?, 90?<β<180? ∴90?<α+β<270? ∴α+β=135?

例4. 求下列各式的值：1?

75tan 175tan 1-+ 2?tan17?+tan28?+tan17?tan28?

解：1?原式=3120tan )7545tan(75tan 45tan 175tan 45tan -==+=-+

2? ∵

28tan 17tan 128tan 17tan )2817tan(-+=

+ ∴tan17?+tan28?=tan(17?+28?)(1-tan17?tan28?)=1- tan17?tan28? ∴原式=1- tan17?tan28?+ tan17?tan28?=1 【展示投影】练习 教材P 135第1、2、3、4题.

【课堂小结】：1．必须在定义域范围内使用上述公式。即：tan α，tan β，tan(α±β)只要有一个不存在就不能使用这个公式，只能（也只需）用诱导公式来解；2．注意公式的结构，尤其是符号。 五、评价设计：作业：习题3.1 A 组第4、5、6、7、8题． 六、课后反思：

第六课时3.2二倍角的三角函数

一.教学目标：

1.知识与技能

（1）能够由和角公式而导出倍角公式；

（2）能较熟练地运用公式进行化简、求值、证明，增强学生灵活运用数学知识和逻辑推理能力； （3）能推导和理解半角公式；（

4）揭示知识背景，引发学生学习兴趣，激发学生分析、探求的学习态度，强化学生的参与意识. 并培养学生综合分析能力.

2.过程与方法

让学生自己由和角公式而导出倍角公式和半角公式，领会从一般化归为特殊的数学思想，体会公式所蕴涵的和谐美，激发学生学数学的兴趣；通过例题讲解，总结方法.通过做练习,巩固所学知识.

3.情感态度价值观

通过本节的学习，使同学们对三角函数各个公式之间有一个全新的认识；理解掌握三角函数各个公式的各种变形，增强学生灵活运用数学知识、逻辑推理能力和综合分析能力.提高逆用思维的能力.

二.教学重、难点

重点:倍角公式的应用. 难点:公式的推导. 三.学法与教法

教法与学法：(1)自主+探究性学习：让学生自己由和角公式导出倍角公式，领会从一般化归为特殊的数学思想，体会公式所蕴涵的和谐美，激发学生学数学的兴趣。

(2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距. 四.教学过程 （一）探究新知

1、复习两角和与差的正弦、余弦、正切公式：

2、提出问题：公式中如果β=α，公式会变得如何？

3、让学生板演得下述二倍角公式：

α-=-α=α-α=αα

α=α2222sin 211cos 2sin cos 2cos cos sin 22sin

α

αα2tan 1tan 22tan -=

[展示投影]这组公式有何特点？应注意些什么？

注意：1．每个公式的特点，嘱记：尤其是“倍角”的意义是相对的，如：4α是8

α

的倍角. 2．熟悉“倍角”与“二次”的关系（升角——降次，降角——升次） 3．特别注意公式的三角表达形式，且要善于变形： 2

2cos 1sin ,2

2cos 1cos 22α

-=

αα

+=

α 这两个形式今后常用. （二）[展示投影]例题讲评（学生先做，学生讲，教师提示或适当补充） 例1.（公式巩固性练习）求值： ①．sin22?30’cos22?30’=

4

2

45sin 21=

②．=-π

18

cos 22

224cos =

π ③．=π

-π8

cos 8sin 22224cos -

=π- ④．=ππππ12cos 24cos 48cos 48sin

82

1

6sin 12cos 12sin 212cos 24cos 24sin 4=π=ππ=πππ 例2.化简 ①．=π

-ππ+π)12

5cos 125)(sin 125cos 125(sin

2365cos 125cos 125sin 22

=π-=π-π ②．=α-α2sin 2cos 44

α=α

-αα+αcos )2

sin 2)(cos 2sin 2(cos 2222 ③．

=α+-α-tan 11tan 11α=α

-α

2tan tan 1tan 22

④．=θ-θ+2cos cos 21221cos 2cos 2122=+θ-θ+

例3、已知),2(,135sin ππ

∈α=

α，求sin2α，cos2α，tan2α的值。 解：∵),2(,135sin ππ∈α=α ∴13

12

sin 1cos 2-=α--=α

∴sin2α = 2sin αcos α = 169

120

-

cos2α = 169

119

sin 212=α- tan2α = 119

120

-

[展示投影]思考：你能否有办法用sin α、cos α和tan α表示多倍角的正弦、余弦和正切函数？你的思路、方法和步骤是什么？试用sin α、cos α和tan α分别表示sin3α，cos3α，tan3α. [展示投影]例题讲评（学生先做，学生讲，教师提示或适当补充）

例4. cos20?cos40?cos80? =

20sin 80cos 40cos 20cos 20sin

20

sin 80cos 40cos 40sin 21

=

8120sin 160sin 8120sin 80cos 80sin 41

===

例5.求函数x x x y sin cos cos 2

+=的值域.

解：2

1

)42sin(222sin 2122cos 1+π+=++=

x x x y ————降次 （三）、[展示投影]学生练习： 教材P 140练习第1、2、3题 （四）、学习小结

1．公式的特点要嘱记：尤其是“倍角”的意义是相对的，如：

4α是8

α

的倍角. 2．熟悉“倍角”与“二次”的关系（升角——降次，降角——升次）. 3．特别注意公式的三角表达形式，且要善于变形：

22cos 1sin ,2

2cos 1cos 22α

-=

αα

+=

α 这两个形式今后常用. 4.半角公式左边是平方形式，只要知道2

α

角终边所在象限，就可以开平方；公式的“本质”是用

α角的余弦表示2

α

角的正弦、余弦、正切.

5．注意公式的结构，尤其是符号.

（五）、作业布置：习题3.2 A 组第1、2、3、4题． 五、教学反思：

第七课时3.3 半角的三角函数

一.教学目标：

（1）能推导和理解半角公式；

（2）能较熟练地运用公式进行化简、求值、证明，增强学生灵活运用数学知识和逻辑推理能力。 二.教学重、难点

重点:半角公式的应用. 难点:公式的推导. 三.学法与教法

教法与学法：(1)自主+探究性学习：让学生自己由和角公式导出倍角公式，领会从一般化归为特殊的数学思想，体会公式所蕴涵的和谐美，激发学生学数学的兴趣。

(2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距. 四.教学过程 （一）、探究新知

1、复习两角和与差的正弦、余弦、正切公式：

2、提出问题：公式中如果β=α，公式会变得如何？

3、让学生板演得下述二倍角公式：

α-=-α=α-α=αα

α=α2222sin 211cos 2sin cos 2cos cos sin 22sin

α

α

α2tan 1tan 22tan -=

[展示投影]这组公式有何特点？应注意些什么？

注意：1．每个公式的特点，嘱记：尤其是“倍角”的意义是相对的，如：4α是8

α

的倍角. 2．熟悉“倍角”与“二次”的关系（升角——降次，降角——升次） 3．特别注意公式的三角表达形式，且要善于变形： 2

2cos 1sin ,2

2cos 1cos 22

α

-=

αα

+=

α 这两个形式今后常用. （二）、[展示投影]思考（学生思考，学生做，教师适当提示）

你能够证明：α

+α

-=

αα+=αα-=αcos 1cos 12tan ,2cos 12cos ,2cos 12sin 222

证：1?在 α-=α2sin 212cos 中，以α代2α，2

α

代α 即得：

2sin 21cos 2α-=α ∴2

cos 12sin 2α

-=α

2?在 1cos 22cos 2-α=α 中，以α代2α，2

α

代α 即得： 12

cos 2cos 2-α=α ∴2cos 12cos 2α

+=α

3?以上结果相除得：α

+α

-=αcos 1cos 12tan 2

[展示投影]这组公式有何特点？应注意些什么？

注意：1?左边是平方形式，只要知道

2

α

角终边所在象限，就可以开平方。 2?公式的“本质”是用α角的余弦表示2

α

角的正弦、余弦、正切

3?上述公式称之谓半角公式（课标规定这套公式不必记忆） α

+α-±=αα+±=αα-±=αcos 1cos 12tan ,2cos 12cos ,2cos 12sin

4?还有一个有用的公式：α

α

-=

α+α=αsin cos 1cos 1sin 2tan

（课后自己证） （三）、[展示投影]例题讲评（学生先做，学生讲，教师提示或适当补充） 例1. 已知cos 257=

α，求2

tan ,2cos ,2sin α

αα的值.

解：由sin

2

α

=sin 2

α

35

===±

4cos

2

5

α

===±

3tan 24α===± 例2. 求cos

8

π

的值. 解：cos

8

π

= 例3、已知sin 54-=α，)23,(ππα∈，求2

tan ,2cos ,2sin α

αα的值.