高考数学 考点23 两个计数原理、排列、组合及其应用、
考点23 两个计数原理、排列、组合及其应用、
二项式定理及应用
1.（2010·湖北高考文科·Ｔ6）现有6名同学去听同时进行的5个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，不同选法的种数是( )
（A）65（B）56（C）565432
2
?????
（D）6543
????2
【命题立意】本题主要考查分类和分步计数原理，考查考生的逻辑推理能力．
【思路点拨】因每名同学可自由选择其中的一个讲座，故6名同学的安排可分6步进行，每步均有5种选择，由分步计数原理即可得出答案.
【规范解答】选A.每名同学可自由选择5个讲座中的其中一个讲座，故6名同学的安排可分6步进行，每步均有5种选择，因此共有65种不同选法.
【方法技巧】本题每名同学可自由选择其中的一个讲座，故每位同学的选择都有5种，共有65种不同选法.若将“每名同学可自由选择其中的一个讲座”改为“每一个讲座都至少有一位同学去听”，它就是一个典型的不同元素的分组问题.利用“先分堆，再分配”的思想将6名同学分为5堆，再分给5个不同的讲座，
有
25
65
1800
C A=
1 800种不同选法.
2.（2010·湖北高考理科·Ｔ8）现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加.甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是（）
（A）152 （B）126 （C）90 （D）54
【命题立意】本题主要考查分类和分步计数原理，考查排列、组合知识的应用，考查考生的运算求解能力．【思路点拨】由甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作知，司机工作很特殊.按安排几个人担任司机工作可分为两类：①司机只安排1人；②司机安排2人，然后将其余的人安排到其他三个不同的位置.
【规范解答】选B.当司机只安排1人时，有
123
343
C C A
=108(种)；当司机安排2人时有
23
33
C A
=18(种).由分类
计数原理知不同安排方案的种数是108+18=126（种）.
【方法技巧】本题要求每项工作至少有一人参加，因此属于不同元素的分组问题，解题时往往采用“先分堆，再分配”的办法.若去掉“每项工作至少有一人参加”的限制，则甲、乙二人各有3种选择，丙、丁、
戊各有4种选择，因此共有33444576
????=（种）安排方案.
3.（2010·全国高考卷Ⅱ理科·Ｔ6）将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的放法共有( )
（A）12种（B）18种（C）36种（D）54种
【命题立意】本题考查了排列、组合的知识.
【思路点拨】运用先选后排解决，先从3个信封中选取一个放入标号为1，2的2张卡片，然后剩
余的2个信封分别放入2张卡片.
【规范解答】选B.标号为1，2的卡片放法有A 1
3种，其他卡片放法有
2
2
2
4
C
C种，所以共有A132
2
2
4
C
C=18
（种）.
【方法技巧】先排列特殊元素是解决排列、组合问题的常用方法.
4.（2010·全国卷Ⅰ理科·Ｔ6）某校开设A 类选修课3门，B 类选修课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有（ ）
(A) 30种 (B)35种 (C)42种 (D)48种
【命题立意】本题主要考查考生能否利用所学的加法原理、乘法原理以及排列、组合知识灵活地处理有关计数问题，能否结合具体问题确定恰当的分类标准，突出考查分类讨论的数学思想. 【思路点拨】解决本题可以采用直接法进行分类，也可采用间接法利用对立事件解决. 事件“两类课程中 各至少选一门”的对立事件是“全部选修A 和全部选修B ”.
【规范解答】选A.方法一：可分以下2种情况:①A 类选修课选1门,B 类选修课选2门,有
1234C C 种不同的选法；②A 类选修课选2门,B 类选修课选1门,有
2134C C 种不同的选法.所以不同的选法共有1234C C +2134181230C C =+=（种）. 方法二：∵事件“两类课程中各至少选一门”的对立事件是“全部选修A 和全部选修B ”，
∴两类课程中各至少选一门的种数为33373430C C C --=（种）.
【方法技巧】排列与组合的应用题，主要考查有附加条件的应用问题，解决这类问题通常有三种途径:
(1)以元素为主考虑，应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素.
(2)以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置.
(3)先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列数或组合数. 前两种方式叫直接解法，后一种方式叫间接(剔除)解法.
5.（2010·四川高考文科·Ｔ9）由1，2，3，4，5组成没有重复数字且1，2都不与5相邻的5位数的个数是（ ）
(A)36 (B)32 (C)28 (D)24
【命题立意】本题主要考查有限制条件的排列、组合问题，考查了学生利用所学知识解决实际问题的能力.
【思路点拨】先排5，再排1,2.分两类：5在两端，1,2有三个位置可选择；5不在两端，1，2有 两个位置可选择.
【规范解答】选A.如果5在两端，则1，2有三个位置可选，排法为
2232224A A ?=（种）； 如果5不在两端，则1，2只有两个位置可选， 排法有2222312A A ?=（种），共计24+12=36（种）.
【方法技巧】优先考虑特殊元素.复杂问题，分类求解.
6.（2010·湖北高考理科·Ｔ8）现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加.甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是( )
(A)152 (B)126 (C)90 (D)54
【命题立意】本题主要考查分类和分步计数原理，考查排列、组合知识的应用，考查考生的运算求解能力．
【思路点拨】由甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作知，司机工作很特殊.按安排几个人担任司机工作可分为两类：①司机只安排1人；②司机安排2人，然后将其余的人安排到其他三个不同的位置.
【规范解答】选B.当司机只安排1人时，有123343C C A =108(种)；当司机安排2人时有2333C A =18(种).由分类计数原理知不同安排方案的种数是108+18=126(种).
【方法技巧】本题要求每项工作至少有一人参加，因此属于不同元素的分组问题，解题时往往采用“先分堆，再分配”的办法.若去掉“每项工作至少有一人参加”的限制，则甲、乙二人各有3种选择，丙、丁、
戊各有4种选择，因此共有33444576
????=(种)安排方案.
7.（2010·重庆高考文科·Ｔ１0）某单位拟安排6位员工在今年6月14日至16日（端午节假期）值班，每天安排2人，每人值班1天.若6位员工中的甲不值14日，乙不值16日，则不同的安排方法共有（）(A)30种(B)36种(C)42种(D)48种
【命题立意】本题考查分类计数原理和分步计数原理，考查排列、组合的知识及其综合应用，考查分类讨论的思想方法.
【思路点拨】先考虑特殊元素甲、乙，再安排其他员工.
【规范解答】选C.（1）若甲、乙安排在同一天值班，则只能在15日值班，其余四人的值班安排方法有
22 426
C C=
（种）.（2）若甲、乙不在同一天值班，则甲只能在15日或16日值班，若甲在16日值班，则
有
122
442
24
C C C=
（种）；若甲在15日值班，则乙只能在14日值班，共有
112
432
12
C C C=
（种），所以共有
6241242
++=（种）.
【方法技巧】本题用到分类讨论的方法，按照特殊元素和特殊位置进行讨论.
8.（2010·四川高考理科·Ｔ10）由1，2，3，4，5，6组成没有重复数字且1，3都不与5相邻的六位偶数的个数是（）
（A）72 （B）96 （C）108 （D）144
【命题立意】本题主要考查了有限制条件的排列、组合问题，考查了学生利用所学知识解决实际问题的能力.
【思路点拨】要得到偶数，第一步考虑，个位数字的选取，有3种选法；第二步考虑1，3相邻的问题，分两类：一类是1，3相邻，且都不与5相邻，另一类1,3,5均不相邻.
【规范解答】选C.第一步：由于是组成一个6位的偶数，那么尾数就应该是在2，4，6中选，
有
1
3
C
种方法.第二步：又因为1，3不与5相邻，将其分为两类：①先将剩下的2个偶数排好有
2
2
A
种排法，1和3捆绑，再与5插空有
22
32
A A
?
种插法，共有
222
232
A A A
??
种排法；②先将剩下的2个
偶数排好有
2
2
A
种排法，把1，3，5插空，有
3
3
A
种插法，共有
32
32
A A
?
种排法,故符合题意的所有
偶数有
1222
323223
[]108
C A A A A
??+?=
32
32
A A180
g
（个）.
【方法技巧】相邻问题，捆绑排列；不相邻问题，插空排列;复杂问题，分类讨论.
9.（2010·重庆高考理科·Ｔ9）某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天安排1人，每人值班1天，若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，则不同的安排方案共有（）
（A）504种（B）960种（C）1 008种（D）1 108种
【命题立意】本题考查分类计数原理和分步计数原理，考查排列、组合的知识及其综合应用，考查分类讨论的思想方法.
【思路点拨】先安排甲、乙，再考虑丙、丁，最后安排其他员工.
【规范解答】选C.（1）若甲、乙安排在开始两天，则丁有4种选择，共有安排方案
214
244
192
A C A=
（种）.
（2）若甲、乙安排在最后两天，则丙有4种选择，共有
214
244
192
A C A=
（种）.（3）若甲、乙安排在中间
5天，选择两天有4种可能，若丙安排在10月7日，丁有4种安排法，共有
2132434192A C A ?=（种）；若丙安排在中间5天的其他3天，则丁有3种安排法，共有211323334432A C C A ?=（种），所以共有19219219243210+++=1 008（种）.
【方法技巧】本题用到分类讨论的方法，按照特殊元素（甲、乙在一起，丙丁不在某位置）进行讨论；用到分类枚举法.例如，丙不在10月1日，则考虑在10月7日和10月2日至10月6日中三天的情形.
10.（2010·重庆高考文科·Ｔ１）4(1)x +的展开式中2x 的系数为（ ）
（A ）4 （B ）6 （C ）10 （D ）20
【命题立意】本题考查二项式定理的基础知识，考查二项展开式的通项公式的应用，考查运算求解的能力，考查方程的思想.
【思路点拨】根据二项展开式的通项公式求解或杨辉三角求解,还可以利用多项式的乘法公式将其展开.
【规范解答】选B.方法一：414r r r T C x -+=，令42r -=，则2r =，所以246C =.
方法二：杨辉三角中有一行的系数1 4 6 4 1，即为4(1)x +的展开式的系数，故x2的系数为6.
方法三：422222222(1)(21)[(1)2](1)4(1)4x x x x x x x x x +=++=++=++++
43246x x x =++41x ++.
【方法技巧】（1）公式法.（2）杨辉三角、数表法.（3）应用多项式的乘法公式计算.
11.（2010·江西高考文科·Ｔ３）10(1)x -展开式中3x 项的系数为( ) (A)720- (B)720 (C)120 (D)120-
【命题立意】本题主要考查二项式定理及通项公式的应用．
【思路点拨】先写出通项，再令x 的次数为3，求出r 的值，最后求系数.
【规范解答】选D.
,)(101r r r x C T -=+其中r 可取0，1，2，...，10，令3r =得3x 项的系数为 ,120)1(3310-=-C 故选D.
12. （2010·江西高考理科·Ｔ６）8(2)x -展开式中不含4x 项的系数的和为( )
（A ）1- （B ）0 （C ）1 （D ）2
【命题立意】本题主要考查二项式定理及通项公式的应用，还考查函数的求值，考查数学中常用的 函数思想．
【思路点拨】先求所有项的系数和， 再求含4x 项的系数，最后相减. 【规范解答】选Ｂ．令8()(2)f x x =得所有项的系数和1)1(=f ，又通项r r r r x C T )(2881-=-+，其
中r 可取0，1，2，…，8，令r=8得
4
4889x x C T ==，所以不含4x 项的系数的和为01)1(=-f .