2018年高考数学总复习 统计与统计案例

第三节 统计与统计案例

考纲解读

1. 理解随机抽样的必要性和重要性。

2. 会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本；了解分层抽样和系统抽样方法。

3. 了解分布的意义和作用，会列频率分布表，会画出频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，理解它们各自的特点。

4. 理解样本数据标准差的意义和作用，会计算数据标准差。

5. 能从样本的频率分布估计总体分布，会用样本的基本数字牲估计总体的基本数字特征，理解用样本估计总体的思想。

6. 会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题。

7. 会作两个有关联变量的数据的散点图，会利用散点图认识变量间的相关关系。

8. 了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程。

9. 了解常见的统计方法，并能应用这些方法解决一些实际问题。 (1)独立性检验

了解独立性检验(只要求2×2列联表)的基本思想、方法及其简单应用。 (2)回归分析

了解回归分析的基本思想、方法及其简单应用。 命题趋势探究

1. 本节内容是高考必考内容，以选择题、填空题为主。

2. 命题内容为：(1)三种抽样(以分层抽样为主)；(2)频率分布表和频率分布直方图的制作、识图及运用。(1)(2)有结合趋势，考题难度中下。

3. 统计案例为新课标教材新增内容，考查考生解决实际问题的能力。 知识点精讲 一、抽样方法

三种抽样方式的对比，如表13-7所示。

类型 共同点

各自特点

相互关系 使用范围 简单随机抽样

抽样过程都是不放回抽样，每个个体被抽到的机会均等，总体容量N ，样本容量n ，每个个体被抽到的概率n P N

=

从总体中随机逐个抽取

总体容量较小 系统抽样

总体均分几段，每段T 个，

第一段取a 1， 第二段取a 1+T ， 第三段取a 1+2T ， ……

第一段简单随机抽样

总体中的个体个数较多

分层抽样

将总体分成n 层，每层按比例抽取

每层按简单随机抽样或系统抽样

总体由差异明显的几部分组成

二、样本分析

(1)样本平均值：1

1n

i i x x n ==∑。

(2)样本众数：样本数据中出现次数最多的那个数据。

(3)样本中位数：将数据按大小排列，位于最中间的数据或中间两个数据的平均数。

(4)样本方差：()2

21

1n

i i s x x n ==-∑。

众数、中位数、平均数都是描述一组数据集中趋势的量，方差是用来描述一组数据波动情况的特征数。

三、频率分布直方图的解读 (1)频率分布直方图的绘制

①由频率分布表求出每组频数n i ；

②求出每组频率i i n

P N

=(n 为样本容量)；

③列出样本频率分布表； ④画出样本频率分布直方图，直方图横坐标表示各组分组情况，纵坐标为每组频率与组距比值，各小长方形的面积即为各组频率，各小长方形的面积总和为1。

(2)样本估计总体

步骤：总体→抽取样本→频率分布表→频率分布直方图→估计总体频率分布。

样本容量越大，估计越精细，样本容量无限增大，频率分布直方图无限无限趋近概率分布密度曲线。

(3)用样本平均数估计总体平均数，用样本标准差估计总体标准差。

公式：aX b ax b +=+，s 2

(aX +b )=a 2s 2

(X )。 四、线性回归

线性回归是研究不具备确定的函数关系的两个变量之间的关系(相关关系)的方法。 对于一组具有线性相关关系的数据(x 1,y 1)，(x 2,y 2)，…，(x n ,y n )，其回归方程y bx a =+的求法为

()()()1

122211n n

i i i i i i n n

i i

i i x x y y x y nx y b x x x nx a y bx

====?

---?

?==??--??=-??∑∑∑∑ 其中，11n i i x x n ==∑，1

1n i i y y n ==∑，(x ,y )称为样本点的中心。 步骤：画散点图，如散点图中的点基本分布在一条直线附近，则这条直线叫这两个变量的回归直线，直线斜率k >0，称两个变量正相关；k <0，称两个变量负相关。

五、独立性

独立性检验是判断两个分类变量是否存在相关关系的案例分析方法。

步骤为列出2?2列联表(如表13-8所示)，求出()()()()()

22

n ad bc K a b c d a c b d -=++++，并判断：

表13-8

A 1 A 2 合计

B 1 a c a +c B 2 b d b +d

合计 a +b c +d n =a +b +c +d

若K 2

>10.828，有99.9%把握称“A 取A 1或A 2”对“B 取B 1，B 2”有关系；

若10.828≥K 2

>6.635，有99%把握称“A 取A 1或A 2”对“B 取B 1，B 2”有关系；

若6.635≥K 2

>3.841，有95%把握称“A 取A 1或A 2”对“B 取B 1，B 2”有关系；

若K 2

≤3.841，没有把握称A 与B 相关。 题型归纳及思路提示 题型181 抽样方式 思路提示

根据所抽取的对象与要求，若抽取的对象中有明显差异，考虑用分层抽样，否则选择简

单随机抽样或系统抽样。当总体中的个体较少时，常采用简单随机抽样；当总体中的个体较多时，常采用系统抽样。

例13.16(2012天津理9)

某地区有小学150所，中学75所，大学25所。现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取30所学校对学生进行视力调査，应从小学中抽取 所学校，中学中抽取 所学校。

解析：本地区共有学校150+75+25=250(所)，所以从小学中应抽取150

3018250

?=(所)，

从中学中抽取75

309250

?=(所)。

变式1 (2012山东理4)

采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9。抽到的32人中，编号落入区间[1,450]的人做问卷A ，编号落入区间[451,750]的人做问卷B ，其余的人做问卷C 。则抽到的人中，做问卷B 的人数为( )。

A. 7

B. 9

C. 10

D. 15

变式2 某校共有学生2000名，各年级男、女生人数如表13-9所示，已知在全校学生中任取一名，抽到二年级女生的概率为0.19，现用分层抽样的方法，在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取的学生人数为( )。

表13-9

一年级 二年级 三年级

女生 373

x y 男生 377 370

z 变式3 某企业三月中旬生产A ，B ，C 三种产品其3000件，根据分层抽样的结果，企业统计员制作了统计表格，如表13-10所示，由于不小心，表格中的A ，C 产品的有的有关数据被污染看不清楚，统计员记得A 产品样本容量比C 产品的样本容量多10，由此可得C 产品数量为_______。

表13-10

产品类型

A B C 产品数量(件) 1300 产品样本数量(件) 130

题型182 样本分析——用样本估计总体 思路提示

对样本进行分析并用样本估计总体，包括用样本数字特征估计总体数字特征和用样本的频率分布估计总体的频率分布。在进行样本分析时，应从统计图表中获取数据。体现在以下

几个方面：(1)在频率分布直方图中，长方形面积=组距?频率

组距

=频率，即随机变量的概率；(2)

对于频数、频率、样本容量，已知其二必可求第三个；(3)随机变量在各组数据内的频数之和为样本容量。

例13.17(2013广东理17)

某车间共有12名工人，随机抽取6名，他们某日加工零件个数的茎叶图如图13-16所示，其中茎为十位数，叶为个位数。

1792015

3013-16

图

(1)根据茎叶图计算样本均值；

(2)日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人，根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人；

(3)从该车间12名工人中，任取2人，求恰有1名优秀工人的概率。

分析：阅读茎叶图得出样本数据，利用平均数公式计算出样本均值。(2)根据样本算出优秀工人的比例，再估计12人中优秀工人的个数。(3)用组合数公式求出所有可能的组合的个数和符合条件“恰有1名优秀工人”的组合的个数，利用古典概型概率公式进行计算。

解析：(1)由茎叶图可知，样本数据为17，19，20，21，25，30，则样本均值

171920212530

226

x +++++=

=，故样本均值为22。

(2)日加工零件个数大于样本均值的工人有2名，故优秀工人的频率为

21

63

=，该车间12名工人中优秀工人大约有2

1246

?=(名)，故该车间约有4名优秀工人。

(3)记“恰有1名优秀工人”为事件A ，其包含的基本事件个数为C 14C 1

8=32，所有基本

事件的总数为C 2

12=66，由古典概型概率公式，得()3216

6633

P A =

=。所以恰有1名优秀工人的概率为

1633

。 变式1 (2012陕西理6)

从甲乙两个城市分别随机抽取16台自动售货机，对其销售额进行统计，统计数据用茎

叶图表示(如图13-17所示)，设甲乙两组数据的平均数分别为x 甲，x 乙，中位数分别为m 甲，m 乙，则( )。

8650

88400102875220233780031244831423813-17

甲乙

图

A. x 甲m 乙

B. x 甲x 乙，m 甲>m 乙

D. x 甲>x 乙，m 甲

变式2 某农场计划种植某种新作物，为此对这种作物的两个品种(分别称为品种甲和品

种乙)进行田间试验。选取两大块地，每大块地分成n 小块地，在总共2n 小块地中，随机选n 小块地种植品种甲，另外n 小块地种植品种乙。

(1)假设n =4，在第一大块地中，种植品种甲的小块地的数目记为X ，求X 的分布列和数学期望；

(2)试验时每大块地分成8小块，即n =8，试验结束后得到品种甲和品种乙在各小块地

上的每公顷产量(单位：kg/hm 2

)如表13-11所示。

表13-11

品种甲 403 397 390 404 388 400 412 406

品种乙 419 403 412 418 408 423 400 413 分别求品种甲和品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差；根据试验结果你认为应该种植哪一品种？

附：样本数据x 1，x 2，…，x n 的样本方差[()()()]2222121

n s x x x x x x n

=-+-++-，其中

x 为样本平均数。

例13.18某次有1000人参加的数学摸底考试，其成绩的频率分布直方图如图13-18所示，规定85分及其以上为优秀。

(1)表13-12所示的是这次考试成绩的频数分布表，求正整数a ，b 的值；

表13-12

区间 [75,80) [80,85) [85,90) [90,95) [95,100]

人数 50 a 350 300

b (2)现在要用分层抽样的方法从这1000人中抽取40人的成绩进行分析，求其中成绩为优秀的学生人数；

(3)在(2)中抽取的40名学生中，要随机选取2名学生参加座谈会，记“其中成绩为优秀的人数”为X ，求X 的分布列与数学期望。

解析：(1)由频率分布直方图可知，a =0.4?5?1000=200，b =0.02?5?1000=100。

(2)设抽取的40人中成绩为优秀的学生人数为x ，则350300100

401000

x ++=

，解得x =30，即其中成绩为优秀的学生人数为30名。

(3)依题意，随机变量X 的可能取值为：0，1，2。

且()210240C 30C 52P X ===，()111010240C C 51C 13P X ===， ()220

240C 292C 52

P X ===，所以X 的分布

列为：

X 0 1 2

P

352 513 2952

数学期望为()35293

0125213522

E X =?+?+?=。

变式1 某班50名同学在一次百米测试中的成绩全部介于13秒和19秒之间，将测试结果按如下方式分成六组：

第一组，成绩大于等于13秒且小于14秒； 第二组，成绩大于等于14秒且小于15秒； ……

第六组，成绩大于等于18且小于19秒。

0.07 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01

0 75 80 85 90 95 100 分数 图 13-18

频率 组距

如图13-19所示是由上述分组方法得到的频率分布直方图，设成绩小于17秒的学生占全班总人数的百分比为x ，成绩大小等于15秒且小于17秒的学生人数为y ，则从频率分布直方图中可分析出x 和y 分别为( )。

A. 0.9，35

B. 0.9，45

C. 0.1，35

D. 0.1，45

变式2 (2012安徽理5)

甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图13-20所示，则( )。

A. 甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数

B. 甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数

C. 甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差

D. 甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差

题型183 线性回归方程 思路提示

首先通过对散点图观察分析是否为线性回归，若为线性回归则利用最小二乘法求出回归直线方程。

具体步骤为：

(1)求x ，y ，2

x ，xy ； (2)求1n

i i i x y =∑；

频率/组距

0.36 0.34

0.18

0.06 0.04 0.02

0 13 14 15 16 17 18 19 （秒） 图 13-19

0 3 4 5 6 7 8 9 10 环数 （乙）

3 2 1

0 3 4 5 6 7 8 9 10 环数 （甲） 3 2 1

图 13-20 频数

频数

(3) 21

n

i i x =∑；

(4)代入公式，求12

2

1

n

i i

i n

i

i x y

nx y b x

nx

==-=

-∑∑；

(5)代入公式求，a y bx =-，代入直线方程得=+y bx a 。

这里要注意的是回归直线恒过样本中心点(x ,y )。 例13.19如表13-13所示，其中提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x (吨)与相应的生产耗能y (吨)标准煤的几组对照数据。

表13-13

x 3 4 5 6

y

2.5

3.

4

4.5

(1)请画出表示数据的散点图；

(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程=+y bx a ； (3)已知该厂技改前100吨产品的生产耗能为90号标准煤，试根据(2)求得的回归方程，预测生产100吨甲产品耗能比技改前降低多少吨标准煤？

(参考数值：3?2.5+4?3+5?4+6?4.5=66.5)。 解析：(1)由题设所给数据，可得散点图(如图13-21所示)上的点基本在一条直线附近，数据正相关，存在回归方程。

(2)由表13-14所示可知，()()

()1

2

1

3.5

=

=0.75

n

i

i i n

i

i x

x y y b x

x ==--=

-∑∑，a y bx =-=0.35，即x ，y 的回归方程为=0.7+0.35y x 。

表13-14

x i x i -x (x i -x )

2

(x i -x )(y i -y )

y i -y y i 3 -1.5 2.25 1.5 -1 2.5 4 -0.5 0.25 0.25 -0.5 3 5 0.5 0.25 0.25 0.5 4 6 1.5

2.25

1.5

1

4.5

x =4.5

()4

2

1

i

i x

x =-∑=5

()()4

1

i

i i x

x y y =--∑=3.5

y =3.5

5 4.5 4 3 2.5 2 1

y (吨标准煤)

O 1 2 3 4 5 6 x (吨甲产品) 图 13-21

(3)由(2)的回归方程及技改前生产100吨甲产品的生产耗能，得节省的生产耗能为90-(0.7?100+0.35)=19.5(吨)标准煤。

评注：(1)两个变量是否具有相关关系，主要依据散点图加以判断，看变量对应的点是否分布在一条直线附近，若是，则具有相关关系；否则不具有相关关系；(2)用公式计数为，a，b的值时，要先算b的值，然后才能算a。

变式1 某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如表13-15所示。

表13-15

广告费用x(万元) 4 2 3 5

销售额y(万元) 49 26 39 54

根据表13-15可得回归方程=+

y bx a中的b为9.4，据此模型预报首先费用为6万元时销售额为( )。

A. 63.6万元

B. 65.5万元

C. 67.7万元

D. 72.0万元

变式2 调查了某地若干户家庭的年收入x(单位：万元)和年饮食支出y(单位：万元)，调查显示年收入x与年饮食支出y具有线性相关关系，并出调查数据得到y对x的回归直线方程：y=0.254x_0.321。由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加_______万元。

变式3 (2012湖南理4)

设某大学的女生体重y(单位：kg)与身高x(单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(x i,y i)(i=1,2,…,n)，用最小二乘法建立的回归方程为y=0.85x-85.71，则下列结论中不正确的是

A. y与x具有正的线性相关关系

B. 回归直线过样本点的中心(x,y)

C. 若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg

D. 若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重比为58.79kg

题型184 独立性检验

思路提示

独立性检验是判断两个分类变量是否存在相关关系的案例分析方法，它与概率中事件的独立性不同，具体步骤为：

(1)列出2?2列联表；

(2)求

()

()()()()

2

2

n ad bc

K

a b c d a c b d

-

=

++++

；

(3)最后根据临界值作出判断。

例13.20为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样调查了500位老人，结果如表13-16所示。

男女

需要40 30

不需要160 270

(1)估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人比例；

(2)能否有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者帮助与性别相关？

(3)根据(2)的结论，能否提出更好的调查方法估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例？说明理由。

解析：(1)调查的500位老年人中有70位需要志愿者提供帮助，因此该地区老年人中，

需要帮助的老年人的比例估计值为7014

= 500100

。

(2)列出2?2列联表(如表13-17所示)。

表13-17

男 女 合计 需要 40 30 70 不需要 160 270 430 合计

200

300

500

()2

2

50040270301609.96720030070430

K ?-?=≈???。

由于9.967>6.635，所以有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者帮助与性别有关。

(3)由(2)的结论知，该地区老年人是否需要帮助与性别有关，并且从样本数据能看出，该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异，因此在调查中，先确定该地区老年人中男、女的比例，再把老年人分成男、女两层并采用分层抽样方法比采用简单随机抽样方法更好。

变式1 为比较注射A ，B 两种药物产生的皮肤疱疹的面积，选200只家兔作试验，将这200只家兔随机地分成两组，每组100只，其中一组注射药物A ，另一组注射药物B 。表13-18和表13-19所示的分别是注射药物A 和药物B 后皮肤疱疹面积的频率分布(疱疹面积单位：mm 2

)。

表13-18

疱疹 [60,65) [65,70) [70,75) [75,80]

频数

30

40 20 10 表13-19

疱疹面积

[60,65) [65,70) [70,75) [75,80] [80,85) 频数

10

25

20

30

15

(1)完成图13-22和图13-23所示的分别注射药物A ，B 后皮肤疱疹面积的频率分布直方图，并比较注射两种药物后疱疹面积的中位数大小；

（2）完成表13-20所示的2×2列联表，并回答能否有99.9%的把握认为注射药物A 后的疱疹面积与注射药物B 的疱疹面积有差异.

疱疹面积小于70mm 2

疱疹面积不小于

70mm 2

合计 注射药物A a = b = 注射药物B c = d = 合计

附：2

2

()()()()()

n ad bc K a b c d a c b d -=++++.

0.08 0.07 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01

频率/组距 0 60 65 70 75 80 85 疱疹面积 图 13-22 0.08 0.07 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01

频率/组距

0 60 65 70 75 80 85 疱疹面积 图 13-23

2()0.1000.0500.0250.0100.001

2.706

3.811 5.021 6.63510.828

P K k k ≥

变式2 (2012辽宁理19) 电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查.下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：

将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”

（1）根据已知条件完成下面的22?列联表，并据此资料你是否认为“体育迷“与性别有关？

非体育迷 体育迷 合计

男

女

10 55 合计

（2）将上述调查所得到的频率视为概率.现在从该地区大量电视观众中，采用随机抽样方法每次抽取1名观众，抽取3次，记被抽取的3名观众中的“体育迷“人数为X .若每次抽取的结果是相互独立的，求X 的分布列，期望()E X 和方差()D X

附：()2

112212212

1+2++1+2

-=n n n n n n n n n χ，

()2P k χ≥ 0.05 0.01 k

3.841

6.635

最有效训练55(限时40分钟)

1．变量X 与Y 的卡方统计量K 2的值，下列说法正确的是（ ） A ．K 2越大，“X 与Y 有关系”可信度越小 B ．K 2越小，“X 与Y 有关系”可信度越小 C ．K 2越接近0，“X 与Y 无关”程度越小 D

．K 2越大，“X 与Y 无关”程度越大

2．甲乙两名同学在5次体育测试中的成绩如图13-25所示，则有（ ） A ．x x <甲乙，乙比甲稳定 B ．x x >甲乙，甲比乙稳定 C ．x x >甲乙，乙比甲稳定

D ．x x <甲乙，甲比乙稳定

8

7

27868282

9

1

5

13-25

十位甲乙

数字个位数字 个位数字图

3．为了了解某地区高三学生的身体状况，抽查了该地区100名17.5～18岁的男生体重（千克），得到频率分布直方图（如图13-26所示）.由图知这100名学生在[56.5,64.5)的学生人数为（ ）

A ．20

B ．30

C ．40

D ．50

4．设两个变x 和y 之间具有线性相关关系，它们的相关系数是r ，y 关于x 的回归直线的斜率是b ，纵截距是a ，那么必有（ ） A ．b 与r 符号相同 B ．a 与r 符号相同 C ．b 与r 符号相反 D ．a 与r 符号相反

5．通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到台表13-23所示的2×2列联表.

表13-23

男 女 总计 爱好 40 20 60 不爱好 20 30 50 总计

60

50

100

由22

()()()()()

n ad bc K a b c d a c b d -=++++算得：22

110(40302020)7.860506050K ??-?=

≈???. 附表13-24：

P （2

K k ≥）

0.050 0.010 0.001 k

3.841

6.635

10.828

参照表13-24,得到正确的结论是（ ）

A ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”

B ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”

C ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”

D ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”

6．设1122(,),(,),,(,)n n x y x y x y 是娈量x 和y 的n 个样本点，直线l 是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线（如图13-27所示），以下结论中正确的是（ ）

A ．x 和y 的相关系数为直线l 的斜率

B ．x 和y 的相关系数在0到1之间

C ．当n 为偶数时，分布在l 两侧的样本点的个数一定相同

D ．直线l 通过点(,)x y

7．某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3：3：4，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取 名学生.

8．某学校食堂随机调查了一些学生是否因距离远近而选择食堂就餐的情况，经计算得到K 2=4.932.所以判定距离远近与选择食堂有关系，那么这种判断出错的可能性为 . 附表13-25:

P （2

K k ≥）

0.050 0.010 0.001 k

3.841

6.635

10.828

9．某数学老师身高176c m ，他爷爷，父亲，儿子的身高分别是173c m ，170c m 和182c m ，因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高是 C m ．

10．已知样本X ：

10 8 8 10 13 8 10 12 11 7 8

9

11

9

12

9

10

11

12

12

则：（1）x = ；（2）2

()s x = .

11．为调查某社区居民的业余生活状况，研究这一社区居民在20：00～22：00时间段的休闲方式与性别关系，随机调查了该社区80人，得到下面的数据表（如表13-26所示）. 表 13-36

休闲方式

性别

看电视

看书

合计

男 10 50 60 女 10 10 20 合计

20

60

80

（1）将此样本的频率估计为总体的概率，随机调查3名在该社区的男性，设调查的3人在这一时间段以看书为休闲方式的人数为随机变量X ，求X 的分布列和数学期望；

（2）根据以上数据，能否有99%的把握认为“在20：00～22：00时间段居民的休闲方式与性别有关系”？

y

l

O x

图 13-27

参考公式：2

2

()()()()()

n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n =a +b +c +d .

参考数据（如表13-27）

P （2

K k ≥）

0.15 0. 10 0.05 0.025 0.010 k

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

12．某种产品的广告费支出现x 与销售额y （单位：万元）之间有如表13-28所示的对应数据：

表13-28

x 2 4 5 6 8 y

30

40

60

50

70

（1）画出散点图； （2）求回归直线方程；

（3）若实际销售额不低于82.5万元，则广告费支出最少是多少万元？

2018年高考理科数学试题及答案-全国卷2

2018年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷2） 理科数学 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1． 12i 12i + = - A． 43 i 55 --B． 43 i 55 -+C． 34 i 55 --D． 34 i 55 -+ 2．已知集合() {} 223 A x y x y x y =+∈∈ Z Z ，≤，，，则A中元素的个数为 A．9 B．8 C．5 D．4 3．函数()2 e e x x f x x - - =的图像大致为 4．已知向量a，b满足||1 = a，1 ?=- a b，则(2) ?-= a a b A．4 B．3 C．2 D．0 5．双曲线 22 22 1(0,0) x y a b a b -=>>3 A．2 y x =B．3 y x =C． 2 y=D． 3 y= 6．在ABC △中， 5 cos 2 C 1 BC=，5 AC=，则AB= A．2B30C29 D．25 7．为计算 11111 1 23499100 S=-+-++- …，设计了右侧的程序框图，则在空白 框中应填入 A．1 i i=+ B．2 i i=+ C．3 i i=+ D．4 i i=+ 8．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30723 =+．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是 开始 0,0 N T == S N T =- S 输出 1 i= 100 i< 1 N N i =+ 1 1 T T i =+ + 结束 是否

(完整word版)2018年高考数学总复习概率及其计算

第十三章概率与统计本章知识结构图

第一节 概率及其计算 考纲解读 1.了解随机事件发生的不确定性、频率的稳定性、概率的意义、频率与概率的区别。 2.了解两个互斥事件的概率的加法公式。 3.掌握古典概型及其概率计算公式。 4.了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率。 5.了解几何概型的意义。 命题趋势探究 1.本部分为高考必考内容，在选择题、填空题和解答题中都有渗透。 2.命题设置以两种概型的概率计算及运用互斥、对立事件的概率公式为核心内容，题型及分值稳定，难度中等或中等以下。 知识点精讲 一、必然事件、不可能事件、随机事件 在一定条件下： ①必然要发生的事件叫必然事件； ②一定不发生的事件叫不可能事件； ③可能发生也可能不发生的事件叫随机事件。 二、概率 在相同条件下，做次重复实验，事件A 发生次，测得A 发生的频率为，当很大时，A 发生的频率总是在某个常数附近摆动，随着的增加，摆动幅度越来越小，这时就把这个常数叫做A 的概率，记作。对于必然事件A ，；对于不可能事件A ，=0. 三、基本事件和基本事件空间 在一次实验中，不可能再分的事件称为基本事件，所有基本事件组成的集合称为基本事件空间。 四、两个基本概型的概率公式 1、古典概型 条件：1、基本事件空间含有限个基本事件 2、每个基本事件发生的可能性相同 ()(A) = ()A card P A card = Ω包含基本事件数基本事件总数 2、几何概型 条件：每个事件都可以看作某几何区域Ω的子集A ，A 的几何度量（长度、面积、体积或时间）记为 A μ.

()P A = A μμΩ 。 五、互斥事件的概率 1、互斥事件 在一次实验中不能同时发生的事件称为互斥事件。事件A 与事件B 互斥，则 ()()() P A B P A P B =+U 。 2、对立事件 事件A,B 互斥，且其中必有一个发生，称事件A,B 对立，记作B A =或A B =。 ()() 1P A p A =- 。 3、互斥事件与对立事件的联系 对立事件必是互斥事件，即“事件A ，B 对立”是”事件A ，B 互斥“的充分不必要条件。 题型归纳及思路提示 题型176 古典概型 思路提示 首先确定事件类型为古典概型，古典概型特征有二：有限个不同的基本事件及各基本事件发生的可能性是均等的；其次计算出基本事件的总数及事件A 所包含的基本事件数；最后计算 ()A P A = 包含基本事件数 基本事件总数。 例13.1 设平面向量(),1m a m =，()2,n b n = ，其中{}, 1.2,3,4m n ∈ （1）请列出有序数组(),m n 的所有可能结果； （2） 若“使得()m m n a a b ⊥-成立的(),m n 为事件A ，求事件A 发生的概率。 分析：两向量垂直的充要条件是两向量的数量积为0，从而可得m 与n 的关系，再从以上 (),m n 的16个有序数组中筛选出符合条件的，即得事件A 包含的基本事件个数。 解析：（1）由{}, 1.2,3,4m n ∈，有序数组(),m n 的所有可能结果为()1,1 ， ()()() 1,2,1,3,1,4， ()()()() 2,1,2,2,2,3,2,4， ()()()() 3,1,3,2,3,3,3,4， ()()()()4,1,4,2,4,3,4,4 共16个。 （2）因为(),1m a m =，()2,n b n =，所以()2,1m n a b m n -=-- .又()m m n a a b ⊥-，得 ()(),12,10m m n ?--= ，即22m 10m n -+-= ，所以()21n m =- 。故事件A 包含的

高考数学概率与统计知识点汇编

高中数学之概率与统计 求等可能性事件、互斥事件和相互独立事件的概率 解此类题目常应用以下知识: (1)等可能性事件(古典概型)的概率：P(A)＝)()(I card A card ＝n m ; 等可能事件概率的计算步骤： 计算一次试验的基本事件总数n ; 设所求事件A ，并计算事件A 包含的基本事件的个数m ; 依公式 ()m P A n = 求值; 答，即给问题一个明确的答复. (2)互斥事件有一个发生的概率：P(A ＋B)＝P(A)＋P(B); 特例：对立事件的概率：P(A)＋P(A )＝P(A ＋A )＝1. (3)相互独立事件同时发生的概率：P(A ·B)＝P(A)·P(B); 特例：独立重复试验的概率：Pn(k)＝k n k k n p p C --)1(.其中P 为事件A 在一次试验中发生的 概率，此式为二项式[(1-P)+P]n 展开的第k+1项. (4)解决概率问题要注意“四个步骤，一个结合”： 求概率的步骤是： 第一步，确定事件性质?? ?? ???等可能事件 互斥事件 独立事件 n 次独立重复试验 即所给的问题归结为四类事件中的某一种. 第二步，判断事件的运算 ?? ?和事件积事件 即是至少有一个发生，还是同时发生，分别运用相加或相乘事件. 第三步，运用公式()()()()()()()()(1) k k n k n n m P A n P A B P A P B P A B P A P B P k C p p -? =???+=+? ??=??=-??等可能事件: 互斥事件： 独立事件： n 次独立重复试验:求解 第四步，答，即给提出的问题有一个明确的答复. 例1． 在五个数字12345，，，，中，。 例2． 若随机取出三个数字，则剩下两个数字都是奇数的概率是 （结果用数值表示）． [解答过程]0.3提示:13 35C 33. 54C 10 2P ===?

2018年高考理科数学全国三卷试题及答案解析

2018年高考理科全国三卷 一．选择题 1、已知集合,则( ) A. B. C. D. 2、( ) A. B. C. D. 3、中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来,构建的突出部分叫榫头,凹进部分叫卯眼,图中木构件右边的小长方体是榫头,若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体,则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是( ) A. B. C. D. 4、若,则( ) A. B. C. D. 5、的展开方式中的系数为( ) A.10 B.20 C.40 D.80 6、直线分别与轴,轴交于两点,点在圆上,则 面积的取值范围是( ) A. B. C. D. 7、函数的图像大致为( )

A. B. C. D. 8、某群体中的每位成员使用移动支付的概率为,各成员的支付方式相互独立,设为该群体的为成员中使用移动支付的人数,,则( ) A.0.7 B.0.6 C.0.4 D.0.3 9、的内角的对边分别为,若的面积为则=( ) A. B. C. D. 10、设是同一个半径为的球的球面上四点,为等边三角形且其面积为,则三棱锥体积的最大值为( ) A. B. C. D. 11、设是双曲线的左,右焦点,是坐标原点,过作的一条逐渐近线的垂线,垂足为,若,则的离心率为( ) A. B.2 C. D. 12、设则( ) A. B. C. D. 13、已知向量,若,则 14、曲线在点处的切线的斜率为,则 15、函数在的零点个数为 16、已知点和抛物线,过的焦点且斜率为的直线与交于两点。若 ,则 三．解答题

17、等比数列中, 1.求的通项公式; 2.记为的前项和,若,求 18、某工厂为提高生产效率,开展技术创新活动,提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式,为比较两种生产方式的效率,选取名工人,将他们随机分成两组,每组人,第一组工人用第一种生产方式,第二组工人用第二种生产方式,根据工人完成生产任务的工作时间(单位:)绘制了如下茎叶图: 1.根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高?并说明理由; 2.求名工人完成生产任务所需时间的中位数,并将完成生产任务所需时间超过和不超过的工人数填入下面的列联表: 超过不超过 第一种生产方 式 第二种生产方 式 3.根据中的列联表,能否有的把握认为两种生产方式的效率有差异? 附: 19、如图,边长为的正方形所在的平面与半圆弧所在的平面垂直,是上异于的点

2017-2018年高考数学总复习：极坐标

2017-2018年高考数学总复习:极坐标 x cos sin y ρθ ρθ =?? =? 222x y ρ+= 考点一。直角坐标化极坐标 (1)点M 的直角坐标是(1-，则点M 的极坐标为______. 解：点M 极坐标为：2(2,2),()3 k k Z π π+ ∈. （2）求直线3x-2y+1=0的极坐标方程。 解：极坐标方程为01sin 2cos 3=+-θρθρ。 (3)在极坐标系中，圆心在π）且过极点的圆的极坐标方程为______. 解：圆心:)02(，-,22(2x y +=。圆的极坐标方 程为ρθ。 考点二。极坐标化直角坐标 （1）求普通方程)3 R ∈=ρπ θ（。 解：y=kx,且k=33 tan =π ,则x 3y =的直线。 （2）将曲线的极坐标方程ρ=４sin θ化 成直角坐标方程。 解：将ρ=2 2y x +，sin θ= 2 2y x y +代入ρ=4sin θ，得x 2+y 2=4y ，即x 2+(y-2)2 =4. (3)求过圆4cos =ρθ的圆心，且垂直于极轴的直线极坐标方程． 解：由θρcos 4=得θρρcos 42=．所以x y x 42 2=+，22(2)4x y -+=圆心坐标(2,0) 直线方程为2=x ．直线的极坐标方程为2cos =θρ。 (4)将极坐标方程4sin 2 θ=3化为普通方程。 解：由4sin 2 θ=3,得4·2 22y x y +＝3,即y 2=3 x 2 ，y=±x 3. （5）化极坐标方程2 4sin 52 θ ρ?=为普通方程。

解：2 1c o s 4s i n 4 22c o s 52 2 θ θρρρρθ-?=?=-=， 即25x =，化简225 54 y x =+ .表示抛物线. (6)求点 (,)π 23 到圆2cos ρθ= 的圆心的距离。 解：)3 , 2(π化为)3,1(，圆θρcos 2=化为0222=-+x y x ，圆心的坐标是)0,1(，故距 离为3。 （7）求点M （4， ）到直线l ：ρ（2cos θ+sin θ）=4的距离． （8）已知21,C C 极坐标方程分别为θρθρcos 4,3cos ==（2 0,0θρ<≤≥），求曲线1 C 与2C 交点极坐标. 解:21,C C 分别为4)2(,32 2=+-=y x x ,且0≥y ，两曲线交点为（3，3）. 所以，交 点的极坐标为?? ? ? ?6, 32π。 考点三。极坐标应用 命题点1.求面积（12121 A B S =sin -2 ραρβρραβ?∴（，），（，） （）） （1）在极坐标系中，已知两点A ，B 的极坐标分别为? ????3，π3，? ????4，π6，求△AOB 的面积． 解： 由题意得S △AOB ＝12×3×4×sin ? ????π3－π6＝1 2 ×3×4×sin π6＝3. （2）在极坐标系中，已知两点A ，B 的极坐标分别为 ），）和（，（6 5-53 4π π ，求△AOB 的面积． 解： 由题意得5))6 5(3sin(5421S =--???= ?π π. ）化成为（）

高考数学复习专题：统计与概率(经典)

11 12 13 3 5 7 2 2 4 6 9 1 5 5 7 图1 统计与概率专题 一、知识点 1、随机抽样：系统抽样、简单随机抽样、分层抽样 1、用简单随机抽样从100名学生（男生25人）中抽选20人进行评教，某男生被抽到的概率是( ) A ． 1001 B ．251 C ．5 1 D ． 5 1 2、为了解1200名学生对学校教改试验的意见，打算从中抽取一个容量为30的样本，考虑采用系统抽样，则分段的间隔k 为( ) A ．40 B ．30 C ．20 D ．12 3、某单位有职工160人，其中业务员有104人，管理人员32人，后勤服务人员24人，现用分层抽样法从中抽取一容量为20的样本，则抽取管理人员( ) A ．3人 B ．4人 C ．7人 D ．12人 2、古典概型与几何概型 1、一枚硬币连掷3次，只有一次出现正面的概率是( ) A ．83 B ．32 C ．31 D ．4 1 2、如图所示，在正方形区域任意投掷一枚钉子，假设区域内每一点被投中的可能性相等，那么钉子投进阴影区域的概率为____________． 3、线性回归方程 用最小二乘法求线性回归方程系数公式1 2 211 ???n i i i n i x y nx y b a y bx x nx ==-==--∑∑，． 二、巩固练习 1、随机抽取某中学12位高三同学，调查他们春节期间购书费用（单位：元），获得数据的茎叶图如图1， 这12位同学购书的平均费用是（ ） A.125元 B.5.125元 C.126元 D.5.126元 2、200辆汽车通过某一段公路时的时速频率分布直方图如图所示，时速在[50,60) 的汽车大约有（ ） A .30辆 B . 40辆 C .60辆 D .80辆 3、某校有高级教师26人，中级教师104人，其他教师若干人．为了了解该校教师 的工资收入情况，若按分层抽样从该校的所有教师中抽取56人进行调查，已知从其 他教师中共抽取了16人，则该校共有教师 ______人． 4、执行下边的程序框图，若0.8p =，则输出的n = ． 0.04 0.030.020.01频率 组距时速8070605040开始 10n S ==， S p

2018年高考数学全国卷III

2018年普通高等学校招生全国统一考试(理科数学全国卷3) 数 学(理科) 一、选择题：本题共12小题。每小题5分. 1.已知集合{}10A x x =-≥，{}2,1,0=B ，则=?B A （ ） .A {}0 .B {}1 .C {}1,2 .D {}0,1,2 2.()()=-+i i 21 （ ） .A i --3 .B i +-3 .C i -3 .D i +3 3.中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来.构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头，若如图摆放的木构件与某一卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是( ) 4. 若1 sin 3α= ，则cos 2α= （ ） .A 89 .B 79 .C 79- .D 89- 5. 25 2()x x +的展开式中4x 的系数为 （ ） .A 10 .B 20 .C 40 .D 80 6.直线20x y ++=分别与x 轴、y 轴交于A 、B 两点，点P 在圆()2 2 22x y -+=上，则ABP ?面积 的取值范围是 （ ） .A []2,6 .B []4,8 .C .D ?? 7.函数422y x x =-++的图像大致为 （ ）

8.某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为P ，各成员的支付方式相互独立，设X 为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，4.2=DX ,()()64=<=X P X P ，则=P （ ） .A 0.7 .B 0.6 .C 0.4 .D 0.3 9.ABC ?的内角C B A 、、的对边分别c b a 、、,若ABC ?的面积为222 4 a b c +-，则=C （ ） . A 2π . B 3π . C 4π . D 6 π 10.设D C B A 、、、是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC 为等边三角形且其面积为，则三棱锥ABC D -积的最大值为 （ ） .A .B .C .D 11.设21F F 、是双曲线C : 22 221x y a b -=（0,0>>b a ）的左、右焦点，O 是坐标原点，过2F 作C 的一 条渐近线的垂线，垂足为P ，若1PF =，则C 的离心率为 （ ） .A .B 2 .C .D 12.设3.0log 2.0=a ，3.0log 2=b ，则 （ ） .A 0a b ab +<< .B 0a b a b <+< .C 0a b a b +<< .D 0ab a b <<+

2018年高考数学(理科)模拟试卷(二)

2018年高考数学(理科)模拟试卷(二) (本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．满分150分，考试时间120分钟) 第Ⅰ卷(选择题满分60分) 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．(2016年北京)已知集合A＝{x||x|<2}，B＝{－1,0,1,2,3}，则A∩B＝() A．{0,1} B．{0,1,2} C．{－1,0,1} D．{－1,0,1,2} 2．已知z为纯虚数，且z(2＋i)＝1＋a i3(i为虚数单位)，则复数a＋z在复平面内对应的点所在的象限为() A．第一象限B．第二象限 C．第三象限D．第四象限 3．(2016年新课标Ⅲ)某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中月平均最高气温和平均最低气温的雷达图M2-1.图中A点表示十月的平均最高气温约为15 ℃，B 点表示四月的平均最低气温约为5 ℃.下面叙述不正确的是() A．各月的平均最低气温都在0 ℃以上 B．七月的平均温差比一月的平均温差大 C．三月和十一月的平均最高气温基本相同 D．平均气温高于20 ℃的月份有5个 图M2-1 图M2-2

4．已知平面向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，k )，若a 与b 共线，则||3a ＋b ＝( ) A ．3 B ．4 C.5 D ．5 5．函数y ＝1 2x 2－ln x 的单调递减区间为( ) A ．(－1,1] B ．(0,1] C ．[1，＋∞) D ．(0，＋∞) 6．阅读如图M2-2所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果为( ) A ．2 B ．1 C ．0 D ．－1 7．(2014年新课标Ⅱ)如图M2-3，网格纸上正方形小格的边长为1(表示1 cm)，图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3 cm ，高为6 cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为( ) 图M2-3 A.1727 B.59 C.1027 D.13 8．已知F 1，F 2分别为双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，离心率为5 3，过原点的直线l 交双曲线左、右两支分别于A ，B ，若|BF 1|－|AF 1|＝6，则该双曲线的标准方程为( ) A.x 29－y 216＝1 B.x 218－y 2 32＝1 C.x 29－y 225＝1 D.x 236－y 2 64＝1 9．若函数f (x )＝???? ? x －a 2x ≤0，x ＋1x ＋a x >0的最小值为f (0)，则实数a 的取值范围是( ) A ．[－1,2] B ．[－1,0] C ．[1,2] D ．[0,2]

精编2018年高考数学总复习全书汇编

专题一集合、常用逻辑用语、平面向量、复数、算法、合情推理[高考领航]————————————摸清规律预测考情

考点一 集合、常用逻辑用语 1．设有限集合A ，card(A )＝n (n ∈N *)，则

(1)A 的子集个数是2n ； (2)A 的真子集个数是2n －1； (3)A 的非空子集个数是2n －1； (4)A 的非空真子集个数是2n －2； (5)card(A ∪B )＝card A ＋card B －card(A ∩B )． 2．(1)(?R A )∩B ＝B ?B ??R A ； (2)A ∪B ＝B ?A ?B ?A ∩B ＝A ； (3)?U (A ∪B )＝(?U A )∩(?U B )； (4)?U (A ∩B )＝(?U A )∪(?U B )． 3．若p 以集合A 的形式出现，q 以集合B 的形式出现，即A ＝{x |p (x )}，B ＝{x |q (x )}，则关于充分条件、必要条件又可叙述为： (1)若A ?B ，则p 是q 的充分条件； (2)若A ?B ，则p 是q 的必要条件； (3)若A ＝B ，则p 是q 的充要条件． 类型一 集合的概念及运算 [典例1] (2016·高考全国卷Ⅰ)设集合A ＝{x |x 2－4x ＋3＜0}，B ＝{x |2x －3＞0}，则A ∩B ＝( ) A.? ????－3，－32 B.? ? ? ??－3，32 C.? ????1，32 D.? ?? ??32，3 解析：通解：(直接法)解x 2－4x ＋3＜0，即(x －1)(x －3)＜0，得1＜x ＜3，故A ＝{x |1＜x ＜3}；

高考数学概率与统计

高考数学概率与统计 SANY GROUP system office room 【SANYUA16H-

第16讲概率与统计 概率内容的新概念较多，相近概念容易混淆，本课时就学生易犯错误作如下归纳总结： 类型一“非等可能”与“等可能”混同 例1 掷两枚骰子，求所得的点数之和为6的概率． 错解掷两枚骰子出现的点数之和2，3，4，…，12共11种基本事件，所以概率为 P=1 11 剖析以上11种基本事件不是等可能的，如点数和2只有(1，1)，而点数之和为6有(1，5)、(2，4)、(3，3)、(4，2)、(5，1)共5种．事实上，掷两枚骰子共有36 种基本事件，且是等可能的，所以“所得点数之和为6”的概率为P=5 36 ． 类型二“互斥”与“对立”混同 例2 把红、黑、白、蓝4张纸牌随机地分给甲、乙、丙、丁4个人，每个人分得1张，事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是（） A．对立事件 B．不可能事件 C．互斥但不对立事件 D．以上均不对 错解A 剖析本题错误的原因在于把“互斥”与“对立”混同，二者的联系与区别主要体现在： (1)两事件对立，必定互斥，但互斥未必对立；(2)互斥概念适用于多个事件，但对 立概念只适用于两个事件；(3)两个事件互斥只表明这两个事件不能同时发生，即至多只能发生其中一个，但可以都不发生；而两事件对立则表示它们有且仅有一个发生． 事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是不能同时发生的两个事件，这两个事件可能恰有一个发生，一个不发生，可能两个都不发生，所以应选C．

类型三 “互斥”与“独立”混同 例3 甲投篮命中率为O ．8，乙投篮命中率为，每人投3次，两人恰好都命中2次的 概率是多少? 错解 设“甲恰好投中两次”为事件A ，“乙恰好投中两次”为事件B ，则两人都恰好投中 两次为事件A+B ，P(A+B)=P(A)+P(B)： 22223 30.80.20.70.30.825c c ?+?= 剖析 本题错误的原因是把相互独立同时发生的事件当成互斥事件来考虑，将两人都恰 好投中2次理解为“甲恰好投中两次”与“乙恰好投中两次”的和．互斥事件是指 两个事件不可能同时发生；两事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个 事件发生与否没有影响，它们虽然都描绘了两个事件间的关系，但所描绘的关 系是根本不同． 解： 设“甲恰好投中两次”为事件A ，“乙恰好投中两次”为事件B ，且A ，B 相互独 立， 则两人都恰好投中两次为事件A·B ，于是P(A·B)=P(A)×P(B)= 类型四 “条件概率P(B / A)”与“积事件的概率P(A·B)”混同 例4 袋中有6个黄色、4个白色的乒乓球，作不放回抽样，每次任取一球，取2次， 求第二次才取到黄色球的概率． 错解 记“第一次取到白球”为事件A ，“第二次取到黄球”为事件B,”第二次才取到黄球” 为事件C,所以P(C)=P(B/A)=6293 =. 剖析 本题错误在于P(A ?B)与P(B/A)的含义没有弄清, P(A ?B)表示在样本空间S 中,A 与B 同时发生的概率；而P （B/A ）表示在缩减的样本空间S A 中，作为条件的 A 已经发生的条件下事件 B 发生的概率。 解: P （C ）= P(A ?B)=P （A ）P （B/A ）= 46410915 ?=. 备用

2018年数学高考全国卷3答案

2018年数学高考全国卷3答案

参考答案： 13. 14. 15. 16.2 17.(12分) 解：（1）设的公比为，由题设得. 由已知得，解得（舍去），或. 故或. （2）若，则.由得，此方 程没有正整数解. 若，则.由得，解得. 综上，. 18.（12分） 解：（1）第二种生产方式的效率更高. 理由如下： （i ）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至少80分钟，用第二种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至多79分钟.因此第二种生产方式的效率更高. 12 3-3{}n a q 1 n n a q -=4 2 4q q =0q =2q =-2q =1 (2)n n a -=-1 2n n a -=1 (2) n n a -=-1(2)3 n n S --= 63 m S =(2) 188 m -=-1 2n n a -=21 n n S =-63 m S =2 64 m =6m =6m =

（ii ）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为85.5分钟，用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为73.5分钟.因此第二种生产方式的效率更高. （iii ）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间高于80分钟；用第二种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间低于80分钟，因此第二种生产方式的效率更高. （iv ）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎8上的最多，关于茎8大致呈对称分布；用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎7上的最多，关于茎7大致呈对称分布，又用两种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布的区间相同，故可以认为用第二种生产方式完成生产任务所需的时间比用第一种生产方式完成生产任务所需的时间更少，因此第二种生产方式的效率更高.学科*网 以上给出了4种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分. （2）由茎叶图知. 列联表如下： 7981 802 m +==

2018年高考全国二卷理科数学试卷

2018 年普通高等学校招生全国统一考试（ II 卷） 理科数学 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1． 1 2i 1 2i 4 3 4 3 i 3 4 3 4 A ． i B ． 5 C ． i D ． i 5 5 5 5 5 5 5 2．已知集合 A x ，y x 2 y 2≤3 ，x Z ，y Z ，则 A 中元素的个数为 A ．9 B ． 8 C ． 5 D ． 4 3．函数 f e x e x 的图像大致为 x x 2 A B C D 4．已知向量 a 、 b 满足 | a | 1 ， a b 1 ，则 a (2a b ) A ．4 B ． 3 C ． 2 D ． 0 2 2 5．双曲线 x 2 y 2 1( a 0, b 0) 的离心率为 3 ，则其渐近线方程为 a b A ． y 2x B ． y 3x C ． y 2 D ． y 3 x x 2 2 6．在 △ABC 中， cos C 5 ，BC 1 ， AC 5，则 AB 开始 2 5 N 0,T A ．4 2 B ． 30 C ． 29 D ．2 5 i 1 1 1 1 1 1 7．为计算 S 1 3 ? 99 ，设计了右侧的程序框图，则在 是 100 否 2 4 100 i 空白框中应填入 1 A ． i i 1 N N S N T i B ． i i 2 T T 1 输出 S i 1 C ． i i 3 结束 D ． i i 4 8．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于 2 的偶数可以 表示为两个素数的和”，如 30 7 23 ．在不超过 30 的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于 30 的概率是 1 B ． 1 1 1 A ． 14 C ． D ． 12 15 18 ABCD A B C D AD DB

2018年高考数学总复习专题1.1集合试题

专题1.1 集合 【三年高考】 1．【2017高考江苏1】已知集合{1,2}A =，2{,3}B a a =+，若{1}A B =，则实数a 的值为 ▲ ． 【答案】1 【解析】由题意1B ∈，显然233a +≥，所以1a =，此时234a +=，满足题意，故答案为1． 【考点】集合的运算、元素的互异性 【名师点睛】（1）认清元素的属性．解决集合问题时，认清集合中元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件． （2）注意元素的互异性．在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致错误． （3）防范空集．在解决有关,A B A B =??等集合问题时，往往容易忽略空集的情况，一 定要先考虑?时是否成立，以防漏解． 2．【2016高考江苏1】已知集合{1,2,3,6},{|23},A B x x =-=-<<则=A B . 【答案】{}1,2- 【解析】 试题分析：{} {}{}1,2,3,6231,2A B x x =--<<=-．故答案应填：{}1,2- 【考点】集合运算 【名师点睛】本题重点考查集合的运算，容易出错的地方是审错题意，属于基本题，难度不大.一要注意培养良好的答题习惯，避免出现粗心而出错，二是明确江苏高考对于集合题的考查立足于列举法，强调对集合运算有关概念及法则的理解. 2．【2015高考江苏1】已知集合{ }3,2,1=A ，{}5,4,2=B ，则集合B A 中元素的个数为_______. 【答案】5 【解析】{123}{245}{12345}A B ==，，，，，，，，，,，则集合B A 中元素的个数为5个. 【考点定位】集合运算

18题-高考数学概率与统计知识点

18题-高考数学概率与统计知识点

高考数学第18题（概率与统计） 1、求等可能性事件、互斥事件和相互独立事件的概率 解此类题目常应用以下知识: (1)等可能性事件(古典概型)的概率：P(A)＝ ) ()(I card A card ＝n m ; 等可能事件概率的计算步骤： 计算一次试验的基本事件总数n ; 设所求事件A ，并计算事件A 包含的基本事件的个数m ; 依公式()m P A n = 求值; 答，即给问题一个明确的答复. (2)互斥事件有一个发生的概率：P(A ＋B)＝P(A)＋P(B); 特例：对立事件的概率：P(A)＋P(A )＝P(A ＋A )＝1. (3)相互独立事件同时发生的概率：P(A ·B)＝P(A)·P(B); 特例：独立重复试验的概率：Pn(k)＝ k n k k n p p C --)1(. 其中P 为事件A 在一次试验中发生的概率，此式为二项式[(1-P)+P]n 展开的第k+1项. (4)解决概率问题要注意“四个步骤，一个结

的概率P （i x =ξ）=i P ，则称下表. 为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列. 由概率的性质可知，任一离散型随机变量的分布列都具有下述两个性质： （1）0≥i P ，=i 1，2，…;（2）++2 1 P P (1) ②常见的离散型随机变量的分布列： （1）二项分布 n 次独立重复试验中，事件A 发生的次数ξ是一个 随机变量，其所有可能的取值为0，1，2，…n ，并且k n k k n k q p C k P P -===)(ξ，其中n k ≤≤0，p q -=1，随机变量ξ的 分布列如下： 称这样随机变量ξ服从二项分布，记作),(~p n B ξ ，其中n 、p 为参数，并记：) ,;(p n k b q p C k n k k n =- . （2） 几何分布 在独立重复试验中，某事件第一次发生时所作的试验的次数ξ是一个取值为正整数的离散型随机

全国三卷9年高考理科数学试卷分析及2019高考预测

2019年高考，除北京、天津、上海、江苏、浙江等5省市自主命题外，其他26个省市区全部使用全国卷． 研究发现，课标全国卷的试卷结构和题型具有一定的稳定性和连续性．每个题型考查的知识点、考查方法、考查角度、思维方法等相对固定．掌握了全国卷的各种题型，就把握住了全国卷 命题的灵魂．基于此，笔者潜心研究近3年全国高考理科数学Ⅲ卷和高考数学考试说明，精心分类汇总了全国卷近3年所有题型．为了便于读者使用，所有题目分类（共22类）列于表格之中，按年份排序．高考题的小题（填空和选择）的答案都列在表格的第三列，便于同学们及时解答对照答案，所有解答题的答案直接列在题目之后，方便查看． 一、集合与常用逻辑用语小题： 1．集合小题： 3年3考，每年1题，都是交并补子运算为主，多与不等式交汇，新定义运算也有较小的可 1．已知集合22{(,)1}A x y x y =+=，{(,)}B x y y x ==，则A B 中元素的个数为 3年0考．这个考点一般与其他考点交汇命题，不单独出题． 二、复数小题： 3年3考，每年1题，以四则运算为主，偶尔与其他知识交汇，难度较小．一般涉及考查概2．设复数z 满足(1)2i z i +=，则||z = 全国三卷9年高考理数学分析及2019高考预测

三、平面向量小题： 3年3考，每年1题，向量题考的比较基本，突出向量的几何运算或代数运算，一般不侧重 3年7考．题目难度较小，主要考察公式熟练运用，平移，由图像性质、化简求值、解三角形等问题（含应用题），基本属于“送分题”．三角不考大题时，一般考三个小题，三角函数的图

3年6考，每年2题，一般考三视图和球，主要计算体积和表面积．球体是基本的几何体， 8．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（）

概率与统计高考数学

辅导讲义：概率与统计 一、知识回顾： 1、总体、个体、样本、样本容量： 总体：在统计中，所有考察对象的全体。 个体：总体中的每一个考察对象。 样本：从总体中抽取的一部分个体叫做这个总体的一个样本。 样本容量：样本中个体的数目。 2、统计的基本思想:用样本估计总体，即通常不直接去研究总体，而是通过从总体中抽取一个样本，根据样本的情况去估计总体的相应情况。 3、抽样方法：简单随机抽样、系统抽样、分层抽样。 4、简单随机抽样：一般地，从个体为N烦人总体中逐个不放回地取出n个个体作为样本（n

(3)随机数表是统计工作者用计算机生成的随机数，并保证表中的每个位置上的数字是等可能出现的。 8、抽签法—编号、制签、搅拌、抽取，关键是“搅拌”后的随机性；随机数表法—编号、选数、取号、抽取，其中取号的方向具有任意性。 9、简单随机抽样的特点： 它的总体个数有限的； 它是逐个地进行抽取； 它是一种不放回抽样； 它是一种等概率抽样． 10、系统抽样： 将总体平均分成几个部分，然后按照一定的规则，从每个部分中抽取一个个体作为样本，这样的抽样方法称为系统抽样。也可称为“等距抽样”。 注：如果个体总数不能被样本容量整除时该怎么办？ (1)随机将这1003个个体进行编号1，2，3，……1003。 (2)利用简单随机抽样，先从总体中剔除3个个体(可以随机数表法),剩下的个体数1000能被100整除，然后按系统抽样的方法进行。 11、系统抽样的步骤： （1）采用随机的方式将总体中的 N 个体编号。 （2）整个的编号分段（即分成几个部分），要确定分段的间隔k 。当 n N （为总体中的个体的个数，n 为样本容 量）是整数时，取n N k = ；当n N 不是整数时，从总体中剔除一些个体，使剩下的总体中个体的个数N '能被n 整 除，这时取n N k ' = ，并将剩下的总体重新编号； （3）在第一段中用简单随机抽样确定起始的个体编号l ； （4）按照一定的规则抽取样本，通常将编号为k n l k l k l l )1(2-+++，，，， 的个体抽出。 12、简单随机抽样、系统抽样的特点是什么？ 简单随机抽样：①逐个不放回抽取；②等可能入样；③总体容量较小。 系统抽样：①分段，按规定的间隔在各部分抽取；②等可能入样；③总体容量较大。 13、分层抽样：一般地，当总体由差异明显几部分组成时，为了使样本更客观地反映总体情况，我们常常将总体中的个体按不同的特点分成层次比较明显的几部分，然后按照各部分在总体中所占的比实施抽样，这种抽样方法 有限性

2018年高考全国1卷理科数学(word版)

2018年普通高等学校招生全国统一考试 全国Ⅰ卷 理科数学 一、 选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每个小题给出得四个选项中, 只有一项就是符合题目要求得。 1、设,则 A 、0 B 、 C 、1 D 、 2、已知集合则 A 、 B 、 C 、 D 、 3、某地区经过一年得新农村建设,农村得经济收入增加了一倍,实现翻番、为更好地了解该地区农村得经济收入变化情况,统计了该地区新农村建设前后农村得经济收入构成比例,得到如下饼图: 则下面结论不正确得就是 A 、新农村建设后,种植收入减少 B 、新农村建设后,其她收入增加了一倍以上 C 、新农村建设后,养殖收入增加了一倍 D 、新农村建设后,养殖收入与第三产业收入得总与超过了经济收入得一半 4、记为等差数列得前项与、若则 A 、-12 B 、-10 C 、10 D 、12 5、设函数若为奇函数,则曲线在点处得切线方程为 A 、 B 、 C 、 D 、 6、在中,AD 为BC 边上得中线,E 为AD 得中点,则 A 、 B 、 C 、 D 、 7、某圆柱得高为2,底面周长为16,其三视图如右图、 圆柱表面上得点M 在正视图上得对应点为A,圆柱表 面上得点N 在左视图上得对应点为B,则在此圆柱侧 面上,从M 到N 得路径中,最短路径得长度为 A 、 B 、 C 、3 D 、2 8、设抛物线C:得焦点为F,过点且斜率为得直线与C 交于M,N 两点,则 A 、5 B 、6 C 、7 D 、8 9.已知函数若存在2个零点,则得取值范围就是 A 、 B 、 C 、 D 、 10、下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究得几何图形,此图由三个半圆构成,三个半圆得直径分别为直角三角形ABC 得斜边BC,直角边AB,AC 、 得三边所围成得区域记为Ⅰ,黑色部分记为Ⅱ,其余部分记为Ⅲ、在整个图形中随机取一点,此点取自Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ得概率分别记为则 60% 30% 6% 4% 种植收入 第三产业收入 其她收入 养殖收入 建设前经济收入构成比例 37% 30% 28% 5% 种植收入 养殖收入 其她收入 第三产业收入 建设后经济收入构成比例 A B

(完整)2018高考数学模拟试卷(衡水中学理科)

2018年衡水中学高考数学全真模拟试卷（理科） 第1卷 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．（5分）（2018?衡中模拟）已知集合A={x|x2＜1}，B={y|y=|x|}，则A∩B=（）A．?B．（0，1）C．[0，1）D．[0，1] 2．（5分）（2018?衡中模拟）设随机变量ξ～N（3，σ2），若P（ξ＞4）=0.2，则P（3＜ξ≤4）=（） A．0.8 B．0.4 C．0.3 D．0.2 3．（5分）（2018?衡中模拟）已知复数z=（i为虚数单位），则3=（）A．1 B．﹣1 C．D． 4．（5分）（2018?衡中模拟）过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一个焦点F作两渐近线的垂线，垂足分别为P、Q，若∠PFQ=π，则双曲线的渐近线方程为（） A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x 5．（5分）（2018?衡中模拟）将半径为1的圆分割成面积之比为1：2：3的三个扇形作为三个圆锥的侧面，设这三个圆锥底面半径依次为r1，r2，r3，那么r1+r2+r3的值为（） A．B．2 C．D．1 6．（5分）（2018?衡中模拟）如图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是（） A．2 B．3 C．4 D．5 7．（5分）（2018?衡中模拟）等差数列{a n}中，a3=7，a5=11，若b n=，则数列{b n} 的前8项和为（） A．B．C．D． 8．（5分）（2018?衡中模拟）已知（x﹣3）10=a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+…+a10（x+1）10，则a8=（） A．45 B．180 C．﹣180 D．720