线性代数综合练习题

线性代数综合练习题

时间：120分钟

一、选择题（每小题3分，共15分）:

1．设A 是三阶矩阵，将A 的第一列与第二列交换得B ，再把B 的第二列加到第三列得C ，则满足AQ=C 的可逆矩阵Q 为（ ）。

（A ）??????????101001010； （B ）??

??

?

?????100101010； （C ）??????????110001010； （D ）??

??

?

?????100001110。 2．设A 、B 为满足AB=0的任意两个非零矩阵，则必有（ ）。

（A ）A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关； （B ）A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关； （C ）A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关； （D ）A 的行向量组线性相关，B 的列向量组线性相关。

3．下列向量集按R n 的加法和数乘构成R 上一个线性空间的是（ ）。

（A ）R n 中，坐标满足x 1+x 2+…+x n =0的所有向量； （B ）R n 中，坐标是整数的所有向量；

（C ）R n 中，坐标满足x 1+x 2+…+x n =1的所有向量；

（D ）R n 中，坐标满足x 1=1，x 2，…， x n 可取任意实数的所有向量。

4．设λ=2是非奇异矩阵A 的一个特征值，则矩阵（31

A 2）-1有一个特征值等于

（ ）。

（A ）34； （B ）43； （C ）21； （D ）41

。

5．任一个n 阶矩阵，都存在对角矩阵与它（ ）。

（A ）合同； （B ）相似； （C ）等价； （D ）以上都不对。

二、填空题（每小题3分，共15分）

1．设矩阵A=??

??

?

?????100021012，矩阵B 满足：ABA *=2BA *+E ，其中A *为A 的伴随矩阵，E 是三阶单位矩阵，则|B|= 。

2．已知线性方程组??????????-+2123212

1a a ????

? ??=????? ??031321x x x 无解，则a = 。

3．若A=?????

??

?????????-100021

021b a 为正交矩阵，则a = ，b = 。

4．设A 为n 阶矩阵，且|A|≠0，A *为A 的伴随矩阵，E 为n 阶单位矩阵。若A 有特征值λ，则（A *）2+E 必有特征值 。

5．若二次型f = 2x 12+x 22+x 32+2 x 1 x 2+t x 2 x 3是正定的，则t 的取值范围是

。

三、（15分）

设有齐次线性方程组：???

?

??

?=++++=+

+++=+

+++=+++

+0

)4(44403)3(33022)2(20)1(4

3214

32143214321x a x x x x x a x x x x x a x x x x x a 试问a 取何值时，该方程组有非零解？并用一基础解系表示出全部的解。 四、（10分）

设R 3的两组基为：

T T T )1,1,0(,)0,1,1(,)1,0,1(321===ξξξ和T T T )1,2,1(,)2,1,1(,)1,1,1(321===ηηη，向量α=（2，3，3）T

（1）求基321,,ξξξ到基321,,ηηη的过渡矩阵； （2）求α关于这两组基的坐标。

五、（15分）

设三阶实对称矩阵A 的特征值为λ1 = -2，λ2 = 1（2重），α1=（1，1，1）T 是属于λ1 = -2的特征向量。试求：

（1）属于λ2 = 1（2重）的特征向量； （2）A 的伴随矩阵A *。

六、（10分）

设二次型3231212

32221222x bx x x x ax x x x f +++++=

通过正交变换????

?

??=????? ??321321y y y P x x x 化为：2

3222y y f +=，求a 、b 。

七、（10分）

已知A ，B 为n 阶可逆方阵，且满足2A -1B=B-4E ，其中E 是n 阶单位矩阵，试证：A-2E 可逆。并求出（A-2E ）-1=？

八、（10分）

设A 为n 阶矩阵，且1,1)(2211=+?++-=nn A A A n A r ，其中ii A 是A 中元素

ii a 的代数余子式（i =1，2，…，n ）。试证：A 的伴随矩阵A *的特征值是0和1，

并说明各个特征值的重数。

线性代数综合练习参考答案

一、选择题：

1．（D ）；2（A ）；3．（A ）；4．（B ）；5．C ）； 二、填空题：

1．91；2．-1；3． ±21，μ21；4．1||2

+??

? ??λA ；5．-22<

三、解：A=B a a a a a a a

a a a a =?

?

???

?

?

?????---+?→?????????????++++00400300211114444333322221111行 （1）当a =0时，r(A)=1<4，故齐次线性方程组有非零解，其同解方程组为：

x 1+x 2+x 3+ x 4=0由此得一基础解系为：

T

T T

y y y )1,0,0,1()0,1,0,1()0,0,1,1(321-=-=-=， 故全部解为：332211y C y C y C X ++= （其中321,,C C C 为任意常数）……（7分）

（2）当a ≠0时，?

?

???

?

?

?????---+→?????????

???---+→1004

0103001200010

1004

01030012

1111a a B 当a =-10时，r （A ）=3<4，故齐次线性方程组也有非零解，其同解方程组为：

??

?

??=+-=+-=+-0

4030

24

13

121x x

x x x x ，解之，可得一个基础解系为： y=（1，2，3，4）T ，故全部解为：X=ky （其中k 为任意常数）……（15分）

备注：此题也可另解 ∵|A|=（a +10）a 3

∴当|A|=0时，即a =0或a =-10时，齐次线性方程组有无穷解。

四、解：（1）记B=（321,,ξξξ）=??????????101110011，C=（321,,ηηη）=??

??

?

?????121211111

则有：??

?

?????

????????→??????????112110010210100121001121101211110111011 从而，由基321,,ξξξ到基321,,ηηη的过渡矩阵为：

A=B -1

C=???????

?

????????112110210121………………………

（5分） （2）设α关于基321,,ηηη的坐标为（321,,y y y ）

即：0332211=++ηηηy y y

由此可得：???

??=++=++

=++

3

2322

321

321321y

y y y y y y y y ，解之得：1,1,0321===y y y ， 故α关于基321,,ηηη的坐标为（0，1，1），

又∵????? ??=????? ??321321y y y A x x x =???????

?

???

?????1

1211021

0121??????????=??????????211110

即α关于基321,,ξξξ的坐标为（1，1，2）…………………………（10分） 五、解：（1）设A 的属于特征值λ2=1（2重）的特征向量为（x 1，x 2，x 3）T ， 则∵A 是实对称矩阵，

∴（x 1，x 2，x 3）T 与α1正交，即有：（x 1，x 2，x 3）????

?

?????111=0， 也即：x 1+x 2+x 3=0， 解之：α2=（-1，1，0）T

α3=（-1，0，1）T

∴A 的属于λ2=1的全部特征向量为：k 1α2+ k 2α3

（k 1，k 2不同时为0）………………（5分）

（2） ∵A *=|A|A -1

∴A *的特征值为：|A|·（-2

1

），|A|·1（2重） 又∵|A|=-2

∴A *的特征值为：1，-2（2重）………………………………（10分）

A *

（α1，α2，α3）=（α1，α2，α3）?????

??--221

A *=（α1，α2，α3）??????????--200020001

（α1，α2，α3

）-1 =1

101011111200020001

101011111-????

?

?????--??

??

??????--??????????-- =???????

?????????----??

??

??????--??????????--323131313

231313131

200020001

101011111

=????

??????---=??????????----????

??????--333333333

3121112111120102122131 =??

??

??????---11111111

1……………………………………………（15分） 六、解：f 的正交变换前后的矩阵分别为：

????? ??=11111b b a a A 和???

?

? ??=200010000B

于是，A 、B 相似，从而有相同的特征多项式即：|λE-A|=|λE-B|…………（5分）

也即：λ3-3λ2+（2-a 2-b 2）λ+（a -b ）2=λ3-3λ2+2λ，比较上式等号两边的λ

各幂次项系数有：???=--=-2

20

)(2

22b a b a ∴?

??==00b a ………………………………………………………（10分）

七、证明：∵2A -1B=B-4E

左乘A ，得：2B=AB-4A …………………………………………（5分） 即：AB-2B-4A=0 ∴（A-2E ）（B-4E ）=8E 故A-2E 可逆，

且（A-2E ）-1=8

1

（B-4E ）……………………………………（10分）

八、证明：∵r （A ）=n-1

∴r （A *）=1………………………………………………………（2分）

又∵齐次线性方程组（0E-A *）X=0的基础解系含有n-1个线性无关的解向量， ∴0是A *的特征值，其重数不小于n-1…………………………………（5分） 另外，tr （A *

）= A 11+A 22+…A nn

=λ1+λ2+…λn-1+λn

=1…………………………………………………………（8分）

故有：1是A *的单特征值；

0是A *的n-1重特征值。………………………………………（10分）