(新)极坐标参数方程题型归纳--7种
极坐标与参数方程(高考真题)题型归纳
一、极坐标方程与直角坐标方程的互化
1.(2015·广东理，14)已知直线l 的极坐标方程为2ρsin ????θ－π4＝2，点A 的极坐标为A ????22，7π
4，则点A 到直线l 的距离为________．
[立意与点拨] 本题考查极坐标与平面直角坐标的互化、点到直线的距离，属于容易题．解答本题先进行极直互化，再求距离．
二、参数方程与直角坐标方程的互化
【解析】椭圆方程为：14622=+y x ，因为1cos sin 2
2=+x x ，令???==α
αcos 2sin 6y x ，则有 X+2y=αsin 6+αcos 4=()?α++sin 166,最大值22，最小值22-
三、根据条件求直线和圆的极坐标方程
四、求曲线的交点及交点距离
4．(2015·湖北高考)在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l
的极坐标方程为ρ(sin θ－3cos θ)＝0，曲线C 的参数方程为?
??x ＝t －1t
，
y ＝t ＋
1t
(t 为参数)，l 与C 相交于A ，B
两点，则|AB |＝________．
【解析】 直线l 的极坐标方程ρ(sin θ－3cos θ)＝0化为直角坐标方程为3x －y ＝0，曲线C 的参数
方程?
??x ＝t －1t ，y ＝t ＋
1t
两式经过平方相减，化为普通方程为y 2－x 2
＝4，联立?????3x －y ＝0，
y 2－x 2＝4
解得???x ＝－22，y ＝－322或?
??x ＝2
2，
y ＝32
2
.
所以点A ????－22，－322，B ????
22，322.
所以|AB |＝ ????－22－222＋???
?－322－3222＝2 5.
5.在平面直角坐标xOy 中，已知直线l 的参数方程??
?
x ＝1－22t ，
y ＝2＋2
2
t ，(t 为参数)，直线l 与抛物线y 2＝4x 相
交于A 、B 两点，求线段AB 的长．
[解析] 解法1：将l 的方程化为普通方程得l ：x ＋y ＝3，
∴y ＝－x ＋3，代入抛物线方程y 2＝4x 并整理得x 2－10x ＋9＝0，∴x 1＝1，x 2＝9. ∴交点A (1,2)，B (9，－6)，故|AB |＝
82＋82＝8 2.
解法2：将l 的参数方程代入y 2＝4x 中得，(2＋22t )2＝4(1－22
t )， 解之得t 1＝0，t 2＝－82，∴|AB |＝|t 1－t 2|＝8 2.
6.(2015·陕西理，23)在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为???
x ＝3＋1
2
t ，
y ＝3
2t
(t 为参数)．以原点为极点，
x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C 的极坐标方程为ρ＝23sin θ.
(1)写出⊙C 的直角坐标方程；
(2)P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求P 的直角坐标．
[立意与点拨] 考查极坐标与参数方程、转化与化归思想和函数思想；解答本题(1)需熟记极直互化公式；(2)用参数坐标将距离表达为t 的函数，转化为函数最值求解．
[解析](1)由ρ＝23sin θ，得ρ2＝23ρsin θ，从而有x 2＋y 2＝23y ，所以x 2＋(y －3)2＝3.
(2)设P (3＋12t ，3
2
t )，又C (0，3)，则|PC |＝
(3＋12t )2＋(3
2
t －3)2＝
t 2＋12，
故当t ＝0时，|PC |取得最小值，此时，P 点的直角坐标为(3,0)．
五、利用参数方程求最值( 转化与化归思想和函数思想 )
[立意与点拨](用三角函数作为参数，转化成求三角函数最值问题,着重理解转化思维，用参数法实现转化的技巧)
8．(2015·新课标Ⅱ高考)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：?
????x ＝t cos α，
y ＝t sin α(t 为参数，t ≠0)，其中0≤α＜π，
在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝2sin θ，C 3：ρ＝23cos θ.
(1)求C 2与C 3交点的直角坐标；
(2)若C 1与C 2相交于点A ，C 1与C 3相交于点B ，求|AB |的最大值．
【解】(1)曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0，曲线C 3的直角坐标方程为x 2＋y 2－23x ＝0.
联立?
??
??x 2＋y 2－2y ＝0，
x 2＋y 2－23x ＝0，解得?
????x ＝0，
y ＝0，或???x ＝3
2，y ＝32.
所以C 2与C 3交点的直角坐标为(0，0)和??
?
?
32，32.
(2)曲线C 1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R ，ρ≠0)，其中0≤α＜π.(此题C 1代表的是一条过原点的直线) 因此A 的极坐标为(2sin α，α)，B 的极坐标为(23cos α，α)．
所以|AB |＝|2sin α－23cos α|＝4??????
sin ?
????α－π3.
当α＝5π
6
时，|AB |取得最大值，最大值为4.
9．(2015·商丘市二模)已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x 轴的正半轴重合，直线l 的
极坐标方程为：ρsin ????θ－π6＝12，曲线C 的参数方程为：?
????
x ＝2＋2cos α，y ＝2sin α.
(1)写出直线l 的直角坐标方程； (2)求曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值．
[解析] (1)∵ρsin ????θ－π6＝12，∴ρ????32sin θ－1
2cos θ＝12
，∴32y －12x ＝12，即l ：x －3y ＋1＝0. (2)解法一：由已知可得，曲线上的点的坐标为(2＋2cos α，2sin α)， 所以，曲线C 上的点到直线l 的距离
d ＝
|2＋2cos α－23sin α＋1|2＝
????
4cos ????α＋π3＋32≤7
2. 所以最大距离为7
2
.
解法二：曲线C 为以(2,0)为圆心，2为半径的圆．圆心到直线的距离为32，所以，最大距离为32＋2＝7
2
.
10．(文)(2014·新课标Ⅰ理，23)已知曲线C ：x 24＋y 2
9＝1，直线l ：?
????
x ＝2＋t y ＝2－2t (t 为参数)．
(1)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程； (2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|P A |的最大值与最小值．
[解析](1)曲线C 的参数方程为?
????
x ＝2cos θ，
y ＝3sin θ，(θ为参数)直线l 的普通方程为：2x ＋y －6＝0.
(2)曲线C 上任意一点P (2cos θ，3sin θ)到l 的距离为d ＝
5
5
|4cos θ＋3sin θ－6|. 则|P A |＝d sin30°＝255|5sin(θ＋α)－6|，其中α为锐角，且tan α＝4
3
.
(将d=|AB|sin30利用三角关系进行转化，转化化归思想，高考考点考察学生思维能力)
当sin(θ＋α)＝－1时，|P A |取得最大值，最大值为225
5.
当sin(θ＋α)＝1时，|P A |取得最小值，最小值为25
5.
六、直线参数方程中的参数的几何意义
方法一：
方法二：根据直线参数方程中t 的几何意义，可知，弦长=|t 1-t 2|.
得：05315415315412
2=??
?
??--+??? ??+-??? ??--+??? ??+
t t t t ，方程化简，然后用韦达定理求 弦长=|t 1-t 2|=
()212214t t t t -+=.....
13.(理)在直角坐标系xOy 中，过点P (32，3
2
)作倾斜角为α的直线l 与曲线C ：x 2＋y 2＝1相交于不同的两点M 、N .
(1)写出直线l 的参数方程；(2)求
1|PM |＋1|PN |
的取值范围． (根据直线参数方程中t 的几何意义,用参数t 表示所求量1|PM |＋1
|PN |
，然后用t 的二次方程的韦达定理，
转化成三角函数进而求范围，此题较难)
[解析] (1)???
x ＝32＋t cos α，
y ＝3
2＋t sin α，(t 为参数)．
(2)将???
x ＝32＋t cos α，
y ＝3
2＋t sin α.
(t 为参数)代入x 2＋y 2＝1中，消去x ，y 得，t 2＋(3cos α＋3sin α)t ＋2＝0，
由Δ＝(3cos α＋3sin α)2－8＝12sin 2(α＋π6)－8>0?sin(α＋π6)>63
，
1|PM |＋1|PN |＝1－t 1＋1－t 2＝－t 1＋t 2t 1t 2＝(3cos α＋3sin α)2＝3sin(α＋π
6)∈(2，3]．
七、求动点坐标、求变量的值
14.(2015·陕西理，23)在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为???
x ＝3＋12
t ，
y ＝3
2t
(t 为参数)．以原点
为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C 的极坐标方程为ρ＝23sin θ.
(1)写出⊙C 的直角坐标方程；
(2)P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求P 的直角坐标．
[立意与点拨] 考查极坐标与参数方程、转化与化归思想和函数思想；解答本题(1)需熟记极直互化公式；(2)用参数坐标将距离表达为t 的函数，转化为函数最值求解．
[解析] (1)由ρ＝23sin θ，得ρ2＝23ρsin θ，从而有x 2＋y 2＝23y ，所以x 2＋(y －3)2＝3. (2)设P (3＋12t ，3
2
t )，又C (0，3)，则|PC |＝
(3＋12t )2＋(3
2
t －3)2＝
t 2＋12，故当t ＝0时，|PC |
取得最小值，此时，P 点的直角坐标为(3,0)．
(此处用参数t 来表示所求距离，然后当作变量为t 的二次函数，求最值)
15.(2016全国卷I)在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为?
??+==,sin 1,
cos t a y t a x t (为参数，)0>a ．在
以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线θρcos 4:2=C ． （Ⅰ）说明1C 是哪一种曲线，并将1C 的方程化为极坐标方程； （Ⅱ）直线3C 的极坐标方程为0αθ=，其中0α满足2tan 0=α，若曲线1C 与2C 的公共点都在3C 上，求a ．
【解析】：⑴ cos 1sin x a t y a t
=??=+? （t 均为参数）,∴()2
221x y a +-= ①
∴1C 为以()01，
为圆心，a 为半径的圆．方程为222210x y y a +-+-= ∵222sin x y y ρρθ+==，,∴222sin 10a ρρθ-+-= 即为1C 的极坐标方程
⑵ 24cos C ρθ=：,两边同乘ρ得22224cos cos x y x ρρθ
ρρθ==+=， 224x y x ∴+=,即()2
224x y -+= ②,3C ：化为普通方程为2y x =
由题意：1C 和2C 的公共方程所在直线即为3C ,①—②得：24210x y a -+-=，即为3C
∴210a -=,∴1a =
（圆与圆交点所在直线的求法，联立圆方程，两方程相减,可得变量的方程）
16．(文)(2015·唐山市二模)在极坐标系中，曲线C ：ρ＝2a cos θ(a >0)，l ：ρcos ????θ－π3＝3
2
，C 与l 有且仅有一个公共点．
(1)求a ； (2)O 为极点，A ，B 为C 上的两点，且∠AOB ＝π
3
，求|OA |＋|OB |的最大值．
[解析] (1)曲线C 是以(a,0)为圆心，以a 为半径的圆；
l 的直角坐标方程为x ＋3y －3＝0.
由直线l 与圆C 相切可得|a －3|
2
＝a ，解得a ＝1. (求符合条件的变量值，建立等量关系，解方程)
(2)不妨设A 的极角为θ，B 的极角为θ＋π
3
，
则|OA |＋|OB |＝2cos θ＋2cos ????θ＋π3＝3cos θ－3sin θ＝23cos ???
?θ＋π6， 当θ＝－π
6
时，|OA |＋|OB |取得最大值2 3.
(用三角函数作为参数，转化成求三角函数最值问题,着重理解转化思维，用参数法实现转化的技巧)