最新数学湘教版初中九年级下册2.2.2第1课时圆周角定理与推论1公开课教学设计

2．22 圆周角

第1课时圆周角定理与推论1

1．理解圆周角的概念，学会识别圆周角；

2．在实际操作中探索圆的性质，了解圆周角与圆心角的关系，并能应用其进行简单的计算与证明；(重点)

3．在探索过程中，体会观察、猜想的思维方法，在定理的证明过程中，体会化归和分类讨论的数学思想和归纳的方法．

一、情境导入

你喜欢看足球比赛吗？你踢过足球吗？第十九届世界杯决赛于2014年在巴西举行，共有自世界各地的32支球队参加赛事，共进行64场比赛决定冠军队伍．

比赛中如图所示，甲队员在圆心O处，乙队员在圆上处，丙队员带球突破防守到圆上处，依然把球传给了甲，你知道为什么吗？你能用数学知识解释一下吗？

二、合作探究

探究点一：圆周角的概念

下列图形中的角是圆周角的是(

)

解析：观察可以发现只有选项B中的角的顶点在圆周上，且两边都和圆相交．所以它是圆周角．故选B

变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第1题

探究点二：圆周角定理与推论1

【类型一】利用圆周角定理求角

如图，AB是⊙O的直径，，D为圆上两点，∠AO＝130°，则∠D等于(

)

A．25°

B．30°

．35° D ．50°

解析：本题考查同弧所对圆周角与圆心角的关系．∵∠AO ＝130°，∠AOB ＝180°，∴∠BO ＝50°，∴∠D ＝25°故选A

变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第2题

【类型二】 利用圆周角定理的推论1求角

(2015·莆田中考)如图，在⊙O

中，(AB ︵)＝(A ︵

)，∠AOB ＝50°，则∠AD 的度数是( )

A ．50°

B ．40° ．30° D ．25°

解析：∵连接O ，在⊙O 中，(AB ︵

)＝(A ︵

)，∴∠AO ＝∠AOB ∵∠AOB ＝50°，∴∠AO ＝50°，∴∠AD ＝错误!∠AO ＝25°故选D

方法总结：本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第6题

三、板书设计

教学过程中，强调圆周角定理得出的理论依据，使学生熟练掌握并会学以致用

《圆周角定理的证明》优秀教学设计(教案)

《圆周角定理的证明》教学设计 一、创设情境，引入新课 师生活动:教师演示课件或图片：展示一个圆柱形的海洋馆.并出示海洋馆的横截面示意图，提出问题．学生通过观察分析和理解问题. 设计意图：从生活中的实际问题入手，使学生认识到数学总是与现实问题密不可分．引导学生对图形的观察和发现，激发学生的好奇心和求知欲. 二、任务驱动，探究规律 学生动手画圆，在圆上任取一条劣弧，作这条劣弧所对的圆心角和圆周角，然后用量角器测量这些角。回答下列问题： （1）同弧（弧AB）所对的圆心角∠AOB与圆周角∠ACB的大小关系是怎样的？ （2）同弧（弧AB）所对的圆周角∠ACB与圆周角∠ADB的大小关系是怎样的？ 师生活动: 学生利用度量工具（量角器或几何画板）动手实验，进行度量，发现结论．教师再利用几何画板从动态的角度进行演示，验证学生的发现． 设计意图:让学生亲自动手，利用度量工具（如量角器、几何画板）进行实验、观察、猜想、分析、验证，得出结论: 同弧所对的圆周角的度数没有变化，并且它的度数恰好等于这条弧所对的圆心角的度数的一半． 三、动手操作，验证猜想 拿出课前准备的圆形纸片，在⊙O上任取一个圆周角∠BAC，将圆对折，使折痕经过圆心O 和∠BAC的顶点A．回答问题： （1）在圆上任取一个圆周角，观察圆心与圆周角的位置关系有几种情况？ （2）当圆心在圆周角的一边上时，如何证明活动2中所发现的结论？ （3）另外两种情况如何证明，可否转化成第一种情况呢？ 师生活动：教师演示圆心与圆周角的三种位置关系．学生写出已知、求证，完成证明． 具体做法：1.学生分组讨论三类图形的已知、求证。2.要求其中的四个小组证明第二类图形，另外的四个小组证明第三类图形。3.师生归纳总结出圆周角定理，并且几何符号表示圆周角定理。 设计意图:让学生对所发现的结论进行证明．培养学生严谨的治学态度．问题（1）的设计是让学生通过动手探索，学会运用分类讨论的数学思想研究问题．问题（2）、（3）的提出是让学生学会运用化归思想将问题转化，并启发培养学生创造性的解决问题. 四、巩固练习，学以致用

初中数学所有定理推论

1 过两点有且只有一条直线 2 两点之间线段最短 3 同角或等角的补角相等 4 同角或等角的余角相等 5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 7 平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 8 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行 9 同位角相等，两直线平行 10 内错角相等，两直线平行 11 同旁内角互补，两直线平行 12两直线平行，同位角相等 13 两直线平行，内错角相等 14 两直线平行，同旁内角互补 15 定理三角形两边的和大于第三边 16 推论三角形两边的差小于第三边 17 三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180° 18 推论1 直角三角形的两个锐角互余 19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 20 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 21 全等三角形的对应边、对应角相等 22边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 23 角边角公理( ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 24 推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 25 边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等 26 斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 27 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 28 定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上 29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合 30 等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等(即等边对等角） 31 推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边 32 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合 33 推论3 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60° 34 等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边） 35 推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形 36 推论 2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形

初中数学九年级《圆周角定理及推论》公开课教学设计

（1） （2）（3）（4） （5） A 24.1.4圆周角定理及推论 教学目标：1.了解圆周角的概念，掌握圆周角定理并学会运用． 2．掌握圆周角定理的推论，并会熟练运用这些知识进行有关的计算和证明； 教学重难点：有关圆周角定理及推论 教学内容和程序： 知识点一： 1．顶点在______，并且__________________的角叫做圆周角． 2．圆周角定理：在同圆或等圆中，_______ _相等，都等于______ ____．【活动一】判断下列各图形中的角是不是圆周角，如不是请说明理由． 例1已知：如图，AB是⊙O直径，证明圆周角定理， 即∠A＝ 1 2 ∠BOC． 如下图，依照例1证明∠A＝ 1 2 ∠BOC． 练习：1.如图，已知圆心角∠BOC＝100°，求圆周角∠BAC、∠BDC的度数． 2.若弦AB把圆周分成2：3的两部分，那么弦AB所对的圆周角的度数为. 知识点二： 1．圆周角定理的推论1：半圆（或直径）所对的圆周角，是直径. （注意：这个推论是圆中的一个很重要的性质，为在圆中确定直角、成垂直关系创造了条件.） 2．如果一条边的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是 3．推论2：在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们相等.【活动二】例2如图，⊙O的直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分线交⊙O于D， 求BC、AD和BD的长． B A

【练习】1．如图，已知AB 是⊙O 的直径，点C 为AB 的一个三等分点，则BC ∶AC ∶AB ＝ ． 2．如图，已知AB 为⊙O 的直径，AC 为弦，OD //BC 交AC 于点D DC ＝ cm ． 3．如图，AB 是⊙O 的直径，∠CAB=60°，则∠D= °． 【活动三】 例3 如图，AB ，AC 是⊙O 的两条弦，且AB =AC ，延长CA 到点D ，使AD ＝ AC ，连结DB 并延长，交⊙O 于点E ．求证：CE 是⊙O 的直径． 练习 如图，⊙C 经过原点且与两坐标轴分别交于点A 与点B ，点A 的坐标为（0，4 )， M 是圆上一点，∠BMO ＝120°．求⊙C 的半径和圆心C 的坐 标． 【检测反馈】 1． 如图，已知AB 是⊙O 的直径，CD 与AB 相交于点E ，∠ACD ＝60°，∠ADC ＝50°， 求∠AEC 的度数． 2．已知圆的直径是23cm ，求3cm 长的一条弦所对的圆周角． 第1题 B

圆周角定理及其推论.pdf

通海路中学九年级数学教案课题：圆周角及其推论（1） 教学目标1、掌握圆周角定理，并会熟练运用这些知识进行有关的计算； 2、培养观察、分析及解决问题的能力及逻辑推理能力； 3、培养添加辅助线的能力和思维的广阔性 教学重点：圆周角定理及其推论的应用. 教学难点：熟练应用圆周角定理及其推论以及辅助线的添加. 个性设计一、自主学习 1、学习内容:教材p49--52页. 2、自学时间:5--10分钟. 3、自学检测:自学中遇到的问题做标记,完成教材p52页练习. 二、合作交流 1、知识点一：圆周角的定义 定义：顶点在______,并且两边都和圆______的角叫圆周角. 2、知识点二：圆周角定理 圆周角定理: 几何语言: 练习： 1.如图，已知A,B,C三点都在⊙O上，∠AOB=60°，则∠ACB=_______. 2.如图，点A,B,C在⊙O上，∠ACB=30°，则cos∠ABO的值是_______. 3.如图，A,B,C是半径为6的⊙O上三个点,若∠BAC=45°,则弦BC=_______. 3、知识点三：圆周角定理的推论（1） 在同圆(或等圆)中,同弧或等弧所对的圆周角____,相等的圆周角所对的弧也____练习： 4.如图，A、B、C三点在⊙O上,且△ABC是等边三角形，动点P在圆周的劣弧AB上,且不与A、B重合,则∠BPC等于（） A、30° B、60° C、90° D、45° 5.如图,在⊙O中,弦AB、CD相交于点P,若∠A=30°,∠APD=70°,则∠B=____． 6.如图,A、B、C、D是⊙O上的四个点，AB=BC，BD交AC于点E，连接CD、AD,若∠BAC=25°,则∠ADC=______.

圆周角定理及推论知识点与练习

圆周角定理及推论知识点与 练习 -标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII

圆周角定理及推论知识点与练习 1、圆周角定理：在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 特别提示：证明圆周角定理时，可以分以下三种情况进行分类讨论： ①圆心在圆周角外 ②圆心在圆周角上 ③圆心在圆周角内 特别提示：圆周角定理的证明分三种情况，利用三角形外角和定理证明。 2、推论： ①圆周角的度数等于它所对的弧度数的一半； ②在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧也相等。 ③半圆（直径）所对的圆周角是直角。90°的圆周角所对的弦是直径。 注意：在圆中，同一条弦所对的圆周角有无数个，同一条弦所对的圆周角的度数有两个，一个是所对的劣弧度数，另一个是所对的优弧度数。 3、应用 （1）运用圆周角定理及推论时，注意在同圆或等圆中； （2）运用此定理要善于从弧到角或从角到弧的转化，常用弧相等来证角相等； （3）在圆中常添加直角所对的弦或构造直径所对的圆周角为直角有关的辅助线，利用直角三角形解决有关的计算问题。 例：⊙O 半径OA ⊥OB ，弦AC ⊥BD 于E 。求证：AD ∥BC 证明：∵OA ⊥OB ，∴∠AOB ＝90o ∵AB ?=AB ?，∴∠C=∠D=2 1∠AOB=45o

图5 ∵AC ⊥BD ，∴∠AED=90o, ∴∠EAD=∠AED －∠D=45o ∴∠C=∠EAD, ∴AD ∥BC 练习 一、选择题 1、在半径为R 的圆中有一条长度为R 的弦,则该弦所对的圆周角的度数是( ) A.30° B.30°或150° C.60° D.60°或120° 2、如图1，BD 是⊙C 的直径，弦AC 与BD 相交于点，则下列结论一定成立的是（） Ａ．ABD ACD ∠=∠ Ｂ．ABD AOD ∠=∠Ｃ．AOD AED ∠=∠ Ｄ．ABD BDC ∠=∠ 3. 如图2，四边形ABCD 内接于⊙O ，若它的一个外角70DCE ∠=，则BOD ∠=（） Ａ．35 Ｂ．70 Ｃ． 110 Ｄ．140 o 4. 如图3，A C B 、、是⊙O 上三点，若40AOC ∠=，则ABC ∠的度数是 （ ） Ａ．10 Ｂ．20 Ｃ．40 Ｄ．80 5. 如图4，⊙O 中弧AB 的度数为60，AC 是O 圆的直径，那么BOC ∠等于（ ） A ． 150 B ． 130 C ． 120 D ．60 6. 如图5，圆心角∠AOB=120?，P 是AB ?上任一点（不与A ，B 重合），点C 在AP 的延长线上，则 ∠BPC 等于（ ） A.45? B.60? C.75? D.85? 二、填空题 1、如图1，AB 为⊙O 的直径，点C 、D 、E 均在⊙O 上，则∠1+∠2= 。 Ｅ

最全的初中数学定理大全

★过两点有且只有一条直线 ●两点之间线段最短 ★同角或等角的补角相等 ●同角或等角的余角相等 ★过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 ●直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 ★平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 ●如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行 ★同位角相等，两直线平行 ●内错角相等，两直线平行 ★同旁内角互补，两直线平行 ●两直线平行，同位角相等 ★两直线平行，内错角相等 ●两直线平行，同旁内角互补 ★三角形三边关系定理三角形两边的和大于第三边 ●三角形三边关系推论三角形两边的差小于第三边 ★三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180° ●三角形内角和定理推论1直角三角形的两个锐角互余 ★三角形内角和定理推论2三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 ●三角形内角和定理推论3三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 ★全等三角形的对应边、对应角相等 ●边角边公理（ＳＡＳ）有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 ★角边角公理（ＡＳＡ）有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 ●角边角公理推论（ＡＡＳ）有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等

★边边边公理（ＳＳＳ）有三边对应相等的两个三角形全等 ●斜边、直角边公理（ＨＬ）有斜边和一条直角边应相等的两个直角三角形全等 ★角平分线定理1在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 ●角平分线定理2到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上 ★角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合 ●等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等（即等边对等角） ★等腰三角形的性质推论1等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边 ●等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合 ★等腰三角形的性质推论3等边三角形两边的各角都相等，并且每一个角都等于60° ●等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边） ★等腰三角形的判定推论1三个角都相等的等边三角形 ●等腰三角形的判定推论2有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形 ★在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半 ●直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半 ★垂直平分线定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等 ●垂直平分线逆定理和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 ★线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合 ●轴对称定理1关于某条直线对称的两个图形是全等形 ★轴对称定理2如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线 ●轴对称定理3两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上 ★轴对称逆定理如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称

圆周角定理及推论

一、圆周角定理：一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半已知在⊙Ｏ中，∠BOC与圆周角∠BAC对同弧BC，求证：∠BOC=2∠BAC。 以下分五种情况证明 【证明】情况1：当圆心O在∠BAC的内部时： 图1 连接AO，并延长AO交⊙Ｏ于D 解：OA=OB=OC（OA、OB、OC是半径） ∴∠BAD=∠ABO，∠CAD=∠ACO（等腰三角形底角相等） ∴∠BOD=∠BAD+∠ABO=2∠BAD ∠COD=∠CAD+∠ACO=2∠CAD （∠BOD、∠COD分别是△AOB、△AOC的外角，而三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角 和） ∴∠BOC=∠BOD+∠COD=2(∠BAD+∠CAD)=2∠BAC 【证明】情况2：当圆心O在∠BAC的外部时： 图2 连接AO，并延长AO交⊙Ｏ于D，连接OB、OC。解：OA=OB=OC（OA、OB、OC是半径） ∴∠BAD=∠ABO，∠CAD=∠ACO（等腰三角形底角相等） ∴∠BOD=∠BAD+∠ABO=2∠BAD ∠COD=∠CAD+∠ACO=2∠CAD （∠BOD、∠COD分别是△AOB、△AOC的外角，而三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角 和）

∴∠BOC=∠COD-∠BOD=2(∠CAD-∠BAD)=2∠BAC 【证明】情况3：当圆心O在∠BAC的一边上时，即A、O、B在同一直线上时： 图3 ∵OA、OC是半径 解：∴OA=OC ∴∠BAC=∠OCA（） ∴∠BOC=∠BAC+∠OCA=2∠BAC （三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和，由AB为平角180°、三角形△AOC内角和为180°得到。） 【证明】情况4：圆心角等于180°： 圆心角∠AOB=180°，圆周角是∠ACB，∵∠OCA=∠OAC= 2 1∠BOC（BC弧） ∠OCB=∠OBC= 2 1 ∠AOC（AC弧） ∴∠OCA+∠OCB=（∠BOC+∠ＡOC）/2=90度∴∠AO B2=∠ACB 【证明】情况5：圆心角大于180°： 图5 圆心角是（360°-∠AOB），圆周角是∠ACB，延长CO交园于点E， ∠CAE=∠CBE=90°（圆心角等于180°） ∴∠ACB+∠AEB=180°，即∠ACB=180°-∠AEB ∵∠AOB=2∠AEB ∴360°-∠AOB=2（180°-∠AEB）=2∠ACB 二、圆周角定理的推论： 同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等。其他推论? ①圆周角度数定理,圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半?。 E

初中数学几何所有性质和定理汇总

初中数学几何所有性质和定理 1 过两点有且只有一条直线 2 两点之间线段最短 3 同角或等角的补角相等 4 同角或等角的余角相等 5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 7 平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 8 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行 9 同位角相等，两直线平行 10 内错角相等，两直线平行 11 同旁内角互补，两直线平行 12两直线平行，同位角相等 13 两直线平行，内错角相等 14 两直线平行，同旁内角互补 15 定理三角形两边的和大于第三边 16 推论三角形两边的差小于第三边 17 三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180° 18 推论1 直角三角形的两个锐角互余 19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 20 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 21 全等三角形的对应边、对应角相等 22边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 23 角边角公理( ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 24 推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 25 边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等 26 斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 27 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 28 定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上 29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合 30 等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等 (即等边对等角） 31 推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边 32 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合 33 推论3 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60° 34 等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边） 35 推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形 36 推论 2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形 37 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半 38 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半 39 定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等 40 逆定理和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 41 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合 42 定理1 关于某条直线对称的两个图形是全等形 43 定理 2 如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线 44定理3 两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上 45逆定理如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称 46勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方，即a^2+b^2=c^2 47勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a、b、c有关系a^2+b^2=c^2 ，那么这个三角形是直角三角形

最新数学湘教版初中九年级下册2.2.2第1课时圆周角定理与推论1公开课教学设计

2．22 圆周角 第1课时圆周角定理与推论1 1．理解圆周角的概念，学会识别圆周角； 2．在实际操作中探索圆的性质，了解圆周角与圆心角的关系，并能应用其进行简单的计算与证明；(重点) 3．在探索过程中，体会观察、猜想的思维方法，在定理的证明过程中，体会化归和分类讨论的数学思想和归纳的方法． 一、情境导入 你喜欢看足球比赛吗？你踢过足球吗？第十九届世界杯决赛于2014年在巴西举行，共有自世界各地的32支球队参加赛事，共进行64场比赛决定冠军队伍． 比赛中如图所示，甲队员在圆心O处，乙队员在圆上处，丙队员带球突破防守到圆上处，依然把球传给了甲，你知道为什么吗？你能用数学知识解释一下吗？ 二、合作探究 探究点一：圆周角的概念 下列图形中的角是圆周角的是( ) 解析：观察可以发现只有选项B中的角的顶点在圆周上，且两边都和圆相交．所以它是圆周角．故选B 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第1题 探究点二：圆周角定理与推论1 【类型一】利用圆周角定理求角 如图，AB是⊙O的直径，，D为圆上两点，∠AO＝130°，则∠D等于( ) A．25° B．30°

．35° D ．50° 解析：本题考查同弧所对圆周角与圆心角的关系．∵∠AO ＝130°，∠AOB ＝180°，∴∠BO ＝50°，∴∠D ＝25°故选A 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第2题 【类型二】 利用圆周角定理的推论1求角 (2015·莆田中考)如图，在⊙O 中，(AB ︵)＝(A ︵ )，∠AOB ＝50°，则∠AD 的度数是( ) A ．50° B ．40° ．30° D ．25° 解析：∵连接O ，在⊙O 中，(AB ︵ )＝(A ︵ )，∴∠AO ＝∠AOB ∵∠AOB ＝50°，∴∠AO ＝50°，∴∠AD ＝错误!∠AO ＝25°故选D 方法总结：本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第6题 三、板书设计 教学过程中，强调圆周角定理得出的理论依据，使学生熟练掌握并会学以致用

初中数学定理大集合

初中数学基本定理 1、过两点有且只有一条直线 2、两点之间线段最短 3、同角或等角的补角相等 4、同角或等角的余角相等 5、过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 6、直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 7、平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 8、如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行 9、同位角相等，两直线平行 10、内错角相等，两直线平行 11、同旁内角互补，两直线平行 12、两直线平行，同位角相等 13、两直线平行，内错角相等 14、两直线平行，同旁内角互补 15、定理三角形两边的和大于第三边 16、推论三角形两边的差小于第三 17、三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180° 18、推论1 直角三角形的两个锐角互余 19、推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 20、推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 21、全等三角形的对应边、对应角相等 22、边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 23、角边角公理( ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 24、推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 25、边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等 26、斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 27、定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等

28、定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上 29、角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合 30、等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等 (即等边对等角） 31、推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边 32、等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合 33、推论3 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60° 34、等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边） 35、推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形 36、推论 2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形 37、在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半 38、直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半 39、定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等 40、逆定理和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 41、线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合 42、定理1 关于某条直线对称的两个图形是全等形 43、定理 2 如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线 44、定理3 两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上 45、逆定理如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称 46、勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方，即a2+b2=c2 47、勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a、b、c有关系a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形 48、定理四边形的内角和等于360° 49、四边形的外角和等于360° 50、多边形内角和定理 n边形的内角的和等于（n-2）×180° 51、推论任意多边的外角和等于360° 52、平行四边形性质定理1 平行四边形的对角相等 53、平行四边形性质定理2 平行四边形的对边相等 54、推论夹在两条平行线间的平行线段相等 55、平行四边形性质定理3 平行四边形的对角线互相平分

圆周角定理及推论

1 / 6 24.1.4圆周角 第1课时圆周角定理及推论 教学内容 1．圆周角的概念． 2．圆周角定理： 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，?都等于这条弦所对的圆心角的一半． 推论： 半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径及其它们的应用． 教学目标 1．了解圆周角的概念． 2．理解圆周角的定理： 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，?都等于这条弧所对的圆心角的一半． 3．理解圆周角定理的推论： 半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90?°的圆周角所对的弦是直径． 4．熟练掌握圆周角的定理及其推理的灵活运用． 设置情景，给出圆周角概念，探究这些圆周角与圆心角的关系，运用数学分类思想给予逻辑证明定理，得出推导，让学生活动证

明定理推论的正确性，最后运用定理及其推导解决一些实际问题．重难点、关键 2 / 6 1．重点： 圆周角的定理、圆周角的定理的推导及运用它们解题． 2．难点： 运用数学分类思想证明圆周角的定理． 3．关键： 探究圆周角的定理的存在． 教学过程 一、复习引入 （学生活动）请同学们口答下面两个问题． 1．什么叫圆心角？ 2．圆心角、弦、弧之间有什么内在联系呢？ 老师点评： （1）我们把顶点在圆心的角叫圆心角． （2）在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有 一组量相等，?那么它们所对的其余各组量都分别相等． 刚才讲的，顶点在圆心上的角，有一组等量的关系，如果顶点不在圆心上，它在其它的位置上？如在圆周上，是否还存在一些等量关系呢？这就是我们今天要探讨，要研究，要解决的问题．二、探索新知

问题： 如图所示的⊙O，我们在射门游戏中，设 E、F是球门，?设球员们只能在所在的⊙O其它位置射门，如图所示的 3 / 6 A、B、C点．通过观察，我们可以发现像∠ EAF、∠ EBF、∠ECF这样的角，它们的顶点在圆上，?并且两边都与圆相交的角叫做圆周角． 现在通过圆周角的概念和度量的方法回答下面的问题． 1．一个弧上所对的圆周角的个数有多少个？ 2．同弧所对的圆周角的度数是否发生变化？ 3．同弧上的圆周角与圆心角有什么关系？ （学生分组讨论）提问二、三位同学代表发言． 老师点评： 1．一个弧上所对的圆周角的个数有无数多个． 2．通过度量，我们可以发现，同弧所对的圆周角是没有变化的．3．通过度量，我们可以得出，同弧上的圆周角是圆心角的一半．下面，我们通过逻辑证明来说明“同弧所对的圆周角的度数没有变化，?并且它的度数恰好等于这条弧所对的圆心角的度数的一半．” （1）设圆周角∠ABC的一边BC是⊙O的直径，如图所示

圆周角与圆心角的关系 优质课评选教案

2011 -2012学年第2 学期 圆周角与圆心角（第一课时） 教 案 所在学校：棉湖二中 授课教师：王琼纯 使用教材：北师大版义务教育课程标准实验教材

圆周角与圆心角的关系（第一课时） 授课人：王琼纯 教材：北师大版义务教育课程标准实验教材 一．教学目标： １．知识与技能 理解掌握圆周角的概念及圆周角与圆心角的关系 ２．过程与方法 经历对圆周角定理的探索、证明的过程，养成自主探究，合作交流的学习习惯。学会以特殊情况为基础，通过转化来解决一般性问题的方法，体会归纳、类比、分类讨论的数学思想。 ３．情感与价值观 让学生在主动探索、合作交流的过程中获得成功的愉悦，培养学生独立思考，善于总结的学习习惯。 二．教学重、难点： 重点：理解掌握圆周角的概念及圆周角定理 难点：圆周角定理的证明及证明时分类讨论的必要性 三．教学方法：（教法、学法） 以探究式教学法为主，发现法、分组交流合作法、启发式教学法等多种方法相结合，四．教具准备 教师：多媒体课件、圆规、三角板等 学生：探究活动纸。直尺、圆规、量角器等 五．教学过程设计 （一）创设情境，导入新课 展示多媒体课件：以一段足球赛视频导入新课 思考：单从数学角度分析，进球跟什么有关？运动员甲应该自己射门还是把球传给运动员乙射门（单从角度考虑）？O、B两个位置的张角相同吗？ 过渡：两个位置的张角大小有什么关系？我们带着这个问题进入今天的学习。 （板书）：圆周角与圆心角的关系

（二）教授新课： １．圆周角的定义 （从情景图中抽象出几何图形，根据图形回答下列问题） 思考：①什么是圆心角？图中哪些是圆心角？你能类比圆心角给出圆周角定义吗？ ②顶点在图上的角是圆周角吗？两边与圆相交的角是圆周角吗？ 总结：顶点在圆心上且两边与圆相交的角是圆心角。 圆周角定义：顶点在圆上，两边与圆相交的角就是圆周角。（板书）练习一：判断下列哪些角是圆周角？哪些不是？为什么？ A B C D E E G H ２．圆周角与圆心角的关系 （１）探究活动一：大胆猜想

初中数学定理、性质大全(人教版)

初中数学定理、性质大全（人教版） 1 过两点有且只有一条直线 2 两点之间线段最短 3 同角或等角的补角相等 4 同角或等角的余角相等 5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 7 平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 8 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行 9 同位角相等，两直线平行 10 内错角相等，两直线平行 11 同旁内角互补，两直线平行 12两直线平行，同位角相等 13 两直线平行，内错角相等 14 两直线平行，同旁内角互补 15 定理三角形两边的和大于第三边 16 推论三角形两边的差小于第三边 17 三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180° 18 推论1 直角三角形的两个锐角互余 19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 20 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 21 全等三角形的对应边、对应角相等 22边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等23 角边角公理( ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等

24 推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 25 边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等 26 斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 27 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 28 定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上 29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合 30 等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等 (即等边对等角） 31 推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边 32 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合 33 推论3 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60° 34 等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边） 35 推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形 36 推论 2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形 37 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半 38 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半 39 定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等 40 逆定理和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 41 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合 42 定理1 关于某条直线对称的两个图形是全等形 43 定理 2 如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线44定理3 两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上 45逆定理如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于

人教版初中数学公式、定理大全

初中数学公式、定理大全 1、一元二次方程根的情况 △＝b2－4ac（前提必须化成一般形式ax2＋bx＋c＝0） 当△＞0时，一元二次方程有2个不相等的实数根 当△＝0时，一元二次方程有2个相等的实数根； 当△＜0时，一元二次方程没有实数根 2、平行四边形的性质 ①两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 ②平行四边形不相邻的两个顶点连成的线段叫它的对角线。 ③平行四边形的对边相等并且平行，对角相等，邻角互补。 ④平行四边形的对角线互相平分。 菱形： ①一组邻边相等的平行四边形是菱形 ②领形的四条边相等，对边平行，两条对角线互相垂直平分，每一组对角线平分一组对角。 ③判定条件：定义、对角线互相垂直的平行四边形、四条边都相等的四边形。 矩形与正方形 ②矩形的对角线相等且平分，四个角都是直角。 ③对角线相等的平行四边形是矩形。 ④正方形具有平行四边形，矩形，菱形的所有性质。

⑤一组邻边相等的矩形是正方形，有一个角是直角的 菱形是正方形。 多边形： ①ｎ边形的内角和等于（n－2）180° ②多边形内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做这个多边形的 外角，在每个顶点处取这个多边形的一个外角，他们的和叫做这个多边形的外 角和 多边形的外角和都等于360度 二、基本定理 1、过两点有且只有一条直线 2、两点之间线段最短 3、同角或等角的补角相等 4、同角或等角的余角相等 5、过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 6、直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 7、平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 8、如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 9、同位角相等，两直线平行10、内错角相等，两直线平行11、同旁内角互补，两直线平行12、两直线平行，同位角相等15、定理三角形两边的和大于第三边16、推论三角形两边的差小于第三边17、三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180° 18、推论1xx的两个锐角互余 19、推论2三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和20、推论3三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角21、全等三角形的对应边、对应角相等 全等三角形的判定方法 22、边角边公理（SAS）有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 23、角边角公理（ASA）有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等24、

初中数学所有几何证明定理

初中数学所有几何证明定理 证明题的思路 很多几何证明题的思路往往是填加辅助线，分析已知、求证与图形，探索证明。对于证明题，有三种思考方式： (1)正向思维。对于一般简单的题目，我们正向思考，轻而易举可以做出，这里 就不详细讲述了。 (2)逆向思维。顾名思义，就是从相反的方向思考问题。在初中数学中，逆向思 维是非常重要的思维方式，在证明题中体现的更加明显。 同学们认真读完一道题的题干后，不知道从何入手，建议你从结论出发。 例如： 可以有这样的思考过程：要证明某两条边相等，那么结合图形可以看出，只要 证出某两个三角形相等即可；要证三角形全等，结合所给的条件，看还缺少什 么条件需要证明，证明这个条件又需要怎样做辅助线，这样思考下去……这样 我们就找到了解题的思路，然后把过程正着写出来就可以了。 (3)正逆结合。对于从结论很难分析出思路的题目，可以结合结论和已知条件认 真的分析。 初中数学中，一般所给的已知条件都是解题过程中要用到的，所以可以从已知 条件中寻找思路，比如给我们三角形某边中点，我们就要想到是否要连出中位线，或者是否要用到中点倍长法。给我们梯形，我们就要想到是否要做高，或 平移腰，或平移对角线，或补形等等。正逆结合，战无不胜。 证明题要用到哪些原理？

要掌握初中数学几何证明题技巧，熟练运用和记忆如下原理是关键。 下面归类一下，多做练习，熟能生巧，遇到几何证明题能想到采用哪一类型原理来解决问题。 一、证明两线段相等 1.两全等三角形中对应边相等。 2.同一三角形中等角对等边。 3.等腰三角形顶角的平分线或底边的高平分底边。 4.平行四边形的对边或对角线被交点分成的两段相等。 5.直角三角形斜边的中点到三顶点距离相等。 6.线段垂直平分线上任意一点到线段两段距离相等。 7.角平分线上任一点到角的两边距离相等。 8.过三角形一边的中点且平行于第三边的直线分第二边所成的线段相等。 9.同圆（或等圆）中等弧所对的弦或与圆心等距的两弦或等圆心角、圆周角所对的弦相等。 10.圆外一点引圆的两条切线的切线长相等或圆内垂直于直径的弦被直径分成的两段相等。 11.两前项（或两后项）相等的比例式中的两后项（或两前项）相等。 12.两圆的内（外）公切线的长相等。 13.等于同一线段的两条线段相等。 二、证明两个角相等 1.两全等三角形的对应角相等。 2.同一三角形中等边对等角。 3.等腰三角形中，底边上的中线（或高）平分顶角。

圆周角及推论

课题：圆周角及推论 【学习目标】 1．学习圆周角、圆内接多边形的概念，圆周角定理及推论． 2．掌握圆周角与圆心角、直径的关系，能用分类讨论的思想证明圆周角定理． 3．会用圆周角定理及推论进行证明和计算． 【学习重点】 圆周角的定理及应用． 【学习难点】 运用分类讨论的数学思想证明圆周角定理． 情景导入 生成问题 旧知回顾： (1)圆心角指顶点在圆心的角． (2)如图，AB ，CD 是⊙O 的两条弦： ①如果AB ＝CD ，那么AB ︵＝CD ︵，∠AOB ＝∠COD ； ②如果AB ︵＝CD ︵，那么AB ＝CD ，∠AOB ＝∠COD ； ③如果∠AOB ＝∠COD ，那么AB ＝CD ，AB ︵＝CD ︵． 自学互研 生成能力 知识模块一 圆周角的定义 【自主探究】 阅读教材P 85探究上面内容，重点理解圆周角定义，回答下列问题： 1．圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角． 2．如图，下列图形中是圆周角的是( C ) 3．如图，AD ︵所对的圆心角是∠AOD ，所对的圆周角有∠B 和∠C ． 结论：一条弧对着一个圆心角，对着无数个圆周角． 知识模块二 圆周角定理 【自主探究】

认真看P 85“探究”～P 86推论上面内容，根据课本回答下列问题： 1．圆周角定理的证明共分了哪几种情况？ 图1 图2 图3 答：圆心在圆周角的一边上，圆心在圆周角的内部，圆心在圆周角的外部． 2．如图1，∠A 与∠BOC 的大小关系怎样？你是怎样得到的？ 答：∠A ＝12 ∠BOC ．理由如下： ? ????OA ＝OC ?∠A ＝∠ACO ∠BOC ＝∠A ＋∠ACO ?∠A ＝12∠BOC 3.如图2，∠A 与∠BOC 的大小关系怎样？你是怎样得到的？ 答：∠A ＝12 ∠BOC ，理由略． 4．如图3，∠A 与∠BOC 的大小关系怎样？你是怎样得到的？ 答：∠A ＝12 ∠BOC ，理由略． 范例：如图所示，AB 是⊙O 的直径，AB ＝10cm ，∠ADE ＝60°，DC 平分∠ADE ，求AC 、BC 的长． 解：∵∠ADE ＝60°，DC 平分∠ADE ， ∴∠ADC ＝12 ∠ADE ＝30°. ∴∠ABC ＝∠ADC ＝30°. 又∵AB 为⊙O 的直径， ∴∠ACB ＝90°， ∴AC ＝12 AB ＝5cm ， BC ＝AB 2－AC 2＝102－52＝53(cm )． 交流展示 生成新知 1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上．并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑． 2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”． 知识模块一 理解圆周角的概念，能够在图形中正确识别圆周角 知识模块二 掌握圆周角定理，并会运用定理进行简单的计算与证明 当堂检测 达成目标 【当堂检测】

初中数学所有定理

初中数学定理 1 过两点有且只有一条直线 2 两点之间线段最短 3 同角或等角的补角相等 4 同角或等角的余角相等 5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 7 平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 8 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行 9 同位角相等，两直线平行 10 内错角相等，两直线平行 11 同旁内角互补，两直线平行 12两直线平行，同位角相等 13 两直线平行，内错角相等 14 两直线平行，同旁内角互补 15 定理三角形两边的和大于第三边 16 推论三角形两边的差小于第三边 17 三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180° 18 推论1 直角三角形的两个锐角互余 19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 20 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 21 全等三角形的对应边、对应角相等 22边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 23 角边角公理( ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 24 推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 25 边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等 26 斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 27 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 28 定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上 29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合 30 等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等(即等边对等角） 31 推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边 32 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合 33 推论3 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60° 34 等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边） 35 推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形 36 推论2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形 37 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半 38 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半 39 定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等 40 逆定理和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上