大方向教育个性化辅导教案教师:徐琨学生:学科:数学时间:
课题(课型)
直线与平面平行的判定与性质
教学方法:知识梳理、例题讲解、归纳总结、巩固训练
一、知识梳理
1.直线与平面平行的判定与性质
判定
性质
定义定理
图形
条件a∩α=?a?α,b?α,a∥b a∥αa∥α,a?β,α∩β
=b
结论a∥αb∥αa∩α=?a∥b
注意:
1.证明线面平行是高考中常见的问题,常用的方法就是证明这条线与平面内的某条直线平行.但一定要说明一条直线在平面外,一条直线在平面内.
2.在判定和证明直线与平面的位置关系时,除熟练运用判定定理和性质定理外,切不可丢弃定义,因为定义既可作判定定理使用,亦可作性质定理使用.
3.辅助线(面)是解(证)线面平行的关键.为了能利用线面平行的判定定理及性质定理,往往需要作辅助线
自主测试:
1.已知不重合的直线a,b和平面α,
①若a∥α,b?α,则a∥b;②若a∥α,b∥α,则a∥b;③若a∥b,b?α,则a∥α;④若a∥b,a∥α,则b∥α或b?α. 上面命题中正确的是________(填序号).
2.若直线l不平行于平面α,且l?α,则下列说法正确的是
A.α内的所有直线与l异面B.α内不存在与l平行的直线
C.α内存在唯一的直线与l平行D.α内的直线与l都相交
3.设直线a在平面M内,则平面M平行于平面N是直线a平行于面N的条件。
4.直线a//b,a//平面α,则b与平面α的位置关系是。
5.A、B两点到平面α的距离分别是3、5,M是的AB中点,则M到平面α的距离是。
6. 已知:直线a∥平面α,直线a∥平面β,α∩β=b.求证:a∥b.
典型例题:
例1.如图,在正方体ABCD—A1B1C1D1中,点N在BD上,点M在B1C,且CM=DN,求证:MN∥平面AA1B1B.
例2.如图所示,在空间四边形ABCD中,AC、BD为其对角线,E、F、G、H分别为AC、BC、BD、AD上各一点,若四边形EFGH为平行四边形,求证:AB∥平面EFGH且CD∥平面EFGH.
A 1
B
B 1
A C 1
C
D 例3、如图,在底面为平行四边形的四棱锥 P —ABCD 中,点
E 是 PD 的中点.
求证:PB//平面 AEC ;
例4.四棱锥P -ABCD 中,底面ABCD 是矩形,M 、N 分别是AB 、PC 的中点, 求证:MN ∥平面PAD ;
例5.
A
B
C
D
E
P 11111//.ABC A B C D AC AB DBC 已知-是底面是正三角形的棱柱,
是的中点,求证:平面
巩固练习:
1.在四棱锥P—ABCD中,底面ABCD是矩形,M,N分别是AB,PC的中点.求证:MN∥平面PAD;
2、如图,在三棱柱ABC—A1B1C1中,D是AC的中点。
求证:AB1//平面DBC1
3.正四棱锥S ABCD
中,E是侧棱SC 的中点.求证:直线SA//平面BDE
B1
B
C1
A C
A1
D
P
A
B C
D
M
N
A
S
D C
B
E
A
B
C
D
E
F
P 4. 已知四棱锥P-ABCD 中,底面ABCD 是矩形,E 、F 分别是AB 、PD 的中点. 求证:AF//平面PEC
5.在三棱柱111ABC A B C 中, D 为BC 中点.求证:1//A B 平面1ADC ;
教师评定:
1、学生上次作业评价: ○好 ○较好 ○一般 ○差
2、学生本次上课情况评价:○好 ○较好 ○一般 ○差
教师签字:
教导主任签字: 大方向教育教务
A
B
C
D
C 1
A 1
B 1
1、注重激发兴趣, 渗透情感教育 从平面几何到立体几何 《立体几何》作为高中数学的重要组成部分,其在培养学生的空间思维能力、空间想象能力和严密的逻辑推理能力方面起着不可替代的作用。实际教学中,明显感觉到大多学生对《立体几何》这一门课存在畏惧心理,思维比较难从平面几何里过渡进来,不能体会到其中的统一关系。究其原因,认为主要有如下几点: (1)初、高中思维模式的差别巨大; (2)平面与空间的思维跨度大; (3)学生的学习兴趣取向没有形成。 所以实际教学中,如何精心设计问题情景和平台、注重导入技巧;如何把握《立体几何》的概念及思维特征、使学生转变观念和思维习惯显得至关重要。 首先:充分调动学习兴趣,借用平面几何基础、生活实例、实物模型及多媒体等 教学手段,充实学生对客观事物(空间图形)的感知,引导从平面向立体转化,为学生进行形象思维创造条件,促使学生建立起一定的空间想象力。在课堂上,除作了一些必要的生活铺垫,可以作一些趣味思考题,如:六根等长木棒任意搭建,最多可得多少正三角形?让学生分组(课前准备好道具)协作构思,极大地调动了学生的参与热情和探求欲望,在学生大多得出正确结果的基础上,用多媒体展示搭建过程,后提炼出“空间中思考问题”的实质,有效地培养了学生的空间思维能力及空间想象能力。 其次:在教学实践中,注意情感渗透。不少学生(女生居多)一上来对学习《立体几何》就信心不足。此时,教师宜尽量采用轻松、活泼的语言来分析问题与结论,缓解学生学习的心理压力,减少干扰因素,特别是针对一些“慢热”型学生更应注重情感交流,适时了解其学习困惑,建立起融洽的师生关系,使学生在一个宽松、和谐、平等的教学氛围中,积极主动地学习,最大限度地发挥出其聪明才智和创造性,从而获取最佳学习效益。 2、注重概念的导入教学,促进空间思维的建立 立体儿何是平面儿何在空间的延伸,学好平面儿何是学好立体儿何的基础。学生掌握的平面儿何概念(上位学习)对立体儿何的学习(下位学习)起着重要的作用:如果上位学习对下位学习产生积极有效的促进作用,在认知心理学上称之为正迁移;如果上位学习对下位学习引起障碍及抑制作用,在认知心理学上称? ? ? 之为负迁移。这种正负迁移在立儿概念教学中是难以避免的,甚至可说影响极大。
一、知识点: 1.平面的概念:平面就是没有厚薄的,可以无限延伸,这就是平面最基本的属性 2.平面的画法及其表示方法:①常用平行四边形表示平面通常把平行四边形的锐角画成45o ,横边画成邻边的两倍画两个平面相交时,当一个平面的一部分被另一个平面遮住时,应把被遮住的部分画成虚线或不画(面实背虚)②一般用一个希腊字母α、β、γ……来表示,还可用平行四边形的对角顶点的字母来表示如平面AC 等 3.空间图形就是由点、线、面组成的点、线、面的基本位置关系如下表所示: 图形 符号语言 文字语言(读法) 图形 符号语言 文字语言(读法) A a A a ∈点A 在直线a 上 a α a α? 直线a 在平面α内 A a A a ?点A 不在直线a 上 a αa α=?I 直线a 与平面α无公共点 A αA α∈点A 在平面α内 a A αa A α=I 直线a 与平面α交于点A A αA α?点A 不在平面α内 b a A a b A =I 直线a 、b 交于A 点 l αβ=I 平面α、β相交于直线l α?a (平面α外的直线a )表示a α=?I (a αP )或a A α=I 4 平面的基本性质 公理1 如果一条直线的两点在一个平面内,那么这条直线上的所有点都在这个平面内 推理模式:A AB B ααα∈????∈?. 如图示: 应用:就是判定直线就是否在平面内的依据,也可用于验证一个面就是否就是平 面. 公理1说明了平面与曲面的本质区别.通过直线的“直”来刻划平面的“平”,通过直线的“无限延伸”来描述平面的“无限延展性”,它既就是判断直线在平面内,又就是检验平面的方法. 公理2如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其她公共点,且所有这些公共点的集合就是一条过这个公共点的直线 推理模式:A l A ααββ∈??=?∈? I 且A l ∈且l 唯一如图示: 应用:①确定两相交平面的交线位置;②判定点在直线上 公理2揭示了两个平面相交的主要特征,就是判定两平面相交的依据,提供了确定两个平面交线的方法. 公理3 经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面 B A α
立体几何中组合问题的几种解法 解决几何组合问题时,应准确灵活使用加法原理和乘法原理,要分类分步进行,做到不重复不遗漏。 1 直接求解法 例1:四面体的顶点和各棱中点共10个点,在其中取4个不共面的点,不同的取法有多少种? 分析:正面考虑本题各步骤的方法比较复杂,计算困难,应运用逆向思维,即先考虑从10个点任意取出4个点的方法,再减去从10个点中取出4点共面的的方法即可。 解:从10个点中找出4个点的方法有C410=210种,其中在四面体的四个面内各有6个点,取出共面的4个点的方法有4C4■=60种;相邻面各棱的中点4点共C410面的有3种;一条棱上三点与其相对棱中点也共面,共6种。 ∴所求方法N=210-60-3-6=141(种) 本题应注意“哪些点共面?”共有几种情况?[1] 例2:从平面Ⅱ上取6个点,再从平面B上取4个点,这10个点最多可确定多少个三棱锥? 解法①:分三种情况考虑:第一种情况从平面a上的6个点中任取一个再与从平面β上的4个点中任取3个点构成的三棱锥有C1■C■■个;第二种情况,从平面a上的6个点中任取2个与平面13上的4个点中任取2个点构成的三棱锥有C2■C2■个;第三种情况,从平面a上的6个点中任取3个点与平面β上的4个点中任取1个点构成的三棱锥有C■■C1■个。根据加法原理共有C1■C■■+C2■C2■ +C■■C1■ =24+90+80=194(个)。 解法②:逆向思维:从10个点中任取4个点的组合数C410中,去掉4个点共面的两种情况即4点在平面a上的C4■个,4点在平面β上的C4■个。其余的任4点都能构成一个三棱锥。因此,可构成三棱锥C410-C4■-C4■=210-15-1=194(个)。 2 从几何概念上求解[2] 例3:空间10个点,无三点共线,其中有六个点共面,其余无四个点共面,则这些可以组成四棱锥的个数有多少个? 此题易错解,仿上例。
立体证明题(2) 1?如图,直二面角 D- AB- E中,四边形 ABCD是正方形,AE=EB F为CE上的点,且 BF丄 平面ACE (1)求证:AE丄平面BCE (2)求二面角 B-AC- E的余弦值. 2?等腰△ ABC中, AC=BC= r, AB=2, E、F分别为AC BC的中点,将△ EFC沿EF折起,使得C到P,得到四棱锥 P- ABFE且AP=BP*. (1) 求证:平面 EFP1平面 ABFE (2) 求二面角 B-AP- E的大小. 02
PADL 底面ABCD 且 ABCD 3?如图,在四棱锥 P- ABCD 中,底面是正方形,侧面 PA=PD=2 AD,若E 、F 分别为PC BD 的中点. (I) 求证:EF//平面PAD 4?如图:正△ ABC 与Rt △ BCD 所在平面互相垂直,且/ (1)求证:AB 丄CD
BCD=90°,Z CBD=30° 5?如图,在四棱锥 P- ABCD中,平面PADL平面ABCD^ PAD是等边三角形,四边形 是平行四边形,/ ADC=120 , AB=2AD 6?如图,在直三棱柱 ABC- A i BQ 中,/ ACB=90°, AC=CB=CC2, E是 AB中点. (I)求证:AB丄平面A i CE (H)求直线 AG与平面A i CE所成角的正弦值. (1)求证:平面PADL平面PBD
7?如图,在四棱锥 P- ABCD中, PA丄平面 ABCD / DAB为直角,AB// CD, AD=CD=2AB=2 E, F分别为PC, CD的中点. (I)证明:AB丄平面BEF; (H)若PA=丄,求二面角 E- BD- C. 8?如图,在四棱锥 P-ABCD 中,PA丄平面 ABCD , PA=AB=AD=2,四边形 ABCD 满足 AB 丄 AD , BC // AD 且 BC=4,点 M 为 PC 中点. (1)求证:DM丄平面PBC ; BE (2)若点E为BC边上的动点,且一一,是否存在实数人使得二面角 P- DE - B的 EC 2 余弦值为-?若存在,求出实数入的值;若不存在,请说明理由. 3
1.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,给出以下四个结论: (1)直线D1C∥平面A1ABB1; (2)直线A1D1与平面BCD1相交; (3)直线AD⊥平面D1DB; (4)平面BCD1⊥平面A1ABB1 . 上述结论中,所有正确结论的序号为__________. 2.在所有棱长都相等的三棱锥P-ABC中,D,E,F分别是AB,BC,CA的中点,下列四个命题: (1)BC∥平面PDF;(2)DF∥平面PAE;(3)平面PDF⊥平面ABC; (4)平面PDF⊥平面PAE. 其中正确命题的序号为__________. 解析:由条件可证BC∥DF ,则BC∥平面PDF ,从而(1)正确;因为DF 与AE相交,所以(2)错误;取DF 中点M(如图),则PM⊥DF ,且可证PM与AE不垂直,所以(3)错误;而DM⊥PM,DM⊥AM,则DM⊥平面PAE.又DM?平面PDF ,故平面PDF ⊥平面PAE,所以(4)正确.综上所述,正确命题的序号为(1)(4).
3.如图,矩形ABCD中,E为边AB的中点,将△ADE沿直线DE翻转成△A1DE.若M为线段A1C的中点,则在△ADE翻转过程中,其中正确命题的序号为__________. ①|BM|是定值; ②点M在圆上运动; ③一定存在某个位置,使DE⊥A1C; ④一定存在某个位置,使MB∥平面A1DE. 解析:取DC中点N,连接MN,NB,则MN∥A1D,NB∥DE,所以平面MNB∥平面A1DE, 4.(2017·苏锡常镇二模)如图,在四面体ABCD中,平面ABC⊥平面ACD,E,F,G分别为AB,AD,AC的中点,AC=BC,∠ACD=90°. (1)求证:AB⊥平面EDC; (2)若P为FG上任一点,证明:EP∥平面BCD.
立体几何与平面几何计算公式 初中数学几何中,不论是平面几何还是立体几何,他们的计算公式是我们进行数学试题计算的基础,因此,希望中考考生积极的做好几何计算公式的复习。下面是初中数学几何计算公式,一起了解一下: 1 、正方形 C:周长S:面积:a:边长 周长=边长×4 C=4a 正方形面积=边长×边长S= a a 2 、长方形C:周长S:面积a:边长 周长=(长+宽)×2 C = 2(a+b) 长方形面积=长×宽S = a b 3 、三角形s:面积a:底h:高 三角形面积=底×高÷2 s = ah÷2 4 、平行四边形s:面积a:底h:高 平行四边形面积=底×高s = ah 5、梯形s面积a上底b下底h高 梯形面积=(上底+下底)×高÷2 s = (a+b) h÷2 6 、圆形r:半径d:直径c:周长s:面积 半径=直径÷2 r = d/2 半径=周长÷圆周率÷2 r = c/2π 直径=半径×2 d = 2r 直径=周长÷圆周率d = c/π
周长=圆周率×直径 c = πd 周长=圆周率×半径×2 c = 2πr 圆面积=圆周率×半径×半径s = πr r 圆环面积=圆周率×(大圆半径×大圆半径-小圆半径×小圆半径) s=π(R R-r r) 7 、长方体V:体积s:面积a:长b: 宽h:高 体积=长×宽×高V = abh 8、正方体V:体积a:棱长 总棱长=棱长×12 C = 12a 表面积=棱长×棱长×6 S表= a a6 体积=棱长×棱长×棱长V = a a a 9、圆柱体V:体积s:底面积h:高 圆柱体侧面积=底面周长×高s= c h 圆柱体体积=底面积×高V= sh 圆柱体体积=圆周率×半径×半径×高V =πr r h 圆柱体体积=1/2×侧面积×半径V =1/2s侧r 10、圆锥体V:体积s:底面积h:高 圆锥体体积=1/3×底面积×高V = 1/3sh 圆锥体体积=1/3×圆周率×半径×半径×高V = 1/3×πr r h
立体几何与平面解析几何的交汇问题 在教材中,立体几何与解析几何是互相独立的两章,彼此分离不相联系,实际上,从空间维数看,平面几何是二维的,立体几何是三维的,因此,立体几何是由平面几何升维而产生;另一方面,从立体几何与解析几何的联系看,解析几何中的直线是空间二个平面的交线,圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)是平面截圆锥面所产生的截线;从轨迹的观点看,空间中的曲面(曲线)是空间中动点运动的轨迹,正因为平面几何与立体几何有这么许多千丝万缕的联系,因此,在平面几何与立体几何的交汇点,新知识生长的土壤特别肥沃,创新型题型的生长空间也相当宽广,这一点,在高考卷中已有充分展示,应引起我们在复习中的足够重视。 一、动点轨迹问题 这类问题往往是先利用题中条件把立几问题转化为平面几何问题,再判断动点轨迹。 例1定点A 和B 都在平面α内,定点α?P ,α⊥PB , C 是α内异于A 和B 的动点,且AC PC ⊥。那么,动点C 在平面α内的轨迹是( ) A. 一条线段,但要去掉两个点 B. 一个圆,但要去掉两个点 C. 一个椭圆,但要去掉两个点 D. 半圆,但要去掉两个点 例2若三棱锥A —BCD 的侧面ABC 内一动点P 到平面BCD 距离与到棱AB 距离相等,则动点P 的轨迹与△ABC 组成的图形可能是( ) ) 解:设二面角A —BC —D 大小为θ,作PR ⊥面BCD ,R 为垂足,PQ ⊥BC 于Q ,PT ⊥AB 于T ,则∠PQR =θ, 且由条件PT=PR=PQ·sinθ,∴ 为小于1的常数,故轨迹图形应选(D )。 二、几何体的截痕
例3:球在平面上的斜射影为椭园:已知一巨型广告汽球直径6米,太阳光线与地面所成角为60°,求此广告汽球在地面上投影椭圆的离心率和面积(椭圆面积公式为S=πab ,其中a,b 为长、短半轴长)。 解:由于太阳光线可认定为平行光线,故广告球的投影 椭园等价于以广告球直径为直径的圆柱截面椭园:此时 b=R ,a= =2R ,∴离心率 , 投影面积S=πab=π·k·2R=2πR 2=18π。 三、动点与某点(面)的距离问题 , 例4.正方体1111D C B A ABCD -中,棱长为a ,E 是 1AA 的中点, 在对角面D D BB 11上找一动点M ,使AM+ME 最小.a 23. 四、常见的轨迹问题 (1) 轨迹类型识别 此类问题最为常见,求解时,关注几何体的特征,灵活选择几何法与代数法. 例5、(北京)平面α的斜线AB 交α于点B ,过定点A 的动直线l 与AB 垂直,且交 α于点C ,则动点C 的轨迹是( ) A .一条直线 B.一个圆 C.一个椭圆 D.双曲线的一支 【解析】直线l 运动后形成的轨迹刚好为线段AB 的垂面,由公理二易知点C 刚好落在平面α与线段AB 的垂面的交线上,所以动点C 的轨迹是一条直线.选择 A. 总结:空间的轨迹最简单的一直存在形式就是两个平面的交线,处理问题中注意识别即可. 例6、如图,在正方体ABCD A 1 B 1C 1D 1 中,若四边形A 1BCD 1 内一动点P 到AB 1和 BC 的距离相等,则点P 的轨迹为( ) … A .椭圆的一部分 B .圆的一部分 C .一条线段 D .抛物线的一部分 O E 例4题图 A % C D A 1 C 1 D 1 B 1 M - C D B C P O