福建省泉州一中高三数学五月模拟考试 理 新人教A版

数 学 试 题（理科）

（考试时间：120分钟；满分：150分）

第Ⅰ卷（选择题 共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把答案填在答题卡的相应位置． 1．复数i

34i

a z +=

∈+R ，则实数a 的值是（ ）

． A ．43

-

B ．43

C ．34

D ．34-

2.设随机变量X 服从正态分布N （0，1），P （X>1）= p,则P （X>－1）=（ ） A ．p B ．1－p C ．1－2p D ．2p

3.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2086=+a a ，那么13S 的值是( ) A ．20 B ． 40 C ． 130 D ．260 4．下列结论错误的．．．

是（ ） A ．命题“若p ，则q ”与命题“若,q ?则p ?”互为逆否命题; B ．命题:[0,1],1x

p x e ?∈≥，命题2

:,10,q x R x x ?∈++<则p q ∨为真;

C ．若q p ∨为假命题，则p 、q 均为假命题．

D ．“若2

2

,am bm <则a b <”的逆命题为真命题;

5.已知直线α平面⊥l ，直线β平面?m ，则“βα//”是“m l ⊥”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件 6.一个几何体的三视图如图所示，其中 俯视图是一个菱形，则该几何体的体积 为（ ） A

．

3 B ．

4 C ．

D

．

7．已知角α的终边上有一点2

1(,)(0)4

P t t t +>，则tan α的最小值为（ ） A ．

1

2

B ．1 C

D ．2

8．某客运部门规定甲、乙两地之间旅客托运行李的费用为：不超过25kg 按0.5元/kg 收费， 超过25kg 的部分按0.8元/kg 收费，计算收费的程序框图如右图所示，则①②处应填

( )

正视图 侧视图

俯视图

A ．0.8y x = 0.5y x =

B ．0.5y x = 0.8y x =

C ． 0.812.5y x =+ 0.8y x =

D ．0.87.5y x =- 0.5y x =

9．一袋中有红、黄、蓝三种颜色的小球各一个，每次从中取出一个， 记下颜色后放回，当三种颜色的球全部取出时停止取球，则恰好 取5次球时停止取球的概率为( )

A ．81

5 B ．8114 C ．8122 D ．81

25

10．已知方程(1)(||2)4y x ++=,若对任意[,](,)x a b a b Z ∈∈，都存在唯一的[0,1]y ∈使

方程成立；且对任意[0,1]y ∈，都有[,](,)x a b a b Z ∈∈使方程成立，则a b +的最大值等于（ ）

A ．-2

B ． 0

C ．1

D ． 2

第Ⅱ卷 （非选择题 共100分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置. 11.

()2

2x

x e dx -=? .

12. 已知实数,x y 满足0,

,260

x y x x y >??

≥??+-≤?

，则2y x +的最小值等于 ．

13.对称中心为原点的双曲线2

1

22=

-y x 与椭圆有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数， 则该椭圆的标准方程为__________________。 14．在ABC ?中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，已知点D 是BC 边的中点，且

21

()2

AD BC a ac ?=-，则角B =________.

15.函数()f x 的导函数为()f x '，若对于定义域内任意1x 、2x 12()x x ≠，有

121212()()()2

f x f x x x

f x x -+'=-恒成立，则称()f x 为恒均变函数．给出下列函数：

①()=23f x x +；②2

()23f x x x =-+；③1()=

f x x

；④()=x

f x e ；⑤()=ln f x x ． 其中为恒均变函数的序号是 .（写出所有满足条件的函数的序号）

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答写在答题卡相应位置，应写出文字说明、证

明过程或演算步骤． 16．（本小题满分13分）

函数2

()3cos sin cos f x x x x ωωω=+，其中0ω>，且()f x 的图像在y 轴右侧第一个

最高点的横坐标为

6

π， （Ⅰ）求()f x 的解析式；

（Ⅱ）由x y sin =的图象，经过怎样的变换，可以得到()f x 的图象？

17. （本小题满分13分）

为了解今年某校高三毕业班准备报考飞行员学生的体重情 况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图(如图)， 已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1:2:3，其中第 2小组的频数为12.

（Ⅰ）求该校报考飞行员的总人数;

（Ⅱ）以这所学校的样本数据来估计全省的总体数据,若从全省报考飞行

员的同学中（人数很多）任选三人，设X 表示体重超过60公斤 的学生人数，求X 的分布列和数学期望.

18. （本小题满分13分）

如图，四棱锥P ABCD -中，侧面PDC 是边长为2的正三角形， 且与底面垂直，底面ABCD 是60ADC ∠=的菱形， M 为PB 的中点.

(Ⅰ)求PA 与底面ABCD 所成角的大小； (Ⅱ)求证：PA ⊥平面CDM ；

(Ⅲ)求二面角D MC B --的余弦值.

19. （本小题满分13分）

设椭圆:C )0(122

22>>=+b a b

y a x ，其长轴是短轴的两倍,以某短轴顶点和长轴顶点为端点

的线段作为直径的圆的周长为π5. (Ⅰ)求椭圆C 的方程；

(Ⅱ)若直线l 与椭圆相交于B A ,两点,设直线OB l OA ,,的斜率分别为

)0(,,,21>k k k k 其中.OAB ?的面积为S ,以OB OA ,为直径的圆的面积分别为

21,S S .若21,,k k k 恰好构成等比数列,求

S

S S 2

1+的取值范围. 20．（本小题满分14分）

已知函数()2

41x a

f x x -=

+在区间[],m n 上为增函数， （Ⅰ）若=0,=1m n 时,求实数a 的取值范围;

（Ⅱ）若()()4f m f n =-。则当()()f n f m -取最小值时， （ⅰ）求实数a 的值；

（ⅱ）若112212(,),(,)()P x y Q x y a x x n <<<是()f x 图象上的两点，且存在实数

()0,x a n ∈使得21021

()()

'()f x f x f x x x -=

-，证明：210x x x <<.

21. 本题（1）、（2）、（3）三个选答题，每小题7分，请考生任选2题做答，满分14分，如果多做，则按所做的前两题计分. 作答时，先用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中. （1）（本小题满分7分）选修4—2；矩阵与变换

已知在一个二阶矩阵M 的变换作用下，点A(1,2)变成了点A′(4, 5)，点B(3，－1)变成了点B′(5,1)． （Ⅰ）求矩阵M ；

（Ⅱ）若在矩阵M 的逆矩阵的变换作用下，点C(x,0)变成了点C′(4，y)，求x+y 的值. （2）（本小题满分7分）选修4—4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy 中，圆O

的参数方程为cos sin x r y r θθ?=???=?，(θ为参数，0r >).以O

为极点，x 轴正半轴为极轴，并取相同的单位长度建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为

(

)

sin 4

πρθ+=（Ⅰ）写出圆心的极坐标，

（Ⅱ）求当r 为何值时，圆O 上的点到直线l 的最大距离为3. （3）（本小题满分7分）选修4—5：不等式选讲

（Ⅰ）设a a ∈≠R 且

a 的大小．

（Ⅱ）求函数y =

福建省泉州一中2012年5月高三模拟质量检查

数 学 试 题（理科） 参考答案与评分标准

一、选择题：

1-5：B B C D A 6-10:A B D B D

二、填空题：

11.2

5e - 12. 2 . 13. 12

22=+y x 14. 3π 15. ①②

三、解答题： 16．（本小题满分13分）

函数2

()3sin cos f x x x x ωωω=+，其中0ω>，且()f x 的图像在y 轴右侧第一个

最高点的横坐标为

6

π， （Ⅰ）求()f x 的解析式；

（Ⅱ）由x y sin =的图象，经过怎样的变换，可以得到()f x 的图象？

解: （Ⅰ）．2

()3sin cos f x x x x ωωω=+1cos 21

3sin 222

x x ωω+=+……1分

3

sin(2)3x πω=++………………………………………………………………………3分

∵()f x 的图像在y 轴右侧第一个最高点的横坐标为6

π

∴26

3

2

π

π

π

ω?

+

=

，解得1

2

ω=

………………………………………………………6分 ∴3

()sin()3

f x x π

=+

7分 （Ⅱ）将sin y x =的图象向左平移

3

π

个单位,………………………………………10分 3

个单位，就得到()f x 的图象。……………………………13分

17. （本小题满分13分）

为了解今年某校高三毕业班准备报考飞行员学生的体重情 况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图(如图)， 已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1:2:3，其中第

2小组的频数为12.

（Ⅰ）求该校报考飞行员的总人数;

（Ⅱ）以这所学校的样本数据来估计全省的总体数据,若从全省报考 飞行员的同学中（人数很多）任选三人，设X 表示体重超过60 斤的学生人数，求X 的分布列和数学期望. 解：（Ⅰ）设报考飞行员的人数为n ,前三小组的频率分别为321,,p p p ,

则由条件可得:???

?

?

=?++++==1

5)013.0037.0(32321

1312p p p p p p p

解得375.0,25.0,125.0321===p p p ………………………………………………4分

又因为n

p 12

25.02==，故48=n ……………………………………………………6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得,一个报考学生体重超过60公斤的概率为

8

5

5)013.0037.0(3=

?++=p p ………………………………………………………8分 所以x 服从二项分布,k

k k C k x p -==33)83()85()(

∴x

0 1 2 3

p

51227 512135

512225

512

125

12分

则815

512125351222525121351512270=?+?+?+?

=Ex ………………………………13分 (或: 8

15

853=?=Ex )

18. （本小题满分13分）

如图，四棱锥P ABCD -中，侧面PDC 是边长为2的正三角形，

且与底面垂直，底面ABCD 是60ADC ∠=的菱形， M 为PB 的中点.

(Ⅰ)求PA 与底面ABCD 所成角的大小； (Ⅱ)求证：PA ⊥平面CDM ；

(Ⅲ)求二面角D MC B --的余弦值.

解：(I)取DC 的中点O ，由ΔPDC 是正三角形，有PO ⊥DC ．

又∵平面PDC ⊥底面ABCD ，∴PO ⊥平面ABCD 于O ．

连结OA ，则OA 是PA 在底面上的射影．∴∠PAO 就是PA 与底面所成角．

∵∠ADC =60°，由已知ΔPCD 和ΔACD 是全等的正三角形，从而求得OA =OP =3．

∴∠PAO =45°．∴PA 与底面ABCD 可成角的大小为45°．……………………………4分 (II)由底面ABCD 为菱形且∠ADC =60°，DC =2，DO =1，有OA ⊥DC ．

建立空间直角坐标系如图，………………………………………………………………5分

则(3,0,0),(0,0,3),(0,1,0)A P D -, (3,2,0),(0,1,0)B C ． 由M 为PB 中点，∴33(

,1,)M ．

∴33(

,2,),(3,0,DM PA ==(0,2,0)DC =．

∴3200PA DM ?=

?=，

0200(0PA DC ?=?+?=．

∴PA ⊥DM ，PA ⊥DC ． ∴PA ⊥平面DMC ．……………………………8分

(III)33(

,0,),(3,1,0)CM CB ==．令平面BMC 的法向量(,,)n x y z =， 则0n CM ?=，从而x +z =0； ……①, 0n CB ?=，从而30y +=． ……②

由①、②，取x =?1，则1y z ==． ∴可取(1,3,1)n =-．……………10分

由(II)知平面CDM 的法向量可取(3,0,PA =，…………………………11分

∴cos ,5||||5n PA n PA n PA ?<>=

==-．

∴所求二面角的余弦值为－

．…………………………………………………13分 法二：（Ⅰ）方法同上

（Ⅱ）取AP 的中点N ，连接MN ，由（Ⅰ）知，在菱形ABCD 中，由于60ADC ∠=，则AO CD ⊥，又PO CD ⊥，则CD APO ⊥平面，即CD PA ⊥，

又在PAB ?中，中位线//

MN 12AB ，1

//2

CO AB ，则//MN CO ，则四边形OCMN 为，所以//MC ON ，在APO ?中，AO PO =，则ON AP ⊥，故AP MC ⊥而MC CD C =，

则PA MCD ⊥平面……………………………………………………………………………8分

（Ⅲ）由（Ⅱ）知MC PAB ⊥平面，则NMB ∠为二面角D MC B --的平面角，在

Rt PAB ?中，易得PA =PB ===

cos

AB PBA PB ∠=

==

，

cos cos()NMB PBA π∠=-∠=故，所求二面角的余弦值为.

…………13分

19. （本小题满分13分）

设椭圆:C )0(122

22>>=+b a b

y a x ，其长轴是短轴的两倍,以某短轴顶点和长轴顶点为端点

的线段作为直径的圆的周长为π5. (Ⅰ)求椭圆C 的方程；

(Ⅱ)若直线l 与椭圆相交于B A ,两点,设直线OB l OA ,,的斜率分别为

)0(,,,21>k k k k 其中.OAB ?的面积为S ,以OB OA ,为直径的圆的面积分别为21,S S .若

21,,k k k 恰好构成等比数列,求

S

S S 2

1+的取值范围. 解：(Ⅰ)由题可知，b a 2=且522=+b a ，解得：1,2==b a ，

故椭圆的方程为：14

22

=+y x ………………………………………………………4分 (Ⅱ)设直线l 的方程为m kx y +=，),(11y x A ，),(22y x B

由?????=++=142

2y x m kx y 可得0)1(48)41(222=-+++m kmx x k ，由韦达定理有： ???

????+-=

+-=+22

2122141)1(4418k m x x k km x x 且0)41(1622>-+=?m k …………………………………6分 21,,k k k 构成等比数列，∴212k k k ==

2

121))((x x m kx m kx ++，即：0)(2

21=++m x x km

由韦达定理代入化简得：412

=

k . 0>k ，∴2

1

=k ……………………………8分 此时0)2(162

>-=?m ，即)2,2(-∈m .

故d AB S ?=

||21

22121||||121k

m x x k +?-+=

||4)(2

1

21221m x x x x ?-+=

||22m m ?-=……………………………10分 又=+21S S )(42

2222121y x y x +++?π)24

343(42221++?=x x π

2]2)[(16321221ππ+-+?=x x x x 45π

=

为定值. ……………………………12分 ∴

S S S 21+?=4

5π

|

|212m m ?-?≥

4

5π

当且仅当1=m )2,2(-∈时等号成立. 综上：

S S S 21+?+∞∈),4

5[π

………………………………………………………13分

20．（本小题满分14分）

已知函数()2

41x a

f x x -=

+在区间[],m n 上为增函数， （Ⅰ）若=0,=1m n 时,求实数a 的取值范围;

（Ⅱ）若()()4f m f n =-。则当()()f n f m -取最小值时， （ⅰ）求实数a 的值；

（ⅱ）若112212(,),(,)()P x y Q x y a x x n <<<是()f x 图象上的两点，且存在实数

()0,x a n ∈使得21021

()()

'()f x f x f x x x -=

-，证明：210x x x <<.

解：()()()

()

()

()

222

2

22412422211x x x a x ax f x x x +-----'=

=

++，………………2分

（Ⅰ）若=0,=1m n 时, ()0f x '≥在[]0,1上恒成立，

即2

220,x ax --≤即2

2a x x ≥-在[]0,1上恒成立, 令22y x x

=-

，'2220y x =+>，2

2y x x

∴=-在(]0,1单调递增，

max 220a x x ?

?∴≥-= ??

?.………………5分

（Ⅱ）（ⅰ） 因为()()()()

4f n f m f n f m -=+-≥=????，

当且仅当()()2f n f m =-=时等号成立。……………………………7分:

http://wx .由()2

421n a f n n -=

=+，有()2

210a n -=-≥，得0a ≤； 由()2

421m a f m m

-==-+，有()2

210a m =+≥，得0a ≥； 故()()f n f m -取得最小值时，0a =，1n =。………………9分

（ⅱ）此时，()()

()

2

002

20

411x f x x -'=

+，

()()()

122122

211241()()11x x f x f x x x x x --=-++， 由21021()()

'()f x f x f x x x -=-知，()()()

2012222212011111x x x x x x --=+++，……………10分 欲证210x x x <<，先比较

()2

220

11x x -+与

()2

1221

11x x -+的大小,

()()

()()()

2

2

2

112122

222222120

1

1111111111x x x x x x x x x x -----

=-+++++ ()()()()2121212

2221

2

211x x x x x x x x -+-=++()()()()

121122

2221

2

211x x x x x x x x --+????=

++ 因为1201x x <<<，所以1201x x <<，有()112220x x x x -+>， 于是()()12112220x x x x x x --+

()()2

2

122

220

1

11011x x x x ---

<++，……12分

另一方面，()()()()()()

2222222

21

01010

1

222222220101

3111111x x x x x x x x

x x x x -++----=

++++， 因为221001x x <<，所以2222101030x x x x ++->，从而22

100x x -<，即10x x <。

同理可证20x x <，因此210x x x <<. ……………14分

21. 本题（1）、（2）、（3）三个选答题，每小题7分，请考生任选2题做答，满分14分，

如果多做，则按所做的前两题计分. 作答时，先用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中. （1）（本小题满分7分）选修4—2；矩阵与变换

已知在一个二阶矩阵M 的变换作用下，点A(1,2)变成了点A′(4, 5)，点B(3，－1)变成了点B′(5,1)． （Ⅰ）求矩阵M ；

（Ⅱ）若在矩阵M 的逆矩阵的变换作用下，点C(x,0)变成了点C′(4，y)，求x+y 的值.

解：（Ⅰ）设该二阶矩阵为a b M c d ??

???

＝， 由题意得1425a b c d ??????= ??? ???????,3511a b c d ??????= ??? ?-??????,所以24

25

3531

a b c d a b c d +=??+=?

?-=?

?-=? 解得2,1,1,2a b c d ====,故2112M ??

???

＝…………………3分

（Ⅱ）因为1212133det 30,121233M M -??

- ?

==≠= ?- ?

??

， 212044333

,,6,2,1201

0333

x x x y y x y ???-+=???? ??===-? ? ? ??????--+= ????解得4x y ∴+=.…………7分

（2）（本小题满分7分）选修4—4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy 中，圆O

的参数方程为cos sin x r y r θθ?=???=?，(θ为参数，0r >).以O

为极点，x 轴正半轴为极轴，并取相同的单位长度建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为

(

)

sin 4

πρθ+=（Ⅰ）写出圆心的极坐标，

（Ⅱ）求当r 为何值时，圆O 上的点到直线l 的最大距离为3.

解：（Ⅰ）圆心的极坐标()

51,

4π.…………………………………………………………3分

（Ⅱ）直线为10x y +-=

，圆心O ? ?

?

到直线的距离d =. 圆O

3r =

，解得2r =.……………7分

（3）（本小题满分7分）选修4—5：不等式选讲

（Ⅰ）设a a ∈≠R 且

a 的大小．

（Ⅱ）求函数y 解:

)

2a =

0a a =当时；

a a <当；

0a a a >≠当时.…………………………3分 []-2,1(II)函数定义域为，

[

]2

(12)x x +≥

由柯西不等式得（1-）+（2+）,

即

2

9,3≤≤

max

=03x =当且仅当.……………………7分