线性回归中的相关系数

线性回归中的相关系

数

Revised on November 25, 2020

线性回归中的相关系数

山东胡大波

线性回归问题在生活中应用广泛，求解回归直线方程时，应该先判断两个变量是否是线性相关，若相关再求其直线方程，判断两个变量有无相关关系的一种常用的简便方法是绘制散点图；另外一种方法是量化的检验法，即相关系数法．下面为同学们介绍相关系数法．

一、关于相关系数法

统计中常用相关系数r来衡量两个变量之间的线性相关的强弱，当

x不全

i

为零，y i也不全为零时，则两个变量的相关系数的计算公式是：

r就叫做变量y与x的相关系数（简称相关系数）．

说明：（1）对于相关系数r，首先值得注意的是它的符号，当r为正数时，表示变量x，y正相关；当r为负数时，表示两个变量x，y负相关；

（2）另外注意r的大小，如果[]

r∈，，那么正相关很强；如果

0.751

[]

，或[)

0.300.75

r∈，，那么相关

r∈--

0.750.30

r∈--

，，那么负相关很强；如果(]

10.75

性一般；如果[]

0.250.25

r∈-，，那么相关性较弱．

下面我们就用相关系数法来分析身边的问题，确定两个变量是否相关，并且求出两个变量间的回归直线．

二、典型例题剖析

例1测得某国10对父子身高（单位：英寸）如下：

（1）对变量y与x进行相关性检验；

（2）如果y 与x 之间具有线性相关关系，求回归直线方程；

（3）如果父亲的身高为73英寸，估计儿子身高．

解：（1）66.8x =，67y =，102

144794i

i x ==∑，10

2144929.22i i y ==∑，4475.6x y =，2

4462.24x =， 24489y =，10

144836.4i i i x y ==∑，

所以10i

i x y nx y r -∑

80.40.9882.04

=≈≈， 所以y 与x 之间具有线性相关关系．

（2）设回归直线方程为y a bx =+，则

101

102211010i

i i i i x y xy

b x

x ==-=-∑∑44836.4447560.46854479444622.4

-=≈-， 670.468566.835.7042a y bx =-=-?=．

故所求的回归直线方程为0.468535.7042y x =+．

（3）当73x =英寸时，0.46857335.704269.9047y =?+=，

所以当父亲身高为73英寸时，估计儿子的身高约为英寸．

点评：回归直线是对两个变量线性相关关系的定量描述，利用回归直线，可以对一些实际问题进行分析、预测，由一个变量的变化可以推测出另一个变量的变化．这是此类问题常见题型．

例2 10名同学在高一和高二的数学成绩如下表：

其中x 为高一数学成绩，y 为高二数学成绩．

（1）y 与x 是否具有相关关系；

（2）如果y 与x 是相关关系，求回归直线方程．

解：（1）由已知表格中的数据，利用计算器进行计算得

101710i i x ==∑，101723i i y ==∑，71x =，72.3y =，10151467i i i x y ==∑．

102150520i i x ==∑，102152541i i y ==∑．

0.78=≈．

由于0.78r ≈，由0.780.75>知，有很大的把握认为x 与y 之间具有线性相关关系．

（2）y 与x 具有线性相关关系，设回归直线方程为y a bx =+，则 101

102

2211051467107172.3 1.2250520107110i

i i i i x y x y

b x

x ==--??==≈-?-∑∑， 72.3 1.227114.32a y bx =-=-?=-．

所以y 关于x 的回归直线方程为 1.2214.32y x =-．

点评：通过以上两例可以看出，回归方程在生活中应用广泛，要明确这类问题的计算公式、解题步骤，并会通过计算确定两个变量是否具有相关关系．