第二章 古典希腊数学
第二章古典希腊数学
当巴比仑文明和埃及文明方兴未艾之际，地处爱琴海附近的希腊文明开始发展起来。从时间上讲，希腊文明要晚于巴比仑文明和埃及文明，实际上，希腊文明是在巴比仑文明和埃及文明的基础上发展起来的。因此他们从一开始就站在一个更高的起点上，这就使得他们能够走得比巴比仑和埃及人更远。
希腊人在数学上的一个重大成就是他们建立起了演绎数学——欧几里德几何。数学的演绎化对人类文明产生了深远的影响，希腊人通过自已的创造性劳动，把人类文明推进到了一个空前的高峰，以至现在的很多学科都可以在希腊文明中找到源头。尽管希腊文明后来在罗马帝国、基督教、伊斯兰教的多重打击下衰落了，但希腊人的创造性劳动却没有被消灭。他们在人类文明史上的贡献是不可磨灭的。
1．历史背景
古代希腊的地理范围，包括希腊半岛爱琴海诸岛和小亚细亚的西部沿海地带，以及意大利南部、西西里、克里特、罗德斯、第罗斯和和北非。据现在的史书记载，希腊文明至少可追溯到公元前2800年以前。大约在公元前八世纪，希腊进入了奴隶制阶段，社会经济进一步发展起来，产生了许多奴隶制城邦。这些城邦的领域一般不大，通常是以一个城市为中心，包括周围的若干村落。各城邦原则上是独立的，同时也以结盟的方式保持着政治、军事上的联系。他们虽然没有建立起一个统治的国家，但在文化、宗教信仰、风俗习惯等方面基本保持一致。古希腊没有公认的神权，人们信奉多神教。大约在公元前775年左右，希腊人把他们用过的象形文字书写系统换成腓尼基人的拼音字母，这就使希腊人更有能力记载他们的历史和思想了。
从公元前六世纪开始，雅典和其它少数城邦的新兴工商业奴隶主进行了一系列改革，建立了奴隶主民主政治，这种民主政治虽然有很大的局限性，但是它削弱了贵族的权利，有利于工业的发展，也振奋了人们的精神。
希腊人创业之后，便游访巴比仑、埃及并与之进行贸易往来，在进行贸易往来的同时，希腊人也学习埃及和巴比仑的数学和科学。
小亚细亚爱奥尼亚地区的一个城市米利都，被认为是希腊哲学、数学和科学的诞生地。那里几乎肯定受到埃及和巴比仑的影响，米利都是濒临地中海的一个富庶的商业大城，来自希腊本土，腓尼港和埃及的船舶都驶进它的港口。往东有商队大道与巴比仑相通，公元前六世纪中叶（540年左右），爱奥尼亚地区落入波斯人之手，他们允许米利都保持一些独立性，在公元前494年，波斯统治者镇压了小亚细亚的希腊人的反抗，对米利都实行了残酷的屠城，至此，爱奥尼亚的重要性就此衰落。希腊文化便转移到雅典地区。
公元前479年，以雅典为首的希腊同盟军彻底击溃了波斯军队，消除了外来威协，从此希腊依靠聚敛的财富和军事实力迅速繁荣起来。雅典的统治者佩里克尔斯是明智的政治家，他利用聚敛的财富把雅典建成了一个气势宏伟的文化中心。一些优秀的学者纷纷汇集雅典，他们在雅典著书立说，创立了各种流派，象柏拉图、亚里土多德就是这一时期的著名代表。他们创造性的劳动把古雅典希腊数学哲学和科学推进到一个前所未有的高峰，为进一步的发展打下了坚实的基础。
古代希腊文明虽然一直延续到公元600年，但以数学史的观点来讲，需把它分为两个时
期，一个是从公元前600年到公元前300年的古典时期，一个是从公元前300年到公元前600
年的亚历山大里亚时期。在这一章里，我们主要讨论古典希腊时期的数学。
2． 希腊的记数系统
尽管希腊的数学是在巴比仑和埃及数学的基础上发展起来的，但他们并没有采用巴比仑
和埃及的记数系统（可能他们发现了巴比仑和埃及记数系统的缺陷），而是独立地创造了自已
的记数法，古典时期的记数法有两种：一种称为阿提喀记数法（阿提喀是雅典所在地区），另
一种称为爱奥尼亚记数法。
1） 阿提喀记数法最早出现于公元前450年，这种记数法是以10为基数的，其表示
方法如下：
1 11 111 1111 )(∏Γ 1Γ 11Γ 111Γ 1111Γ ? 1?
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
11? (1111)
?Γ ?11 ?111 …… ?Γ1 H X 12 19 20 30 60 100 1000
例如 2857可记为X
X HHH
11Γ，325可记为HHH ??Γ。
阿提喀记数法带有埃及记数法的痕迹，因此当数值较大时其记数仍然是不方便的。这种
记数法一直持续到公元一世纪以前，后来便被爱奥尼亚记数法代替。
2）爱奥尼亚记数法
希 腊 雅典
米利都 地 中 海 小 亚 细 亚 马 其 顿
尼
罗河
爱 琴 海 埃 及 爱 奥 尼 亚 海 亚
德 利
亚
海
罗
马
爱奥尼亚记数法最早为毕达哥拉斯学派所采用，它借助27个字母来表示数，爱奥尼来记
数法如下：
1 2 3 4 5 6 7 8 9
个 _α _β _γ _δ _ε _? _ζ _η _θ
十 _ι _κ _λ _μ _γ _ξ _ο _π _9
百 _ρ _σ _τ _ν _? _χ _ψ _ω _犭
其中，6，90，900的符号[],Stigma ?[]Koppa 9，[]Sampi 犭是腓尼基字母表中的旧字母，
其余24个是希腊字母表中的字母。为了把数与字母区别开来，在每一字母上面画一条横线，
利用这27个字母，可以表示1—999中的数字。
例如：325表示为___εκτ，827表示为___ξκω，若要表示若干千的数，采用在1—9的符号
左下角加一小段的直线来表示：如10001=α，31109?=θ。若要表示若干万的数，则用M
上方加字母来表示。例：410=αM ，……，4109?=θ
M 。
3． 算 术
希腊人的加、减、乘运算同我们现在所用的方法基本一致，但乘法是从高位到低位进行
的，至于希腊人是怎么做除法的，现在还不知道。
4．分数
希腊人把分数表示为两个整数之比n m /，他们把数的分子和分母的数依次写成一行，用
重复的数表示分母，并且在分子的右上角加一撇，在分母的右上角加两撇。 例如：19
13'''''=κθκθιγ。 对于较大的分数，用特殊符号表示。例如：21"_=τ，211"__=ια，212''__=ιβ，2
13''_=ιγ。 古典时期的希腊人没有把分数看作数的整体，而只是把它当数的比率。
分数在古希腊的应用不晚于公元前五世纪，它们不仅被用于几何计算和商业计算，而且
被用于音乐理论，音乐理论甚至被称为分数的算术。那时候，希腊人已熟练地掌握了分数运
算，他们在分数的加减中引入了公分母的概念。与此相关联，也就出现了最小公倍数的概念。
在带分数相乘时，或者把每个因子化为纯分数或者利用分配性质进行，在作除法运算时要先
通分，然后归结为整数的除法。
在爱奥尼亚记数中，记的最大数是1108
-。爱奥尼亚记数法虽然以10为基数，但不是
位制（如9+1=10，但___ιθα=+），符号过多，不是进位制。例：101_
_αρ。因此仍然是一种不
完整的记数法。
5．开方
古典时期的数学家对开方运算是回避的，因为会碰到无理数，而无理数与古希腊人的信
念是不一致的。古希腊人认为，任何数都是可公度的，即可采用整数的比率来表示，而无理数却是不可公度的，毕达哥拉斯学派在表示2时，先用25/49来表示2，然后得出5/7，
爱奥多勒斯在表示时，可能是先用16/49代替3，然后求出4/7。
公元前五—四世纪，希腊人有求平方根的近似方法，用现代符号来表示，设N 是非平方
数，如果b a N +=2（2a 是包含在N 中的最大平方数），那么按巴比仑开方公式可得到一个
近似值： a
b a b a N 22+
=+=， +-++≈+2!
2)1(1)1(x x x αααα x α+≈1。 由于古典希腊人鄙视算术，所以从塞勒斯起的300年，这个分支几乎没有什么进展。
4． 古典希腊时期的几大学派
古典希腊数学是在相继几个中心先后发展起来的，每个中心都有一个代表人物。并在这
些代表人物的带领下开展数学研究。这样希腊数学就形成了很多学派。主要的学派有下列几
个。
1） 爱奥尼亚学派
学派的代表人物是塞勒斯（前600~500年），大约生活在公元前600年至公元前500年之
间，可能一生主要生活和工作于小亚细亚的米利都，也可能出生在那里，他一生游历甚广，
曾到过埃及，并在那里学习了埃及的几何学，回国后使米利都人知道了埃及的几何成就。塞
勒斯是一个多面手，早年曾经经商，积累颇丰，他的后半身则致力于数学研究。塞勒斯是希
腊数学史上第一个值得提及的人物。下述初等结果是他的功绩：
① 圆的任何直径把该圆二等分；
② 等腰三角形两底角相等；
③ 两直线相交，对顶角相等；
④ 两角及一对对应边相等的两个三角形全等；
⑤ 半圆上的圆周角是直角。
后人曾报导数学的抽象化和一些定理的演绎证明归功于他，但至今没有找到足够的证据。
传说他曾用一根已知长度的杆子，以及金字塔在地面上的影子，测量出了金字塔的塔高。他
所使用的方法相当于现在的相似三角形法。
公元前494年，波斯人镇压了希腊人的反抗，并对米利都进行屠城，当地的学者纷纷逃
往希腊的雅典地区，爱奥尼亚的重要性就此衰落了。
就对数学本身的贡献来说，爱奥尼亚学派的成就是微不足道的，但他们从巴比仑人、埃
及人那里接过的数学文明之火，却使希腊文明得以迅速发展起来。因此他们对埃及、巴比伦
文明的传递高于他们在数学研究上取得的功勋。
2） 毕达哥拉斯学派
该学派的代表人物是毕达哥拉斯（约公元前585~公克前497年），他生于靠近于小亚细亚
的萨摩岛，生平不清楚，传说生于公元前585年，早年曾在塞勒斯处学过一段时间，因此他
是塞勒斯的学生。然后他便到处游历，其中到过埃及和巴比仑，然后他定居于意大利南部的
希腊属地克洛吞，并在那里授徒，成立了一个宗教、科学和哲学性质的邦会。据说该学派的
成员除了参与数学、物理研究以外，也参与政治活动，他们同贵族党派结盟，因而被民主党
派赶走。毕达哥拉斯本人逃到邻近的米太旁登。公元前497年被害于该处。他的门徒便散居
到其它学术中心，继续传授他的学说。
毕达哥拉斯在数学史上的主要贡献可归结为下列几点：
① 数学的抽象化
数的本原学说：万物由数而生，数是万物的本原，是一切可感知事物的生存元，是认识事
物、感知事物的出发点。他们心目中的数就好象我们心目中的原子一样。他们不把数和几何
上的点分开，因此他们从几何的角度来认识一个数，他们把数从实物中抽象出来，并凭心智
来考虑抽象问题，他们创立了纯数学，把数学看成是一门高尚的学问。
② 原始数论
毕达哥拉斯学派最早是用石子在沙滩上摆放来研究数的，三角形数：
毕达哥拉斯把满足关系式：1，21+，321++，…，n +++321这样的数叫三角形
数。并通过对三角形数的研究，得出了公式：2
)1(321+=+++n n n 。 正方形数：
1，4，9，16，…这些数他们称之为正方形数，因为用点表示时可把它们排成正方形。合
数（非质数）中凡不恰好是正方形数的，则叫做长方形数。
把代表数的点子排成几何图形后，整数的一些性质就变得很明显。例如在图的第三个图形
中画了一道斜杠之后，便可看出相继两个三角形数之和是个正方形数。这个关系是普遍成立
的，若用现代记法，人们可以看出 2)1()2(2
1)1(2+=++++n n n n n 。至于说Pythagoras 学
派能证明这个一般结论，那是成问题的。
毕达哥拉斯学派也研究五边形数，六边形数。
完全数：一个数等于其全部因子之和（例：6，28，496），盈数：一个数大于其全部因子
之和（例：8 ）1+2+3），亏数：一个数小于其全部因子之主（例：12〈 1+2+3+4+6〉，亲和
数：有两个数，彼此等于另一个数的因子之和（284，220），毕达哥拉斯学派宣称：“谁是我
的朋友，就象284和220一样”。
毕达哥拉斯三元数组：即满足2
22z y x =+的z y x ,,，例：3，4，5。
③ 毕达哥拉斯定理（勾股定理）及其证明。
勾股定理是古埃及、中国等早就知道的，但却没有给出证明，而毕达哥拉斯学派给出了这
一定理的证明，它是数学史上第一个名符其实的定理。据说毕达哥拉斯证明了这个定理后十
分兴奋，他为此宰了100头牛，将他的亲朋好友全部请来，大吃了一顿，以表示庆贺。
另外，三角形内角和定理、三角形、平行线、四边形、相似三角形、面积、圆球、正多边
形的一些定理也是毕达哥拉斯学派发现的，他们的工作已基本奠定了现代初等几何的雏形。
④ 演绎体系的提出
希腊人对数学的重大贡献，是坚持一切数学结果必须根据明白规定的公理用演绎法推出，
但早期毕达哥拉期学派是否证明了他们的几何结果，目前没有可靠的证据证实这一点，比较
合理的回答是，早中期毕达哥拉期学派曾试图对他们的结果给出证明，后期的毕达哥拉斯学
派则可能对他们的结果给出了证明。
毕达哥拉斯所说的数是整数，按照当时希腊人的哲学观点，任何物质都是由不可再分的
细小微粒和虚空组成，这一观点反映了毕达哥拉斯学派的数学上，就是所谓的可公度理论：
即任何一个数都可以表示成两个整数之比，他们把这样的数叫做比数。这一理论叫做可公度
理论。由于整数a 可以看成是1/a ，即整数a 与整数1之比，因此毕达哥拉斯学派的比数相
当于现在的有理数。
但后来他们发现当正方形的边长为1时，它的对角线的长2是一个不可公度量。即找
不到这样的数n m ,，使2=n m 。相传不可公度量是毕达哥拉斯学派的一个成员希帕萨斯
在一次航海时发现的，这一发现给毕达哥拉斯学派带来了极大的恐慌，他们一怒之下把希帕
萨斯扔进了海里，这就是数学史上有名的第一次数学危机。
不可公度量的发现，之所以使毕达哥拉斯如此恐慌，其根本原因就在于毕达哥拉斯学派
所进行的数学研究证明是建立在任何数都可公度这一信念上。为证明这一点，我们来看他们
证明过的一个定理：等高的三角形面积之比等于它们底边之比。
证明：作BX ，使mBX BX =，nBX DE =，把BC ED 等分，每份长为BX 。于
是ABX m ABC ?=? ，nDY ADE =? ，∵DY BX =， ∴ ADY ABX ?=?，
∴ABC ?：m ADE =?：n =BC ：DE 。
据说毕达哥拉斯学派采用上述方法证明了几百个定理，随着不可公度量的发现，使他们
的证明都不能成立了。
不可公度量的发现，使希腊陷入一片逻辑恐慌之中，他们按照可公度理论建立起来的一
整套逻辑大厦顷刻之间便崩塌了，仿佛世界的末日就要降临了。为了保住他们赖以生存的信
条，他们将不可公度量当作天机秘藏，严禁泄露。然而，纸是包不住火的，不可公度量就象一个幽灵，不时出现，威胁着毕达哥拉斯学派赖以生存的大厦。他们很快发现除了2以外，象7,5,3等这些量也是不可公度的。实际上，2是不可公度量的证明正是由毕达哥拉
斯学派自已给出的。他们用的是间接证法—归谬法，证明过程如下： 设p
q =2（p 、q 互质）则222q p =，∴2q 是一个偶数。而只有偶数的平方才能为偶数，∴q 是一个偶数。设K q 2=，则224K q =，于是2242K p =，222K p =。∴2p 是
一个偶数。从而p 是偶数。于是p 、q 有公约数为2，矛盾。
这个证明是数学史上一个最为精彩的证明。它与我们现在的证明方法完全相同。
3）．厄里亚学派
无理数的出现，在当时的希腊数学界诱发了一场深刻的危机，它使整个希腊数学陷入了
一片难于自拔的逻辑矛盾之中。危机的焦点就在于怎样来看待（或处理）离散与连续的关系？
整数代表离散的对象，而可公度的数则是所有这些离散对象的集合。用今天的观点来看，
就是有理数集合，而线段的长度、面积、体积、时间等概念则是连续的对象。在这些对象中，存在不可公度的量（如2），用今天的观点来说，就是无理数。但希腊人只接受有理数，不承认无理数，这就使得由2引发的数学危机难以得到解决。
在当时，主要有两种对立的观点：
1） 时间是连续的，无限可分的，因此是平滑的。
2） 时间和空间是由不可分的小段组成的，因此运动是一连串的跳动（象电影那样）。
两种观点对立的结果，是导致了芝诺的四个悖论的产生。在这四个悖论中，前两种反对
第一种观点，而后两个则反对第二个观点。
芝诺悖论：
1） 两分法悖论：“运动不存在，因为运动中的物体到达B 点 必须先到达C 点，而要达
到C 点，又必须先到达D 点，如果空间有限可分，从而在有限时间内就要通过无限
多个点，而这是不可能的”。
这一悖论的关键是芝诺把时间当作是有限可分的，而将长度看作是无限可分的，从而引
出了矛盾。
2）神行太保悖论：“神行太保追不上乌龟”。跑得最快的东西追不上跑得最慢的东西，因
为追赶者必须到达被追赶者出发的点。因而行动慢的东西始终在前头。
这一问题与前一问题实际上是相同的，只是不再二分。
3）飞箭不动悖论：“如果时间是由有限的不可再分的一些瞬时片段组成，那么，飞行的
箭是不动的。因此，在每一瞬时单元，箭都是不动的，从而箭就不能处于运动状态”。
如果不承认时间具有不可再分的单元，这一悖论就站不住脚了。
4）操场悖论：“设有A、B、C三队兵，并设在最小的时间性单元内移动，B向左移动一位而C向右移动一位，于是相对于B而言就移动了两位，因此定有一个较小的时间单元，否则单个时间单位将等于一个时间单位”。
正所谓：“屋漏偏逢连夜雨，船破又遇顶头风”。本来2已经够让毕达哥拉斯学派苦恼
的了，谁知芝诺又一而再，再而三、三而四的给出了四个悖论，这四个悖论进一步突出了有限和无限，离散与连续之间的矛盾。其结果是进一步加深了业已存在的数学危机，希腊数学就在这一片混乱中过去了。
芝诺悖论诘难了时间和空间不能无限可分，因而运动是间断的观点，这对数学的严谨化无疑是一个推动力，可惜希腊人在严重的挑战面退缩了，失去了一次建立严谨数学的良机。另一方面在当时的条件下，希腊人当时确实还不具备这样的能力。
4）辩学派
公元前479年，波斯人在一个叫迈开里的地方战败后，雅典便成为希腊城邦联盟中主要的城市和商业中心，从事贸易所得的财富使雅典成为当时最富庶的城市，许多其他地方的学者都被吸引到雅典，从而使雅典成为一个新的数学研究中心。
雅典的第一个学派是巧辩学派，巧辩学派研究的主要目标之一就是用数学了解宇宙是如何运行的。按照巧辩学派的看法，上帝是按照几何规律来设计大自然的，自然界也是按照几何规律来运作的，在这一思想指导下，他们认为任何一个几何图形都可以用没有刻度的直尺与圆规作出。
在他们的研究中，引出了三个著名的作图问题（用没有刻度的直尺和圆规作图）。
①作一个正方形，使其与给定的圆等面积（化圆为方）；
②（倍立方体）给定立方体的一边，求作另一个立方体的边，使其体积为前者的两倍；
③三等分任意角。
这些作图问题的起因有多种说法，例如：关于倍立方体的一种说法是，第罗斯地方的人遭受了瘟疫，人们于是求救于巫神，巫神告诉他们要把现有的立方体祭坛加倍，但第罗斯人是知道立方体祭坛不能加倍的，于是他们就去找当时一个大学问家柏拉图，柏拉图说，巫神并不是要双倍的祭坛，而是借此谴责第罗斯人对数学不够尊崇。
但实际上，三大难题是希腊人研究作图问题的一个结果。比如，他们作了二等分角，自然就想到作三等分角，除此以外，他们还碰到其他一些作图难题，只是不象上述二个有名罢
了。
希腊人对三大作图问题上的研究。
1）倍立方问题
希波克拉茨在研究倍立方问题时取得了一些进展，他把这个问题一般化，用现代记法，归
结于求一个与已知直角六面体b a 2等体积的正方体：b a x 2
3=相当于求这样的x 、y 。
使得 b
y y x x a == 。将上式变形，得ay x =2,xb y =2， xb a
x =22
)(,b a x 23=,∵a b 2=，∴332a x =,a x 32=。 而用直尺和圆规是不可能作出的。
如果倍立方问题不限于尺规，这一问题是可以解决的。下面的“柏拉图作法”就是其中
的一种。
a OB =，a OA 2=，设 x ON = ，y OM =， 则 y a x ?=2
，（射影定理）a x y 22?=，∴ a
y y x x a 2==。于是x 就是所求立方体的边。但这种方法不能作为尺规作图法来获得承认，因为使用了直角尺而不是直尺。因此倍立方问题就遗留下来了。
（2）三等分任意角
公元前五世纪，巧辩学派的代表人物希比亚斯（前460~？）为了解决三等分任意角问
题，引入了一条超曲线—割圆曲线。他的方法是这样的：
在矩形ABCD 中，BC 匀速下落，直到与AD 边重合，同时AB 沿顺时针方向绕A 点匀
速旋转，直到与重合，这两条直线交点的轨迹叫割圆曲线。这条曲线上每点的纵坐标与相交的夹角成正比，即：1
1??=y y ，这样，把角任意等分问题就归结为将AB 边任意等分问题。然而确定割圆曲线的终点G 点是无法用尺规作出的。
另一种方法是嵌插线段法。这种方法是嵌插一条线段，使它的两个端点位于给的直线而且
它本身通过定点。
设∠ABC 为已知角，嵌插线段AB DE 2=，作DE 的中点F ，由图可得 ：
DE AF AB FE DF ===， ∠=ABF ∠=AFB 2∠=AEF 2∠CBD ，
∴ ∠ ABC CBD 3
1=。 为了实现这种方法，需要在光滑的尺上刻两点，使它们之间的长度等于定数，绕定点旋
转直尺。注意使尺上一点沿其中一条给定直线运动，直至另一点落在另一条直线上为止。这
样做超出了尺规作图的条件，因此不能算是作出。
（3）化圆为方
化圆为方问题，归结为求线段0r 和π的积22r a π=，π?=r a ，而π不能用直尺
和圆规作出，这是1000多年后经过许多数学家的不懈努力才得出的结论。古希腊人不了解这
一点，因此总是试图在这个问题上取得突破。
搞化圆为方最出色的是希波克拉茨。他证明了圆弧图所在的月形面积可以化为三角形的
面积，这一结论称为月形定理。下面我们来看他的月形定理。
在ABC ?的三条边上各作一个半圆，形成两个月形, 毕达哥拉斯定理可得到AB 上那个半圆的面积22
1r π与其余两个半圆面积之和22212
121r rr ππ+相等，如果从图形中移去AB 中的半圆，则剩下两个月形的面积。如果移去AC 、BC 上的两个半圆，则剩下ABC ?的面积，
∴ABC ?的面积等于两个月形面积之和，用于正方形，则得到正方形上两个月形面积之和等于正方形面积的一半。
即然月形能化为正方形，那么半圆也能化为正方形，然而这是不成立的，事实上圆内接
正六边形上的半圆月形不能为正方形。
希腊人在对几何三大难题的研究中，创造出了穷竭法——极限方法。这一方法对后来数
学的发展起了极大的推动作用。
5）柏拉图学派
这一学派的代表人物是柏拉图（公元前427~公元前347年）。柏拉图出生名门，早年有政治抱负，希望今后能从政。但他的老师苏格拉底被杀害后，他深信政治是十分肮脏的东西，一个有良知的人不能搞政治，而应研究高尚的学问。他曾游历过埃及，并到过意大利南部。在那里，他经常与毕达哥拉斯学派进行交流，毕达哥拉斯学派对他的影响就是通过这些接触得来的。公元前387年左右，他在雅典地区成立了学院，柏拉图的学院在很多地方都象现在的大学。学院有场地、房屋、有学生，也有柏拉图及其助手讲授的课程。在古希腊时期，数学和哲学是学院里所喜欢的学科，数学的主要研究中心在公元前300年左右移到了亚历山大里亚。在整个亚历山大里亚时代，柏拉图学院一直领导着希腊哲学界，学院维持了900多年之久，直到529年，信奉基督教的罗马人因他传播异端学说而将其查封。
柏拉图是那个时代最有学问的人，他本人不是数学家，但他十分喜欢数学，并且深信数学对了解对宇宙有重要作用。因此他鼓励他的学生专研数学。柏拉图学派几乎统治了希腊数学界，在公元前4世纪，几乎所有重要的数学工作都是柏拉图学派作出的。为了鼓励学生研究数学，柏拉图学院的门前挂了一块牌子，上面写着：“不懂几何者，不得入内”。而他本人则更关心把已有的数学知识加以改进并使之完美。
柏拉图学派对数学的主要贡献为：
（1）强调了数学抽象性。把数学当作哲学的模仿，认为数学是智者的学问，他们追求真理、善良、慈爱和智慧，设想理想的社会和完善的国家。他们认为理想世界中的关系是不变的，因而是绝对真理，而绝对真理才是哲学家所关心的。
（2）关心证明、关心推理过程的方法论，有两类推理方法可归功于柏拉图学派：
①分析法；②归谬法（间接法）。
不管柏拉图是否根据明确的公理真正用演绎法整理过数学，有一点可以肯定，至少从柏拉图时代开始，数学就要求根据一些公认的原理作出演绎证明。由于坚持这一观点，希腊人把以前几千年来数学里的所有法则、步骤和事实全部抛弃，而从一种全新的角度来讨论数学，研究数学。
为什么希腊人坚持搞演绎证明呢？这可以从他们的哲学观中寻找到紧密。希腊人是崇尚哲学的。哲学家关心获得真理。实验方法只能给出可能正确的结论，而在前提正确的情况下，演绎法能给出绝对正确的结果。
另一个原因是古希腊的知识阶层轻视实际事务他们认为实际事务是下层的奴隶们干的，而高尚人只研究抽象的东西。他们认为搞买卖是违法行为，应当取缔。
6）欧多克斯学派
欧多克斯（公元前408~公元前355年）是古希腊的大数学家。在整个古代仅次于阿基米德。他于公元前408年前左右生于小亚细亚的奈达斯，曾在太兰吐姆求学，去过埃及，并在那里求学。然后在小亚细亚北部成立了一个学派。公元前368年左右他和他的门徒加入柏拉图学派，几年后他回到奈达斯并于355年死于该地。他不仅是一个数学家，也是一个天文学家、医生、地理学家。
欧多克斯的第一个贡献是关于比例的一个新的理论：
越来越多的无理数被发现，迫使希腊人不得不研究这些数，它们是数吗？用于可公度量的一些证明，怎样才能推广于不可公度的一些量呢？
欧多克斯引入了变量（或称量）这个概念，量不是数，而是代表长度、角、面积、体积、时间这些连续变化的东西。与数不同，数是从一个跳到另一个，因而是间断的，而量是不指
定数值的。然后他定义了量的比，把可公度比和不可公度比都包含在内。
欧多克斯的比例论是为了避免把无理数当作数。他对线段的长度、角的大小都避免给予数值。从而为不可公度量提供了逻辑依据。大大推动了几何学的发展。但欧多克斯的比例论也产生了一些不幸的后果，表现在：他把数和几何截然分开，因为只有几何才能处理不可公度比。他把数学家赶到了几何学家中去。数学被绑在了几何上长达1000多年。在今天，2
x 叫平方，3x 不叫三次方而叫立方。只有2x 、3x 才有意义 ，象4x 、x x x =-32这样的方程或数都是没有意义的。
欧多克斯的又一贡献是使用求曲边形面积最得力的方法——穷竭法。这一方法体现了现代微积公的思想。欧多克斯同时对数学进行过演绎整理。
7）亚里士多德学派
亚里士多德（公元前384~公元前322年）生于马其顿的一个城市史太其拉。他是柏拉图的学生和同事，他们相处20年之久，并于公元前344~公元前340年当亚历山大的老师（亚历山大是国王腓力二世的儿子——王位继承人）。公元前335年，他创立了自已的学派——吕园学派。吕园学派有花园，课堂和艺神的祭坛。
亚里士多德的著作涉及机械学、物理学、数学、罗辑学、气象学等许多领域，他没有专门写过一本数学书，但他在许多在方讨论数学。
亚里士多德对发现数学结果方面没有什么重要贡献，但他对数学的本性及其物理世界发表的看法影响颇大。
亚里士多德讨论定义，他认为定义只不过是给一批文字定个名，他指出定义必须用先存在的所定义的事项的某种东西来表述。他批评“点是没有部公的那种东西”这一定义。因为“那种东西”本身是什么没有定义。他认为未经定义的名词是必要的。因为在一系列定义里总得有开头。
亚里士多德讨论数学的基本原理，他把公理和公设加以区分。他认为公理是一切科学所公有的真理。而公设只是为某一学科所接受的基本原理。他把逻辑原理（如矛盾律、排中律等）都列为公理。公理应越少越好，只要它能证明所有的结果。亚里士多德的某些公理和公设被欧几里德所采用。
亚里士多德的一个重要贡献是创立《形式逻辑学》。早亚里士多德之前，希腊人搞数学推理时就奠定了逻辑的基础，但亚里士多德把这些内容进行了规范化，使之成为一门独立的学科。亚里士多德的逻辑学直到十九世纪没有人能挑出他的毛病。
古希腊时期，是一个百花齐放，派别林立的时期。每一个派别都有自已的核心人物，有自已的独特的思想以及独特的贡献。早期希腊数学家的研究成果由亚历出大里亚时期的欧几里德加以系统的整理后，便诞生了数学史上第一套演绎科学——欧几里德几何。欧氏几何对数学的发展产生了十分深远的影响。亚里士多德的形式逻辑的核心是三段论：大前提（一般原理）；小前提（个别对象）；结论。前提与结论要满足如下规则：
1） 两个否定前提，不能推出任何结论；
2） 从两个肯定前提不能推出否定结论；
3） 如果两个前提中有一个是否定的，那么结论也是否定的；
4） 如果结论是否定的，那么至少有一个前提是否定的。
例如，人是要死的（大前提），苏格拉底是人（小前提），苏格拉底是要死的。
亚里士多德曾想过以某些不证自明的结论出发，以三段论为推理手段，推出所有的定理，但是他未能做到，而欧几里德即应用亚里士多德的逻辑学原理，写出了不朽的名著《几何原本》。
基本逻辑定律
1）同一律：在同一时间内，从同一方面思考或者议论同一事物的过程中，必须始终保持同一的认识。
同一律的公式是A
A 或者“A就是A”，具体的讲：
①思维对象应保持同一，即在思维过程中，所考察的对象是确定的，始终如一的。
②表示同一事物的概念应保持同一不能用不同的。
2）矛盾律：一个命题不能即是真的又是假的。即A与__
A不能同时为真。
3）排中律：一个命题不是真的，就是假的。即A与__
A必有一个是真的。
4）充足理由律：
任何一个判断，必然有充足的理由，即如果有B，则必存在A，使得由A可推出B。
古希腊数学
古代希腊数学 1.古希腊数学的时间 希腊数学一般指从公元前600年至公元400年间 2. 古希腊数学的三个阶段 古典时期的希腊数学（以雅典为中心，公元前600-前339）----哲学盛行、学派林立、名家百出 亚历山大学派时期（以亚历山大里亚为中心，黄金时代，公元前338-前30）----希腊数学的顶峰时期，代表人物：欧几里得，阿基米德，阿波罗尼奥斯 希腊数学的衰落（公元前30-公元前400）----罗马帝国的建立，唯理的希腊文明被务实的罗马文明代替 3.爱奥尼亚学派（米利都学派） 泰勒斯(约公元前625-前547年)----第一位数学家、论证几何学鼻祖 数学贡献：论证数学的开创者 证明的数学定理：1、“圆的直径将圆分成两个相等的部分” 2、“等腰三角形两底角相等” 3、“两相交直线形成的对顶角相等” 4、“两角夹一边分别相等的三角形全等” 泰勒斯定理:半圆上的圆周角是直角 4.毕达哥拉斯学派 毕达哥拉斯（约公元前560-前480） 数的理论：万物皆数 自然数的分类（奇数、偶数、质数、合数、完全数、亲和数）
形数（完全三角形数、正方形数） 不可公度 几何学：基本上建立了所有的直线形理论，包括三角形全等定理、平行线理论、三角形的内角和定理、相似理论等。 毕达哥拉斯定理：在任何直角三角形中，斜边上正方形等于两个直角边上的正 方形之和。（数学中第一个真正重要的定理。） 五角星形与黄金分割 立体几何（正多面体作图）三维空间中仅有五种正多面体：正四面体、正六面 体、正八面体、正十二面体、正二十面体。 5.伊利亚学派 芝诺（约公元前490-约前425年） 芝诺悖论：两分法，及运动不存在 阿基里斯追不上乌龟 飞箭不动 6.诡辩学派 希比亚斯、安提丰 古典几何三大作图问题：三等分角：即分任意角为三等分。 化圆为方：即作一个与给定的圆面积相等的正方形。 倍立方: 即求作一立方体，使其体积等于已知立方体的两倍。 7.柏拉图学派 柏拉图（约公元前427-前347年）----充当其他人的启发者和指导者 8.亚里士多德学派
第二章 古代希腊数学
第二章古代希腊数学 希腊数学一般是指从公元前600年至公元600年间，活动与希腊半岛、爱琴海地区、马其顿与色雷斯地区、意大利半岛、小亚细亚以及非洲北部的数学家们创造的数学。 古希腊人也叫海仑人(Hellene)，其历史可以追溯到公元前2000年。当时，作为希腊先民的一些原始部落由北向南挺进，在希腊半岛定居，后来又逐步向爱琴海诸岛和小亚细亚扩张。到公元前600年左右，希腊人已散布于地中海与黑海沿岸的大部分地区，正是在这一带掀起了新的数学浪潮。在这方面，这些海滨移民具有两大优势。首先，他们具有典型的开拓精神，对于所接受的事物，不愿因袭传统；他们身处与两大河谷地区毗邻之地，易于汲取那里的文化。大批游历埃及和美索不达米亚的希腊商人、学者带回了从那里收集的数学知识，在古代希腊城邦社会所特有的唯理主义气氛中，这些经验的算术与几何法则被加工升华为具有初步逻辑结构的论证数学体系。 2.1论证数学的发端 2.1.1泰勒斯与毕达哥拉斯 现在所知最早的希腊数学家是泰勒斯(Thales of Miletus,约公元前625-前547)。泰勒斯出生于小亚细亚（今土耳其）西部爱奥尼亚地方的米利都城，他领导的爱奥尼亚学派据说开了希腊命题证明之先河。不过，关于泰勒斯并没有确凿的传记资料流传下来，我们对他在数学上的贡献的最可靠的证据是来自公元5世纪新柏拉图学派哲学家普罗克鲁斯(Proclus,410-485)所著《欧几里得<原本>第一卷评注》一书，《评注》开始部分援引罗德岛的欧多莫斯（Eudemus of Rhodes,约公元前320 ）所撰《几何学史》的内容摘要说：“……（泰勒斯）首先来到埃及，然后将几何研究引进希腊。他本人发现了许多命题，并指导学生研究那些可以推出其他命题的基本原理”。 普罗克鲁斯在《评注》其他地方再次根据欧多莫斯的著作介绍说泰勒斯曾证明了下列四条定理： 1.圆的直径将圆分为两个相等的部分； 2.等腰三角形两底角相等； 3.两相交的直线形成的对顶角相等； 4.如果一三角形有两角、一边分别与另一三角形的对应角、边相等，那么这两个三角形全 等。 传说泰勒斯还证明了现称“泰勒斯定理”的命题：半圆上的圆周角是直角。 尽管没有任何第一手文献可以证实泰勒斯的这些成就，但上述间接的记载却流传至今，使泰勒斯获得了第一位数学家和论证几何学鼻祖的美名。 关于泰勒斯，还有一些其他的零星传说。根据这些传说，泰勒斯早年经商，因进行橄榄轧油机生意而发了大财；在埃及，泰勒斯测量过金字塔的高：利用一根垂直立竿，当竿长与影长相等时，通过观测金字塔的日影来确定其高；在巴比伦，泰勒斯接触了那里的天文表和测量仪器，并预报了公元前585年的一次日蚀，等等。 希腊论证数学的另一位祖师是毕达哥拉斯(Pythagoras of Samos,约公元前580-前500)。毕达哥拉斯与泰勒斯一样也是扑朔迷离的传说人物。二者都没有著作留世，我们甚至不知道他们是否写过书面著作。今人对毕达哥拉斯生平与工作的了解，主要也是通过普罗克鲁斯等
古希腊教育(最新)
他们对希腊教育实践和教育思想的发展，做出了巨大贡献。第一，云游各地，授徒讲学，以钱财而不以门第作为唯一的条件，不仅推动了文化的传播，而且扩大了教育对象的范围，促进了社会流动。第二，智者适应时代对辩论、演讲的需要，开始研究与辩论、演讲相关的文法、修辞、哲学等科目，拓展了学术研究领域，扩大了教育内容范围，使“七艺”的前三艺（即文法、修辞、辩证法）由此而确定。第三，他们最关心道德和政治问题，并把系统的道德和政治知识作为主要教育内容，不仅丰富了教育的内容，而且提供了一种新型教育——政治家的教育。“智者”不仅直接促进了希腊教育实践的发展，而且推动了希腊教育思想的进一步丰富，在智者的教育思想中，已经包含了全部希腊教育思想发展的基本线索和方向。 （三）希腊化时期的教育 在希腊化时期，希腊的学校教育发生了较大的变化，主要表现在以下几个方面： 1.希腊的初级学校发生变化。在古典时期，希腊的小学校通常多注重以德语、智育、美育和体育为基本内容的多方面的教育，以促进学生多方面能力的和谐发展。而在希腊化时期，由于城邦的覆灭，带有军事目的的体育首先被取消，美育也逐渐消弱，小学教育的内容主要局限在读、写、算等知识性科目。 2.在希腊化时期，原有的中等教育机构——体育馆为文法学校所取代。同时，中等教育日益偏重于知识教学，尤其是文学教育，体育和美育被忽视。 3.在希腊化时期，古代高等教育得到了一定的发展。除原有的柏拉图的“学园”、亚里士多德的“吕克昂”和伊索克拉底的修辞学校外，还出现了由芝诺开办的斯多葛学派的哲学学校和伊壁鸠鲁开办的哲学学校，公元前200年前后，上述四所学校合并为雅典大学，成为著名的学术研究中心和高等教育的中心。但另一方面，高等教育的内容和教学也开始侧重于修辞学的教学，逐步走向形式主义。 （四）苏格拉底的教育思想 1.教育目的论 在教育实践活动中，苏格拉底把道德修养作为教育的最高目的，如何培养道德，是他提出的一个重要问题。 2.德育论与智育论 在苏格拉底看来，道德不是天生的，人之所以不能为善或为不善，是由于人对于什么是善没有真正的认识。正确的行为基于人的正确判断，错误的行为是基于人的错误的判断。因而，知识和道德是密切相连的，知识和道德是统一的。“智德统一论”的提出，在教育实践上具有重要的意义，既然正确的行为基于正确的认识，对人进行道德教育就是可能的，道德是可以教给人的。教人道德就是教人
古希腊数学
古希腊数学 稿件提供人:南仓中学高中数学教师王艳刘艳辉 古希腊数学一般指公元前600年至公元后600年间，活动于希腊半岛、爱琴海区域、马其顿与色雷斯地区、意大利半岛、小亚细亚以及非洲北部得数学家们所创造得数学。古希腊人得历史可以远溯数千年之久。晚至公元前600年左右，在地中海与黑海沿岸大部分地区已经布满了古希腊人得足迹。这些海滨新移民们，处身于两大河谷得毗邻之地，极易汲取那里得文明。更为重要得就是，她们天生便具有一种开拓进取得精神，厌恶因袭守旧就是她们得作风。所以当大批游历埃及与美索不达米亚得希腊商人、学者带回了新奇得数学知识之后，在古代希腊城邦社会特有得唯理主义气氛中，这些经验得算术与几何方法很快便被加工升华为具有初步逻辑结构得论证数学体系。 1 希腊文明 古代希腊从地理疆城上讲，包括巴尔干半岛南部、小亚细亚半岛西部、意大利半岛南部、西西里岛及爱琴海诸岛等地区。这里长期以来由许多大小奴隶制城邦国组成，直到约公元前325年，亚历山大大帝（ alexander the great）征服了希腊与近东、埃及，她在尼罗河口附近建立了亚历山大里亚城（alexandria ）。亚历山大大帝死后(323b、c、)，她创建得帝国分裂为三个独立得王国，但仍联合在古希腊文化得约束下，史称希腊化国家。统治了埃及得托勒密一世（ptolemy the first）大力提倡学术，多方网罗人才，在亚历山大里亚建立起一座空前宏伟得博物馆与图书馆，使这里取代雅典，一跃而成为古代世界得学术文化中心，繁荣几达千年之久！希腊人得思想毫无疑问地受到了埃及与巴比伦得影响，但就是她们创立得数学与前人得数学相比较，却有着本质得区别，其发展可分为雅典时期与亚历山大时期两个阶段。 从泰勒斯到毕达哥拉斯学派 （1）爱利亚学派 从古代埃及、巴比伦得衰亡，到希腊文化得昌盛， 这过渡时期留下来得数学史料很少。不过希腊数学得 兴起与希腊商人通过旅行交往接触到古代东方得文化 有密切关系。伊奥尼亚位于小亚细亚西岸，它比希腊 其她地区更容易吸收巴比伦、埃及等古国积累下来得 经验与文化。在伊奥尼亚，氏族贵族政治为商人得统 治所代替，商人具有强烈得活动性，有利于思想自由 而大胆地发展。城邦内部得斗争，帮助摆脱传统信念。 在希腊没有特殊得祭司阶层，也没有必须遵守得教条， 因此有相当程度得思想自由。这大大有助于科学与哲 学从宗教中分离开来。 米利都就是伊奥尼亚得最大城市，也就是泰勒斯得故乡。泰勒斯生于公元前624年，就是公认得希腊哲学鼻祖。早年就是一个商人，曾游访巴比伦、埃及等地，很快就学会古代流传下来得知识，并加以发扬。以后创立伊奥尼亚哲学学派，摆脱宗教，从自然现象中去寻找真理，以水为万物得根源。 当时天文、数学与哲学就是不可分得，泰勒斯同时也研究天文与数学。她曾预测到一次日食，促使米太(在今黑海、里海之南)、吕底亚(今土耳其西部)两国停止战争。多数学者认为该次日食发生在公元前585年5月28日。她在埃及时曾利用日影及比例关系算出金字塔得高度，使法老大为惊讶。泰勒斯在数学方面得贡献就是开始了命题得证明，它标志着人们对客观事物得认识从感性上升到理性，这在数学史上就是一个不寻常得飞跃。伊奥尼亚学派得著名学者还有阿纳克西曼德与阿纳
第二章 古代希腊的教育
第二章古代希腊的教育 第三节古希腊的教育理论 2.3.3 柏拉图的教育思想 （一）生平及哲学与社会学的观点 柏拉图像 柏拉图（Plato公元前427年—公元前347年）出身于雅典的一个贵族家庭。母亲是政治家梭伦的后裔，父亲也出身于显贵家庭。柏拉图从小就受到了良好的教育。青少年时师从苏格拉底8年时间，在政治上与其老师一样，反对当时盛极而衰的民主政治而拥护贵族专政，曾参加多苏格拉底的哲学小集团。因此，苏格拉底被判死刑后，他被迫流亡国外，游说各国，希望能实现其政治理想。愿望得不到实现，又回到雅典，致力于教育。公元前387年，他创办了一个学园，取名阿卡德米学园，变称希腊学园。从此，在这里讲学达四十年，一直到去世。柏拉图的著作较多，其教育思想主要反映在《理想国》和《法律篇》中。 柏拉图不但在政治上与苏格拉底一致，而且哲学观上也继承了老师的观点，并在此基础上进一步深化、完善，使之成为一个完整的理论体系。柏拉图把世界分为现象世界和理念世界。现象世界就是现实世界中可感知到的事物，即自然界；理念世界是精神世界。他认为，现象世界是不可靠的、不真实的，只有理念世界才是真实的、永恒的。现象世界是理念世界的映像；理念世界中存在着普遍的、一般的、值得认识的东西，是真理的化身，是宇宙精神；而神是宇宙万物的本质，
主宰一切。人是神所创造的万物中最优者；人由肉体和灵魂构成，人的灵魂先于肉体存在于理念世界中。当灵魂和肉体相结合“投胎”为人时，就暂时失去了对最高理念的认识和记忆；然而在现象世界万物的刺激下，又可以把忘掉的记忆捡回来。因此在认识论上，柏拉图由他的哲学观推理出来，认识不是对万物存在的现象世界的感知，而是对理念世界的回忆。具体到教育上，他认为学习就是回忆。柏拉图认为人死后，灵魂离开肉体又回到理念世界中，即灵魂不死。柏拉图的这些思想，对后世宗教学影响很大。 柏拉图在社会观上很推崇斯巴达的社会制度——原 始的共产主义，因此，写了专著《理想国》阐述了自己 的主张。《理想国》是最早的乌托邦思想的集中反映。 在柏拉图理想的国家中，将神的最优创造物——人分为 三个等级：哲学家、军人和劳动者。其中，哲学家是奴 隶主国家的最高统治者，是神用金子做成的，拥有智慧 和理性。军人是奴隶主国家的保卫者、社会秩序的维持 者，是神用银子做成的，拥有勇敢和意志的品质。劳动 者包括手工业者和农民，是神用铜铁做成的，具有节制的品质。处于社会最下层的奴隶不属于以上三个等级，只是一种会说话的工具而已。三个等级的人应各司其职，各尽其才，国家才能维护正常的运转。另外，“公道”是这三个等级的人所共有的品质，即做好自己份内的事，不可越级行事，否则社会就会处于混乱不堪的境地。显然，这是为奴隶主贵族专制制造的理论依据。 （二）主要教育思想 1．论国家管理教育。柏拉图的哲学和社会学思想反映在教育上，就是教育应为国家培养哲学家和军人。他从斯巴达和雅典丰富的教育实践中汲取有益的东西，形成了他的教育理论体系。在教育的组织管理上，他主张国家控制教育，采取公养公育的方法培养人才。 2．论学前教育。儿童在3岁以前，由女仆专职负责饮食起居；教育则由国家最优秀的公民来监督实施。3—6岁的儿童要集中到神庙的儿童游戏场上，由《理想国》英文版封面
2016尔雅网络《古希腊的思想世界》期末考试.
1 两希文明是指希腊文明和（）。 ?A、斯巴达文明 ?B、西西里文明 ?C、希伯来文明 ?D、希里纳文明 我的答案：C 得分：33.3分 2 竞技精神来自（）文明传统。 ?A、印度文明 ?B、希腊文明 ?C、希伯来文明 ?D、华夏文明 我的答案：B 得分：33.3分 3 我们耳熟能详的寓言故事《农夫与蛇》来自希腊的《伊索寓言》。（）我的答案：√ 1 克里特文明和迈锡尼文明统称为（）。 ?A、爱琴文明 ?B、雅典文明 ?C、希腊文明 ?D、两河文明 我的答案：A 得分：33.3分 2 希腊历史上最重要的两场战争是（）和伯罗奔尼撒战争。 ?A、亚马逊战争 ?B、克里特战争 ?C、希波战争 ?D、爱奥尼亚战争 我的答案：C 得分：33.3分 3 导致伯罗奔尼撒战争失败转折的是萨拉米斯海战。（） 我的答案：× 1
希腊第一位哲学家泰勒斯认为万物的本原是（）。 ?A、气 ?B、火 ?C、水 ?D、数 我的答案：C 得分：33.3分 2 说“人无法两次踏入同一条河流”的哲学家是（）。 ?A、毕达哥拉斯 ?B、德谟克利特 ?C、赫拉克利特 ?D、阿那克西曼德 我的答案：C 得分：33.3分 3 希腊最著名的哲学家是师徒三人：苏格拉底、柏拉图和亚里士多德。（）我的答案：√ 1 希腊人的梦想是希望自己成为（）。 ?A、圣人 ?B、君王 ?C、幸福的人 ?D、神 我的答案：C 得分：33.3分 2 希腊人眼中神的两个特征包括：不朽和（）。 ?A、权力 ?B、永生 ?C、幸福 ?D、完美 我的答案：C 得分：33.3分 3 从低端到高端，从落后到先进展示了一种循环的时间观。（） 我的答案：× 1 赫西俄德的时间观是（）时间观。
四大文明古国与古希腊数学起源与发展的异同
四大文明古国与古希腊数学起源与发展的异同 古希腊文明属于海洋文明，受希腊岛屿星罗棋布，平原面积狭小，土壤贫瘠，海岸线长,多优良港口的地理环境影响，希腊农业发展条件不足，商业发展条件的得天独厚，希腊文明的产生发展基于其高度发达的海外贸易；四大文明古国的文明类型属于大河文明，因为四大文明古国均发源于大河流域，古埃及的尼罗河，古巴比伦的两河流域，古印度的印度河、恒河，古中国的黄河，因为大河流域水源充足，土壤肥沃，对农业的发展极其有利，故四大文明古国文明属于农业文明，大河文明 四大古国更接近史前文明．而且他们的文明似乎完全从自己产生出来的． 而古希腊的文明其实开始的要晚，大多学习阿拉伯和亚洲的东西，然后他们才开始兴盛的，数学和文明大多承继了亚洲，虽然他们的文明辉煌灿烂，但古老悠久估计算不上了，从传承上来讲，古希腊和古罗马的文明集成了古埃及、古巴比伦和古印度的文明 而他们两者之间最明显的区别就是：四大文明古国是东方文明，而古希腊是西方文明 科技： 古希腊：在古希腊科学的发展中，原始数学始终沿着神秘性和数量性的双重功能统一性继承的轨道向前发展。古希腊数学与神秘性的结合，使得他们从宗教、哲学的层次追求数学的绝对性以及解释世界
的普遍性地位，这正是古希腊数学完全脱离实际问题，追求逻辑演绎的严谨性的文化背景。古希腊人在从蒙昧走向文明的过程中，吸收了埃及与巴比伦的数学成果，这时的古希腊数学，实际上是古希腊原始数学神秘主义与埃及、巴比伦的数学的结合体，这种结合创造了数学体系、数学运演与数学方法的广泛的神秘解释作用。这种文化传统正是古希腊数学具有强烈的神秘作用以及后来具有宗教、哲学特征的根本原因。柏拉图的唯心主义哲学，把数学的神秘性及数量性意义演化为一种哲学意义的数学理性，直到亚里士多德认为“数就是宇宙万有之物质”。古希腊借助于数学解释一切的文化传统使数学成为具有文化意义的理性基础。古希腊与西方的天文、医学、逻辑、音乐、美术、宗教、哲学中，数学都在发挥着理性的解释作用，并随着西方文化的发展而不断得以继承和强化。基督教神学逐渐吸收了古希腊用数学解释世界 四大文明古国：四大文明古国都是农耕文明，都要依赖较大的河流才能发展。其中古巴比伦是最短的，四大文明古国在天文、农业、建筑上都有很高的成就。期中古埃及的的草药和数学很有名，他们崇尚太阳神“拉”，认为人的灵魂是永恒存在的，所以他们制作木乃伊来保存人尸体。 文化方面： 古代埃及：金字塔、狮身人面像、太阳神庙、象形文字； 古代巴比伦：汉谟拉比法典、空中花园、楔形文字； 古代印度：印度教、佛教、外科手术、阿拉伯数字、种姓制度；
(二)古希腊数学特点
（二）古希腊数学特点 古代希腊的数学，自公元前600年左右开始，到公元641年为止共持续了近1300年。前期始于公元前600年，终于公元前336年希腊被并入马其顿帝国，活动范围主要集中在驱典附近；后期则起自亚历山大大帝时期，活动地点在亚历山大利亚；公元641年亚历山大城被阿拉伯人占领，古希腊文明时代宣告终结。总括而言，希腊数学的成就是辉煌的，它为人类创造了巨大的精神财富，不论从数量还是从质量来衡量，都是世界上首屈一指的。比希腊数学家取得具体成果更重要的是：希腊数学产生了数学精神，即数学证明的演绎推理方法。数学的抽象化以及自然界依数学方式设计的信念，为数学乃至科学的发展起了至关重要的作用。而由这一精神所产生的理性、确定性、永恒的不可抗拒的规律性等一系列思想，则在人类文化发展史上占据了重要的地位。 古希腊是个充满神话的国度，古希腊数学的特点也很神化，如下：一，希腊人将数学抽象化，使之成为一种科学，具有不可估量的意义和价值。希腊人坚持使用演绎证明，认识到只有用勿容置疑的演绎推理法才能获得真理。要获得真理就必须从真理出发，不能把靠不住的事实当作已知。从《几何原本》中的10个公理出发，可以得到相当多的定理和命题。二，希腊人在数学内容方面的贡献主要是创立平面几何、立体几何、平面与球面三角、数论，推广了算术和代数，但只是初步的，尚有不足乃至错误；三，希腊人重视数学在美学上的意义，认为数学是一种美，是和谐、简单、明确以及有秩序的艺术；
四，希腊人认为在数学中可以看到关于宇宙结构和设计的最终真理，使数学与自然界紧密联系起来，并认为宇宙是按数学规律设计的，并且能被人们所认识的。
古希腊教育对教育发展的影响
古希腊对教育发展的影响 古希腊历来被认为是欧洲文明的摇篮，是欧洲乃至西方哲学的故乡。公元前5、6世纪，特别是希波战争以后，经济生活高度繁荣，产生了光辉灿烂的希腊文化，对后世有深远的影响。古希腊人在哲学思想、历史、建筑、文学、戏剧、雕塑等诸多方面有很深的造诣。这一文明遗产在古希腊灭亡后，被古罗马人破坏性的延续下去，从而成为整个西方文明的精神源泉。 教育在古希腊生活中，自从创建城邦直到希腊化时期和罗马统治时期，一直扮演重要的角色。 古希腊教育起源于荷马时代的贵族化传统，在公元前5世纪受到诡辩家、柏拉图和伊索克拉底的影响，大大地民主化。在希腊化时期，体育馆的教育被认为是分享希腊文化的先决条件。在古希腊许多奴隶制城邦国家中，斯巴达和雅典最强大，也最有名。 斯巴达是伯罗奔尼撒半岛南部拉哥尼亚州的首府，公元前1100年，多利亚人侵入拉哥尼亚平原建立奴隶制国家后，袭用为国名。拉哥尼亚平原北有高山峻岭，南面礁石海岸，交通不便，商业和海外贸易很不发达，但土地肥沃，适宜农业。同时，由于铁器使用的普及，更推动了农业生产的发展，所以，斯巴达是古希腊最大的农业城邦。 在斯巴达，全体居民分为三个等级：作为征服者的斯巴达人约有3万，他们全部是统治者，是奴隶主；被征服者的大部分原有居民变成了奴隶(约30万人)，称为希洛人，而其中的小部分被驱逐到边远地
区与原边陲居民组成另一个阶层，称皮里阿西人。他们享有人身自由，但没有政治权利，可以从事农牧业和工商业，要向国家缴纳赋税和股兵役。 斯巴达的政治制度是寡头贵族专制。国家机构由国王、长老会议、公民会议、监察官组成，但真正掌握实权的则是五个监察官。在经济上实行土地和奴隶国有制，国家把土地和希洛人分配给斯巴达人，只许他们享用，不得买卖或分割继承。斯巴达人对奴隶实行极其残酷的剥削和压迫，每年新监察官上任，例行对希洛人进行搜捕和屠杀。希洛人不甘忍受斯巴达人的残暴统治，不断举行起义。斯巴达人对希洛人的起义恐惧万分，时刻准备着镇压希洛人。因此，斯巴达实行全民皆兵，使全体公民过着严格的军事生活，整个斯巴达社会无异是一个大兵营。 斯巴达奴隶主为了镇压奴隶的反抗，为了抵御外来侵略和夺取在希腊的霸主地位，把教育看成是国家的事情，教育全部由国家组织、管理和控制。在国家的直接组织下，对青年一代施以严格的军事体育训练，培养国家所需要的人材。因此，注意军事体育是斯巴达教育最基本的特点。 在斯巴达，儿童属国家所有，7岁前由父母代替国家抚养。从7岁起被送入国家的教育机构，公共教育场设备简单，生活艰苦，饮食粗劣，且数量很少，常不果腹，以此来养成其忍耐苦劳的习惯。为了培养机警、敏捷。 18岁，即升入高一级教育机关——埃弗比(Ephebia)。在这里除了
古代希腊数学黄金时代
古代希腊数学黄金时代 希腊世界的雅典、巴斯达等国在经历了多次战争而逐渐衰落的时候，北方新兴的马其顿国在其国王腓力二世的率领下，开始了征服世界的进程。在征服希腊各城邦后两年，腓力二世遇刺去世，其子亚历山大（公元前336年——公元前323年在位）继位，从公元前334年起，亚历山大举兵东征，建立了一个空前庞大的帝国。 公元前323年，亚历山大病逝，其帝国被部将分割为安拉哥拉（欧洲部分），塞流卡斯（亚洲部分）和托勒密（埃及部分）三个王国，历史上称之为希腊化国家，希腊数学从此进入亚历山大时期。 欧几里得出生于雅典，曾受教于柏拉图学园，他是希腊论证几何学的集大成者。雅典衰落后，应托勒密国王的邀请，来亚历山大城主持数学学派的工作，他是亚历山大学派的奠基人。 欧几里得是一位勤奋的学者，他以满腔热情将以雅典为代表的希腊数学成果，运用欧多克索斯曾经部分采用过的严密的逻辑方法重新编纂成书。 为此，他首先收集、整理已有的数学成果，以命题的形式作出表述，完善前人的各种定理并给予重新证明，使其达到无懈可击的地步。 然后，他作出了自己的伟大创造：对定义进行筛选，选择出具有重要意义的公理，逻辑地、严密地按演绎方式组织命题及其证明，最后形成了具有公理化结构和严密逻辑体系的《几何原本》。它是在公元前300年左右完成的。 他的《几何原本》：五条公设： ⑴从任一点到任一点作直线（是可能的）。 ⑵将有限直线不断沿直线延长（是可能的）。 ⑶以任一点为中心与任一距离为半径作一圆（是可能的）。 ⑷所有直角是相等的。 ⑸若一直线与两条直线相交，且同侧所交两内角之和小于两直角，则两直线无限延长后必相交于该侧的一点。 五个公理： ⑴与同一东西相等的一些东西彼此相等。 ⑵等量加等量，其和相等。 ⑶等量减等量，其差相等。
古希腊思想
智者学派 (1)时间:公元前5世纪中叶 (2)条件:工商业发展和经济繁荣; 民主政治发展到顶峰,公民地位进一步提高; 民主政治在一定程度上鼓励和保护思想、言论自由,培育了雅典人的批判精神和理性气质;出于解决社会实际问题的需要,一场反对旧的思想方法和传统的思想运动兴起,希腊哲学的研究重点从探索自然转移到认识社会以及“人”本身。 (3)代表人物及主张:普罗塔哥(戈)拉提出“人是万物的尺度”,认为人的感觉是判定一切的准绳,事物的本性依赖于人的感觉,世界的存在、真理、规律,皆以个人的感觉为标准,一切都是相对的,好坏优劣取决于个人的尺度。 (4)评价: ①积极性: 强调人是独立存在的个体,具有人的尊严和价值,否定神的意志是衡量一切的尺度,冲破了传统的人神关系的思想束缚,强调了人的存在价值和自我意识,把人置于世界和社会的中心,体现了西方早期人文精神的基本内涵,是人类思想史上第一次思想解放,对雅典民众的思想启蒙和解放起积极作用,推动了雅典民主政治的发展。 ②消极性: 一切从个人出发,过分强调个人主观的感受,忽视了人们认识的共同性,否定客观的评判标准和真理,认为没有是非对错之别,这样的思想方法为主观随意性和极端个人主义打开了方便之门; 否认存在大家必须共同遵守的法律制度、公约和公德,一味追求实利,容易造成道德沦丧和社会失序 苏格拉底 (1)思想背景: ①雅典直接民主政治的弊端导致政局动荡,社会世风日下、道德沦丧。 ②苏格拉底反对智者学派追求功利,忽视道德的主张,但赞同其强调人类的理性、否认绝对权威的思想,强调关注人的伦理道德,坚持对知识和真理的探索。 (2)思想主张:“认识你自己 “有思考力的人才是万物的尺度”; 提出“美德即知识”认为学习和掌握各种知识的过程就是美德获得和完善的过程,最高的知识就是对“善”这个概念的认识; 主张精英(有知识、有德识者)治国,反对过激的民主政治; 认为知识和美德可以通过教育而获得 (3)影响:使哲学真正成为一门研究“人”的学问,第一次在哲学意义上发现了“自我” 其崇尚知识和自由探索的理性精神对后世西方哲学和启蒙思想的发展产生了深远影响。 (4)苏格拉底超越智者学派的主要表现: 反对智者学派的唯我主义和怀疑主义,认为真理应有其客观标准; 更重视人的伦理道德,强调人应该去发现自我的本质,并确立理性至高无上的地位;
古希腊数学
第二讲古希腊数学 《雅典学院》壁画介绍 拉斐尔(1483-1520)，是意大利文艺复兴时期的著名画家。1508年，拉斐尔被罗马教皇尤里乌斯二世邀去绘制梵蒂冈皇宫签字厅的四幅壁画。画于三面墙上和屋顶的四幅绘画，依据诗人德拉·欣雅杜尔的诗来配画，以歌颂神学、哲学、诗歌、法学为内容。拉斐尔在四面墙上画了四幅壁画：神学的《圣礼之争》（或教义之争）、哲学的《雅典学院》、诗歌的《帕拿巴斯山》、法学的《三德》。 《雅典学院》以古希腊著名哲学家柏拉图所创建的雅典学院为题，并以柏拉图及其弟子亚里士多德为中心，将古希腊、罗马、斯巴达以及意大利时期五十多位哲学家、科学家、思想家、文学家学者齐聚一堂，以此歌颂人类对智慧和真理的追求，赞美人创造力。 位居画面中心的左为柏拉图，右为亚里土多德，一个手指着上天，另一个则伸出右指着他前面的世界，以此表示他们不同的哲学观点：柏拉图的唯心主义和亚里土多德的唯物主义。这两个中心人物的两侧有许多重要的历史人物：左边穿白衣、两臂交叉的青年是马其顿王亚历山大，转身向左扳手指的是苏格拉底，斜躺在台阶上的半裸着衣服的老人是犬儒学派的哲学家第奥根尼。 台阶下的人物分为左右两组。左边一组中，站着伸头向左看的老者是阿拉伯学者阿维罗意，在他左前方蹲着看书的秃顶老人是毕达哥拉斯。右边弯腰和别人讨论的是阿基米德，手拿圆规者为欧几里得，右边尽头手持天体模型者是托勒密。 图中还出现的学者有伊壁鸠鲁、赫拉克立特、芝诺。 1．论证数学的兴起 泰勒斯(约前625-前547)，迄今所知最早的希腊数学家。没有任何第一手资料介绍这位学者本人或证实他所取得的成就，但他的生活与工作却留下了不少传说。据称他领导的爱奥尼亚学派首开证明之先河，他自己也证明了不少定理。 在论证数学的方向上，泰勒斯迈出了第一步，但希腊数学著作的评注者们还是倾向于将论证数学的成长归功于毕达哥拉斯以及他所创建的学派。 毕达哥拉斯(约前580-前500)，出生于靠近小亚细亚西部海岸的萨摩斯岛，年轻时曾游历埃及和巴比伦，可能还到过印度，回希腊后定居于今意大利南部沿海的克洛托内，并在那里建立了自己的学派。该学派有严密的教规，将一切发现归功于学派的领袖，并禁止公开学派内部的秘密。因此，后人很难将毕达哥拉斯本人的工作与其他成员的贡献区分开来。该学派虽然是一个多少有点宗教性质的组织，但主要致力于哲学与数学的研究。相传“哲学”(希腊文意为“智力爱好”)与“数学”(希腊文意为“可学到的知识”)这两个词原为毕达哥拉斯所创。 几乎所有的西方文献都将勾股定理称为毕达哥拉斯定理。据传说，毕达哥拉斯学派为了庆祝这条定理的发现，曾宰百牛祭神，但关于毕达哥拉斯如何证明该定理，始终是个迷。 毕氏学派的另一项几何成就是正多面体作图。他们称正多面体为“宇宙形”，一般认为，三维空间中仅有五种正多面体——正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体和正二十面体，它们的作图都与毕达哥拉斯及其学派有关。在所有正多面体中，正十二面体最为引人注目。这是因为，它的每个面都是正五边形，其作图问题涉及到了一个有趣的概念，那就是后人所称的“黄金分割”。 尽管毕氏学派做出了许多的几何成就，但这个最尊崇的信条即是“万物皆数”。这里的
2019年尔雅古希腊的思想世界课后习题答案
2019年古希腊的思想世界课后习题 古希腊的精神世界（一）：引言已完成成绩：100.0分 1 【单选题】（）文明传统是竞技精神的源头。 A、希腊文明 B、印度文明 C、希伯来文明 D、华夏文明 我的答案：A得分：33.3分 2 【单选题】希腊文明和（）是两希文明。 A、西西里文明 B、希里纳文明 C、斯巴达文明 D、希伯来文明 我的答案：D得分：33.3分 3 【判断题】希腊的《伊索寓言》中有我们耳熟能详的寓言故事《农夫与蛇》。（）我的答案：√得分：33.4分 古希腊的精神世界（二）：古希腊的历史沿革已完成成绩：100.0分 1 【单选题】（）和伯罗奔尼撒战争是希腊历史上最重要的两场战争。 A、克里特战争 B、亚马逊战争 C、爱奥尼亚战争 D、希波战争 我的答案：D得分：33.3分
2 【单选题】我们用（）统称克里特文明和迈锡尼文明。 A、爱琴文明 B、希腊文明 C、两河文明 D、雅典文明 我的答案：A得分：33.3分 3 【判断题】萨拉米斯海战是伯罗奔尼撒战争的失败转折。（） 我的答案：×得分：33.4分 古希腊的精神世界（三）：群星璀璨的思想世界已完成成绩：100.0 分 1 【单选题】哪一位哲学家说“人无法两次踏入同一条河流”？（） A、德谟克利特 B、毕达哥拉斯 C、阿那克西曼德 D、赫拉克利特 我的答案：D得分：33.3分 2 【单选题】希腊第一位哲学家泰勒斯认为（）是万物的本原。 A、气 B、火 C、水 D、数 我的答案：C得分：33.3分 3 【判断题】苏格拉底、柏拉图和亚里士多德师徒三人是希腊最著名的哲学家。（）我的答案：√得分：33.4分
简述古希腊科学思想
古希腊科学思想 学院：信息学院 班级：09计1 学生：陈森 学号：200901030114
古希腊科学思想 古希腊是人类科学的发源地, 古希腊科学思想奠定了近代科学的坚实基础, 并深刻地影响了近现代科学的发展。正如恩格斯指出的那样: “如果理论自然科学想追溯自己今天的一般原理发生和发展的历史, 它也不得不回到古希腊那里。”众所周知大多数的自然学科都发源自哲学，说道古希腊科学思想就不得不提及它的哲学。 古希腊哲学的思维方式 古希腊哲学家冷静地看待客观世界，世界是什么？世界上的物体怎样运动？泰勒斯说，万物源于水，是水的变形，但又复归于水，水包围着大地，大地在水上漂浮，不断从水中吸收养分．赫拉克利特说，万物既不是神创造的，也不是人创造的，而是由火产生的．火浓缩而变为气，气浓缩而变为水，水浓缩而变为土，土融解产生水，水蒸发产生气，气又返回到火．德谟克利特认为，一切事物的本原是“原子”和“虚空”，具有各种形状的、大小不等的“原子”构成万物，“虚空”是原子运动的场所． 赫拉克利特在观察世界时认为，一切皆流，万物皆变．他形象地用奔腾不息的河水来说明世界上一切事物都在不断地运动、变化，不断地产生、消亡的道理．他说：“我们不能两次踏进同一条河流”．他认为事物都是对立面的统一，他说：“互相排斥的东西结合在一起，不同的音调造成最美的和谐”． 亚里士多德面对客观世界的种种现象在找原因．比如为什么物体下落的快慢是不同的？他认为物体下落的快慢是由它们的重量决定的，物体越重，下落得越快．车子为什么会运动？他认为必须有马拉它或者其他的力推动它，车子才能前进．对于亚里士多德的这两个判断，我们可能会认为是两个不同领域的问题，因为我们在高中物理的不同章节中读到了它，前者是运动学问题，后者是动力学问
古希腊数学史
古希腊数学史 古希腊的地理范围，除了现在的希腊半岛外，还包括整个爱琴海区域和北面的马其顿 和色雷斯、意大利半岛和小亚细亚等地。 公元前5、6世纪，特别是希、波战争以后，雅典取得希腊城邦的领导地位，经济生活高度繁荣，生产力显著提高，在这个基础上产生了光辉灿烂的希腊文化，对后世有深 远的影响。 希腊数学的发展历史可以分为三个时期。第一期从伊奥尼亚学派到柏拉图学派为止，约为公元前七世纪中叶到公元前三世纪；第二期是亚历山大前期，从欧几里得起到公 元前146年，希腊陷于罗马为止；第三期是亚历山大后期，是罗马人统治下的时期， 结束于641年亚历山大被阿拉伯人占领。 从古代埃及、巴比伦的衰亡，到希腊文化的昌盛，这过渡时期留下来的数学史料 很少。 不过希腊数学的兴起和希腊商人通过旅行交往接触到古代东方的文化有密切关系。 伊奥尼亚位于小亚细亚西岸，它比希腊其他地区更容易吸收巴比伦、埃及等古国积累 下来的经验和文化。 在伊奥尼亚，氏族贵族政治为商人的统治所代替，商人具有强烈的活动性，有利于思 想自由而大胆地发展。 城邦内部的斗争，帮助摆脱传统信念在希腊没有特殊的祭司阶层，也没有必须 遵守的教条，因此有相当程度的思想自由。 这大大有助于科学和哲学从宗教分离开来。古希腊第一位科学家—泰勒斯 米利都是伊奥尼亚的最大城市，也是泰勒斯的故乡，泰勒斯是公认的希腊哲学鼻祖。 早年是一个商人，曾游访巴比伦、埃及等地，很快就学会古代流传下来的知识，并加 以发扬。 以后创立伊奥尼亚哲学学派，摆脱宗教，从自然现象中去寻找真理，以水为万物的根源。 当时天文、数学和哲学是不可分的，泰勒斯同时也研究天文和数学。
他曾预测一次日食，促使米太(在今黑海、里海之南)、吕底亚(今土耳其西部)两国停止战争，多数学者认为该次日食发生在公元前585年5月28日。他在埃及时曾利用日影及比例关系算出金字塔的高，使法老大为惊讶。 泰勒斯在数学方面的贡献是开始了命题的证明，它标志着人们对客观事物的认识从感性上升到理性，这在数学史上是一个不寻常的飞跃。伊奥尼亚学派的著名学者还有阿纳克西曼德和阿纳克西米尼等。他们对后来的毕达哥拉斯有很大的影响 毕达哥拉斯毕达哥拉斯公元前580年左右生于萨摩斯，为了摆脱暴政，移居意大利半岛南部的克罗顿。在那里组织一个政治、宗教、哲学、数学合一的秘密团体。后来在政治斗争中遭到破坏，毕达哥拉斯被杀害，但他的学派还继续存在两个世纪之久。 毕达哥拉斯学派企图用数来解释一切，不仅仅认为万物都包含数，而且说万物都是数。 他们以发现勾股定理(西方叫做毕达哥拉斯定理)闻名于世，又由此导致不可通约量的发现。 这个学派还有一个特点，就是将算术和几何紧密联系起来。他们找到用三个正整数表示直角三角形三边长的一种公式，又注意到从 1起连续的奇数和必为平方数等等，这既是算术问题，又和几何有关，他们还发现五种正多面体。 伊奥尼亚学派和毕达哥拉斯学派有显著的不同。前者研习数学并不单纯为了哲学的兴趣，同时也为了实用。而后者却不注重实际应用，将数学和宗教联系起来，想通过数学去探索永恒的真理。 公元前五世纪，雅典成为人文荟萃的中心，人们崇尚公开的精神。在公开的讨论或辩论中，必须具有雄辩、修辞、哲学及数学等知识，于是“智人学派”应运而生。他们以教授文法、逻辑、数学、天文、修辞、雄辩等科目为业。 在数学上，他们提出“三大问题”：三等分任意角；倍立方，求作一立方体，使其体积是已知立方体的二倍；化圆为方，求作一正方形，使其面积等于一已知圆。这些问题的难处，是作图只许用直尺(没有刻度的尺)和圆规。 希腊人的兴趣并不在于图形的实际作出，而是在尺规的限制下从理论上去解决这些问题，这是几何学从实际应用向系统理论过渡所迈出的重要的一步。这个学派的安提丰提出用“穷竭法”去解决化圆为方问题，这是近代极限理论的雏形。先作圆内接正方形，以后每次边数加倍，得8、16、32、…边形。安提丰深信“最后”的多边形与圆的“差”必会“穷竭”。这提供了求圆面积的近似方法，和中国的刘徽的割圆术思想不谋而合
第二讲：古代希腊数学
第二讲古代希腊数学 1、古典时期的希腊数学 公元前600－前300年。 1.1 爱奥尼亚学派（米利都学派） 泰勒斯（公元前625－前547年），被称为“希腊哲学、科学之父”。 1.2 毕达哥拉斯学派 数学：数学研究抽象概念的认识归功于毕达哥拉斯学派，毕达哥拉斯定理，完全数、亲和数，正五角星作图与“黄金分割”，发现了“不可公度量”。 1.3 伊利亚学派 芝诺的功绩在于把动和静的关系、无限和有限的关系、连续和离散的关系以非数学的形态提出，并进行了辩证的考察。 1.4 诡辩学派（智人学派） 古典几何三大作图问题：三等分任意角、化圆为方、倍立方。 1.5 柏拉图学派 柏拉图不是数学家，却赢得了“数学家的缔造者”的美称，创办雅典学院（前387－公元529），讲授哲学与数学。 1.6 亚里士多德学派（吕园学派） 亚里士多德（公元前384－前322年）是古希腊最著名的哲学家、科学家。集古希腊哲学之大成，把古希腊哲学推向最高峰，堪称“逻辑学之父”，为欧几里得演绎几何体系的形成奠定了方法论的基础，被后人奉为演绎推理的圣经。 2、亚历山大学派时期 希腊数学黄金时代，先后出现了欧几里得、阿基米德和阿波罗尼奥斯三大数学家，他们的成就标志了古典希腊数学的巅峰。 2.1 欧几里得（公元前325－前265年） 公元前300年成为亚历山大学派的奠基人，用逻辑方法把几何知识建成一座巍峨的大厦，成为后人难以跨跃的高峰。 《原本》13卷：由5条公理，5条公设，119条定义和465条命题组成，构成
了历史上第一个数学公理体系。 2.2阿基米德（公元前287－前212年） 数学之神，与牛顿、高斯并列有史以来最伟大的三大数学家之一。 最为杰出的数学贡献是《圆的度量》，把希腊几何学几乎提高到西方17世纪后才得以超越的高峰。墓碑：球及其外切圆柱。 2.3 阿波罗尼奥斯（约公元前262－前190年） 贡献涉及几何学和天文学，最重要的数学成就是《圆锥曲线》，希腊演绎几何的最高成就。《圆锥曲线》全书共8卷，含487个命题。 克莱因（美，1908－1992年）：它是这样一座巍然屹立的丰碑，以致后代学者至少从几何上几乎不能再对这个问题有新的发言权。这确实可以看成是古希腊几何的登峰造极之作。 3、希腊数学的衰落 背景：罗马帝国简史。 罗马帝国的建立，唯理的希腊文明被务实的罗马文明所取代。同气势恢弘的罗马建筑相比，罗马人在数学领域远谈不上有什么显赫的功绩。从公元前30－公元600年常称为希腊数学的“亚历山大后期”。 3.1 托勒密（埃及，90－165年） 最重要的著作是《天文学大成》13卷，总结了在他之前的古代三角学知识，其中最有意义的贡献是包含有一张正弦三角函数表。三角学的贡献是亚历山大后期几何学最富创造性的成就。 3.2 丢番图（公元200－284年） 希腊算术与代数成就的最高标志是丢番图的《算术》，这是一部具有东方色彩、对古典希腊几何传统最离经叛道的算术与代数著作，创用了一套缩写符号，一种“简写代数”。 亚历山大女数学家希帕蒂娅（公元370－415年）被害预示了在基督教的阴影笼罩下整个中世纪欧洲数学的厄运。
古希腊教育发展概述
古希腊教育发展概述 古希腊位于欧洲南部，其地理范围以希腊半岛为中心，包括爱琴海、爱奥尼亚海的岛屿、今土耳其西南沿岸地区以及意大利南部和西西里岛东部沿岸地区。希腊文化和教育的发展过程可以划分为三个阶段：（1）荷马时代（2）城邦制时代；（3）希腊化时代。 一、荷马时代的教育（公元前1100——公元前800年） 在荷马时代，尚未出现学校这种专门的教育机构，对儿童和青少年的教育主要是在实际的生活过程中进行的。教育的内容大致以军事和与军事直接有关的知识、技能为主，同时也注重演说能力的培养。荷马时代教育的另一个重要方面是道德教育。荷马时代的教育是一种非制度化的教育。 虽然荷马时代的教育还处于较为低级的发展阶段，但是，它对希腊教育的历史发展却具有非常深刻的影响。荷马时代教育中所具有的既注重个性发展又重视群体利益、既强调实行实干又注重雄辩、谋略的特点，为后来希腊教育的发展奠定了基础。 二、城邦制时代的教育 1．古风时代的教育 在众多希腊城邦中，斯巴达和雅典的是最具代表性的。因为，第一，他们代表了两个相反的政治体制类型和教育类型。第二，他们又是现代教育思想和实践的根源。 2、古典时代的智者派教育 古典时代是希腊教育发展的黄金时期。以智者的出现为标志，希腊（尤其是雅典）教育进入了一个新的发展阶段。 所谓智者（Sophist，又称诡辩家），在前5世纪后期主要指以收费授徒为职业的巡回教师。作为智者派共同的思想特征是：相对主义、个人主义、感觉主义和怀疑主义。 智者派的出现在希腊教育发展史上占有重要的地位。第一，智者们推动了文化的传播和扩大了教育对象的范围，因而促进了社会的流动。第二，智者既拓展了学术研究的领域，又扩大了教育内容的范围。第三，智者们最为关心的是道德问题和政治问题，并把系统得到的知识和政治知识作为主要的教育内容。 智者对希腊教育思想的发展所作出的贡献尤为突出。正是由于智者的出现，希腊教育思想才真正成型。这主要表现在，希腊教育思想所探讨的基本问题，大多已由智者提出，并在不同程度上作了理论的探讨。简言之，在智者的教育思想中，已经包含了全部希腊教育思想发展的基本线索和方向。 三、希腊化时代的教育 公元前334年，马其顿国王亚历山大开始向东扩张，先后征服了希腊、小亚细亚、叙利亚、埃及和印度（部分地区）等地区，建立了一个横跨欧、亚、非三大洲的庞大军事帝国，开始了东西方文化和教育相融合的新时期。在希腊化时期，文化和教育方面的变化呈现出明显不同于古典时期的特点。 在希腊化时期，教育的变化主要表现在以下诸方面。 第一，希腊，特别是雅典的学校教育制度，广泛地传播到小亚细亚、美索不达米亚、波斯、埃及等广大地区，从而对这些地区的教育发展起了积极的推动作用。 第二，文化和教育中心的转移。 第三，希腊的初级学校发生蜕变。 第四，在希腊化时期，中等教育日益偏重于知识教学，尤其强调文学教育，体育和美育被忽视。 第五，希腊化时期教育中真正得到发展的是高等教育。 本节小结： 第一，古代希腊教育制度反映了西方奴隶制社会文化、科学的繁荣，它是奴隶制社会生产力发展的必然结果。 第二，与古代东方国家教育制度相比，古希腊教育不仅形成了初步的学校制度，而且还具有丰富的教育思想，其中国家主义的教育思想、和谐教育、发展人的职能的思想等，都对以后各国教育的发展产生了重大影响。