河北省衡水中学2019届高三上学期期末数学(文)试题(解析版)

河北省衡水中学2019届高三上学期期末数学（文）试题

一、单选题

1．已知集合{}240A x x x =-<，{}1,3,7B =-，则A B =（ ）

A ．{}1-

B ．{}3

C ．{}3,7

D ．{}1,7-

2．已知4

sin 5α=-，且α第三象限角，则tan α的值为（ ）

A ．3

4 B ．3

4- C ．43 D ．4

3-

3．已知椭圆()22

22:10x y C a b a b +=>>，若长轴长为8，离心率为1

2，则此椭圆的标准方程为

A ．22

16448x y += B ．2

2

16416x y += C ．2

2

1164x y += D ．22

11612x y

+=

4．下列函数中，既是偶函数，又在(),0-∞内单调递增的函数为

A ．22y x x =+

B ．x y e =

C ．22x x y -=-

D ．11y g x =-

5．“1a >”是“直线10ax y --=的倾斜角大于4π

”的（ ）

A ．充分而不必要条件

B ．必要而不充分条件

C ．充分必要条件

D ．既不充分也不必要条件

6．设m ，n 是不同的直线，,αβ是不同的平面，下列命题中正确的是

A ．若//,,////m n m n αβαβ⊥，则

B ．若//,,//m n m n αβαβ⊥⊥，则

C ．若//,,//m n m n αβαβ⊥⊥，则

D ．若//,,m n m n αβαβ⊥⊥⊥，则

7．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若24121112=a a a S ++=，则

A ．22

B ．33

C ．44

D ．55

8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为

A ．43π+

B ．42π+

C ．46π+

D ．4π+ 9．已知圆()()22239C x y -+-=：，过点M(1，1)的直线l 与圆C 交于A 、B 两点，弦长AB 最短时直线l 的方程为 A ．210x y --= B ．280x y +-= C ．210x y -+= D ．230x y +-= 10．已知函数()()211,1log 1,1a a x x f x x x ?--≤=?+>?，若函数()f x 在定义域R 上单调递增，则实数a 的取值范围为 A ．312a << B ．312a <≤ C ．32a > D ．32a ≥ 11．已知函数()()log 31a f x x =+-（0a >且1a ≠）的图象恒过定点A ，若点A 在直线40mx ny ++=上，其中0mn >，则12m n +的最小值为（ ） A ．23 B ．43 C ．2 D ．4 12．如图，已知1F 、2F 双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的左、右焦点，A 、B 为双曲线上关于原点对称的两点，且满足11AF BF ⊥，112ABF π∠=，则双曲线的离心率为（ ）

A

B

C

D

二、填空题

13．已知向量()2,1a =-，(),1b m =，若()2//a b a +，则m =_______. 14．已知实数,x y 满足约束条件222,22x y x y x y -≤??-≥-??+≥?

则2z x y =-的最大值为___．

15．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，直线1BC 与平面11BB D D 所成的角等于____．

16．定义在R 上的函数()f x ，满足()()()()2.01f x f x f x f x x -=-=-<≤且当时，()2 log f x x =，则方程()[]

166f x =-在，上的实数根之和为_______．

三、解答题 17．已知函数(

)21sin 22

x f x x =-+． (1)求函数()f x 的单调递增区间；

(2)将函数()y f x =的图象向右平移

2

π个单位，在纵坐标不变的前提下，横坐标缩短为原来的12倍，得到函数()y g x =的图象，求函数()42

g x ππ??

????在，的最值． 18．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且225n n S a n =+-．

(1)求证：数列{}2n a -是等比数列；

(2)记()21log 2n n b a +=-，求数列11n n b b +??????的前n 项和n T ． 19．已知,,a b c 分别为ABC ?三个内角A ，B ，C 的对边，且()3cos cos 0b c A a C ++=．

(1)求cosA 的值；

(2)

若b c D ==是BC 边上一点，且满足BD=3DC ，求ABD ?的面积． 20．如图1，菱形ABCD 中，AB=2，60A ∠=，以对角线BD 为折痕把△ABD 折起，使点A 到达如图2所示点E

的位置，使EC =.

(1)求证：BD EC ⊥；

(2)求三棱锥E —BCD 的体积．

21．已知抛物线()2

:20C x py p =>的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点，且3OA OB ?=-，直线AO ，BO 分别交直线1y =-于点M ，N.

(1)求抛物线C 的方程；

(2)求OMN S △的最小值．

22．已知函数()21x f x e x ax =---． (1)当2a =-时，求函数()f x 在点()()

1,1f 处的切线方程；

(2)若()()3x g x xf x e x x =-++，讨论函数()g x 的极值点的个数．

参考答案

1．B

【分析】

利用一元二次不等式的解法可求出集合A ，然后进行交集的运算即可．

【详解】 因为{}

240{|04}A x x x x x =-<=<<，{}1,3,7B =-； {3}A B ?=∴=．

故选：B ．

【点睛】

本题考查列举法、描述法的定义，以及交集的运算，同时考查了一元二次不等式的求解，属于基础题．

2．C

【分析】

由平方关系求出cos α，再由商数关系求得tan α．

【详解】

∵4sin 5α=-

，且α第三象限角，∴3cos 5

α==-， ∴sin 4tan cos 3ααα==． 故选：C ．

【点睛】

本题考查同角间的三角函数关系，在应用平方关系求值时需确定角的范围．

3．D

【分析】

根据长轴长求出a ，由离心率为

12

求出c ，从而求出b ，问题得解． 【详解】 因为椭圆()22

22:10x y C a b a b

+=>>长轴长为8，所以28a =，即4a =， 又离心率为12，所以12

c a =，解得：2c =， 则222b a c =-=12，

所以椭圆的标准方程为：22

11612

x y +=． 故选D

【点睛】

本题主要考查了椭圆的性质，属于基础题．

4．D

【分析】

利用偶函数定义排除，再利用单调性排除，从而得到答案．

【详解】

22y x x =+及22x x y -=-不满足()()11f f -=，所以它们不为偶函数，

从而排除A.C ．

又当(),0x ∈-∞时，x y e ==1x

e ?? ???，此函数在(),0-∞内递减，排除B ．

故选D

【点睛】

本题考查了偶函数定义及函数单调性判断，属于基础题．

5．A

【分析】

由直线10ax y --=的倾斜角大于4

π得到不等式，求出a 的范围， 从而利用充分条件，必要条件的定义得解．

【详解】

设直线的倾斜角为θ，

直线10ax y --=可化为1y ax =-，所以tan a θ= 由直线的倾斜角大于4

π可得：tan 1θ>或tan 0θ<， 即：1a >或0a <，

所以1a > ? 1a >或0a <，但1a >或0a < ? 1a >

故选A

【点睛】

本题主要考查了充分条件，必要条件的概念，还考查了倾斜角与斜率的关系，属于基础题 6．B

【分析】

在正方体中举例来一一排除．

【详解】

如下图正方体中，

对于A ，令直线AB m =，直线CD n =，平面1111A B C D α=,平面11ADD A β=,

但平面1111D C B A 与平面11ADD A 不平行，所以A 错误．

对于C ，令直线AB m =，直线BC n =，平面1111A B C D α=,平面11CDD C β=,

但平面1111D C B A 与平面11CDD C 不平行，所以C 错误．

对于D ，令直线AB m =，直线1BC n =，平面1111A B C D α=,平面11A B CD β=,

但平面1111D C B A 与平面11A B CD 不垂直，所以D 错误．

故选B

【点睛】

本题主要考查了面面垂直，平行的判定，可在正方体中举例一一排除，或者直接证明某个选项正确．

7．C

【分析】

由等差数列{}n a 的通项公式表示出2412,,a a a ，得到154a d +=，再表示出11S ，整理得解．

【详解】

设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，

则241212a a a ++=可化为：11131112a d a d a d +++++=，

整理得：154a d +=，

()1111111011115442

S a d a d ?=+

=+= 故选C

【点睛】 本题考查了等差数列{}n a 的通项公式及前n 项和公式，属于基础题．

8．A

【分析】

由三视图还原，可知该几何体是半圆柱,利用公式求其表面积即可．

【详解】

由三视图还原，可知该几何体是半圆柱,

半圆柱的底面半径为1，高为2，

2=12212S 表面积ππ?+?+??=43π+

故选：A

【点睛】

本题主要考查了三视图--长对正、宽平齐、高相等得到实物图中的数据，由三视图还原实物图处理问题．还考查了表面积计算，属于基础题．

9．D

【分析】

列出弦长：AB =圆心到直线l 的距离为d ），当d 最大时，AB 最短，此时直线l 与MC 连线垂直，求出直线l 的斜率，再由点斜式求出直线方程即可．

【详解】

由题可知圆()()22

239C x y -+-=：，所以圆心为()2,3C ，半径为3， 设圆心到直线l 的距离为d ，直线l 得斜率为k

则AB =d MC ≤，

当直线l 与MC 连线垂直时，d 最大为MC ， 此时AB 最短，且1MC k k ?=-．

所以直线l 得斜率为：1MC k k -=

， 又31221MC k -==-，所以12

k =-， 所以直线l 的方程为：()1112

y x -=--， 即： 230x y +-=

故选D

【点睛】

本题考查了圆的弦长计算，直线垂直关系及直线方程求法，还考查了转化思想及函数思想，属于中档题．

10．B

【分析】

由函数()f x 在定义域R 上单调递增列不等式组求解．

【详解】

因为函数()()211,1log 1,1a a x x f x x x ?--≤=?+>?

， 若函数()f x 在定义域R 上单调递增，

则()2101211log 11a a a a ?->?>??--≤+?

，解得：312a <≤ 故选B

【点睛】

本题考查了分段函数的单调性，要保证各分段内是单调递增，还要使得分界处满足递增特点．

11．C

【分析】

由对数函数的图象得出A 点坐标，代入直线方程得,m n 的关系，从而用凑出基本不等式形式后可求得最小值．

【详解】

令31+=x ，2x =-，(2)1f -=-，∴(2,1)A --，

点A 在直线40mx ny ++=上，则240m n --+=，即24m n +=，

∵0mn >，24m n +=，∴0,0m n >>，

∴12112141(2)442444n m m n m n m n m n ?????+=++=++≥+= ? ? ?????， 当且仅当4n m m n

=，即1,2m n ==时等号成立． 故选：C ．

【点睛】

本题考查对数函数的性质，考查点在直线上，考查用基本不等式求最小值．是一道综合题，属于中档题．

12．A

【分析】

连接22,AF BF ，得矩形12AF BF ，在直角12BF F △中用c 表示出1BF ，2BF

，然后由双曲线的定义列式后求得离心率e ．

【详解】

连接22,AF BF ，由11AF BF ⊥及双曲线的对称性知12AF BF 是矩形，由12AF BF =，1112BFO ABF π∠=∠=，122F F c =，则22sin 12BF c π

=，12cos 12BF c π

=， ∴122cos 2sin 21212BF BF c c a π

π

-=-=，

∴离心率为11cos sin 12123c e a πππ=

====- 故选：A ．

【点睛】

本题考查求双曲线的离心率，列出关于,a b 关系式是?题关键．本题利用双曲线的对称性构造矩形12AF BF ，然后结合双曲线定义得出关系式，求得离心率．

13．-2

【分析】

可先求出2(4,1)a b m +=+-，根据(2)//a b a +即可得出(4)20m -++=，解出m 即可．

【详解】

因为向量()2,1a =-，(),1b m =，

所以2(4,1)a b m +=+-；

(2)//a b a +；

(4)20m ∴-++=；

2m ∴=-．

故答案为：2

-．

【点睛】

考查向量坐标的加法和数乘运算，考查平行向量的坐标关系，属于基础题．14．1

【分析】

作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可．【详解】

由z=x-2y得

11

22

y x z =-，

作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）：

平移直线11 22

y x z

=-，，

11

22

y x z

=-，的截距最小，

此时z最大，

由

22

22

x y

x y

-

?

?

+

?

＝

＝

，得A（1，0）．

代入目标函数z=x-2y，

得z=1-2×0=1，

故答案为1．

【点睛】

本题主要考查线性规划的基本应用，利用目标函数的几何意义是解决问题的关键，利用数形结合是解决问题的基本方法．

15．

6

π

【详解】

正方体1111ABCD A B C D -中，连接11A C 交11B D 于点M ，连接MB ，

由题可得：11

A C ⊥11

B D ，11A

C ⊥1BB , 所以直线11A C ⊥平面11BB

D D ,

所以直线1BC 与平面11BB D D 所成的角等于MBC 1∠,

设正方体1111ABCD A B C D -的边长为a ，

所以1MC =

1BC =， 所以1111sin 2MC MBC BC ∠=

=, 所以16MBC π∠=

【点睛】 本题主要考查了线面角知识，关键是作出线面角对应的平面角，然后再说明该角就是对应的线面角，根据图形解三角形即可．

16．6-

【分析】

由()()()()2f x f x f x f x 且-=-=-可判断函数()f x 是奇函数且函数图像关于直线 1x =对称，还可得函数()f x 是周期为4的函数，求方程在一个周期内的根，再利用周期性求得所有满足要求的实数根，问题得解．

【详解】

因为()()()()2f x f x f x f x 且-=-=-，

所以()()()22f x f x f x =-=--=()()

()224f x f x ---=--=()4f x -，

即：()()4f x f x =-

所以函数()f x 的周期为4． 0x 1<≤当时，()2log f x x =，

所以当[)1,0x ∈-时，()()()2log f x f x x =--=--

因为函数在[)1,0-上单调递增，

所以在[)1,0-上()()2log 1f x x =--=有且只有一解112

x =-， 0x 1<≤当时，()2log 1f x x ==无解．

即()1f x =在[)(]1,00,1-?内只有一解：112x =-

因为函数()f x 满足：()()2f x f x =-

所以函数()y f x =的图像关于直线1x =对称，可得：1522f f ????-= ? ?????

所以()1f x =在[)()(]1,00,22,3-??内的解有两个112x =-，252x =， 即在一个周期内满足()1f x =的解有两个112x =-，252

x =， 由函数()f x 的周期为4可得： 1971222f f f ??????-=-== ? ? ???????，53111222f f f ??????=-=-= ? ? ???????

， 所以方程()[]166f x =-在，上的实数根分别为1193157,,,,,222222----， 其和为：11931576222222

-

---++=-. 【点睛】 本题主要考查了奇函数的定义，函数的轴对称性及单调性，周期性，考查了转化思想．只需要求出一个周期内的满足()1f x =的解即可利用周期性求出所有的解，从而解决问题． 17．（1）2[2,2],33k k k Z ππππ-

++∈ ； （2）()()max min 11,2

g x g x == . 【分析】

（1）化简函数为()sin 6f x x π?

?=+ ???

，求出使得()f x 最大的一个自变量()023x k k z π

π=+∈，利用正弦型函数图像的特点写出单调增区间即可．

（2）求出将函数()sin 6f x x π?

?

=+ ???的图象向右平移2

π个单位，横坐标缩短为原来的12倍后得到的函数()g x 的表达式，再利用正弦函数性质求出函数()42g x ππ??????

在，的最值即可． 【详解】

（1）因为()21sin 222

x f x x =-+，

所以()212sin 122x f x x ??=-- ???1cos sin 26x x x π??+=+ ??

?, 令sin 16x π?

?+= ???，解得： ()262x k k z πππ+=+∈，即()23x k k z π

π=+∈， 所以函数()f x 的单调递增区间为：()22,233k k k z ππππ??-++∈????

． （2）函数()y f x =的图象向右平移2

π个单位，横坐标缩短为原来的12倍后得到：sin 23y x π??=- ??

?，所以()sin 23g x x π=-?? ???， 当,42x ππ??∈????时，22,363x πππ??-∈????， 此时()sin 23g x x π=-

?

? ???的最大值为()max sin 12g x π==，最小值为()min 1sin 62

g x π== 【点睛】 （1）本题考查了()sin()f x A x B ω?=++(0)A >（或()cos()f x A x B ω?=++(0)A >）类型函数的单调区间问题，先利用条件确定好,,,A B ω?，再求出使()f x A =的0x 的值，从0x 往前半个周期即00(,)x x πω

-是函数()f x 的一个增区间，从0x 往后半个周期即

00(,)x x πω

+是函数()f x 的一个减区间，即可求得函数()f x 的增区间为0022(,)()k k x x k Z πππωωω

-++∈，函数()f x 的减区间为0022(,)()k k x x k Z πππωωω

+++∈ （2）考查了平移，伸缩变换知识，还考查了三角函数的性质，转化思想．属于中档题，计算要认真．

18．（1）见解析； （2）

1

n n +. 【分析】

（1）利用赋值法列方程，作差，变形即可证明．

（2）利用条件（1）求出122n n a +-=，从而求出n b n =，根据()1111111

n n b b n n n n +==-?++形式，利用列项相消法求和． 【详解】

（1）因为225n n S a n =+-，

所以112215n n S a n --=+--（

）， 两方程作差得：()112252215n n n n S S a n a n --??-=+--+--??，

整理得：()1222n n a a n -=-≥，

从而()()12222n n a a n --=-≥，

所以数列{}2n a -是等比数列，公比为2．

（2）令1n =，则225n n S a n =+-可化为：11225S a =+-，解得：13a =，

因为数列{}2n a -是等比数列，所以()11222

n n a a --=-?，所以122n

n a +-=， 所以()21log 2n n b a +=-=n ， 所以11n n b b +?=()11111

n n n n =-++， 所以1223341

1111n n n T b b b b b b b b +=++++

=111111111112233411n n n ????????-+-+-+-=- ? ? ? ?++????????

=1n n + 【点睛】

（1）主要考查了赋值法，n S 法及等比数列概念，注意计算不要错误．

（2）考查了等比数列的通项公式及对数运算，裂项相消法求和法，注意常见的裂项方式．

19．（1）13- ； （2）

4

. 【分析】

（1）将()3cos cos 0b c A a C ++=化简可得：3sin cos sin cos sin cos 0B A C A A C ++=，

再化简可得3sin cos sin 0B A B +=，从而求得cos A ．

（2）求得ABC S ?=根据BD=3DC ，求得,ABC ABD S S ??的比例关系，从而求解．

【详解】

（1）由正弦定理2sin sin sin a b c R A B C

===可得： 2sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ===，代入()3cos cos 0b c A a C ++=可得： ()32sin 2sin cos 2sin cos 0R B R C A R A C ?++=，整理得：

3sin cos sin cos sin cos 0B A C A A C ++=，所以()3sin cos sin 0B A C A ++=， 即3sin cos sin 0B A B +=，整理得：1cos 3

A =-.

（2）因为1cos 3A =-，所以sin A ==，

所以1sin 2ABC S bc A ?=== 因为BD=3DC ，所以34

BD a =，

所以133sin 244ABD ABC S a c B S ??=

??==． 【点睛】

（1）主要考查了正弦定理及两角和的正弦公式，计算比较简单．

（2）主要考查了同角三角函数基本关系，三角形面积公式及转化思想

20．（1）见解析； （2）

2 . 【分析】

（1）先证明,BD OE BD OC ⊥⊥,再证明BD ⊥平面OEC ,从而证明BD EC ⊥ （2）把三棱锥E —BCD 拆分成两个三棱锥，求体积和即可．

【详解】

（1）菱形ABCD 中可得：BD AC ⊥，

以对角线BD 为折痕把△ABD 折起，使点A 到达如图2所示点E 的位置，

则BD OC ⊥，BD OE ⊥,

又,OE OC 交于点O ，

所以BD ⊥平面OEC ，

又EC ?平面OEC ，

所以BD EC ⊥．

（2）由（1）得BD ⊥平面OEC ，所以E BCD B OEC D OEC V V V ---=+,

菱形ABCD 中，AB=2，60A ∠=，

求得：OA OC OE ===,1OB OD ==,

所以E BCD B OEC D OEC V V V ---=+

=1111360133sin 6013232??+????=． 【点睛】

（1）主要考查了线面垂直的判定及线面垂直的性质，考查了转化思想．

（2）主要考查了分割求和方法及体积计算，转化思想，属于基础题，计算一定要细心．

21．（1）24x y = ； （2）2 .

【分析】

（1）设()11,A x y ，()22,B x y 及直线AB 的方程为：2

p y kx =+

，联立直线AB 与抛物线C

的方程，利用韦达定理表示出12x x ?，12x x +，从而表示出12y y ，代入12123x x y y ?+=-即可求得p ，问题得解．

（2）表示出直线,OA OB 的方程11y y x x =，22

y y x x =，从而表示出,M N 点的坐标11,1x M y ??-- ???，22,1x N y ??-- ???

，从而表示出OMN S ，消元即可得到OMN S

的函数表达式OMN S ?=． 【详解】

（1）抛物线()2:20C x py p =>的焦点为F 0,2p ?

? ???

，()11,A x y ，()22,B x y 设直线AB 的方程为：2

p y kx =+， 联立直线AB 与抛物线C 的方程可得：222p y kx x py

?=+???=?，

整理得：22

20x pkx p --=，

所以122x x pk +=，212x x p ?=-， ()22121212122224p p p p y y kx kx k x x k x x ????=++=+++ ???????=24p ， 因为3OA OB ?=-，且()11,OA x y =，()22,OB x y =

所以12123x x y y ?+=-，即2

2

34p p -+=-，解得：2p =． 所以抛物线C 的方程为：24x y =．

（2）直线OA 的方程为：11y y x x =，直线OB 的方程为：22

y y x x =， 联立111y y x x y ?=???=-?

得：11x x y =- ，所以11,1x M y ??-- ???，

联立221y y x x y ?=???=-?

得：22x x y =-，所以22,1x N y ??-- ???， 所以2121122121x x x y x y MN y y y y -=-==21121212

22p p x kx x kx x x y y ????+-+ ? ?????=-

所以12112OMN S x x ?=??-=

2≥， 当0k =时，等号成立．

所以OMN S 的最小值为2.

【点睛】

（1）主要考查了设而不求方法，联立直线与抛物线方程，利用韦达定理表示出12x x ?，12x x +，还考查了数量积的坐标运算，方程思想，转化思想，计算量较大，需要小心谨慎． （2）主要考查了转化思想，直线交点求法，利用（1）中的结论表示出三角形面积，把问题转化成函数的最值问题处理，计算量较大，属于较难题

22．（1）0ex y -= ；

（2）当102a <<

或12a >，存在两个极值点；当0a ≤时，存在一个极值点；当12a =时，没有极值点.

【分析】

（1）求出()'f x 及()1f ，求得切线的斜率()'1f 即可求得切线方程．

（2）求出()()

'2x g x x e a =-，对2a 的情况分4类讨论，即20,021,21,21a a a a ≤<=四种情况分别求得()'g x 在各个区间的正负，由此判断()g x 单调性，从而可判断极值点的个数．

【详解】

（1）因为()2

21x f x e x x =-+-， 所以()'22x

f x e x =-+，()1121f e e =-+-=，