高中数学 第2章 解析几何初步单元测试四 北师大版必修2

2016-2017学年高中数学第2章解析几何初步单元测试四北师大

版必修2

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．第Ⅰ卷50分，第Ⅱ卷100分，共150分，考试时间120分钟．

第Ⅰ卷(选择题共50分)

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．

1．圆x2＋y2－2x＝0与圆x2＋y2＋4y＝0的位置关系是( )

A．相离B．外切

C．相交D．内切

答案：C

解析：⊙O1：(x－1)2＋y2＝1，⊙O2：x2＋(y＋2)2＝4，

|O1O2|＝5<1＋2＝3.

2．已知直线l与直线y＝x＋1垂直，且与圆x2＋y2＝1相切，切点位于第一象限，则直线l的方程是( )

A．x＋y－2＝0 B．x＋y＋1＝0

C．x＋y－1＝0 D．x＋y＋2＝0

答案：A

解析：由题意设直线l的方程为x＋y＋c＝0(c<0)．圆心(0,0)到直线x＋y＋c＝0的距

离为|c|

2

＝1，得c＝－2或2(舍去)，即直线l的方程为x＋y－2＝0.

3．直线l：(k＋1)x－ky－1＝0(k∈R)与圆C：x2＋(y－1)2＝1的位置关系是( ) A．相交B．相切

C．相离D．相交或相切

答案：D

解析：∵直线l：k(x－y)＋(x－1)＝0过定点(1,1)，且点(1,1)在圆上，∴直线l与圆至少有一个公共点，

∴l与圆相切或相交．

4．圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程是( )

A．x2＋(y－2)2＝1

B．x2＋(y＋2)2＝1

C．(x－1)2＋(y－3)2＝1

D．x2＋(y－3)2＝1

答案：A

解析：考查圆的方程的求法．

∵圆心在y 轴上，且半径为1， ∴可设圆的方程为x 2＋(y －b )2＝1， 又∵过(1,2)点，∴有12＋(2－b )2＝1， ∴b ＝2，

∴圆的方程为x 2＋(y －2)2＝1.

5．若直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2＋kx －y －9＝0的两个交点恰好关于y 轴对称，则k ＝( )

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3 答案：A

解析：解法一：将两方程联立消去y ，得(k 2＋1)x 2＋2kx －9＝0，由题意此方程两根之和为0，故k ＝0.

解法二：直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2＋kx －y －9＝0的两个交点恰好关于y 轴对称，所以圆心在y 轴上，因此k ＝0.

6．两圆相交于点A (1,3)，B (m ，－1)，两圆的圆心均在直线x －y ＋c ＝0上，则m ＋c 的值为( )

A ．－1

B ．2

C ．3

D ．0 答案：C

解析：据题意知，直线AB 与直线l ：x －y ＋c ＝0垂直．

∴k AB ·k l ＝3－－1

1－m ×1＝－1，解得m ＝5.又∵点A (1,3)，B (5，－1)到直线x －y ＋c

＝0的距离相等，∴|1－3＋c |2＝|5－－1＋c |

2，解得c ＝－2，(或由A (1,3)，B (5，－1)

的中点坐标为M (3,1)，而M (3,1)在直线x －y ＋c ＝0上，可知c ＝－2)∴m ＋c ＝5－2＝3.

7．直线y ＝kx ＋3与圆(x －3)2＋(y －2)2＝4相交于M ，N 两点，若|MN |≥2

3，则

k 的取值范围是( )

A ．[－3

4

，0]

B ．(－∞，－3

4]∪[0，＋∞)

C ．[－

33，

33]

D ．[－2

3，0]

答案：A

解析：圆心(3,2)到直线的距离d ＝

|3k ＋1|

k 2＋1

，

则|MN |＝2 4－

? ??

???|3k ＋1|k 2＋12 ＝2

－5k 2－6k ＋3k 2＋1

≥2

3，

解得－3

4

≤k ≤0，故选A.

8．圆(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝8上与直线x ＋y ＋1＝0的距离等于 2的点共有( )

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个 答案：C

解析：圆心到直线的距离d ＝

||

－1－2＋12

＝ 2，r ＝2 2，所以直线与圆相交．又

r －d ＝ 2，所以劣弧上到直线的距离等于 2的点只有1个，在优弧上到直线距离等于

2的点有2个．

9．在圆x 2＋y 2－2x －6y ＝0内，过点E (0,1)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为( )

A ．5 2

B ．10 2

C ．15 2

D ．20

2

答案：B

解析：本题主要考查圆的弦的性质．

由圆的弦的性质可知，最长弦为过点E 的直径，最短弦为过点E 且与直径垂直的弦， ∴|AC |＝2

10，|BD |＝2

10－5＝2 5，

∴S ABCD ＝1

2|AC |·|BD |＝10

2，∴选B.

10．当曲线y ＝1＋ 4－x 2与直线y ＝k (x －2)＋4有两个相异交点时，实数k 的取值

范围是( )

A ．(5

12，＋∞) B．(5

12，3

4]

C ．(0，512)

D ．(13，34)

答案：B

解析：曲线表示半圆，而直线恒过点(2,4)，画出示意图即可．

第Ⅱ卷(非选择题 共100分)

二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在题中横线上．

11．圆C ：x 2＋y 2－2x －4y ＋4＝0的圆心到直线l ：3x ＋4y ＋4＝0的距离d ＝________. 答案：3

解析：∵圆心C 的坐标为(1,2)， ∴d ＝|3×1＋4×2＋4| 32＋42＝3.

12．若直线y ＝x ＋t 被圆x 2＋y 2＝8

截得的弦长不大于

4

2

3

，则实数t 的取值范围为

________．

答案：? ?????－4，－823∪?????

???823，4 解析：设圆的半径为r ，直线被圆截得的弦长为l .圆心(0,0)到直线y ＝x ＋t 的距离d ＝

|t |2.

由题意，得d

? ??

???4232，所以t ≤－

8

23或t ≥

823

，结合－4

823或82

3≤t <4.

13．过点(1，2)的直线l 将圆(x －2)2＋y 2＝4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l 的斜率k ＝________.

答案：2

2

解析：由已知，得当直线l 与过圆心(2,0)和点(1，

2)的直线垂直时，直线l 截圆所得

的劣弧最短，此时劣弧所对的圆心角最小，可求得k ＝2

2

.

14．由直线y ＝x ＋1上一点P 向圆C ：x 2＋y 2－6x ＋8＝0引切线，切点为Q ，则|PQ |的最小值为________．

答案：7

解析：将圆C 的方程化为标准方程，得(x －3)2＋y 2＝1.设P (x 0，y 0)，则|PQ |＝

|PC |2－12

＝

x 0－32＋y 20

－1＝2x 20－4x 0＋9＝2x 0－12＋7≥7，故|PQ |min ＝

7.

15．将直线x ＋y ＝1先绕点(1,0)顺时针旋转90°，再向上平移1个单位后，与圆x 2＋(y －1)2＝r 2相切，则半径r ＝________.

答案：

22

解析：x ＋y ＝1――→绕1，0转90°y ＝x －1――→向上平移1个单位

y ＝x .已知圆心为(0,1)，∴r

＝

12

＝2

2.

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

16．(13分)已知直线l ：y ＝x ＋m ，m ∈R .

若以点M (2,0)为圆心的圆与直线l 相切于点P ，且点P 在y 轴上，求该圆的方程． 解：解法一：依题意，点P 的坐标为(0，m )． 因为MP ⊥l ，所以0－m

2－0×1＝－1，

解得m ＝2，即点P 的坐标为(0,2)．

从而圆的半径

r ＝|MP |＝ 2－02＋0－22＝2 2，

故所求圆的方程为(x －2)2＋y 2＝8.

解法二：设所求圆的半径为r ，则圆的方程可设为(x －2)2＋y 2＝r 2. 依题意，所求圆与直线l ：x －y ＋m ＝0相切于点P (0，m )， 则????

?

4＋m 2

＝r 2

，|2－0＋m |

2

＝r ，

解得???

??

m ＝2，

r ＝2 2.

所以所求圆的方程为(x －2)2＋y 2＝8.

17．(13分)已知点P (0,5)，圆C ：x 2＋y 2＋4x －12y ＋24＝0. 若直线l 过点P 且被圆C 截得的弦AB 的长为43，求l 的方程．

解：由题意，知C (－2,6)，圆C 的半径为4.

如图所示，过点C 作CD ⊥AB 于点D ，则D 是AB 的中点．

由题意，知|AB |＝4

3，|AC |＝4，|AD |＝2

3，

在Rt △ADC 中，可得|CD |＝2.

当直线l 的斜率存在时，设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为y －5＝kx ，即kx －y ＋5＝0.

由点到直线的距离公式，得

|

－2k －6＋5|

k 2＋－1

2＝2，解得k ＝3

4.

此时直线l 的方程为3x －4y ＋20＝0.

当直线l 的斜率不存在时，也满足题意，此时直线l 的方程为x ＝0. 所以直线l 的方程为3x －4y ＋20＝0或x ＝0. 18．(13分)

已知圆M 过点C (1，－1)，D (－1,1)，且圆心M 在x ＋y －2＝0上． (1)求圆M 的方程；

(2)设P 是直线3x ＋4y ＋8＝0上的动点，PA ，PB 是圆M 的两条切线，A ，B 为切点，求四边形PAMB 的面积S 的最小值．

解：(1)设圆M 的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2. 由题意，得????

?

1－a 2

＋－1－b

2＝r 2－1－a 2

＋1－b

2＝r 2

a ＋

b －2＝0

，

解得?????

a ＝1

b ＝1

r 2

＝4

，

故圆M 的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4.

(2)由题意，S ＝S △PAM ＋S △PBM ＝12|AM |·|PA |＋1

2|BM |·|PB |.

又|AM |＝|BM |＝2，|PA |＝|PB |， 所以S ＝2|PA |. 而|PA |＝|PM |2－|AM |2＝|PM |2－4，

即S ＝2

|PM |2－4.

因此，要求S 的最小值，只需求|PM |的最小值． 又|PM |min ＝|3×1＋4×1＋8|

32＋42＝3，

所以S min ＝2

|PM |2min －4＝2

32－4＝2

5.

19．(13分)为适应市场需要，某地准备建一个圆形生猪储备基地(如图)，它的附近有一条公路，从基地中心O 向正东走1 km 是储备基地的边界上的点A ，接着向东再走7 km 到达公路上的点B ，从基地中心O 向正北走8 km 到达公路的另一点C .现准备在储备基地的边界上选一点D ，修建一条由D 通往公路BC 的专用线DE ，求DE 的最短距离．

解：以O 为坐标原点，过OB ，OC 的直线分别为x 轴和y 轴，建立平面直角坐标系，则圆O 的方程为x 2＋y 2＝1.

因为点B (8,0)，C (0,8)，

所以直线BC 的方程为x 8＋y

8

＝1，即x ＋y ＝8.

作直线l 与直线BC 平行，当l 与圆O 相切时，距BC 较近的一条切线与圆的切点即为满足题意的点D ，当DE ⊥BC 时，DE 最短，最短距离为|0＋0－8|

2

－1＝(4

2－1)(km)．

20．(14分)已知圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0及点Q (－2,3)． (1)若点P (m ，m ＋1)在圆C 上，求直线PQ 的方程； (2)若M 是圆C 上任一点，求|MQ |的最大值和最小值； (3)若点N (a ，b )满足关系

a 2＋

b 2－4a －14b ＋45＝0，求u ＝

b －3a ＋2

的最大值和最小值．

解：将圆C 的方程变形，得(x －2)2＋(y －7)2＝8， 所以圆心C 为(2,7)．

(1)因为点P (m ，m ＋1)在圆C 上，所以将点P 的坐标代入圆C 的方程，得(m －2)2＋(m ＋1－7)2＝8，解得m ＝4.

∴点P 的坐标为(4,5)， ∴经过P 、Q 两点的直线方程为

y －5＝

5－3

4－－2(x －4)，即x －3y ＋11＝0.

(2)经过Q 、C 两点的直线方程为

y －3＝

7－3

2－－2

[x －(－2)]，即y ＝x ＋5.

M 是圆C 上任一点，要使点M 到点Q 的距离达到最大或最小，点M 必是直线QC 与

圆C 的交点，因此解方程组

????? y ＝x ＋5，

x －22＋y －72＝8，得????? x ＝0，y ＝5，或?????

x ＝4，

y ＝9.

所以，得到M ′(0,5)，M ″(4,9)． 故|MQ |min ＝|M ′Q |＝ 0＋2

2＋5－32＝2 2，|MQ |max ＝|M ″Q |

＝

4＋2

2＋

9－32＝6

2.

(3)由题意可得，点N 在圆C 上，因此求u 的最大值与最小值，就是求直线NQ 的斜率

的最大值与最小值，也就是求过点Q，且与圆C相切的直线的斜率．

设直线NQ的斜率为k，则直线NQ的方程为：

y＝kx＋2k＋3，将y＝kx＋2k＋3代入圆C的方程，

并化简得(1＋k2)x2＋(4k2－8k－4)x＋4k2－16k＋12＝0，

令Δ＝(4k2－8k－4)2－4(1＋k2)(4k2－16k＋12)＝0，

解得k＝2± 3，所以u max＝2＋3，u min＝2－ 3.

21．(14分)设平面直角坐标系xOy中，设二次函数f(x)＝x2＋2x＋b(x∈R)的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C.求：

(1)实数b的取值范围；

(2)圆C的方程；

(3)问圆C是否经过某定点(其坐标与b无关)？请证明你的结论．

解：(1)令x＝0，得二次函数与y轴交点是(0，b)；

令f(x)＝0，得x2＋2x＋b＝0，由题意b≠0且Δ>0，解得b<1且b≠0.

(2)设所求圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，

令y＝0得x2＋Dx＋F＝0，这与x2＋2x＋b＝0是同一个方程，故D＝2，F＝b.

令x＝0得y2＋Ey＋b＝0，此方程有一个根为b，代入得出E＝－b－1.

所以圆C的方程为x2＋y2＋2x－(b＋1)y＋b＝0.

(3)圆C必过定点(0,1)和(－2,1)．

证明如下：将(0,1)代入圆C的方程，左边＝02＋12＋2×0－(b＋1)＋b＝0，右边＝0.所以圆C必过定点(0,1)．

同理可证圆C必过定点(－2,1)．