2015新湘教版九年级数学下二次函数知识点(最新整理)
（一）二次函数2014 新湘教版九年级数学下
第一章二次函数
1、二次函数的概念：一般地，形如y =ax2+bx +c （a ，b ，c 是常数，a ≠ 0 ）的函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一元二
次方程类似，二次项系数a ≠ 0 ，而b ，c 可以为零．二次函数的定义域是全体实数．
2. 、二次函数y =ax2+bx +c 的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 最高次数是2．
⑵ a ，b ，c 是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．
（二）二次函数的图像和性质
1、二次函数的基本形式
（1）二次函数基本形式：y =ax2的图像和性质：
a 的符号开口
方向
顶点
坐标
对称
轴
性质
a > 0
向上(0，0)
y 轴
x > 0 时，y 随x 的增大而增大；
x < 0 时，y 随x 的增大而减小；
x = 0 时，y 有最小值0 ．
a < 0
向下(0，0)
y 轴
x > 0 时，y 随x 的增大而减小；
x < 0 时，y 随x 的增大而增大；
x = 0 时，y 有最大值0 ．
（2）y =ax2+c 的图像和性质：（上加下减）
a 的符号开口
方向
顶点
坐标
对称
轴
性质
a > 0 向上(0，c)
y 轴
x > 0 时，y 随x 的增大而增大；
x < 0 时，y 随x 的增大而减小；
x = 0 时，y 有最小值c ．
a < 0 向下(0，c)
y 轴
x > 0 时，y 随x 的增大而减小；
x < 0 时，y 随x 的增大而增大；
x = 0 时，y 有最大值c ．
（3）y =a (x-h)2 的性质（左加右减）
a 的符号开口
方向
顶点
坐标
对称
轴
性质
a > 0
向上(h ，0)
X=h
x >h 时，y 随x 的增大而增大；
x x =h 时，y 有最小值0 ． y =a (x-h +k) a 的符号开口 方向 顶点坐 标 对 称 轴 性质 a > 0 向上(h ，k ) X=h x >h a < 0 时，y 随x 的增大而增 大；x x =h 时，y 有最小值k ． a < 0 向下(h ，k ) X=h x >h 时，y 随x 的增大而减小； x x =h 时，y 有最大值k ． a < 0 向下(h ，0) X=h x >h 时，y 随x 的增大而减小； x x =h 时，y 有最大值0 ． 2 （4）二次函数的图象与性质 （5）二次函数y =ax 2+bx +c 的图像与性质 a 的符号开口 方向 顶点 坐标 对称 轴 性质 a > 0 向上? b 4a c -b2? - 2a ， 4a ? ?? x =- b 2a x >- b 时，y 随x 的增大而增大； 2a x <- b 时，y 随x 的增大而减小； 2a b 4a c -b2 x =-时，y 有最小值． 2a 4a a < 0 向下? b 4a c -b2? - 2a ， 4a ? ?? x =- b 2a x <- b 时，y 随x 的增大而增大； 2a x >- b 时，y 随x 的增大而减小； 2a b 4a c -b2 x =-时，y 有最大值． 2a 4a 2、二次函数y =ax2+bx +c 图象的画法 ①画精确图：五点绘图法（列表-描点-连线） 利用配方法将二次函数y =ax2+bx +c 化为顶点式y =a(x -h)2+k ， 2a 2a b 2a ab 的符号的判定：对称轴 x = - b 在 y 轴左边则 ab > 0 ，在 y 轴的右侧则 ab < 0 ，概括的说就是“左同右异” 2a 即抛物线的对称轴就是 y 轴；当b < 0 时， - < 0 ，即抛物线对称轴在 y 轴的左侧． 2a a x 确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图. ②画草图：抓住以下几点：开口方向，对称轴，与 x 轴 y 轴的交点，顶点. 3、二次函数图象的平移： 平移步骤： ⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式 y = a ( x - h )2 + k ，确定其顶点坐标(h ， k ) ； ⑵ 保持抛物线 y = ax 2 的形状不变，将其顶点平移到(h ， k ) 处，具体平移方法如下： 平移规律： 在原有函数的基础上“ h 值正右移，负左移； k 值正上移，负下移” 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 4、二次函数 y = a ( x - h )2 + k 与 y = ax 2 + bx + c 的比较：从解析式上看， y = a ( x - h )2 + k 与 y = ax 2 + bx + c 是两种不同的 ? b ?2 4ac - b 2 b 4ac - b 2 表达形式，后者通过配方可以得到前者，即 y = a x + ? + ? ? 4a ，其中 h = - ， k = ． 2a 4a 5、求抛物线的顶点、对称轴的方法 ①公式法： y = ax 2 + bx + c = ? + b ?2 ? + 4ac - b 2 ，顶点是（- b 4a c - b 2 ， ），对称轴是 x = - b . ? 2a ? 4a 2a 4a 2a ②配方法：将抛物线的解析式化为 y = a (x - h )2 + k 的形式，得到顶点为( h , k )，对称轴是直线 x = h . ③运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是 抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点. ④抛物线 y = ax 2 + bx + c 的图象与 y 轴一定相交，交点坐标为(0 ， c ) ； 6、二次函数的图象与各项系数之间的关系 （1）二次项系数 a ：二次函数 y = ax 2 + bx + c 中， a 作为二次项系数，显然 a ≠ 0 a 决定了抛物线开口的大小和方向， a 的正负决定开口方向，的 a 的值越大，抛物线的开口越小． （2） 一次项系数b ：在二次项系数 a 确定的前提下， b 决定了抛物线的对称轴的位置． b b 在 a > 0 的前提下：当b > 0 时， - < 0 ，即抛物线的对称轴在 y 轴左侧；当b = 0 时， - = 0 ， 2a 2a b 即抛物线的对称轴就是 y 轴；当b < 0 时， - > 0 ，即抛物线对称轴在 y 轴的右侧． 2a b b 在 a < 0 的前提下：当b > 0 时， - > 0 ，即抛物线的对称轴在 y 轴右侧；当b = 0 时， - = 0 ， ( ) ( ) ( ) x ( ) ( ) ( ) y = ax + bx + c y = -ax + bx - c y y = ax + bx + c y y = ax - bx + c x y = ax + bx + c y = -ax - bx - c x - b ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) （3）常数项 c ：决定了抛物线与 y 轴交点的位置． 当 c > 0 时，抛物线与 y 轴的交点在 x 轴上方，即抛物线与 y 轴交点的纵坐标为正； 当 c = 0 时，抛物线与 y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与 y 轴交点的纵坐标为 0 ； 当 c < 0 时，抛物线与 y 轴的交点在 x 轴下方，即抛物线与 y 轴交点的纵坐标为负． （三）不共线三点确定二次函数的表达式 1、用待定系数法求二次函数的解析式 ①一般式： .已知图象上三点或三对 、 的值，通常选择一般式. ②顶点式： .已知图象的顶点或对称轴或抛物线上纵坐标相同的两点，通常选择顶点式. ③交点式： .已知图象与 轴的交点坐标 、 ，通常选择交点式. 2、二次函数图象的对称：二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 2 2 （1） 关于 轴对称： 关于 轴对称后，得到的解析式是 ； y = a x - h 2 + k y = -a x - h 2 - k 关于 轴对称后，得到的解析式是 ； 2 2 （2）关于 轴对称： 关于 轴对称后，得到的解析式是 ； y = a x - h 2 + k y = a x + h 2 + k 关于 轴对称后，得到的解析式是 ； 2 2 （3）关于原点对称： 关于原点对称后，得到的解析式是 ； y = a x - h 2 + k y = -a x + h 2 - k 关于原点对称后，得到的解析式是 ； （4）关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转 180°） y = ax 2 + bx + c y = -ax 2 2 bx + c - 2a 关于顶点对称后，得到的解析式是 ； y = a x - h 2 + k y = -a x - h 2 + k 关于顶点对称后，得到的解析式是 ． m ， （5）关于点 n y = a x - h 2 + k m ， 对称： 关于点 n y = -a x + h - 2m 2 + 2n - k 对称后，得到的解析式是 根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此 a 永远不变．习惯上是先确定原抛物线（或 表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式． （四）二次函数与一元二次方程的关系 二次函数与一元二次方程的关系： 函数 y = ax 2 + bx + c ，当 y = 0 时，得到一元二次方程 ax 2 + bx + c = 0 ，那么 一元二次方程的解就是二次函数的图象与 x 轴交点的横坐标，因此二次函数图象与 x 轴的交点情况决定一元二次方程根的情况. ( 的图象 与 x 轴有两个交点 y 为全体实数 与 x 轴有一个交点 y≥0 与 x 轴有无交点 y>0 的解 方程有两个不等实数解 方程有两个相等实数解 方程没有实数解 （五）二次函数的应用 二次函数解决实际问题的一般步骤是：(1)建立适当的平面直角坐标系；(2)把实际问题中的一些数据与点的坐标联系起来；(3)用待定系数法求出抛物线的关系式；(4)利用二次函数的图象及其性质去分析问题、解决问题. “” “” At the end, Xiao Bian gives you a passage. Minand once said, "people who learn to learn are very happy people.". In every wonderful life, learning is an eternal theme. As a professional clerical and teaching position, I understand the importance of continuous learning, "life is diligent, nothing can be gained", only continuous learning can achieve better self. Only by constantly learning and mastering the latest relevant knowledge, can employees from all walks of life keep up with the pace of enterprise development and innovate to meet the needs of the market. This document is also edited by my studio professionals, there may be errors in the document, if there are errors, please correct, thank you!