2019高考数学考点突破——集合与常用逻辑用语集合学案
集合
【考点梳理】
1．元素与集合
(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性．
(2)元素与集合的关系是属于或不属于，表示符号分别为∈和?．
(3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、Venn图法．
2．集合间的基本关系
(1)子集：若对任意x∈A，都有x∈B，则A?B或B?A．
(2)真子集：若A?B，但集合B中至少有一个元素不属于集合A，则A?≠B或B?≠A．
(3)相等：若A?B，且B?A，则A＝B．
(4)空集的性质：?是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．
3．集合的基本运算
并集交集补集
图形表示
符号表示A∪B A∩B ?U A
意义{x|x∈A或x∈B} {x|x∈A且x∈B}{x|x∈U且x?A} 4.
(1)若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个．
(2)子集的传递性：A?B，B?C?A?C.
(3)A?B?A∩B＝A?A∪B＝B.
(4)?U(A∩B)＝(?U A)∪(?U B)，?U(A∪B)＝(?U A)∩(?U B)．
【考点突破】
考点一、集合的基本概念
【例1】(1)已知集合M＝{1,2}，N＝{3,4,5}，P＝{x|x＝a＋b，a∈M，b∈N}，则集合P 的元素个数为( )
A．3 B．4
C．5 D．6
(2)若集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一个元素，则a＝( )
A ．92
B ．98
C ．0
D ．0或9
8
[答案] (1) B (2) D
[解析] (1) 因为a ∈M ，b ∈N ，所以a ＝1或2，b ＝3或4或5.当a ＝1时，若b ＝3，则x ＝4；若b ＝4，则x ＝5；若b ＝5，则x ＝6.同理，当a ＝2时，若b ＝3，则x ＝5；若b ＝4，则
x ＝6；若b ＝5，则x ＝7，由集合中元素的特性知P ＝{4,5,6,7}，则P 中的元素共有4个．
(2)若集合A 中只有一个元素，则方程ax 2
－3x ＋2＝0只有一个实根或有两个相等实根． 当a ＝0时，x ＝2
3
，符合题意；
当a ≠0时，由Δ＝(－3)2
－8a ＝0得a ＝98，
所以a 的取值为0或9
8.
【类题通法】
与集合中的元素有关的解题策略
(1)确定集合中的代表元素是什么，即集合是数集还是点集． (2)看这些元素满足什么限制条件．
(3)根据限制条件列式求参数的值或确定集合中元素的个数，但要注意检验集合是否满足元素的互异性．
【对点训练】
1. 已知集合A ＝{(x ，y )|x 2
＋y 2
＝1}，B ＝{(x ，y )|y ＝x }，则A ∩B 中元素的个数为( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．0
[答案] B
[解析] 因为A 表示圆x 2
＋y 2＝1上的点的集合，B 表示直线y ＝x 上的点的集合，直线y ＝x 与圆x 2
＋y 2
＝1有两个交点，所以A ∩B 中元素的个数为2.
2. 已知集合A ＝{x ∈R|ax 2
＋3x －2＝0}，若A ＝?，则实数a 的取值范围为________. [答案] ?
????－∞，－98
[解析] ∵A ＝?，∴方程ax 2＋3x －2＝0无实根，
当a ＝0时，x ＝2
3
不合题意；
当a ≠0时，Δ＝9＋8a ＜0，∴a ＜－98，故实数a 的取值范围为?
????－∞，－98. 考点二、集合间的基本关系
【例2】(1) 已知集合A ＝{x |x 2
－3x ＋2＝0，x ∈R}，B ＝{x |0 D ．B ?≠A (2) 已知集合A ＝{x |－1 [解析] (1) 由x 2 －3x ＋2＝0得x ＝1或x ＝2，∴A ＝{1,2}．由题意知B ＝{1,2,3,4}，比较A ，B 中的元素可知A ?≠B ，故选C. (2)当m ≤0时，B ＝?，显然B ?A . 当m >0时，∵A ＝{x |－1 当B ?A 时，在数轴上标出两集合，如图， ∴???? ? －m ≥－1，m ≤3，－m ，∴0 综上所述，m 的取值范围为(－∞，1]． 【类题通法】 1. 判断集合间关系的3种方法 列举法 根据题中限定条件把集合元素表示出来，然后比较集合元素的异同，从而找出集合之间的关系． 结构法 从元素的结构特点入手，结合通分、化简、变形等技巧，从元素结构上找差异进行判断． 数轴法 在同一个数轴上表示出两个集合，比较端点之间的大小关系，从而确定集合与集合之间的关系． 化简要分类 若参数在元素的性质特征之中，多以一次不等式或二次不等式的形式出现， 此时要对其进行合理分类，分类的主要依据就是参数对该不等式的对应方 程的解的影响．分类的主要层次为：①最高次幂系数是否为0；②方程是 否有解；③解之间的大小关系． 关系要分类 已知两个集合之间的关系求参数的取值，要注意对集合是否为空集进行分 类讨论，因为?是任意一个集合的子集． “端点”要取舍 利用集合之间的子集关系确定参数所满足的条件，实际上就是比较两个区 间端点值的大小关系，所以集合对应区间的端点的取舍对两个集合之间的 关系有制约作用，这也是区分子集与真子集的关键．如已知A＝(1,3]，B ＝[a，b](a ?? ? ??a>1， b≤3； 若A?B，则 ?? ? ??a≤1， b≥3 1．设集合A＝{x|－x2－x＋2<0}，B＝{x|2x－5>0}，则集合A与B的关系是( ) A．B?A B．B?A C．B∈A D．A∈B [答案] A [解析] 因为A＝{x|－x2－x＋2<0}＝{x|x>1或x<－2}，B＝{x|2x－5>0}＝ ? ? ? ? ? ? x ?? ?x>5 2 . 在数轴上标出集合A与集合B，如图所示， 可知，B?A. 2．已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1＜x＜2m－1}，若B?A，则实数m的取值范围是________． [答案] (－∞，4] [解析] 当B＝?时，有m＋1≥2m－1，则m≤2. 当B≠?时，若B?A，如图． 则???? ? m ＋1≥－2，2m －1≤7，m ＋1＜2m －1， 解得2＜m ≤4. 综上，m 的取值范围为(－∞，4]. 考点三、集合的基本运算 【例3】(1) 已知集合A ＝{1,2,3,4}，B ＝{2,4,6,8}，则A ∩B 中元素的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 (2) 已知集合A ＝{1,2,3}，B ＝{x |(x ＋1)(x －2)<0，x ∈Z}，则A ∪B ＝( ) A ．{1} B ．{1,2} C ．{0,1,2,3} D ．{－1,0,1,2,3} (3) 已知全集U ＝R ，A ＝{x |x ≤0}，B ＝{x |x ≥1}，则集合?U (A ∪B )＝( ) A ．{x |x ≥0} B ．{x |x ≤1} C ．{x |0≤x ≤1} D ．{x |0 (4) 已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2 －3x －4>0}，B ＝{x |－2≤x ≤2}，则如图所示阴影部分所表示的集合为( ) A ．{x |－2≤x <4} B ．{x |x ≤2或x ≥4} C ．{x |－2≤x ≤－1} D ．{x |－1≤x ≤2} [答案] (1) B (2) C (3) D (4) D [解析] (1) A ，B 两集合中有两个公共元素2,4，故选B. (2)因为B ＝{x |(x ＋1)(x －2)<0，x ∈Z}＝{x |－1 A ∪ B ＝{0,1,2,3}，故选 C ． (3) ∵A ＝{x |x ≤0}，B ＝{x |x ≥1}， ∴A ∪B ＝{x |x ≤0或x ≥1}，在数轴上表示如图. ∴?U (A ∪B )＝{x |0 (4)依题意得A＝{x|x<－1或x>4}，因此?R A＝{x|－1≤x≤4}，题中的阴影部分所表示的集合为(?R A)∩B＝{x|－1≤x≤2}，故选D. 【类题通法】 1．在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化． 2．集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍． 【对点训练】 3．(1) 设集合A＝{1，3，5，7}，B＝{x|2≤x≤5}，则A∩B＝( ) A．{1，3} B．{3，5} C．{5，7} D．{1，7} (2) 设集合A＝{y|y＝2x，x∈R}，B＝{x|x2－1<0}，则A∪B＝( ) A．(－1，1) B．(0，1) C．(－1，＋∞) D．(0，＋∞) (3) 设集合U＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{1，3，5}，B＝{3，4，5}，则?U(A∪B)＝( ) A．{2，6} B．{3，6} C．{1，3，4，5} D．{1，2，4，6} (4) 集合U＝R，A＝{x|x2－x－2<0}，B＝{x|y＝ln(1－x)}，则图中阴影部分所表示的集合是( ) A．{x|x≥1} B．{x|1≤x<2} C．{x|0 [答案] (1) B (2) C (3) A (4) B [解析] (1)因为A＝{1，3，5，7}，而3，5∈A且3，5∈B，所以A∩B＝{3，5}. (2) 由y＝2x，x∈R，知y>0，则A＝(0，＋∞). 又B＝{x|x2－1<0}＝(－1，1). 因此A∪B＝(－1，＋∞). (3) ∵A＝{1，3，5}，B＝{3，4，5}，∴A∪B＝{1，3，4，5}， 又全集U＝{1，2，3，4，5，6}，因此?U(A∪B)＝{2，6}. (4) 易知A＝(－1，2)，B＝(－∞，1)，∴?U B＝[1，＋∞)，A∩(?U B)＝[1，2).因此阴影部分表示的集合为A∩(?U B)＝{x|1≤x<2}.