由2008年江西高考理科数学最后一题说起
周湖平
年年岁岁卷相似,岁岁年年题不同。2008年是江西省高考数学自主命题的第四年,今年全省理科平均分为69.37 比去年了降了19.87,特别是理科压轴题的难度系数为0.11,属于超难题。2007年考生满面笑容,2008年考生叫苦连天。2008年的理科压轴题是一道函数与不等式的综合题,一改前两年以数列与不等式的综合题为压轴题局面,避免了老师和学生猜题压宝,具有良好的导向作用。压轴题基于公平的原则体现了试题选拔功能,其设计之新颖,立意之深隧,技巧之高难,把选拔功能体现得酣畅淋漓。本文以08年江西省高考数学理科压轴题为例谈谈自己的看法。
1考查能力好载体
题目 函数()f x =x +11+a +11+8
+ax ax ,x ∈(0,+∞). (1)当8a =时,求()f x 的单调区间;
(2)对任意正数a ,证明:()12f x <<.
解 (1)略
(2)对任意给定的0>a ,0>x ,因为
ax a x x f 8
111111)(+++++=,若令ax
b 8=,则8=abx ① b
a x x f +++++=11
11
11
)( ② (一)先证1)(>x f :因为x x +>+1111,a a +>+1111,b
b +>+1111 又由x b a +++2≥8244=abx ,∴x b a ++≥6
所以
(2).再证2)( 111 <+b ,162 61 61 11 11 <=+≤+++a x 1)1)(1)(1()()(1)1)(1)(1()()(9)1)(1)(1()(2311111111 1111)(=++++++++++=+++++++++≥+++++++++=+++++>+++++=b a x abx ax bx ab x b a b a x ax bx ab x b a b a x ax bx ab x b a b a x b a x x f ∴211 11 11 )(<+++++=b a x x f (Ⅱ)若a+b<7,由①得ab x 8=,∴8 11+=+ab ab x ③ 因为222)) 1(21()(41111b b b a b b b b +-=+++-<+ ∴)1(2111 b b b +- <+ ④ 同理得)1(2111a a a +- <+ ⑤,于是 )8 211(212)(+-+++- 211+>+++ab ab b b a a ⑦ 因为)1)(1(211b a ab b b a a ++>+++,则只要) 1)(1(2b a ab ++82+>ab ab 只要ab b a +<++8)1)(1(,即证ab ab b a +<+++81,即a+b<7,而这显然成立。 综上,对任意正数a ,()12f x <<. 此题虽然难,但其第(1)问的入口较宽,只要正确求出函数的导数,便可得到答案;这样变难题的整体把关为难题的分支把关,充分考查学生的个性品质。数学压轴题已从“一题把关”转为“多题把关”,设置了层次分明的台阶,入口宽,上手易,但是深入难,解到底更难。第2小题无人挨边;14分的题全省9分一人,8分二人。第(2)问的构造思想和放缩法等的应用要有很高的技巧,以下引用不等式研究专家宋庆老师的发言:说句实在话,该题命题人陶平生教授[1]所给出的证明是最好的。问题只是这道好题在不恰当的时间出现在不恰当的地方。平心而论,不等式做到这个分上,可以说达到了一个佳境。 2似曾相识燕归来 08年江西理科最后一题第(2)小题与2004年西部奥林匹克最后一题类似,且证明比这道西部奥林匹克题还难。而这道西部奥林匹克题当年参赛选手无一人完全证出。 2004西部数学奥林匹克第八题求证:对任意正实数a、b、c都 有 22 1 2 <≤(王建伟供题) 提示:令 222 222 ,, b c a x y z a b c ===,则,, x y z R + ∈,1 xyz=,于是,只须证 明 1 2 <≤,不妨设x y z ≤≤。 《中学数学研究》(南昌)2006年第2期“一道西部数学奥林匹克赛题的溯源与推广”(四川省篷安中学蒋明斌老师著);对那道西部奥林匹克题给出了推广。福建龙岩学院吴善和老师2004年7月,在《中学数学研究》(南昌)“关于IMO42一个不等式的逆向”一文给出了右边不等式的一种证明。 从历届竞赛题中找借鉴已成为高考命题的一种趋势,2008年有几道高考试题具有竞赛背景,譬如,天津市数学高考理科第22题第(3)小题,需要按4的剩余类讨论,广东省数学高考理科第21题和重庆数学高考理科第22题均涉及求二阶线性递归数列的通项公式。参加过数学竞赛训练的同学得益明显,试题背景有失公平,引发争议。 3华山不止一条道 著名数学家张景中院士认为此题难度较大,适宜竞赛而不适合高考。命题者提供的参考答案看似推理自然,但实际上做题者难以想到。下面提供另一种解法,以供叁考。 = 8 b=x,c= ax ,问题转化为在三个正数a、b、c且8 abc= 的条件下求(,,) F a b c=的上下界。不妨设a b c ≤≤,记 8 ,, t a k ab c k ===,把(,,) F a b c看成t的函 数()(,, f t F a b c ==+ ,注意变量和参数范围为02 t <≤≤,计算导数 33 233 22 2 1 '()((1)(1))((1)())(,) 2 k k f t t k t t t k Q t k t t -- =-+++=+-+,这里(,) Q t k是某个正值代数式,于是可根据233 ()((1)()) g t k t t t k =+-+ 的正负来判断的增减。注意到0 g=,容易作因式分解:22 ()()((3)) g t k t t k k t k =---+,由第二个因式形成的二次方程2(3)0 t k k t k --+=的判别式22 (3)4 k k k =-- ,当4 k<时有0 < 。于是 2(3) t k k t k --+ 在上递增,从而() f t 在t=处最大。容易检验 有 2 f=<和()1 f t>。 每日一题|小学数学1——6年级天天练 习 姓名:__________ 指导:__________ 日期:__________ 2. 一件上衣278元,一条裤子245元妈妈500元钱买这件上衣和这条裤子,够吗?如果不够,还差多少钱? 3. 直接写出得数。 320+260= 740-160= 516+194= 54÷9= 9×8- 52= 63÷7+32= 三年级 1. 给长6米,宽4米的客厅地面铺地砖。如果用边长是2分米的地砖铺地,一共需要多少块?如果每块地砖5元,一共需要多少元? 2.一辆洒水车每分钟行驶200米,洒水的宽度是8米,洒水车行驶1小时能给多大的地面洒上水? 3. 我校三年级(1)班有4个小组,每个小组有9人,他们在植树节共植树180棵。平均每人植树多少棵? 四年级 1.李明参加自行车比赛集训,每天骑200千米,骑10小时,一个月一共骑行多少千米?(一个月按30天计算) 2. 小明身上的钱是小华的5倍,小明如果给小华40元,那么两人的钱就一样多。小明和小华原来各有多少元? 3.学校有一块正方形试验田,若将一组对边增加3米,面积比原来增加48平方米,现在试验田的面积是多少平方米?(先图整理,再解答) 五年级 1.一块地2公顷,其中种西红柿,种黄瓜,剩下的种青菜,种青菜的面积是多少公顷? 2.一个圆形养鱼池周长是11 3.04米,中间有一个圆形小岛,半径是6米,这个养鱼池的水域面积是多少平方米? 3.两根铁丝长分别是18分米、30分米,现在要将它们截成相等的小段,每根都不得有剩余,最少可以截成多少段? 六年级 1. 如图,用高都是1米,底面半径分别为1.5米、1米和0.5米的3个圆柱组成一个物体.问这个物体的表面积是多少平方米?(π取3.14) 2. 一堆由苹果和梨子组成的水果,苹果的质量和梨子的质量之比是4:3,现加入8斤梨子,水果的总质量变为64斤,求加入梨子后,水果中苹果和梨子的质量之比为多少? 参考答案 一年级 1.6+6=12(粒)12+12=24(粒) 2012年江西省高考数学试卷(理科) 参考答案与试题解析 一.选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.(5分)(2012?江西)若集合A={﹣1,1},B={0,2},则集合{z|z=x+y,x∈A,y∈B}中的元素的个数为() A.5B.4C.3D.2 考点:元素与集合关系的判断. 专题:集合. 分析:根据题意,计算元素的和,根据集合中元素的互异性,即可得到结论. 解答:解:由题意,∵集合A={﹣1,1},B={0,2},﹣1+0=﹣1,1+0=1,﹣1+2=1,1+2=3 ∴{z|z=x+y,x∈A,y∈B}={﹣1,1,3} ∴集合{z|z=x+y,x∈A,y∈B}中的元素的个数为3 故选C. 点评:本题考查集合的概念,考查集合中元素的性质,属于基础题. 2.(5分)(2012?江西)下列函数中,与函数y=定义域相同的函数为() A. y=B. y= C.y=xe x D. y= 考点:正弦函数的定义域和值域;函数的定义域及其求法. 专题:计算题. 分析: 由函数y=的意义可求得其定义域为{x∈R|x≠0},于是对A,B,C,D逐一判断即 可得答案. 解答: 解:∵函数y=的定义域为{x∈R|x≠0}, ∴对于A,其定义域为{x|x≠kπ}(k∈Z),故A不满足; 对于B,其定义域为{x|x>0},故B不满足; 对于C,其定义域为{x|x∈R},故C不满足; 对于D,其定义域为{x|x≠0},故D满足; 综上所述,与函数y=定义域相同的函数为:y=. 故选D. 点评:本题考查函数的定义域及其求法,正确理解函数的性质是解决问题之关键,属于基础题. 2018年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 一、填空题 1. 设121i z i i -=++,则z = A . 0 B .12 C .1 D .2 2.已知集合{}220A x x x =-->,则R A = A . {}12x x -<< B .{}12x x -≤≤ C .{}{}12x x x x <-> D .{}{}12x x x x ≤-≥ 3.某地区经过一年的新农村建设,农村的经济收入增加了一倍,实现翻番,为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况,统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例,得到如下饼图: 则下面结论中不正确的是 A .新农村建设后,种植收入减少 B .新农村建设后,其他收入增加了一倍以上 C .新农村建设后, 养殖收入增加了一倍 D .新农村建设后,养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 4.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,若3243S S S =+,12a =,则5a = A . 12- B .10- C .10 D .12 5.设函数32 ()(1)f x x a x ax =+-+,若()f x 为奇函数,则曲线()y f x =在点()0,0处的切线方程为 A . 2y x =- B .y x =- C .2y x = D .y x = 6.在ABC ?中,AD 为BC 边上的中线,E 为AD 的中点,则EB = A . 3144A B A C - B .1344 AB AC - C .3144AB AC + D .1344 AB AC + 7.某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如右图,圆柱表 面上的点M 在正视图上的对应点为A ,圆柱表面上的点N 在 左视图上的对应点为B ,则在此圆柱侧面上,从M 到N 的路 径中,最短路径的长度为 A . 217 B .25 C .3 D .2 8.设抛物线2:4C y x =的焦点为F ,过点()2,0-且斜率为23 的直线与C 交于M ,N 两点,则FM FN ?= A . 5 B .6 C .7 D .8 9.已知函数,0()ln ,0 x e x f x x x ?≤=?>? ,()()g x f x x a =++,若()g x 存在2个零点,则a 的取值范围是 A . [)1,0- B .[)0,+∞ C .[)1,-+∞ D .[)1,+∞ 10.下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形,此图由三个半圆构成,三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ,直角边,AB AC ,ABC ?的三边所围成的区域记为Ⅰ,黑色部分记为Ⅱ,其余部分记为Ⅲ,在整个图形中随机取一点,此点取自Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ的概率分别记为123,,p p p ,则 A . 12p p = B .13p p = C .23p p = D .123p p p =+ 11.已知双曲线2 2:13 x C y -=,O 为坐标原点,F 为C 的右焦点,过F 的直线与两条渐近线的交点分别为M ,N ,若OMN ?为直角三角形,则MN = A . 32 B .3 C .23 D .4 12.已知正方体的棱长为1,每条棱所在直线与平面α所 成的角都相等,则α截此正方体所得截面面积的最大值 为 2006高等学校全国统一数学文试题(江西卷) 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合{}(1)0P x x x =-≥, 101Q x x ??=>?? -??,则P Q 等于( ) A.? B.{}1x x ≥ C. {}1x x > D. {}1x x x <0或≥ 2.函数 4sin 21 y x π? ?=++ ?3??的最小正周期为( ) A.π 2 B.π C.2π D.4π 3.在各项均不为零的等差数列{}n a 中,若2 110(2)n n n a a a n +--+=≥,则214n S n --=( ) A.2- B.0 C.1 D.2 4.下列四个条件中,p 是q 的必要不充分条件的是( ) A.:p a b >,22 :q a b > B.:p a b >,:22a b q > C. 22 :p ax by c +=为双曲线,:0q ab < D.2 :0p ax bx c ++>, 2: 0c b q a x x -+> 5.对于R 上可导的任意函数()f x ,若满足(1)()0x f x '-≥,则必有( ) A.(0)(2)2(1)f f f +< B.(0)(2)2(1)f f f +≤ C.(0)(2)2(1)f f f +≥ D.(0)(2)2(1)f f f +> 6.若不等式2 10x ax ++≥对一切 102x ??∈ ???,成立,则a 的最小值为( ) A.0 B.2- C.52- D.3- 7 .在 2n x ?? ?的二项展开式中,若常数项为60,则n 等于( ) A.3 B.6 C.9 D.12 8.袋中有40个小球,其中红色球16个、蓝色球12个,白色球8个,黄色球4个,从中随机抽取 10个球作成一个样本,则这个样本恰好是按分层抽样方法得到的概率为( ) A.1234481216 1040C C C C C B.2134 481216 1040C C C C C C.2314481216 1040C C C C C D.1342481216 1040C C C C C 9.如果四棱锥的四条侧棱都相等,就称它为“等腰四棱锥”,四条侧棱称为它的腰,以下4个命题 中,假命题是( ) A.等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等 B.等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补 C.等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆 D.等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上 10.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若1200OB a OA a OC =+,且A B C ,,三点共线(该直 线不过点O ),则200 S 等于( ) A.100 B.101 C.200 D.201 11.P 为双曲线22 1916x y -=的右支上一点,M ,N 分别是圆22(5)4x y ++=和 22 (5)1x y -+=上的点,则PM PN -的最大值为( ) A.6 B.7 C.8 D.9 高一数学每日一练 命题人: 时间:2014年12月5日 姓名: 1、已知函数)2(-x f 是偶函数,当212->>x x 时,2121[()()]()0f x f x x x -->恒成立,设)1(),2(),3(f c f b f a =-=-=,则,,a b c 的大小关系为( ) A .b a c << B .c b a << C .b c a << D .a b c << 2.下列函数中在[1,2]上有零点的是( ) A.543)(2+-=x x x f B.55)(3+-=x x x f C.63ln )(+-=x x x f D.63)(-+=x e x f x 3、函数1241++=+x x y 的值域是 . 4.已知函数)(x f y =是R上的奇函数,其零点1x ,2x ……2007x ,则 200721x x x +++ = 。 高一数学每日一练 命题人: 时间:2014年12月6日 姓名: 1.若210,5100==b a ,则b a +2= ( ) A 、0 B 、1 C 、2 D 、3 2.设,用二分法求方程 内近似解的 过程中得 则方程的根落在区间( ) A . B . C . D .不能确定 3、当0>x 时,函数x a y )8(2-=的值恒大于1,则实数a 的取值范围是_ _____. 4.函数的零点个数为 。 5.已知函数,则函数的零点是__ __. ()833-+=x x f x ()2,10833∈=-+x x x 在()()(),025.1,05.1,01<>每日一题-小学数学1——6年级天天练习
(完整版)2012年江西省高考数学试卷(理科)答案与解析
2018高考数学理科全国卷1
历年江西高考数学文科卷
高一数学每日一练
2006年高考数学试题(江西文)含答案