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2016年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)
数 学(理工类)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分,考试用时120分钟。第Ⅰ卷1至2页,第Ⅱ卷3至5页。
答卷前,考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上,并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时,考生务必将答案涂写在答题卡上,答在试卷上的无效。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利!
第Ⅰ卷
注意事项:
1. 每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。
2. 本卷共8小题,每小题5分,共40分。
参考公式:
?如果事件A ,B 互斥,那么
?如果事件A ,B 相互独立,那么
()()()P A B P A P B =+ . ()()()P AB P A P B =.
?圆柱的体积公式V Sh =.?圆锥的体积公式13
V Sh =
. 其中S 表示圆柱的底面面积, 其中S 表示圆锥的底面面积, h 表示圆柱的高.h 表示圆锥的高.
一. 选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 学科.网 (1)已知集合}{4,3,2,1=A ,}
{A x x y y B ∈-==,23,则=B A (A )}{1
(B )}{4 (C )}{3,1
(D )}{4,1
(2)设变量x ,y 满足约束条件??
?
?
???-+-++-.0923,0632,
02y x y x y x 则目标函数y x z 52+=的最小值为
(A )4-
(B )6
(C )10
(D )17
≥ ≥ ≤
(3)在ABC ?中,若13=AB ,3=BC , 120=∠C , 则=AC
(A )1 (B )2 (C )3 (D )4
(4)阅读右边的程序框图,运行相应的程序,则输出S 的值为
(A )2 (B )4
(C )6
(D )8
(5)设}{n a 是首项为正数的等比数列,学科&网公比为q ,则
“0<q ”是“对任意的正整数n ,0212<n n a a +-”的
(A )充要条件 (B )充分而不必要条件 (C )必要而不充分条件 (D )既不充分也不必要条件 (6)已知双曲线
1422
2=-b
y
x )>(0b ,以原点为圆心,双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐
近线相交于A ,B ,C ,D 四点,学科&网四边形ABCD 的面积为b 2,则双曲线的方程为
(A )143422=-y x (B )134422=-y x (C )144222=-y x (D )112
42
2=-y x (7)已知ABC ?是边长为1的等边三角形,点D ,E 分别是边AB ,BC 的中点,连接DE 并延长到点F ,使得EF DE 2=,则BC AF ?的值为
(A )85-
(B )8
1 (C )
4
1
(D )
8
11 (8)已知函数???
??+++-+=0,1)1(log 0,3)34()(2x x x a x a x x f a
<(0>a ,学.科网且1≠a )在R 上单调递减,且关于x 的
方程x x f -=2)(恰好有两个不相等的实数解,则a 的取值范围是
(A )]32
,0(
(B )]4
3
,32[ (C ) ]32,31[{4
3
}
(D ) )32,31[{
4
3}
≥ (第4题图)
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数 学(理工类)
第Ⅱ卷
注意事项:
1. 用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.
2. 本卷共12小题, 共110分.
二.填空题: 本大题共6小题, 每小题5分, 共30分. (9)已知a ,∈b R ,i 是虚数单位,若a b =-+)i 1)(i 1(,则
b
a
的值为_____________. (10)8
2)1(x
x -的展开式中7x 的系数为_____________.(用数字作答)
(11)已知一个四棱锥的底面是平行四边形,该四棱
锥的三视图如图所示(单位:m ),学科.网则该四棱锥的体积 为_____________3
m .
(12)如图,AB 是圆的直径,弦CD 与AB 相交于点E ,
22==AE BE ,ED BD =,则线段CE 的长
为_____________.
(13)已知)(x f 是定义在R 上的偶函数,且在区间
)0,(-∞上单调递增.若实数a 满足)2()2
(1
--f f a >,
则a 的取值范围是_____________.
(14)设抛物线???==pt
y pt x 2,22(t 为参数,0>p )的焦
点F ,准线为l .过抛物线上一点A 作l 的垂线,垂足为
B .设)0,2
7
(p C ,AF 与BC 相交于点E .若AF CF 2=,
且ACE ?的面积为23,则p 的值为_____________.
三. 解答题:本大题共6小题,共80分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (15)(本小题满分13分)
已知函数3)3
cos()2sin(
tan 4)(---=π
π
x x x x f .
(Ⅰ)求)(x f 的定义域与最小正周期; (Ⅱ)讨论)(x f 在区间]4
,4[π
π-上的单调性.
(16)(本小题满分13分)
某小组共10人,利用假期参加义工活动.已知参加义工活动次数为1,2,3的人数分 别为3,3,4.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会.
(Ⅰ)设A 为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”,求事件A 发生的概率; (Ⅱ)设X 为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值,求随机变量X 的分布列 和数学期望.
(17)(本小题满分13分)
如图,正方形ABCD 的中心为O ,四边形OBEF 为矩形,平面⊥OBEF 平面ABCD ,点G 为AB 的中点,2==BE AB .
(Ⅰ)求证:EG ∥平面ADF ; (Ⅱ)求二面角C EF O --的正弦值; (Ⅲ)设H 为线段AF 上的点,且HF AH 3
2
=
, 求直线BH 和平面CEF 所成角的正弦值.
(18)(本小题满分13分)
已知}{n a 是各项均为正数的等差数列,学.科.网公差为d .对任意的*∈N n ,n b 是n a 和1+n a 的等比中项.
(Ⅰ)设221n n n b b c -=+,*∈N n ,求证:数列}{
n c 是等差数列; (Ⅱ)设d a =1,∑=-=n
k k
k
n b T 21
2
)1(,*
∈N n ,求证21211d T n
k k
<∑
=.
(19)(本小题满分14分)
设椭圆13222=+y a x )3(>a 的右焦点为F ,右顶点为A .已知FA
e
OA OF 311=
+, 其中O 为原点,e 为椭圆的离心率. 学.科.网
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设过点A 的直线l 与椭圆交于点B (B 不在x 轴上),垂直于l 的直线与l 交于点M ,与y 轴交于点H .若HF BF ⊥,且MOA ∠≤MAO ∠,求直线l 的斜率的取值范
围.
(20)(本小题满分14分)
设函数b ax x x f ---=3
)1()(,∈x R ,其中a ,∈b R . (Ⅰ)求)(x f 的单调区间;
(Ⅱ)若)(x f 存在极值点0x ,且)()(01x f x f =,其中01x x ≠,求证:3201=+x x ; (Ⅲ)设0>a ,函数)()(x f x g =,求证:)(x g 在区间]2,0[上的最大值不小于...
41
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数 学(理工类)
一、选择题:
(1)【答案】D (2)【答案】B (3)【答案】A (4)【答案】B (5)【答案】C (6)【答案】D (7)【答案】B (8)【答案】C
第Ⅱ卷
二、填空题: (9)【答案】2 (10)【答案】56- (11)【答案】2 (12)【答案】
23
3 (13)【答案】13(,)22
(14) 【答案】6 三、解答题 (15)
【答案】(Ⅰ),2x x k k Z π
π??≠
+∈???
?
,.π(Ⅱ)在区间,124ππ??-????上单调递增, 学科&网在区间412π
π??--??
??,上单调递减. 【解析】
试题分析:(Ⅰ)先利用诱导公式、两角差余弦公式、二倍角公式、配角公式将函数化为基本三角函数:
()()=2sin 23
f x x π
-
,再根据正弦函数性质求定义域、学科&网周期()II 根据(1)的结论,研究三角函数
在区间[,44
ππ
-
]上单调性
试题解析:()I 解:()f x 的定义域为,2x x k k Z π
π??
≠
+∈???
?
. ()4tan cos cos 34sin cos 333f x x x x x x ππ???
?=--=-- ? ????
?
2
13=4sin cos sin 32sin cos 23sin 322x x x x x x ??+-=+- ? ??? ()()=sin 231-cos 23sin 23cos 2=2sin 23
x x x x x π
+-=--
.
所以, ()f x 的最小正周期2.2
T π
π=
= ()II 解:令2,3z x π=-函数2sin y z =的单调递增区间是2,
2,.2
2k k k Z π
π
ππ??
-
++∈????
由2222
3
2
k x k π
π
π
ππ-
+≤-
≤
+,得5,.12
12
k x k k Z π
π
ππ-
+≤≤
+∈ 设5,,,441212A B x k x k k Z ππππππ????=-
=-+≤≤+∈????????
,易知,124A B ππ??
=-???? .
所以, 当,44x ππ??∈-
????学.科网时,()f x 在区间,124ππ??-????上单调递增, 在区间412π
π??--????
,上单调递减. 考点:三角函数性质,诱导公式、两角差余弦公式、二倍角公式、配角公式 【结束】 (16) 【答案】(Ⅰ)1
3
(Ⅱ)详见解析 【解析】
试题分析:(Ⅰ)先确定从这10人中随机选出2人的基本事件种数:2
10C ,再确定选出的2人参加义工活动次数之和为4所包含基本事件数:112344
C C C +,最后根据概率公式求概率(Ⅱ)先确定随机变量可能取值为0,1,2.学.科网再分别求出对应概率,列出概率分布,最后根据公式计算数学期望
试题解析:解:()I 由已知,有
()1123442
101
,3
C C C P A C +==
所以,事件A 发生的概率为
13
. ()∏随机变量X 的所有可能取值为0,1,2.
()222
334
2
100C C C P X C ++==415
=
, ()11113334
2
107115
C C C C P X C +===
, ()1134
2
10
4215
C C P X C ===
. 所以,随机变量X 学.科网分布列为
X 0 1 2
P
415 7
15 415
随机变量X 的数学期望()474
0121151515
E X =?+?+?
=. 考点:概率,概率分布与数学期望 【结束】 (17)
【答案】(Ⅰ)详见解析(Ⅱ)33(Ⅲ)721
【解析】
试题分析:(Ⅰ)利用空间向量证明线面平行,关键是求出面的法向量,利用法向量与直线方向向量垂直进行论证(Ⅱ)利用空间向量求二面角,关键是求出面的法向量,再利用向量数量积求出法向量夹角,最后根据向量夹角与二面角相等或互补关系求正弦值(Ⅲ)利用空间向量证明线面平行,关键是求出面的法向量,再利用向量数量积求出法向量夹角,最后根据向量夹角与线面角互余关系求正弦值
试题解析:依题意,OF ABCD ⊥平面,如图,以O 为点,分别以,,AD BA OF
的方向为x 轴,y 轴、z 轴
的正方向建立空间直角坐标系,依题意可得(0,0,0)O ,
()1,1,0,(1,1,0),(1,1,0),(11,0),(1,1,2),(0,0,2),(1,0,0)A B C D E F G -------,.
(I )证明:依题意,()(2,0,0),1,1,2AD AF ==- .设()1,,n x y z = 为平面ADF 的法向量,则110
n AD n AF ??=???=??
,即20
20
x x y z =??-+=? .不妨设1z =,可得()10,2,1n = ,又()0,1,2EG =- ,可得10EG n ?= ,又因为直线EG ADF ?平面,所以//EG ADF 平面.
(II )解:易证,()1,1,0OA =- 为平面OEF 的一个法向量.依题意,()()1,1,0,1,1,2EF CF ==-
.设
()2,,n x y z = 为平面C E F 的法向量,则220
0n E F n C F ??=???=??
,即020x y x y z +=??
-++=? .不妨设1x =,可得()21,1,1n =-
.
因此有222
6cos ,3OA n OA n OA n ?<>==-
?
,于是23
sin ,3OA n <>= ,所以,二面角O EF C --的正弦值为
3
3
. (III )解:由23AH HF =,学.科网得2
5AH AF =.因为()1,1,2AF =- ,所以2224,,5555AH AF ??==- ???
,
进而有334,,555H ??
- ???,从而284,,555BH ??= ??? ,因此222
7cos ,21BH n BH n BH n ?<>==-
?
.所以,直线BH 和平面CEF 所成角的正弦值为
7
21
.
考点:利用空间向量解决立体几何问题 【结束】 (18)
【答案】(Ⅰ)详见解析(Ⅱ)详见解析 【解析】
试题分析:(Ⅰ)先根据等比中项定义得:21n n n b a a +=,从而22112112n n n n n n n n c b b a a a a da +++++=-=-=,因
此根据等差数列定义可证:()2
12122n n n n c c d a a d +++-=-=(Ⅱ) 对数列不等式证明一般以算代证先利
用分组求和化简()
221
1n
n
n n k T b ==
-∑()()()22
22221234212n n b b b b b b -=-++-++-+()221d n n =+,再利用裂项相
消法求和()222111111111111212121n
n n k k k k
T d k k d k k d n ===????
==-=?- ? ?+++????∑∑∑,易得结论. 试题解析:(I )证明:由题意得21n n n b a a +=,有22112112n n n n n n n n c b b a a a a da +++++=-=-=,因此
()212122n n n n c c d a a d +++-=-=,所以{}n c 是等差数列.
(II )证明:()()()
222222
1234212n n n T b b b b b b -=-++-++-+
()()
()22224222212
n n n a a d a a a d d n n +=+++=?
=+
所以()2222
111111111111
12121212n
n n k k k k T d k k d k k d n d ===????==-=?-< ? ?+++?
???∑∑∑. 考点:等差数列、等比中项、分组求和、裂项相消求和 【结束】 (19)
【答案】(Ⅰ)22143x y +=(Ⅱ)),4
6
[]46,(+∞--∞ 【解析】
试题分析:(Ⅰ)求椭圆标准方程,只需确定量,由
113||||||c OF OA FA +=,得113()c
c a a a c +=-,
再利用2223a c b -==,可解得21c =,24a =(Ⅱ)先化简条件:MOA MAO ∠=∠?||||MA MO =,即M
再OA 中垂线上,1
M x =,
再利用直线与椭圆位置关系,联立方程组求B ;利用两直线方程组求H ,最后
根据HF BF ⊥,列等量关系解出直线斜率.取值范围 试题解析:(1)解:设(,0)F c ,由
113||||||c OF OA FA +=
,即113()
c
c a a a c +=-,可得2223a c c -=,又2
2
2
3a c b -==,所以2
1c =,因此2
4a =,所以椭圆的方程为22
143
x y +
=. (2)(Ⅱ)解:设直线l 的斜率为k (0≠k ),则直线l 的方程为)2(-=x k y .设),(B B y x B ,由方程组
??
???-==+
)2(134
2
2x k y y x ,消去y ,整理得0121616)34(2222=-+-+k x k x k . 解得2=x ,或346822+-=k k x ,由题意得3
4682
2+-=k k x B ,从而34122+-=k k
y B . 由(Ⅰ)知,)0,1(F ,设),0(H y H ,有),1(H y FH -=,)3412,3449(22
2++-=k k
k k BF .由HF BF ⊥,得0=?HF BF ,所以03412344922
2=+++-k ky k k H
,解得k k y H 12492-=.因此直线MH 的方程为k
k x k y 124912
-+-=.
设),(M M y x M ,由方程组?????-=-+
-=)
2(124912
x k y k k x k y 消去y ,解得)1(129202
2++=k k x M .在MAO ?中,||||MO MA MAO MOA ≤?∠≤∠,即2222
)2(M
M
M
M y x y x +≤+-,化简得1≥M x ,即1)
1(129
202
2≥++k k ,解得46-
≤k 或4
6≥k . 所以,直线l 的斜率的取值范围为),4
6
[]46,(+∞-
-∞ . 考点:学.科网椭圆的标准方程和几何性质,直线方程 【结束】
(20)
【答案】(Ⅰ)详见解析(Ⅱ)详见解析(Ⅲ)详见解析 【解析】
试题分析:(Ⅰ)先求函数的导数:a x x f --=2
)1(3)(',再根据导函数零点是否存在情况,分类讨论:①当0a ≤时,有()0f x '≥恒成立,所以()f x 的单调增区间为(,)-∞∞.②当0a >时,存在三个单调区间
(Ⅱ)由题意得3
)1(2
0a x =
-,计算可得00(32)()f x f x -=再由)()(01x f x f =及单调性可得结论(Ⅲ)实
质研究函数)(x g 最大值:主要比较(1),(1)f f -,
33|(
|,|()|33a a f f -的大小即可,分三种情况研究①
当
3
a ≥时,
33120331a
a +≤<≤-
,
②
当
3
34
a ≤<时,
3321233133103321a a a a +≤<+<-<≤-
,③当304a <<时,23
313310<+<- a . 试题解析:(Ⅰ)解:由b ax x x f ---=3 )1()(,可得a x x f --=2 )1(3)('. 下面分两种情况讨论: (1)当0≤a 时,有0)1(3)('2 ≥--=a x x f 恒成立,所以)(x f 的单调递增区间为),(+∞-∞. (2)当0>a 时,令0)('=x f ,解得3 31a x + =,或331a x -=. 当x 变化时,)('x f ,)(x f 的变化情况如下表: x )331,(a - -∞ 331a - )331,331(a a +- 331a + ),3 31(+∞+a )('x f + 0 - 0 + )(x f 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 所以)(x f 的单调递减区间为)331,331(a a +- ,单调递增区间为)331,(a --∞,),3 31(+∞+a . (Ⅱ)证明:因为)(x f 存在极值点,所以由(Ⅰ)知0>a ,且10≠x ,由题意,得0)1(3)('2 00=--=a x x f ,即3 )1(2 0a x = -, 进而b a x a b ax x x f --- =---=3 32)1()(003 00. 又b a ax x a b x a x x f --+-=----=-32)1(3 8)22()22()23(0003 00 )(3 3200x f b a x a =---=,且0023x x ≠-,由题意及(Ⅰ)知,存在唯一实数满足 )()(01x f x f =,且 01x x ≠,因此0123x x -=,所以3201=+x x ; (Ⅲ)证明:设)(x g 在区间]2,0[上的最大值为M ,},max{y x 表示y x ,两数的最大值.下面分三种情况同理: (1)当3≥a 时,3 3120331a a + ≤<≤- ,由(Ⅰ)知,)(x f 在区间]2,0[上单调递减,所以)(x f 在区间]2,0[上的取值范围为)]0(),2([f f ,因此 |}1||,21max{||})0(||,)2(max{|b b a f f M ----== |})(1||,)(1max{|b a a b a a +--++-= ? ? ?<++--≥+++-=0),(10 ),(1b a b a a b a b a a ,所以2||1≥++-=b a a M . (2)当 343<≤a 时,3321233133103321a a a a +≤<+<-<≤-,由(Ⅰ)和(Ⅱ)知,)3 31()3321()0(a f a f f +=- ≥,)331()3321()2(a f a f f -=+≤, 所以)(x f 在区间]2,0[上的取值范围为)]3 31(),331([a f a f -+ ,因此 |}39 2||,392max{||})331(||,)331(max{|b a a a b a a a a f a f M -----=-+= |})(39 2||,)(392max{|b a a a b a a a +-+-- = 4 14334392||392=???≥++= b a a a . (3)当430<