2011届高中数学第一轮复习资料(华南师范附中)

第一章 集合
第一节 集合的含义、表示及基本关系
A组
1．已知A＝{1,2}，B＝{x|x∈A}，则集合A与B的关系为________．
解析：由集合B＝{x|x∈A}知，B＝{1,2}．答案：A＝B
2．若?{x|x2≤a，a∈R}，则实数a的取值范围是________．
解析：由题意知，x2≤a有解，故a≥0.答案：a≥0
3．已知集合A＝{y|y＝x2－2x－1，x∈R}，集合B＝{x|－2≤x<8}，则集合A与B的关系是________．
解析：y＝x2－2x－1＝(x－1)2－2≥－2，∴A＝{y|y≥－2}，∴BA.
答案：BA
4．(2009年高考广东卷改编)已知全集U＝R，则正确表示集合M＝{－1,0,1}和N＝{x|x2＋x＝0}关系的韦恩(Venn)图是________．

解析：由N={x|x2+x=0}，得N={-1,0}，则NM.答案：②
5．(2010年苏、锡、常、镇四市调查)已知集合A＝{x|x>5}，集合B＝{x|x>a}，若命题“x∈A”是命题“x∈B”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是________．
解析：命题“x∈A”是命题“x∈B” 的充分不必要条件，∴AB，∴a<5.
答案：a<5
6．(原创题)已知m∈A，n∈B，且集合A＝{x|x＝2a，a∈Z}，B＝{x|x＝2a＋1，a∈Z}，又C＝{x|x＝4a＋1，a∈Z}，判断m＋n属于哪一个集合？
解：∵m∈A，∴设m＝2a1，a1∈Z，又∵n∈B，∴设n＝2a2＋1，a2∈Z，∴m＋n＝2(a1＋a2)＋1，而a1＋a2∈Z，∴m＋n∈B.
B组
1．设a，b都是非零实数，y＝＋＋可能取的值组成的集合是________．
解析：分四种情况：(1)a>0且b>0；(2)a>0且b<0；(3)a<0且b>0；(4)a<0且b<0，讨论得y＝3或y＝－1.答案：{3，－1}
2．已知集合A＝{－1,3,2m－1}，集合B＝{3，m2}．若B?A，则实数m＝________.
解析：∵B?A，显然m2≠－1且m2≠3，故m2＝2m－1，即(m－1)2＝0，∴m＝1.答案：1
3．设P，Q为两个非空实数集合，定义集合P＋Q＝{a＋b|a∈P，b∈Q}，若P＝{0,2,5}，Q＝{1,2,6}，则P＋Q中元素的个数是________个．
解析：依次分别取a＝0,2,5；b＝1,2,6，并分别求和，注意到集合元素的互异性，∴P＋Q＝{1,2,6,3,4,8,7,11}．答案：8
4．已知集合M＝{x|x2＝1}，集合N＝{x|ax＝1}，若NM，那么a的值是________．
解析：M＝{x|x＝1或x＝－1}，NM，所以N＝?时，a＝0；当a≠0时，x＝＝1或－1，∴a＝1或－1.答案：0,1，－1
5．满足{1}A?{1,2,3}的集合A的个数是________个．
解析：A中一定有元素1，所以A有{1,2}，{1,3}，{1,2,3}．答案：3
6．已知集合A＝{x|x＝a＋，a∈Z}，B＝{x|x＝－，b∈Z}，C＝{x|x＝＋，c∈Z}，则A、B、C之间的关系是________．
解析：用列举法寻找规律．答案：AB＝C
7．集合A＝{x||x|≤4，x∈R}，B＝{x|x5”的________．
解析：结合数轴若A?B?a≥4，故“A?B”是“a>5”的必要但不充分条件．答案：必要不充分条件
8．(20

10年江苏启东模拟)设集合M＝{m|m＝2n，n∈N，且m<500}，则M中所有元素的和为________．
解析：∵2n<500，∴n＝0,1,2,3,4,5,6,7,8.∴M中所有元素的和S＝1＋2＋22＋…＋28＝511.答案：511
9．(2009年高考北京卷)设A是整数集的一个非空子集，对于k∈A，如果k－1?A，且k＋1?A，那么称k是A的一个“孤立元”．给定S＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有________个．
解析：依题可知，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”，这三个元素一定是相连的三个数．故这样的集合共有6个．答案：6
10．已知A＝{x，xy，lg(xy)}，B＝{0，|x|，y}，且A＝B，试求x，y的值．
解：由lg(xy)知，xy>0，故x≠0，xy≠0，于是由A＝B得lg(xy)＝0，xy＝1.
∴A＝{x,1,0}，B＝{0，|x|，}．
于是必有|x|＝1，＝x≠1，故x＝－1，从而y＝－1.
11．已知集合A＝{x|x2－3x－10≤0}，
(1)若B?A，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，求实数m的取值范围；
(2)若A?B，B＝{x|m－6≤x≤2m－1}，求实数m的取值范围；
(3)若A＝B，B＝{x|m－6≤x≤2m－1}，求实数m的取值范围．
解：由A＝{x|x2－3x－10≤0}，得A＝{x|－2≤x≤5}，
(1)∵B?A，∴①若B＝?，则m＋1>2m－1，即m<2，此时满足B?A.
②若B≠?，则解得2≤m≤3.
由①②得，m的取值范围是(－∞，3]．
(2)若A?B，则依题意应有解得故3≤m≤4，
∴m的取值范围是[3,4]．
(3)若A＝B，则必有解得m∈?.，即不存在m值使得A＝B.
12．已知集合A＝{x|x2－3x＋2≤0}，B＝{x|x2－(a＋1)x＋a≤0}．
(1)若A是B的真子集，求a的取值范围；
(2)若B是A的子集，求a的取值范围；
(3)若A＝B，求a的取值范围．
解：由x2－3x＋2≤0，即(x－1)(x－2)≤0，得1≤x≤2，故A＝{x|1≤x≤2}，
而集合B＝{x|(x－1)(x－a)≤0}，
(1)若A是B的真子集，即AB，则此时B＝{x|1≤x ≤ a}，故a>2.
(2)若B是A的子集，即B?A，由数轴可知1≤a≤2.

(3)若A=B，则必有a=2
第二节 集合的基本运算
A组
1．(2009年高考浙江卷改编)设U＝R，A＝{x|x>0}，B＝{x|x>1}，则A∩?UB＝____.
解析：?UB＝{x|x≤1}，∴A∩?UB＝{x|02．(2009年高考全国卷Ⅰ改编)设集合A＝{4,5,7,9}，B＝{3,4,7,8,9}，全集U＝A∪B，则集合?U(A∩B)中的元素共有________个．
解析：A∩B＝{4,7,9}，A∪B＝{3,4,5,7,8,9}，?U(A∩B)＝{3,5,8}．答案：3
3．已知集合M＝{0,1,2}，N＝{x|x＝2a，a∈M}，则集合M∩N＝________.
解析：由题意知，N＝{0,2,4}，故M∩N＝{0,2}．答案：{0,2}
4．(原创题)设A，B是非空集合，定义A?B＝{x|x∈A∪B且x?A∩B}，已知A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|y≥0}，则A?B＝______

__.
解析：A∪B＝[0，＋∞)，A∩B＝[0,2]，所以A?B＝(2，＋∞)．
答案：(2，＋∞)
5．(2009年高考湖南卷)某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为________．
解析：设两项运动都喜欢的人数为x，画出韦恩图得到方程15-x+x+10-x+8=30x=3，∴喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为15-3=12(人)．答案：12
6．(2010年浙江嘉兴质检)已知集合A＝{x|x>1}，集合B＝{x|m≤x≤m＋3}．
(1)当m＝－1时，求A∩B，A∪B；
(2)若B?A，求m的取值范围．
解：(1)当m＝－1时，B＝{x|－1≤x≤2}，∴A∩B＝{x|11，即m的取值范围为(1，＋∞)
B组
1．若集合M＝{x∈R|－3 解析：因为集合N＝{－1,0,1,2}，所以M∩N＝{－1,0}．答案：{－1,0}
2．已知全集U＝{－1,0,1,2}，集合A＝{－1,2}，B＝{0,2}，则(?UA)∩B＝________.
解析：?UA＝{0,1}，故(?UA)∩B＝{0}．答案：{0}
3．(2010年济南市高三模拟)若全集U＝R，集合M＝{x|－2≤x≤2}，N＝{x|x2－3x≤0}，则M∩(?UN)＝________.
解析：根据已知得M∩(?UN)＝{x|－2≤x≤2}∩{x|x<0或x>3}＝{x|－2≤x<0}．答案：{x|－2≤x<0}
4．集合A＝{3，log2a}，B＝{a，b}，若A∩B＝{2}，则A∪B＝________.
解析：由A∩B＝{2}得log2a＝2，∴a＝4，从而b＝2，∴A∪B＝{2,3,4}．
答案：{2,3,4}
5．(2009年高考江西卷改编)已知全集U＝A∪B中有m个元素，(?UA)∪(?UB)中有n个元素．若A∩B非空，则A∩B的元素个数为________．
解析：U＝A∪B中有m个元素，
∵(?UA)∪(?UB)＝?U(A∩B)中有n个元素，∴A∩B中有m－n个元素．答案：m－n
6．(2009年高考重庆卷)设U＝{n|n是小于9的正整数}，A＝{n∈U|n是奇数}，B＝{n∈U|n是3的倍数}，则?U(A∪B)＝________.
解析：U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，A＝{1,3,5,7}，B＝{3,6}，∴A∪B＝{1,3,5,6,7}，
得?U(A∪B)＝{2,4,8}．答案：{2,4,8}
7．定义A?B＝{z|z＝xy＋，x∈A，y∈B}．设集合A＝{0,2}，B＝{1,2}，C＝{1}，则集合(A?B)?C的所有元素之和为________．
解析：由题意可求(A?B)中所含的元素有0,4,5，则(A?B)?C中所含的元素有0,8,10，故所有元素之和为18.答案：18
8．若集合{(x，y)|x＋y－2＝0且x－2y＋4＝0}{(x，y)|y＝3x＋b}，则b＝________.
解析：由?点(0,2)在y＝3x＋b上，∴b＝2.
9．设全集I＝{2,3，a2＋2a－3}，A＝{2，|a＋1|}，?IA＝{5}，M＝{x|x＝log2|a|}，则集合M的所有子集是________．
解析：∵A∪(?IA)＝I，∴{2,3，a2＋2a－3}＝{2,5，|a＋1|}，∴|a＋1|＝3，且a2＋2a－3＝5，解得a＝－4或a＝2，∴M＝{log22，log2|－4|}＝{1,2}

．
答案：?，{1}，{2}，{1,2}
10．设集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋(a2－5)＝0}．
(1)若A∩B＝{2}，求实数a的值；
(2)若A∪B＝A，求实数a的取值范围．
解：由x2－3x＋2＝0得x＝1或x＝2，故集合A＝{1,2}．
(1)∵A∩B＝{2}，∴2∈B，代入B中的方程，得a2＋4a＋3＝0?a＝－1或a＝－3；当a＝－1时，B＝{x|x2－4＝0}＝{－2,2}，满足条件；当a＝－3时，B＝{x|x2－4x＋4＝0}＝{2}，满足条件；综上，a的值为－1或－3.
(2)对于集合B，Δ＝4(a＋1)2－4(a2－5)＝8(a＋3)．∵A∪B＝A，∴B?A，
①当Δ<0，即a<－3时，B＝?满足条件；②当Δ＝0，即a＝－3时，B＝{2}满足条件；③当Δ>0，即a>－3时，B＝A＝{1,2}才能满足条件，则由根与系数的关系得
?矛盾.综上，a的取值范围是a≤－3.
11．已知函数f(x)＝ 的定义域为集合A，函数g(x)＝lg(－x2＋2x＋m)的定义域为集合B.
(1)当m＝3时，求A∩(?RB)；
(2)若A∩B＝{x|－1 解：A＝{x|－1 (1)当m＝3时，B＝{x|－1 ∴A∩(?RB)＝{x|3≤x≤5}．
(2)∵A＝{x|－1 ∴有－42＋2×4＋m＝0，解得m＝8，此时B＝{x|－212．已知集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}．
(1)若A＝?，求实数a的取值范围；
(2)若A是单元素集，求a的值及集合A；
(3)求集合M＝{a∈R|A≠?}．
解：(1)A是空集，即方程ax2－3x＋2＝0无解．
若a＝0，方程有一解x＝，不合题意．
若a≠0，要方程ax2－3x＋2＝0无解，则Δ＝9－8a<0，则a>.
综上可知，若A＝?，则a的取值范围应为a>.
(2)当a＝0时，方程ax2－3x＋2＝0只有一根x＝，A＝{}符合题意．
当a≠0时，则Δ＝9－8a＝0，即a＝时，
方程有两个相等的实数根x＝，则A＝{}．
综上可知，当a＝0时，A＝{}；当a＝时，A＝{}．
(3)当a＝0时，A＝{}≠?.当a≠0时，要使方程有实数根，
则Δ＝9－8a≥0，即a≤.
综上可知，a的取值范围是a≤，即M＝{a∈R|A≠?}＝{a|a≤}



第二章 函数
第一节 对函数的进一步认识
A组
1．(2009年高考江西卷改编)函数y＝的定义域为________．
解析：?x∈[－4,0)∪(0,1]
答案：[－4,0)∪(0,1]
2．(2010年绍兴第一次质检)如图，函数f(x)的图象是曲线段OAB，其中点O，A，B的坐标分别为(0,0)，(1,2)，(3,1)，则f()的值等于________．
解析：由图象知f(3)＝1，f()＝f(1)＝2.答案：2
3．(2009年高考北京卷)已知函数f(x)＝若f(x)＝2，则x＝________.
解析：依题意得x≤1时，3x＝2，∴x＝log32；
当x>1时，－x＝2，x＝－2(舍去)．故x＝log32.答案：log32
4

．(2010年黄冈市高三质检)函数f：{1，}→{1，}满足f[f(x)]>1的这样的函数个数有________个．
解析：如图．答案：1
5．(原创题)由等式x3＋a1x2＋a2x＋a3＝(x＋1)3＋b1(x＋1)2＋b2(x＋1)＋b3定义一个映射f(a1，a2，a3)＝(b1，b2，b3)，则f(2,1，－1)＝________.
解析：由题意知x3＋2x2＋x－1＝(x＋1)3＋b1(x＋1)2＋b2(x＋1)＋b3，
令x＝－1得：－1＝b3；
再令x＝0与x＝1得，
解得b1＝－1，b2＝0.
答案：(－1,0，－1)
6．已知函数f(x)＝(1)求f(1－)，f{f[f(－2)]}的值；(2)求f(3x－1)；(3)若f(a)＝， 求a.
解：f(x)为分段函数，应分段求解．
(1)∵1－＝1－(＋1)＝－<－1，∴f(－)＝－2＋3，
又∵f(－2)＝－1，f[f(－2)]＝f(－1)＝2，∴f{f[f(－2)]}＝1＋＝.
(2)若3x－1>1，即x>，f(3x－1)＝1＋＝；
若－1≤3x－1≤1，即0≤x≤，f(3x－1)＝(3x－1)2＋1＝9x2－6x＋2；
若3x－1<－1，即x<0，f(3x－1)＝2(3x－1)＋3＝6x＋1.
∴f(3x－1)＝
(3)∵f(a)＝，∴a>1或－1≤a≤1.
当a>1时，有1＋＝，∴a＝2；
当－1≤a≤1时，a2＋1＝，∴a＝±.
∴a＝2或±.
B组
1．(2010年广东江门质检)函数y＝＋lg(2x－1)的定义域是________．
解析：由3x－2>0,2x－1>0，得x>.答案：{x|x>}
2．(2010年山东枣庄模拟)函数f(x)＝则f(f(f()＋5))＝_.
解析：∵－1≤≤2，∴f()＋5＝－3＋5＝2，∵－1≤2≤2，∴f(2)＝－3，
∴f(－3)＝(－2)×(－3)＋1＝7.答案：7
3．定义在区间(－1,1)上的函数f(x)满足2f(x)－f(－x)＝lg(x＋1)，则f(x)的解析式为________．
解析：∵对任意的x∈(－1,1)，有－x∈(－1,1)，
由2f(x)－f(－x)＝lg(x＋1)，①
由2f(－x)－f(x)＝lg(－x＋1)，②
①×2＋②消去f(－x)，得3f(x)＝2lg(x＋1)＋lg(－x＋1)，
∴f(x)＝lg(x＋1)＋lg(1－x)，(－1 答案：f(x)＝lg(x＋1)＋lg(1－x)，(－14．设函数y＝f(x)满足f(x＋1)＝f(x)＋1，则函数y＝f(x)与y＝x图象交点的个数可能是________个．
解析：由f(x＋1)＝f(x)＋1可得f(1)＝f(0)＋1，f(2)＝f(0)＋2，f(3)＝f(0)＋3，…本题中如果f(0)＝0，那么y＝f(x)和y＝x有无数个交点；若f(0)≠0，则y＝f(x)和y＝x有零个交点．答案：0或无数
5．设函数f(x)＝，若f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，则f(x)的解析式为f(x)＝________，关于x的方程f(x)＝x的解的个数为________个．
解析：由题意得
，

∴f(x)＝.
由数形结合得f(x)＝x的解的个数有3个．
答案：　3
6．设函数f(x)＝logax(a＞0，a≠1)，函数g(x)＝－x2＋bx＋c，若f(2＋)－f(＋1)＝，g(x)的图象过点A(4，－5)及B(－2，－5)，则a＝__________，函数f[g(x)]的定义域为__________．
答案：2 (－1,3)
7．(200

9年高考天津卷改编)设函数f(x)＝，则不等式f(x)>f(1)的解集是________．
解析：由已知，函数先增后减再增，当x≥0，f(x)>f(1)＝3时，令f(x)＝3，
解得x＝1，x＝3.故f(x)>f(1)的解集为0≤x<1或x>3.
当x<0，x＋6＝3时，x＝－3，故f(x)>f(1)＝3，解得－33.
综上，f(x)>f(1)的解集为{x|－33}．答案：{x|－33}
8．(2009年高考山东卷)定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝则f(3)的值为________．
解析：∵f(3)＝f(2)－f(1)，又f(2)＝f(1)－f(0)，∴f(3)＝－f(0)，∵f(0)＝log24＝2，∴f(3)＝－2.答案：－2
9．有一个有进水管和出水管的容器，每单位时间进水量是一定的，设从某时刻开始，5分钟内只进水，不出水，在随后的15分钟内既进水，又出水，得到时间x与容器中的水量y之间关系如图．再随后，只放水不进水，水放完为止，则这段时间内(即x≥20)，y与x之间函数的函数关系是________．

解析：设进水速度为a1升/分钟，出水速度为a2升/分钟，则由题意得，得，则y＝35－3(x－20)，得y＝－3x＋95，又因为水放完为止，所以时间为x≤，又知x≥20，故解析式为y＝－3x＋95(20≤x≤)．答案：y＝－3x＋95(20≤x≤)

10．函数f(x)＝.
(1)若f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围；
(2)若f(x)的定义域为[－2,1]，求实数a的值．
解：(1)①若1－a2＝0，即a＝±1，
(ⅰ)若a＝1时，f(x)＝，定义域为R，符合题意；
(ⅱ)当a＝－1时，f(x)＝，定义域为[－1，＋∞)，不合题意．
②若1－a2≠0，则g(x)＝(1－a2)x2＋3(1－a)x＋6为二次函数．
由题意知g(x)≥0对x∈R恒成立，
∴∴
∴－≤a<1.由①②可得－≤a≤1.
(2)由题意知，不等式(1－a2)x2＋3(1－a)x＋6≥0的解集为[－2,1]，显然1－a2≠0且－2,1是方程(1－a2)x2＋3(1－a)x＋6＝0的两个根．
∴∴∴a＝2.
11．已知f(x＋2)＝f(x)(x∈R)，并且当x∈[－1,1]时，f(x)＝－x2＋1，求当x∈[2k－1,2k＋1](k∈Z)时、f(x)的解析式．
解：由f(x＋2)＝f(x)，可推知f(x)是以2为周期的周期函数．当x∈[2k－1,2k＋1]时，2k－1≤x≤2k＋1，－1≤x－2k≤1.∴f(x－2k)＝－(x－2k)2＋1.
又f(x)＝f(x－2)＝f(x－4)＝…＝f(x－2k)，
∴f(x)＝－(x－2k)2＋1，x∈[2k－1,2k＋1]，k∈Z.
12．在2008年11月4日珠海航展上，中国自主研制的ARJ 21支线客机备受关注，接到了包括美国在内的多国订单．某工厂有216名工人接受了生产1000件该支线客机某零部件的总任务，已知每件零件由4个C型装置和3个H型装置配套组成，每个工人每小时能加工6个C型装置或3个H型装置．现将工人分成两组同时开始加工，每组分别加工一种装置，设加工C型装置的工人有x位，他们加工完C

型装置所需时间为g(x)，其余工人加工完H型装置所需时间为h(x)．(单位：h，时间可不为整数)
(1)写出g(x)，h(x)的解析式；
(2)写出这216名工人完成总任务的时间f(x)的解析式；
(3)应怎样分组，才能使完成总任务的时间最少？
解：(1)g(x)＝(0 (2)f(x)＝(3)分别为86、130或87、129.
第二节 函数的单调性
A组
1．(2009年高考福建卷改编)下列函数f(x)中，满足“对任意x1，x2∈(0，＋∞)，当x1f(x2)”的是________．
①f(x)＝　②f(x)＝(x－1)2 ③f(x)＝ex　④f(x)＝ln(x＋1)
解析：∵对任意的x1，x2∈(0，＋∞)，当x1f(x2)，∴f(x)在(0，＋∞)上为减函数．答案：①
2．函数f(x)(x∈R)的图象如右图所示，则函数g(x)＝f(logax)(0 解析：∵0 由0≤logax≤≤x≤1.答案：[，1](或(，1))
3．函数y＝＋ 的值域是________．
解析：令x＝4＋sin2α，α∈[0，]，y＝sinα＋cosα＝2sin(α＋)，∴1≤y≤2.
答案：[1,2]
4．已知函数f(x)＝|ex＋|(a∈R)在区间[0,1]上单调递增，则实数a的取值范围__．
解析：当a<0，且ex＋≥0时，只需满足e0＋≥0即可，则－1≤a<0；当a＝0时，f(x)＝|ex|＝ex符合题意；当a>0时，f(x)＝ex＋，则满足f′(x)＝ex－≥0在x∈[0,1]上恒成立．只需满足a≤(e2x)min成立即可，故a≤1，综上－1≤a≤1.
答案：－1≤a≤1
5．(原创题)如果对于函数f(x)定义域内任意的x，都有f(x)≥M(M为常数)，称M为f(x)的下界，下界M中的最大值叫做f(x)的下确界，下列函数中，有下确界的所有函数是________．
①f(x)＝sinx；②f(x)＝lgx；③f(x)＝ex；④f(x)＝
解析：∵sinx≥－1，∴f(x)＝sinx的下确界为－1，即f(x)＝sinx是有下确界的函数；∵f(x)＝lgx的值域为(－∞，＋∞)，∴f(x)＝lgx没有下确界；∴f(x)＝ex的值域为(0，＋∞)，∴f(x)＝ex的下确界为0，即f(x)＝ex是有下确界的函数；
∵f(x)＝的下确界为－1.∴f(x)＝是有下确界的函数．答案：①③④
6．已知函数f(x)＝x2，g(x)＝x－1.
(1)若存在x∈R使f(x) (2)设F(x)＝f(x)－mg(x)＋1－m－m2，且|F(x)|在[0,1]上单调递增，求实数m的取值范围.
解：(1)x∈R，f(x)0b<0或b>4.(2)F(x)＝x2－mx＋1－m2，Δ＝m2－4(1－m2)＝5m2－4，
①当Δ≤0即－≤m≤时，则必需
－≤m≤0.
②当Δ>0即m<－或m>时，设方程F(x)＝0的根为x1，x2(x1 m≥2.
若≤0，则x2≤0，
－1≤m<－.综上所述：－1

≤m≤0或m≥2.
B组
1．(2010年山东东营模拟)下列函数中，单调增区间是(－∞，0]的是________．
①y＝－　②y＝－(x－1)　③y＝x2－2　④y＝－|x|
解析：由函数y＝－|x|的图象可知其增区间为(－∞，0]．答案：④
2．若函数f(x)＝log2(x2－ax＋3a)在区间[2，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是________．
解析：令g(x)＝x2－ax＋3a，由题知g(x)在[2，＋∞)上是增函数，且g(2)>0.
∴∴－43．若函数f(x)＝x＋(a>0)在(，＋∞)上是单调增函数，则实数a的取值范围__．
解析：∵f(x)＝x＋(a>0)在(，＋∞)上为增函数，∴≤，0 答案：(0，]
4．(2009年高考陕西卷改编)定义在R上的偶函数f(x)，对任意x1，x2∈[0，＋∞)(x1≠x2)，有<0，则下列结论正确的是________．
①f(3) ③f(－2) 解析：由已知<0，得f(x)在x∈[0，＋∞)上单调递减，由偶函数性质得f(2)＝f(－2)，即f(3)5．(2010年陕西西安模拟)已知函数f(x)＝满足对任意x1≠x2，都有<0成立，则a的取值范围是________．
解析：由题意知，f(x)为减函数，所以解得06．(2010年宁夏石嘴山模拟)函数f(x)的图象是如下图所示的折线段OAB，点A的坐标为(1,2)，点B的坐标为(3,0)，定义函数g(x)＝f(x)·(x－1)，则函数g(x)的最大值为________．
解析：g(x)＝
当0≤x<1时，最大值为0；当1≤x≤3时，
在x＝2取得最大值1.答案：1
7．(2010年安徽合肥模拟)已知定义域在[－1,1]上的函数y＝f(x)的值域为[－2,0]，则函数y＝f(cos)的值域是________．
解析：∵cos∈[－1,1]，函数y＝f(x)的值域为[－2,0]，∴y＝f(cos)的值域为[－2,0]．答案：[－2,0]
8．已知f(x)＝log3x＋2，x∈[1,9]，则函数y＝[f(x)]2＋f(x2)的最大值是________．
解析：∵函数y＝[f(x)]2＋f(x2)的定义域为
∴x∈[1,3]，令log3x＝t，t∈[0,1]，
∴y＝(t＋2)2＋2t＋2＝(t＋3)2－3，∴当t＝1时，ymax＝13.答案：13
9．若函数f(x)＝loga(2x2＋x)(a>0，a≠1)在区间(0，)内恒有f(x)>0，则f(x)的单调递增区间为__________．
解析：令μ＝2x2＋x，当x∈(0，)时，μ∈(0,1)，而此时f(x)>0恒成立，∴0 μ＝2(x＋)2－，则减区间为(－∞，－)．而必然有2x2＋x>0，即x>0或x<－.∴f(x)的单调递增区间为(－∞，－)．答案：(－∞，－)
10．试讨论函数y＝2(logx)2－2logx＋1的单调性．
解：易知函数的定义域为(0，＋∞)．如果令u＝g(x)＝logx，y＝f(u)＝2u2－2u＋1，那么原函数y＝f[g(x)]是由g(x)与f(u)复合而成的复合函数，而u＝logx在x∈(0，＋∞)内是减函数，y＝2u2－2u＋1＝2(u－)2＋在u∈(－∞，)上

是减函数，在u∈(，＋∞)上是增函数．又u≤，即logx≤，得x≥；u>，得0函数 单调性 (0，) (，＋∞) u＝logx f(u)＝2u2－2u＋1   y＝2(logx)2－2logx＋1   故函数y＝2(logx)2－2logx＋1在区间(0，)上单调递减，在区间(，＋∞)上单调递增．
11．(2010年广西河池模拟)已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f(x)满足f()＝f(x1)－f(x2)，且当x>1时，f(x)<0.
(1)求f(1)的值；(2)判断f(x)的单调性；(3)若f(3)＝－1，解不等式f(|x|)<－2.
解：(1)令x1＝x2>0，代入得f(1)＝f(x1)－f(x1)＝0，故f(1)＝0.
(2)任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1>x2，则>1，由于当x>1时，f(x)<0，
所以f()<0，即f(x1)－f(x2)<0，因此f(x1) 所以函数f(x)在区间(0，＋∞)上是单调递减函数．
(3)由f()＝f(x1)－f(x2)得f()＝f(9)－f(3)，而f(3)＝－1，所以f(9)＝－2.
由于函数f(x)在区间(0，＋∞)上是单调递减函数，
由f(|x|)9，∴x>9或x<－9.因此不等式的解集为{x|x>9或x<－9}．
12．已知：f(x)＝log3，x∈(0，＋∞)，是否存在实数a，b，使f(x)同时满足下列三个条件：(1)在(0,1]上是减函数，(2)在[1，＋∞)上是增函数，(3)f(x)的最小值是1.若存在，求出a、b；若不存在，说明理由．
解：∵f(x)在(0,1]上是减函数，[1，＋∞)上是增函数，∴x＝1时，f(x)最小，log3＝1.即a＋b＝2.
设0＜x1＜x2≤1，则f(x1)＞f(x2)．即＞恒成立．
由此得＞0恒成立．
又∵x1－x2＜0，x1x2＞0，∴x1x2－b＜0恒成立，∴b≥1.
设1≤x3＜x4，则f(x3)＜f(x4)恒成立．∴＜0恒成立．
∵x3－x4＜0，x3x4＞0，∴x3x4＞b恒成立．∴b≤1.由b≥1且b≤1可知b＝1，∴a＝1.∴存在a、b，使f(x)同时满足三个条件．
第三节 函数的性质
A组
1．设偶函数f(x)＝loga|x－b|在(－∞，0)上单调递增，则f(a＋1)与f(b＋2)的大小关系为________．
解析：由f(x)为偶函数，知b＝0，∴f(x)＝loga|x|，又f(x)在(－∞，0)上单调递增，所以0f(b＋2)．答案：f(a＋1)>f(b＋2)
2．(2010年广东三校模拟)定义在R上的函数f(x)既是奇函数又是以2为周期的周期函数，则f(1)＋f(4)＋f(7)等于________．
解析：f(x)为奇函数，且x∈R，所以f(0)＝0，由周期为2可知，f(4)＝0，f(7)＝f(1)，又由f(x＋2)＝f(x)，令x＝－1得f(1)＝f(－1)＝－f(1)?f(1)＝0，所以f(1)＋f(4)＋f(7)＝0.答案：0
3．(2009年高考山东卷改编)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，则f(－25)、f(11)、f(80)的大小关系为________．
解析：因为f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，所以f(x－8)＝f(x)，所以函数是以8

为周期的周期函数，则f(－25)＝f(－1)，f(80)＝f(0)，f(11)＝f(3)，又因为f(x)在R上是奇函数，f(0)＝0，得f(80)＝f(0)＝0，f(－25)＝f(－1)＝－f(1)，而由f(x－4)＝－f(x)得f(11)＝f(3)＝－f(－3)＝－f(1－4)＝f(1)，又因为f(x)在区间[0,2]上是增函数，所以f(1)>f(0)＝0，所以－f(1)<0，即f(－25) 答案：f(－25)4．(2009年高考辽宁卷改编)已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调增加，则满足f(2x－1) 解析：由于f(x)是偶函数，故f(x)＝f(|x|)，由f(|2x－1|)5．(原创题)已知定义在R上的函数f(x)是偶函数，对x∈R，f(2＋x)＝f(2－x)，当f(－3)＝－2时，f(2011)的值为________．
解析：因为定义在R上的函数f(x)是偶函数，所以f(2＋x)＝f(2－x)＝f(x－2)，故函数f(x)是以4为周期的函数，所以f(2011)＝f(3＋502×4)＝f(3)＝f(－3)＝－2.答案：－2
6．已知函数y＝f(x)是定义在R上的周期函数，周期T＝5，函数y＝f(x)(－1≤x≤1)是奇函数，又知y＝f(x)在[0,1]上是一次函数，在[1,4]上是二次函数，且在x＝2时函数取得最小值－5.(1)证明：f(1)＋f(4)＝0；(2)求y＝f(x)，x∈[1,4]的解析式；(3)求y＝f(x)在[4,9]上的解析式．
解：(1)证明：∵f(x)是以5为周期的周期函数，∴f(4)＝f(4－5)＝f(－1)，
又∵y＝f(x)(－1≤x≤1)是奇函数，∴f(1)＝－f(－1)＝－f(4)，∴f(1)＋f(4)＝0.
(2)当x∈[1,4]时，由题意可设f(x)＝a(x－2)2－5(a>0)，由f(1)＋f(4)＝0，得a(1－2)2－5＋a(4－2)2－5＝0，∴a＝2，∴f(x)＝2(x－2)2－5(1≤x≤4)．
(3)∵y＝f(x)(－1≤x≤1)是奇函数，∴f(0)＝0，又知y＝f(x)在[0,1]上是一次函数，∴可设f(x)＝kx(0≤x≤1)，而f(1)＝2(1－2)2－5＝－3，∴k＝－3，∴当0≤x≤1时，f(x)＝－3x，从而当－1≤x<0时，f(x)＝－f(－x)＝－3x，故－1≤x≤1时，f(x)＝－3x.∴当4≤x≤6时，有－1≤x－5≤1，∴f(x)＝f(x－5)＝－3(x－5)＝－3x＋15.当6 ∴f(x)＝.
B组
1．(2009年高考全国卷Ⅰ改编)函数f(x)的定义域为R，若f(x＋1)与f(x－1)都是奇函数，则下列结论正确的是________．
①f(x)是偶函数　②f(x)是奇函数　③f(x)＝f(x＋2)
④f(x＋3)是奇函数
解析：∵f(x＋1)与f(x－1)都是奇函数，∴f(－x＋1)＝－f(x＋1)，f(－x－1)＝－f(x－1)，∴函数f(x)关于点(1,0)，及点(－1,0)对称，函数f(x)是周期T＝2[1－(－1)]＝4的周期函数．∴f(－x－1＋4)＝－f(x－1＋4)，f(－x＋3)＝－f(x＋3)，即f(x＋3)是奇函数．答案：④
2．已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝－f(x＋)，且f(－2)＝f(－1)＝－1，f(0)＝2，f(1)＋f(2)＋…＋f(2009)＋f(2010)

＝________.
解析：f(x)＝－f(x＋)?f(x＋3)＝f(x)，即周期为3，由f(－2)＝f(－1)＝－1，f(0)＝2，所以f(1)＝－1，f(2)＝－1，f(3)＝2，所以f(1)＋f(2)＋…＋f(2009)＋f(2010)＝f(2008)＋f(2009)＋f(2010)＝f(1)＋f(2)＋f(3)＝0.答案：0
3．(2010年浙江台州模拟)已知f(x)是定义在R上的奇函数，且f(1)＝1，若将f(x)的图象向右平移一个单位后，得到一个偶函数的图象，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2010)＝________.
解析：f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，将f(x)的图象向右平移一个单位后，得到一个偶函数的图象，则满足f(－2＋x)＝－f(x)，即f(x＋2)＝－f(x)，所以周期为4，f(1)＝1，f(2)＝f(0)＝0，f(3)＝－f(1)＝－1，f(4)＝0，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝0，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2010)＝f(4)×502＋f(2)＝0.答案：0
4．(2010年湖南郴州质检)已知函数f(x)是R上的偶函数，且在(0，＋∞)上有f′(x)>0，若f(－1)＝0，那么关于x的不等式xf(x)<0的解集是________．
解析：在(0，＋∞)上有f′(x)>0，则在(0，＋∞)上f(x)是增函数，在(－∞，0)上是减函数，又f(x)在R上是偶函数，且f(－1)＝0，∴f(1)＝0.从而可知x∈(－∞，－1)时，f(x)>0；x∈(－1,0)时，f(x)<0；x∈(0,1)时，f(x)<0；x∈(1，＋∞)时，f(x)>0.∴不等式的解集为(－∞，－1)∪(0,1)答案：(－∞，－1)∪(0,1)．
5．(2009年高考江西卷改编)已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的偶函数，若对于x≥0，都有f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[0,2)时，f(x)＝log2(x＋1)，则f(－2009)＋f(2010)的值为________．
解析：∵f(x)是偶函数，∴f(－2009)＝f(2009)．∵f(x)在x≥0时f(x＋2)＝f(x)，∴f(x)周期为2.∴f(－2009)＋f(2010)＝f(2009)＋f(2010)＝f(1)＋f(0)＝log22＋log21＝0＋1＝1.答案：1
6．(2010年江苏苏州模拟)已知函数f(x)是偶函数，并且对于定义域内任意的x，满足f(x＋2)＝－，若当2 解析：由f(x＋2)＝－，可得f(x＋4)＝f(x)，f(2009.5)＝f(502×4＋1.5)＝f(1.5)＝f(－2.5)∵f(x)是偶函数，∴f(2009.5)＝f(2.5)＝.答案：
7．(2010年安徽黄山质检)定义在R上的函数f(x)在(－∞，a]上是增函数，函数y＝f(x＋a)是偶函数，当x1a，且|x1－a|<|x2－a|时，则f(2a－x1)与f(x2)的大小关系为________．
解析：∵y＝f(x＋a)为偶函数，∴y＝f(x＋a)的图象关于y轴对称，∴y＝f(x)的图象关于x＝a对称．又∵f(x)在(－∞，a]上是增函数，∴f(x)在[a，＋∞)上是减函数．当x1a，且|x1－a|<|x2－a|时，有a－x1f(x2)．答案：f(2a－x1)>f(x2)
8．已知函数f(x)为R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x(x＋1)．若f(a)＝－2，则实数a＝________.
解析：当x≥0时，f(x)＝x(x＋1)>0，由f(x)为奇函数知x<0时，f(x)<

0，∴a<0，f(－a)＝2，∴－a(－a＋1)＝2，∴a＝2(舍)或a＝－1.答案：－1
9．(2009年高考山东卷)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数．若方程f(x)＝m(m＞0)在区间[－8,8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1＋x2＋x3＋x4＝________.
解析：因为定义在R上的奇函数，满足f(x－4)＝－f(x)，所以f(4－x)＝f(x)，因此，函数图象关于直线x＝2对称且f(0)＝0.由f(x－4)＝－f(x)知f(x－8)＝f(x)，所以函数是以8为周期的周期函数．又因为f(x)在区间[0,2]上是增函数，所以f(x)在区间[－2,0]上也是增函数，如图所示，那么方程f(x)＝m(m＞0)在区间[－8,8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，不妨设x1＜x2＜x3＜x4.由对称性知x1＋x2＝－12，x3＋x4＝4，所以x1＋x2＋x3＋x4＝－12＋4＝－8. 答案：-8

10．已知f(x)是R上的奇函数，且当x∈(－∞，0)时，f(x)＝－xlg(2－x)，求f(x)的解析式．
解：∵f(x)是奇函数，可得f(0)＝－f(0)，∴f(0)＝0.当x>0时，－x<0，由已知f(－x)＝xlg(2＋x)，∴－f(x)＝xlg(2＋x)，即f(x)＝－xlg(2＋x)　(x>0)．
∴f(x)＝即f(x)＝－xlg(2＋|x|)(x∈R)．
11．已知函数f(x)，当x，y∈R时，恒有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)．(1)求证：f(x)是奇函数；(2)如果x∈R＋，f(x)<0，并且f(1)＝－，试求f(x)在区间[－2,6]上的最值．
解：(1)证明：∴函数定义域为R，其定义域关于原点对称．
∵f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，令y＝－x，∴f(0)＝f(x)＋f(－x)．令x＝y＝0，∴f(0)＝f(0)＋f(0)，得f(0)＝0.∴f(x)＋f(－x)＝0，得f(－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．
(2)法一：设x，y∈R＋，∵f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，∴f(x＋y)－f(x)＝f(y)．
∵x∈R＋，f(x)<0，∴f(x＋y)－f(x)<0，∴f(x＋y)x，∴f(x)在(0，＋∞)上是减函数．又∵f(x)为奇函数，f(0)＝0，∴f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数．∴f(－2)为最大值，f(6)为最小值．∵f(1)＝－，∴f(－2)＝－f(2)＝－2f(1)＝1，f(6)＝2f(3)＝2[f(1)＋f(2)]＝－3.∴所求f(x)在区间[－2,6]上的最大值为1，最小值为－3.
法二：设x10，∴f(x2－x1)<0.∴f(x2)－f(x1)<0.即f(x)在R上单调递减．∴f(－2)为最大值，f(6)为最小值．∵f(1)＝－，∴f(－2)＝－f(2)＝－2f(1)＝1，f(6)＝2f(3)＝2[f(1)＋f(2)]＝－3.∴所求f(x)在区间[－2,6]上的最大值为1，最小值为－3.
12．已知函数f(x)的定义域为R，且满足f(x＋2)＝－f(x)．
(1)求证：f(x)是周期函数；
(2)若f(x)为奇函数，且当0≤x≤1时，f(x)＝x，求使f(x)＝－在[0,2010]上的所有x的个数．
解：(1)证明：∵f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝－[－f(x)]＝f(x)，
∴f(x)是以4为周期的周

期函数．
(2)当0≤x≤1时，f(x)＝x，
设－1≤x≤0，则0≤－x≤1，∴f(－x)＝(－x)＝－x.∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴－f(x)＝－x，即f(x)＝x.故f(x)＝x(－1≤x≤1)
又设1 又∵f(x－2)＝－f(2－x)＝－f[(－x)＋2]＝－[－f(－x)]＝－f(x)，∴－f(x)＝(x－2)，∴f(x)＝－(x－2)(1 由f(x)＝－，解得x＝－1.∵f(x)是以4为周期的周期函数．故f(x)＝－的所有x＝4n－1(n∈Z)．令0≤4n－1≤2010，则≤n≤502，又∵n∈Z，∴1≤n≤502(n∈Z)，∴在[0,2010]上共有502个x使f(x)＝－.
第三章 指数函数和对数函数
第一节 指数函数
A组
1．(2010年黑龙江哈尔滨模拟)若a>1，b<0，且ab＋a－b＝2，则ab－a－b的值等于________．
解析：∵a>1，b<0，∴01.又∵(ab＋a－b)2＝a2b＋a－2b＋2＝8，∴a2b＋a－2b＝6，∴(ab－a－b)2＝a2b＋a－2b－2＝4，∴ab－a－b＝－2.答案：－2
2．已知f(x)＝ax＋b的图象如图所示，则f(3)＝________.
解析：由图象知f(0)＝1＋b＝－2，∴b＝－3.又f(2)＝a2－3＝0，∴a＝，则f(3)＝()3－3＝3－3.
答案：3－3
3．函数y＝()2x－x2的值域是________．
解析：∵2x－x2＝－(x－1)2＋1≤1，
∴()2x－x2≥.答案：[，＋∞)
4．(2009年高考山东卷)若函数f(x)＝ax－x－a(a>0，且a≠1)有两个零点，则实数a的取值范围是________．
解析：函数f(x)的零点的个数就是函数y＝ax与函数y＝x＋a交点的个数，由函数的图象可知a>1时两函数图象有两个交点，01. 答案：(1，+∞)

5．(原创题)若函数f(x)＝ax－1(a>0，a≠1)的定义域和值域都是[0,2]，则实数a等于________．
解析：由题意知无解或?a＝.答案：
6．已知定义域为R的函数f(x)＝是奇函数．(1)求a，b的值；
(2)若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求k的取值范围．
解：(1)因为f(x)是R上的奇函数，所以f(0)＝0，即＝0，解得b＝1.
从而有f(x)＝.又由f(1)＝－f(－1)知＝－，解得a＝2.
(2)法一：由(1)知f(x)＝＝－＋，
由上式易知f(x)在R上为减函数，又因f(x)是奇函数，从而不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0?f(t2－2t)<－f(2t2－k)＝f(－2t2＋k)．
因f(x)是R上的减函数，由上式推得t2－2t>－2t2＋k.
即对一切t∈R有3t2－2t－k>0，从而Δ＝4＋12k<0，解得k<－.
法二：由(1)知f(x)＝，又由题设条件得＋<0
即(22t2－k＋1＋2)(－2t2－2t＋1)＋(2t2－2t＋1＋2)(－22t2－k＋1)<0
整理得23t2－2t－k>1，因底数2>1，故3t2－2t－k>0
上式对一切t∈R均成立，从而判别式Δ＝4＋12k<0，解得k<－.
B组
1．如果函数f(x)＝ax＋b－1(a>0且a≠1)的图象经过第一

、二、四象限，不经过第三象限，那么一定有________．
①00　②01且b<0 ④a>1且b>0
解析：当02．(2010年保定模拟)若f(x)＝－x2＋2ax与g(x)＝(a＋1)1－x在区间[1,2]上都是减函数，则a的取值范围是________．
解析：f(x)＝－x2＋2ax＝－(x－a)2＋a2，所以f(x)在[a，＋∞)上为减函数，又f(x)，g(x)都在[1,2]上为减函数，所以需?03．已知f(x)，g(x)都是定义在R上的函数，且满足以下条件①f (x)＝ax·g(x)(a>0，a≠1)；②g(x)≠0；若＋＝，则a等于________．
解析：由f(x)＝ax·g(x)得＝ax，所以＋＝?a＋a－1＝，解得a＝2或.答案：2或
4．(2010年北京朝阳模拟)已知函数f(x)＝ax(a>0且a≠1)，其反函数为f－1(x)．若f(2)＝9，则f－1()＋f(1)的值是________．
解析：因为f(2)＝a2＝9，且a>0，∴a＝3，则f(x)＝3x＝，∴x＝－1，
故f－1()＝－1.又f(1)＝3，所以f－1()＋f(1)＝2.答案：2
5．(2010年山东青岛质检)已知f(x)＝()x，若f(x)的图象关于直线x＝1对称的图象对应的函数为g(x)，则g(x)的表达式为________．
解析：设y＝g(x)上任意一点P(x，y)，P(x，y)关于x＝1的对称点P′(2－x，y)在f(x)＝()x上，∴y＝()2－x＝3x－2.答案：y＝3x－2(x∈R)
6．(2009年高考山东卷改编)函数y＝的图象大致为________．

解析：∵f(－x)＝＝－＝－f(x)，∴f(x)为奇函数，排除④.
又∵y＝＝＝＝1＋在(－∞，0)、(0，＋∞)上都是减函数，排除②、③.答案：①
7．(2009年高考辽宁卷改编)已知函数f(x)满足：当x≥4时，f(x)＝()x；当x<4时，f(x)＝f(x＋1)，则f(2＋log23)＝________.
解析：∵2<3<4＝22，∴1 ＝f(3＋log23)＝f(log224)＝()log224＝2－log224＝2log2＝.答案：
8．(2009年高考湖南卷改编)设函数y＝f(x)在(－∞，＋∞)内有定义，对于给定的正数K，定义函数fK(x)＝取函数f(x)＝2－|x|，当K＝时，函数fK(x)的单调递增区间为________．
解析：由f(x)＝2－|x|≤得x≥1或x≤－1，∴fK(x)＝
则单调增区间为(－∞，－1]．答案：(－∞，－1]
9．函数y＝2|x|的定义域为[a，b]，值域为[1,16]，当a变动时，函数b＝g(a)的图象可以是________．


解析：函数y＝2|x|的图象如图．
当a＝－4时，0≤b≤4，
当b＝4时，－4≤a≤0，答案：②
10．(2010年宁夏银川模拟)已知函数f(x)＝a2x＋2ax－1(a>0，且a≠1)在区间[－1,1]上的最大值为14，求实数a的值．
解：f(x)＝a2x＋2ax－1＝(ax＋1)2－2，∵x∈[－1,1]，
(1)当0 ∴(＋1)2－2＝14，

∴＝3，∴a＝.
(2)当a>1时，≤ax≤a，∴当ax＝a时，f(x)取得最大值．
∴(a＋1)2－2＝14，∴a＝3.综上可知，实数a的值为或3.
11．已知函数f(x)＝.(1)求证：f(x)的图象关于点M(a，－1)对称；
(2)若f(x)≥－2x在x≥a上恒成立，求实数a的取值范围．
解：(1)证明：设f(x)的图象C上任一点为P(x，y)，则y＝－，
P(x，y)关于点M(a，－1)的对称点为P′(2a－x，－2－y)．
∴－2－y＝－2＋＝＝＝，
说明点P′(2a－x，－2－y)也在函数y＝的图象上，由点P的任意性知，f(x)的图象关于点M(a，－1)对称．
(2)由f(x)≥－2x得≥－2x，则≤2x，化为2x－a·2x＋2x－2≥0，则有(2x)2＋2a·2x－2·2a≥0在x≥a上恒成立．令g(t)＝t2＋2a·t－2·2a，则有g(t)≥0在t≥2a上恒成立．∵g(t)的对称轴在t＝0的左侧，∴g(t)在t≥2a上为增函数．
∴g(2a)≥0.∴(2a)2＋(2a)2－2·2a≥0，∴2a(2a－1)≥0，则a≥0.即实数a的取值范围为a≥0.
12．(2008年高考江苏)若f1(x)＝3|x－p1|，f2(x)＝2·3|x－p2|，x∈R，p1、p2为常数，且
f(x)＝(1)求f(x)＝f1(x)对所有实数x成立的充要条件(用p1、p2表示)；(2)设a，b是两个实数，满足a 解：(1)f(x)＝f1(x)恒成立?f1(x)≤f2(x)?3|x－p1|≤2·3|x－p2|?3|x－p1|－|x－p2|≤2
?|x－p1|－|x－p2|≤log32.(*)若p1＝p2，则(*)?0≤log32，显然成立；若p1≠p2，记g(x)＝|x－p1|－|x－p2|，当p1>p2时，g(x)＝
所以g(x)max＝p1－p2，故只需p1－p2≤log32.
当p1 综上所述，f(x)＝f1(x)对所有实数x成立的充要条件是|p1－p2|≤log32.
(2)证明：分两种情形讨论．
①当|p1－p2|≤log32时，由(1)知f(x)＝f1(x)(对所有实数x∈[a，b])，则由f(a)＝f(b)及a ②当|p1－p2|>log32时，不妨设p1log32.于是，当x≤p1时，有f1(x)＝3p1－x<3p2－x 当x≥p2时，f1(x)＝3x－p1＝3p2－p1·3x－p2>3log32·3x－p2＝f2(x)，从而f(x)＝f2(x)．
当p1 显然p1 由①易知f(x)＝
综上可知，在区间[a，b]上，f(x)＝
故由函数f1(x)与f2(x)的单调性可知，f(x)在区间[a，b]上的单调增区间的长度之和为(x0－p1)＋(b－p2)，由于f(a)＝f(b)，即3p1－a＝2·3b－p2，得
p1＋p2＝a＋b＋log32.②

故由①②得(x0－p1)＋(b－p2)＝b－(p1＋p2－log32)＝.
综合①、②可知，f(x)在区间[a，b]上单调增区间的长度之和为.

第二节 对数函数
A组
1．(2009年高考广东卷改编)若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数，其图象经过点(，a)，则f(x)＝________.
解析：由题意f(x)＝logax，∴a＝logaa＝，∴f(x)＝logx.答案：logx
2．(2009年高考全国卷Ⅱ)设a＝log3π，b＝log2，c＝log3，则a、b、c的大小关系是________．
解析：a＝log3π>1，b＝log2＝log23∈(，1)，c＝log3＝log32∈(0，)，故有a>b>c.答案：a>b>c
3．若函数f(x)＝，则f(log43)＝________.
解析：04．如图所示，若函数f(x)＝ax－1的图象经过点(4,2)，则函数g(x)＝loga的图象是________．

解析：由已知将点(4,2)代入y＝ax－1，∴2＝a4－1，即a＝2>1.
又是单调递减的，故g(x)递减且过(0,0)点，∴④正确．答案：④
5．(原创题)已知函数f(x)＝alog2x＋blog3x＋2，且f()＝4，则f(2010)的值为_．
解析：设F(x)＝f(x)－2，即F(x)＝alog2x＋blog3x，则F()＝alog2＋blog3＝－(alog2x＋blog3x)＝－F(x)，∴F(2010)＝－F()＝－[f()－2]＝－2，
即f(2010)－2＝－2，故f(2010)＝0.答案：0
6．若f(x)＝x2－x＋b，且f(log2a)＝b，log2f(a)＝2(a>0且a≠1)．(1)求f(log2x)的最小值及相应x的值；(2)若f(log2x)>f(1)且log2f(x) 解：(1)∵f(x)＝x2－x＋b，∴f(log2a)＝(log2a)2－log2a＋b＝b，∴log2a＝1，∴a＝2.又∵log2f(a)＝2，∴f(a)＝4.∴a2－a＋b＝4，∴b＝2.∴f(x)＝x2－x＋2.
∴f(log2x)＝(log2x)2－log2x＋2＝(log2x－)2＋.
∴当log2x＝，即x＝时，f(log2x)有最小值.
(2)由题意知∴
∴∴0B组
1．(2009年高考北京卷改编)为了得到函数y＝lg的图象，只需把函数y＝lgx的图象上所有的点________．
解析：∵y＝lg＝lg(x＋3)－1，∴将y＝lgx的图象上的点向左平移3个单位长度得到y＝lg(x＋3)的图象，再将y＝lg(x＋3)的图象上的点向下平移1个单位长度得到y＝lg(x＋3)－1的图象．
答案：向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
2．(2010年安徽黄山质检)对于函数f(x)＝lgx定义域中任意x1，x2(x1≠x2)有如下结论：①f(x1＋x2)＝f(x1)＋f(x2)；②f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)；③>0；④f()<.上述结论中正确结论的序号是________．
解析：由运算律f(x1)＋f(x2)＝lgx1＋lgx2＝lgx1x2＝f(x1x2)，所以②对；因为f(x)是定义域内的增函数，所以③正确；f()＝lg，＝＝lg，∵≥，且x1≠x2，∴lg>lg，所以④错误．
答案：②③
3．(2010年枣庄第一次质检)对任意实数a、b，定义运算“*”如下：
a*b＝，则函数f(x)＝log(3x－2)*log2x的值域为________．
解析：在

同一直角坐标系中画出y＝log(3x－2)和y＝log2x两个函数的图象，

由图象可得
f(x)＝，值域为(－∞，0]．答案：(－∞，0]
4．已知函数y＝f(x)与y＝ex互为反函数，函数y＝g(x)的图象与y＝f(x)的图象关于x轴对称，若g(a)＝1，则实数a的值为________．
解析：由y＝f(x)与y＝ex互为反函数，得f(x)＝lnx，因为y＝g(x)的图象与y＝f(x)的图象关于x轴对称，故有g(x)＝－lnx，g(a)＝1?lna＝－1，所以a＝.
答案：
5．已知函数f(x)满足f()＝log2，则f(x)的解析式是________．
解析：由log2有意义可得x>0，所以，f()＝f()，log2＝log2x，即有f()＝log2x，故f(x)＝log2＝－log2x.答案：f(x)＝－log2x，(x>0)
6．(2009年高考辽宁卷改编)若x1满足2x＋2x＝5，x2满足2x＋2log2(x－1)＝5，则x1＋x2＝________.
解析：由题意2x1＋2x1＝5，①2x2＋2log2(x2－1)＝5，②所以2x1＝5－2x1，x1＝log2(5－2x1)，即2x1＝2log2(5－2x1)．令2x1＝7－2t，代入上式得7－2t＝2log2(2t－2)＝2＋2log2(t－1)，∴5－2t＝2log2(t－1)与②式比较得t＝x2，于是2x1＝7－2x2.∴x1＋x2＝.答案：
7．当x∈[n，n＋1)，(n∈N)时，f(x)＝n－2，则方程f(x)＝log2x根的个数是________．
解析：当n＝0时，x∈[0,1)，f(x)＝－2；
当n＝1时，x∈[1,2)，f(x)＝－1；
当n＝2时，x∈[2,3)，f(x)＝0；
当n＝3时，x∈[3,4)，f(x)＝1；
当n＝4时，x∈[4,5)，f(x)＝2；
当n＝5时，x∈[5,6)，f(x)＝3.答案：2
8．(2010年福建厦门模拟)已知lga＋lgb＝0，则函数f(x)＝ax与函数g(x)＝－logbx的图象可能是________．

解析：由题知，a＝，则f(x)＝()x＝b－x，g(x)＝－logbx，当01时，f(x)单调递减，g(x)单调递减．
答案：②
9．已知曲线C：x2＋y2＝9(x≥0，y≥0)与函数y＝log3x及函数y＝3x的图象分别交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x12＋x22的值为________．
解析：∵y＝log3x与y＝3x互为反函数，所以A与B两点关于y＝x对称，所以x1＝y2，y1＝x2，∴x12＋x22＝x12＋y12＝9.答案：9
10．已知函数f(x)＝lg(k∈R且k>0)．(1)求函数f(x)的定义域；
(2)若函数f(x)在[10，＋∞)上是单调增函数，求k的取值范围．
解：(1)由>0及k>0得>0，即(x－)(x－1)>0.
①当0；②当k＝1时，x∈R且x≠1；③当k>1时，x<或x>1.综上可得当0 当k≥1时，函数的定义域为(－∞，)∪(1，＋∞)．
(2)∵f(x)在[10，＋∞)上是增函数，∴>0，∴k>.
又f(x)＝lg＝lg(k＋)，故对任意的x1，x2，当10≤x1，∴k－1<0，∴k<1.综上可知k∈(，1)．
11．(2010年天津

和平质检)已知f(x)＝loga(a>0，a≠1)．(1)求f(x)的定义域；
(2)判断f(x)的奇偶性并给予证明；(3)求使f(x)>0的x的取值范围．
解：(1)由>0 ，解得x∈(－1,1)．
(2)f(－x)＝loga＝－f(x)，且x∈(－1,1)，∴函数y＝f(x)是奇函数．
(3)若a>1，f(x)>0，则>1，解得00，则0<<1，解得－112．已知函数f(x)满足f(logax)＝(x－x－1)，其中a>0且a≠1.
(1)对于函数f(x)，当x∈(－1,1)时，f(1－m)＋f(1－m2)<0，求实数m的集合；
(2)x∈(－∞，2)时，f(x)－4的值恒为负数，求a的取值范围．
解：令logax＝t(t∈R)，则x＝at，∴f(t)＝(at－a－t)，
∴f(x)＝(ax－a－x)．∵f(－x)＝(a－x－ax)＝－f(x)，
∴f(x)是R上的奇函数．
当a>1时，>0，ax是增函数，－a－x是增函数，∴f(x)是R上的增函数；
当0 综上所述，a>0且a≠1时，f(x)是R上的增函数．
(1)由f(1－m)＋f(1－m2)<0有f(1－m)<－f(1－m2)＝f(m2－1)，
∴解得m∈(1，)．
(2)∵f(x)是R上的增函数，∴f(x)－4也是R上的增函数，由x<2，得f(x) ∴f(x)－4 即(a2－a－2)－4≤0，解得2－≤a≤2＋，
∴a的取值范围是2－≤a≤2＋且a≠1.
第三节 幂函数与二次函数的性质
A组
1．若a>1且01的解集为________．
解析：∵a>1,01?logb(x－3)>0?logb(x－3)>logb1?02．(2010年广东广州质检)下列图象中，表示y＝x的是________．

解析：y＝x＝是偶函数，∴排除②、③，当x>1时，＝x>1，∴x>x，∴排除①.答案：④
3．(2010年江苏海门质检)若x∈(0,1)，则下列结论正确的是__________．
①2x>x>lgx ②2x>lgx>x ③x>2x>lgx ④lgx>x>2x
解析：∵x∈(0,1)，∴2>2x>1,04．(2010年东北三省模拟)函数f(x)＝|4x－x2|－a恰有三个零点，则a＝__________.
解析：先画出f(x)＝4x－x2的图象，再将x轴下方的图象翻转到x轴的上方，如图，y＝a过抛物线顶点时恰有三个交点，故得a的值为4.答案：4
5．(原创题)方程x＝logsin1x的实根个数是__________．
解析：在同一坐标系中分别作出函数y1＝x 和y2＝logsin1x的图象，可知只有惟一一个交点．答案：1

6．(2009年高考江苏卷)设a为实数，函数f(x)＝2x2＋(x－a)·|x－a|.
(1)若f(0)≥1，求a的取值范围；(2)求f(x)的最小值；
(3)设函数h(x)＝f(x)，x∈(a，＋∞)，直接写出(不需给出演算步骤)不等式h(x)≥1的解集．
解：(1)因为f(0)＝－a|－a|≥1，所以－a>0，即a<0.由a2≥1知a≤－1.因

此，a的取值范围为(－∞，－1]．
(2)记f(x)的最小值为g(a)．则有f(x)＝2x2＋(x－a)|x－a|
＝
(ⅰ)当a≥0时，f(－a)＝－2a2，由①②知f(x)≥－2a2，此时g(a)＝－2a2.
(ⅱ)当a<0时，f()＝a2.若x>a，则由①知f(x)≥a2；
若x≤a，则x＋a≤2a<0，由②知f(x)≥2a2>a2.此时g(a)＝a2.
综上，得g(a)＝
(3)(ⅰ)当a∈(－∞，－]∪[，＋∞)时，解集为(a，＋∞)；
(ⅱ)当a∈[－，)时，解集为[，＋∞)；
(ⅲ)当a∈(－，－)时，解集为(a，]∪[，＋∞)．
B组
1．(2010年江苏无锡模拟)幂函数y＝f(x)的图象经过点(－2，－)，则满足f(x)＝27的x的值是__________．
解析：设幂函数为y＝xα，图象经过点(－2，－)，则－＝(－2)α，∴α＝－3，∵x－3＝27，∴x＝.答案：
2．(2010年安徽蚌埠质检)已知幂函数f(x)＝xα的部分对应值如下表：
x 1 f(x) 1 则不等式f(|x|)≤2的解集是__________．
解析：由表知＝()α，∴α＝，∴f(x)＝x.∴(|x|)≤2，即|x|≤4，故－4≤x≤4.
答案：{x|－4≤x≤4}
3．(2010年广东江门质检)设k∈R，函数f(x)＝F(x)＝f(x)＋kx，x∈R.当k＝1时，F(x)的值域为__________．
解析：当x>0时，F(x)＝＋x≥2；当x≤0时，F(x)＝ex＋x，根据指数函数与幂函数的单调性，F(x)是单调递增函数，F(x)≤F(0)＝1，所以k＝1时，F(x)的值域为(－∞，1]∪[2，＋∞)．答案：(－∞，1]∪[2，＋∞)
4．设函数f(x)＝若f(－4)＝f(0)，f(－2)＝0，则关于x的不等式f(x)≤1的解集为__________．
解析：由f(－4)＝f(0)，得b＝4.又f(－2)＝0，可得c＝4，∴或可得－3≤x≤－1或x>0.答案：{x|－3≤x≤－1或x>0}
5．(2009年高考天津卷改编)已知函数f(x)＝若f(2－a2)>f(a)，则实数a的取值范围是__________．
解析：函数f(x)＝的图象如图．
知f(x)在R上为增函数．
∵f(2－a2)>f(a)，即2－a2>a.
解得－2 答案：－26．(2009年高考江西卷改编)设函数f(x)＝(a<0)的定义域为D，若所有点(s，f(t))
(s，t∈D)构成一个正方形区域，则a的值为__________．
解析：由题意定义域D为不等式ax2＋bx＋c≥0的解集．∵ax2＋bx＋c＝a(x＋)2＋，∵a<0，∴0≤y≤ ，∴所有点(s，f(t))，(s，t∈D)构成一个正方形区域，意味着方程ax2＋bx＋c＝0的两根x1，x2应满足|x1－x2|＝ ，由根与系数的关系知＝－＝，∴4a＝－a2.∵a<0，∴a＝－4.答案：－4
7．(2010年辽宁沈阳模拟)已知函数f(x)＝若f(0)＝－2f(－1)＝1，则函数g(x)＝f(x)＋x的零点的个数为__________．
解析：∵f(0)＝1，∴c＝1.又f(－1)＝－，∴－1－b＋1＝－，∴b＝.当x>0时，g(x)＝－2＋2x＝0，∴x＝1；当x≤0时，g(x)＝－x2＋x＋1＋x＝0，∴x2－x－1＝0，∴x

＝2(舍)或x＝－，所以有两个零点．答案：2
8．设函数f(x)＝x|x|＋bx＋c，给出下列四个命题：①c＝0时，f(x)是奇函数；②b＝0，c>0时，方程f(x)＝0只有一个实根；③f(x)的图象关于(0，c)对称；④方程f(x)＝0至多有两个实根．其中正确的命题是__________．
解析：c＝0时，f(－x)＝－x|－x|＋b(－x)＝－x|x|－bx＝－f(x)，故f(x)是奇函数；b＝0，c>0时，f(x)＝x|x|＋c＝0，∴x≥0时，x2＋c＝0无解，x<0时，f(x)＝－x2＋c＝0，∴x＝－，有一个实数根．答案：①②③
9．(2010年湖南长沙质检)对于区间[a，b]上有意义的两个函数f(x)与g(x)，如果对于区间[a，b]中的任意数x均有|f(x)－g(x)|≤1，则称函数f(x)与g(x)在区间[a，b]上是密切函数，[a，b]称为密切区间．若m(x)＝x2－3x＋4与n(x)＝2x－3在某个区间上是“密切函数”，则它的一个密切区间可能是________．
①[3,4] ②[2,4] ③[2,3] ④[1,4]
解析：|m(x)－n(x)|≤1?|x2－5x＋7|≤1，解此绝对值不等式得2≤x≤3，故在区间[2,3]上|m(x)－n(x)|的值域为[0,1]，∴|m(x)－n(x)|≤1在[2,3]上恒成立．
答案：③
10．设函数f(x)＝x2＋2bx＋c(c (1)证明：－3 (2)若m是方程f(x)＋1＝0的一个实根，判断f(m－4)的正负并加以证明．
解：(1)证明：f(1)＝0?1＋2b＋c＝0?b＝－.又c 由b＝－知b≥0.
(2)f(x)＝x2＋2bx＋c＝x2－(c＋1)x＋c＝(x－c)(x－1)，f(m)＝－1<0，
∴c0，
∴f(m－4)的符号为正．
11．(2010年安徽合肥模拟)设函数f(x)＝ax2＋bx＋c，且f(1)＝－，3a>2c>2b，求证：(1)a>0且－3<<－；(2)函数f(x)在区间(0,2)内至少有一个零点；(3)设x1、x2是函数f(x)的两个零点，则≤|x1－x2|<.
证明：(1)∵f(1)＝a＋b＋c＝－，∴3a＋2b＋2c＝0.
又3a>2c>2b，∴3a>0,2b<0，∴a>0，b<0.又2c＝－3a－2b，由3a>2c>2b，
∴3a>－3a－2b>2b.∵a>0，∴－3<<－.
(2)∵f(0)＝c，f(2)＝4a＋2b＋c＝a－c，
①当c>0时，∵a>0，∴f(0)＝c>0且f(1)＝－<0，
∴函数f(x)在区间(0,1)内至少有一个零点．
②当c≤0时，∵a>0，∴f(1)＝－<0且f(2)＝a－c>0，∴函数f(x)在区间(1,2)内至少有一个零点．综合①②得f(x)在(0,2)内至少有一个零点．
(3)∵x1、x2是函数f(x)的两个零点，则x1、x2是方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，∴x1＋x2＝－，x1x2＝＝－－，∴|x1－x2|＝＝ ＝ .∵－3<<－，∴≤|x1－x2|<.
12．已知函数f(x)＝ax2＋4x＋b(a<0，a、b∈R)，设关于x的