离散数学答案(尹宝林版)第一章习题解答
第一章 命题逻辑
习题与解答
⒈ 判断下列语句是否为命题，并讨论命题的真值。 ⑴ 2x - 3 = 0。 ⑵ 前进！
⑶ 如果8 + 7 > 20，则三角形有四条边。 ⑷ 请勿吸烟！
⑸ 你喜欢鲁迅的作品吗？
⑹ 如果太阳从西方升起，你就可以长生不老。 ⑺ 如果太阳从东方升起，你就可以长生不老。
解 ⑶,⑹,⑺表达命题，其中⑶,⑹表达真命题，⑺表达假命题。 ⒉ 将下列命题符号化： ⑴ 逻辑不是枯燥无味的。
⑵ 我看见的既不是小张也不是老李。 ⑶ 他生于1963年或1964年。 ⑷ 只有不怕困难，才能战胜困难。 ⑸ 只要上街，我就去书店。
⑹ 如果晚上做完了作业并且没有其它事情，小杨就看电视或听音乐。 ⑺ 如果林芳在家里，那么他不是在做作业就是在看电视。 ⑻ 三角形三条边相等是三个角相等的充分条件。 ⑼ 我进城的必要条件是我有时间。 ⑽ 他唱歌的充分必要条件是心情愉快。
⑾ 小王总是在图书馆看书，除非他病了或者图书馆不开门。 解 ⑴ p ：逻辑是枯燥无味的。
“逻辑不是枯燥无味的”符号化为 ?p 。 ⑵ p ：我看见的是小张。q ：我看见的是老李。
“我看见的既不是小张也不是老李”符号化为q p ?∧?。 ⑶ p ：他生于1963年。q ：他生于1964年。 “他生于1963年或1964年”符号化为p ⊕ q 。 ⑷ p ：害怕困难。q ：战胜困难。
“只有不怕困难，才能战胜困难”符号化为q → ? p 。 ⑸ p ：我上街。q ：我去书店。
“只要上街，我就去书店”符号化为p → q 。
⑹ p ：小杨晚上做完了作业。q ：小杨晚上没有其它事情。
r ：小杨晚上看电视。s ：小杨晚上听音乐。
“如果晚上做完了作业并且没有其它事情，小杨就看电视或听音乐”符号化为s r q p ∨→∧。
⑺ p ：林芳在家里。q ：林芳做作业。r ：林芳看电视。
“如果林芳在家里，那么他不是在做作业就是在看电视”符号化为r q p ∨→。 ⑻ p ：三角形三条边相等。q ：三角形三个角相等。
“三角形三条边相等是三个角相等的充分条件”符号化为q p →。 ⑼ p ：我进城。q ：我有时间。
“我进城的必要条件是我有时间”符号化为p → q 。 ⑽ p ：他唱歌。q ：他心情愉快。
“他唱歌的充分必要条件是心情愉快” 符号化为q p ?。 ⑾ p ：小王在图书馆看书。q ：小王病了。r ：图书馆开门。
“小王总是在图书馆看书，除非他病了或者图书馆不开门”符号化为?(q ∨ ?r ) → p ，或者 (?q ∧ r ) → p 。也可符号化为 ?(q ∨ ?r ) ? p ，或者 (q ∨ ?r ) ⊕ p 。 ⒊ 列出除∧，∨，⊕，→，?之外的所有二元联结词的真值表。
解 共有16个二元联结词，记除∧，∨，⊕，→，?之外的二元联结词为1121,,,??? 。
⒋ 求下列公式在真值赋值( p 1 / 1, p 2 / 1, p 3 / 0, p 4 / 0)下的值： ⑴ )(321p p p ∧∨
⑵ ))()(()(4321321p p p p p p p ∨∧∨?∨∧∧ ⑶ )))((()(4321321p p p p p p p ?∧?∨∧?∨?∨∧? (4) (p 2 ? ?p 1) → (?p 3 ∨ p 4) ⑸ )()(4231p p p p →?∧?
⑹ 421321)(p p p p p p ?∨??∧→∨
(7) (p 1 ? p 3) ∧ (?p 2 ⊕ p 4)
解 记真值赋值( p 1 / 1, p 2 / 1, p 3 / 0, p 4 / 0)为v 。 ⑴ 1)01(1))((321=∧∨=∧∨p p p v 。
⑵ 1))00()11(()011()))()(()((4321321=∨∧∨?∨∧∧=∨∧∨?∨∧∧p p p p p p p v ⑶ ))))((()((4321321p p p p p p p v ?∧?∨∧?∨?∨∧?
1)0)0)11(((0)11(=?∧?∨∧?∨?∨∧?=。
(4) v ((p 2 ? ? p 1) → (? p 3 ∨ p 4)) = (1 ? ?1) → ( ?0 ∨ 0) = 0 → 1 = 1。 ⑸ 0)01()01())()((4231=→?∧?=→?∧?p p p p v 。
⑹ 101)101(1))((421321=?∨??∧→∨=?∨??∧→∨p p p p p p v 。 (7) v ((p 1 ? p 3) ∧ (?p 2 ⊕ p 4)) = (1 ? 0) ∧ (?1 ⊕ 0) = 0 ∧ 0 = 0。 5. 用真值表判断以下公式是不是永真式、永假式、可满足式。 (1) (p → r ) → ((q → r ) → (p ∨ q → r )) (2) p p p ?→?→)(
(3) (p → q ) → ((p → ?q ) → p )
(4) ))()(())((r p q p r q p →→→→→→ (5) r r q r p q p →→∧→∧∧)()()( (6) ?p ∧ ?(p → q )
(7) ))(()(p q p q p ?→?→→→
解 (1) 将 (p → r ) → ((q → r ) → (p ∨ q → r )) 记为A 。
(p → r ) → ((q → r ) → (p ∨ q → r )) 是永真式。
(3) 将 (p → q ) → ((p → ?q ) → p ) 记为A 。
(p → q ) → ((p → ?q ) → p ) 是非永真的可满足式。
(6)
是永假式。解 (1), (2), (4), (5), (7)是永真式，(6)是永假式，(3)是非永真的可满足式。 6. 指出满足下列公式的所有真值赋值。 (1) )()(r p q p ∨?∨∧ (2) ))((q p r q p ∨∧?∧∨ (3) )()(r q r p r p ∨∧∨?→∨ (4) p ⊕ (q ? r )
解 (1) )0/,0/,0/(r q p ，)1/,0/,0/(r q p ，)0/,1/,0/(r q p ，)1/,1/,0/(r q p ，
)1/,0/,1/(r q p ，)0/,1/,1/(r q p ，)1/,1/,1/(r q p 。
(2) )0/,1/,0/(r q p ，)0/,0/,1/(r q p ，)1/,0/,1/(r q p ，)0/,1/,1/(r q p ，
)1/,1/,1/(r q p 。
(3) )0/,0/,0/(r q p ，)0/,1/,0/(r q p 。 (4) 任取满足p ⊕ (q ? r ) 的真值赋值 v 。 若 v (p ) = 0，则v (q ? r ) = 1，v (q ) = v (r )。 若 v (p ) = 1，则v (q ? r ) = 0，v (q ) ≠ v (r )。 所以，满足p ⊕ (q ? r ) 的真值赋值有以下四个：
( p / 0, q / 0, r / 0)，( p / 0, q / 1, r / 1)，( p / 1, q / 0, r / 1)，( p / 0, q / 1, r / 0)。 7. 若公式A 既不是永真式，也不是永假式，则A 的每个替换实例一定既不是永真式，也不
是永假式。对吗？
解 不对。若A 是非永真的可满足式，则它的替换实例中既有永真式，也有永假式，也有
非永真的可满足式。
设A 中出现的命题变元是p 1,…, p n ，v 1和v 2分别是使得A 为真的真值赋值和使得A 为假的真值赋值。取公式B 1,…, B n , C 1,…, C n 如下：
?
??=?∧=?∨=0)(1
)(11i i i p v p p p v p p B 若若 ???=?∧=?∨=0)(1)(22i i i p v p p p v p p C 若若
任取真值赋值v ，
1)())]((/,),(/[)(111,,,,11===A v A B v p B v p v A v n n p p B B n
n ， 0)())]((/,),(/[)(211,,,,11===A v A C v p C v p v A v n n p p C C n n
， 所以，A 的替换实例n n p p B B A ,,,,11 是永真式，A 的替换实例n n p
p C C A ,,,,11 是永假式。 A 本身也是A 的替换实例，它是非永真的可满足式。
8. 用真值表证明以下等值式。
(1) p ∧ (q ⊕ r ) ? (p ∧ q ) ⊕ ( p ∧ r )
(2) (3) (4)
9.用等值演算证明以下等值式。 (1) )()(r p q r q p →→?→→ (2) r q p r p q p ∧→?→∧→)()( (3) (p → q ) ∨ (r → q ) ? p ∧ r → q (4) )()(q p p p q p →→??→→
(5) q r p q r q p →∨?→∧→)()( (6) ?(p ? q ) ? p ? ?q
解 (1) )()()()(r p q r p q r q p r q p →→?∨?∨??∨?∨??→→ (2) r q p r q p r p q p r p q p ∧→?∧∨??∨?∧∨??→∧→)()()()()( (3) (p → q ) ∨ (r → q ) ? (? p ∨ q ) ∨ (? r ∨ q ) ? (? p ∨ ? r ) ∨ (q ∨ q )
? (? p ∨ ? r ) ∨ q ? ?( p ∧ r ) ∨ q ? p ∧ r → q
(4) )(1)(q p p q p p p q p p q p →→??∨?∨????∨?∨??→→ (5) q r p q r q p q r q p ∨?∧??∨?∧∨??→∧→)()()()()(
q r p q r p →∨?∨∨??)(
(6) ?(p ? q ) ? p ⊕ q
p ? ?q ? ?(p ⊕ ?q ) ? (p ⊕ (q ⊕ 1)) ⊕ 1 ? (p ⊕ q ) ⊕ (1 ⊕ 1) ? (p ⊕ q ) ⊕ 0 ? p ⊕ q
10.用等值演算证明以下公式是永真式。 (1) p q p p q ?→?∧→)()(
(2) (p → q ) ∧ (r → s ) → (p ∧ r → q ∧ s )
(3) )()()()(s r q p s p r p q p ∨∨→→→∨→∨→ (4) )()()(r q r p r q p →∨→→→∨
解 (1) p q p p q ?→?∧→)()(1)()(?????∨∧∨??p p p q p p q (2) )()()(s q r p s r q p ∧→∧→→∧→ s q r p s r q p ∧→∧∧∨?∧∨??)()( s q r s r p q p ∧→∧∨?∧∧∨??)()(
1?∧→∧∧∧?s q r s p q
(3) )()()()(s r q p s p r p q p ∨∨→→→∨→∨→ )(s r q p s p r p q p ∨∨→→∨?∨∨?∨∨??
1?∨∨∨?→∨∨∨??s r q p s r q p
(4) )()()(r q r p r q p →∨→→→∨
r q r p r q p ∨?∨∨?∨∨∨???))(( r q p r q p ∨?∨?∨?∧∨?))((
111)()(?∧?∨?∨?∨?∧∨?∨?∨∨?r q p r r q p q p
11.用等值演算证明以下公式是永假式。 (1) p q p p q ??→?∧→)()( (2) )()()(r p r q q p →?∧→∧→
解 (1) p q p p q ??→?∧→)()(0)()(???????∨∧∨??p p p q p p q (2) )()()(r p r q q p →?∧→∧→)()()(r p r q q p ∨??∧∨?∧∨?? r p r q q p ?∧∧∨?∧∨??)()())(())((r r q p q p ?∧∨?∧∧∨??
0??∧?∧∧?r q q p
12.找出与下列公式等值的尽可能简单的由},{∧?生成的公式。 13.找出与下列公式等值的尽可能简单的由},{∨?生成的公式。
(1) )(p r q p →?∧?∧?
(2) q p r q p ∧?∧?∨→)( (3) p q p ?∧∧
解 (1) )(p r q p →?∧?∧?)(p r q p ∨??∧?∧?? )()(p q p r q p ∧?∧?∨??∧?∧??
r q p ??∧?∧??)(r q p ?∨∨??
(2) ))(()()(q p r q p q p r q p q p r q p ?∨∨?∨∨????∧?∧?∨∨??∧?∧?∨→ (3) )(p q p p q p ∨?∨????∧∧
14.设A 是由}{?生成的公式。证明：A 是永真式当且仅当每个命题变元在A 中出现偶数次。
证明 首先证明：若A 是由}{?生成的仅出现一个命题变元p 的公式，则
??
??中出现奇数次
在若中出现偶数次在若A p p
A p A 1
对p 在A 中的出现次数进行归纳。
① 若p 在A 中出现1次，即A 为p ，显然p A ?。 ② 若p 在A 中出现2次，即A 为p p ?，显然1?A 。
③ 设p 在A 中的出现n 次，A 为C B ?，p 在B ，C 中的出现次数分别为k 和l ，则l k n +=，n k <且n l <。若n 为偶数,则k 和l 的奇偶性相同，B 和C 等值于同一公式，1?A 。若n 为奇数,则k 和l 的奇偶性不同，B 和C 中一个等值于p ，另一个是永真式，因此
p p A ???1。
设在A 中的出现的所有命题变元为n p p ,,1 ，它们的出现次数分别为n k k ,,1 。因为
A B A B B A B A ??⊕??⊕???)()(，并且
11))(()(⊕⊕⊕⊕?⊕⊕?????C B A C B A C B A )())((11C B A C B A C B A ???⊕?⊕??⊕⊕⊕⊕?
所以?满足交换律和结合律，存在由}{?生成的公式n B B ,,1 ，使得
n B B A ??? 1，并且i B 仅出现命题变元i p ，出现次数为i k ，n i ,,1 =。若n k k ,,1 全为偶数，则1111?⊕⊕???? n B B A 。若n k k ,,1 中有
m l l k k ,,1 是奇数，则m l l n p p B B A ?????? 11，显然A 不是永真式。 15.设A 是由{⊕}生成的公式。证明：A 是永假式当且仅当每个命题变元在A 中出现偶数次。
证明 首先证明：若A 是由{⊕}生成的仅出现一个命题变元p 的公式，则
??
??中出现奇数次
在若中出现偶数次在若A p p
A p A 0
对p 在A 中的出现次数进行归纳。
① 若p 在A 中出现1次，即A 为p ，显然A ? p 。
② 若p 在A 中出现2次，即A 为p ⊕ p ，显然A ? 0。
③ 设p 在A 中出现n 次，A 为B ⊕ C ，p 在B ，C 中的出现次数分别为k 和l ，则
n = k + l ，k < n 且l < n 。若n 为偶数,则k 和l 的奇偶性相同，B 和C 等值于同一公式，
A ? 0。若n 为奇数,则k 和l 的奇偶性不同，
B 和
C 中一个等值于p ，另一个是永假式，因此A ? p ⊕ 0 ? p 。
设在A 中的出现的所有命题变元为p 1,…, p n ，它们的出现次数分别为k 1,…, k n 。因为⊕满足交换律和结合律，所以存在由{⊕}生成的公式B 1,…, B n ，使得A ? B 1 ⊕ … ⊕ B n ，B i 中仅出现命题变元p i ，并且出现次数为k i ，i = 1,…, n 。若k 1,…, k n 全为偶数，则
A ?
B 1 ⊕ … ⊕ B n ? 0 ⊕ … ⊕ 0 ? 0。若 k 1,…, k n 中有m l l k k ,,1 是奇数，则
m l l n p p B B A ⊕⊕?⊕⊕? 11，显然A 不是永假式。
16.北京、上海、天津、广州四市乒乓球队比赛，三个观众猜测比赛结果。 甲说：“天津第一，上海第二。” 乙说：“天津第二，广州第三。” 丙说：“北京第二，广州第四。”
比赛结果显示，每人猜对了一半，并且没有并列名次。 问：实际名次怎样排列？
解 用字母表示命题如下：
p 2：北京第二，q 2：上海第二，r 1：天津第一，
r 2：天津第二，s 3：广州第三，s 4：广州第四。
由已知条件列出以下方程：
甲猜对了一半：r 1 ⊕ q 2 = 1，乙猜对了一半：r 2 ⊕ s 3 = 1， 丙猜对了一半：p 2 ⊕ s 4 = 1； 每个城市只能得一个名次：r 1 ∧ r 2 = 0，s 3 ∧ s 4 = 0； 没有并列名次：p 2 ∧ q 2 = 0，p 2 ∧ r 2 = 0，r 2 ∧ q 2 = 0。 解以上8个方程组成的方程组。
r 2 = r 2 ∧ 1 = r 2 ∧ (r 1 ⊕ q 2) = (r 2 ∧ r 1 ) ⊕ ( r 2 ∧ q 2) = 0 ⊕ 0 = 0， 将r 2 = 0代入r 2 ⊕ s 3 = 1得s 3 = 1，将s 3 = 1代入s 3 ∧ s 4 = 0得s 4 = 0，将s 4 = 0代入p 2 ⊕ s 4 = 1得p 2 = 1，将p 2 = 1代入p 2 ∧ q 2 = 0得q 2 = 0，将q 2 = 0代入r 1 ⊕ q 2 = 1得r 1 = 1。 将p 2 = r 1 = s 3 = 1，q 2 = r 2 = s 4 = 0代入8个方程验证它们满足方程组。
因此，天津第一，北京第二，广州第三，上海第四。 17.某勘探队取回一块矿样，三人判断如下。 甲说：“矿样不含铁，也不含铜。” 乙说：“矿样不含铁，含锡。” 丙说：“矿样不含锡，含铁。”
已经知道，这三人中有一个是专家，一个是老队员，一个是实习队员。化验结果表明：这块矿样只含一种金属，专家的两个判断皆对，老队员的判断一对一错，实习队员的两个判断皆错。问：这三人的身分各是什么？
解 p :矿样含铁， q :矿样含铜， r :矿样含锡。
甲说的两句话为：p ?，q ?
乙说的两句话为：p ?，r 丙说的两句话为：r ?，p
如果用一个公式表达出这三人中有一个是专家，一个是老队员，一个是实习队员，公式会非常
复杂。其实我们不必完全写出这样的公式。因为矿样只含一种金属，所以0=∧q p ，0=∧r q ，
0=∧p r 。甲是实习队员，即甲说的两句话都是错的，可表示为：q p ∧。乙是实习队员，即
乙说的两句话都是错的，可表示为：r p ?∧。丙是实习队员，即丙说的两句话都是错的，可表示为：p r ?∧。甲、乙、丙三人中至少有一个是实习队员，可表示为：
1)()()(=?∧∨?∧∨∧p r r p q p
因为0=∧q p ，所以1)()(=?∧∨?∧p r r p ，即1=⊕r p ，p 和r 中恰好有一个为1，因此0=q 。甲是老队员，即甲说的话一半对一半错，可表示为：q p ?⊕?。乙是老队员，即乙说的话一半对一半错，可表示为：r p ⊕?。丙是老队员，即丙说的话一半对一半错，可表示为：p r ⊕?。甲、乙、丙三人中有奇数个老队员，可表示为：
1)()()(=⊕?⊕⊕?⊕?⊕?p r r p q p
由教材上的等值式可得到
)()()(p r r p q p ⊕?⊕⊕?⊕?⊕?
)()()(p q r r p p ⊕?⊕⊕?⊕?⊕??
)1(10p q ⊕⊕⊕⊕?p q ⊕?
又知道0=q ，所以1=p 。因为0=∧p r ，所以0=r 。因此，甲说的话一半对一半错，甲是老队员。乙说的话全错，乙是实习队员。丙说的话全对，丙是专家。 18. 先用等值演算证明下列等值式，再用对偶定理得出新等值式。 (1) p q p q p ?∨??∨?∨??)()(
(2) )()()()(q p q p q p q p ∨????∨?∧∨∧?∨ (3) 1))((?∧∨??∨p q p q
解 (1) p q q p q p q p q p q p ??∨∧??∧∨∧?∨??∨?∨??)()()()()(
由对偶定理得p q p q p ?∧??∨?∧??)()(。 (2) )())(()()()(q p q q p q p q p q p ?∨?∧∧?∨??∨?∧∨∧?∨
)()()(q p p p q p p ?∧∨?∧??∨?∧?)(q p q p ∨????∧?
由对偶定理得)()()()(q p q p q p q p ∧????∧?∨∧∨?∧。 (3)
19. 设A 是由{0, 1, ?, ∧, ∨}生成的公式，A *
与A 互为对偶式。
(1) 若A 是永真式，则A *
是永假式。
(2) 若A 是永假式，则A *
是永真式。
证明 (1) 设A 是永真式，则A ? 1，由对偶定理得A *
? 0，因此A *
是永假式。
(2) 设A 是永假式，则A ? 0，由对偶定理得A * ? 1，因此A *
是永真式。 20. 证明以下联结词集合是极小完全集。
(1) {0, →} (2) {⊕, →} (3) {⊕, ∧, ?} (4) {⊕, ∨, ?}
证明 (1) ?p ? ?p ∨ 0 ? p → 0，因为{?, →}是完全集，所以{0, →}是完全集。任取由{0}生成的不出现除命题变元p 之外的命题变元的公式A ，令真值赋值v = (p /0)，则
v (A ) = 0，而v (?p ) = 1，因此{0}不能定义?。所以{0}不是完全集。任取由{→}生成的仅出现命题变元p 的公式A ，令真值赋值v = (p /1)，则v (A ) = 1，而v (?p ) = 0，因此{→}不能定义?。所以{→}不是完全集。所以{0, →}是极小完全集。
(2) ?p ? p ⊕ 1 ? p ⊕ (p → p )，因为{?, →}是完全集，所以{⊕, →}是完全集。任取由{⊕}生成的仅出现命题变元p 的公式A ，令真值赋值v = (p /0)，则v (A ) = 0，而
v (?p ) = 1，因此{⊕}不能定义?。所以{⊕}不是完全集。{→}不是完全集。所以{⊕, →}
是极小完全集。
(3) ?p ? p ⊕ 1 ? p ⊕ (p ? p )，因为{?, ∧}是完全集，所以{⊕, ∧, ?}是完全集。任取由{⊕, ∧}生成的仅出现命题变元p 的公式A ，令真值赋值v = (p /0)，则v (A ) = 0，而 v (?p ) = 1，因此{⊕, ∧}不能定义?。所以{⊕, ∧}不是完全集。任取由{∧, ?}生成的仅出现命题变元p 的公式A ，令真值赋值v = (p /1)，则v (A ) = 1，而v (?p ) = 0，因此{∧, ?}不能定义?。所以{∧, ?}不是完全集。{⊕, ?}不是完全集。所以{⊕, ∧, ?}是极小完全集。
(4) ?p ? p ⊕ 1 ? p ⊕ (p ? p )，因为{?, ∨}是完全集，所以{⊕, ∨, ?}是完全集。任取由{⊕, ∨}生成的仅出现命题变元p 的公式A ，令真值赋值v = (p /0)，则v (A ) = 0，而 v (?p ) = 1，因此{⊕, ∨}不能定义?。所以{⊕, ∨}不是完全集。任取由{∨, ?}生成的仅出现命题变元p 的公式A ，令真值赋值v = (p /1)，则v (A ) = 1，而v (?p ) = 0，因此{∨, ?}不能定义?。所以{∨, ?}不是完全集。{⊕, ?}不是完全集。所以{⊕, ∨, ?}是极小完全集。
21.证明以下联结词集合不是完全集。 (1) },,,{?→∨∧ (2) },,{∨∧⊕
证明 (1) 任取由},,,{?→∨∧生成的仅出现命题变元p 的公式A ，令真值赋值)1/(p v =，则1)(=A v ，而0)(=?p v ，因此},,,{?→∨∧不能定义?。所以},,,{?→∨∧不是完全集。
(2) 任取由},,{∨∧⊕生成的仅出现命题变元p 的公式A ，令真值赋值)0/(p v =，则
0)(=A v ，而1)(=?p v ，因此},,{∨∧⊕不能定义?。所以},,{∨∧⊕不是完全集。
22. 二元联结词 ↑（称为“与非”）和 ↓（称为“或非”）的真值表如下。
证明：
(1) {↑}是完全集。 (2) {↓}是完全集。
(3) 若 ? 是二元联结词且{?}是完全集，则 ? 是 ↑ 或 ↓ 。 证明 (1) ?p ? p ↑ p ,
p ∧ q ? ??(p ∧ q ) ? ?(p ↑ q ) ? (p ↑ q ) ↑ (p ↑ q )，
因为{?, ∧}是完全集，所以{↑}是完全集。
(2) ?p ? p ↓ p , p ∨ q ? ??(p ∨ q ) ? ?(p ↓ q ) ? (p ↓ q ) ↓ (p ↓ q ) ， 因为{?, ∨}是完全集，所以{↓}是完全集。
(3) 若0 ? 0 = 0或1 ? 1 = 1，则 ? 不能由{?}定义。因此，0 ? 0 = 1且1 ? 1 = 0。 若0 ? 1 ≠ 1 ? 0，则 ? 的真值表的最后一列有偶数个1，真值表最后一列有奇数个1的 ∧ 不能由{?}定义。所以，0 ? 1 = 1 ? 0。若0 ? 1 = 1 ? 0 = 1，则 ? 是 ↑ 。若
0 ? 1 = 1 ? 0 = 0，则 ? 是 ↓ 。
23.三元联结词?
证明}{?是极小完全集。
证明 pqq q p ??↓，因为}{↓是完全集，所以}{?是极小完全集。 24.在下列公式中，哪些是析取范式，哪些是合取范式?
p ，p ∨ q ，(p ∨ q ) ∧ r ，p ∧ ?r ，p ∨ ?p ，((p ∨ q ) ∧ ?q ) ∨ r
解 p ，p ∨ q ，p ∧ ?r ，p ∨ ?p 是析取范式，
p ，p ∨ q ，p ∧ ?r ，(p ∨ q ) ∧ r ，p ∨ ?p 是合取范式。
25. 在下列公式中，哪些是关于p , q , r 的主析取范式，哪些是关于p , q , r 的主合取范式？
p ∨ q ∨ r , p ∧ ?q ∧ r , (p ∨ q ∨ ?r ) ∧ ( p ∨ q ∨ ?r ),
p ∨ ( q ∧ r ), (p ∨ ?p ∨ q ) ∧ ( p ∨ q ∨ r )
解 p ∧ ?q ∧ r 是关于p , q , r 的主析取范式，p ∨ q ∨ r 是关于p , q , r 的主合取范式。
26.是否有这样的公式，它既是主合取范式，又是主析取范式？如果有，举出一例。
解 有。p 既是关于p 的主析取范式，又是关于p 的主合取范式。
27.求下列公式的主范式，进而判断其是否永真式、永假式、可满足式。 (1) r q p →∧? (2) r q p →→)(
(3) )(q p q p ??→?∨? (4) ))((r q q p p →?∨→∨ (5) )()(r q p r q p ?∧?→?∧∧→ (6) )(q p q p ?∨?∧∧ 解 (1) r q p →∧?r q p ∨∧???)(r q p ∨?∨?
r q p →∧?的主合取范式是r q p ∨?∨，包含一个极大项，因此它是非永真的可满
足式。
(2) r q p →→)(r q p ∨∨???)( r q p ∨?∧???)()()(r q r p ∨?∧∨? ))(())((r q p p r q q p ∨?∨?∧∧∨?∧∨? )()()(r q p r q p r q p ∨?∨?∧∨?∨∧∨∨?
r q p →→)(的主合取范式是)()()(r q p r q p r q p ∨?∨?∧∨?∨∧∨∨，包含了
三个极大项，因此它是非永真的可满足式。 (3) )(q p q p ??→?∨?))()(()(q p q p q p ∨∧?∨?∨?∨??? )()(q p q p ∨∨?∨???q p q p ∨∧∧?)(q p ∨?
)(q p q p ??→?∨?的主合取范式为q p ∨，包含了一个极大项，因此它是非永真
的可满足式。
(4) ))((r q q p p →?∨→∨))((r q q p p ∨??∨∨?∨?1?
))((r q q p p →?∨→∨的主合取范式为1，不包含任何极大项，因此它是永真式。
(5) )()(r q p r q p ?∧?→?∧∧→ ))(())((r q p r q p ?∧?∨??∧∧∨??
)()()()(r q r q p r q r q p p p ?∧?∧∧∨∧∧∨?∧?∧?∨∧??
)()(r q p r q p ∧∧∨?∧?∧??
)()(r q p r q p ?∧?→?∧∧→的主析取范式为)()(r q p r q p ∧∧∨?∧?∧?，
包含了两个极小项，因此它是非永真的可满足式。 (6) )(q p q p ?∨?∧∧ )())(())((q p q p p q q p ?∨?∧∨?∧∧?∧∨? )()()()(q p q p q p q p ?∨?∧∨?∧?∨∧∨?
)(q p q p ?∨?∧∧的主合取范式为)()()()(q p q p q p q p ?∨?∧∨?∧?∨∧∨，
包含了所有的四个极大项，因此它是永假式。 28.用主范式证明下列等值式。
(1) q p q p ∧→→)()()(p r p p →∧→?? (2) )()(r p q p →∧→r q p ∧→? 解 (1) q p q p ∧→→)()()(q p q p ∧∨∨???
)()(q p q p ∧∨?∧?))(())((r r q p r r q p ∨?∧∧∨∨?∧?∧?
)()())()(r q p r q p r q p r q p ∧∧∨?∧∧∨∧?∧∨?∧?∧?
)()(p r p p →∧→?)()(p r p p ∨?∧∨???
)(r p p ?∨∧?p ?)()(r r q q p ∨?∧∨?∧?
)()())()(r q p r q p r q p r q p ∧∧∨?∧∧∨∧?∧∨?∧?∧?
q p q p ∧→→)(和)()(p r p p →∧→?等值于同一个关于p ,q ,r 的主析取范
式 )()())()(r q p r q p r q p r q p ∧∧∨?∧∧∨∧?∧∨?∧?∧，因此，
q p q p ∧→→)()()(p r p p →∧→??。
(2) )()(r p q p →∧→)()(r p q p ∨?∧∨??
))(())((r q q p r r q p ∨?∧∨?∧?∧∨∨??
)()()()(r q p r q p r q p r q p ∨?∨?∧∨∨?∧?∨∨?∧∨∨??
)()()(r q p r q p r q p ?∨∨?∧∨∨?∧∨?∨??
r q p ∧→)(r q p ∧∨??)()(r p q p ∨?∧∨??
))(())((r q q p r r q p ∨?∧∨?∧?∧∨∨??
)()()()(r q p r q p r q p r q p ∨?∨?∧∨∨?∧?∨∨?∧∨∨?? )()()(r q p r q p r q p ?∨∨?∧∨∨?∧∨?∨??
)()(r p q p →∧→和r q p ∧→的主合取范式相同，所以，
)()(r p q p →∧→r q p ∧→?。
29.判断以下关系是否成立，并说明理由。 (1) q p ∨,q p =?| (2) q p ∨, ,p q =|
(3) 11q p →,22q p →,2121|q q p p ∧=∧ (4) q p →,q p p q ∨=→|
(5) r q p →∧,r q p r q p ∧∧=?→∨|
解 (1) 若真值赋值v 使得1)()(=?=∨p v q p v ，则1)(=q v 。所以q p ∨,q p =?|。 (2) 真值赋值)1/,0/(q p v =使得1)()()(==→=∨q v q p v q p v ，但0)(=p v ，所以
q p ∨,q p →,p q /|=。
(3) 若真值赋值v 使得1)()()(212211=∧=→=→p p v q p v q p v ，则1)()(21==p v p v ，因而1)()(21==q v q v ，1)(21=∧q q v 。所以11q p →,22q p →,2121|q q p p ∧=∧。 (4) 真值赋值)0/,0/(q p v =使得1)()(=→=→p q v q p v ，但0)(=∨q p v 。所以
q p →,q p p q ∨=→/|。
(5) 真值赋值)0/,1/,0/(r q p v =使得1)()(=?→∨=→∧r q p v r q p v ，但
0)(=∧∧r q p v 。所以r q p →∧,r q p r q p ∧∧=?→∨/|。
30.判断以下公式组成的集合是否可满足，并说明理由。 (1) )()(r s q p ?∧∨∨，)(r s ?∧?
(2) 1p ，21p p ∨?，321p p p ∨?∨?,…，11+∨?∨∨?n n p p p ,… (3) q p ∨，q p ?∨?，q p →
解 (1) 可满足。真值赋值)0/,1/,0/,1/(s r q p 满足它。
(2) 可满足。若真值赋值v 使得 ,2,1,1)(==i p v i ，则v 满足它。 (3) 可满足。真值赋值)1/,0/(q p 满足它。
31.设A ,B ,C 是任意公式。C B A =∨|当且仅当C A =|且C B =|。
证明1 （?）设C B A =∨|。任取满足A 的真值赋值v ，则1)(=∨B A v ，因为C B A =∨|，所以1)(=C v 。这表明C A =|。任取满足B 的真值赋值v ，则1)(=∨B A v ，因为C B A =∨|，所以1)(=C v 。这表明C B =|。
（?）设C A =|且C B =|。任取满足B A ∨的真值赋值v ，则1)(=A v 或1)(=B v 。 ① 若1)(=A v ，因为C A =|，所以1)(=C v 。 ② 若1)(=B v ，因为C B =|，所以1)(=C v 。 因此，C B A =∨|。
证明2 C B A C B A C B A ∨?∧??∨∨??→∨)()( )()()()(C B C A C B C A →∧→?∨?∧∨??
C B A =∨|
当且仅当C B A →∨是永真式
当且仅当)()(C B C A →∧→是永真式 当且仅当C A →和C B →都是永真式
当且仅当C A =|且C B =|
32.设1Γ和2Γ是公式集合，B 是公式，B =Γ|2，对于2Γ中每个公式A ，A =Γ|1。证明：
B =Γ|1。
证明 任取满足1Γ的真值赋值v 。对于2Γ中每个公式A ，因为A =Γ|1，所以1)(=A v 。这表明v 满足2Γ。又因为B =Γ|2，所以1)(=B v 。因此，B =Γ|1。 33.公式集合Γ不可满足当且仅当0|=Γ。
证明 （?）设0/|=Γ，则存在真值赋值v 满足Γ且0)0(=v ，因此Γ可满足。 （?）设0|=Γ。若Γ可满足，有真值赋值v 满足Γ，由0|=Γ得出1)0(=v ，这是不可能的。因此，Γ不可满足。
34.设n 是正整数，}1|)({},,,{111n j i q q p p q p q p j i n n n ≤<≤∧??∨∨→→=Γ 。证明：)()(|11n n p q p q →∧∧→=Γ 。
证明 设真值赋值v 满足Γ，则1)(1=∨∨n p p v ，存在n i ≤使1)(=i p v 。因为1)(=→i i q p v ，所以1)(=i q v 。若i j <≤1，因为1))((=∧?i j q q v ，因此0)(=j q v 。若
n j i ≤<，因为1))((=∧?j i q q v ，因此0)(=j q v 。所以
1))()((11=→∧∧→n n p q p q v 。
离散数学复习题及答案
1. 写出命题公式 ﹁（P →（P ∨ Q ））的真值表。 答案： 2.证明 答案： 3. 证明以下蕴涵关系成立： 答案： 4. 写出下列式子的主析取范式： 答案： 5. 构造下列推理的论证：p ∨q, p →r, s →t, s →r, t q 答案： ) ()(R P Q P ∨∧∧?) ()(R P Q P ∨∧?∨??) )(())(R Q P P Q P ∧?∨?∨∧?∨??) ()()()(R Q R P P Q P P ∧?∨∧?∨∧?∨∧??) ()()(Q R P R P Q R P Q ∧∧?∨?∧∧?∨∧∧??) ()()(P R Q P R Q Q R P ?∧∧?∨∧∧?∨?∧∧?∨) ()()(Q R P R P Q R P Q ∧∧?∨?∧∧?∨∧∧??) (Q R P ?∧∧?∨) ()(Q P Q P Q P ?∧?∨∧??Q) P (Q)(P P) (Q P)P (Q)(Q Q)P (P) Q)P ((Q)Q)P (P) Q (Q)P (Q P ?∧?∨∧?∧∨∧?∨?∧∨?∧??∧∨?∨?∧∨??∨?∧∨???Q Q P P ?∨∧?)() ()(R P Q P ∨∧∧?
①s →t 前提 ②t 前提 ③s ①②拒取式I12 ④s →r 前提 ⑤r ③④假言推理I11 ⑥p →r 前提 ⑦p ⑤⑥拒取式I12 ⑧p ∨q 前提 ⑨q ⑦⑧析取三段论I10 6. 用反证法证明：p →((r ∧s)→q), p, s q 7. 请将下列命题符号化： 所有鱼都生活在水中。 答案： 令 F( x )：x 是鱼 W( x )：x 生活在水中 ))((W(x)F(x)x →? 8. 请将下列命题符号化： 存在着不是有理数的实数。 答案： 令 Q ( x )：x 是有理数 R ( x )：x 是实数 Q(x))x)(R(x)(?∧? 9. 请将下列命题符号化： 尽管有人聪明，但并非一切人都聪明。 答案： 令M(x)：x 是人 C(x)：x 是聪明的 则上述命题符号化为 10. 请将下列命题符号化： 对于所有的正实数x,y ，都有x+y ≥x 。 答案： 令P(x):x 是正实数 S(x,y): x+y ≥x 11. 请将下列命题符号化： 每个人都要参加一些课外活动。 答案： ))) ()((())()((x C x M x x C x M x →??∧∧?)) ,()()((y x S y P x P y x →∧??
离散数学图论与系中有图题目
离散数学图论与系中有图题目
————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：
图论中有图题目 一、 没有一个简单的办法能确定图的色数以及用尽可能少的颜色给图的节点着色。Welch-Powell 给出了一个使颜色数尽可能少（不一定最少）的结点着色方法，在实际使用中比较有效： 第1步、 将图的结点按度数的非增顺序排列；第2步、用第1种颜色给第1个结点着色，并按照结点排列顺序，用同一种颜色给每个与前面已着色的结点不邻接的结点着色；第3步、换一种颜色对尚未着色的结点按上述方法着色，如此下去，直到所有结点全部着色为止。 例1 分别求右面两图的色数 （1）由于（1）中图G 中无奇数长的基本回路，由定理可知()2G χ=。 （2）由于（2）中图G 含子图轮图4W ，由于()44W χ=，故()4G χ≥。又因 为此图的最大度()4G ?=，G 不是完全图，也不是奇数长的基本回路，由定理可知()()4G G χ≤?=，因而()4G χ=。 （对n 阶轮图n W ，n 为奇数时有()3n W χ=，n 为偶数时有()4n W χ=；对n 阶零图n N ，有()1n N χ=；完全图n K ，有()n K n χ=；对于二部图12,,,G V V E E =<>=Φ时即()1n N χ=，E ≠Φ时即()2G χ=；在彼得森图G 中，存在奇数长的基本回路，因而()3G χ≥，又彼得森图既不是完全图也不是长度为奇数的基本回路，且()3G ?=，由定理()3G χ≤，故()3G χ=） 例 2 给右边三个图的顶点正常着 色，每个图至少需要几种颜色。 答案：（1） ()2G χ=；（2） ()3G χ=； （3）()4G χ= 例3 有8种化学品A,B,C,D,P,R,S,T 要放进贮藏室保管。出于安全原因， 下列各组药品不能贮在同一个室内：A-R, A-C, A-T, R-P, P-S, S-T, T-B, B-D, D-C, R-S, R-B, 4个结点、6个结点和8个结点的三次正则图 (2) (1) (3) (2)(1)
离散数学第1章习题答案
#include
N=N/2; } while(!Empty(S)) { Pop(S,&e); printf("%d ",e); } } void main() { int n; printf("请输入待转换的值n：\n"); scanf ("%d",&n); conversion(n); }习题 1.判断下列语句是否是命题，为什么？若是命题，判断是简单命题还是复合命题？ (1)离散数学是计算机专业的一门必修课。 (2)李梅能歌善舞。 (3)这朵花真美丽！ (4)３＋２＞６。 (5)只要我有时间，我就来看你。 (6)x＝５。 (7)尽管他有病，但他仍坚持工作。 (8)太阳系外有宇宙人。 (9)小王和小张是同桌。 (10)不存在最大的素数。 解在上述10个句子中，(3)是感叹句，因此它不是命题。(6)虽然是陈述句，但它没有确定的值，因此它也不是命题。其余语句都是可判断真假的陈述句，所以都是命题。其中：(1)、(4) 、(8) 、(9) 、是简单命题，、(2) 、(5) 、(7)、(10) 是复合命题。 2.判断下列各式是否是命题公式，为什么？ (1)(P→(P∨Q))。 (2)(?P→Q)→(Q→P)))。 (3)((?P→Q)→(Q→P))。 (4)(Q→R∧S)。 (5)(P∨QR)→S。 (6)((R→(Q→R)→(P→Q))。 解 (1)是命题公式。 (2)不是命题公式，因为括号不配对。 (3)是命题公式。 (4)是命题公式。
《离散数学》考试题库及答案(三)
《离散数学》考试题库及答案 一、 填空 10% （每小题 2分） 1、 若P ，Q 为二命题，Q P ?真值为1，当且仅当 。 2、 对公式),()),(),((y x xR z x zQ y x yP ?∨?∧?中自由变元进行代入的 公 式 为 。 3、 )) (()(x xG x xF ??∧?的 前 束 范 式为 。 4、 设x 是谓词合式公式A 的一个客体变元，A 的论域为D ，A （x ）关于y 的自由的， 则 被称为全称量词消去规则，记为US 。 5、 与非门的逻辑网络为 。 二、 选择 30% （每小题 3分） 1、 下列各符号串，不是合式公式的有（ ）。 A 、R Q P ?∧∧)(； B 、)()((S R Q P ∧→→； C 、R Q P ∧∨∨； D 、S R Q P ∨∧∨?))((。 2、 下列语句是命题的有（ ）。 A 、2是素数； B 、x+5 > 6； C 、地球外的星球上也有人； D 、这朵花多好看呀！。 3、 下列公式是重言式的有（ ）。 A 、)(Q P ??； B 、Q Q P →∧)(； C 、P P Q ∧→?)(； D 、P Q P ?→)( 4、 下列问题成立的有（ ）。 A 、 若C B C A ∨?∨，则B A ?； B 、若C B C A ∧?∧，则B A ?； C 、若B A ???，则B A ?； D 、若B A ?，则B A ???。 5、 命题逻辑演绎的CP 规则为（ ）。 A 、 在推演过程中可随便使用前提； B 、在推演过程中可随便使用前面演绎出的某些公式的逻辑结果； C 、如果要演绎出的公式为C B →形式，那么将B 作为前提，设法演绎出C ；
离散数学复习题参考带答案
一、选择题：（每题2’） 1、下列语句中不是命题的有（ ）。 A ．离散数学是计算机专业的一门必修课。 B ．鸡有三只脚。 C ．太阳系以外的星球上有生物 。 D ．你打算考硕士研究生吗? 2、命题公式A 与B 是等价的，是指（ ）。 A ． A 与B 有相同的原子变元 B ． A 与B 都是可满足的 C ． 当A 的真值为真时，B 的真值也为真 D ． A 与B 有相同的真值 3、所有使命题公式P∨(Q∧?R)为真的赋值为（ ）。 A ． 010，100，101，110，111 B ． 010，100，101，111 C ． 全体赋值 D ． 不存在 4、合式公式 (P∧Q)R 的主析取范式中含极小项的个数为（ ）。 A ．2 B ．3 C ．5 D ．0 5、一个公式在等价意义下，下面哪个写法是唯一的（ ）。 A ．析取范式 B ．合取范式 C ．主析取范式 D ．以上答案都不对 6、下述公式中是重言式的有（ ）。 A ．(P ∧Q) (P ∨Q) B ．(P Q) (( P Q)∧(Q P)) C ．(P Q)∧Q D ．P (P ∧Q) 7、命题公式 (P Q) ( Q ∨P) 中极小项的个数为（ ），成真赋值的个数为（ ）。 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 8、若公式 (P∧Q)∨(P∧R) 的主析取范式为 m 001∨m 011∨m 110∨m 111 则它的主合取范式为（ ）。 A ．m 001∧m 011∧m 110∧m 111 B ．M 000∧M 010∧M 100∧M 101 C ．M 001∧M 011∧M 110∧M 111 D ．m 000∧m 010∧m 100∧m 101 9、下列公式中正确的等价式是（ ）。 A ．(x)A(x) ( x)A(x) B ．(x) (y)A(x, y) (y) (x) A(x, y) C ．(x)A(x) (x)A(x) D ．(x) (A(x) ∧B(x)) ( x) A(x) ∨(x) B(x) 10、下列等价关系正确的是（ ）。 A ．x ( P(x) ∨Q(x) ) x P(x) ∨x Q(x) B ．x ( P(x) ∨Q(x) ) x P(x) ∨x Q(x) C ．x ( P(x) Q ) x P(x) Q D ． x ( P(x) Q ) x P(x) Q 11、设个体域为整数集，下列真值为真的公式是（ ）。 A ．x y （x·y=1） B ．x y （x·y=0） C ． x y （x·y=y） D ．x y （x+y=2y ） 12、设S={,{1},{1,2}}，则有（ ）S 。 A ．{{1,2}} B ．{1,2 } C ．{1} D ．{2} 13、下列是真命题的有（ ）。 A ．{a}{{a}} B ．{{}}{,{}} C ．{,{}} D ．{}{,{}}
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离散数学(屈婉玲版)第一章部分习题分解
第一章习题 1.1&1.2 判断下列语句是否为命题,若是命题请指出是简单命题还 是复合命题.并将命题符号化,并讨论它们的真值. (1) √2是无理数. 是命题,简单命题.p:√2是无理数.真值:1 (2) 5能被2整除. 是命题,简单命题.p:5能被2整除.真值:0 (3)现在在开会吗? 不是命题. (4)x+5>0. 不是命题. (5) 这朵花真好看呀! 不是命题. (6) 2是素数当且仅当三角形有3条边. 是命题,复合命题.p:2是素数.q:三角形有3条边.p?q真值:1 (7) 雪是黑色的当且仅当太阳从东方升起. 是命题,复合命题.p:雪是黑色的.q:太阳从东方升起. p?q真值:0 (8) 2008年10月1日天气晴好. 是命题,简单命题.p:2008年10月1日天气晴好.真值唯 一. (9) 太阳系以外的星球上有生物. 是命题,简单命题.p:太阳系以外的星球上有生物.真值唯一. (10) 小李在宿舍里. 是命题,简单命题.P:小李在宿舍里.真值唯一. (11) 全体起立! 不是命题. (12) 4是2的倍数或是3的倍数. 是命题,复合命题.p:4是2的倍数.q:4是3的倍数.p∨q 真值:1 (13) 4是偶数且是奇数.
是命题,复合命题.P:4是偶数.q:4是奇数.p∧q真值:0 (14) 李明与王华是同学. 是命题,简单命题.p: 李明与王华是同学.真值唯一. (15) 蓝色和黄色可以调配成绿色. 是命题,简单命题.p: 蓝色和黄色可以调配成绿色.真值:1 1.3 判断下列各命题的真值. (1)若 2+2=4,则 3+3=6. (2)若 2+2=4,则 3+3≠6. (3)若 2+2≠4,则 3+3=6. (4)若 2+2≠4,则 3+3≠6. (5)2+2=4当且仅当3+3=6. (6)2+2=4当且仅当3+3≠6. (7)2+2≠4当且仅当3+3=6. (8)2+2≠4当且仅当3+3≠6. 答案: 设p:2+2=4,q:3+3=6,则p,q都是真命题. (1)p→q,真值为1. (2)p→┐q,真值为0. (3)┐p→q,真值为1. (4)┐p→┐q,真值为1. (5)p?q,真值为1. (6)p?┐q,真值为0. (7)┐p?q,真值为0. (8)┐p?┐q,真值为1. 1．4将下列命题符号化，并讨论其真值。 （1）如果今天是1号，则明天是2号。 p:今天是1号。 q:明天是2号。 符号化为：p→q 真值为：1 （2）如果今天是1号，则明天是3号。 p:今天是1号。
离散数学习题
第一章习题 1.1判断下列语句是否为命题，若是命题请指出是简单命题还是复合命题。（1）2是无理数。 （2）5能被2整除。 （3）现在开会吗？ （4）x+5>0 （5）这朵花真是好看！ （6）2是素数当且仅当三角形有三条边。 （7）雪是黑色的当且仅当太阳是从东方升起。 （8）2000年10月1日天气晴好。 （9）太阳系以外的星球上有生物。 （10）小李在宿舍里。 （11）全体起立。 （12）4是2的倍数或是3的倍数。 （13）4是偶数且是奇数。 （14）李明和王华是同学。 （15）蓝色和黄色可以调配成绿色。 1..2 将上题中的命题符号化，并讨论他们的真值。 1.3判断下列各命题的真值。 （1）若2+2=4，则3+3=6； （2）若2+2=4，则3+3≠6； （3）若2+2≠=4，则3+3=6； （4）若2+2≠=4，则3+3≠=6； （5）2+2=4，当且仅当3+3=6； （6）2+2=4，当且仅当3+3≠6； （7）2+2≠4，当且仅当3+3=6； （8）2+2≠4，当且仅当3+3≠6； 1.4将下列命题符号化，并讨论其真值。 （1）如果今天是1号，则明天是2号； （2）如果今天是1号，则明天是3号； 1.5将下列命题符号化。 （1）2是偶数不是素数； （2）小王不但聪明而且用功； （3）虽然天气冷。老王还是来了； （4）他一边吃饭，一边看电视； （5）如果天下大雨，他就乘公交汽车来； （6）只有天下大雨，他才乘公交汽车来； （7）除非天下大雨，否则他不乘公交汽车来； （8）不经一事，不长一智； 1.5设p,q的真值为0 ，r,s的真值为1，求下列命题公式的真值。（1）p∨(q∧r);
离散数学课后习题答案(左孝凌版)
离散数学课后习题答案(左孝凌版) 1-1，1-2解： a)是命题，真值为T。 b)不是命题。 c)是命题，真值要根据具体情况确定。 d)不是命题。 e)是命题，真值为T。 f)是命题，真值为T。 g)是命题，真值为F。 h)不是命题。 i)不是命题。 （2）解： 原子命题：我爱北京天安门。 复合命题：如果不是练健美操，我就出外旅游拉。 （3）解： a)(┓P ∧R)→Q b)Q→R c)┓P d)P→┓Q （4）解： a)设Q:我将去参加舞会。R:我有时间。P:天下雨。 Q (R∧┓P):我将去参加舞会当且仅当我有时间和天不下雨。 b)设R:我在看电视。Q:我在吃苹果。
R∧Q:我在看电视边吃苹果。 c) 设Q:一个数是奇数。R:一个数不能被2除。 （Q→R）∧(R→Q):一个数是奇数，则它不能被2整除并且一个数不能被2整除，则它是奇数。 (5) 解： a)设P：王强身体很好。Q：王强成绩很好。P∧Q b)设P：小李看书。Q：小李听音乐。P∧Q c)设P：气候很好。Q：气候很热。P∨Q d)设P： a和b是偶数。Q：a+b是偶数。P→Q e)设P：四边形ABCD是平行四边形。Q ：四边形ABCD的对边平行。P Q f)设P：语法错误。Q：程序错误。R：停机。（P∨ Q）→ R (6) 解： a)P:天气炎热。Q:正在下雨。 P∧Q b)P:天气炎热。R:湿度较低。 P∧R c)R:天正在下雨。S:湿度很高。 R∨S d)A:刘英上山。B:李进上山。 A∧B e)M:老王是革新者。N:小李是革新者。 M∨N f)L:你看电影。M:我看电影。┓L→┓M g)P:我不看电视。Q:我不外出。 R:我在睡觉。 P∧Q∧R h)P:控制台打字机作输入设备。Q:控制台打字机作输出设备。P∧Q 1-3 （1）解：
离散数学第一章部分课后习题参考答案
第一章部分课后习题参考答案 16 设p、q的真值为0；r、s的真值为1，求下列各命题公式的真值。 （1）p∨(q∧r)0∨(0∧1) 0 （2）（p?r）∧(﹁q∨s) （0?1）∧(1∨1) 0∧10. （3）（p∧q∧r）?(p∧q∧﹁r) （1∧1∧1）? (0∧0∧0)0 (4)（r∧s）→(p∧q) （0∧1）→(1∧0) 0→0 1 17．判断下面一段论述是否为真：“是无理数。并且，如果3是无理数，则也是无理数。另外6能被2整除，6才能被4整除。” 答：p: 是无理数 1 q: 3是无理数0 r: 是无理数 1 s:6能被2整除 1 t: 6能被4整除0 命题符号化为：p∧(q→r)∧(t→s)的真值为1，所以这一段的论述为真。 19．用真值表判断下列公式的类型： （4）(p→q) →(q→p) （5）(p∧r) (p∧q) （6）((p→q) ∧(q→r)) →(p→r) 答：（4） p q p→q q p q→p (p→q)→(q→p) 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 所以公式类型为永真式 （5）公式类型为可满足式（方法如上例） （6）公式类型为永真式（方法如上例） 第二章部分课后习题参考答案 3.用等值演算法判断下列公式的类型，对不是重言式的可满足式，再用真值表法求出成真赋值. (1) (p∧q→q) (2)(p→(p∨q))∨(p→r) (3)(p∨q)→(p∧r) 答：(2)（p→(p∨q)）∨(p→r)(p∨(p∨q))∨(p∨r)p∨p∨q∨r1
所以公式类型为永真式 (3)P q r p∨q p∧r （p∨q）→(p∧r) 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 所以公式类型为可满足式 4.用等值演算法证明下面等值式： (2)(p→q)∧(p→r)(p→(q∧r)) (4)(p∧q)∨(p∧q)(p∨q) ∧(p∧q) 证明（2）(p→q)∧(p→r) (p∨q)∧(p∨r) p∨(q∧r)) p→(q∧r) （4）(p∧q)∨(p∧q)(p∨(p∧q)) ∧(q∨(p∧q) (p∨p)∧(p∨q)∧(q∨p) ∧(q∨q) 1∧(p∨q)∧(p∧q)∧1 (p∨q)∧(p∧q) 5.求下列公式的主析取范式与主合取范式，并求成真赋值 (1)(p→q)→(q∨p) (2)(p→q)∧q∧r (3)(p∨(q∧r))→(p∨q∨r) 解： （1）主析取范式 (p→q)→(q p) (p q)(q p) (p q)(q p) (p q)(q p)(q p)(p q)(p q) (p q)(p q)(p q) ∑(0,2,3) 主合取范式： (p→q)→(q p) (p q)(q p)
离散数学例题整理
第一章 定律证明: (1) A?B=B?A (交换律) 证?x x∈A?B ? x∈A 或x∈B, 自然有x∈B 或x∈A ? x∈B?A 得证A?B?B?A. 同理可证B?A?A?B. (2) A?(B?C)=(A?B)?(A?C) (分配律) 证?x x∈A?(B?C) ? x∈A或(x∈B且x∈C ) ?(x∈A或x∈B)且(x∈A或x∈C) ?x∈(A?B)?(A?C) 得证A?(B?C)?(A?B)?(A?C). 类似可证(A?B)?(A?C)?A?(B?C). (3) A?E=E (零律) 证根据并的定义, 有E?A?E. 根据全集的定义, 又有A? E?E. (4) A?E=A (同一律) 证根据交的定义, 有A?E?A. 又, ?x x∈A, 根据全集E的定义, x∈E, 从而x∈A且x∈E, ?x∈A?E 得证A?A?E. 例4 证明A?(A?B)=A（吸收律） 证利用例3证明的4条等式证明 A?(A?B) = (A?E)?(A?B) (同一律) = A?(E?B) (分配律) = A?(B?E) (交换律) = A?E (零律) = A (同一律) 例5 证明(A-B)-C=(A-C)-(B-C) 证(A-C)-(B-C) = (A ?~C) ? ~(B ? ~C) (补交转换律) = (A ?~C) ? (~B ? ~~C) (德摩根律) = (A ?~C) ? (~B ? C) (双重否定律) = (A ?~C? ~B)?(A ?~C? C) (分配律) = (A ?~C? ~B)?(A ??) (矛盾律) = A ?~C? ~B (零律,同一律) = (A ?~B) ? ~C (交换律,结合律)
离散数学课后习题答案第二章
第四章部分课后习题参考答案 3. 在一阶逻辑中将下面将下面命题符号化,并分别讨论个体域限制为(a),(b)条件时命题的真值: (1) 对于任意x,均有2=(x+)(x). (2) 存在x,使得x+5=9. 其中(a)个体域为自然数集合. (b)个体域为实数集合. 解： F(x): 2=(x+)(x). G(x): x+5=9. (1)在两个个体域中都解释为) ?，在（a）中为假命题，在(b)中为真命题。 (x xF (2)在两个个体域中都解释为) (x ?，在（a）(b)中均为真命题。 xG 4. 在一阶逻辑中将下列命题符号化: (1) 没有不能表示成分数的有理数. (2) 在北京卖菜的人不全是外地人. 解: (1)F(x): x能表示成分数 H(x): x是有理数 命题符号化为: )) x x∧ ? ?? F ( ) ( (x H (2)F(x): x是北京卖菜的人 H(x): x是外地人 命题符号化为: )) x F H x→ ?? (x ) ( ( 5. 在一阶逻辑将下列命题符号化: (1) 火车都比轮船快. (3) 不存在比所有火车都快的汽车. 解: (1)F(x): x是火车; G(x): x是轮船; H(x,y): x比y快 命题符号化为: )) F x G y x→ ? ? y ∧ )) ( , ( ) x ((y ( H (2) (1)F(x): x是火车; G(x): x是汽车; H(x,y): x比y快 命题符号化为: ))) y x F G y→ ?? ∧ ? x ( ) ( , H ( x ) (y ( 9.给定解释I如下: (a) 个体域D为实数集合R.
华东师范大学离散数学章炯民课后习题第1章答案
P10 1对下面每个集合，判断2和{2}是否它的一个元素。 (1){x∈R | x是大于1的整数} (2){x∈R | x是某些整数的平方} (3){2, {2}} (4){{2},{{2}}} (5){{2}, {2,{2}}} (6){{{2}}} 解： {2}是(3)，(4)，(5)的元素。2是(1)，(3)的元素。 3 下列哪些命题成立？哪些不成立？为什么？ （1）φ∈{φ,{φ}} （2）φ?{φ,{φ}} （3）{φ}?{φ,{φ}} （4）{{φ}}?{φ,{φ}} 解： （1）成立 （2）成立 （3）成立 （4）成立 5 设A集合={a,b,{a,b},φ}。下列集合由哪些元素组成？ (1)A-{a,b}; (2){{a.b}}-A; (3){a,b}-A; (4)A--φ; (5)φ-A; (6)A-{φ}. 解： (1){{a,b},φ} (2)φ (3)φ (4) A (5)φ (6){a,b,{a,b}} 6 假定A是ECNU二年级的学生集合，B是ECNU必须学离散数学的学生的集合。请用A 和B表示ECNU不必学习离散数学的二年级的学生的集合。 解：A∩B 7 设A,B和C是任意集合，判断下列命题是否成立，并说明理由。
(1)若A?B,C?D，则A∪C?B∪D,A∩C?B∩D； (2)若ADB,CDD，则A∪CDB∪D,A∩CDB∩D； (3)若A∪B=A∪C，则B=C； (4)若A∩B=A∩C，则B=C； 解： (1)成立 (2)不一定成立 (3)不一定成立 (4)不一定成立 11（5）设A、B和C是集合，请给出(A-B)?(A-C)=φ成立的充要条件。解：错误！未找到引用源。A?B∪C 13试求： (1)P(φ); (2)P(P(φ)); (3)P({φ,a,{a}}) 解： (1){φ} (2){φ，{φ}} (3){φ，{φ}，{a}，{{a}}} 15 设A是集合，下列命题是否必定成立? （1）A∈P(A) （2）A?P(A) （3）{A}∈P(A) （4）{A}?P(A) 解： (1)成立 (2)不一定成立 (3)不一定成立 (4)成立 18设A＝{a,b}，B={b,c},下列集合由哪些元素组成？ (1)A×{a}×B; (2)P(A)×B; (3)(B×B) ×B; 解： (1){(a,a,b),(a,a,c),(b,a,b),(b,a,c)} (2){(φ,c),(φ,b),({a},c),({a},b),({b},c),({b},b),({a,b},c),({a,b},b)} (3){((b,b),c),((b,b),b),((b,c),c),((b,c),b),((c,b),c),((c,b),b),((c,c),c),((c,c),b)} 19 设A是任意集合，A3=(A×A)×A=A×(A×A)是否成立？为什么？ 解：不成立。
离散数学题目大汇总
离散数学试题一（A 卷答案） 一、（10分）证明(A ∨B )(P ∨Q )，P ，(B A )∨P A 。 二、（10分）甲、乙、丙、丁4个人有且仅有2个人参加围棋优胜比赛。关于谁参加竞赛，下列4 种判断都是正确的： (1)甲和乙只有一人参加； (2)丙参加，丁必参加； (3)乙或丁至多参加一人； (4)丁不参加，甲也不会参加。 请推出哪两个人参加了围棋比赛。 三、（10分）指出下列推理中，在哪些步骤上有错误为什么给出正确的推理形式。 (1)x (P (x ) Q (x )) P (2)P (y )Q (y ) T (1)，US (3)xP (x ) P (4)P (y ) T (3)，ES (5)Q (y ) T (2)(4)，I (6)xQ (x ) T (5)，EG 四、（10分）设A ＝{a ，b ，c}，试给出A 上的一个二元关系R ，使其同时不满足自反性、反自反性、 五、（15分）设函数g ：A →B ，f ：B →C ， (1)若f o g 是满射，则f 是满射。 (2)若f o g 是单射，则g 是单射。 六、（15分）设R 是集合A 上的一个具有传递和自反性质的关系，T 是A 上的关系，使得T R 且R ，证明T 是一个等价关系。 七、（15分）若
离散数学部分答案
第十四章部分课后习题参考答案 5、设无向图G 有10条边，3度与4度顶点各2个，其余顶点的度数均小于3，问G 至少有多少个顶点？在最少顶点的情况下，写出度数列、)()(G G δ、?。 解：由握手定理图G 的度数之和为：20102=? 3度与4度顶点各2个，这4个顶点的度数之和为14度。 其余顶点的度数共有6度。 其余顶点的度数均小于3，欲使G 的顶点最少，其余顶点的度数应都取2, 所以，G 至少有7个顶点, 出度数列为3,3,4,4,2,2,2,2)(,4)(==?G G δ. 7、设有向图D 的度数列为2，3，2，3，出度列为1，2，1，1，求D 的入度列，并求)(),(D D δ?， )(),(D D ++?δ,)(),(D D --?δ. 解：D 的度数列为2，3，2，3，出度列为1，2，1，1，D 的入度列为1,1,1,2. 2)(,3)(==?D D δ,1)(,2)(==?++D D δ,1)(,2)(==?--D D δ 8、设无向图中有6条边，3度与5度顶点各1个，其余顶点都是2度点，问该图有多少个顶点？ 解：由握手定理图G 的度数之和为：1262=? 设2度点x 个，则1221513=+?+?x ，2=x ，该图有4个顶点. 14、下面给出的两个正整数数列中哪个是可图化的？对可图化的数列，试给出3种非同构的无向图，其中至少有两个时简单图。 (1) 2,2,3,3,4,4,5 (2) 2,2,2,2,3,3,4,4 解：(1) 2+2+3+3+4+4+5=23 是奇数，不可图化； (2) 2＋2+2+2+3+3+4+4=16, 是偶数，可图化； 18、设有3个4阶4条边的无向简单图G 1、G 2、G 3，证明它们至少有两个是同构的。 证明：4阶4条边的无向简单图的顶点的最大度数为3，度数之和为8，因而度数列为2，2，2，2；3，2，2，1；3，3，1，1。但3，3，1，1对应的图不是简单图。所以
离散数学复习题参考带答案
. 一、选择题：（每题2’） 1、下列语句中不是命题的有（）。 A．离散数学是计算机专业的一门必修课。B．鸡有三只脚。 C．太阳系以外的星球上有生物。D．你打算考硕士研究生吗? 2、命题公式A与B是等价的，是指（）。 A．A与B有相同的原子变元B．A与B都是可满足的 C．当A的真值为真时，B的真值也为真D．A与B有相同的真值 3、所有使命题公式P∨(Q∧?R)为真的赋值为（）。 A．010，100，101，110，111 B．010，100，101，111 C．全体赋值D．不存在 4、合式公式?(P∧Q)→R的主析取范式中含极小项的个数为（）。 A．2 B．3 C．5 D．0 5、一个公式在等价意义下，下面哪个写法是唯一的（）。 A．析取范式B．合取范式C．主析取范式D．以上答案都不对 6、下述公式中是重言式的有（）。 A．(P∧Q) → (P∨Q) B．(P?Q) ? (( P→Q)∧(Q→P)) C．?(P →Q)∧Q D．P →(P∧Q) 7、命题公式(?P→Q) →(?Q∨P)中极小项的个数为（），成真赋值的个数为（）。 A．0 B．1 C．2 D．3 8、若公式(P∧Q)∨(?P∧R) 的主析取范式为m001∨m011∨m110∨m111则它的主合取范式为（）。 A．m001∧m011∧m110∧m111B．M000∧M010∧M100∧M101 C．M001∧M011∧M110∧M111D．m000∧m010∧m100∧m101 9、下列公式中正确的等价式是（）。 A．?(?x)A(x) ? (?x)?A(x) B．(?x) (?y)A(x, y) ? (?y) (?x) A(x, y) C．?(?x)A(x) ? (?x)?A(x) D．(?x) (A(x) ∧B(x)) ? (?x) A(x) ∨(?x) B(x) 10、下列等价关系正确的是（）。 A．?x ( P(x) ∨Q(x) ) ??x P(x) ∨?x Q(x) B．?x ( P(x) ∨Q(x) ) ??x P(x) ∨?x Q(x) C．?x ( P(x) →Q ) ??x P(x) → Q D．?x ( P(x) →Q ) ??x P(x) → Q 11、设个体域为整数集，下列真值为真的公式是（）。 A．?x?y（x·y=1）B．?x?y（x·y=0）C．?x?y（x·y=y）D．?x?y（x+y=2y） 12、设S={?,{1},{1,2}}，则有（）?S。 A．{{1,2}} B．{1,2 } C．{1} D．{2} 13、下列是真命题的有（）。 A．{a}?{{a}} B．{{?}}∈{?,{?}} C．?∈{?,{?}} D．{?}∈{?,{?}} 14、设S={?,{1},{1,2}}，则2S有（）个元素。 A．3 B．6 C．7 D．8
离散数学图论练习题
图论练习题 一.选择题 1、设G是一个哈密尔顿图，则G一定是( )。 (1) 欧拉图(2) 树(3) 平面图(4)连通图 2、下面给出的集合中，哪一个是前缀码？() (1) {0，10，110，101111}(2) {01，001，000，1} (3) {b，c，aa，ab，aba}(4) {1，11，101，001，0011} 3、一个图的哈密尔顿路是一条通过图中()的路。 4、设G是一棵树，则G 的生成树有( )棵。 (1) 0(2) 1(3) 2(4) 不能确定 5、n阶无向完全图Kn 的边数是( )，每个结点的度数是( )。 6、一棵无向树的顶点数n与边数m关系是()。 7、一个图的欧拉回路是一条通过图中( )的回路。 8、有n个结点的树，其结点度数之和是()。 9、下面给出的集合中，哪一个不是前缀码( )。 (1) {a，ab，110，a1b11} (2) {01，001，000，1} (3) {1，2，00，01，0210} (4) {12，11，101，002，0011} 10、n个结点的有向完全图边数是( )，每个结点的度数是( )。 11、一个无向图有生成树的充分必要条件是( )。 12、设G是一棵树，n,m分别表示顶点数和边数，则 (1) n=m (2) m=n+1 (3) n=m+1 (4) 不能确定。 13、设T=〈V,E〉是一棵树，若|V|>1，则T中至少存在( )片树叶。 14、任何连通无向图G至少有( )棵生成树，当且仅当G 是( )，G的生成树只有一棵。 15、设G是有n个结点m条边的连通平面图，且有k个面，则k等于: (1) m-n+2 (2) n-m-2 (3) n+m-2 (4) m+n+2。 16、设T是一棵树，则T是一个连通且( )图。 17、设无向图G有16条边且每个顶点的度数都是2，则图G有( )个顶点。 (1) 10 (2) 4 (3) 8 (4) 16 18、设无向图G有18条边且每个顶点的度数都是3，则图G有( )个顶点。 (1) 10 (2) 4 (3) 8 (4) 12
离散数学试题与答案
试卷二试题与参考答案 一、填空 1、 P ：你努力，Q ：你失败。 2、 “除非你努力，否则你将失败”符号化为 ； “虽然你努力了，但还是失败了”符号化为 。 2、论域D={1，2}，指定谓词P 则公式x ??真值为 。 3设A={2，3，4，5，6}上的二元关系}|,{是质数x y x y x R ∨<><=，则 R= （列举法）。 R 的关系矩阵M R = 。 4、设A={1，2，3}，则A 上既不是对称的又不是反对称的关系 R= ；A 上既是对称的又是反对称的关系R= 。 5、设代数系统，其中A={a ，b ，c}, 则幺元是 ；是否有幂等 性 ；是否有对称性 。 6、4阶群必是 群或 群。 7、下面偏序格是分配格的是 。
8、n 个结点的无向完全图K n 的边数为 ，欧拉图的充要条件是 。 二、选择 1、在下述公式中是重言式为（ ） A ．)()(Q P Q P ∨→∧； B ．))()(()(P Q Q P Q P →∧→??； C ．Q Q P ∧→?)(； D ．)(Q P P ∨→。 2、命题公式 )()(P Q Q P ∨?→→? 中极小项的个数为（ ），成真赋值的个数为（ ）。 A ．0； B ．1； C ．2； D ．3 。 3、设}}2,1{},1{,{Φ=S ，则 S 2 有（ ）个元素。 A ．3； B ．6； C ．7； D ．8 。 4、设} 3 ,2 ,1 {=S ，定义S S ?上的等价关系 },,,, | ,,,{c b d a S S d c S S b a d c b a R +=+?>∈∈<><><<=则由 R 产 生 的S S ?上一个划分共有（ ）个分块。 A ．4； B ．5； C ．6； D ．9 。 5、设} 3 ,2 ,1 {=S ，S 上关系R 的关系图为 则R 具有（ ）性质。 A ．自反性、对称性、传递性； B ．反自反性、反对称性； C ．反自反性、反对称性、传递性； D ．自反性 。
离散数学题库及答案
数理逻辑部分 选择、填空及判断 ?下列语句不是命题的（ A ）。 (A) 你打算考硕士研究生吗？(B) 太阳系以外的星球上有生物。 (C) 离散数学是计算机系的一门必修课。(D) 雪是黑色的。 ?命题公式P(P P)的类型是（ A ） (A) 永真式(B) 矛盾式 (C) 非永真式的可满足式(D) 析取范式 ?A是重言式，那么A的否定式是( A ) A. 矛盾式 B. 重言式 C. 可满足式 D.不能确定 ?以下命题公式中，为永假式的是( C ) A. p→(p∨q∨r) B. (p→┐p)→┐p C. ┐(q→q)∧p D. ┐(q∨┐p)→(p∧┐p) ?命题公式P→Q的成假赋值是( D ) A. 00,11 B. 00,01,11 C.10,11 D. 10 ?谓词公式) x R xP∧ ?中，变元x是( B ) ) x ( , (y A. 自由变元 B. 既是自由变元也是约束变元 C. 约束变元 D. 既不是自由变元也不是约束变元 ?命题公式P(Q Q)的类型是( A )。 (A) 永真式(B) 矛盾式 (C) 非永真式的可满足式(D) 析取范式 ?设B不含变元x，) x→ ?等值于( A ) A (B ) ( x
A. B x xA →?)( B. ))((B x A x ∨? C. B x xA →?)( D. B x A x ∧?)(( ? 下列语句中是真命题的是( D )。 A ．你是杰克吗？ B ．凡石头都可练成金。 C ．如果2+2=4，那么雪是黑的。 D ．如果1+2=4，那么雪是黑的。 ? 从集合分类的角度看，命题公式可分为( B ) A. 永真式、矛盾式 B. 永真式、可满足式、矛盾式 C. 可满足式、矛盾式 D. 永真式、可满足式 ? 命题公式﹁p ∨﹁q 等价于( D )。 A. ﹁p ∨q B. ﹁(p ∨q) C. ﹁p ∧q D. p →﹁q ? 一个公式在等价意义下，下面写法唯一的是( D )。 (A) 范式 (B) 析取范式 (C) 合取范式 (D) 主析取范式 ? 下列含有命题p ，q ，r 的公式中，是主析取范式的是 ( D )。 (A) (p q r) (p q) (B) (p q r) (p q) (C) (p q r) (p q r) (D) (p q r) (p q r) ? 设个体域是整数集合，P 代表x y ((x y )(x y x ))，下面描述正确的是 （ C ）。 (A) P 是真命题 (B) P 是假命题 (C) P 是一阶逻辑公式，但不是命题 (D) P 不是一阶逻辑公式 ? 对一阶逻辑公式((,)(,))(,)x y P x y Q y z xP x y ??∧∧?的说法正确的是( B ). (A) x 是约束的，y 是约束的，z 是自由的； (B) x 是约束的，y 既是约束的又是自由的，z 是自由的； (C) x 是约束的，y 既是约束的又是自由的，z 是约束的；